Векторная алгебра - Тюменский государственный нефтегазовый
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
методические указания
и индивидуальные задания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
института транспорта
очной формы обучения
Тюмень 2003
Утверждено редакционно–издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Бакановская Н.Н., ассистент
Редактор: Скалкина М.А., к.ф.–м.н., профессор
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
2003
Предлагаемая работа предназначена помочь студентам, изучающим
векторную алгебру, получить навыки решения стандартных задач.
Перед выполнением индивидуальных заданий рекомендуем ознакомиться с решением заданий нулевого варианта, изложенных в данных методических указаниях.
З а д а н и е 1. Написать разложение вектора x по векторам a , b , c ,
если a 3; 5; 2, b 2; 1; 4, c 1; 6; 0, x 4; 11; 16.
Р е ш е н и е. Запишем
вектор x в виде линейной комбинации векто
ров a , b и c : x a b c . Найдем коэффициенты , , . Для этого
запишем разложение вектора x в координатной форме:
a1 b1 c1 x1 ,
a2 b2 c2 x2 ,
a b c x .
3
3
3
3
Подставим координаты заданных векторов. Получим систему
3 2 4,
5 6 11,
2 4 16,
решив которую, найдем коэффициенты 2, 3, 4 . Т.е.
x 2 a 3b 4 c .
З а д а н и е 2. Найти угол между векторами p и q , если a 2 ; 5; 4,
b 7 ; 3 ; 1 , p 3 a b , q 2 a 6 b .
pq
pq
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой cos . Определим ко
ординаты векторов p и q , при этом учтем, что при умножении вектора на
число, мы умножаем на это число каждую координату этого вектора, а при
сложении векторов – складываем одноименные координаты:
p 3 2 7; 3 (5) 3; 3 4 1 1; 18; 11,
q 2 2 6 7; 2 (5) 6 3; 2 4 6 1 38; 28; 2.
Найдем скалярное произведение векторов p и q и их длины.
p q 1 (38) (18) (28) 11 2 564 , p 1 324 121 446 ,
q 1444 784 4 2232 . Подставив в формулу, получим
564
446 1444
arccos 0,703 .
cos
564
564
282
0,703 . Отсюда
644024 2 161006
161006
З а д а н и е 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , если
A 4; 6;2 , B 5; 1; 7 , C 1; 1; 0.
Р е ш е н и е. Проекция вектора a на вектор b находится по форму
a b
ле прb a . Определим координаты векторов AB и AC , их скалярное
b
произведение и длину вектора AC : AB 5 (4); 1 6; 7 (2) 9 ; 7 ; 9 ,
AC 1 (4); 1 6; 0 (2) 3; 5 ; 2 , AB AC 27 35 18 80 ,
AC 32 (5) 2 2 2 9 25 4 38 . Тогда пр AC AB
80
38
.
З а д а н и е 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного
на векторах AB и AC , если A (3; 3; 1) , B (5; 1; 2) , C (4 ; 1; 1) .
Р е ш е н и е.
Площадь параллелограмма будем искать по фор
муле S пар a b . Для этого найдем сначала коорди-
B
A
наты векторов AB и AC , а затем их векторное произведение. AB 2 ; 2 ; 3, AC 1; 2 ; 0,
C
i
j
k
AB AC 2 2 3 i (0 6 ) j (0 3 ) k (4 2) 6 i 3 j 2 k .
1 2 0
Вычислим модуль полученного векторного произведения, который и будет
численно равен искомой площади параллелограмма:
Sпар (6)2 (3)2 (2)2 36 9 4 49 7 (кв. ед.).
З а д а н и е 5. Параллелограмм построен на векторах a 2 p 3 q и
b p 2 q , где p 4 , q 2 , ( p ^ q ) 3 . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
Р е ш е н и е.
d1 a b (2 p 3 q ) ( p 2 q ) 3 p q ,
d
a
b (2 p 3 q ) ( p 2 q ) p 5 q ,
a
2
d1
d2
b
d 2 (d 2 ) 2 ( p 5 q ) 2
d1 (d1 ) 2 (3 p q ) 2 9 p 2 6 p q q 2
9 16 6 4 2 cos
3
4 172 2 43 ,
p 2 10 p q 25 q 2 16 10 4 2 cos 25 4
3
156 2 39 .
Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда
d1 d 2
3 p q p 5 q 3 p p 15 p q q p 5 q q
cos
2 43 2 39
4 1677
d1 d 2
3 16 16 4 2 cos
3
54
132
0,806 .
4 1677
4 1677
Следовательно, arccos 0,806.
S пар a b (2 p 3 q ) ( p 2 q ) 2 p p 4 p q 3 q p 6 q q 7 p q
7 4 2 sin
3
28 3 (кв. ед.).
З а д а н и е 6. Компланарны ли векторы a 2 ; 8; 1, b 4 ; 6 ; 0,
c 2 ; 5; 1?
Р е ш е н и е. Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов:
2
8 1
a b c 4 6 0 12 32 20 12 76 0 векторы некомпланарны.
2 5 1
З а д а н и е 7. Точки A1 (3; 3; 1) , A2 (5; 1; 2) , A3 (1; 2; 1) , A4 ( 3; 2; 1) являются вершинами пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани A1 A2 A3 и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Р е ш е н и е. Объем пирамиды будем искать по формуле V
где a , b и c –векторы, совпадающие с ребрами пирамиды. В нашем случае такими
векторами будут A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 .
Найдем координаты этих векторов, а затем
их смешанное произведение.
A2
A3
A1
A1 A2 2 ; 2 ; 3, A1 A3 2 ; 5 ; 0,
A1 A4 0 ; 1; 0,
A4
2
2 3
A1 A2 A1 A3 A1 A4 2 5
0
Vпир
1
ab c ,
6
1
0 1 (1) 5
0
2
3
2
0
6,
1
6 1 (куб . ед.).
6
Теперь найдем площадь грани A1 A2 A3 по формуле S
1
A1 A2 A1 A3 .
2
i
j
k
A1 A2 A1 A3 2 2 3 15 i 6 j 14k . Тогда площадь грани будет равна
2 5 0
1
1
225 36 196
457 (кв. ед.).
2
2
1
Т.к. Vпир S осн H , то высота H = A4O , опущенная на грань A1 A2 A3 , равна
3
3Vпир
3
6
.
A4 O
1
S осн
457
457
2
З а д а н и е 8. Найти вектор x , перпендикулярный к векторам
a 2 ; 3; 1 и b 1; 2 ; 3 и удовлетворяющий условию x (i 2 j 7k ) 10 .
Р е ш е н и е. Пусть вектор x имеет координаты x x1 , x2 , x3 . Т. к.
вектор x перпендикулярен векторам a и b , то x a 0 , x b 0 . Запишем
S
все три скалярных произведения в координатной форме:
2 x1 3x2 x3 0 ,
x1 2 x2 3x3 0 ,
x 2 x 7 x 10 .
2
3
1
Решив полученную систему, получим, что x
35 25 5
; ; .
3 3
3
З а д а н и е 9. Зная векторы AB 1; 2 ; 2 и BC 1; 1; 0, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершине C и площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Угол при вершине C – это угол между векторами CA и
CB . Вектор CA AC ( AB BC ) 2 ; 1; 2, тогда
cos C
CA CB
CA CB
отсюда C arccos
2 1 0
4 1 4 11 0
1
3 2
1
3 2
,
.
i j k
Теперь найдем площадь треугольника: AB AC 1 2 2 2 i 2 j 3 k ,
2 1 2
S
1
1
17
AB AC
449
(кв. ед.) .
2
2
2
З а д а н и е 10. Сила F 2 ; 4 ; 5 приложена к точке O (0 ; 2 ; 1) . Определить момент этой силы относительно точки A (1; 2 ; 3) .
Р е ш е н и е. Момент силы F относительно точки A есть вектор
M OA F . Найдем координаты вектора OA и искомого вектора M :
i
j k
OA 1; 0 ; 2, M OA F 1 0 2 8 i 9 j 4k , т.е. M 8 ; 9 ; 4.
2 4 5
Индивидуальные задания по векторной алгебре
Задание 1. Написать разложение вектора x по векторам a , b , c .
1. x =15; –20; –1, a =0; 2; 1,
b =0; 1; –1, c =5; –3; 2.
2. x =2; 7; 5, a =1; 0; 1, b =1;
–2; 0, c =0; 3; 1.
3. x =8; –7; –13, a =0; 1; 5,b =3; –1; 2, c =–1; 0; 1.
4. x =0; –8; 9, a =0; –2; 1, b =3;
1;
–1,
c =4; 0; 1.
5. x = –13; 2; 18, a =1; 1; 4, b =–3; 0; 2, c =1; 2; –1.
6. x =11; –1; 4, a =1; –1; 2,
b =3; 2; 0, c =–1; 1; 1.
7. x =–1; 7; 0, a =0; 3; 1,b =1; –1; 2, c =2; –1; 0.
8. x =3; 1; 3, a =2; 1; 0, b =1; 0; 1, c =4; 2; 1.
9. x =23; –14; –30, a =2; 1; 0,
b =1; –1; 0, c =–3; 2; 5.
10. = 8; 9; 4, a = 1; 0; 1, b =0;
–2;
1},
c =1; 3; 0.
11. x =–15; 5; 6, a =0; 5; 1, b =3;
2;
–1,
c =–1; 1; 0.
12. x =–5; 9; –13, a =0; 1; –2, b =3; –1; 1, c =4; 1; 0.
13. x =–9; –8; –3, a =1; 4; 1, b =–3; 2; 0, c =1; –1; 2.
14. x =8; 1; 12, a =1; 2; –1,
b =3; 0; 2, c =–1; 1; 1.
15. x =3; 1; 8, a =0; 1; 3, b =1; 2; –1, c =2; 0; –1.
16. x =8; 0; 5, a =2; 0; 1, b =1;
1; 0, c =4; 1; 2.
17. x =11; 5; –3, a =1; 0; 2, b =–1; 0; 1, c =2; 5; –3.
18. x =2; –1; 11, a =1; 1; 0, b =0; 1; –2, c =1; 0; 3.
19. x =5; 15; 0, a =1; 0; 5, b =–1; 3; 2, c =0; –1; 1.
20. x =6; –1; 7, a =1; –2; 0, b =–1; 1; 3, c =1; 0; 4.
21. x =6; 5; –14, a =1; 1; 4, b =0; –3; 2, c =2; 1; –1.
22. x =–1; 7; –4, a =–1; 2; 1, b =2; 0; 3, c =1; 1; –1.
23. x =3; 3; –1, a =3; 1; 0, b =–1; 2; 1, c =–1; 0; 2.
24. x =3; –3; 4, a =1; 0; 2, b =0;
1;
1,
c =2; –1; 4.
25. x =–19; –1; 7, a =0; 1; 1, b =–2; 0; 1, c =3; 1; 0.
26. x =13; 2; 7, a =5; 1; 0, b =2;
–1; 3, c =1; 0; –1.
27. x =–5; –5; 5, a =–2; 0; 1, b =1; 3; –1, c =0; 4; 1.
28. x =–9; 5; 5, a =4; 1; 1, b =2; 0; –3, c =–1; 2; 1.
29. x =1; –4; 4, a =2; 1; –1, b =0; 3; 2, c =1; –1; 1.
30. x =6; 12; –1, a =1; 3; 0, b =2; –1; 1, c =0; –1; 2.
Задание 2. Найти угол между векторами p и q , если:
1. a =–1; 2; 8, b =3; 7; –1, p = 4 a – 3 b , q = 9 b – 12 a .
2. a =2; 0; –5, b =1; –3; 4, p = 2 a – 5 b , q = 5 a – 2 b .
3. a =4; 2; –7, b =5; 0; –3, p = a – 3 b , q = 6 b – 2 a .
4. a =–1; 3; 4, b =2; –1; 0, p = 6 a – 2 b , q = b – 3 a .
5. a =5; 0; 8, b =–3; 1; 7, p = 3 a – 4 b , q = 12 b – 9 a .
6. a =2; –1; 6, b =–1; 3; 8, p = 5 a – 2 b , q = 2 a – 5 b .
7. a =4; 2; 9, b =0; –1; 3, p = 4 b – 3 a , q = 4 a – 3 b .
8. a =9; 5; 3, b =7; 1; –2, p = 2 a – b , q = 3 a + 5 b .
9. a =5; –1; –2, b =6; 0; 7, p = 3 a – 2 b , q = 4 b – 6 a .
10. a =2; –1; 4, b =3; –7; –6, p = 2 a – 3 b , q = 3 a – 2 b .
11. a =3; 7; 0, b =4; 6; –1, p = 3 a + 2 b , q = 5 a – 7 b .
12. a =1; –2; 4, b =7; 3; 5, p = 6 a – 3 b , q = b – 2 a .
13. a =3; –1; 6, b =5; 7; 10, p = 4 a – 2 b , q = b – 2 a .
14. a =8; 3; –1, b =4; 1; 3, p = 2 a – b , q = 2 b – 4 a .
15. a =5; 0; –2, b =6; 4; 3, p = 5 a – 3 b , q = 6 b – 10 a .
16. a =7; 9; –2; b =5; 4; 3, p = 4 a – b , q = 4 b – a .
17. a =–1; 2; –1, b =2; –7; 1, p = 6 a – 2 b , q = b – 3 a .
18. a =3; 7; 0, b =1; –3; 4, p = 4 a – 2 b , q = b – 2 a .
19. a =–2; 7; –1, b =–3; 5; 2, p = 2 a + 3 b , q = 3 a + 2 b .
20. a =0; 3; –2, b =1; –2; 1, p = 5 a – 2 b , q = 3 a + 5 b .
21. a =5; 0; –1, b =7; 2; 3, p = 2 a – b , q = 3 b – 6 a .
22. a =1; 4; 2, b =3; –2; 6, p = 2 a – b , q = 3 b – 6 a .
23. a =–2; –3; –2, b =1; 0; 5, p = 3 a + 9 b , q = – a – 3 b .
24. a =3; 4; –1, b =2; –1; 1, p = 6 a – 3 b , q = b – 2 a .
25. a =1; –2; 5, b =3; –1; 0, p = 4 a – 2 b , q = b – 2 a .
26. a =1; 4; –2, b =1; 1; –1, p = a + b , q = 4 a + 2 b .
27. a =3; 5; 4, b =5; 9; 7, p = – 2 a + b , q = 3 a – 2 b .
28. a =1; 2; –3, b =2; –1; –1, p = 4 a + 3 b , q = 8 a – b .
29. a =–2; 4; 1, b =1; –2; 7, p = 5 a + 3 b , q = 2 a – b
30. a =1; 0; 1, b =–2; 3; 5, p = a + 2 b , q = 3 a – b .
Задание 3. Найти проекцию вектора AB на вектор AC , если:
1. А(–2; 4; –6), В(0; 2; –4), С(–6;8;–10).
2. А(–4; 0; 4), В(–1; 6; 7), С(1; 10; 9).
3. А(0; 1; 0), В(0; 2; 1), С(1; 2; 0).
4. А(1; 4; –1), В(–2; 4; –5), С(8; 4; 0).
5. А(–2; 1; 1), В(2; 3; –2), С(0; 0; 3).
6. А(3; 3; –1), В(5; 1; –2), С(4;1;–3).
7. А(0; 3; –6), В(9; 3; 6), С(12; 3 ;3).
8. А(–1;2;–3), В(0;1;–2), С(–3;4;–5).
9. А(2;2;7), В(0;0;6), С(–2;5;7).
10. А(2;3;2), В(–1;–3;–1), С(–3;–7;–3).
11. А(7;0;2), В(7;1;3), С(8;–1;2).
12. А(1; –1;0), В(– 2;– 1;4), С(8;–1;–1).
13. А(– 4;3;0), В(0;1;3), С(–2;4;–2).
14. А(3;3;–1), В(5;1;–2), С(4;1;1).
15. А(0;2;–4); В(8;2;2); С(6;2;4).
16. А(3;–6;9), В(0;–3;6), С(9; –12; 15).
17. А(2;–8;–1), В(4;–6;0), С(–2; –5; –1).
18. А(0;0;4), В(–3;–6;1), С(–5; –10; –1).
19. А(6;2;–3), В(6;3;–2), С(7; 3; –3).
20. А(–1;–2;1), В(–4;–2;5), С(–8; –2; 2).
21. А(2; 1; –1), В(6; –1; –4), С(4; 2; 1).
22. А(3; 3; –1), В(1; 5; –2), С(4;1;1).
23. А(0; 1; –2), В(3; 1; 2), С(4; 1; 1).
24. А(2; –4; 6), В(0; –2; 4), С(6;–8; 10).
25. А(–3; –7; –5), В(0;–1;–2), С(2;3;0).
26. А(5; 3; –1), В(5; 2; 0), С(6;4;–1).
27. А(–4; –2; 0), В(–1; –2; 4), С(3;–2;1).
28. А(–1; 2; –3), В(3; 4; –6), С(1; 1; –1).
29. А(3; 3; –1), В(5;5;–2), С(4; 1; 1).
30. А(0; –3; 6), В(–12; –3; –3), С(–9; –3; –6).
Задание 4. Параллелограмм построен на векторах a и b . Вычислить длины диагоналей этого параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
1. a = 3 p + 2 q ; b = 2 p – q ; p = 4; q = 3; ( p ^ q ) = 3/4.
2. a = 2 p – 3 q ; b = 5 p + q ; p = 2; q = 3; ( p ^ q ) = /2.
3. a = 2 p + 3 q ; b = p – 2 q ; p = 2; q = 1; ( p ^ q ) = /3.
4. a = 6 p – q ; b = 5 q + p ; p = 1/2; q = 4; ( p ^ q ) = 5/6.
5. a = 3 p – 4 q ; b = p + 3 q ; p = 2; q = 3; ( p ^ q ) = /4.
6. a = 5 p – q ; b = p + q ; p = 5; q = 3; ( p ^ q ) = 5/6.
7. a = 3 p + q ; b = p – 3 q ; p = 7; q = 2; ( p ^ q ) = /4.
8. a = p + 3 q ; b = 3 p – q ; p = 3; q = 5; ( p ^ q ) =2/3.
9. a = 7 p + q ; b = p – 3 q ; p = 3; q = 1; ( p ^ q ) = 3/4.
10. a = 3 p + 4 q ; b = p – q ; p = 2;5; q = 2; ( p ^ q ) = /2.
11. a = 6 p – q ; b = p + 2 q ; p = 8; q = 1/2; ( p ^ q ) = /3.
12. a = 10 p + q ; b = 3 p – 2 q ; p = 4; q = 1; ( p ^ q ) = /6.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
a = 6 p – q ; b = p + q ; p =3; q = 4; ( p ^ q ) = /4.
a = 7 p – 2 q ; b = p + 3 q ; p =1/2; q =2; ( p ^ q ) = /2.
a = 5 p + q ; b = p – 3 q ; p = 1; q = 2; ( p ^ q ) = /3.
a = 2 p – 3 q ; b = 3 p + q ; p = 4; q = 1; ( p ^ q ) = /6.
a = 2 p + 3 q ; b = p – 2 q ; p = 2; q = 3; ( p ^ q ) = /4.
a = 3 p – q ; b = p + 2 q ; p =3; q = 4; ( p ^ q ) = /3.
a = 2 p + 3 q ; b = p – 2 q ; p = 6; q =7; ( p ^ q ) = /3.
a = 4 p – q ; b = p + 2 q ; p =5; q = 4; ( p ^ q ) = /4.
a = 3 p + 2 q ; b = p – q ; p = 10; q = 1; ( p ^ q )= /2.
a = p + 4 q ; b = 2 p – q ; p = 7; q = 2; ( p ^ q )= /3.
a = p – 4 q ; b = 3 p + q ; p = 1; q = 2; ( p ^ q )= /6.
a = 4 p + q ; b = p – q ; p = 7; q = 2; ( p ^ q )= /4.
a = 2 p – q ; b = p +3 q ; p = 3; q = 2; ( p ^ q )= /2.
a = p +3 q ; b = p – 2 q ; p = 2; q = 3; ( p ^ q )= /3.
a = p – 2 q ; b = 2 p + q ; p = 2; q = 3; ( p ^ q )= 3/4.
a = 3 – 2 q ; b = p +5 q ; p = 4; q = 1/2; ( p ^ q )= 5/6.
a = p – 3 q ; b = p +2 q ; p = 5; q = 1; ( p ^ q )= /2.
a =3 p + q ; b = p –2 q ; p = 4; q = 1; ( p ^ q )= /4.
Задание 5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AC , если:
1. А(2; 5; – 3), В(7; 8; –1), С(9; 7; 4).
2. А(–3;6;4), В(8;–3;5), С(10;–3;7).
3. А(7;–5;0), В(8;3;–1), С(8;5;1).
4. А(–1;2;–2), В(13;14;1), С(14;15;2).
5. А(5;3;–1), В(0;0;–3), С(5;–1;0).
6. А(–3;–1;7), В(0;2;–6), С(2;3;–5).
7. А(0;7;–9), В(–1;8;–11), С(–4;3;–12).
8. А(1;–5;–2), В(6;–2;1), С(2;–2;–2).
9. А(0;–8;10), В(–5;5;7), С(–8;0;4).
10. А(–4;–2;5), В(3;–3;–7), С(9;3;–7).
11. А(–3;1;0), В(6;3;3), С(9;4;–2).
12. А(1;0;–6), В(–7;2;1), С(–9;6;1).
13. А(–7;1;–4), В(8;11;–3), С(9; 9; –1).
14. А(2;1;7), В(9;0;2), С(9; 2; 3).
15. А(3;–3;–6), В(1; 9; – 5), С(6; 6;–4).
16. А(–10;0;9), В(12;4;11), С(8;5;15).
17. А(1;–1;5), В(0;7;8), С(–1;3;8).
18. А(0;–2;8), В(4;3;2), С(1;4;3).
19. А(–3;7;2), В(3;5;1), С(4;5;3).
20. А(5;–1;2), В(2;–4;3), С(4;–1;3).
21. А(0;–3;5), В(–7;2;6), С(–3;2;4).
22. А(–7;0;3), В(1;–5;–4), С(2;–3;0).
23. А(1;9;–4), В(5;7;1), С(3;5;0).
24. А(–2;0;–5), В(2;7;–3), С(1;10;–1).
25. А(1;–1;8), В(–4;–3;10), С(–1;–1;7).
26. А(–3;5;–2), В(–4;0;3), С(–3;2;5).
27. А(7;–5;1), В(5;–1;–3), С(3;0;–4).
28. А(–8;0;7), В(–3;2;4), С(–1;4;5).
29. А(4;–2;0), В(1;–1;–5), С(–2;1;–3).
30. А(–1;3;4), В(–1;5;0), С(2;6;1).
Задание 6. Компланарны
ли вектора a , b , c ?
1. a =7;4;6, b =2;1;1,
c =19;11;17.
2. a =–7;10;–5,
b =0;–2;–1, c =–2;4;–1.
3. a =–3;3;3,b =–4;7;6, c =3;0;–1.
4. a =4;1;1, b =–9;–4;–9, c =6;2;6.
5. a =6;3;4, b =–1;–2;–1, c =2;1;2.
6. a =1;–1;4,b =1;0;3, c =1;–3;8.
7. a =3;0;3, b =8;1;6, c =1;1;–1.
8. a =3;1;0, b =–5;–4;–5,
c =4;2;4.
9. a =4;–1;–6,b =1;–3;–7, c =2;–1;–4.
10. a =3;4;2, b =1;1;0, c =8;11;6.
11. a =5;3;4, b =4;3;3, c =9;5;8.
12. a =4;1;2, b =9;2;5, c =1;1;–1.
13. a =4;2;2, b =–3;–3;–3, c =2;1;2.
14. a =3;1;–1, b =1;0;–1,
c =8;3;–2.
15. a =–2;–4;–3,
b =4;3;1, c =6;7;4.
16. a =3;10;5,b =–2;–2;–3, c =2;4;3.
17. a =5;3;4, b =–1;0;–1, c =4;2;4.
18. a =2;3;2, b =4;7;5, c =2;0;–1.
19. a =7;3;4, b =–1;–2;–1, c =4;2;4.
20. a =6;3;4, b =–1;–2;–1, c =2;1;2.
21. a =1;–2;6,b =1;0;1, c =2;–6;17.
22. a =3;7;2, b =–2;0;–1, c =2;2;1.
23. a =3;2;1, b =1;–3;–7, c =1;2;3.
24. a =4;3;1, b =6;7;4, c =2;0;–1.
25. a =4;3;1, b =1;–2;1, c =2;2;2.
26. a =3;1;–1,b =–2;–1;0, c =5;2;–1.
27. a =3;3;1, b =1;–2;1, c =1;1;1.
28.
29.
30.
a =1;–1;–3, b =3;2;1, c =2;3;4.
a =1;5;2, b =–1;1;–1, c =1;1;1.
a =3;2;1, b =2;3;4, c =3;1;–1.
Задание 7. Точки А1, А2, А3, А4 являются вершинами пирамиды. Вычислить
ее объем, площадь грани А1А2А3 и высоту пирамиды, опущенную на эту
грань.
1. А1(1;–1;2), А2(2;1;2), А3(1;1;4), А4(6;–3;8).
2. А1(2;–4;–3), А2(5;–6;0), А3(–1;3;–3), А4(–10;–8;7).
3. А1(–3;–5;6), А2(2;1;–4), А3(0;–3;–1), А4(–5;2;–8).
4. А1(–2;–1;–1), А2(0;3;2), А3(3;1;–4), А4(–4;7;3).
5. А1(1;3;0), А2(4;–1;2), А3(3;0;1), А4(–4;3;5).
6. А1(0;–3;1), А2(–4;1;2), А3(2;–1;5), А4(3;1;–4).
7. А1(–1;2;4), А2(–1;–2;–4), А3(3;0;–1), А4(7;–3;1).
8. А1(3;10;–1), А2(–2;3;–5), А3(–6;0;–3), А4(1;–1;2).
9. А1(1;2;–3), А2(1;0;1), А3(–2;–1;6), А4(0;–5;–4).
10. А1(1;0;2), А2(1;2;–1), А3(2;–2;1), А4(2;1;0).
11. А1(1;2;0), А2(1;–1;2), А3(0;1;–1), А4(–3;0;1).
12. А1(1;–1;1), А2(–2;0;3), А3(2;1;–1), А4(2;–2;–4).
13. А1(4;–1;3), А2(–2;1;0), А3(0;–5;1), А4(3;2;–6).
14. А1(–1;2;–3), А2(4;–1;0), А3(2;1;–2), А4(3;4;5).
15. А1(–3;4;–7), А2(1;5;–4), А3(–5;–2;0), А4(2;5;4).
16. А1(1;5;–7), А2(–3;6;3), А3(–2;7;3), А4(–4;8;–12).
17. А1(1;1;–1), А2(2;3;1), А3(3;2;1), А4(5;9;–8).
18. А1(2;3;1), А2(4;1;–2), А3(6;3;7), А4(7;5;–3).
19. А1(1;1;2), А2(–1;1;3), А3(2;–2;4), А4(–1;0;–2).
20. А1(2;–1;2), А2(1;2;–1), А3(3;2;1), А4(–4;2;5).
21. А1(1;2;0), А2(3;0;–3), А3(5;2;6), А4(8;4;–9).
22. А1(14;4;5), А2(–5;–3;2), А3(–2;–6;–3), А4(–2;2;1).
23. А1(–2;0;–4), А2(–1;7;1), А3(4;–8;–4), А4(1;–4;6).
24. А1(2;–1;–2), А2(1;2;1), А3(5;0;–6), А4(–10;9;–7).
25. А1(5;2;0), А2(2;5;0), А3(1;2;4), А4(–1;1;1).
26. А1(0;–1;–1), А2(–2;3;5), А3(1;–5;–9), А4(–1;–6;3).
27. А1(–1;–5;2), А2(–6;0;–3), А3(3;6;–3), А4(–10;6;7).
28. А1(2;1;4), А2(–1;5;–2), А3(–7;–3;2), А4(–6;–3;6).
29. А1(7;2;4), А2(7;–1;–2), А3(3;3;1), А4(–4;2;1).
30. А1(–4;2;6), А2(2;–3;0), А3(–10;5;8), А4(–5;2;–4).
Задание
8.
b . Найти вектор x , если
a
1. Даны два вектора
=и
x Оz x a , x b 4 .
2. Даны векторы a =21, b ; 0. Найти вектор x , если x a ,
x b , x 14 .
3. Даны векторы m ={0; 2;1}, n ={1; 0; 2}, p ={1; 1; 1}. Найти вектор x , ес
ли x m , x n , x p =3.
4. Вектор x , перпендикулярный к a = и b =, образует с
осью Оу тупой угол. Найти его координаты, зная, что x 14 .
5. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к a =2; –3; 1 и b =1, –2,
3 и удовлетворяет условию x · {1; 2; –7} = 10.
6. Вектор p , перпендикулярен к оси Оz и вектору a =8; –15; 3, образует с
осью Оx острый угол, p = 51. Найти вектор p .
7. Найти вектор m , зная, что m Оz, m a , m = a , где a =–5; 3; –4.
8. Найти вектор x , зная, что x a , x b , x 6 , где a = 2; –3; –1, b =1;
6; –2.
9. Найти вектор x , зная, что x О, x a , x b = 4, где a =2; –1; 1, b =1;
1; –1.
10. Найти вектор m , зная, что m = 52, m Оx, m a и m образует острый
угол с осью Оy. a = 7; –12; 5.
11. Найти
вектор х, зная, что он перпендикулярен к векторам a =0; 2;
1, b =1; 0; 2, образует с осью Оy тупой угол и x 4 .
12. Найти вектор x , если известно, что x a , x b , x a , a =2; –1; 1,
b =1; 1; –1.
13. Найти
вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам a =2; 3; 1 и
b =1; –2;3 и удовлетворяет условию x 2; –1; 1 = –6.
14. Найти вектор x , перпендикулярен к векторам a =4; –2; –3 и b =0; 1;
3 и образующий с осью Оy тупой угол, x 26 .
15. Найти
вектор
x , зная, что он перпендикулярен векторам a =4; –6; 2,
b =1; –2; 3 и удовлетворяет условию x e1 7e 2 21e3 42 .
16. Найти вектор x , зная, что x Оx, x a , x b =2, где b =6; 3; 1, a =1;
1; 1.
17. Найти вектор x , зная, что x a , x b , x 4 , если a =2; –1; 1, b =0;
3;1.
18. Найти вектор m , зная, что он перпендикулярен к a =2; 3; –1 и b =1;
–2; 3 и удовлетворяет условию m 1; 1; 1 = –18.
19. Вектор x перпендикулярный к оси Оz и вектору a =8; –15; 3, обра
зует острый угол с осью Оx. Найти x , если x 51 .
20. Найти вектор x , перпендикулярный к векторам a =2; 3; –1 и b =1; –
2; 3 и удовлетворяющий условию x c =12, где c =2; –1; 1.
21. Найти
вектор c , если известно, что c a , c b , c =1, где a =5; 7; 1,
b =4; 2; –1.
22. Найти вектор p , зная, что p Оy, p a , p b =–3, где a =2; 3; –1,
b =1; 1; 1.
23. Даны два вектора
a =2;–4; 3 и b =–2; 3; 1. Найти вектор x , если
x Оz, x a , x b =6.
24. Найти вектор x , зная, что x a , x b , x 4 , где a =3; –2;1, b =4; 6;
–1.
25. Даны два вектора a =1; 3; –5 и b =–2; 1;
2. Найти вектор с, зная,
что он перпендикулярен векторам a и b и удовлетворяет условию
c 3e1 4e2 5e3 12 .
26. Найти вектор p , зная, что он перпендикулярен к a =2; –1; 3 и b =3;
–2; 1, образует с осью Оx острый угол, p =16.
27. Найти вектор x , зная, что x Оz, x a , x a , где a =–3; 5; 4.
28. Даны векторы a =0; 2; 1, b =1; 0; 2, c =1; 1; 1. Найти вектор x ,
если x a , x b , x c =3.
29. Найти вектор p , зная, что он перпендикулярен к векторам m =2; –1;
0 и n =2; –2; 1, образует с осью Оy тупой угол и p =5.
30. Найти
вектор
x , зная, что x a , x b , x 1; 1; 1=–18, где a =2; –3; 1,
b =–2; 1;1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Задание 9.
Даны вершины четырехугольника А(1; –2; 2), В(1; 4; 0), С(–4; 1; 1), Д(–
5;–5;3). Доказать, что его диагонали АС и ВД взаимно перпендикулярны.
Проверить, что векторы a ={7; 6; –6} и b ={6; 2; 9} могут быть взяты
за ребра куба. Найти третье ребро.
Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3; 5; 4), В(5; 8; 3), С(1; 9;
9). Найти длину высоты, опущенной из вершины С.
Точки А(1; 2) и С(3; 6) – противоположные вершины квадрата. Найти
координаты двух других его вершин.
Зная векторы AB ={1; 2; –1} и BC = {2; 0; –4}, совпадающие с двумя
сторонами треугольника, найти угол при вершине А и площадь треугольника.
Доказать, что векторы OA и OB , где А(3; 6; –2), В(6; –2; 3) могут быть
взяты за ребра кеба. Найти конец С третьего ребра.
Даны вершины четырехугольника А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), С(–3; 0; 6) и Д(9;
2; 4). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
8. Даны вершины треугольника А(4; 1; 0), В(2; 2; 1) и С(6; 3; 1). Найти
длину высоты опущенной из вершины В.
9. Проверить, что векторы a ={12; –3; –3} и b ={4; 5; 11} могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро.
10. Зная векторы AB ={2; –2; –3} и BC ={2; 2; 9}, совпадающие с двумя
сторонами треугольника, найти угол при вершине С и площадь треугольника.
11. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(–3; –2; 0),
В(3; –3; 1) и С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину и угол между
диагоналями АС и ВД.
12. Проверить, что точки А(3; –1; 2), В(1; 2; –1), С(–1; 1; –3), Д(3; –5; 3)
служат вершинами трапеции. Найти длины ее параллельных сторон.
13. Зная векторы AB ={2; –2; 1} и BC ={–4; 1; –3}, совпадающие с двумя
сторонами треугольника, найти угол при вершине А и высоту ВD.
14. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(2; 1; –4), В(1; 3; 5), С(7;
2; 3), D(8; 0; –6) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.
15. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(1; 1; 4), В(2;
3; –1), С(–2; –2; 0). Найти его четвертую вершину и угол между диагоналями.
16. Проверить, что векторы a = 4; 4; 2, b = 4; 2; 4 могут быть взяты за ребра куба. Найти третье ребро .
17. Зная векторы AB = 6; 2; 4, BC = 7; 2; 8, совпадающие со сторонами
треугольника, найти угол при вершине А площадь треугольника.
18. Дан треугольник АВС с вершинам в точках А(–1;–2;4), B(–4;–2;0) и
С(3;–2;1). Найти длину высоты, опущенной из вершины С.
19. Даны вершины четырехугольника А(1;–2; 2), В(1; 4; 0), С(–4; 1; 1), D(–
5;–5; 3). Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.
20. Даны 3 последовательные вершины параллелограмма А(1;–2;3), В(3; 2;
1), С(6; 4; 4). Найти его четвертую вершину и угол между диагоналями.
21. Зная векторы AB = 3; 0; 4 , BC = 7; 0; 1, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершине А и высоту ВD.
22. Доказать, что векторы a = 6; 2; 9, b = 7; 6; 6 могут быть взяты за ребра
куба. Найти третье ребро.
23. Дан треугольник АВС с вершинами в точках А(3; 2; –3), В(5; 1; –1),
С(1; –2; 1). Найти внутренние углы этого треугольника.
24. Даны вершины четырехугольника А(7; 3; 2), В(–3; 0; 6), С(9; 2; 4), D(1;
2; 3). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
25. Проверить, что точки А(3; –1; 2), В(1; 2; –1), С(–1; 1; –3), D(3; –5; 3)
служат вершинами трапеции. Найти длины ее параллельных сторон.
26. Векторы AB = 1; 2; 1и BC = 2; 0; 4 совпадают с двумя сторонами треугольника .Найти высоту, опущенную из вершины С.
27. Доказать, что векторы AB = 4; 5; 11 и AC = 12; 3; 3 могут быть взяты
за ребра куба. Найти третье ребро.
28. Даны вершины треугольника А(4; 1; 0), В(2; 2; 1) и С(6; 3; 1). Найти
длину высоты, опущенной из вершины А.
29. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(–3; –2; 0),
В(3; –3; 1), С(5; 0; 2). Найти его четвертую вершину и угол между диагоналями.
30. Зная векторы AB = 1; 2; 1 и BC = 2; 0; 4, совпадающие с двумя сторонами треугольника, найти угол при вершине С и площадь треугольника.
Задание
10*
1. Какую работу производит сила F {4;3;3} , если точка приложения ее
перемещается из положения А(1; –1; 0) в положение В(1; 1; 1)?
2. Сила P {1;1;4} приложена к точке А(2;1;-1). Определить направляющие
косинусы момента этой силы относительно начала координат.
3. Какую работу производит сила F {3;2;5} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(2;-2;-1) в точку В(3;-2;-1)?
4. Какую работу совершает сила F {5;2;3} при перемещении точки ее
приложения из М(2;4;-1) в N(0;1;0)?
5. Сила F {1;2;1} приложена к точке А(3;4;5). Определить моменты этой
силы относительно точки С(-1;0;-1).
6. Сила F {3;2;4} приложена к точке А(2;-1;1). Определить момент этой
силы относительно начала координат.
7. Найти работу, производимую силой F {1;2;5} при перемещении точки
приложения силы из А(-1;1;1) в В(4;0;1).
8. Три силы M {1;2;3} , N {1;4;6} , P {2;0;7} приложены к точке
С(2;2;2). Определить величину момента равнодействующей этих сил относительно начала координат.
9. Определить момент силы F {2;3;1} , приложенной к точке А(-1;1;1)
относительно точки В(0;3;-2).
10. Даны три силы M {3;4;2} , N {2;3;5} , P {3;2;4} , приложенные к
одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения перемещается из А(1;2;1) в В(3;4;0).
11. Сила F {3;2;5} приложена к точке А(2;-1;0). Определить момент силы относительно точки В(-1;0;2).
12. Какую работу производит сила F {5;4;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(3;2;-4) в точку В(1;4;3)?
13. Сила F {3;2;5} приложена к точке А(2;-1;0). Определить момент силы относительно точки В(-1;0;2).
14. Какую работу производит сила F {5;4;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из точка А(3;2;-4) в точку В(1;4;-3)?
15. Сила P {1;2;5} приложена к точке М(2;-1;3). Определить момент
этой силы относительно точки А(-1;3;2).
16. Сила P {3;4;1} приложена к точке А(1;-2;1). Определить величину
момента этой силы относительно точки В(1;1;1).
P
17. Сила {1;1;3} приложена к точке А(3;2;1). Найти момент этой силы
относительно точки В(4;-3;7).
18. Какую работу производит сила F {4;2;3} , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(2;-3;5) в точку В(1;2;-4)?
19. Вычислить работу, которую совершает сила F {1;2;3} по перемещению материальной точки из А(1;0;1) в В(2;2;2).
20. Сила P {2;2;9} приложена к точке М(4;2;-3). Определить момент
этой силы относительно точки К(2;4;0).
F
21. Под действием силы {2;4;6} переместилась из А(-1;0;2) в В(3;4;1).
Найти работу силы F.
22. Сила P {2;4;5} приложена к точке М(4;-2;3). Определить момент
этой силы относительно точки А(3;2;-1).
23. Какую работу производит сила F {1;2;5} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(-1;3;2) в точку В(0;2;4).
24. Сила P {2;2;5} приложена к точке А(4;2;-4). Определить величину
момента этой силы относительно начала координат.
F
25. Вычислить работу силы {3;2;1} , если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(0;0;2) в В(0;2;0).
26. Сила P {2;1;2} приложена к точке А(3;4;-3). Определить момент
этой силы относительно В(0;1;1).
27. Найти работу, производимую силой F {3;5;2} , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(1;1;1) в В(2;-5;-7).
P
28. Сила {2;2;9} приложена к точке А(4;2;-3). Найти величину момента этой силы относительно точки С(2;4;0).
29. Какую работу совершает сила F {1;2;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(-2;1;0) в В(3;2;-1)?
30. Сила P {4;0;2} приложена к точке А(1;0;1). Найти момент этой силы
относительно точки С(0;0;1).
Задание 10*
1. Какую работу производит сила F {4;3;3} , если точка приложения ее перемещается из положения А (1;-1;0) в положение В(1;1;1)?
2. Сила P {1;1;4} приложена к точке А(2;1;-1). Определить направляющие
косинусы момента этой силы относительно начала координат.
3. Какую работу производит сила F {3;2;5} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(2;-2;-1) в точку В(3;-2;-1)?
4. Какую работу совершает сила F {5;2;3} при перемещении точки ее
приложения из М(2;4;-1) в N(0;1;0)?
5. Сила F {1;2;1} приложена к точке А(3;4;5). Определить моменты этой
силы относительно точки С(-1;0;-1).
6. Сила F {3;2;4} приложена к точке А(2;-1;1). Определить момент этой
силы относительно начала координат.
7. Найти работу, производимую силой F {1;2;5} при перемещении точки
приложения силы из А(-1;1;1) в В(4;0;1).
N
{
1
;
4
;
6
}
P
{2;0;7} приложены к точке
M
{
1
;
2
;
3
}
8. Три силы
,
,
С(2;2;2). Определить величину момента равнодействующей этих сил относительно начала координат.
9. Определить момент силы F {2;3;1} , приложенной к точке А(-1;1;1)
относительно точки В(0;3;-2).
10. Даны три силы M {3;4;2} , N {2;3;5} , P {3;2;4} , приложенные к
одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения перемещается из А(1;2;1) в В(3;4;0).
11. Сила F {3;2;5} приложена к точке А(2;-1;0). Определить момент силы относительно точки В(-1;0;2).
F
12. Какую работу производит сила {5;4;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(3;2;-4) в точку В(1;4;3)?
13. Сила F {3;2;5} приложена к точке А(2;-1;0). Определить момент силы относительно точки В(-1;0;2).
14. Какую работу производит сила F {5;4;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из точка А(3;2;-4) в точку В(1;4;-3)?
15. Сила P {1;2;5} приложена к точке М(2;-1;3). Определить момент
этой силы относительно точки А(-1;3;2).
16. Сила P {3;4;1} приложена к точке А(1;-2;1). Определить величину
момента этой силы относительно точки В(1;1;1).
P
17. Сила {1;1;3} приложена к точке А(3;2;1). Найти момент этой силы
относительно точки В(4;-3;7).
18. Какую работу производит сила F {4;2;3} , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки А(2;-3;5) в точку В(1;2;-4)?
19. Вычислить работу, которую совершает сила F {1;2;3} по перемещению материальной точки из А(1;0;1) в В(2;2;2).
20. Сила P {2;2;9} приложена к точке М(4;2;-3). Определить момент
этой силы относительно точки К(2;4;0).
F
21. Под действием силы {2;4;6} переместилась из А(-1;0;2) в В(3;4;1).
Найти работу силы F.
22. Сила P {2;4;5} приложена к точке М(4;-2;3). Определить момент
этой силы относительно точки А(3;2;-1).
23. Какую работу производит сила F {1;2;5} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(-1;3;2) в точку В(0;2;4).
24. Сила P {2;2;5} приложена к точке А(4;2;-4). Определить величину
момента этой силы относительно начала координат.
F
25. Вычислить работу силы {3;2;1} , если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(0;0;2) в В(0;2;0).
26. Сила P {2;1;2} приложена к точке А(3;4;-3). Определить момент
этой силы относительно В(0;1;1).
27. Найти работу, производимую силой F {3;5;2} , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(1;1;1) в В(2;-5;-7).
P
28. Сила {2;2;9} приложена к точке А(4;2;-3). Найти величину момента этой силы относительно точки С(2;4;0).
29. Какую работу совершает сила F {1;2;3} , когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается из А(-2;1;0) в В(3;2;-1)?
30. Сила P {4;0;2} приложена к точке А(1;0;1). Найти момент этой силы
относительно точки С(0;0;1).
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
методические указания
и индивидуальные задания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
института транспорта
очной формы обучения
Составители: Бакановская Н. Н., ассистент
Редактор: Скалкина М. А., к.ф.–м.н., профессор
Подписано к печати
Бум. писч. № 1
Заказ №
Уч. изд. л. 1,25 п. л.
Формат 60/90 1/16
Усл. печ. л. 1,25 п. л.
Отпечатано на RISO GR 3750
Тираж
экз.
________________________________________________________________
Издательство «Нефтегазовый университет»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38
Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет»
625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38
