Пример4

Даны вершины АВС: А(-2; -1); В(1; 5); С (5; 1). Найти:
а) уравнения сторон треугольника;
б) уравнение медианы АЕ;
в) уравнение высоты ВД;
г) систему неравенств, областью решений которой является множество точек
треугольника. Сделать чертеж.
Решение
а) Найдем уравнения сторон:
x  xA
y  yA
x  ( 2 ) y  ( 1)
x  2 y 1
AB :

;

;

; 6x+12=3y+3
xB  x A
yB  y A
1  ( 2 ) 5  ( 1)
3
6
АВ: 2x-y+3=0.
x  xA
y  yA
x  ( 2 ) y  ( 1)
x  2 y 1
AС :

;

;

; 2x+4=7y+7
xС  x A y С  y A
5  ( 2 ) 1  ( 1)
7
2
АС: 2x-7y-3=0.
x  xB
y  yB
x 1 y  5
x 1 y  5
BС :

;

;

; -4x+4=4y-20
xС  x B y С  y B
5  1 1 5
4
4
ВС: x+y-6=0.
б) Точка Е лежит между точками С и В, следовательно, ее координаты равны полусумме
координат этих точек Е(3; 3). По точкам А и Е проводим прямую АЕ:
x  xA
y  yA
x  (2) y  (1) x  2 y  1
AE :

;

;

; 4x+8=5y+5
xE  x A y E  y A
3  (2) 3  (1)
5
4
АЕ: 4x-5y+3=0.
в) Найдем вектор СA ={xА-xС;yА-yС}={-2-5; -1-1}={-7;-2}.
Используем координаты точки
В(1; 5) и вектор СA ={-7;-2}, как вектор нормали, находим уравнение высоты ВД:
ВД: -7(х-1)-2(y-5)=0;
7х-7+2y-10=0;
ВД: 7х+2y-17=0;
г) Найдем систему неравенств, областью решений которой является множество точек
треугольника. Выберем точку О(0;0), лежащую внутри треугольника и подставим ее
координаты в левые части уравнений сторон треугольника:
АВ: 2xО-yО+3=3
0
АС: 2xО-7yО-3= -3 0
ВС: xО+yО-6= -6
0
Следовательно, система неравенств, областью решений которой является
множество точек треугольника будет
2x-y+30.
2x-7y-30.
x+y-60.
y
5 В
4
E
3
2
C
Д
1
-2
A
0
1
2
3
4
5
x