Практическая работа №3x

Практическая работа 3
Операции над векторами
Цель работы: закрепить умения выполнять действия над векторами
Содержание работы.
Основные понятия.
1 Вектором называется отрезок, у которого указано, какой из концов является
началом, а какой – концом (направленный отрезок), обозначается ,
, где - начало
вектора, - конец.
2 Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или
параллельных прямых.
3 Векторы называются ортогональными, если угол между ними 90 0 .
4 Векторы можно складывать ( по правилам треугольника и параллелограмма),


можно умножать на число:
a  a1 , a2 , a3 
b  b1 ,b2 ,b3 

 
a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  ; ka  ka1 , ka2 , ka3  .
5
Необходимое
a
a a
 
ab 1 2  3
b1 b2 b3
и
достаточное
6 Модуль вектора
условие
коллинеарности
равен
7 Если заданы начало Ax1 , y1 , z1  и конец Bx2 , y2 , z2  вектора
координаты и длина находятся следующим образом:
AB  x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 ;
векторов:
AB 
AB , то его
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2 .
8 Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними
9
 
10 Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов: a  b  0 .
11 Проекция вектора на направление:
Задание
1 Найти длину вектора AB  3BC  4CD
2 Найти длины векторов AB;
BC ; CD
3 Найти косинусы углов между векторами AB и BC ;
4 Найти AB  CD  AD



BC и CD

5 Найти Пр AB BD  AC
6. Найти векторное произведение (2АВ – 3СД) и (АС +4ВД)
7. Высоту треугольника, построенного на векторах АВ и АД
Исходные данные:
Даны точки A6, 3, 3, B 1, 0,  2, C3, 1, 1, D0, 4, 5.
Задание 1
Решение:
AB   1  6; 0  3;  2  3   7;3;5;
BC  3  1; 1  0; 1  2  4; 1; 3;
CD  0  3; 4  1; 5  1   3; 3; 4;
AB  3BC  4CD   7  3  4  4   3;  3  3  1  4  3;  5  3  3  4  4 
 31; 6; 2
Задание 2
Решение:
AB 
 7 2   32   52
BC 
42  12  32
 26
CD 
 32  32  42
 34
 83
Задание 3
Решение:
 7  4  3 1  5  3
 46
cos AB; BC 

;
83 26
2158
4   3  1  3  3  4
3
cos BC ; CD 

26 34
884
Задание 4
Решение:
Даны точки A6, 3, 3, B 1, 0,  2, C3, 1, 1, D0, 4, 5.
AB   7;3;5; CD   3; 3; 4;
AD  0  6; 4  3; 5  3   6; 1; 2;
AB  CD   7   3,  3  3,  5  4   10, 0,  1
AB  CD AD  10   6  0 1   1  2  58
Задание 5
Решение:
AB   7 ,  3,  5,
BD  0   1, 4  0, 5   2  1, 4, 7, AC  3  6, 1  3, 1  3   3,  2,  2,
BD  AC  1   3, 4   2, 7   2   2, 2, 5.


Пр AB BD  AC 
 7   2   3  2   5  5
 7 2   32   52

 17
.
83
Задание 6
Решение:
AB   7 ,  3,  5, CD   3, 3, 4
7 3 5


 векторы не являются коллинеарными.
3
3
4
Задание 7
Решение:
AB   7 ,  3,  5, CD   3, 3, 4
 7   3   3  3   5  4  8  0 , следовательно, векторы не являются
ортогональными.
ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА
для проведения практической работы 3
Тема занятия: выполнение действий над векторами
Цель выполнения задания: закрепить умения выполнять действия над
векторами
Необходимо знать: основные формулы и правила работы с векторами
Необходимо уметь: применять основные формулы и правила работы с
векторами
Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение):
методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта
для проведения практического занятия
Компьютерные программы: компьютерные программы не используются
Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно
изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к
выполнению работы
Порядок выполнения задания, методические указания: - ознакомиться с
теоретическими положениями по данной теме; - изучить схему решения задач; выполнить задания практической работы; - сформулировать вывод
Дополнительные задания: Могут быть сформулированы по ходу занятия
Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать:
основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления,
ответ; вывод по работе
Контрольные вопросы: 1 Чем характеризуется вектор? 2 Какие операции можно производить над
векторами? 3 Какие векторы называются равными? 4 Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное
произведение отрицательно? 5 Что можно сказать об угле между векторами, если скалярное произведение
положительно? 6 Что можно сказать об угле между векторами, если их скалярное произведение равно нулю? 7 Какие
векторы называются коллинеарными? 8 Условие коллинеарности векторов 9 Какие векторы называются
ортогональными? 10 Условие ортогональности векторов 11 Скалярное произведение векторов 12 Проекция вектора
на направление 13 Координаты вектора 14 Длина вектора
1
2
3
4
5
Литература:
Ю.М.Колягин Математика в 2-х книгах, учебник для СПО, 2008, книга 1
И.Л.Соловейчик Сборник задач по математике для техникумов, -М, 2003
Н.В. Богомолов Сборник задач по математике, -М, 2006
http://www.cleverstudents.ru
http://www.coolreferat.com