Математика Учебник

Содержание
Введение
Глава I. Элементы векторной алгебры.
§ 1. Векторы и линейные операции над векторами
§ 2. Координаты вектора
§ 3. Скалярное произведение векторов
§ 4. Векторное произведение векторов
§ 5. Смешанное произведение вектор
Глава II. Прямая и плоскость.
§ 1. Различные уравнения прямой на плоскости
§ 2. Плоскость и прямая в пространстве
Глава III. Кривые второго порядка.
§ 1. Окружность
§ 2. Эллипс
§ 3. Гипербола
§ 4. Парабола
§ 5. Преобразование уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду
Контрольные работы
Тесты
Ответы
Основная литература
2
3
6
9
13
15
17
22
28
30
32
34
36
38
44
62
68
Введение
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с требованиями
государственных общеобразовательных стандартов в области
математики для
студентов, обучающихся по экономическим специальностям. Данное пособие
предназначено для студентов первого курса очной, заочной, дистанционной форм
обучения специальностей «Антикризисное управление», «Бухгалтерский учет,
анализ и аудит», «Математические методы в экономике», «Мировая экономика»,
«Прикладная информатика в экономике» и «Финансы и кредит».
Пособие состоит из следующих разделов: элементы векторной алгебры; прямая
и плоскость; кривые второго порядка. Каждый раздел разбит на параграфы, в начале
каждого из которых помещен необходимый теоретический материал по теме. Затем
следует разбор задач различной степени сложности. Задачи расположены в порядке
повышения сложности, что удобно при изучении дисциплины. Наличие подробных
решений окажет существенную помощь студентам при выполнении ими домашних
заданий, подготовит к решению более содержательных задач, в том числе и
прикладного характера. В конце каждого параграфа предложены задачи для
самостоятельного решения, дающие возможность закрепить тему. Они расположены в
порядке повышения сложности и имеют ответы.
Пособие снабжено необходимым иллюстративным материалом, в нем имеются
наглядные рисунки и чертежи. Кроме того, в самом конце пособия предложены
варианты контрольных работ (20 вариантов по 5 задач), охватывающие весь
изложенный в пособии материал, а также тесты (10 вариантов по 18 вопросов).
Пособие даёт возможность самостоятельно изучить дисциплину. Для этого
сначала необходимо изучить справочный материал по теме, затем разобраться в
приведённых решениях и лишь после этого приступать к самостоятельному решению
задач. Наличие ответов, даёт возможность проверить правильность решений и
оценить степень усвоения материала. В конце пособия приводится список основной
учебной литературы по предмету, к которой при необходимости можно обратиться.
2
Глава I. Элементы векторной алгебры.
§ 1. Векторы и линейные операции над ними.
Вектором называют направленный отрезок и обозначают его либо строчной
латинской буквой с чертой a, либо двумя заглавными буквами AB , здесь А –
начало вектора, В – его конец. Длина вектора обозначается так: | a |, | AB | .
Суммой векторов a и b называется вектор c  a  b , идущий из начала
вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора
a (рис. 1) (правило треугольника).
Очевидно, что вектор c в этом случае представляет собой диагональ
параллелограмма, построенного на векторах
(рис.1) (правило
a иb
параллелограмма).
Аналогичным образом определяется сумма любого конечного числа
векторов.
Òàê ñóì ì à ï ÿòè âåêòî ðî â a1 ,..., à5 åñòü âåêòî ð ñ  à1  ...  à5 , í à÷àëî êî òî ðî ãî
ñî âï àäàåò ñ í à÷àëî ì âåêòî ðà à1 , à êî í åö  ñ êî í öî ì âåêòî ðà à5 ï ðè óñëî âèè, ÷òî
âåêòî ð ai î òëî æåí î ò êî í öà âåêòî ðà ai 1 (ðèñ.2) (ï ðàâèëî ì í î ãî óãî ëüí èêà) .
Ï ðî èçâåäåí èåì âåêòî ðà à í à ÷èñëî  í àçû âàåòñÿ âåêòî ð b   a, èì åþ ù èé äëèí ó
b   a , í àï ðàâëåí èå êî òî ðî ãî ñî âï àäàåò ñ í àï ðàâëåí èåì âåêòî ðà à, åñëè   0,
è ï ðî òèâî ï î ëî æí î , åñëè   0.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются
линейными операциями над векторами.
a3
в
a4
a2
а
c
a5
a1
c  a1  a2  a3  a4  a5
рис.1
рис.2
Примеры решения задач.
1.1. По данным векторам а и b (рис.3) построить векторы :
1
1
1) ñ  à  b; 2) ñ  2a  b; 3) ñ  2a  b.
2
2
◄
1
b
2
ñ òåì æå í à÷àëî ì . Åãî í àï ðàâëåí èå ñî âï àäàåò ñ í àï ðàâëåí èåì âåêòî ðà b, à äëèí à
Î òëî æèì âåêòî ðû a è b î ò î áù åãî í à÷àëà  òî ÷êè Î . Çàòåì ï î ñòðî èì âåêòî ð
â äâà ðàçà ì åí üø å.
3
1
Векторы a и b складываются по правилу параллелограмма (рис.4). Решение для
2
2) и 3) на рис.5 и рис. 6 соответственно.
а
в
а
с
О
1
в
2
рис.3
в
рис.4
2а
а
в
с
О
с
О
1
 в
2
в
в
 2а
рис.5
рис.6
1.2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразить
векторы AO, AB, BC , CD è DA ÷åðåç à  ÀÑ è b  BD (ðèñ .7).
◄
Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то
1
1
имеем AO  a, OB   b. По правилу треугольника
2
2
1
1
1
1
1
1
AB  AO  OB  a  b; BC  BA  AC  BD  AC  AC  BD  AC 
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
a  b; CD   AB  BD  AC  b  a; DA   BC   BD  AC 
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
 b  a.
2
2
В
С
О
a
рис.7
в
А
D
1.3. ABCD – треугольная пирамида.
Найти сумму векторов AB, CD, AC , BC , DA.
◄
Так как операция сложения векторов коммутативна, то, зная правило
многоугольника, имеем:
AB  CD  AC  BC  DA  AB  BC  CD  DA  AC  AC ►
1.4. ABCDEFGH –
AB, CG, FB, FG, FE.
параллелепипед
4
(рис.8).
Найти
сумму
векторов
Так как FE  GH , FB  HD , FG  BC , то AB  CG  FB  FG  FE 
◄
 AB  BC  CG  GH  HD  AD .►
C
G
B
F
B
D
M
C
H
рис.8
А
N
рис.9
E
A
D
1.5. Точки M и N – середины сторон параллелограмма ABCD. Разложить вектор
DC по векторам а  АМ и b  AN (рис.9) .
1
1
◄ Из ∆AND имеем: b  AD  DN  AD  DC . Отсюда AD  b  DC . (  )
2
2
1
1
1
Из ΔАВМ имеем: d  AB  BM  DC  AD, так как AB  DC , BM  BC  AD .
2
2
2
Подставив выражение (  ) в последнее выражение, получим:
1
1
4
2
DC  b  DC  a или DC  a  b . ►
2
4
3
3
1.6. ABCDEFGH – куб(рис.10). Разложить вектор AK , где К – центр грани DHGC
по векторам a  AD, b  AC , c  AE.
F
G
E
H
К
C
L
b
B
A
◄
a
рис.10
D
Обозначим через L середину ребра DC. Тогда AL  AD  DL  a 
1
DC .
2
1
1
AE  c , то
2
2
ba c 1
1
1
  a b c ►
искомое разложение имеет вид: AK  a 
2
2 2
2
2
Из ΔAKL находим, что AK  AL  LK . Так как DC  b  a, LK 
Задачи для самостоятельного решения.
1. Ï î äàí í û ì
1
1
âåêòî ðàì à è b ï î ñòðî èòü âåêòî ðû : 1) 3a  b; 2) 2a  2b; 3)  2a  b.
3
2
2. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразить
векторы CA, AD, OD через a  AO и b  AB.
3. В ромбе ABCD точка N – точка пересечения диагоналей. Найти множитель 
в следующих равенствах:
1) NC   CA; 2) BD   BN ; 3) AC   CN ; 4) BB   BD.
5
4. Доказать, что если О – произвольная точка плоскости, а М – середина отрезка
1
AB, то OM  (OA  OB ) .
2
5. ABCDEF – правильный шестиугольник.
Выразить векторы AD, BC , AE, AF , ED через a  AB и b  AC.
6.
ABCDEFGH – куб. Найти разложение векторов AG, AF , HG , BC , GC, FD, FO
7.
(здесь О – центр куба) по векторам a  AB, b  AD, c  AE.
В пространстве заданы треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1. М и М1 – точки
пересечения их медиан. Выразить вектор MM 1 через векторы AA1 , BB1 ,
8.
CC1 .
Точки Е и F – середины сторон AD и BC четырёхугольника ABCD.
1
Доказать, что EF  ( AB  DC ).
2
§2. Координаты вектора.
Векторы a1 , a2 ,..., an называются линейно зависимыми, если они
удовлетворяют равенству
1 a1   2 a 2  ...   n a n  0,
(1)
где 1   2  ...   n  0.
Если соотношение (1) выполняется только при 1  2  ...  n  0, то
2
2
2
векторы a1 , a2 , ... , an называются линейно независимыми.
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны, т.е. параллельны одной прямой.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны, т.е. параллельны одной плоскости.
Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно
независимых векторов (l1 ; l 2 ) . Любой вектор a
на плоскости можно
единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде
a  a1 l1  a2 l2 , ãäå ÷èñëà à1 , à2  êî î ðäèí àòû âåêòî ðà à â áàçèñå (l1 ; l2 ).
Çàï èñü à  ( à1 ; à2 ) î çí à÷àåò, ÷òî âåêòî ð à èì ååò êî î ðäèí àòû
(à1 ; à2 ) â âû áðàí í î ì áàçèñå.
Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно
независимых векторов (l1 ; l 2 ; l3 ). Любой вектор a в пространстве можно
единственным образом представить в виде
a  a1 l1  a2 l2  a3 l3 (разложить по базису).
Числа а1, а2, а3 называются координатами вектора a в выбранном базисе.
Записывается это так: a  (a1 ; a2 ; a3 ).
Ортонормированным
базисом
называется
базис
из
взаимно
перпендикулярных векторов единичной длины. Ортонормированный базис на
плоскости будем обозначать (i; j ), а в пространстве  (i; j; k ).
Если в некотором базисе a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), то
a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 );  a  (a1 ; a2 ; a3 ).
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда
b   a или bi =  ai , i.
6
Три вектора a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ) и c  (c1 ; c2 ; c3 ) компланарны
тогда и только тогда, когда
a1 a2 a3
b1 b2 b3  0.
(2)
c1 c2 c3
Примеры решения задач.
1.7. Известны разложения векторов a è b ï î áàçèñó (i; j; k ) . Найти
координаты векторов a  2i  3 j  4k è b  2 j â ýòî ì áàçèñå.
◄ Координаты вектора в некотором базисе – это коэффициенты
разложения его по этому базису. Поэтому a  (2;3;4); b  (0;2;0) ►
1.8. В базисе (i; j; k ) âåêòî ðû à  (2; 1;6) è b  (2; 4;0) заданы своими
координатами. Написать разложение этих векторов по базисным.
a  2i  j  6k ; b  2i  4 j (см. задачу 1.7). ►
◄
1.9. Даны векторы
◄
a  (5;7) и b  (1;2) . Найти координаты вектора
3a  4b .
Зная, что при умножении вектора на число его координаты
умножаются на это число, имеем 3a  (15;21);  4b  (4;8) .
При сложении векторов соответствующие координаты складываются.
Следовательно, 3a  4b  (11;29). ►
1.10. Задан вектор a  (1;3;5) . Найти неизвестные координаты вектора
b  ( x;6; z ) , коллинеарного вектору a .
◄ Для коллинеарных векторов имеет место равенство
b  ma  m(i  3 j  5k )  mi  3m j  5mk  xi  6 j  z k .
Отсюда получаем систему из трёх уравнений:
m  x
m  2


►
 3m  6   x  2 . Значит b  (2;6;10).
5m  z
 z  10


1.11. В треугольнике АВС точки М1, М2, М3 являются координатами
середин его сторон (рис.11). Зная, что AB  (1;3), AC  (2;1), найти
координаты векторов AM 1 , BM 2 , CM 3 .
В
М3
А
М1
М2
рис.11
С
◄ Для решения задачи достаточно найти разложение неизвестных
векторов
7
AM 1 , BM 2 , CM 3 ï î âåêòî ðàì AB è AC. Ï î ï ðàâèëó ï àðàëëåëî ãðàì ì à
1
1
1
ÀÂ  ÀÑ  ( ÀÂ  ÀÑ ). Î òñþ äà ÀÌ
2
2
2
àí àëî ãè÷í û ì î áðàçî ì , ï î ëó÷èì :
ÀÌ
1

1
3
 ( ; 2).
2
Ðàññóæäàÿ
1
1
1
( ÂÀ  ÂÑ )  ( ÀÂ  ÀÑ  ÀÂ )  (2 ÀÂ  ÀÑ ),
2
2
2
5
ò.å. ÂÌ 2  (0;  ).
2
1
1
1
È , í àêî í åö, ÑÌ 3  (ÑÀ  ÑÂ)  (  ÀÑ  ÀÂ  ÀÑ )  ( 2 ÀÑ  ÀÂ ),
2
2
2
3 1
т.е. СМ 3  ( ; ).
►
2 2
ÂÌ
2

1.12. Заданы вершины треугольника А(–1; –1); В(0;–6); С(–10;–2). Найти
длину медианы, проведенной из вершины А.
◄
1
Так как АМ  ( АВ  АС ), а АВ  (1;5), АС  (9;1), то АМ  (4;3).
2
Длину медианы найдём как длину вектора
ÀÌ
 (4)2  (3)2  5. ►
1.13. Задана тройка векторов a  (3;0;2), b  (2;1;4), c  (11;2;2) . Будут
ли они компланарны?
◄ Можно воспользоваться формулой (2), но существует и другой способ.
Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно
зависимы. Поэтому для выяснения их компланарности составим
матрицу и преобразуем её к единичному базису:
 3 2 11 
 3 0 15 
1 0  5 






  0 1 2
  0 1  2
 0 1  2
 2  4  2
 2 0  10 
0 0 0 






Отсюда заключаем, что векторы линейно зависимы: c  5a  2b , а,
следовательно, компланарны. ►
Задачи для самостоятельного решения.
9.
10.
Найти координаты векторов a  k  3i, b  j  4k в базисе (i; j; k ).
Найти координаты вектора 5a  3b (здесь a и b  векторы из задачи 9).
Определить, при каких  и  векторы а  (2;3;  ) и b  ( ;6;2)
коллинеарны.
12. Являются ли точки А(3;–1; 2); В(1; 2;–1); С(–1; 1;–3); D(3;–5; 3) вершинами
трапеции?
13. В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 являются серединами сторон ВС,
АС и АВ соответственно. Зная, что AB  (2;6; 4), AC  (4; 2; 2) , найти
11.
координаты векторов AA1 , BB1 , CC1.
8
14. Дана трапеция ABCD ( DC   AB) . Точки M и N – середины оснований AB и
DC, F – точка пересечения диагоналей. Приняв векторы AB и AD за
базисные, найти координаты векторов CB, MN , AD, FB.
15. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;1;4), В(2;3;–1),
С(–2;2;0). Найти четвёртую вершину.
16. Найти координаты вершины А параллелограмма АВСD, если D(3;1;–2),
DC  (5; 1; 2), DB  (4;6; 1) .
17. Векторы a  (5; 2; 4) è b  (4; 5; 2) , отложенные от точки С(1;–1;–3),
являются боковыми сторонами треугольника. Найти координаты основания
высоты, опущенной из вершины С.
18. В параллелограмме АВСD А(3; 7;–5), ÀÂ  (4; 4;3), ÑB  (2; 6;1). Найти
координаты точки пересечения диагоналей.
19. В параллелограмме АВСD А(3; –1; 7), В(1; 0; 2), точка пересечения диагоналей
N(6;–4; 3). Найти координаты вектора AD .
20. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его
сторон – точки K(2;–4), M(6; 1), N(–2; 3).
21. На оси абсцисс найти точку В, расстояние от которой до точки А(3;–3)
равно 5.
22. На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А(1;–4;7) и
В(5; 6; –5).
23. Определить координаты концов отрезка, который точками В(2;0;2) и
С(5;–2; 0) разделен на 3 равные части.
24. Даны три вектора p  (3; 2;1), q  (1;1; 2), r  (2;1; 3) . Найти разложение
вектора c  (11; 6;5) по векторам p, q, r.
Даны три вектора a  (3; 1), b  (1; 2), c  (1;7). Определить разложение
25.
вектора p  a  b  c по векторам a и b.
26.
Будут ли
компланарными?
векторы
a  (5; 1; 4), b  (3; 5; 2), c  (1; 13; 2)
§3. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними:
ab  a  b  a  b cos 
(3)
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1. a b  b a,
2.  (ab)  ( a)b  a( b),
3. a(b  c)  ab  ac,
4. a b  0, если а  0, или b  0, или а  b,
5.
2
2
a aaa .
Если векторы a и b в базисе (i; j;k ) имеют координаты
( xa ; y a ; z a ) и ( xb ; yb ; z b ) соответственно, то
ab  xa xb  ya yb  z a zb
9
(4)
Примеры решения задач.
1.14. Известно, a  4, b  6, а угол  между векторами а и b равен 135 0.
Найти скалярное произведение векторов а и b.
◄ По формуле (3) имеем: ab  4  6  cos 135 0  24  (
2
)  12 2 .►
2
1.15. Вычислить ab, åñëè a  (6; 0; 3); b  (4; 5; 1) .
ab  6  4  0  5  3  (1)  21. ►
◄ По формуле (4) имеем:
1.16. Даны два вектора a  (4;3) и b  (1;2). Найти угол  между ними.
◄ Искомый угол получим из формулы (3):
ab
4 1  3  2
10
2 5
.
cos  



5
16  9  1  4 5 5
ab
1.17. Какому условию должны удовлетворять неравные друг другу
векторы a и b , чтобы вектор a  b был перпендикулярен вектору
a b.
◄ Вектор a  b будет перпендикулярен вектору a  b тогда и только
тогда, когда ( a  b )( a  b )=0.
Воспользуемся свойствами скалярного произведения
2
2
( a  b )( a  b )= (a  b)a  (a  b)b  aa  ab  ab  bb  a  b , откуда
следует, что векторы a  b и a  b перпендикулярны в случае a  b .
►
1.18. Векторы а и b образуют угол  

3
. Найти длину вектора
c  2a  3b, если а  2, b  1.
◄
По свойству 5 скалярного произведения, имеем:
2
2
2
2
2
c  cc  4a  12ab  9b  4 a  12 a b cos   9 b  13.
Следовательно, c  13.
►
1.19. Известно, что векторы s  2t и 5s  4t взаимно перпендикулярны.
Чему равен угол  между единичными векторами s и t ?
◄ Так как данные векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно 0:
2
2
( s  2t )(5s  4t )  5s  6ts  8t  0
2
2
Òàê êàê s  t  1, òî 6ts  3  0 èëè ts 
Î òñþ äà cos  
ts
1
 .
t s 2
Значит, искомый угол  = 600.
1.20.
1
2
►
Векторы a, b, c имеют равные длины и образуют попарно равные
углы. Найти координаты вектора c , если a  i  j , b  j  k .
10
◄
Если
c  xi  y j  zk , òî ï î óñëî âèþ âåêòî ð ñ óäî âëåòâî ðÿåò ñèñòåì å:
ña  x  y  ab  1


ñb  y  z  ab  1
 2
2
2
2
2
2
 c  x  y  z  a  b  2.
Решая эту систему относительно неизвестных x, y, z, находим:
1 4 1
c  ( ; ;  ) èëè c  (1; 0; 1) . ►
3 3 3
1.21. Даны векторы AB  b è ÀÑ  ñ, совпадающие со сторонами ΔАВС.
◄
Найти разложение по векторам b и с вектора BD , совпадающего с
высотой этого треугольника.
По правилу вычитания векторов имеем
BD  AD  b . Так как
âåêòî ðû AD è ÀÑ êî ëëèí åàðí û , òî AD  mAC.
Следовательно,
искомое разложение имеет вид BD  mc  b.
Ï î óñëî âè þ çàäà÷è BD  AC , à ýòî çí à÷è ò, ÷òî
2
BD AC  (mc  b) c  0 è mc  bc  0.
Î òñþ äà m 
bc
c
2
.
Окончательно имеем BD 
bc
►
c  b.
2
c
1.22. Вычислить тупой угол  , образованный медианами, проведенными
из вершин острых углов равнобедренного прямоугольного ΔАВС
(рис.12).
◄ Введём взаимно перпендикулярные единичные векторы i и j так,
как это показано на рисунке 12.
Искомый угол  равен углу между векторами BM и CN , поэтому
cos  
BM CM
BM CM
.
B
N
φ
рис.12
φφφ
j
A
i
M
C
k
i,
2
здесь через k обозначены длины равных друг другу катетов.
Имеем BM  BA  AM  k j 
11
k
j. Òî ãäà
2
k
k
k2 k2
BM CM  (k j  i )(ki  j )   
 k 2 .
2
2
2
2
k
5
BM  (k ) 2  ( ) 2 
k  CN .
2
2
Ï î äñòàâëÿÿ í àéäåí í û å çí à÷åí èÿ â ô î ðì óëó (5), í àõî äèì :
Àí àëî ãè÷í î , CN  CA  AN  ki 
cos   
k2
5
5
k
k
2
2
4
4
  , è, ñëåäî âàòåëüí î ,   arccos( ).
5
5
►
Задачи для самостоятельного решения.
27. Даны векторы a  (4;2;4) и b  (6;3;2) .
2
2
Вычислить: 1) ab; 2) a ; 3) b ; 4) (2a  3b)( a  2b); 5) (a  b) 2 ; 6) (a  b) 2 .
28.
Дан
вектор
a  (2;3).
Найти
координаты
единичных
векторов,
перпендикулярных a.
29. Определить, при каком значении  векторы a   i  3 j  2k и b  i  2 j   k
взаимно перпендикулярны?
30.
Найти значения  è  , при которых векторы a  (3;1; ) и b  (2;  ;1)
взаимно перпендикулярны, если b  3.
31. Даны два вектора a  (3;1) и b  (1;1) . Найти вектор c , удовлетворяющий
уравнениям a c  13; bc  3.
32. Даны два вектора a  (1;1;1) и b  (5;1;1) . Вычислить координаты единичного
33.
34.
35.
36.
вектора c , который ортогонален векторам a и b .
Найти косинус угла  между вектором a  (3;4) и осью Ох.
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a  2i  j и b   j  2k .
Даны вершины треугольника А(1; 2), В(3; 4), С(6; 2). Определить его
внутренний угол при вершине А.
Даны векторы a  i  2 j; b  5i  j; c  4i  2 j.
2
2
Вычислить: 1)b(ac)  c(ab); 2) a  bc; 3) b  b(a  3c) .
37.
Доказать, что векторы a и b(ac)  c(ab) взаимно перпендикулярны.
38.
Определить угол между векторами a и b , если известно, что
(a  b)2  (a  2b)2  20 è a  1; b  2.
39.
В треугольнике АВС AB  3i  4 j; BC  i  5 j . Вычислить длину высоты
40.
CH .
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым
сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти угол при вершине.
12
Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
a  p  3q и b  5 p  2q , если известно, что
41.
2
.
2
p  2 2; q  3; cos( p; q) 
§4. Векторное произведение векторов.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор
a  b , который определяется следующими условиями:
1. a  b  a b sin  ;   (a, b),
(6)
2. a  b  a; a  b  b,
3. âåêòî ðû a, b, a  b î áðàçóþ ò òðî éêó âåêòî ðî â, î ðèåí òèðî âàí í óþ òàê æå,
êàê òðî éêà i, j, k.
Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1. a  b  b  a;
2.  (a  b)  ( a)  b  a  ( b);
3. a  (b  c)  a  b  a  b;
4. a  a  0.
Если векторы a и b в базисе (i; j; k ) имеют координаты (xa; ya; za) и
(xb; yb; zb) соответственно, то
i j k
a  b  xa ya za .
(7)
xb yb zb
Примеры решения задач.
1.22. Векторы a и b образуют угол  

6
. Зная, что а  6, b  5, вычислить a  b .
a  b  a b sin   6  5  sin

 15.
6
Полученный результат означает, что площадь параллелограмма, который
можно построить, отложив векторы a и b от одной точки, равна 15 кв.ед. ►
1.23. Упростить выражение: (3i  4 j  5k )  (2i  6 j  k ) .
◄
Линейная комбинация векторов векторно умножается на линейную
комбинацию векторов по правилу умножения многочленов, но с сохранением
порядка следования сомножителей. Поэтому, учитывая свойства (2) и (4)
векторного произведения, получим:
(3i  4 j  5k )  (2i  6 j  k )  8 j  i  10k  i  18i  j  30k  j  3i  k 
◄ Согласно формуле (6), имеем
 4 j  k  26i  j  26k  j  13k  i  26k  26i  13 j.
►
1.24. Векторы a и b перпендикулярны. Зная, что a  3, b  4, вычислить
( a  b )  ( a  b) .
13
◄ Используя свойства векторного произведения, получим:
(a  b)  (a  b)  2a  b, тогда (a  b)  (a  b)   2a  b  2 a b sin

2
 24 .►
1.25. Найти векторное произведение векторов a  (1;2;1) и b  (5;4;3) .
◄ По формуле (7) имеем:
i
j k
a  b  1 2 1  i
5 4 3
2 1
 j
4 3
1 1
 k
5 3
1 2
 10 i  8 j  6 k .
5 4
Значит, a  b  (10;  8;  6). ►
1.26. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(0; 1), В(4; 5) и
С(6; –1).
◄ Данный треугольник построен на векторах AB  (4;4) и АС  (6;2).
Тогда площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
1
S  AB  AC .
2
Векторы AB и AC можно считать трёхмерными векторами, имеющими
нулевую аппликату (векторы AB и AC лежат в плоскости Оху и имеют
нулевые проекции на ось Оz), и записать их как AB =(4;4;0),
AC =(6;–2;0)
Вычисляем векторное произведение:
i
j k
AB  AC  4 4 0  32k .
6 2 0
1
 32  16 кв.ед. ►
2
3 3
1.28. Пусть О(0; 0), В( ;
), С(1; 0) – вершины ΔОВС. Вычислить OB  OC .
4 3
◄ По определению векторного произведения имеем
Следовательно, S 
OB  OC  OB OC sin  ,
3 2
3 2
3
çäåñü Î Â  ( )  ( ) 
, Î Ñ  12  0  1.
4
4
2
Для нахождения угла φ между векторами OB и OC воспользуемся
формулой скалярного произведения векторов OB и OC :
3
3
3
OB  OC   1 
0  .
4
4
4
3
Ñ äðóãî é ñòî ðî í û , OB  OC  OB OC sin  
ñî s
2
3
3
3
È òàê,

cos  , î òêóäà cos  
, ò.å.   300 .
4
2
2
3
3
 1  sin 30 0 
.
Окончательно имеем: OB  OC 
►
2
4
14
Задачи для самостоятельного решения.
42.
Даны векторы a  3i  j  2k , b  i  2 j  k . Найти координаты векторов:
43.
1) a  b; 2) (2a  b)  b; 3) (2a  b)  (2a  b) .
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
a  (3;2;6), b  (6;3;2) .
44.
45.
Найти синус угла между векторами a  (3;0;4) и b  (1;2;2) .
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
m  4n и 4m  n, если m  n  1,  (m, n)  30 0 .
46.
Известно, что a  1; b  2; (a, b) 
векторах
2
.
3
Вычислить: 1) a  b ; 2) (2a  b)  (a  2b) ; 3) (a  3b)  (3a  b) .
47.
48.
Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы векторы
a  b и a  b были коллинеарны?
Упростить выражения:
1) i  ( j  k )  j  (i  k )  k  (i  j  k );
2) 2i ( j  k )  3 j (i  k )  4k (i  j ).
49.
50.
Известно,что
a  b  5,  (a, b) 

. Вычислить площадь треугольника,
4
построенного на векторах a  2b и 3a  2b.
Определить, при каких значениях  è  вектор  i  3 j   k будет
коллинеарен вектору a  b , если a  3i  j  k , b  i  2 j.
51.
Найти длину вектора (2a  b)  (a  b), åñëè a  b, a  1, b  2.
52.
Найти вектор a  (a  b)  a  (a  b), если a  2i  j  3k , b  i  j  k .
53.
Три ненулевых вектора связаны соотношениями a  b  c, b  c  a, c  a  b.
Найти длины этих векторов и углы между ними.
§5. Смешанное произведение трех векторов.
Смешанным
произведением
векторов
a, b è c
называется
скалярное
произведение вектора a  b на вектор с. Оно обозначается (a  b)c  abc.
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1. смешанное произведение трёх векторов равно нулю, если:
а) хотя бы один из перемножаемых векторов равен нулю;
б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;
в) три вектора параллельны одной плоскости (компланарны);
2. (a  b)c  a(b  c)  abc;
3. abc  bca  cab ;
4. abc  bac  acb  cba .
Геометрический смысл смешанного произведения трёх векторов заключается в
том, что его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
В базисе ( i; j; k ) смешанное произведение векторов a, b è c имеет вид:
15
xa ya za
abc  xb yb zb .
(8)
xc yc zc
Если смешанное произведение векторов положительно, то тройка этих
векторов – правая, а если отрицательно, то – левая.
Примеры решения задач.
1.29.
Вычислить (a  b)c , если векторы a, b и c образуют правую
тройку a  c, b  c, a  b  2, c  5, а угол  между векторами
a и b равен 120о.
◄ Так как c  a, c  b, то вектор c перпендикулярен плоскости, в
которой лежат векторы a и b , а значит, c коллинеарен вектору
a  b . Так как a, b и c – правая тройка, то вектор c направлен в ту
же сторону, что и a  b . Поэтому угол между векторами c и a  b
равен нулю. Имеем:
3
abc  (a  b)c  a b sin  c cos 0 0  2  2 
 5  1  10 3 .
►
2
1.30. Вычислить смешанное произведение векторов i  j , j  i, k .
◄ 1 способ
((i  j )  ( j  i )) k  (i  j  i  i  j  j  j  i )k  2(i  j )k  2i j k  2, т.к.
i j k  V  1, где V  объем параллелепипеда, построенного на
векторах i , j , k .
2 способ
Найдем координаты заданных векторов
i  j  (1;1;0); j  i  (1;1;0); k  (0;0;1) .
По формуле (8) имеем:
1 1 0
►
(i  j )( j  i )k  1 1 0  2.
0 0 1
1.31. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
a  (2;1;1) , b  (4;3;1), c  (1; 2;3) .
◄ Найдем смешанное произведение данных векторов по формуле (8):
2  1  1
3 1
abc  4 3 1  2

2 3
1 2 3
4 1
1 3

4 3
1 2
=  8.
Объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного
произведения, т.е. V = 8 куб.ед.
►
1.32. Вычислить произведение   a((b  c)  (a  b  c))
◄ По свойствам смешанного произведения
  a(b  c)  a (c  a )  a (c  b)  ab  b  ac  b  ab  c 
►
ac  c  ac  b  ab  c  0.
16
Задачи для самостоятельного решения.
54.
Найти смешанное произведение векторов a, b и c , если
1) a  (1; 1; 2), b  (1; 2; 3), c  (2; 1; 1) ;
55.
2) a  (5; 2; 1), b  (1; 2; 1), c  (1; 2; 2).
Установить, компланарны ли векторы:
1) a  (1;1;2), b  (3;5;0), c  (5;3;4) ;
2) a  (1; 1; 1), b  (1; 1; 1), c  (1; 1; 1) ;
3) a  (1; 2; 2), b  (2; 5;7), c  (1; 1; 1) .
56.
При каком значении  векторы a, b, c будут компланарны:
a  ( ;3;1), b  (5; 1; 2), c  (1;5; 4) ?
57.
Вычислить произведения: 1)   b(( a  c)  (b  c));
2)   (a  b)(( a  2b  c)  (c  a)).
58.
59.
60.
61.
Пусть a, b, c – произвольные векторы,  ,  ,  – произвольные числа.
Доказать, что векторы  a   b,  b   c,  c   a компланарны.
Вычислить
объем
параллелепипеда,
построенного
на
a  (3;2;1), b  (1;0;1), c  (1;2;1).
Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах
a  (3;6;3), b  (1;3;2), c  (2;2;2).
Векторы a, b, c образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны. Зная,
что
62.
63.
64.
векторах
a  4, b  2, c  3, вычислить смешанное произведение abc.
Известно, что c  a, c  b, (a, b)  300. Зная, что a  6, b  c  3,
вычислить смешанное произведение abc.
Доказать, что точки А(1;2; –1), B(0;1;5), C(–1;2;1) и D(2;1;3) лежат в одной
плоскости.
Дано А(–1;10;0), B(0;5;2), C(6;32;2). Найти координаты четвертой вершины
тетраэдра ABCD, если известно, что она лежит на оси Оу, а объем тетраэдра
равен 29 куб.ед.
Глава II. Прямая и плоскость.
§1. Различные уравнения прямой на плоскости.
Любая прямая на плоскости определяется линейным уравнением
Ах + Ву + С = 0, А2 + В2 ≠ 0,
(9)
которое называется общим уравнением прямой ( здесь А и В – координаты вектора
нормали n , перпендикулярного этой прямой).
Если прямая задается точкой М(х1; у1) и вектором нормали n = (А;В), то ее
уравнение запишется в виде
А(х – х1) + В(у – у1) = 0.
(10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки М(х1; у1) и N(х2; у2) имеет вид:
x  x1
y  y1

.
(11)
x2  x1 y2  y1
17
Частным случаем этой формулы является уравнение прямой, проходящей через
точки М(а; 0) и N(0; b), называемое уравнением прямой в отрезках:
x y
  1.
(12)
a b
Каноническим уравнением прямой
x  x1 y  y1

(13)
l
m
лучше пользоваться тогда, когда прямая задана точкой М(х1; у1) и направляющим
вектором s  (l ; m).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:
y = kx + b,
(14)
здесь k = tgθ тангенс угла наклона прямой к оси Ох.
Уравненение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку
М(х1; у1) имеет вид:
y – y1 = k(x – x1)
(15)
Угол  между двумя прямыми l1 и l2 вычисляются по формуле:
k k
tg   2 1 ,
(16)
1  k1k2
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых l1 и l2.
Расстояние d от точки М(х0; у0) до прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С =
0, вычисляется по формуле:
Ax0  By0  C
d
,
(17)
A2  B 2
Уравнение
А1 х + В1 у + С1 +  (А2 х + В2 у + С2) = 0,
(18)
где  – числовой множитель, определяет прямую линию, проходящую через точку
пересечения прямых
li :
Аi х + Вi у + Сi = 0, i = 1; 2.
(19)
При различных  получаются различные прямые, принадлежащие пучку
прямых, с центром в точке пересечения прямых l1 и l2.
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями (19).
Условия пересечения, параллельности или совпадения этих прямых
приведены в следующей таблице.
Взаимное расположение
Пересекаются
Параллельны (l1 ≠ l2 )
Совпадают
18
Условия
A1 B1

A2 B2
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
Примеры решения задач.
2.1. Написать уравнение прямой, проходящей через
1) точки А и В;
2) точку А, параллельно прямой l1;
3) точку А, перпендикулярно прямой l1;
4) точку А с угловым коэффициентом k = 1;
5) точку пересечения прямых l1 и l2, перпендикулярно прямой
х – у + 92 = 0,
если А(1;–1), В(3;4); l1: 2х + у + 3 = 0;
l2: 3х +2 у + 4 = 0.
◄ 1) По формуле (11) имеем
x 1 y 1

. Отсюда 5 x  2 y  7  0.
3 1 4 1
2) По формуле (10) имеем
2(х – 1) + 1(у + 1) = 2х + у – 1 = 0
3) Запишем уравнение прямой l1 в виде у = –2х – 3. Угловой
1 1
коэффициент искомой прямой k 2    . Следовательно, l:
k 2
1
y  1  ( x  1) или х – 2 у –3 = 0.
2
4) По формуле (15) имеем: у + 1 = х – 1 или у = х – 2.
5) Искомая прямая принадлежит пучку (2 x  y  3)   (3x  2 y  4)  0 ,
т.е. (2  3 ) x  (1  2 ) y  (3  4 )  0 .
Так как эта прямая перпендикулярна прямой х – у + 92 = 0, то
скалярное произведение векторов нормали этих прямых равно нулю,
т.е. (2  3 )  (1  2 )  0 .
Отсюда  = –1. Подставив найденное значение  в уравнение пучка,
получим искомое уравнение: – х – у –1 = 0 или х + у +1 = 0. ►
2.2. Написать уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его
вершину А(0;2) и уравнения высот ВМ: х+ у– 4= 0 и
СМ: 2х – у = 0 (здесь М – точка пересечения высот).
◄ Пусть вектор m = (1;2) – направляющий вектор прямой СМ. Для
прямой АВ он является нормальным. Напишем уравнение прямой АВ
по точке А(0;2) и нормальному вектору m :
1  x  2  ( y  2)  0 или х  2 у  4  0.
Пусть вектор k =(–1;1) – направляющий вектор прямой ВМ. Он же
является вектором нормали для АС. Уравнение прямой АС по точке
А(0;2) и вектору нормали k имеет вид: – х + у – 2 = 0 или х – у + 2
= 0. Координаты вершин ∆АВС В и С найдем, решив системы
уравнений:
x  y  4  0
2 x  y  0
и 
.
Получим В(4;0), С(2;4).

x  2 y  4  0
x  y  2  0
Уравнение стороны ВС получим по формуле (11), а именно:
x4 y0

. Отсюда 4 х  2 у  16  0.
►
2
40
2.3. Даны точка А(1;2) и прямая l : 3х – у + 9 = 0. Найти координаты:
а) проекции точки А на заданную прямую l;
б) точки В, симметричной А относительно прямой l.
19
◄ Проведем через точку А прямую l1, перпендикулярную прямой l. Так
как векторы нормали этих прямых перпендикулярны, то в качестве
вектора нормали прямой l1 можно взять вектор n1  (1;3) . Тогда
уравнение прямой l1 имеет вид:
1  ( x  1)  3( y  2)  0 èëè õ  3ó  7  0.
Искомая проекция С находится как решение системы уравнений:
3x  y  9  0

 x  3 y  7  0.
Точка С имеет координаты (–2;3). Для нахождения точки В
достаточно заметить, что CB  AC =(–3;1). Отсюда В(–5;4). ►
2.4. Составить уравнения прямых, равноудаленных от трёх точек А(3;–
1), В(9;1), С(–5;5).
◄ Если бы три точки А, В, С лежали по одну сторону от искомой прямой,
то они принадлежали бы одной прямой, параллельной искомой. Но
точки А, В, С не лежат на одной прямой, значит, две из них лежат по
одну сторону от искомой прямой, а третья – по другую. Если А и В
лежат по одну сторону от прямой, а С – по другую, то искомая
прямая проходит через точки D(2;3) и Е(–1;2) – середины отрезков
ВС и АС соответственно. Тогда её уравнение имеет вид:
x2
y 3

, т.е. х  3 у  7  0.
1 2 2  3
Аналогично разбираются два других случая расположения точек
относительно прямой. При этом получаются ответы:
3х+ 4у – 18 = 0 и 2х +7у – 12 = 0.►
2.5. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;0), В(2;3) и С(3;1).
Вычислить длину высоты ВD и длину отрезка АD.
◄ Заметим, что длина высоты ВD есть расстояние от точки В до прямой
АС. Запишем уравнение прямой АС, проходящей через точки А(1;0) и
x 1 y  0

или х  2 у  1  0.
С(3;1):
3 1 1 0
1 2  2  3  1
5
По формуле (17) имеем: d 

 5.
1 4
5
Длину отрезка АD можно вычислить аналогичным образом. Но можно
воспользоваться теоремой Пифагора:
AD 
2
2
2
AB  BD ; AB  12  32  10; AD  10  5  5. ►
2.6. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(3;1) и
образующих с прямой l : 2х + 3у – 1 = 0 угол в 450.
◄
Угловой коэффициент данной прямой l найдем по формуле
A
2
k     . Применяя формулу (16), найдем угловой коэффициент
B
3
искомой прямой. При этом получится два решения (рис.13),
соответствующих k1 = k и k2 = k.
20
l2
l1
М
рис.13
l
450
450
2
k 2  ( )
2
3 . Отсюда k  1 .
Если k1   , то   45 0. Имеем tg 45 0 
2
2
3
5
1  k2
3
2
Если k 2   , то k1  5.
Тогда уравнения искомых прямых
3
1
l1: у – 1 = –5(х – 3) и l2: у – 1 = ( x  3), и в общем виде:
5
5х + у – 16 = 0 и х – 5у + 2 = 0.
Задачи для самостоятельного решения.
65. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, которая:
1) имеет угловой коэффициент к;
2) задана общим уравнением (9);
3) задана уравнением в отрезках (12).
66. Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая:
1) имеет угловой коэффициент к;
2) задана общим уравнением (9);
3) задана уравнением в отрезках (12).
67. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–3;4),
x5 y 3

параллельно прямой: 1) 5x – 2y + 1 = 0; 2)
; 3) x = 2;
2
3
4) y = –1.
68. Написать уравнения сторон и медиан треугольника ABC, если:
1) A(–1;3), B(0;4), C(–2;–2); 2) A(–3;2), B(3; –2), C(0;–1).
69. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и
наклоненных под углом: 1) 30 ; 2) 45 ; 3) 120 к оси Ох.
70. Вычислить
площадь
треугольника,
отсекаемого
прямой
3x – 15y – 45 = 0 от координатного угла.
71. Даны точки A(4;1) и B(2;–3). Написать уравнение прямой,
проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярную AB.
72. Даны вершины треугольника A(1;5), B(–1;2), C(3;2). Написать
уравнение высоты, опущенной из вершины C.
73. На прямой 5x – y – 4 = 0 найти точку, равноудаленную от точек
A(1;0) и B(–2;1).
74. Доказать, что прямые  1 : 3x + 4y + 5 = 0 и  2 : 3x + 4y – 2 = 0
параллельны. Найти расстояние между ними.
75. Составить
уравнения
прямых,
параллельных
прямой
–2x + y + 5 = 0 и отстоящих от точки A(1;–2) на расстоянии 20 .
21
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
Точка А лежит на прямой 2x – 3y + 4 = 0. Расстояние от А до прямой
4x – 3y = 0 равно 2. Найти координаты точки А.
Выяснить взаимное расположение прямых. Если прямые
пересекаются, то найти координаты точки пересечения:
1) x + 2y – 1 = 0 и x + 2y – 10 = 0;
2) x = 5 и x + 4 = 0;
3) y = 6 и x – y = 0;
4) x + y – 3 = 0 и 2x – 2y – 8 = 0;
5) x + y –3 = 0 и 4x + 4y – 12 = 0.
Определить при каких значениях m прямые
mx – 4y = 6 и x – my = 3: 1) пересекаются; 2) параллельны;
3) совпадают.
Определить при каких m прямые mx + y = 1, x – y = m, x + y = m 2
имеют общую точку.
Определить, при каких значениях m
и
n
две прямые
mx+ 8y + n = 0 и 2x+my –1 = 0:
1) перпендикулярны;
2) параллельны;
3) совпадают.
Составить уравнение прямой, симметричной прямой
3x – y + 5 = 0 относительно прямой x+ y – 1 = 0.
Даны две вершины треугольника А(1;4) и В(3;–1) и точка пересечения
медиан М(0;2). Найти координаты третьей вершины С.
Даны уравнения сторон треугольника x + 2y + 1 = 0,
2x
+ y + 2 = 0, 2 x – y – 2 = 0. Составить уравнение высоты, опущенной
на вторую сторону.
Точка А(3;–2) является вершиной квадрата, а точка Е (1;1) – точка
пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.
Дан параллелограмм ABCD, E – точка пересечения его диагоналей.
Составить уравнение его сторон, если А(2;1), В(–1;0), Е(–4;3).
Длина сторон ромба, с острым углом 60о, равна 2. Диагонали ромба
пересекаются в точке Е(1;2), причем большая диагональ параллельна
оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба.
Даны две вершины треугольника А(–10;2) и В(6;4) и точка
пересечения высот Е(5;2). Найти координаты третьей вершины
треугольника.
Даны вершины треугольника А(1;–1), В(–2;1), С(3;5). Написать
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану,
проведенную из вершины В.
Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4;
–1), уравнения высоты 2х – 3у + 12 = 0 и медианы 2х + 3у = 0,
проведенных из одной вершины.
§2. Плоскость и прямая в пространстве.
Любая плоскость определяется линейным уравнением
Ах + Ву + Сz + D = 0,
А2 + В2+ C2 ≠ 0,
(20)
которое называется общим уравнением плоскости (здесь А, В, С можно
рассматривать как координаты вектора нормали n , перпендикулярного
плоскости (20), нормального вектора плоскости).
Уравнение
22
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
(21)
представляет собой уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
нормали n  ( A; B; C ) и проходящий через точку М0(х0; у0; z0).
Уравнение плоскости, проходящей через точки М(х1; у1; z1), N(х2; у2; z2) и
L(x3; y3; z3) имеет вид:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
z 2  z1
y 2 - y1
 0.
(22)
x3  x1 y3 - y1
z 3  z1
Частным случаем этой формулы является уравнение плоскости в отрезках:
x y z
   1,
(23)
a b c
здесь a, b, c – абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с
осями Ох, Оу, Оz.
Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
соответственно имеют вид:
A1 B1 C1


è A1 A2  B1 B2  C1C2  0.
(24)
A2 B2 C2
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух
плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
(25)

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
Если прямая параллельна вектору s  (m, n, p) (называемому направляющим
вектором) и проходит через точку М0(х0; у0; z0), то ее уравнение имеет вид:
x  x 0 y  y0 z  z 0


.
(26)
m
n
p
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных
уравнениями
x  x i y  yi z  z i
li :


, i  1, 2.
(27)
mi
ni
pi
в пространстве соответственно имеют вид:
m1 n1
p

 1,
m1m2  n1n2  p1 p2  0
(28)
m2 n2 p2
Условие пересечения двух прямых l1 и l2 в прстранстве записывается в виде:
x2  x1 y2  y1
z2  z1
m1
n1
p1
 0.
(29)
m2
n2
p2
Условия параллельности прямой (26) и плоскости (20) соответственно имеют
вид:
A B C
Am  Bn  Cp  0,
  .
(30)
m n p
Расстояние от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости, заданной уравнением (20),
находится по формуле:
Ax0  By0  Cz0  D
d
.
(31)
A2  B 2  C 2
23
Примеры решения задач.
2.7.
◄
2.8.
◄
2.9.
◄
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
М(1;0;0) параллельно плоскости x + y + z = 0.
Нормальным вектором плоскости x + y + z = 0 является вектор n =
(1;1;1). Он же будет вектором нормали и для искомой плоскости, т.к.
плоскости параллельны друг другу.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 0; 0)
перпендикулярно вектору n :
1  ( x  1)  1  ( y  0)  1  ( z  0)  0 или х + у + z – 1 = 0. ►
Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью
3x – 4y +5 z – 60 = 0.
Разделив обе части уравнения плоскости на 60, получим:
x
y
z
x
y
z
 
 1 или


 1.
20 15 12
20  15 12
Сравнивая это уравнение с (23), заключаем, что а = 20, b = –15, c = 12.
Таковы величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ох, Оу, Oz
соответственно. ►
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1;1;1) и
N(0;2;1) параллельно вектору a =(2;0;1).
Задача имеет единственное решение, т.к. векторы MN = (–1; 1; 0) и
a =(2; 0; 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости
может быть взят вектор
i
n  MN  a   1
2
j
1
0
k
0
1
 i  j  2k .
Уравнение плоскости имеет вид: ( x  1)  ( y  1)  2( z  1)  0
или
х + у – 2 z = 0.
Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то
плоскость проходит через начало координат. ►
2.10.
Найти
расстояние
между
параллельными
плоскостями
x + 2y + 2z – 1 = 0 и x + 2y + 2z + 5 = 0.
◄ Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до
второй плоскости. Выберем на первой плоскости произвольную точку
М0(х0; у0; z0). Например, если х0 = у0 = 0, то z0 = 0,5 и М0(0; 0; 0,5). По
формуле (31) находим:
0  0 1 5
6
d
  2.
►
12  2 2  (2) 2 3
2.11. Среди следующих пар прямых и плоскостей указать параллельные или
перпендикулярные; в случае пересечения прямой и плоскости найти
точку пересечения:
x 1 y  2
z
1)


и 7 x  2 y  3 z  1  0;
3
3
5
x y 1 z 1
2) 

и x  y  z  3  0.
2
3
4
◄ 1) Направляющим вектором прямой является вектор s = (3; 3; –5), а
нормальным вектором плоскости n = (7;–2;3). Эти векторы
24
перпендикулярны, т.к. s n = 3 · 7 + 3 · (–2) + (–5) · 3 = 0. Поэтому
прямая и плоскость параллельны.
2) Векторы s = (2; 3; 4) и n = (1;–1;1) не коллинеарны и не
ортогональны. Поэтому прямая пересекает плоскость. Для определения
координат точки пересечения нужно решить систему из трёх уравнений
с тремя неизвестными:
 x y 1
2  3

 y 1 z 1


4
 3
 x  y  z  3  0.


Решив систему, получим М0 (2;4;5). ►
2.12. Прямая задана уравнениями:
x  y  z  0

2 x  y  2  0.
Написать канонические уравнения этой прямой.
◄
Точка М(0;2;2) удовлетворяет общим уравнениям прямой и,
следовательно, лежит на прямой. В качестве направляющего вектора
этой прямой можно взять вектор n1  n 2 , где n1 =(1;1;–1), n 2 = (2;–1;0) –
нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является
данная прямая. Таким образом,
n1  n2 
i
1
2
j
1
-1
k
-1
0
  i  2 j  3k
и канонические уравнения прямой имеют вид:
x
y 2 z 3


.
►
1
2
3
2.13. Заданы скрещивающиеся прямые
x
y 1 z  2
x 1 y 1 z  2
l1 :


и l2 :


.
2
0
1
1
2
1
Найти расстояние между ними.
◄
Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую l1
параллельно l2. Точка М(0;1;–2) лежит на прямой l1 и, следовательно,
принадлежит плоскости Р. В качестве вектора нормали к Р возьмем
i
n1  2
1
j
0
2
k
1
1
 2 i  j  4k .
Тогда уравнение плоскости Р имеет вид: –2х – (у –1) – 4(z +2) = 0 или
2x + y + 4z + 7 = 0. Искомое расстояние равно расстоянию от любой
точки прямой l2 до плоскости Р. Возьмем точку N(–1;–1;2) на прямой l2.
Тогда
2  (1)  1  (1)  4  2  7
12
4 21
►
d


.
7
21
2 2  12  4 2
25
Задачи для самостоятельного решения.
90. Составить уравнение плоскости по трем точкам:
1) А(2;1;3), В(–1;2;5),C(3;0;1);
2) A(1;–1;3); B(2;3;4); C (–1;1;2 );
3) A(1;1;2); B(2;3;3); C(–1;–3;0).
91. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1;–1;2) и
параллельной плоскости: 1) х –3y + 2z + 1 = 0; 2) x = 5; 3) y = 4; 4) z = 3.
92. Из точки М (3;4;5) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить
уравнение плоскости, проходящей через их основание.
93. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;2;3) и
отсекающей равные отрезки на осях координат.
94. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;–1;4) и В(3;2;–1)
перпендикулярно плоскости x + y + 2z – 3 = 0.
95. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1;2;5) и ось
абсцисс.
96. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4), если она
отсекает на оси Оz отрезок вдвое больший, чем на осях Оx и Оy.
97. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1;2;–3) и
N(0;2;–1) параллельно оси Оx.
98. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 y  2 z 1
x y 1 z 1



и параллельной прямой 
.
3
4
2
5
4
3
99. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(–1;1;2) и прямую,
x  5 y  7 z  1  0
заданную уравнениями 
3x  y  2 z  3  0.
100. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;3;1) и
перпендикулярной прямой:
x  y  z  2  0
x  2
1) 
2) 
2 x  3 y  z  1  0,
 y  3.
101. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные
плоскости:
1) 2x – 3y + 5z – 7 = 0,
2x –3y + 5z + 3 = 0;
2) 4x + 5y –3z + 4 = 0,
8x – 10y + 6z + 1 = 0;
3) x – 6z + 1 = 0,
4х – 24z + 4 = 0.
102. Определить, при каком значении k плоскости x + y + kz + 1 = 0 и
kx + y+ k 2z – 2 = 0 параллельны ?
103. Определить, при каком значении k уравнения 3x – 5y + kz – 3 = 0 и
х – ky + 2z + 5 = 0 будут задавать перпендикулярные плоскости.
104. Составить уравнения прямой, проходящей через точки:
1) А(–1;1;2) и В(5;1;2);
2) А(3;2;5) и В(4;1;5).
105. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(4;–3;4),
x y
z
x 1 y  3 z  4
 


параллельно прямым
и
.
6 2 3
5
4
2
106. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1;–3;4) параллельно
2 x  y  z  3  0
прямой 
.
x  3 y  z  1  0
26
107.
Доказать перпендикулярность прямых:
3x  y  5 z  1  0
x y 1 z


1)  1:
и  2: 
1
2
3
2 x  3 y  8 z  3  0,
 x  y  3z  1  0
2)  1: 
2 x  y  9 z  2  0
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
2 x  y  2 z  5  0
 2: 
2 x  2 y  z  2  0.
x  y  z  2  0
Найти координаты точки пересечения прямой  1: 
c
x  2z  1  0
координатными плоскостями.
Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости x – 3y + z + 1 = 0:
x 1 y 1 z 1


1) ℓ:
;
5
4
7
3x  2 y  1  0
2) ℓ: 
.
7 y  3z  4  0
Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(1;3;1) параллельно
прямой:
x  y  z  2  0
x  2
x  0
x 1 y  2 z  2


, 3) 
1) 
2)
4) 
3
4
21
2 x  3 y  z  0,
 y  3,
 z  0,
 y  1
5) 
 z  2.
При каком значении параметра  плоскость 5x – 3y +  z + 1 = 0 будет
x  4z  1  0
параллельна прямой 
?
 y  3z  2  0
x  2 y 1 z


Найти расстояние между параллельными прямыми
и
3
4
2
x  7 y 1 z  3


.
3
4
2
Найти точку, симметричную точке М(1;5;2) относительно плоскости 2x – y –
z + 11 = 0.
Найти проекцию точки P(5;2;–1) на плоскость 2x – y + 3z + 23 = 0.
Вычислить расстояние между плоскостями:
1) x + y – 2z + 1 = 0 и 4x + 4y – 8z = 0,
2) 2x+ y – z + 1 = 0 и 4x + 2y – 2z = 0.
x  2 y 1 z

 .
Найти расстояние от точки К(7;9;7) до прямой
4
3
2
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:
z  0
x  6
и 

 x  y  1  0.
y  0
Дана точка А(3;–1;1). Найти:
1) проекции точки А на координатные плоскости и координаты точек,
симметричных с А относительно координатных плоскостей.
2) координаты проекции точки А на плоскость x + 2y + 2z + 6 = 0 и
координаты точки, симметричной с А относительно этой плоскости.
3) координаты проекции точки А на плоскость 2x + 3y + 6z + 40 = 0 и
координаты точки, симметричной с А относительно этой плоскости.
Точки А(–1;–3;1), В(5;3;8), С(–1;–3;5), D(2;1;–4) являются
вершинами
тетраэдра. Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на
грань АВС.
и
27
Глава III. Кривые второго порядка.
§1. Окружность.
Окружность – это множество точек, равноудаленных от некоторой точки,
называемой центром. Если R – это радиус окружности, а точка С(а; в) – ее центр,
то уравнение окружности выглядит следующим образом:
(х – а)2 + (у – в)2 = R2 .
Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то
уравнение приобретает вид:
х2 + у2 = R2 .
Если в правой части канонического уравнения раскрыть скобки, то
получим уравнение вида: х2 + у2 + kх + my + n = 0, где k = –2a, m = – 2b,
n = a2 + b2 – R2 .
Это уравнение определяет окружность, если k2 + m2 – 4n > 0, точку с
k m
координатами (– ;– ), если k2 + m2 – 4n = 0 и мнимую окружность, если k2 + m2
2 2
– 4n < 0.
Взаимное расположение точки М(х1;у1) и окружности х2 + у2 = R2
определяется следующими условиями:
если х12 + у12 = R2 , то точка М лежит на окружности,
если х12 + у12 > R2 , то точка М лежит вне окружности,
если же х12 + у12 < R2 , то точка М находится внутри окружности.
Примеры решения задач.
Найти координаты центра и радиус окружности 2х2 + 2у2 –8х +5y – 4 = 0.
◄ Разделив обе части уравнения окружности на 2 и сгруппировав члены
5
уравнения, получим х2 + у2 – 4х + y – 2=0. Дополним выражения х2 – 4х и
2
25
25
5
5
у2 + y до полных квадратов: (х2 – 4х + 4) + (у2 + y +
)=2+4+
или
2
2
16
16
5
121
(х – 2)2 + (у + )2 =
.
4
16
5
Таким образом, получили окружность с центром в точке С(2;– ) радиуса
4
11
.►
4
3.2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В(1;4),
если ее центр лежит на прямой х + у – 3 = 0.
5 1
◄ Найдем координаты точки М – середины хорды АВ: хМ =
= 3,
2
40
уМ =
= 2, т.е. М(3;2). Центр окружности лежит на серединном
2
перпендикуляре к отрезку АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид
у0 х5
=
, т.е. х + у – 5 = 0. Так как угловой коэффициент АВ равен –1,
4  0 1 5
3.1.
28
то угловой коэффициент перпендикуляра к ней 1, а его уравнение у – 2 = х
– 3, т.е. х – у – 1 = 0.
Очевидно, что центр окружности С есть точка пересечения прямой АВ с
указанным перпендикуляром, поэтому координаты центра определяются из
õ  ó  5  0
системы уравнений 
. Получаем С(2;1).
õ  ó 1  0
Радиус
окружности
равен
длине
отрезка
СА,
т.е.
R
=
(5  2) 2  (1  0) 2  10. Уравнение искомой окружности имеет вид
(х – 2)2 + (у – 1)2 = 10.►
3.3. Составить уравнение хорды окружности х2 + у2 = 49, делящейся точкой А(1;2)
пополам.
◄ Составим уравнение диаметра окружности, проходящего через точку А(1;2).
Оно имеет вид у = 2х. Искомая хорда перпендикулярна диаметру и проходит
1
через точку А, т.е. её уравнение у – 2 = – (х – 1) или х + 2у – 5 = 0.►
2
3.4 Найти уравнение окружности, симметричной окружности х2 + у2 = 2х + 4у
– 4 относительно прямой х – у – 3 = 0.
◄ Приведем уравнение данной окружности к каноническому виду
(х – 1)2 + (у – 2)2 = 1. Центр окружности находится в точке С(1;2), ее радиус
равен 1. Найдем координаты центра симметричной окружности С1(х1;у1), для
чего через точку С(1;2) проведем прямую, перпендикулярную прямой х – у
– 3 = 0. Ее уравнение имеет вид у – 2 = к (х – 1), где к = –1, откуда у – 2 = –
х +1 или х + у – 3 = 0. Решая совместно уравнения х + у – 3 = 0 и х – у – 3 =
0, получим х = 3, у = 0, т.е. проекция точки С(1;2) на заданную прямую –
точка К(3;0). Координаты же симметричной точки получим по формулам
1  х1
2  у1
координат середины отрезка: 3 =
; 0=
; откуда х1 = 5, у1 = –2.
2
2
Значит, точка С1(5;–2) – центр симметричной окружности, а ее уравнение
имеет вид (х – 5)2 + (у + 2)2 = 1.►
3.5.
Составить уравнение окружности с центром в точке М(2;2), касающейся
прямой 3х + у – 18 = 0.
◄ Если прямая касается окружности, то расстояние от центра окружности до
этой прямой совпадает с радиусом окружности. Поэтому
| 3  2  1  2  18 | 10
R =

 10 . Отсюда уравнение искомой окружности
10
32  12
имеет вид (х – 2)2 + (у – 2)2 = 10.►
Задачи для самостоятельного решения.
120. Написать уравнение окружности с центром С(–4; 3) и радиусом, равным 5.
Определить расположение точек А(–1;–1), В(3; 2), О(0; 0), К(–6; 4)
относительно этой окружности.
121. Дана точка А(–4; 6). Написать уравнение окружности, диаметром которой
служит отрезок ОА.
122. Построить окружности:
1) х2 + у2 – 4х + 6y –3 = 0;
2) х2 + у2 – 8х = 0;
3) х2 + у2 + 4у = 0.
123. Написать уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей
через точку А(1;2).
29
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(1;2), В(0;1)
и С(–3;0).
Составить
уравнение окружности, проходящей через точки А(7;7),
В(–2;4), если ее центр лежит на прямой 2х – у = 2.
Составить уравнение общей хорды окружностей
х2 + у2 = 16 и (х – 5)2 + у2 = 9.
Составить уравнение касательной к окружности ( х  1) 2  ( у  2) 2  25 в
точке М(–3;1).
Составить уравнения касательных к окружности ( х  3) 2  ( у  1) 2  4,
параллельных прямой 5х – 12у + 1 = 0.
Составить уравнения касательных к окружности ( х  1) 2  ( у  1) 2  9,
проходящих через точку М(1; 4).
Проверить, что две данные окружности касаются, и составить уравнение их
общей касательной, проходящей через точку касания:
1) ( х  1) 2  ( у  2) 2  18 и ( х  5) 2  ( у  6) 2  2 ;
2
2
2
2
2) ( х  1)  ( у  1)  45 и ( х  1)  ( у  5)  5 .
Составить уравнение окружности с центром в точке М(2; 2), касающейся
прямой 3х + у –18 = 0.
§2. Эллипс.
Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от каждой из
которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина
постоянная, обозначаемая 2а, и большая расстояния между фокусами (рис.14).
Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на
рис.14, то фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала
координат в точках F1(с;0) и F2(–с;0). Каноническое уравнение эллипса имеет вид
х2 у2

 1,
(32)
а2 в2
здесь а – большая полуось эллипса, в – малая полуось, причем числа а, в, с связаны
соотношением а2 =в2 +с2 .
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцентриситетом
с
е  , где е  1.
а
у
М
r2
r1
F2
О
F1
30
Рис.14.
х
Расстояния от любой точки эллипса М до его фокусов называются
фокальными радиус-векторами этой точки. Их обозначают r1 и r2, причем имеет
место равенство r1 + r2 = 2а.
Примеры решения задач.
Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М(–
5
3;0) и N(2;
).
3
◄
Координаты точек, лежащих на эллипсе, должны удовлетворять
5
4
 а 2  9в 2  1
каноническому уравнению (32), т.е. 
 9  1.
 а 2
х2
Решая систему, получим уравнение эллипса:
 у 2  1. ►
9
3.7. Составить уравнение эллипса, если большая ось равна 10, а расстояние
между фокусами 8. За ось Ох принять большую ось эллипса, за начало
координат – середину отрезка между фокусами.
◄ Уравнение эллипса в указанной системе координат – это его каноническое
уравнение. При этом в2 = а2 – с2 = 25 – 16 = 9. Поэтому искомое уравнение
х2 у2
имеет вид

 1. ►
25 9
3.8.
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между
3
фокусами равно 6, а эксцентриситет .
5
ñ 3
◄ Ищем каноническое уравнение эллипса. Известно, что 2ñ  6, å   .
à 5
5
Тогда с  3, а  3   5. Так как в2 = а2 – с2 , то в2 = 25 – 9 = 16. Искомое
3
х2 у2
уравнение имеет вид:

 1. ►
25 16
3.6.
Задачи для самостоятельного решения.
132.
133.
134.
135.
136.
Построить эллипс, заданный уравнением х2 + 4у2 = 16. Найти его фокусы и
эксцентриситет.
Написать каноническое уравнение эллипса, зная что
1)
расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось в = 3;
2) большая полуось а = 6, а эксцентриситет е = 0,5.
х2 у2

 1 найти точку, разность фокальных радиус-векторов
На эллипсе
25 9
которой равна 6,4.
х2 у2

 1 точки М(7;1), N(–5; –4)
Как расположены относительно эллипса
50 32
и Р(4;5)?
Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно
расстоянию между концами большой и малой полуосей.
31
137. На эллипсе 9х2 + 25у2 = 225 найти точку, расстояние от которой до правого
фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса.
138. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса х2 + 5у2 = 20, а две другие совпадают с концами его малой
оси.
139. Ординаты всех точек окружности х2 + у2 = 36 сокращены вдвое. Написать
уравнение полученной кривой.
140. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р(1;–1), на которой
х2 у2
эллипс

 1 отсекает хорду, делящуюся точкой Р пополам.
9
4
§3. Гипербола.
Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина
разности расстояний от которых до двух данных точек F1 и F2, называемых
фокусами есть величина постоянная (ее обозначают 2а), причем эта постоянная
меньше расстояния между фокусами.
Обозначим через 2с расстояние между фокусами, тогда каноническое
уравнение гиперболы имеет вид:
х2 у2
(33)

 1,
а2 в2
здесь в2 = с2 – а2.
Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично
относительно осей координат (рис.15). Точки А1(а;0) и А2(–а;0) называются
вершинами гиперболы, отрезок А1А2 называется действительной осью гиперболы,
а отрезок В1В2 – мнимой осью.
Директрисы – прямые, перпендикулярные оси Ох и расположенные на
a
расстоянии d  от центра.
e
в
Прямые у   х называются асимптотами гиперболы.
а
у
В1
А2
А1
х
F1
F2
В2
рис.15
32
М
с
, здесь е  1. Так
а
в
с2 а2  в2
в2
 е 2  1.
как в2 =с2 – а2 , то имеем е 2  2 
и, значит,

1

2
2
а
а
а
а
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, т.е. чем ближе он к
единице, тем более вытянута гипербола.
Эксцентриситетом гиперболы называется число е 
Примеры решения задач.
3.9.
Для гиперболы 16х2 – 9у2 = 144 найти: 1) полуоси а и в; 2) фокусы; 3)
эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
◄ Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду. Для этого разделим обе
х2 у2
его части на 144. При этом получим

 1, т.е. а = 3, в = 4. Так как для
9 16
гиперболы с2 = а2 + в2, то с = 5. Следовательно, точки F1(–5;0) и F2(5;0) –
с 5
есть фокусы гиперболы. Найдем эксцентриситет по формуле: е   .
а 3
в
4
у   х . Уравнения директрис
Уравнения асимптот у   х, поэтому
а
3
2
9
а
х   , т.е. х   . ►
5
с
3.10. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси
абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние
8
3
между директрисами равно , а эксцентриситет е  .
3
2
а
◄ Так как уравнения директрис имеют вид х   , то расстояние между ними
е
2а
2а 8
3
4а 8
. Тогда
 . Так как е  , то
 . Отсюда а = 2. Далее
равно
е
3
2
3
3
е
2
2
2
2
имеем с = е  а = 3. Так как в =с – а , то в = 5, т.е. уравнение гиперболы
х2 у2
имеет вид:

 1. ►
4
5
3.11. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой есть точки
3
F1(5;0) и F2(–5;0), а уравнения асимптот имеют вид: у   х .
4
◄
Так как фокусы лежат на оси Оу симметрично началу координат, то
х2 у2
уравнение гиперболы будет иметь вид 2  2  1. Зная, что а2 + в2 = с2 и
а
в
в
в 3
у =  х – уравнение асимптот, имеем а2 + в2 = 25 и = , т.е. а = 4,
в
а
а 4
х2 у2

 1. ►
= 3. Тогда уравнение гиперболы
16 9
3.12. Эксцентриситет гиперболы равен
2 . Составить уравнение гиперболы,
проходящей через точку М( 3 ; 2 ).
с
◄ Согласно определению эксцентриситета, имеем  2 или с 2  2а 2 . Но а2
а
2
2
2
2
2
2
2
+ в = с , следовательно, а + в = 2а или а = в . Второе равенство получим
33
3
2
 2  1.
2
а
в
2
2
х – у = 1. ►
из условия нахождения точки М на гиперболе, а именно,
Отсюда а2 = в2 = 1 и уравнение искомой кривой имеет вид
Задачи для самостоятельного решения.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
Построить гиперболу х2 – 4у2 = 16 и ее асимптоты. Найти фокусы,
эксцентриситет и угол между асимптотами.
На гиперболе х2 – 4у2 = 16 взята точка М с ординатой, равной 1. Найти
расстояния от нее до фокусов.
Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: 1) расстояние
между фокусами 2с =10, а между вершинами 2а = 8; 2) вещественная
полуось а = 2 5 , а эксцентриситет е = 1,2 .
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в
х2 у2
вершинах эллипса

 1.
25 9
Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от
одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.
Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку М(9;8), если
2 2
х.
асимптоты гиперболы имеют уравнения у = 
3
Написать каноническое уравнение гиперболы, если 1) а = 2, в = 3; 2) в = 4, с
3
5
= 5; 3) с = 3 , е = ; 4) а = 8, е = ; 5) с = 10 и уравнения асимптот имеют
2
4
4
3
8
вид у =  х ; 6) е =
и расстояние между директрисами равно .
3
2
3
Среди указанных уравнений выделить те, которые задают эллипс и
гиперболу: 1) х2 – у2 = 1; 2) х2 + у2 = 1; 3) 2х2 – 10у2 = 40; 4) 9х2 + у2 = 1;
5) 25х2 + 9у2 = 0; 6) 4х2 – 9у2 = –25; 7) 16х2 – у2 = –16; 8) х2 – 4у2 = 0.
х2 у2

 1 . Составить
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
25 9
уравнение гиперболы, если её эксцентриситет е = 2.
§4. Парабола.
Параболой называется множество точек, равноудаленных от данной точки
F, называемой фокусом, и данной прямой ℓ, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
у 2  2 рх.
(34)
Эта парабола симметрична относительно оси Ох (рис.17). Вершиной
параболы является начало координат.
34
у
М
О
х
F
Рис.17.
ℓ
При р > 0 парабола обращена в положительную сторону оси Ох, при р < 0 –
р
р
в отрицательную. Парабола имеет фокус F( ;0) и директрису х = – .
2
2
Примеры решения задач.
3.13. Составить каноническое уравнение параболы, симметричной относительно
оси Ох и проходящей через точку А(–1;3).
◄ Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох,
имеет вид у 2  2 рх. Так как точка А(–1;3) с отрицательной абсциссой
лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению у 2  2 рх.
Отсюда 2р = 9. Следовательно, у 2  2 рх – уравнение искомой параболы.►
3.14. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с
вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы,
перпендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояние от этой хорды до вершины
равно 6.
◄ Так как известны длина хорды и расстояние от вершины до хорды, то,
следовательно, известны координаты конца этой хорды – точки М, лежащей
на параболе М(6;8). Уравнение параболы имеет вид (34). Полагая в нём х =
32
6,
у = 8, находим 2р = . Поэтому уравнение искомой параболы:
3
32
у2 
х. ►
3
3.15. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,
симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе I и III
координатных углов хорду длиной 8 2 .
◄ Искомое уравнение параболы х 2  2 ру. Уравнение биссектрисы у = х.
Отсюда получаем точки пересечения параболы с биссектрисой: О(0;0) и
М(2р;2р). Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками:
8 2  4 р 2  4 р 2 , откуда 2р = 8. Следовательно, искомое уравнение имеет
вид: х 2  8 у. ►
35
Задачи для самостоятельного решения.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
Построить следующие параболы и найти их параметры: 1) у 2  6 х;
2) х 2  5 у; 3) у 2  4 х; 4) х 2   у.
Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если
известно, что
1) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит
через точку М(4;–8);
2) фокус параболы находится в точке F(0;–3) .
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу,
найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
1) у 2  4 х  8; 2) х 2  2  у; 3) у  4 х 2  8х  7;
1
1
4) у   х 2  2 х  7; 5) х   у 2  у; 6) х  2 у 2  12 у  14.
6
4
Написать уравнение параболы
1) проходящей через точки О(0;0) и
М(1;–3) и симметричной
относительно оси Ох;
2) проходящей через точки О(0;0) и М(2;–4) и симметричной относительно
оси Оу.
На параболе у 2  8 х найти точку, расстояние которой от директрисы
равно 4.
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат,
симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой у = х хорду
длиной 4 2 .
Парабола
у 2  2 х отсекает от прямой, проходящей через начало
3
координат, хорду, длина которой равна
. Составить уравнение этой
4
прямой.
На параболе у 2  32 х найти точку, расстояние которой от прямой
4х + 3у + 10 = 0 равно 2.
§5. Преобразование уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду
Уравнение второй степени вида
Ах2 + Су2 + 2Dх +2Еу + F = 0,
(35)
(не содержащее члена ху с произведением координат) называется пятичленным
уравнением кривой второго порядка. Оно определяет на плоскости Оху эллипс,
гиперболу или параболу (с возможными случаями вырождения этих кривых) с
осями симметрии, параллельными осям координат, в зависимости от знака
произведения коэффициентов А и С.
1) если АС > 0, то определяемая этим уравнением кривая, есть эллипс
(действительный, вырожденный в точку или мнимый). В частности, при
А = С получаем уравнение окружности.
2) Если АС = 0, то соответствующая кривая является параболой, которая
может вырождаться в две параллельные прямые (действительные
различные, действительные совпадающие или мнимые), если левая часть
уравнения не содержит либо х, либо у.
36
3) Если АС < 0, то соответствующая кривая является гиперболой, которая
вырождается в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения
(35) распадается на произведение двух множителей Ах2 + Су2 + 2Dх
+2Еу + F = (а1х + в1у + с1)(а2х + в2у + с2).
Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются
преобразованием уравнения (35) к виду А(х – х0)2 + С(у – у0)2 = f в случаях АС ≠ 0.
В случае невырожденных кривых переносом начала координат в точку О1(х0;у0)
полученное уравнение эллипса или гиперболы можно привести к каноническому
виду.
В случае АС = 0 имеем у = Ах2 + Вх + С или х = Ау2 + Ву + С.
Примеры решения задач.
3.16. Привести к каноническому виду уравнение параболы у = 9х2 –6х + 2.
2
1
1
1
1
◄ у = 9(х2 – х+ ) –1 +2. Отсюда у – 1 = 9(х– )2 и (х– )2 = (у – 1).
3
9
3
3
9
1
1
Вершина параболы находится в точке О1( ;1). Параметр р =
, а ветвь
3
18
параболы направлена в положительную сторону оси Оу.►
3.17. Какую линию определяет уравнение 4х2 + 9у2 – 8х –36у + 4 = 0 ?
◄ Преобразуем данное уравнение следующим образом:
4(х2 – 2х) + 9(у2 – 4у) = – 4; 4(х2 – 2х + 1 –1) + 9(у2 – 4у + 4 – 4) = –4;
4(х –1)2 + 9(у – 2)2 = 36. Произведем параллельный перенос осей
координат, приняв за новое начало точку О1(1;2). Воспользуемся
формулами преобразования координат: х = х1 + 1, у = у1 + 2. Относительно
новых осей уравнение кривой примет вид: 4х12 + 9у12 = 36 или
2
2
х1
у
 1  1. Таким образом, заданная кривая является эллипсом. ►
9
4
3.18. Какую линию определяет уравнение х2 – 9у2 + 2х +36у – 44 = 0?
◄ Преобразуем данное уравнение: (х2 + 2х +1–1) – 9(у2 – 4у + 4 – 4) = 44;
(х +1)2 – 9(у – 2)2 = 9. Произведем параллельный перенос осей координат,
приняв за новое начало точку
О1(– 1;2). Формулы преобразования
координат имеют вид: х = х1 – 1, у = у1 + 2. После преобразования координат
2
х1
2
2
2
 у1  1. Кривая является
получим уравнение х1 – 9у1 = 9 или
9
гиперболой. Асимптотами этой гиперболы относительно новых осей служат
1
прямые у1 = ± х1. ►
3
Задачи для самостоятельного решения.
158.
Установить какие кривые задаются следующими уравнениями. Построить
графики.
1) 36х2 + 36у2 – 36х – 24у – 23 = 0;
2) 16х2 + 25у2 – 32х + 50у – 359 = 0;
2
1 2 1 2
3)
х – у – х + у – 1 =0;
4
9
3
2
2
4) х + 4у – 4х – 8у + 8 = 0;
5) х2 – у2 – 6х + 10 = 0;
6) 2х2 – 4х + 2у – 3 = 0;
7) х2 – 6х + 8 = 0;
8) х2 + 2х + 5 = 0;
37
9) 2х2 + у2 + 4х – 6у + 11 = 0;
10) 25х2 – 30х + 9 = 0.
Контрольные работы
ВАРИАНТ № 1
1) М – точка пересечения медиан треугольника ABC. Найти AB , BC , AC, AM , если
известны координаты векторов MВ  (2; 1); MC  (3; 2).
2) Даны две соседние вершины параллелограмма А(-4;4), В(2;8) и точка М(2;2)
пересечения его диагоналей. Определить координаты двух других вершин.
3) Дан треугольник АВС: А(-1; 3), B(0; 4), C(-2; -2). Написать уравнение сторон
треугольника, медианы СС1 и высоты BK.
4) Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-1; 2; 7) и
перпендикулярной плоскости 7 x  2 y  3z  1  0 .
5) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (1; 2; 3); М 2 (2; 1; 3);
М 3 (0; -1; 2).
ВАРИАНТ № 2
1) Дан треугольник АВС. Векторы AB  a и AC  в приняты за базисные. Найти
2)
3)
4)
5)
координаты векторов BC и АМ , где М – середина стороны ВС.
Дан треугольник ABC с вершинами А(0; 0); B(2; 4); С(4; 10). Найти длину стороны
AB, координаты точки М – середины стороны АС и угол А треугольника.
Написать уравнение стороны AB и высоты CH треугольника ABC из предыдущей
задачи.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; –2; 3) перпендикулярно
плоскости x  y  2 z  11  0 .
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;–2;3) параллельно
плоскости с уравнением x  2 y  4 z  7  0 .
ВАРИАНТ № 3
1) Даны четыре точки А(0; 2); B(3; 1); C(–5; 3); D(2; 4). Найти координаты такой
точки Q, что QA  QB  QC  QD  0 .
2) Четырехугольник ABCD задан координатами вершин A(2; 5); B(–2; 2); C(–4;3);
D(3;–6). Найти угол между диагоналями четырехугольника.
x  2 y 1

3) Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой
, проходящей
3
2
через точку с абсциссой x = 3 прямой 2x – 3y + 7 = 0.
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(–3;1;0) параллельно
плоскости  : x  y  z  1  0 и  : 2 x  y  2  0 .
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
x  2 y 1 z  3
x 1 y  2 z  3
1 :




; 2 :
.
3
2
2
3
2
2
ВАРИАНТ № 4
1) Коллинеарны ли векторы m и n , если m  a  2в ; n  3a  в , где а  (1; 0; 1);
в  (-2; 3; 5)?
2) Даны две смежные вершины А(-3; 5) и B(1; 7) параллелограмма ABCD и точка О(1;
1) пересечения диагоналей. Определить координаты двух других вершин.
38
3) Даны точки М(1; 2); N(3; 4); P(–1; 6), являющиеся серединами сторон
треугольника. Найти уравнение сторон.
x  3 y 1 z


4) Написать уравнение прямой, параллельной прямой  :
и
2
1
2
проходящей через точку А(–1; 7; 2).
5) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат
параллельно вектору   (1; –1; 0) и перпендикулярна плоскости 2x – y + 3z – 1=0.
ВАРИАНТ № 5
1) АВСА1В1С1 – треугольная призма. Векторы АВ   1 , АС   2 , АА1   3 приняты за
2)
3)
4)
5)
базисные. Найти координаты вектора АМ 1 , где М1 – середина В1С1.
Дан треугольник АВС с вершинами А(0; –2); В(4; 6); С(2; 8). Найти длины сторон
АВ, АС, угол между медианой ВМ и стороной ВС.
Написать уравнение медианы AN и высоты AH, проведенных из вершины А
треугольника АВС из предыдущей задачи. Найти длину AH.
x y 1 z 1

Найти координаты точки пересечения прямой 
с плоскостью x +
2
1
2
2y – 3z +29 = 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1; 0; 1); В(0;–1; 2);
С(2; –1; 3).
ВАРИАНТ № 6
1) В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 векторы АВ   1 , АD   2 , АА1   3 приняты
2)
3)
4)
5)
за базисные. Найти координаты векторов С1С и ВС1 .
Задан треугольник АВС с вершинами А(1; 2); В(–1;2); С(7; 6). Найти длину
медианы АМ и косинус угла С треугольника.
В треугольнике АВС из предыдущей задачи написать уравнение высоты BH и
средней линии MN, параллельной АВ. Найти длину ВH.
x 1 y 1 z  3


Показать, что прямая
параллельна плоскости 2x + y – z = 0, а
2
1
3
x 1 y 1 z  3


прямая
лежит в этой плоскости.
2
1
3
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(0;–1;1)
x 1 y  2 z

 .
перпендикулярно прямой
2
3
4
ВАРИАНТ № 7
1) Даны координаты точек в декартовой системе координат А(1;–1; 2); В(2; 0; 3);
C(0; 1; –1).
Найти: а) скалярное произведение векторов АВ и СВ;
б) координаты вектора 2 АВ  3СВ  АС .
2) В треугольнике АВС известны координаты векторов:
АВ  (1;1; 2 ); ВС  ( 3; 3; 6 ). Найти угол А треугольника и его площадь.
3) Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0;–2) перпендикулярно
прямой  : 3x  2 y  2  0 .
x 1 y  2 z

 и
4) Проверить, совпадают ли прямые:  1 :
2
3
1
39
x  3 y  2 z 1


. Написать уравнение любой прямой, пересекающей обе
2
3
1
эти прямые.
5) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(–1;2;1) параллельно
плоскости, проходящей через точки А(–1;2;3); В(0;0;1); С(1;0;–1).
2 :
ВАРИАНТ № 8
1) Даны
координаты
2)
3)
4)
5)
векторов
в
декартовой
системе
координат
а  (0;3); в  (1;2); с  (2;3).
а) Изобразить эти векторы на плоскости.
б) Найти (à  â  ñ)  (3à - 2â  3ñ).
Найти площадь треугольника АВС, если А(2; 3;–1); В(3;–1; 2); С(–1; 2; 3).
В треугольнике АВС с вершинами А(2; 0); В(–2; 2); С(4; 0). Найти точку
пересечения медиан.
x 1 y 1
z
:


2
3
4
Убедиться, что прямые  и m параллельны:
.
y
x 1
z2
m:


4 6
8
Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно
этим прямым.
x 1 y z 1
 
Найти точку пересечения прямой  :
и плоскости, проходящей
2
3
1
через точки А(2;0;0); В(0;1;1); С(1;1;1).
ВАРИАНТ № 9
1) В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 являются серединами сторон ВС, АС, АВ
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
соответственно. Известно, что АВ = (2;6;–4); АС =(4;2;–2). Найти координаты
векторов АА1 , ВВ1 , СС1 .
Точки М(2; –1), N(1; 4); P(–2; 2) являются серединами сторон треугольника.
Определить его вершины.
Дан параллелограмм АВСD с центром симметрии М. Известно, что А(2; 1); В(–1;
0); М(–4; 3). Cоставить уравнения прямых АВ, ВС, СD и уравнение высоты ВH.
Найти проекцию точки Р(5;2;–1) на плоскость 2x – y + 3z + 23 = 0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; –3); N(3; 1; 1) и
перпендикулярно плоскости x – 2y + 3z – 5 = 0.
ВАРИАНТ № 10
Вычислить косинус угла между векторами a  b и a  b , если а = (1; 2; 1) и b =
(2; -1; 0).
В параллелограмме АВСD известны координаты трёх вершин А(3;1;2); В(0;–1;–1);
С(–1;1;0). Найти длину диагонали ВD.
Даны точки А(–3;1); В(3;9); С(7;6); D(–2;–6). Найти уравнение прямой,
перпендикулярной ВС и проходящей через точку пересечения прямых АС и ВD.
1 : 2 x  y  z  1  0
Найти расстояние между плоскостями
.
2 : 4x  2 y  2z  5  0
x 1 y  2 z  2


Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
2
3
2
перпендикулярно плоскости 3x + 2y – z – 5 = 0.
40
ВАРИАНТ № 11
1) Коллинеарны ли векторы m  2a  4b и n  3b  a , если а = (1; –2; 3); b = (3; 0; –1).
2) На оси Oх найти точку, равноудаленную от точек А(0; 6) и В(3; 1).
3) Cоставить уравнение прямой, которая проходит через точку А(5; 2) и
перпендикулярна прямой, проходящей через точки М(1; 2) и N(2;–1).
4) Найти проекцию точки А(1;–2;1) на плоскость x + 2y – 3z + 1 = 0.
5) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М0(1;0;3),
x 1 y z
  и перпендикулярна плоскости 3x – 2y = 0.
параллельна прямой
1
2 3
1)
2)
3)
4)
5)
ВАРИАНТ № 12
Даны два вектора а = (3;1) и b = (-1;2). Найти вектор x , удовлетворяющий
условиям x  a  7; x  e  7.
На оси Oу найти точку С, равноудаленную от точек А(1; 2) и В(5; 4). Найти
площадь треугольника АВС.
В треугольнике АВС известны координаты вершины А(3; 3), уравнение высоты
ВВ1: х + у – 8 = 0 и уравнение стороны ВС: у – 6 = 0. Найти координаты точек В и
С и уравнения сторон АС и АВ.
Найти точку, симметричную точке А(1; 1;–2) относительно плоскости 2x + y + z –
13 = 0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат
 : 2x  y  z  1  0
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 1
.
 2 : 3x  2 y  z  5  0
ВАРИАНТ № 13
1) В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 7; ВС = 4; АС = 5. Найти
скалярное произведение АС  ВС .
2) Найти величину угла между диагоналями АС и ВD прямоугольника АВСD, если
известно А(3;3;–3); В(2;5; –1) и вершина С лежит на оси Oy.
3) В треугольнике АВС даны А(–9; 3); В(7; 5). Высоты треугольника пересекаются в
точке К(6; 3). Составить уравнения сторон треугольника.
4) Найти расстояние от точки S(4; 1; –2) до плоскости x + 2y – z – 14 = 0.
x 1 y 1 z


5) Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
2
1 3
x 1 y 1 z

 .
параллельно прямой
3
1
3
ВАРИАНТ № 14
1) Даны пять точек А(–1; 1; 2); В(3;–2; 0); С(0; 2; 1); D(–1;–1; 1); Е(1;0;2). Найти
координаты векторов А1С1 , D1 В1 , Е1 А1 .
Выяснить являются ли они
компланарными, если А1, В1, С1, D1, Е1 – середины отрезков АВ, ВС, СD, DЕ, ЕА
соответственно.
2) Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; 1); В(4; 1;–2); С(6; 3; 7); D(–5;–4; 8).
Перпендикулярна ли медиана АВС , проведенная из вершины А, средней линии
DВА , параллельной стороне ВС? Если нет, то найти косинус угла между ними.
3) Составить уравнение прямой  , проходящей между параллельными прямыми m1:
3x – 2y – 1 = 0 и m2: 3x – 2y – 13 = 0 на равных расстояниях.
41
4) Даны вершины АВС : А(3; 6;–7); В(–5; 2; 3); С(4;–7;–2). Составить уравнение
медианы СС1. Найти координаты двух каких-либо точек этой прямой, отличных
от С.
5) Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 0;–1)
перпендикулярно плоскости Oxy и плоскости 2x – y + 5z – 20 = 0.
ВАРИАНТ № 15
1) Даны векторы а  (4;–2;–4); в  (6;–3; 2). Вычислить (2à  3â)(à  2â).
2) Найти длину средней линии треугольника АВС, параллельной АС, если А(2; –4; 3);
В(4; 1; 2); С(0; 4; –8).
x  4 y 1

3) Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой
и проходящей
2
1
через точку пересечения прямых x + 2y – 5 = 0 и 2x – 5y +17 = 0.
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точку с ординатой y = -4 прямой
y
x 1 y  2 z  4
x4
z3




и параллельной прямой
.
3
1
2
2
1  7
5) Найти точку Q, симметричную точке Р(3;-4;-6) относительно плоскости,
проходящей через точки А1(-6; 1; -5); А2(7; -2; -1); А3(10; -7 ;1).
ВАРИАНТ № 16
1) В параллелограмме АВСD точка О – точка пересечения диагоналей.
Найти: а) АО  DО  DА ; б) координаты векторов ОD и DС в базисе,
состоящем из векторов АВ и ВС .
2) Найти координаты центра и радиус окружности, проведенной через точки А(5; 4),
В(3; 8), С(–2 –7).
3) Найти основание высоты, опущенной из вершины треугольника АВС, если А(1; 2),
В(–1; 3), С(0; 2).
4) и 5) Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые:
x 1 y z 1
x 1 y z 1
:
 
 
и m:
и уравнение прямой, проходящей через точку
2
3
4
1
2
1
пересечения прямых  и m перпендикулярно построенной плоскости.
1)
2)
3)
4)
5)
ВАРИАНТ № 17
Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Векторы АВ  с1 , АС  с 2 , АА1  с3
приняты за базисные. О – точка пересечения медиан треугольника АВС, М1 –
середина В1С1. Найти координаты вектора ОМ 1 .
Даны точки А(0; 4), В(–2; 6), С (8; 2). Найти такую
точку D, чтобы
четырехугольник АВСD был параллелограммом. Вычислить длины его
диагоналей и угол между ними.
Написать уравнение прямой АВ и перпендикуляра, опущенного из точки D на
прямую АС в параллелограмме АВСD из предыдущей задачи.
x y3 z2

Найти уравнение проекции прямой: 
на плоскость 2x + 3y – z – 5
2
1
2
= 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно линии пересечения двух плоскостей x – y + z – 11 = 0 и 2x + y –
3z + 2 = 0.
42
ВАРИАНТ № 18
1) Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Приняв векторы АВ, АС, АА1 за базисные,
2)
3)
4)
5)
найти координаты вектора МА , где М – центр параллелограмма ВСС1В1, N – точка
пересечения медиан треугольника А1В1С1.
Задан треугольник АВС: А(3;5;–4), В(–1;1;2), С(–5;–5;–2). Найти углы
треугольника, длины медиан и углы между медианами.
В треугольнике АВС известны уравнения медианы ВВ1: 2x + 3y = 0 и высоты ВК:
2x – 3y +12 = 0 и вершина С(4;–1). Написать уравнения сторон АС и ВС.
Даны вершины параллелограмма А(3;0;–1), В(1;2;–4), С(0;7;–2). Написать
уравнения сторон АD и СD и диагоналей параллелограмма.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;–1;1)
перпендикулярно плоскости:  : 2 x  9 y  z  7  0 .
ВАРИАНТ № 19
1) Основанием
пирамиды
SАВСD
является
параллелограмм
АВСD.
Приняв SA  а, SB  в, SC  c за базисные, найти координаты векторов SD , SМ ,
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
МВ в этом базисе, где М – середина отрезка АD.
В треугольнике АВС известно: А(1;–1;2); В(5;–6;2); С(1;3;–1). Вычислить медиану
СС1 и угол АСС1.
Даны вершины треугольника АВС: А(3;2); В(5;–2); С(1;0). Найти уравнение
стороны АВ, медианы СС1 и высоты ВH.
Найти расстояние между плоскостями 2x + y – 3z + 2 = 0 и 2x + y – 3z + 8 = 0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; -3); N(0; 2; -1)
параллельно оси Оx.
ВАРИАНТ № 20
В параллелограмме АВСD даны координаты трех вершин: А(–1;2;0), В(2;0;1),
С(0;–1;0). Найти: а) координаты четвертой вершины и точку пересечения
диагоналей; б) АВ  ВС .
В треугольнике АВС известны координаты его вершин: А(6; 4); В(10;-4); С(2; 0).
Найти косинус угла между стороной АВ и медианой, проведенной из вершины В.
Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А перпендикулярно
медиане АА1 треугольника АВС, если А(1; 2); В(-1; 0); С(0; 3).
и 5) Даны вершины пирамиды SАВС: S(2;1;11); А(0;0;2); В(–1;2;0); С(1;2;–1).
Найти уравнение и длину высоты, опущенной из вершины S на основание АВС.
43
ТЕСТЫ
Вариант № 1
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена
точкой М в отношении 1 : 4, считая от точки А.
Тогда разложение вектора ÑÌ по векторам
à  ÑÀ и b  ÑB имеет вид
4
1
4
1
à  b ; б) 4à  b ; в) à  b ;
5
5
5
5
1
4
г) à  b ; д) à  4b
5
5
а)
№ 2. Если единичный вектор à образует равные
тупые углы с базисными ортами i, j , k , то
à)  1; á)  2; â)  3; ã) 
сумма координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  2i  j  8k , b  4i  2 j  3k и
ä)  2 3
à)  2; á)  3; â)
c  3i  4 j +12k . Проекция вектора à  2b на
3
;
3
2
; ã) 2; ä) 3
13
ось вектора c равна
№ 4. Если à è b – единичные векторы, и
1
1
а) – 1; б)  ; в) ; г) 1; д) 2
2
2
à  b  3 , то скалярное произведение
(3à  4b)(à  b) равно
№ 5. Если à  3, b  1 , а угол между
а) 4 (кв. ед.); б) 4,5 (кв. ед.);
в) 5 (кв. ед.);
г) 5,5 (кв. ед.); д) 6 (кв. ед.)
векторами à и b равен 60 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
à  b и 2à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  3, b  3, c  2 , то смешанное
0
а) 8; б) 24; в) 28; г) 18; д) 16
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами А (2; 3; 1) ,
В(4; 1;–2), С(6; 3; 7) и D(– 4;–3;7) равен
№ 8. Угловой коэффициент прямой
5 õ  4 ó  2  0 равен
а) 40; б) 42; в) 44; г) 46; д) 48
а)
№ 9. Если точка Q находится на отрезке,
соединяющем точки А (–1; 5) и В (2;–1), и
AQ  2  QB , то сумма координат точки Q равна
44
3
4
5
4
5
; б)  ; в)  ; г) ; д)
4
5
4
5
4
а) 2; б) 2,5; в) 3; г) 3,5; д) 4
№ 10. Если векторы (2;–1; 5) и (4; 3;–1)
параллельны плоскости Ах+Ву+5z+1=0, то
сумма А + В равна
№ 11. Если прямая с направляющим вектором
(1;–5;–1) параллельна плоскости
А(х–1) –3 (у –2) + 3(z + 4) = 0, проходящей
через точку (1; 4; п), то сумма А+ п равна
№ 12. Косинус угла между прямыми
x 1 y 1 z

 и x  5t  4, y  2t , z  t  1
2
1
5
равен
№ 13. Сумма координат точки пересечения
x  12 y  9 z  1


прямой
с плоскостью
4
3
7
3 õ  5 ó  z  20  0 равна
5 õ  ó  3z  7  0
№ 14. Прямая 
2 õ  ó  3z  7  0
x  3 y  2 z 1


и
1
3
4
x  2 y 1 z  5


2
6
8
№ 15. Прямые
№ 16. Одна из асимптот гиперболы
x2 y2

1
9
4
имеет уравнение
а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5
а) 8; б) –14; в) 6; г) –8; д) 3
а) 0,3; б) 0,15; в) 0,1; г) 0,2; д) 0,25
а) 24; б) –24; в) –20; г) 20; д) 22
а) лежит в плоскости ( xz );
б) лежит в плоскости ( yz );
в) лежит в плоскости ( xy );
г) параллельна плоскости x  z ;
д) параллельна плоскости x  y
а) совпадают;
б) параллельны;
в) пересекаются и не
перпендикулярны;
г) пересекаются и перпендикулярны;
д) скрещиваются
2x
3x
а) y  2 x ;
б) y  
; в) y 
;
3
2
4x
г) y  
; д) y  3 x
9
№ 17. Центр кривой x2  2 y 2  2 x  0
находится в точке
а) (0; –1);
г) (1; 0);
№ 18. Центр эллипса совпадает с началом
координат. Если его фокус лежит в точке (0; 1)
и вершина в точке (2; 0), то уравнение эллипса
имеет вид
а) 2 x2  y 2  8 ;
б) (0; 2);
д) (2; 0)
в) (–1; 0);
б) x2  2 y 2  4 ;
в) 5x2  4 y 2  20 ; г) 3x2  2 y 2  12 ;
д) 3x2  y 2  12
Вариант № 2
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона ВС разделена
точкой D в отношении 2 : 3, считая от точки В.
Тогда разложение вектора ÀD по векторам
45
3
2
3
2
а)  à  b ; б) à  b ;
5
5
5
5
в) 2à  3b ; г) 3à  2b ; д) 3à  2b
à  ÀB и b  AÑ имеет вид
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 300 , а с базисными
ортами j è k – равные острые углы, то сумма
2 3
2 3
; á)
; â)
2
3
2 3
32
; ä)
4
2
à)
ã)
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  4i  j +4k , b  i  6 j + 8k и
c  3i  5 j -2k . Проекция вектора b  c на ось
à)
3 1
;
2
12
13
14
15
16
; á)
; â) ; ã)
; ä)
11
11
11
11
11
вектора a  c равна
№ 4. Если à =2, b  3, è à  b  3 , то
а) – 2; б) –1; в) 1; г) 2; д) 3
скалярное произведение (à  2b)(à  b) равно
№ 5. Если à  b  1 , а угол между векторами
à и b равен 1500 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
2à  b и à  2b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  3, b  5, c  3 , то смешанное
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами А (4; 3; 0) ,
В(–1; 2; 1), С(3; 4; 1) и D(5; 6; 2) равен
№ 8. Если 3 õ  bó  c  0 – уравнение прямой,
проходящей через точку А (2; 4)
перпендикулярно отрезку ВС, где В(–2;–1),
С(4; 1), то b+ c равно
№ 9. Значение меньшего угла между прямыми
2 õ  3 ó  10  0 и õ  2 ó  6  0 находится в
промежутке
№ 10. Если плоскость 3х+ Ву + Сz+ D =0
параллельна плоскости 3õ  8 ó  z  4  0 и
проходит через точку (–4; 1; 3), то сумма
В + С + D равна
а) 1,5 (кв. ед.); б) 2 (кв. ед.);
в) 2,5 (кв. ед.);
г) 3 (кв. ед.); д) 3,5 (кв. ед.)
а) 50; б) 55; в) 45; г) 60; д) 30
а)
1
1
2
5
4
; б) ; в) ; г) ; д)
3
2
3
6
3
а) – 8; б) – 9; в) – 10; г) – 11;
д) – 12
а) (00; 300); б) (300; 450);
в) (450; 600);
0
г) (60 ; 900); д) (900; 1200)
а) 13;
б) 14;
в) 15;
г) 16;
д) 17
№ 11. Сумма координат всех точек пересечения
плоскости 2 õ  4 ó  3z  12  0 с осями
координат равна
а) 1;
б) 2;
в) 3;
г) 4;
д) 5
x 1 y 1 z  2


и
7
0
1
плоскостью 3õ  4z  5  0 равен
а) 300;
№ 12. Угол между прямой
46
б) 00;
в) 900; г) 450; д) 600
3õ  ó  z  1  0
№ 13. Прямая 
параллельна
õ  3ó  z  4  0
плоскости Ax  y  2 z  1  0 при А, равном
а) – 9; б) 7; в) – 8; г) 8 д) 4
а) параллельна оси Ох;
б) параллельна оси Оу;
в) параллельна оси Оz;
г) параллельна плоскости x  z ;
д) пересекает ось Ох
а) совпадают;
б) параллельны;
в) пересекаются и не
перпендикулярны;
г) пересекаются и перпендикулярны;
д) скрещиваются
2 ó  3 z  4  0
№ 14. Прямая 
5 ó  4 z  1  0
x  2 y 1 z

 и
4
1
2
x  5 2y  4 z  8


2
1
1
№ 15. Прямые
x2 y 2

1
25 16
а) (4; 0);
г) (0; 5);
б) (0; – 4);
д) (–3; 0)
№ 17. Центр кривой 2 x2  y 2  4 x  1  0
находится в точке
а) (0; –2);
г) (2; 0);
б) (0; 1);
д) (1; 0)
№ 18. Центр гиперболы совпадает с началом
координат. Если её фокус лежит в точке (2; 0) и
вершина в точке (–1; 0), то уравнение
гиперболы имеет вид
а) 3x2  2 y 2  3 ; б) x2  2 y 2  1 ;
№ 16. Один из фокусов эллипса
расположен в точке
в) (0; – 3);
в) (–2; 0);
в) 2 x2  3 y 2  2 ; г) x2  3 y 2  1 ;
д) 3x2  y 2  3
Вариант № 3
Задания
Варианты ответов
а) 3à  b ;
б) 3à  b ;
№ 1. В треугольнике АВС сторона АС
разделена точкой М в отношении 3 : 1, считая от в) 1 à  3 b ; г) 3 à  1 b ;
4
4
4
4
точки А. Тогда разложение вектора BM по
д) à  3b
векторам à  BC и b  BA имеет вид
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 450 , а с базисными
ортами j è k – равные тупые углы, то сумма
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  0,5i  3 j +3k , b  3i  j + 5k и
c  4i  j +4k . Проекция вектора à на ось
1 2
1 2
2 2
; á) ; â)
;
2
2
2
2 2
2 1
ã)
; ä)
2
2
à)
а) – 3;
б) – 2;
а) 12;
б) 18;
в)
1
;
4
г) 2;
д) 4
г) 14;
д) 10
вектора 2b  c равна
№ 4. Если à =3, b  2 è à  b  15 , то
скалярное произведение (2à  b)(à  b) равно
47
в) 16;
№ 5. Если à  2, b  2 , а угол между
векторами à и b равен 450 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
3à  b и à  3b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют
правую тройку взаимно перпендикулярных
векторов и à  2, b  8, c  3 , то смешанное
а) 12 (кв. ед.); б) 14 (кв. ед.);
в) 16 (кв. ед.); г) 18 (кв. ед.);
д) 20 (кв. ед.)
а) 40; б) 42; в) 44; г) 46; д) 48
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами А (3;1;1),
В(1; 4; 1), С(1; 1; 6) и D(3; 4; 9) равен
а) 10; б) 11; в) 12; г) 13; д) 14
№ 8. Если уравнение прямой с угловым
коэффициентом k = –0,2, проходящей через
точку М (–3; 5) записано в виде õ  by  c  0 , то
b  c равно
№ 9. Расстояние от точки М(2;–2) до прямой
1
y   x  2 равно
3
а) – 15; б) – 16; в) – 17; г) – 18;
д) – 19
а) 3;
б) 10 ;
д) 13
№ 10. Если плоскость 2х – у + 6z+ D =0
перпендикулярна вектору (а; 1; b) и
параллельна вектору (–1;1; с), то сумма
а + b + c равна
в) 11 ;
г) 2 3 ;
а) – 7,5;
б) – 8; в) – 8,5;
г) – 9; д) – 9,5
x 1 y  2 z  4


2
8
4
перпендикулярна плоскости  x  By  Cz  6  0
и проходит через точку (1; т; п), то сумма В + С
+ т + п равна
№ 11. Если прямая
а) 1;
№ 12. Косинус угла между плоскостями
4 õ  5 y  3z  1  0 и õ  4 y  z  9  0 равен
№ 13. Сумма координат точки пересечения
x 1 y  3 z  5


прямой
с плоскостью
1
4
2
3õ  y  2 z  7  0
б) 2;
а) 0,7;
а) 4;
б) 2;
в) 3;
г) 4;
д) 5
б) 0,65; в) 0,75;
г) 0,8; д) 0,85
в) 5;
г) – 2
д) – 14
а) лежит в плоскости ( xz );
б) лежит в плоскости ( yz );
в) лежит в плоскости ( xy );
г) проходит через начало
координат;
д) лежит в плоскости x  y  z  1
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и
2 x  3 y  5 z  0
№ 14. Прямая 
x  y  4z  0
№ 15. Прямые
x  2t  3, y  2t  2, z  4t  6 и
x  t  5, y  4t  1, z  t  4
48
перпендикулярны
№ 16. Директриса параболы y 2  12 x
имеет уравнение
а) y  6 ;
б) x  3 ; в) x  3 ;
г) y  3 ;
д) x  6
№ 17. Центр кривой 2 x2  y 2  16 x  0
находится в точке
а) (2; 0);
б) (– 4; 0);
в) (0; 2);
г) (0; 4);
д) (– 2; 0)
№ 18. Центр эллипса совпадает с началом
координат. Если его фокус лежит в точке (0; 2)
и вершина в точке (1; 0), то уравнение эллипса
имеет вид
а) 5x2  y 2  5 ; б) 2 x2  y 2  2 ;
в) 3x2  y 2  3 ; г) 3x2  2 y 2  3 ;
д) 5x2  2 y 2  5
Вариант № 4
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона ВС разделена
точкой D в отношении 3 : 4, считая от точки B.
Тогда разложение вектора AD по векторам
à  AB и b  AC имеет вид
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 1350 , а с базисными
ортами j è k – равные острые углы, то
сумма координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  3i  2 j +4k , b  i  j + 3k и
c  4i  4 j  2k . Проекция вектора 2à  b на
а) 4à  3b ;
б) 3à  4b ;
4
3
3
4
в)  à  b ; г) à  b ;
7
7
7
7
4
3
д) à  b
7
7
1 2
2 1
2 2
; á)
; â)
;
2
2
2
2 2
22
ã)
; ä)
2
2
à)
а) – 3;
б) – 2;
в)
1
;
6
г) 2;
д) 3
ось вектора c равна
№ 4. Если à =2, b  4 è à  b  26 , то
а) – 22;
скалярное произведение (à  b)(3à  2b) равно
№ 5. Если à  3, b  2 , а угол между
векторами à и b равен 135 , то площадь
треугольника, построенного на векторах 5à  b
и à  5b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  3, b  4, c  5 , то смешанное
0
произведение à b c равно
49
б) – 23; в) – 24;
д) 26
г) 25;
а) 33 (кв. ед.); б) 35 (кв. ед.);
в) 36 (кв. ед.);
г) 38 (кв. ед.); д) 39 (кв. ед.)
а) 30;
б) 40;
в) 60;
г) 56;
д) 64
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (–4;–4;–3), В(–2;–1;1), С(2;–2;–1) и
D(–1; 3;–2) равен
а) 10;
№ 8. Если прямая y  2 õ  6 параллельна
прямой 2 õ  by  c  0 , проходящей через точку
(–2;–1) то b  c равно
№ 9. Значение меньшего угла между прямыми
3
y  2 õ  8 è y  x  3 находится в
4
промежутке
№ 10. Если плоскость Ax  2 y  3z  D  0
проходит через точки (2;–6; 3) и (3;–2; 1), то
сумма А+D равна
а) 14;
а) 1;
б) 2;
а) 1;
№ 12. Косинус угла между прямыми
x  7 y z 1
 
и
2
4
2
õ  4t  2, y  2t  3, z  2t  7 равен
а)
№ 13. Прямая x  mt  1, y  3t  1, z  4  2t
параллельна плоскости 2 õ  3 y  z  8  0 при т,
равном
а) 3;
б) 2;
1
;
3
в) 30;
б) 10;
а) (00; 300);
в) (450; 600);
д) (900; 1200)
№ 11. Расстояние между точками пересечения
плоскости 4 x  3 y  6 z  12  0 с осями Ох и Оу
равно
б)
1
;
4
б) 3,5;
г) 40;
в) 8;
д) 50
г) 6;
д) 2
б) (300; 450);
г) (600; 900);
в) 3;
г) 4;
в) 3;
г) 4;
в)
1
;
5
г)
д) 5
д) 5
1
;
6
в) 5; г) 2,5
д)
1
7
д) 5,5
а) параллельна плоскости x  z ;
б) лежит в плоскости ( xz );
в) параллельна плоскости x  y ;
г) лежит в плоскости ( xy );
д) параллельна плоскости
x  y  z 1
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
3x  y  z  0
№ 14. Прямая 
3x  y  6 z  2  0
x y 1 z

 è
1
2
3
3x  y  5 z  1  0

2 x  3 y  8 z  3  0
№ 15. Прямые
№ 16. Эксцентриситет гиперболы
б) 20;
õ2 y 2

1
9 16
равен
№ 17. Центр кривой x2  2 y 2  4 ó  3  0
находится в точке
50
а)
16
;
9
а) (1; 0);
г) (0; 2);
б)
9
;
16
в)
5
;
3
б) (– 1; 0);
д) (0; 1)
г)
4
;
3
д)
5
4
в) (0; – 2);
№ 18. Вершина параболы совпадает с началом
координат. Если ее фокус лежит в точке (1; 0),
то уравнение параболы имеет вид
а) y 2  2 õ ; б) y 2  4 õ ; в) x2  2 y ;
г) x2  4 y ;
Вариант № 5
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена
точкой М в отношении 2 : 1, считая от точки А.
Тогда разложение вектора ÑÌ по векторам
à  ÑB и b  ÑÀ имеет вид
а)
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 300 , а с базисными
ортами j è k – равные тупые углы, то сумма
à)
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  3i  2 j +3k , b  i  3 j + k и
c  5i  4 j +3k . Проекция вектора b  ñ на ось
2
1
à  b ; б) 2à  b ; в) à  2b ;
3
3
1
2
г) à  b ;
д) 2à  b
3
3
ã)
2 3
3 2
; á)
; â)
2
2
32
1 3
; ä)
2
2
а) 5;
б) 6;
в) 7;
г) – 6;
3 1
;
2
д) – 7
вектора à  b равна
№ 4. Если à = 3, b  2 è à  b  3 , то
скалярное произведение (à  b)(2à  3b) равно
№ 5. Если à  b  2 , а угол между векторами
à и b равен 300 , то площадь треугольника,
построенного на векторах 3à  b и à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  4, b  3, c  3 , то смешанное
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (– 3;–3;–3), В (2;–1;–3), С(– 1; 2;–3) и
D (–2;–1;1) равен
№ 8. Если прямая õ  by  c  0
перпендикулярна прямой õ  y  2  0 и
проходит через точку А (–1; 3) то b  c равно
№ 9. Расстояние между прямыми 2 õ  y  3  0
и 2 õ  y  2  0 равно
51
а) –10;
б) – 5;
в) 5;
г) 3;
д) – 3
а) 2 (кв. ед.); б) 3 (кв. ед.);
в) 4 (кв. ед.); г) 5 (кв. ед.);
д) 6 (кв. ед.)
а) 18;
б) 36;
в) 40;
а) 10;
б) 12;
в) 14;
а) – 8;
а) 6;
б) 8;
б)
г) 80;
в) –7;
6;
в) 5;
д) 3
д) 60
г) 16;
д) 18
г) 1;
д) –1
г)
5;
№ 10. Если плоскость
2  x  2  B  y  m  C  z  3  0 проходит
через точку (2;– 8; 1) и перпендикулярна
вектору (1; –2; 3), то сумма В + С + т равна
№ 11. Если А (2; т; п) – точка, лежащая на
 x  4t  2

прямой  y  t  3 то, сумма ее координат
 z  2t  1

равна
№ 12. Угол между прямой y  2 x  1, z   x  2
и плоскостью 2 õ  y  z  4  0 равен
x 1 y 1 z


4
n
1
перпендикулярна плоскости Aõ  2 y  z  1  0 ,
если
№ 13. Прямая
2 x  3 y  4 z  1  0
№ 14. Прямая 
8 x  y  2 z  4  0
№ 15. Прямые x  3t  2, y  t  1, z  t  3 и
x  2t  1, y  0, z  t  1
а) 6;
б) – 6;
в) 3;
г) –5;
б) 2;
в) 3;
г) 4;
а) 1;
а) 450;
д) 7
д) 5
б) 600; в) 00; г) 300;
д) 900
 A  2
A  2
A  1
а) 
; б) 
; в) 
;
n  1
n  4
n  2
 A  4
A  2
г) 
; д) 
n  3
n  2
а) пересекает ось Ох;
б) пересекает ось Оу;
в) пересекает ось Оz;
г) лежит в плоскости Î xy ;
д) лежит в плоскости Î yz
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
№ 16. Фокус параболы õ2  4 y расположен в
точке
а) (4; 0);
г) (0; 1);
№ 17. Центр кривой x2  y 2  6 x  3  0
находится в точке
а) (0; 5);
г) (– 3; 0);
б) (0; – 4);
д) (–3; 0)
в) (0; – 3);
б) (0; 2);
д) (3; 0)
в) (0; – 2);
№ 18. Центр гиперболы совпадает с началом
а) 2 y 2  õ2  2 ; б) 3 y 2  x2  3 ;
координат. Если ее фокус лежит в точке (0;–3), а
2
2
2
2
вершина в точке (0; 1), то уравнение гиперболы в) 6 y  x  6 ; г) 8 y  x  8 ;
имеет вид
д) 4 y 2  x2  4
Вариант № 6
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона СА разделена
точкой D в отношении 3 : 2, считая от точки С.
Тогда разложение вектора BD по векторам
à  BA и b  BC имеет вид
52
а) 3à  2b ; б) 2à  3b ; в)
г) 3à  2b ;
д)
3
2
à b
5
5
3
2
à b;
5
5
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 1200 , а с базисными
ортами j è k – равные острые углы, то сумма
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы
à  6i  j -3k , b  2i  4 j + 3k и c  3i  j -5k .
Проекция вектора b на ось вектора à  3c равна
№ 4. Если à и b – единичные векторы, и
à  b  3 , то скалярное произведение
3 1
;
2
2 1
;
2
6 1
3 2
ã)
; ä)
2
2
15
14
14
а)  ; б)  ; в) 1; г)
;
13
13
13
15
д)
13
à) 1;
á)
а) 2;
б) 3;
в) 4;
â)
г) 5;
д) 6
(3à  b)(à  b) равно
№ 5. Если à  1, b  2 3 , а угол между
векторами à и b равен 120 , то площадь
треугольника, построенного на векторах 2à  b
и à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  5, b  2, c  3 , то смешанное
0
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (–1; 1; 2), В (0; 3; 3), С (4; 5;–1) и
D (2; 1; 4) равен
а) 4 (кв. ед.); б) 3 (кв. ед.);
в) 3,5 (кв. ед.);
г) 4,5 (кв. ед.); д) 5,5 (кв. ед.)
а) 30;
а) 6;
б) 35;
в) 40;
г) 45;
д) 60
б) 7;
в) 8;
г) 9;
д) 10
№ 8. Если y  kõ  b – уравнение прямой с
направляющим вектором p (3; 2) , проходящей
через точку М (2;–1) то к – b равно
№ 9. Сумма координат точки пересечения
прямых õ  3 y  2  0 è 4 x  y  5  0 равна
а) 1;
б) 2;
в) 3;
г) 4;
д) 5
а) 2;
б) 1;
в) 0;
г) – 1;
д) – 2
№ 10. Если точки (2; 8;–1), (–2; 8; 3) и
(1; 6; 5) лежат в плоскости с нормальным
вектором (2; В; С), то сумма В + С равна
а) 7;
б) 8;
в) 9;
г) 10;
д) 11
№ 11. Если прямая с направляющим вектором
(–7;–4; 2) параллельна плоскости
2  x  3  B( y  2)  ( z  4)  0 , проходящей
через точку (т; 2; 12), то сумма В + т равна
а) – 8;
№ 12. Косинус угла между прямыми
x
y2 z7


и õ  4  z , y  2  4 z равен
4
5
3
53
а) 0,2;
б) – 3;
в) 6;
г) – 9;
б) 0,3; в) 0,4;
д) 0,6
д) 12
г) 0,7;
№ 13. Сумма координат точки пересечения
x2 y 5 z 3


прямой
с плоскостью
3
1
2
õ  2 y  3z  16  0 равна
x  y  z  1  0
№ 14. Прямая 
x  7 y  z  1  0
x 1 y  3 z  5


è
2
1
3
x  3 2 y  4 2 z  16


1
1
3
№ 15. Прямые
№ 16. Один из фокусов гиперболы
y 2 õ2

1
16
9
расположен в точке
а) 0;
б) 2;
в) – 2;
г) 8;
д) 10
а) параллельна плоскости x  y ;
б) лежит в плоскости ( xy );
в) параллельна плоскости x  z ;
г) параллельна плоскости y  z ;
д) лежит в плоскости ( xz )
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
а) (0; 4);
г) (0; – 5);
б) (– 4; 0);
д) (5; 0)
в) (– 3; 0);
№ 17. Центр кривой 2 y 2  3x2  6 x  5  0
находится в точке
а) (1; 0);
г) (0; – 2);
№ 18. Центр эллипса совпадает с началом
координат. Если его фокус лежит в точке
(–1; 0), а вершина в точке (0;1), то уравнение
эллипса имеет вид
а) 3x2  2 y 2  2 ; б) 2 x2  3 y 2  3 ;
б) (3; 0);
д) (0; – 3)
в) (– 3; 0);
в) x2  3 y 2  3 ; г) x2  2 y 2  2 ;
д) 2 x2  y 2  1
Вариант № 7
Задания
Варианты ответов
5
3
à  c ; в) 3à  5c ;
8
8
5
3
г) 5à  3c ;
д) à  c
8
8
№ 1. В треугольнике АВС сторона СВ разделена
точкой М в отношении 3 : 5, считая от точки С.
Тогда разложение вектора AÌ по векторам
à  AÑ и c  ÀB имеет вид
а) 5à  3c ;
б)
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 600 , а с базисными
ортами j è k – равные тупые углы, то сумма
à)
1 6
;
2
á)
ã) 1;
координат вектора à равна
ä)
6 1
;
2
вектора a  3ñ на ось вектора b равна
№ 4. Если à =2, b  4 è à  b  12 , то
скалярное произведение (2à  3b)(à  b) равно
54
а) – 2;
3 2
;
2
3 1
2
№ 3. Даны векторы a  4i  5 j +2 k ,
b  7i  6 j -6 k и c  2i  j -2k . Проекция
â)
б) – 1;
в)
3
;
11
г) 2;
д) 3
а) – 40; б) – 36; в) – 52; г) 50; д) 54
№ 5. Если à  b  2 , а угол между векторами
à и b равен 1500 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
3à  2b и à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  6, b  3, c  4 , то смешанное
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (4; 2; 2), В (2; 5; 2), С(2; 2; 7) и
D (4; 5; 10) равен
№ 8. Если õ  by  c  0 – уравнение прямой,
проходящей через точки
õ  4, y  0 è x  0, y  2, то b  c равно
№ 9. Расстояние от точки М (– 1;–1) до прямой
õ2 y 4

равно
2
1
№ 10. Если (1;–2;1) – нормальный вектор
плоскости 3x  By  Cz  D  0 , проходящей
через точку (2;–1;–3), то сумма В+С+D равна
№ 11. Если сумма координат всех точек
8
пересечения плоскости x  4 y  2 z  8  0 с
m
осями координат равна 5, то т равно
№ 12. Угол между двумя плоскостями
x  2 y  z  7  0 è 6x  3 y  3z  18  0 равен
3x  2 y  z  7  0
№ 13. Прямая 
параллельна
4 x  3 y  4 z  1  0
плоскости 2 õ  y  Cz  2  0 при С равном
а) 6 (кв. ед.); б) 7 (кв. ед.);
в) 8 (кв. ед.);
г) 10 (кв. ед.); д) 12 (кв. ед.)
а) 36;
б) 44;
а) 9;
б) 10;
а) 1;
в) 56;
в) 11;
б) 2;
б) 3;
г) 1, 6 5 ;
д) 1,8 5
а) 1;
а) 00;
а) – 2;
д) 13
г) 4;
д) 5
в) 1, 4 5 ;
б) – 6;
в) – 7;
д) – 9
б) 2;
д) 72
г) 12;
в) 3;
а) 1, 2 5 ;
а) – 5;
г) 64;
в) 3;
г) – 8;
г) 4;
д) 5
б) 300; в) 450; г) 600;
д) 900
б) – 3;
в) 2;
г) 3;
д) 1
а) пересекает ось Ох;
б) пересекает ось Оу;
в) пересекает ось Оz;
г) перпендикулярна оси Ох;
д) перпендикулярна оси Оу
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются;
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
x  3y  2z  9  0
№ 14. Прямая 
3x  y  4 z  3  0
x  2 y  z  4
№ 15. Прямые 
и
2 x  y  z  0
3 õ  12 y  3 3 z


1
1
5
55
õ2 y 2

1
№ 16. Эксцентриситет эллипса
25 16
равен
4
;
3
5
д)
4
№ 17. Центр кривой x2  y 2  2 x  4 y  0
находится в точке
а) (– 1; 0);
г) (2; 4);
№ 18. Центр гиперболы совпадает с началом
координат. Если ее фокус лежит в точке (–3; 0),
а вершина в точке (2; 0), то уравнение
гиперболы имеет вид
а) 5x2  4 y 2  20 ; б) 2 x2  y 2  8 ;
а)
3
;
4
б)
в)
3
;
5
4
;
5
г)
б) (– 2; 0); в) (– 1;– 2);
д) (1; 2)
в) 2 x2  3 y 2  20 ; г) 5x2  3 y 2  20 ;
д) 3x2  y 2  12
Вариант № 8
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона ВА разделена
точкой D в отношении 4 : 3, считая от точки В.
Тогда разложение вектора ÑD по векторам
à  ÑB и b  ÑÀ имеет вид
а)
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 1500 , а с базисными
ортами j è k – равные острые углы, то сумма
à)
координат вектора à равна
3
4
à  b ; б) 3à  4b ; в) 4à  3b ;
7
7
4
3
3
4
г) à  b ;
д) à  b
7
7
7
7
3 2
2 3
; á)
; â)
2
2
2 1
32
ã)
; ä)
2
2
№ 3. Даны векторы a  3i  2 j -3k ,
b  5i  j +3k и c  2i  5 j -8k . Проекция
а) – 4;
вектора b  ñ на ось вектора à  b равна
№ 4. Если à = 5, b  2 è à  b  11 , то
скалярное произведение (2à  b)(à  3b) равно
№ 5. Если à  2, b  1 , а угол между
векторами à и b равен 1350 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
à  3b и 3à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  5, b  4, c  4 , то смешанное
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (–3;–3;–2), В (2;–1;–2), С(–1; 1;–2) и
D (–2; 0; 4) равен
56
а) –3;
3 1
;
2
3
б)  ;
7
в) 3;
г) 4;
д)
8
7
б) – 2;
в) 2;
г) 3;
д) 6
а) 6 (кв. ед.); б) 8 (кв. ед.);
в) 10 (кв. ед.);
г) 12 (кв. ед.); д) 4 (кв. ед.)
а) 40;
б) 60;
в) 70;
г) 80;
д) 50
а) 16;
б) 18;
в) 20;
г) 22;
д) 24
№ 8. Если (2; а) – нормальный вектор прямой с
2
угловым коэффициентом k   , то сумма
3
координат этого вектора равна
№ 9. Значение меньшего угла между прямыми
õ2 y  4
õ3 y 6


и
находится в
2
1
4
2
промежутке
№ 10. Если точка (–3; 2; 1) принадлежит
плоскости õ  3  B( y  m)  C ( z  1)  0 с
нормальным вектором (2;–6; 4), то сумма
В + С + т , равна
õ  2 y  3 z 1


№ 11. Если прямая
4
3
2
перпендикулярна плоскости Ax  3 y  Cz  1  0
и проходит через точку (т; п; 1) , то сумма
А + С + т + п равна
õ  5 2  y 2z  3


2
1
2
и плоскостью õ  2 y  z  18  0 равен
№ 12. Угол между прямой
№ 13. Сумма координат точки пересечения
x 1 y  2 z  5


прямой
с плоскостью
3
1
6
5 õ  2 y  15 z  11  0 равна
3 y  2 z  4  0
№ 14. Прямая 
 y  3z  7  0
x2
y
z 1


и
2
3
4
x  3 y 1 z  7


3
4
2
№ 15. Прямые
x2
1
№ 16. Одна из асимптот гиперболы y 2 
4
имеет уравнение
№ 17. Центр кривой 2 x  x2  4 y 2  2  0
находится в точке
№ 18. Вершина параболы совпадает с началом
координат. Если ее фокус лежит в точке (0; –2),
то уравнение параболы имеет вид
57
а) 5;
б) – 5;
в) 7;
г) – 7;
д) 9
а) (00; 300); б) (300; 450); в) (450; 600);
г) (600; 900); д) (900; 1200)
а) – 1;
б) – 2;
в) – 3; г) – 4; д) – 5
а) – 1;
б) – 2;
в) – 3; г) – 4; д) – 5
а) 00; б) 300; в) 450; г) 600;
а) – 1;
б) 0;
в) 1;
г) 2;
д) 900
д) 3
а) параллельна оси Ох;
б) пересекает ось Ох;
в) пересекает ось Оz;
г) пересекает ось Оу;
д) параллельна оси Оу
а) совпадают;
б) параллельны;
в) пересекаются и не
перпендикулярны;
г) пересекаются и перпендикулярны
д) скрещиваются
x
а) y   x ;
б) y   ;
4
x
в) y  4 x ; г) y  2 x ; д) y  
2
а) (1; 0);
г) (0;–2);
б) (–1;0);
д) (0;–1)
в) (0;–4);
а) õ2  16 y ; б) x2  4 y ;
в) x2  8 y ;
д) x2  2 y
г) x2  4 y ;
Вариант № 9
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона ВC разделена
точкой М в отношении 5 : 3, считая от точки B.
Тогда разложение вектора AÌ по векторам
b  AÑ и c  ÀB имеет вид
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 1500 , а с базисными
ортами j è k – равные тупые углы, то сумма
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы a  2i  8 j +2 k ,
b  3i  2 j +2 k и c  2i  3 j +3k . Проекция
а) 3c  5b ; б) 5c  3b ; в) 5c  3b ;
5
3
3
5
г) c  b ;
д) c  b
8
8
8
8
3 2
3 1
; á)  1; â) ;
2
2
32
1 3
ã) ; ä)
2
2
à) -
а)
вектора ñ на ось вектора 2b  a равна
№ 4. Если à =4, b  2 è à  b  8 , то
скалярное произведение (3à  5b)(à  b) равно
№ 8. Если y  kõ  b – уравнение прямой,
параллельной прямой 3x  4 y  2  0 и
проходящей через точку М (–3; 2), то k + b
равно
№ 9. Если точка Q (m; n) находится точно в
середине отрезка с концами А (–10; 2т) и
В (п; 14), то сумма координат точки Q равна
б) 24;
а) 80;
а)
б) 90;
4
;
3
а) 8;
б)
5
;
3
б) – 8;
а) 1;
№ 10. Если векторы (1; 2; а) и (1; b; 1) –
параллельны плоскости 8 x  2 y  2 z  1  0 , то
сумма а + b равна
а) 1;
№ 11. Если точка В (т; п;–3) лежит на прямой
2 x  y  2 z  3  0
, то сумма т + п равна

x  3y  z  2  0
а) – 3;
58
в) 2;
г) –
в) 26;
4
5
; д) –
3
3
г) 28;
д) 30
а) 3 (кв. ед.); б) 3,5 (кв. ед.);
в) 4 (кв. ед.);
г) 4,5 (кв. ед.); д) 5 (кв. ед.)
0
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (–2; 1; 4), В (–1; 5; 5), С(2; 3; 4) и
D (0; 0; 5) равен
5
;
3
б)
а) 22;
№ 5. Если à  2, b  3 , а угол между
векторами à и b равен 60 , то площадь
треугольника, построенного на векторах 3à  b
и à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  5, b  5, c  4 , то смешанное
4
;
3
б) 2;
в) 100;
в)
7
;
3
в) 13;
в) 3;
г) 50; д) 120
11
3
г) 3;
д)
г) 5;
д) – 1
г) 4;
д) 5
б) 2; в) 3; г) 4; д) 5
б) 6; в) – 6; г) 3;
д) 8
№ 12. Косинус угла между двумя плоскостями
3x  y  2 z  18  0 и 3x  y  2 z  1  0 равен
õ  2 y 1 z  5


ò
4
3
перпендикулярна плоскости 3õ  2 y  ñz  1  0 ,
если
№ 13. Прямая
3x  8 y  5 z  10  0
№ 14. Прямая 
 x  y  3z  6  0
 x  y  3z  1  0
№ 15. Прямые 
и
x  y  z  3  0
 x  2 y  5z  1  0

 x  2 y  3z  9  0
а)
1
;
7
б)
1
;
6
в)
2
;
7
5
;
6
г)
д)
5
7
m  6
 m  6
а) 
; б) 
;
c  1,5
c  1,5
 m  6
m  1,5
в) 
; г) 
;
c  1,5
c  6
m  6
д) 
c  1,5
а) параллельна оси Ох;
б) пересекает ось Ох;
в) пересекает ось Оz;
г) пересекает ось Оу;
д) параллельна Оxу
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются;
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
õ2 y 2

1
№ 16. Один из фокусов эллипса
16 25
расположен в точке
а) (0; 3);
г) (4; 4);
б) (0;– 4);
д) (–3; 0)
в) (0; 5);
№ 17. Центр кривой 2 x2  3 y 2  6 y  4  0
находится в точке
а) (0;–3);
г) (0; 1);
б) (0; 3);
д) (2; 0)
в) (1; 0);
№ 18. Центр гиперболы совпадает с началом
координат. Если ее фокус лежит в точке (0; –2),
а вершина в точке (0; 1), то уравнение
гиперболы имеет вид
а) 3 y 2  2 x2  3 ; б) 2 y 2  x2  2 ;
в) y 2  2 x2  1 ; г) 2 y 2  3x2  2 ;
д) 3 y 2  x2  3
Вариант № 10
Задания
Варианты ответов
№ 1. В треугольнике АВС сторона СА разделена
точкой D в отношении 2 : 5, считая от точки С.
Тогда разложение вектора BD по векторам
à  BA и b  BC имеет вид
59
2
5
5
2
à  b ; б) à  b ;
7
7
7
7
в) 2à  5b ; г) 5à  2b ;
2
5
д) à  b
7
7
а)
№ 2. Если единичный вектор à образует с
базисным ортом i угол 1350 , а с базисными
ортами j è k – равные тупые углы, то сумма
координат вектора à равна
№ 3. Даны векторы à  2i  j -2k ,
b  i  4 j -6k и c  3i  4 j -4k . Проекция
1 2
;
2
2 2
ã)
;
2
2 1
2 2
; â)
;
2
2
2 2
ä) 2
à) -
а) – 5;
á)
б) – 4;
в) – 3;
г) 4;
д) 5
вектора 3c  b на ось вектора a равна
№ 4. Если à = 6, b  3 è à  b  5 , то
а) – 16;
б) – 18; в) – 20;
д) – 25
скалярное произведение (à  2b)(3à  b) равно
№ 5. Если à  4, b  2 , а угол между
векторами à и b равен 300 , то площадь
параллелограмма, построенного на векторах
5à  b и à  b , равна
№ 6. Если векторы à, b è c образуют правую
тройку взаимно перпендикулярных векторов и
à  3, b  6, c  2 , то смешанное
а) 20 (кв. ед.); б) 16 (кв. ед.);
в) 22 (кв. ед.);
г) 24 (кв. ед.); д) 18 (кв. ед.)
а) 36;
произведение à b c равно
№ 7. Объем тетраэдра с вершинами
А (2;–1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2;–1) и
D (4; 1; 3) равен
№ 10. Если (2; 1;–4) – вектор,
перпендикулярный плоскости, проходящей
через точки
(–1;2; 1), (3; 2; а), (2; b; 3), то
сумма a  b равна
№ 11. Расстояние между точками пересечения
плоскости 6 x  3 y  2 z  18  0 с осями Оу и
Оz равно
№ 12. Косинус угла между прямыми
õ  3t  1, y  t  5, z  5t  5 и
õ  1  5 z , y  3 z  2 равен
№ 13. Прямая x  3t  8, y  mt  2, z  t  4
параллельна плоскости 2 õ  5 y  4 z  11  0 при
т, равном
60
б) 42;
в) 48;
г) 60;
д) 72
д) 12
а) 3;
б) 4;
в) 5;
г) 6;
а) 2;
б) 6;
в) – 6;
г) – 4;
а) 26;
б) 27;
в) 28;
г) 29;
д) 30
а) 11;
б) 10;
в) 9;
г) 8;
д) 7
б)
в) 7;
д) 126
№ 8. Если y  kx  b – уравнение медианы,
проведенной к стороне АС в треугольнике с
вершинами А (0; –3), В (1; 2), С (4;–1), то k  b
равно
№ 9. Сумма расстояний от точки (2; 1) до точек
(7;13) и (10; 16) равна
г) – 23;
а) 13 ;
а)
2
;
5
а) 0,1;
б)
3
;
7
45 ;
в)
4
;
5
г)
б) 0,2; в) 0,3;
д) 0,5
д) 3
г) 117 ;
1
;
5
д)
2
7
г) 0,4;
 x  2 y  3z  9
№ 15. Прямые 
и
2 x  3 y  z  4
x  2 y 1 z  3


1
2
1
а) параллельна плоскости y  z ;
б) пересекает ось Ох;
в) лежит в плоскости Î yx ;
г) лежит в плоскости Î xz ;
д) лежит в плоскости Î yz
а) совпадают;
б) параллельны;
в) скрещиваются
г) пересекаются и не
перпендикулярны;
д) пересекаются и перпендикулярны
№ 16. Директриса параболы y 2  4 õ имеет
уравнение
а) y  1 ;
г) x  1 ;
№ 17. Центр кривой x2  7 y 2  4 x  7  0
находится в точке
а) (1; 1);
г) (0; 7);
3x  5 y  3z  4  0
№ 14. Прямая 
4 x  5 y  3z  4  0
№ 18. Центр эллипса совпадает с началом
координат. Если его фокус лежит в точке
(0;–2), то уравнение эллипса имеет вид
61
б) y  1 ;
д) x  2
б) (–2; 0);
д) (0; 1)
в) y  2 ;
в) (7; 0);
а) õ2  2 y 2  4 ; б) 2 õ2  y 2  8 ;
в) õ2  3 y 2  4 ;
д) 3õ2  y 2  12
г) 2 õ2  3 y 2  8 ;
Ответы
2.
3.
5.
 2a,
1
1)  ;
2
2 a  b,
b  a;
3)  2; 4)0;
2)2;
AD  2( AC  AB);
BC  AC  AB;
AF  AC  2 AB;
7.
9.
10.
11.
ED  AB;
1
MM 1  ( AA1  BB1  CC1 );
3
a  (3;0;1);
b  (0;1;4);
(15;3;17);
  4;   1;
12.
да, т.к. AB CD;
13.
(3;4;3);
14.
15.
16.
17.
(1   ;  1);
(3;0;5);
(12;8;5);
(5,5;4,5;4);
18.
19.
20.
21.
(8;7;3);
(2;8;4);
A(6;2);
M (7;0);
22.
23.
C (0;1;0);
A(1;2;4);
24.
c  2 p  3q  r ;
25.
26.
27.
p  2a  3b;
да ;
1)22;
2)36;
29.
 6;
31.
c  (5;2);
1
2
3
(
;
;
);
14
14
14
  45;
32.
35.
AE  2 AC  3 AB;
(0;5;3);
(3;1;0);
B(2;8);
N (1;0);
C (10;6);
D(8;4;2);
3)49;
62
4)  200;
5)129;
6)41;
36.
38.
39.
2)  13;
1)( 28;14);
2n
;
3
19
;
5
41.
42.
4
arccos ;
5
593;
15;
2)(10;2;14);
1)(5;1;7);
43.
14 кв. ед.;
40.
46.
2 2
;
3
15
кв. ед.;
2
2)3 3;
1) 3;
47.
a  b  0;
48.
1)2(k  i ); 2)3;
49.
50 2;
50.
51.
52.
  6;
53.
ab;
44.
45.
3)77;
3)( 20;4;28);
3)10 3;
  21;
6;
(20;7;11);
ac;
a  b  c  1;
bc;
2)0;
1)10;
54.
Указание : найти смешанное произведение векторов, если оно равно
55.
нулю, то векторы компланарны;
56.
59.
 3;
12 куб.ед.;
60.
61.
3 куб.ед .
24;
62.
64.
27;
O(0;0;0);
65.
1)(1; k );
66.
67.
1 1
3)(  ; );
b a
1 1
3)( ; );
2)( A; B );
1)( k ;1);
a b
x3 y4
;

2)
1)5 x  2 y  23  0;
3
2
2)( b; A);
63
3) x  3;
4) y  4;
69.
70.
1)õ  3 ó  0;
22,5 êâ.åä.;
2)õ  ó  0;
71.
72.
õ  2 ó  1  0;
Ñ (3;11);
74.
75.
1,4;
2õ  ó  12  0;
76,
2
À(7;6) èëè À(  3;  );
3
3) 3 õ  ó  0;
2õ  ó  6  0;
78.
79.
7 1
1), 2)  ï àðàëëåëüí û ; 3) Ì (6;6); 4) Ì ( ;  ); 5) ñî âï àäàþ ò;
2 2
1) m  2; 2) m  2; 3) m  2;
m  1; m  1;
80.
81.
1) m  0; n  ëþ áî å; 2) m  4; n  2; 3) m  4; n  2;
õ  3 ó  7  0;
82.
83.
Ñ (-4;3);
5 õ  10 ó  11  0;
84.
5 õ  ó  17  0; 5 õ  ó  9  0; õ  5 ó  19  0; õ  5 ó  7  0;
77.
86. õ  3 ó - 3 3  1  0; õ  3 ó  3  1  0;
õ  3 ó  3 3  1  0; õ  3 ó  3  1  0;
87. Ñ (6; 6);
88. 4 õ  ó  3  0;
89.
3õ  7 ó  5  0; 4 3õ  2 ó  10  0; 9 õ  11 ó  5  0;
90.
1) 2 ó  z  1  0; 2) 6 õ  ó  10 z  25  0; 3) òî ÷êè ï ðèí àäëåæàò î äí î é
ï ðÿì î é è î äí î çí à÷í î ï ëî ñêî ñòü í å î ï ðåäåëÿþ ò.
91.
93.
1) õ  3 ó  2 z  8  0; 2) õ  1; 3) ó  1; 4) z  2;
õ ó z
   1;
3 4 5
õ  ó  z  6  0;
94.
95.
11õ  7 ó  2 z  21  0;
5 ó  2 z  0;
96.
97.
98.
2 õ  2 ó  z  6  0;
ó  2  0;
4 õ  ó  8 z  6  0;
92.
99. 10 õ  2 ó  z  10  0;
100. 1) 4 õ  3 ó  z  4  0; 2) z  1;
102.
  1;
103.
  ;
3
7
64
104. 1) y  1, z  2; 2) x  y  0, z  5;
105. 16 x  27 y  14 z  159  0;
x 1 y  3 z  4


;
2
3
7
3 1
108. A(0; - ; ), B(-1; 0; 1), C (1; -3; 0);
2 2
109.
1)да ;
2)да ;
106.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
1) x  y  z  3  0;
2 x  3 y  z  12  0
3) x  1,
y  3;
 11;
3;
N (3;7;4);
R(1;4;7);
1
1
1)
;
2)
;
6
6
4) x  1;
z  1;
x 1 y  3 z 1


;
3
4
21
5) y  3;
z  1;
2)
116.
117.
22 ;
3;
118.
1)(3;1;0), (3;1;1), (3;0;1);
119.
2)( 2;3;1), (1;5;3);
3)(1;4;5), (1;7;11);
1
;
2
x 2  y 2  8 x  6 y  0, точки А и О принадлежат окружности ,
120.
(3;1;1), (0;1;1), (3;1;1);
В - вне окружности , К - внутри;
121.
x 2  y 2  4 x  6 y  0;
123.
( x  1) 2  ( y  1) 2  1 и ( x - 5) 2  ( y  5) 2  25;
124.
( x  1) 2  ( y  1) 2  5;
125.
126.
127.
128.
129.
130.
( x  3) 2  ( y  4) 2  25;
x  3,2 ;
4 x  3 y  15  0;
4 x  3 y  15  0;
4 x  3 y  16  0;
5 x  12 y  29  0;
5 x  12 y  23  0;
1) x  y  9  0;
2) x  2 y  16  0;
131.
a  4, b  2, c  2 3;
е
3
;
2
65
134.
x2 y2

 1;
25 9
x2 y2
x2 y2
1)

 1;
2)

 1;
25 9
36 27
(4;1;8);
(4;1;8);
135.
М - вне окружности , N - на окружности , Р - внутри окружности .
132.
133.
136.
137.
138.
139.
140.
1)
0,4 ;
15
63
;
);
4
4
16 кв. единиц.
(
õ2 ó2

 1;
36 4
4õ-9ó-13  0;
142.
5
;
2
1; 9;
143.
1)
141.
å
151.
õ2 ó2
õ2 ó2

 1; 2)

 1;
16 9
20 4
õ2 ó2

 1;
16 9
õ2 ó2
õ2 ó2

 1;

 1;
16 9
9 16
õ2 ó2

 1;
9
8
õ2 ó2
õ2 ó2
õ2 ó2
õ2 ó2
1)

 1; 2)

 1; 3)

 1; 4)

 1;
4
9
9 16
4
5
64 36
õ2 ó2
õ2 ó2
5)

 1; 6)

 1;
36 64
4
5
õ2 ó2

 1;
4 12
1) õ2  2 ó; 2) õ2  12 ó;
153.
1) ó2  9 õ; 2) ó   õ2 .
154.
Ì (2;4); N (2;  4);
155.
ó2  4;
156.
ó  2 2 õ;
157.
Î (0;0); Ì (18;  24);
158.
1
1
1) î êðóæí î ñòü (õ  ) 2  ( ó  ) 2  1;
2
3
144.
145.
146.
147.
149.
2
2) ýëëèï ñ
õ'2 y '

 1; Î '(1;-1);
25 16
66
2
х '2 y '
3) гипербола

 1; О' (2;3);
4
9
4) точка О' (2;1);
5) гипербола у ' 2  х' 2  1; О' (3;0);
5
6) парабола х' 2   у ' ; О' (1; );
2
7) прямые х  2; х  4;
8) мнимые прямые;
9) мнимый эллипс;
3
10) пара совпавших прямых х  .
5
67
Основная литература
1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера
Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2003.
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –
М.,1975.
4. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.:
Наука, 1988.
5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей
математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа,
1982.
6. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Аналитическая геометрия. – М.:
Высшая школа, 1986.
7. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. – М.:
Высшая школа, 1994.
68