Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ Кафедра вычислительной техники и информационных технологий Т.В.Долгина

Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ
Кафедра вычислительной техники и информационных технологий
Т.В.Долгина
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПТИМУМ
Конспект лекций
Кемерово2013
Утверждено на заседании кафедры
30 апреля 2013 г., протокол № 8
Рекомендовано к печати учебнометодической комиссией по математическим и информационным дисциплинам
16 мая 2013 г., протокол № 7
Долгина, Т.В.
Д64 Экономические задачи на оптимум: конспект лекций/Т.В. Долгина, Кемеровский институт (филиал) РГТЭУ. – Кемерово:
РГТЭУ Кемеровский институт (филиал), 2013. – 80 с.
Текст дан в авторской редакции
Описаны основные понятия моделирования и решения экономических
задач на оптимум. Рассмотрены наиболее распространенные модели, используемы для поиска оптимальных решений в экономической сфере.
Предназначено для студентов всех форм обучения специальности
080801 «Прикладная информатика» (в экономике)»
© Кемеровский институт (филиал)
ГОУВПО «РГТЭУ», 2013
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................................................................4
Раздел 1.
Теоретические основы задач оптимизации ...................................6
1.1.
Экскурс в историю ......................................................................6
1.2.
Составление математической модели......................................10
1.3.
Вид записи задач математического программирования ........12
Раздел 2.
Оптимизационные методы и модели в управлении
экономическими системами .................................................................................14
2.1.
Моделирование в решении экономических задач ..................14
2.2.
Линейное программирование ...................................................15
2.3.
Построение экономико-математических моделей задач
линейного программирования ..........................................................................18
2.4.
Графическое решение задачи линейного программирования ...
.....................................................................................................26
2.5.
Анализ моделей на чувствительность .....................................33
2.6.
Усложненные задачи транспортного типа ..............................40
2.7.
Транспортная задача в сетевой постановке.............................47
Раздел 3.
Задачи с детерминированными параметрами .............................51
3.1.
Задачи с неделимостями ...........................................................51
3.2.
Комбинаторные задачи .............................................................52
3.3.
Задачи, формально сводящиеся к задачам дискретного
программирования ............................................................................................54
3.4.
Общая схема метода ветвей и границ ......................................54
Раздел 4.
Метод динамического программирования для решения
детерминированных задач ....................................................................................57
4.1.
Модели планирования и управления запасами .......................59
4.2.
Однопродуктовая детерминированная модель управления
запасами с учетом оптовых скидок..................................................................61
4.3.
Однопродуктовая детерминированная модель управления
запасами с планированием дефицита ..............................................................61
4.4.
Однопродуктовая
вероятностная
модель
управления
запасами с непрерывным контролем их уровня .............................................62
Раздел 5.
Примеры решения оптимизационных задач с помощью MS
EXCEL
.........................................................................................................63
5.1.
Производственная задача ..........................................................63
5.2.
Оптимальная организация рекламной компании ...................66
5.3.
Транспортная задача .................................................................69
5.4.
Задача об оптимальном назначении ........................................72
Заключение ............................................................................................................75
Тест для самопроверки .........................................................................................76
Список рекомендуемой литературы ....................................................................79
3
ВВЕДЕНИЕ
Деятельность отдельных людей и коллективов, как правило, связана с выбором таких решений, которые позволили бы получить некие
оптимальные результаты–затратить минимум средств на питание семьи, достичь максимальной прибыли предприятия, добиться наилучших показателей в спорте и т. д. Но в каждой конкретной ситуации
надо считаться с реальными условиями задачи предприятие не сможет
обеспечить максимальную прибыль без учета реальных запасов сырья,
его стоимости и целого ряда других факторов. Для достижения
наилучших показателей в спорте необходимо правильно организовать
тренировку спортсменов, оптимально использовать имеющиеся технические средства и площадки, правильно сформировать команду.
Рассмотрим простейший пример – задачу о питании (или о смесях): какое количество и каких продуктов необходимо купить, чтобы
затратить на покупку минимум денег и одновременно обеспечить для
организма необходимое количество жиров, белков, углеводов и т. п.
Стоимость продуктов и количество жиров, белков, углеводов и других
компонентов в каждом продукте известны.
Экономический пример: какую продукцию и в каком количестве
следует выпустить предприятию с учетом имеющихся у предприятия
ресурсов и материалов, чтобы получить наибольшую прибыль. Прибыль, которую приносит каждый вид продукции, и затраты ресурсов и
материалов на выпуск единицы продукции каждого вида считаются
заданными.
Еще один известный пример – так называемая транспортная задача. Пусть требуется перевезти однородный груз от т поставщиков к
и потребителям. Стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю известна. Требуется так организовать перевозку груза, чтобы весь груз от поставщиков был доставлен
потребителям и чтобы стоимость перевозки была минимальной.
И, наконец, старинная задача: можно ли кратчайшим путем поочередно обойти все семь мостов города Кенигсберга, соединяющие
районы этого города с островом на реке Прегель, если по каждому мосту можно пройти только один раз? А если можно, то в какой последовательности надо обходить эти мосты?
Во всех этих задачах можно выделить достигаемую при решении задачи цель (сформулировать целевую функцию, или оптимизируемый критерий): минимум затрат на питание, максимум прибыли
предприятия, наикратчайший путь обхода мостов, а также условия,
4
ограничивающие возможные значения неизвестных (условияограничения): необходимое для организма количество жиров, белков и
углеводов; количество ресурсов и материалов, которыми располагает
предприятие; условия того, что весь груз будет вывезен от поставщика
и все потребители получат необходимое количество груза; каждый
мост можно пройти только один раз.
Современный экономист должен хорошо разбираться в экономико-математических методах, уметь их практически применять для
моделирования реальных экономических ситуаций. Это позволит
лучше усвоить теоретические вопросы современной экономики, повысить уровень квалификации и общей профессиональной культуры
специалиста.
5
РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ
1.1. Экскурс в историю
Люди начали искать наилучшее решение со времени появления
человека разумного. Интуиция и воля, умение ориентироваться в обстановке рождали решение. Жизнь заставляла находить вполне определенный, единственный, наилучший способ действий.
В 1938 г. перед двадцатипятилетним профессором Ленинградского университета T. В. Канторовичем была поставлена задача: как
наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного
треста при условии, что известна производительность каждого станка
по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов.
Ученый нашел метод решения этой задачи, который стал общим.
Он получил название «Линейное программирование». За разработку
этого метода в 1965 г. Л. В. Канторовичу и двум ученым – академику
В. С. Немчинову и профессору В. В. Новожилову – была присуждена
Ленинская премия. В 1975 г. совместно с американским ученым Т.
Купмансом Л. В. Канторович получил Нобелевскую премию за вклад в
теорию оптимизации распределения ресурсов.
Методы линейного программирования применялись и одновременно развивались во время второй мировой войны для планирования
военных операций. Еще до ее начала методы анализа военных систем
на основе математического программирования стали использоваться
военными специалистами в Великобритании, а затем и в других странах. В США и Канаде были созданы специальные подразделения, занимавшиеся анализом военных операций. В 1938 г. в США был введен
термин «исследование операций» в качестве характеристики рода деятельности необычной исследовательской группы, выполнявшей работы по анализу военных систем, в частности решающих задачи оптимального использования радиолокационных установок в общей системе обороны страны. Этот анализ являлся основой для принятия командованием соответствующих решений.
Сегодня линейное и, шире, математическое программирование–
один из основных методов принятия производственно-экономических
решений. Существуют и другие методы: теория игр и статистических
решений, метод Монте-Карло (статистических испытаний), теория
6
массового обслуживания, сетевое планирование и др. Эти методы в
совокупности объединяются под названием «исследование операций».
Описание любой задачи исследования операций включает задание компонентов (факторов) решения, налагаемых на них ограничений
и системы целей. Каждой из целей соответствует целевая функция,
заданная на множестве допустимых решений, значения которой выражают меру осуществления цели. Задачи исследования операций классифицируют по их теоретико-информационным свойствам. Если субъект в ходе принятия решения сохраняет свое информационное состояние, т. е. никакой информации не приобретает и не утрачивает, то
принятие решения можно рассматривать как мгновенный акт. Соответствующие задачи называют статическими. Напротив, если субъект
в ходе принятия решения изменяет свое информационное состояние,
получая или теряя информацию, то в такой динамической задаче
обычно целесообразно принимать решение поэтапно (многошаговые
решения). Значительная часть динамических задач исследования операций входит в динамическое программирование.
С конца 1940-х годов сфера приложения исследования операций
стала охватывать разнообразные стороны человеческой деятельности –
как чисто технические (особенно технологические), так и техникоэкономические, а также управленческие различного уровня.
Лишь отдельные задачи исследования операций поддаются аналитическому решению и сравнительно немногие – численному решению вручную.
Поэтому рост возможностей исследования операций тесно связан с прогрессом вычислительной техники.
С 1950-х годов для исследования обоснования решений сложных проблем политического, социального, военного, экономического,
научного и технического характера стала применяться совокупность
методологических средств, получившая название системный анализ.
Он применим для решения таких задач, как распределение мощностей
между различными видами изделий, определение потребности в новом
оборудовании и в рабочей силе той или иной квалификации, прогнозирование спроса на различные виды продукции, а также развитие и
техническое оснащение вооруженных сил, освоение космоса и т. д.
Системный анализ базируется на ряде прикладных математических дисциплин, в частности на исследовании операций. Когда в задаче системного анализа имеется одна четко выраженная цель, степень
достижения которой можно оценить на основе одного критерия, ис7
пользуют методы математического программирования.
Первое применение системного анализа в военном деле относят
к истории древних веков, когда правитель Сиракуз обратился к Архимеду с просьбой помочь осажденному городу прорвать осаду римлян.
Отдельные исследования по системному анализу проводились в конце
XIX и начале XX веков, а также в первую мировую войну. Так, в 1886
г. военное командование прибегло к системному анализу, чтобы принять решение относительно производства 12-дюймовых орудий, предназначенных для использования в береговой артиллерии. Необходимо
было сделать выбор между орудием, выпускаемым фирмой Круппа, и
орудием нового образца американского производства. Во время второй мировой войны с помощью системного анализа разрабатывались,
например, стратегические планы борьбы с подводными лодками.
Но эти работы не имели практического выхода и были неизвестны. Системный анализ (и его часть – исследование операций) во время
второй мировой войны применялись для того, чтобы, например, решить, какие помехи предпочтительнее в качестве радиолокационных –
пассивные или активные, какие цели для бомбометания наиболее эффективны, какие из способов обнаружения подводных лодок являются
наилучшими и т. д.
После войны акцент в исследованиях сместился с тактических
задач на задачи планирования.так как возникла необходимость создания новых видов оружия. Затем область применения методов исследования операций расширилась настолько, что охватила и военнополитические доктрины государств.
Примерами задач, решаемых с помощью методов исследования
операций и математического программирования, могут быть следующие.
1) разработка высокоэффективных методов управления людьми
и техникой;
2)разработка методов использования имеющейся техники, обеспечивающей выполнение поставленной задачи с минимальными затратами и с максимальным эффектом;
3)определение целесообразности разработки, приобретения и
распределения техники и материалов в рамках общей стратегии деятельности людей.
Первые две задачи допускают применение наиболее продуктивных формальных методов. Используемые при принятии решения и
распределении ресурсов в различных областях науки и техники (эко8
номике, торговле) методы – управление запасами, назначение персонала, составление маршрутов и т. п.– практически не отличаются и
интенсивно развиваются в последнее десятилетие.
Исследование операций – инструмент для выработки решений
во всех областях деятельности человека, средство повышения эффективности и качества производства. Исследование операций во многих
случаях остается единственным средством для принятия обоснованных решений. По словам профессора Е. С. Вентцель исследование
операций способно «дать плохой ответ на вопрос, на который нельзя
ответить по-другому».
Искусством выбора человек овладел в век научно-технической
революции, когда появились ЭВМ, способные производить быстрые
расчеты. Был найден язык общения человека с машиной. Можно было
приступить к решению производственных и иных задач.
Оценим время, необходимое для решения задач математического программирования на ЭВМ. Причем проведем оценку для наиболее
простого случая–линейного программирования. Как будет показано,
область определения целевой функции в линейном программировании
представляет собой выпуклое многомерное множество в n-мерном
пространстве переменных X, и экстремум целевой функции достигается в его вершинах. Неупорядоченный перебор вершин с целью выявления точки, в которой целевая функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения, является практически невыполнимой
задачей.
Простейшая задача линейного программирования – выбор по
одному элементу в каждой из n строк и в каждом из пn столбцов квадратной таблицы чисел, причем такой, чтобы сумма их оказалась максимальной (проблема выбора).
Число вершин соответствующего многогранного множества
равно n!. Для вычисления значения целевой функции в каждой из
вершин многогранника необходимо произвести n сложений. При n= 20
𝑛 𝑛
число вершин многогранника 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ⋯ ∙ 𝑛 ≈ ( 𝑒 ) √2𝜋𝑛 (формула Стирлинга) и превысит 2 ∙ 1018 . Даже для современного компьютера потребуется несколько лет, чтобы перебрать вершины многогранника, определяемого условиями данной задачи линейного программирования. Практика требует решения задач для значений n, значительно превышающих 20.
В настоящее время трудно назвать области практической и
научной деятельности, где бы не применялись методы математическо9
го программирования. Это планирование производства, управление
запасами и трудовыми ресурсами, размещение объектов, техническое
обслуживание оборудования, работ над проектами и календарное планирование, построение вычислительных, информационных, электроэнергетических, военных, транспортных систем, организация городской сферы обслуживания, здравоохранения, туризма, спорта и развлечений и т. д. Поэтому наряду с термином решение в математическом программировании употребляются и термины план, стратегия,
управление, поведение.
1.2. Составление математической модели
Для того чтобы что-то рассчитать, надо формализовать задачу, т.
е. составить математическую модель, поскольку но своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или
иных явлений. Причем результаты исследований математических моделей представляют практический интерес только тогда, когда модели
достаточно адекватно отображают реальные ситуации и достаточно
совершенны.
В приведенных выше задачах требовалось отыскать максимум
или минимум некоторой целевой функции f{x). Но задача отыскания
минимума функции f(x) эквивалентна задаче отыскания максимума
той же функции, взятой со знаком минус, и наоборот. Поэтому будем
говорить об оптимальном (optimum – наилучший) значении целевых
функций.
Итак, сформулированные в реальных задачах требования могут
быть выражены количественными критериями и записаны в виде математических выражений. Процесс формирования математической
задачи и алгоритма ее решения достаточно сложен. Его можно представить в виде следующих этапов.
Изучение объекта. На этом этапе следует хорошо понять все
особенности функционирования объекта, четко определить факторы,
влияющие на его функционирование, их число и степень влияния, выбрать критерий оптимизации, отражающий цель рассматриваемой задачи.
Описательное моделирование. Устанавливают и словесно фиксируют основные связи и зависимости между характеристиками про10
цесса или явления с точки зрения оптимизируемого критерия.
Математическое моделирование. Переводят описательную модель на формальный математический язык. Все условия записывают в
виде соответствующей системы равенств и неравенств, а критерий оптимизации – в виде функции. После того как задача записана в математической форме, ее конкретное содержание перестает нас интересовать до момента проведения содержательного анализа получаемого
решения. Дело в том, что различные по своему содержанию задачи
часто можно привести к одной и той же формальной математической
записи.
Выбор или создание метода решения. Главное внимание обращают на полученную математическую структуру задачи (постановку
задачи). Исходя из нее, выбирают либо известный метод решения, либо некую модификацию известного метода, либо разрабатывают новый.
Выбор или написание программы для решения задачи на ЭВМ.
Задачи, содержащие целевую функцию и условия-ограничения и описывающие поведение реальных объектов, как правило, имеют большое
число переменных и зависимостей (уравнений связи) между ними. Поэтому они могут быть решены в разумные сроки только с помощью
компьютера. Программа для компьютера реализует выбранный метод
решения задачи.
Решение задачи на ЭВМ. Необходимую информацию для решения задачи вводят в память ЭВМ вместе с программой. В соответствии
с программой ЭВМ производит необходимую обработку введенной
числовой информации, получает требующиеся результаты (решение) и
выдает его пользователю в заданной форме.
Анализ полученного решения. Он бывает формальным (математическим) и содержательным. При формальном анализе проверяют
соответствие полученного решения построенной математической модели, т. е. производят проверку правильности введения исходных данных, функционирования программы, ЭВМ и т. д. При содержательном
анализе проверяют соответствие полученного решения тому реальному объекту, который моделировали. В результате содержательного
анализа в модель (словесную и математическую) могут быть внесены
изменения, после чего рассмотренный процесс повторяют. Только после полного завершения анализа (и формального, и содержательного)
модель может быть использована для расчета.
Следует иметь в виду, что в математическом программировании
11
выделяют два вида решений: допустимое решение и собственно решение задачи.
Под допустимым решением понимают такой набор значений искомых величин (переменных), который удовлетворяет условиямограничениям задачи.
Решением задачи из множества допустимых решений будет то,
при котором целевая функция достигнет своего наибольшего
(наименьшего) значения.
Для того чтобы подчеркнуть важность содержательного анализа,
приведем следующий пример. Когда впервые решали задачу о питании, то в качестве фактора оптимизации взяли минимум затрат, а в
условие-ограничение включили только требование по калорийности
пищи. Решение задачи было таковым: питаться следует уксусом (входил в состав возможных продуктов питания): и калорийность обеспечена, и стоимость минимальна.
1.3. Вид записи задач математического программирования
Задача математического программирования должна содержать
некую целевую функцию, оптимум которой следует определить, и систему равенств и неравенств, описывающих условия-ограничения.
Общая задача математического программирования состоит в определении вектора х* с координатами 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , ⋯ , 𝑥𝑛∗ , который является решением задачи:
оптимизировать 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 )
(1.1)
при ограничениях
𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) ≥ 0
𝑔2 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) ≥ 0
………………………
𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) ≥ 0
ℎ1 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) = 0
(1.2)
ℎ2 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) = 0
………………………
ℎ𝑝 (𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ) = 0
Используем понятие вектора как упорядоченной совокупности n действительных чисел 𝑥 = {𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 } (в отличие от известного в геометрии свободного вектора – направленного отрезка, который можно
12
переносить в пространстве параллельно его первоначальному положению). Тогда выражения (1.1)–(1.2) можно записать в более компактной
форме:
оптимизировать 𝑓(𝑥)
при ограничениях
𝑔𝑖 (𝑥) ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚;
ℎ𝑗 (𝑥) = 0, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑝.
Черта над 1,m и 1,р означает, что текущие индексы i и j «пробегают» все целочисленные значения от 1 соответственно до n и р.
Общую задачу математического программирования разбивают
на задачи, названия которых определяются видом оптимизируемой
функции, функций, входящих в условия-ограничения, типом переменных и алгоритмом решения:
линейного программирования – функции 𝑓(𝑥), 𝑔𝑖 (𝑥),ℎ𝑗 (𝑥)линейны;
нелинейного программирования – хотя бы одна из функций 𝑓(𝑥),
𝑔𝑖 (𝑥),ℎ𝑗 (𝑥) нелинейна;
квадратичного программирования – 𝑓(𝑥)является квадратичной
функцией, ограничения линейны;
сепарабельного программирования – 𝑓(𝑥) представляет собой
сумму функций, различных для каждой переменной, условияограничения могут быть как линейными, так и нелинейными (но все
недиагональные элементы матрицы, состоящей из вторых частных
производных любой функции задачи, равны нулю);
13
РАЗДЕЛ 2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И
МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
2.1. Моделирование в решении экономических задач
Моделирование широко используется для решения экономических задач. Модель – это представление объекта, системы или процесса в форме отличной от оригинала, но сохраняющей основные его характеристики. Причинами, обуславливающими применение моделирования в экономике, являются: естественная сложность многих организационных ситуаций, невозможность проведения экспериментов в реальной жизни и ориентация руководства на будущее.
Процесс моделирования часто применяется при решении сложных проблем в управлении, так как позволяет избежать значительных
трудностей и издержек при проведении экспериментов в реальной
жизни. Основой моделирования является необходимость относительного упрощения реальной жизненной ситуации или события, вместе с
тем это упрощение не должно нарушать основных закономерностей
функционирования изучаемой системы.
В моделировании обычно рассматривают следующие типы моделей: физическая, аналоговая (организационная схема, график), математическая (использование символов для описания действия или
объектов).
Процесс построения моделей состоит из нескольких этапов: постановка задачи; построение модели; проверка модели на достоверность описания данного процесса, объекта или явления; применение
модели; обновление модели в процессе исследования или реализации.
Эффективность модели может быть снижена за счет ряда потенциальных погрешностей, к которым можно отнести недостоверные
исходные допущения, информационные ограничения, непонимание
модели самими пользователями, чрезмерная стоимость создания модели и т.п., однако пренебрегать столь эффективным средством изучения объектов не стоит.
14
2.2. Линейное программирование
Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или
минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
В самом общем виде задача математически записывается так:
𝑈 = 𝑓(𝑋) → max; 𝑋 ∈ 𝑊,
(2.1)
где X = (х1, х2,..., хп);
W– область допустимых значений переменных x1, x2,…,xn;
f(X) – целевая функция.
Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти
ее оптимальное решение, т. е. указать Х0Є Wтакое, что f(X0) ≥ f(X) при
любом X ЄW, или для случая минимизации – f(X0) ≤ f(X) при любом
X ЄW.
Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не
имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на
допустимом множестве W.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида
целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W.
Если целевая функция в задаче является функцией п переменных, то
методы решения называют методами математического программирования.
Задачей линейного программирования называется задача математического программирования, математическая модель которой имеет
вид:
𝑛
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑚𝑎𝑥 (𝑚𝑖𝑛) ;
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼, 𝐼 ⊆ 𝑀 = {1, 2, … , 𝑚};
𝑛
(2.2)
(2.3)
𝑗=1
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 ∈ 𝑀;
(2.4)
𝑗=1
𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑗 ∈ 𝐽, 𝐽 ⊆ 𝑁{1, 2, … , 𝑛}.
15
(2.5)
При этом система линейных уравнений (2.3) и неравенств (2.4),
(2.5), определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а
линейная функция f(X) называется целевой функцией, или критерием
оптимальности.
В частном случае,если I = 0, то система (2.3) – (2.4)состоит только и линейных неравенств, а если I = M, то – из линейных уравнений.
Если математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:
𝑛
𝑓(𝑋) = ∑ 𝑐𝑗 ⋅ 𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛;
𝑗=1
(2.6)
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚;
(2.7)
𝑗=1
𝑏𝑖 ≥ 0;
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛,
(2.8)
то говорят, что задача представлена в канонической форме.
Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в
общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям
равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию
неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна
минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и
наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
1) если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой
функции;
2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует
умножить это ограничение на –1;
3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
4) если некоторая переменная хк не имеет ограничений по знаку,
то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разно16
стью между двумя новыми неотрицательными переменными: xk= x'k xℓ , ℓ - свободный индекс, x'k ≥ 0, xℓ ≥ 0.
Пример. Приведение к канонической форме задачи линейного
программирования:
min 𝐿 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ;
2𝑥1 − 𝑥3 ≤ 5
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ≥ −1
2𝑥1 − 𝑥2 ≤ −3
𝑥1 ≤ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0.
Решение
Введем в каждое уравнение системы ограничений выравнивающие переменные х4, х5, x6. Система запишется в виде равенств, причем
в первое и третье уравнения системы ограничений переменные х4, x6
вводятся в левую часть со знаком «+», а во второе уравнение вводится
х5 со знаком «–».
Итак:
2𝑥1 − 𝑥3 + 𝑥4 = 5
𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −1
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥6 = −3
𝑥4 ≥ 0, 𝑥5 ≥ 0, 𝑥6 ≥ 0.
Свободные члены в канонической форме должны быть положительными, для этого два последних уравнения умножим на -1:
2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 5;
−𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥5 = 1;
−2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥6 = 3;
В канонической форме записи задач линейного программирования все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть
неотрицательными. Допустим, что
𝑥1 = 𝑥1′ − 𝑥7 , где 𝑥1′ ≥ 0, 𝑥7 ≥ 0.
Подставляя данное выражение в систему ограничений и целевую функцию и записывая переменные в порядке возрастания индекса, получим задачу линейного программирования, представленную в
канонической форме:
2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 5;
−𝑥1′ − 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥5 + 𝑥7 = 1;
−2𝑥1′ + 𝑥2 − 𝑥6 + 2𝑥7 = 3;
𝐿𝑚𝑖𝑛 = 2𝑥1′ + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥7 ;
𝑥1′ ≥ 0; 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅
2, 7.
17
2.3. Построение экономико-математических моделей задач
линейного программирования
Рассмотрим процесс построения математических моделей задач
линейного программирования на примерах.
Пример 1. Определение оптимального ассортимента продукции.
Предприятие изготавливает два вида продукции – П1 и П2, которая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы
сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья
на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в табл. 2.1.
Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию
П1никогда не превышает спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед.
Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.
Таблица 2.1 Расход сырья продукции
Расход сырья
Сырье
на 1 ед. продукции
Запас сырья,
ед.
П1
П2
А
В
2
3
3
2
9
13
Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д.е. – для П1 и 4 д.е.
для П2.
Какое количество продукции каждого вида должно производить
предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопросы1.
1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т. е. как идентифицировать переменные данной задачи?
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные,
чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех
допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут
соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?
Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформули18
рованы для данной задачи так: фирме требуется определить объемы
производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие
доход в д. е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос
и расход исходных продуктов.
Для построения математической модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде
математических функций этих переменных.
Предположим, что предприятие изготовит х1 единиц продукции
и х2 единиц продукции П2. Поскольку производство продукции П1 и П2
ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны
выполняться следующие неравенства:
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9;
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13;
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 1;
𝑥2 ≤ 2;
𝑥1 ≥ 0;
𝑥2 ≥ 0.
Доход от реализации х1единиц продукции П1 и х2 единиц продукции П2 составит 𝐹 = 3𝑥1 + 4𝑥2 .
Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных
неравенств требуется найти такое, при котором функция Fпринимает
максимальное значения Fmax.
Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также использованы:
прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и
затраты станочного времени.
Пример2. Использование мощностей оборудования.
Предприятие имеет т моделей машин различных мощностей.
Задан план по времени и номенклатуре: Т – время работы каждой машины; продукции j-го вида должно быть выпущено не менее Njединиц.
Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы
обеспечить минимальные затраты на производство, если известны
производительность каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции bijи стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на
19
выпуск j-го вида продукции cij.
Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы i-й машины по выпуску j-го
вида продукции xij,обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машинТ и заданному количеству продукции Nj.
По условию задачи машины работают заданное времяТ, поэтому
данное ограничение можно представить в следующем виде:
𝑛
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑇, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
(2.9)
𝑗=1
Ограничение по заданному количеству продукции выглядит
следующим образом:
𝑚
𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑁𝑗 ,
(2.10)
𝑖=1
Задача решается на минимум затрат на производство:
𝑚
𝑛
𝑍𝑚𝑖𝑛 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗
(2.11)
𝑖=1 𝑗=1
Необходимо также учесть неотрицательность переменных 𝑥𝑖𝑗 ≥
0.
Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины, т. е. обеспечить полную загрузку машины. При
этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть
по крайней меренеменее Nj. Однако в некоторыхслучаях недопускаетсяпревышениеплана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:
𝑛
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑇, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; (2.12)
𝒋=𝟏
𝑚
∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑁𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛;
(2.13)
𝑖=1
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0;
𝑚
𝑛
𝑍𝑚𝑖𝑛 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
20
(2.14)
Пример 3. Минимизация дисбаланса на линии сборки.
Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из m различных узлов. Эти узлы изготавливаются на п заводах.
Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна bij.
Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом
времени в течение недели для производства m узлов, равного величине Ti.
Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам
узлов.
В данной задаче требуется определить еженедельные затраты
времени (в часах) на производство j-го узла на i-м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсыi-го завода и обеспечивающие
максимальный выпуск изделий.
Пусть 𝑥𝑖𝑗 – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на
заводе iдля производства узла j. Тогда объемы производства узла jбудут следующими:
𝑛
∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 ,
𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
(2.15)
𝑖=1
Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов
представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства
которых минимален:
𝑛
𝑚𝑖𝑛 (∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚).
(2.16)
𝑖=1
Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на
фонд времени, которым располагает завод i.
Таким образом, математическая модель может быть представлена в следующем виде.
Максимизируем
𝑛
𝑍 = 𝑚𝑖𝑛 (∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚) ;
𝑖=1
21
(2.17)
𝑚
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑇𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛;
(2.18)
𝑗=1
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 для всех 𝑖 и 𝑗.
Эта модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования. Пусть Y – количество изделий:
𝑛
Y = min (∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑁𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚).
(2.19)
𝑖=1
Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна
следующая формулировка: максимизировать Z = Y при ограничениях
𝑛
∑ 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 − 𝑌 ≥ 0,
𝑚
j = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚;
(2.20)
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑇𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 ;
(2.21)
𝑗=1
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 для всех 𝑖 и 𝑗; 𝑌 ≥ 0.
(2.22)
Пример 4. Задача составления кормовой смеси, или задачаодиете.
Пусть крупная фирма имеет возможность покупать т различных
видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов).
Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов).
Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удовлетворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с
точки зрения питательности (полезности). Перед руководством фирмы
стоит задача определить количество каждого i-го сырья, образующего
смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему
расходу смеси и ее питательности.
Решение
Введем условные обозначения:
xi - количество i-го сырья в смеси;
т – количество видов сырья;
п – количество ингредиентов в сырье;
aij– количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья;
22
bj – минимальное количество ингредиента , содержащегося в
единице смеси;
сi – стоимость единицы сырья i;
q – минимальный общий вес смеси, используемый фирмой. Задача может быть представлена в виде
𝑚
𝑍min = ∑ 𝑐𝑖 𝑥𝑖 ,
(2.22)
𝑖=1
при следующих ограничениях: на общий расход смеси:
𝑚
∑ 𝑥𝑖 ≥ 𝑞;
(2.23)
𝑖=1
на питательность смеси:
𝑚
𝑚
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 ≥ 𝑏𝑗 ∑ 𝑥𝑖 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛;
𝑖=1
(2.24)
𝑖=1
на неотрицательность переменных:
𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
(2.25)
Пример 5. Задача составления жидких смесей.
Еще один класс моделей, аналогичных рассмотренным выше,
возникает при решении экономической проблемы, связанной с изготовлением смесей различных жидкостей с целью получения пользующихся спросом готовых продуктов.
Представим себе фирму, торгующую различного рода химическими продуктами, каждый из которых является смесью нескольких
компонентов. Предположим, что эта фирма планирует изготовление
смесей m-видов. Обозначим подлежащее определению количество
литров i-го химического компонента, используемого для получения jго продукта через xij. Будем предполагать, что𝑥𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, 𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚.
Первая группа ограничений относится к объемам потребляемых
химических компонентов:
𝑚
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑆𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛, (2.26)
𝑖=1
где Si– объем i-го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.
Вторая группа ограничений отражает требование, заключающееся втом, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов, т. е.
23
𝑛
𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚, (2.27)
∑ 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝐷𝑗 ,
𝑖=1
где Dj – минимальный спрос на продукцию j в течение планируемого периода.
Третья группа ограничений связана с технологическими особенностями, которые необходимо принимать во внимание при приготовлении смеси, например простое ограничение, определяемое некоторыми минимально допустимыми значениями, отношения между объемами двух химических компонентов в процессе получения продукта j:
𝑥𝑖𝑗
≥ 𝑟 или 𝑥𝑖𝑗 − 𝑟 ⋅ 𝑥𝑖+1𝑗 ≥ 0 ,
𝑥𝑖+1 𝑗
где r – некоторая заданная константа
Обозначив через 𝑃𝑖𝑗 доход с единицы продукции 𝑥𝑖𝑗 , запишем
целевую функцию:
𝑛
𝑚
𝑍max = ∑ ∑ 𝑃𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 .
(2.28)
𝑖=1 𝑗=1
Пример6. Задача о раскрое или о минимизации обрезков.
Данная задача состоит в разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.
Например, продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины L. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны других размеров, для этого производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров могут включать т видов шириной
ℓ𝑖 (𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚). Известна потребность в нестандартных рулонах каждого
вида, она равна bi Возможны п различных вариантов построения технологической карты раскроя рулонов стандартной ширины L на рулоны длиной ℓi .
Обозначим через 𝑎𝑖𝑗 количество рулонов i-го вида, получаемых
при раскрое единицы стандартного рулона по j-му варианту. При каждом варианте раскроя на каждый стандартный рулон возможны потери, равные Рj . К потерям следует относить также избыточные рулоны
нестандартной длины li, получаемые при различных вариантах раскроя
𝑦𝑖𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
24
В качестве переменных следует идентифицировать количество
стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при j-м варианте раскроя. Определим переменную следующим образом: 𝑥𝑗 – количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
Целевая функция – минимум отходов при раскрое
𝑛
𝑚
𝑛
𝑍min = ∑ 𝑃𝑗 𝑥𝑗 + ∑ ∑ 𝑦𝑖𝑗 .
𝑗=1
(2.29)
𝑖=1 𝑗=1
Ограничение на удовлетворение спроса потребителя
𝑛
𝑛
𝑏𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 − ∑ 𝑦𝑖𝑗 , 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0.
𝑗=1
(2.30)
𝑗=1
Пример7. Транспортная задача.
Имеется три поставщика и четыре потребителя однородной продукции. Известны затраты на перевозку груза от каждого поставщика
каждому потребителю. Обозначим их 𝑐𝑖𝑗 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 3; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 4. Запасы грузов у поставщиков равны ai, i = 1,3. Известны потребности каждого
потребителя 𝑏𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 4. Будем считать, что суммарные потребности
равны суммарным запасам:
3
4
∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑏𝑗 .
𝑖=1
𝑗=1
Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить
минимальные суммарные затраты при полном удовлетворении потребностей.
Введем переменные 𝑥𝑖𝑗 – количество груза, перевозимого от i-го
поставщика j-му потребителю.
Ограничения задачи выглядят следующим образом:
•
потребности всех потребителей должны быть удовлетворены
полностью:
x11 + x21 + x31 = b1 ;
x12 + x22 + x32 = b2 ;
(2.31)
x13 + x23 + x33 = b3 ;
{x14 + x24 + x34 = b4 ;
или в общем виде:
25
3
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑏𝑗 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 4;
𝑖=1
груз от поставщика должен быть вывезен полностью:
𝑥11 + 𝑥12+ 𝑥13 + 𝑥14 = 𝑎1 ;
{𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 = 𝑎2 ;
𝑥31 + 𝑥22 + 𝑥33 + 𝑥34 = 𝑎3 ;
или в общем виде:
(2.32)
4
∑ 𝑥𝑖𝑗 = 𝑎𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 3;
𝑗=1
условие неотрицательности переменных:
̅̅̅̅, 𝑗 = 1,4
̅̅̅̅.
𝑥𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1,3
Целевая функция должна минимизировать суммарные затраты
на перевозку:
3
4
𝑍𝑚𝑖𝑛 = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑗 .
(2.33)
𝑖=1 𝑗=1
Количество поставщиков и потребителей в общем случае может
быть произвольным (≥ 2).
Мы рассмотрели 7 примеров типовых задач линейного программирования. Обобщая их, можно сделать следующие выводы.
1.
Ограничения в задачах линейного программирования могут
быть выражены как равенствами, так и неравенствами.
2.
Линейная функция может стремиться как к максимуму, так и к
минимуму.
3.
Переменные в задачах всегда неотрицательны.
Напомним, что от любой из вышеперечисленных задач можноперейти к канонической (основной) задаче линейного программирования.
2.4. Графическое
решение
программирования
задачи
линейного
Графический способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать для:
•
решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами;
26
решения задач со многими переменными при условии, что в их
канонической записи содержится не более двух свободных переменных.
Запишем задачу линейного программирования с двумя переменными:
целевая функция: Zmax=c1x1+c2x2
(2.34)
ограничения:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 ≤ 𝑏1 ;
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 ≤ 𝑏2 ;
(2.35)
{
……………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 ≤ 𝑏𝑚 ;
x1≥ 0; x2 ≥ 0
Каждое из неравенств (2.35) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными
прямыми 𝑎𝑖1 𝑥1 + 𝑎𝑖2 𝑥2 = 𝑏𝑖 ; (𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚); 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 0. В том случае,
если система неравенств (2.35) совместна, область ее решений есть
множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям.
Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого
многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из
исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки
равенств.
Областью допустимых решений системы неравенств (2.35) может быть:
•
выпуклый многоугольник;
•
выпуклая многоугольная неограниченная область;
•
пустая область;
•
луч;
•
отрезок;
•
единственная точка.
Целевая функция (2.34) определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное
значение Z.
Вектор 𝐶̅ = (𝑐1 ; 𝑐2 ) с координатами𝑐1 и с2 , перпендикулярный
этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а
противоположный вектор - направление убывания Z.
Если в одной и той же системе координат изобразить область
допустимых решений системы неравенств (2.35) и семейство парал•
27
лельных прямых (2.34), то задача определения максимума функции
Zсведется к нахождению в допустимой области точки, через которую
проходит прямая из семейства Z= const, и которая соответствует
наибольшему значению параметра Z.
Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не
пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных
условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.
Для определения данной вершины построим линию уровня 𝑍 =
𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору 𝐶̅ = (𝑐1 ; 𝑐2 ), и будем передвигать ее в направлении
вектора 𝐶̅ = (𝑐1 ; 𝑐2 ), до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной
точки и определяют оптимальный план данной задачи.
Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи
(2.34) – (2.35), отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. 2.1 – 2.4. Рис. 2.1 характеризует
такой случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А. Из рис. 2.2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ.
Рис. 2.1. Оптимум функции Z достижим в точке А
Рис. 2.2. Оптимум функции Z достигается в любой точке [AB]
На рис. 2.3 изображен случай, когда максимум недостижим, а на
рис. 2.4 – случай, когда система ограничений задачи несовместна. Отметим, что нахождение минимального значения Zпри данной системе
ограничений отличается от нахождения ее максимального значения
28
при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня Z передвигается
не в направлении вектора 𝐶̅ = (𝑐1 ; 𝑐2 ), а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при
нахождении максимального значения целевой функции, имеют место
и при определении ее минимального значения.
Рис. 2.3. Оптимум функции Z недостижим
Рис. 2.4. Область допустимых решений – пустая область
Для практического решения задачи линейного программирования (2.34) – (2.35) на основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее.
1.
Построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (2.35) знаков неравенств на знаки равенств.
2.
Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений
задачи.
3.
Определить многоугольник решений.
4.
Построить вектор 𝐶̅ = (𝑐1 ; 𝑐2 ),.
5.
Построить прямую𝑍 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 = 0, проходящую через
начало координат и перпендикулярную вектору 𝐶̅ .
6.
Передвигать прямую 𝑍 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 в направлении вектораС̅,
в результате чего либо находят точку (точки), в которой целевая
функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов.
7.
Определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.
Пример 8. Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции (пример 1) геометрическим способом.
29
Решение
Построим многоугольник решений (рис. 2.5). Для этого в системе координат X10X2 на плоскости изобразим граничные прямые:
2𝑥1 + 3𝑥2 = 9 (𝐿1 );
3𝑥1 + 2𝑥2 = 13 (𝐿2 );
𝑥1 − 𝑥2
= 1 (𝐿3 );
𝑥2
= 2 (𝐿4 ),
Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим,
какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рис. 2.5 показаны
стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.
Рис. 2.5. Решение задачи линейного программирования геометрическим способом
Для построения прямой 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 = 0 строим векторградиент 𝐶̅ = (3;4) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z =0 перемещаем параллельно самой
30
себе в направлении вектора 𝐶̅ . Из рис. 7.5 следует, что по отношению
к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С,
где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых 𝐿1 и 𝐿3 . Для определения ее координат решим систему уравнений:
2𝑥 + 3𝑥2 = 9;
{ 1
𝑥1 − 𝑥2 = 1
Оптимальный план задачи𝑥1 = 2,4; 𝑥2 = 1,4. Подставляя значения 𝑥1 и 𝑥2 в линейную функцию, получим:
Zmax= 3∙ 2,4 + 4 ∙ 1,4 = 12,8
Полученное решение означает, что объем производства продукции Пх должен быть равен 2,4 ед., а продукции П2 – 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8 д. е.
Геометрическим способом можно также решать задачи линейного программирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу преобразуют методом Жордана–Гаусса.
Пример 9.
x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2
{ 3x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 3;
xi ≥ 0; i = ̅̅̅̅
1,4
Zmax = 4x1 − 2x2 + x3 − x4
Используя метод Жордана–Гаусса, произведем два полных исключения x1 и х 4:
−2 2 4
1 −1
4 −2 2 4
||1| −1 4
| | |⇒|
| | |⇒
0 5 −13|10| −3 −1
3
2 −1 4 3 11
|
1 0
1,4 0 1,4 3,2
|
|
|.
0 0,5 −1,31 −0,3 −0,1
В результате приходим к системе
𝑥1 + 1, 4𝑥3
= 1,4;
{
0,5𝑥2 − 1,3𝑥3 + 𝑥4 = −0,3,
откуда
𝑥1 = 1,4 − 1, 4𝑥3 ;
{
𝑥4 = −0,3 − 0,5𝑥2 + 1,3𝑥3 ,
31
Подставляя эти значения в линейную функцию Z и отбрасывая в
последней системе базисные переменные, получим задачу, выраженную только через свободные неизвестные 𝑥2 и 𝑥3 . Найдем максимальное значение линейной функции
Z = 5,9 − 5,9x3 − 1,5x2
приследующих ограничениях:
𝑥3 ≤ 1; 0,5𝑥2 − 1,3𝑥3 ≤ 0,3.
Построим многоугольник решений и линейную функцию в системе координат Х20Х3 (рис. 2.6). Согласно рис. 2.6 линейная функция
принимает максимальное значение в точкеА, которая лежит на пересечении прямых L2 и Х2 = 0. Ее координаты (0;0,23).
Рис.2.6. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования
32
Максимальное значение функции
Zmax = 5,9 − 5,9 ∙ 0,23 − 1,5 ∙ 0 = 4,54.
Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем в преобразованную систему 𝑥2 и 𝑥3 . Окончательно получаем Х=
(1,078; 0; 0,23; 0,001).
2.5. Анализ моделей на чувствительность
Анализ моделей на чувствительность – это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа
выявляется чувствительность оптимального решения к определенным
изменениям исходной модели. В задаче об ассортименте продукции
(пример 1) может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на
оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию
или запасов исходного сырья. Возможно, также потребуется анализ
влияния рыночных цен на оптимальное решение.
При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных
оптимизационных моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследователю проанализировать влияние
возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически
отображают аналогичные характеристики, свойственные реальным
процессам. Отсутствие методов, позволяющих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет
еще до своей реализации. Для проведения анализа модели на чувствительность с успехом могут быть использованы графические методы.
Рассмотрим основные задачи анализа на чувствительность.
Задача 1. Анализ изменений запасов ресурсов.
После нахождения оптимального решения представляется
вполне логичным выяснить, как отразится на оптимальном решении
изменение запасов ресурсов. Для этого необходимо ответить на два
вопроса:
1.
На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для
улучшения полученного оптимального значения целевой функции Z?
2.
На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции Z?
Прежде чем ответить на поставленные вопросы, классифициру33
ем ограничение линейной модели как связывающие (активные) и несвязывающие (неактивные) ограничения. Прямая, представляющая
связывающее ограничение, должна проходить через оптимальную
точку, в противном случае, соответствующее ограничение будет несвязывающим. На рис. 2.5 связывающими ограничениями являются
ограничения (1) и (3), представленные прямыми 𝐿1 и 𝐿3 соответственно, т. е. те, которые определяют запасы исходных ресурсов. Ограничение (1) определяет запасы сырья А. Ограничение (3) определяет соотношение спроса на выпускаемую продукцию.
Если некоторое ограничение является связывающим, то соответствующий ресурс относят к разряду дефицитных ресурсов, так как он
используется полностью. Ресурс, с которым ассоциировано несвязывающее ограничение, следует отнести к разряду недефицитных ресурсов (т. е. имеющихся в некотором избытке). В нашем примере несвязывающими ограничениями являются (2) и (4). Следовательно, ресурс
– сырьеВ – недефицитный, т. е. имеется в избытке, а спрос на продукцию П2 не будет удовлетворен полностью (в таблице – ресурсы 2 и 4).
При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяются:
1. предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
2. предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное значение целевой функции.
В нашем примере сырье А и соотношение спроса на выпускаемую продукцию П1 и П2 являются дефицитными ресурсами (в табл.
2.3 – ресурсы 1, 3).
Рассмотрим сначала ресурс - сырье А. На рис. 7.7 при увеличении запаса этого ресурса прямая L1 перемещается вверх, параллельно
самой себе, до точки К, в которой пересекаются линии ограничений L2,
L3и L4.В точке К ограничения (2), (3) и (4) становятся связывающими;
оптимальному решению при этом соответствует точка К, а пространством (допустимых) решений становится многоугольник АКД0. В точкеК ограничение (1) (для ресурса А) становится избыточным, так как
любой дальнейший рост запаса соответствующего ресурса не влияет
ни на пространство решений, ни на оптимальное решение.
Таким образом, объем ресурсаА не следует увеличивать сверх
того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) становится
избыточным, т. е. прямая (1) проходит через новую оптимальную точ34
ку К. Этот предельный уровень определяется следующим образом.
Устанавливаются координаты точкиК, в которой пересекаются прямые
L2, L3 И L4,Т. е. находится решение системы уравнений
Рис. 2.7. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования
3x1 + 2x2 = 13;
{ x1 − x2 = 1;
x2 = 2.
В результате получается x1 = 3 и 𝑥2 = 2. Затем, путем подстановки координат точкиК в левую часть ограничения (1), определяется
максимально допустимый запас ресурса А:
2x1 + 3x2 = 2 ∙ 3 + 3 ∙ 2 = 12
Новой оптимальной точкой становится точкаЕ, где пересекаются
прямые 𝐿1 и 𝐿2 . Координаты данной точки находятся путем решения
системы уравнений (1) и (2) следующим образом:
35
2𝑥 + 3𝑥2 = 9;
{ 1
3𝑥1 + 2𝑥2 = 13;
В результате получается x1 = 4,2; x2 = 0,2, причем суточный
спрос на продукцию П1не должен превышать спрос на продукцию
П2на величину x1 – x2 = 4,2 - 0,2 = 4 ед.
Дальнейшее увеличение разрыва в спросе на продукцию П1и П2
не будет влиять на оптимальное решение.
Рис. 2.8 Иллюстрирует ситуацию, когда рассматривается вопрос
об изменении соотношения спроса на продукцию П_1 и П_2.
Рассмотрим вопрос об уменьшении правой части несвязывающих ограничений. Ограничение (4) x2 ≤ 2 фиксирует предельный уровень спроса на продукцию П2. Из рис. 2.5 следует, что, не изменяя оптимального решения, прямую L4 (АВ) можно опускать вниз до пересечения с оптимальной точкой С. Так как точка С имеет координаты x1 =
2,4; x2 = 1,4, уменьшение спроса на продукцию П2до величины x2 = 1,4
никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.
Рассмотрим ограничение (2) 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13, которое представ36
ляет собой ограничение на недефицитный ресурс – сырье В. И в этом
случае правую часть – запасы сырья В – можно уменьшать до тех пор,
пока прямая L2 не достигнет точки С. При этом правая часть ограничения (2) станет равной 3𝑥1 + 2𝑥2 = 3 ∙ 2,4 + 2 ∙ 1,4 = 10,0, что позволяет записать это ограничение в виде: 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 10. Этот результат
показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится,
если суточный запас ресурсаВ уменьшить на 3 ед.
Результаты проведенного анализа можно свести в табл. 2.3:
Таблица 2.3. Анализ ограничений
Ре- Тип ресурса
Максимальное из- Максимальное увесурс
менение запаса ре- личение дохода от
сурса, ед.
изменения ресурса,
у. д. е.
1 (А) Дефицитный
12- 9 = +3
17 - 12,8 = +4,2
2(B) Недефицитный
10- 13 = -3
12,8 - 12,8= 0
3
Дефицитный
4- 1 = +3
13,4 - 12,8 = +0,6
4
Недефицитный
1,4-2 = -0,6
12,8 - 12,8 = 0
Задача 2. Определение наиболее выгодного ресурса.
В задаче 1 анализа на чувствительность мы исследовали влияние
на оптимум увеличения объема дефицитных ресурсов. При ограничениях, связанных с дополнительным привлечением ресурсов, естественно задать вопрос: какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств? Для этого вводится характеристика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного
ресурса, выражаемая через соответствующее приращение оптимального значения целевой функции. Такую характеристику для рассматриваемого примера можно получить непосредственно из таблицы, в которой приведешь результаты решения задачи 1 на чувствительность.
Обозначим ценность дополнительной единицы ресурса i через y i . Величина определяется из соотношения
Максимальное приращение Z
yi =
Максимально допустимый прирост ресурса i
37
Результаты расчета ценности единицы каждого из ресурсов
представлены в табл. 2.4:
Таблица 2.4 Расчет ценности продуктов
Ресурс i
Тип ресурса
Значение yi
1(A)
2(B)
3
4
Дефицитный
Недефицитный
Дефицитный
Недефицитный
4,2/3 = 1,4
0/(-3) =0
0,6/3 = 0,2
0/(-0,6) = 0
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение
ресурсаА и лишь затем – на формирование соотношения спроса на
продукцию П 1 и продукцию П2. Что касается недефицитных ресурсов,
то, как и следовало ожидать, их объем увеличивать не следует.
Задача 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции.
Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние
на наклон прямой, которая представляет эту функцию в принятой системе координат. Вариация коэффициентов целевой функции может
привести к изменению совокупности связывающих ограничений и,
следовательно, статуса того или иного ресурса (т. е. сделать недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот).
При анализе модели на чувствительность рассмотрение коэффициентов целевой функции необходимо дополнить исследованием следующих вопросов:
1) каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального
решения?
2) на сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным?
Ответим на поставленные вопросы на нашем примере.
Рассматривая первый вопрос, обозначим через с1 и с2 доходы
предприятия от продажи единицы продукции П1 и П2 соответственно.
Тогда целевую функцию можно представить в следующем виде:
𝑍 = 𝑐1 + 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 .
38
На рис. 2.5 видно, что при увеличении с 1 или уменьшении с2
прямая, представляющая целевую функцию Z, вращается (вокруг точки С) по часовой стрелке. Если же c 1 уменьшается или с2 увеличивается, эта прямая вращается в противоположном направлении – против
часовой стрелки. Таким образом, точка С будет оставаться оптимальной точкой до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы,
определяемые наклонами прямых для ограничений (1) и (3).
Когда наклон прямой Z станет равным наклону прямой L1, получим две альтернативные оптимальные угловые точки – С и В. Аналогично, если наклон прямой Z станет равным наклону прямой для
ограничения (3), будем иметь альтернативные оптимальные угловые
точки С и D . Наличие альтернативных оптимумов свидетельствует о
том, что одно и то же оптимальное значение Z может достигаться при
различных значениях переменных х 1 их2. Как только наклон прямой
выйдет за пределы указанного выше интервала с 1 , получим некоторое
новое оптимальное решение.
Рассмотрим на нашем примере, каким образом можно найти допустимый интервал изменения с 1 , при котором точка С остается оптимальной. Исходное значение коэффициента с2 = 4 оставим неизменным. На рис. 2.5 видно, что значение с 1 можно уменьшать до тех пор,
пока прямая Z не совпадет с прямой L 1 (отрезок ВС).
Это крайнее минимальное значение коэффициента с 1 можно
определить из равенства углов наклонов прямой Z и прямой L 1 .Таккак
𝑐
тангенс угла наклона для прямой Z равен 41 , а для прямой (1)равен
2
,то
3
минимальное значение с1 определим из равенства
8
minc1=3.
𝑐1 2
= ,
4 3
откуда
На рис 7.5 видно, что значение c1 можно увеличивать беспредельно, так как прямая Z при с2 = 4и C1 → +∞не совпадает с прямой
L3(отрезок DC) и, следовательно, точкаС при всех значениях коэффи8
циента c1≥ 3 будет единственной оптимальной.
Интервал изменения с1, в котором точка С по-прежнему остается
8
единственной оптимальной точкой, определяется неравенством <
3
8
3
С1 < +∞. При𝑐1 = оптимальными угловыми точкамибудут как точка
8
С, так и точка В. Как только коэффициент с1 становится меньше 3, оптимум смещается в точку В.
Можно
заметить,
что,
как
только
коэффициент
8
с1оказываетсяменьше 3, ресурс 3 становится недефицитным, а ресурс 4
39
- дефицитным. Для предприятия это означает следующее: если дохо8
дот продажи единицы продукции П1станет меньше 3 д. е., то наиболее
выгодная производственная программа предприятия должна предусматривать выпуск максимально допустимого количества продукции
П2(полностью удовлетворять спрос на продукцию П2).
При этом соотношение спроса на продукцию П1 и П2 не будет
лимитировать объемы производства, что обусловит недефицит8
ностьресурса (3). Увеличение коэффициента с1свыше 3д. е. не снимает
проблему дефицита ресурсов (1) и (3). Точка С – точка пересечения
прямых L1 и L3 – остается все время оптимальной.
2.6. Усложненные задачи транспортного типа
В экономике предприятия классическая транспортная задача
встречается крайне редко. Обычно при составлении экономикоматематической модели в задачи транспортного типа приходится вводить целый ряд дополнительных ограничений, а затем решать.
Ряд экономических задач легко сводимы к транспортной задаче.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации в экономике
предприятия.
1.
Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым
потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуникаций и т. д.).
Это ограничение требует, чтобы в матрице перевозок, содержащей
оптимальный план, определенные клетки оставались свободными. Последнее достигается искусственным завышением затрат на перевозки
Су в клетках, перевозки через которые следует запретить. При этом
производят завышение величины Сy до таких значений, которые будут
заведомо больше всех, с которыми их придется сравнивать в процессе
решения задачи.
2.
На предприятии необходимо определить минимальные суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимости. В таких задачах за критерий оптимальности принимают сумму затрат на произ40
водство и транспортировку продукции.
3.
Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить грузы, имеют ограничения по пропускной способности. Если,
например, по маршруту AtBj можно провести не более q единиц груза,
то Bj столбец матрицы разбивается на два столбца — 𝐵′𝑗 и 𝐵′′𝑗 . В первом столбце спрос принимается равным разности между действительным спросом Bj и ограничением 𝑞 ÷ 𝑏𝑗 = 𝑏𝑗 − 𝑞, во втором — равным
ограничению q, т. е. 𝑏′′𝑗 = 𝑞. Затраты Су в обоих столбцах одинаковы
и равны данным, но в первом столбце B'j, в клетке, соответствующей
ограничениюj, вместо истинного тарифа С𝑦 ставится искусственно завышенный тариф М (клетка блокируется). Затем задача решается
обычным способом.
4.
Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны
войти в оптимальный план независимо от того, выгодно это или нет. В
этом случае уменьшают запас груза у поставщиков и спрос потребителей и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. Полученное решение корректируют с учетом обязательных
поставок.
5.
Экономическая задача не является транспортной, но в математическом отношении подобна транспортной, так как описывается аналогичной моделью, например распределение производства изделий
между предприятиями, оптимальное закрепление механизмов по
определенным видам работы.
6.
Необходимо максимизировать целевую функцию задачи транспортного типа. В этой ситуации при составлении опорного плана в
первую очередь стараются заполнить клетки с наиболее высокими
значениями показателей с у. Выбор клетки, подлежащей заполнению
при переходе от одного допустимого плана к другому, должен производиться не по минимальной отрицательной разнице [𝑐𝜕 − (𝑎, ∓𝑃𝑦 )], а
по максимальной положительной разнице [𝑐𝑦 − (𝑎, +𝑃𝑦 )].Оптимальным будет план, которому в последней таблице сопутствуют свободные клетки с неположительными элементами: все разности 𝑐𝑦 −
(𝑎, ±𝑃𝑦 )] < 0.
7.
Необходимо в одно время распределить груз различного рода
по потребителям. Задачи данного типа называются многопродуктовыми транспортными задачами. В этих задачах поставщики т родов грузов разбиваются на т условных поставщиков, а потребители п родов
грузов разбиваются на п условных потребителей. С учетом этой раз41
бивки составляют полную транспортную таблицу. При этом заметим,
что некоторые маршруты AiВj должны быть блокированы (закрыты),
поскольку в данной постановке задачи грузы разного рода не могут
заменять друг друга. Этим маршрутам AiВjдолжна соответствовать
очень высокая стоимость перевозки. Многопродуктовую задачу не
всегда обязательно описывать одной моделью. Например, если поставки грузов различного рода независимы, то задачу можно представить в виде комплекса транспортных задач по каждому роду груза.
Однако если между грузами различного рода существует связь
(например, одни из грузов можно заменить другими), то в общем случае исходную модель (задачу) не удается разбить на комплекс простых
транспортных задач.
Рассмотрим примеры задач транспортного типа.
Пример10. Одно фермерское хозяйство (А1) имеет продовольственное зерно двух видов: 3 тыс. т — III класса и 4 тыс. т — IV класса. Второе фермерское хозяйство (А2) также имеет зерно двух классов:
5 тыс. т — III класса и 2 тыс. т — IV класса. Зерно должно быть вывезено на два элеватора: на первый элеватор (В1)необходимо поставить 2
тыс. т пшеницы III класса, 3 тыс. т пшеницы IV класса и остальные 2
тыс. т пшеницы любого класса.
Аналогично второй элеватор (В2) должен получить 8,25 тыс. т,
из них пшеницы — 1 тыс. т III класса и 1,5 тыс. т IV класса.
Стоимость перевозки в д. е. 1 т зерна составляет: из пунктаАхв
пункты Вх и В2 — 1 и 1,5 соответственно; из пункта А2 в пункты Вх и
В2 — 2 и 1 д. е. соответственно.
Составить оптимальный план перевозок.
Каждого поставщика условно разбиваем на две части согласно
двум видам зерна (А3 иАх, А2 и А2), аналогично потребителей разбиваем на три части (пшеница III класса, IV класса и любой класс): Вj3, В*
и ВД а также В2, В2 и В2. Потребности превышают запасы, поэтому
вводим фиктивного поставщика А3. Часть клеток в таблице запираем
большими числами М; например, в клетке (1; 2) стоит большое число.
Это значит, что поставщик не может удовлетворить потребителяВ
пшеницей IV класса за счет имеющейся пшеницы III класса.
С учетом сделанных замечаний составим первую таблицу (табл.
2.5).
42
Таблица 2.5 Исходные данные
Поставщики
Потребители
5,
В2
В?
*1° B"i
А\
А,3 1
м
1
1,5
Запас, тыс.
т
В2*
м
в2°
1,5
3
А,4
м
1
1
М
1,5
1,5
4
а23
2
м
2
1
М
1
5
а24
М
2
2
М
1
1
2
Аз
0
0
0
0
0
0
1,25
Спрос, тыс.
т
2
3
2
1
1,5
5,75 15,25
а2
Перевозки от фиктивного поставщика не производятся, поэтому
с51= с52 = с5з = с54 = с55 = с56 = 0. Величина М намного больше Су.
Применяя метод потенциалов, в итоге получим таблицу с оптимальным решением (табл. 8.7).
Анализ решения.
Первый поставщик поставит на первый элеватор (В{) пшеницу
III класса (х22 = 2); пшеницу IV класса (х22 = 3), а также пшеницу любого класса (III или IV) (х13 = 1; дс2з = *)•
Второй поставщик (Л2) поставит на второй элеватор (В2) пшеницу III класса (х31 = 1), пшеницу IV класса (л:45 = 1,5) и частично
любую пшеницу (х36 = 4; х46 = 0,5). Потребность элеватора в любой пшенице не удовлетворена на 1,25 тыс. т (х56 = 1,25). Минимальные затраты на перевозку составили: Zmin = 14 д. е.
Пример11. Модель производства с запасами.
Фирма переводит свой головной завод на производство определенного вида изделий, которые будут выпускаться в течение четырех
месяцев. Величины спроса в течение этих четырех месяцев составляют
100, 200, 180 и 300 изделий соответственно. В каждый месяц спрос
можно удовлетворить за счет:
•
запасов изделий, произведенных в прошлом месяце, сохраняющихся для реализации в будущем;
•
производства изделий в течение текущего месяца;
•
избытка производства изделий в более поздние месяцы в счет
43
невыполненных заказов.
Затраты на одно изделие в каждом месяце составляют 4 д. е. Изделие, произведенное для более поздней реализации, влечет за собой
дополнительные издержки на хранение в 0,5 д. е. в месяц. С другой
стороны, каждое изделие, выпускаемое в счет невыполненных заказов,
облагается штрафом в размере 2 д. е. в месяц.
Объем производства изделий меняется от месяца к месяцу в зависимости от выпуска других изделий. В рассматриваемые четыре месяца предполагается выпуск 50, 180, 280 и 270 изделий соответственно.
Требуется составить план, имеющий минимальную стоимость
производства и хранения изделий.
Решение
Задачу можно сформулировать как транспортную. Эквивалентность между элементами производственной и транспортной систем
устанавливается следующим образом (табл. 2.7):
Таблица 2.7
Транспортная система
Производственная система
1. Исходный пункт i
2. Пункт назначения j
3. Предложение в пункте i
4. Спрос в пункте j
5. Стоимость перевозки из iв
j
1. Период производства i
2. Период потребления j
3. Объем производства за период
4. Реализация за период
5. Стоимость производства и
хранения за период
Перед нами структура транспортной модели. Для рассматриваемой задачи стоимость «перевозки» изделия из периода i в период j выражается как:
• стоимость производства в i-й период, i = j;
• стоимость производства в i-й период плюс стоимость задержки от
iдо у, i<j;
• стоимость производства в i-й период плюс штраф за нарушение
срока, i>j.
Из определения Су следует, что затраты в период i при реализации продукции в тот же период i (i = j) оцениваются только стоимостью производства. Если в период i производится продукция, которая
будет потребляться позже (i<j), то имеют место дополнительные издержки, связанные с хранением. Аналогично производство в i-й пери44
од в счет невыполненных заказов i>j влечет за собой дополнительные
расходы в виде штрафа. Например,
C11 = 4 д. е.;
C24 = 4 + (0,5 + 0,5) = 5 д. е.;
С41 = 4 + (2 + 2 + 2) = 10 д. е.
Исходная транспортная таблица выглядит следующим образом
(табл. 2.8).
Сс11СТаблица 2.8. Исходные данные
Период
Период
Объем
производства
1
2
3
4
1
4
4,5
5
5,5
50
2
6
4
4,5
5
180
8
6
4
4,5
280
4
10
8
6
4
270
Спрос
100
200
180
300
Задача решается обычным методом потенциалов на минимум затрат по производству и хранению продукции*.
Пример12. Имеются три сорта бумаги в количестве 10, 8 и 5 т,
которую можно использовать на издание четырех книг тиражом 8000,
6000, 10 000, 15 000 экземпляров. Расход бумаги на одну книгу составляет: 0,6; 0,4; 0,8; 0,5 кг, а себестоимость тиража книги при использовании i-го сорта бумаги задается следующей матрицей (д. е.):
24 16 32 25'
18 24 24 20
30 24 16 20
Определить оптимальное распределение бумажных резервов.
Решение
Задача по своему экономическому смыслу не является транспортной, в то же время можно построить математическую модель,
аналогичную транспортной задаче.
Потребности в бумаге легко определить, зная тираж и расход на
одну книгу (т):
8000 • 0,6 = 4,8;
45
15 000 • 0,4 = 6;
6000 • 0,8 = 4,8;
10 000 • 0,5 = 5.
Общие запасы бумаги составляют 23 т, а общие потребности —
20,5 т, поэтому необходимо в таблицу ввести фиктивный тираж В5с
нулевыми затратами. В связи с тем что мы составляем модель относительно бумаги, а матрица с у характеризует себестоимость печатания
книги, необходимо исходную матрицу преобразовать относительно
единицы бумаги (каждый столбец матрицы Су разделим на количество
бумаги, приходящейся на одну книгу).
Согласно изложенному составим первую таблицу (табл. 2.9).
Таблица2.9Исходные данные
Поставщи- Потребители
Запасы,
ки
т
*1
В2
Вз
Вл
В5'
А,
40
20
80
50
0
10
А2
30
30
60
40
0
8
А3
50
30
40
40
0
5
Потребность, т
4,8
4,8
6
5
2,4
23
Используя метод потенциалов, получим оптимальное решение
(табл. 2.10).
Таблица2.10Оптимальное решение
Поставщики Потребители
Запасы,
т
*1
в2
*3
*4
в5*
А\
40
20
4,8
80
50
2,8
0
2,4
10
Лг
30
4,8
50
30
40
2,2
40
0
8
30
60
1
5 40
0
5
4,8
4,8
6
5
2,4
23
А,
Потребность, т
46
Анализ решения.
Бумаги 1-го сорта в количестве 4,8 т затрачено на издание второй книги; 2,8 т — на издание четвертой книги; 2,4 т — не использовано. Бумаги 2-го сорта затрачено: на первую книгу — 4,8 т; на издание третьей книги - 1,0 т; на издание четвертой книги - 2,2 т; бумага 3го сорта использована на издание третьей книги в количестве 5 т.
2.7. Транспортная задача в сетевой постановке
Если условия транспортной задачи заданы в виде схемы, на которой условно изображены поставщики, потребители и связывающие
их дороги, указаны величины запасов груза и потребности в нем, а
также числа Су, являющиеся показателями принятого в задаче критерия оптимальности (тарифы, расстояния и т. п.), то говорят, что транспортная задача поставлена в сетевой форме (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Транспортная задача в сетевой форме
Пункты расположения поставщиков и потребителей будем изображать кружками и называть вершинами (узлами) сети, запасы груза
будем записывать в кружках положительными, а потребности
- отрицательными числами. Дороги, связывающие пункты расположения и потребления груза, будем изображать линиями и называть
ребрами (дугами, звеньями) сети. На сети могут быть изображены
вершины, в которых нет ни поставщиков, ни потребителей. Наличие
таких вершин не повлияет на способ решения, если считать, что запасы (потребности) груза в них равны нулю.
Различия между транспортными задачами в матричной и сетевой формах весьма незначительны, так как методы их решения осно47
ваны на одних и тех же идеях (метод потенциалов).
Решение задачи на сети начинается с построения начального
опорного плана. Последовательность решения задачи рассмотрена на
конкретном примере (см. рис. 2.9). Поставку груза из вершины в вершину будем обозначать стрелками с указанием величины поставок.
Опорный план должен удовлетворять следующим требованиям:
1)
все запасы должны быть распределены, а потребности удовлетворены;
2)
к каждой вершине должна подходить или выходить из нее хотя
бы одна стрелка;
3)
общее количество стрелок должно быть на единицу меньше
числа вершин(𝑛 + 𝑚 − 1);
4)
стрелки не должны образовывать замкнутый контур.
План распределения груза, отвечающий этим требованиям,
представлен на рис. 8.2.
Рис. 2.10. Пример опорного план распределения груза при решении задачи на сети
Далее следует проверить план на оптимальность. Для этого вычисляем потенциалы. Одной из вершин (например, вершине 1) присвоим некоторое значение потенциала (например, равное 10). Для
наглядности потенциалы будем заключать в рамки. После этого, двигаясь по стрелкам, определяем потенциалы остальных вершин, руководствуясь правилом: если стрелка выходит из вершины, то к потенциалу этой вершины прибавляем показатель Сi критерияоптимальности, если же направление стрелки противоположно, Сjвычитаем (см.
рис. 2.10).
48
После вычисления потенциалов находят характеристики ребер
без стрелок по правилу: из большего потенциала вычитается меньший,
а разность вычитается из показателя Сij, отвечающего данному ребру.
Если все ребра без стрелок имеют неотрицательные характеристики, то составленный план является оптимальным.
Вычислим характеристики ребер без стрелок
.𝑆𝑠𝑗 = 5 − (13 − 7) = −1; 𝑆4 , 6 = 1; £4,3 = 0; 𝑆2 𝑗 = −2
Два ребра имеют отрицательные характеристики, в этом случае
выбирается ребро с наименьшей отрицательной характеристикой и к
нему подрисовывается новая стрелка, при этом образуется замкнутый
контур из стрелок. Новая стрелка направляется от вершины с меньшим потенциалом к вершине с большим потенциалом.
В нашем примере новая стрелка направлена от вершины II к
вершине III (штриховая линия (см. рис. 2.10).
Рис. 2.11. Новый опорный план
Для определения величины поставки (р) для ребра *У2з рассматриваются все стрелки образовавшегося замкнутого контура, имеющие
направление, противоположное новой стрелке (участок *У2з), и среди
них находится стрелка с наименьшей поставкой А (в нашем примере X
= 15 на ребре 56 7). Выбранная таким образом величина прибавляется
ко всем поставкам в стрелках, имеющих то же направление, что и новая стрелка, и вычитается из поставок в стрелках, имеющих противоположное направление. Поставки в стрелках, не входящих в контур,
сохраняются неизменными. Стрелка, накоторой выбрано число Л,
ликвидируется и общее число стрелок остается прежним. Новый
опорный план представлен на рис. 2.11.
49
Полученный план исследуется на оптимальность, подобно
предыдущему. Сделав еще шаг, получим оптимальный план (рис.
2.12), когда все характеристики Sj на участках без стрелок неотрицательны.
Рис 2.12 Оптимальное решение
Определим значение целевой функции: 𝑚𝑖𝑛 = 𝑂𝐻 ∗ 2 + 25 ∗ 1 +
15 ∗ 3 + 70 ∗ 3 + 10 ∗ 6 + 20 ∗ 5 = 640.
Вырождение плана транспортной задачи в сетевой постановке
проявляется в том, что при полном использовании запасов и полном
удовлетворении потребностей количество стрелок оказывается меньше чем 𝑚 + 𝑛 − 1, где п — поставщики, а т — потребители.
Для преодоления вырождения вводится нужное количество
стрелок с нулевыми поставками, направление стрелок выбирается
произвольно, однако они не должны образовывать замкнутый контур.
В случае открытой модели вводят фиктивного потребителя (поставщика) со спросом, равным небалансу. Фиктивный потребитель
(поставщик) соединяется дугами непосредственно со всеми поставщиками (потребителями), при этом показатели Су ребер, соединяющих
фиктивного потребителя (поставщика) с реальными поставщиками
(потребителями), следует брать одинаковыми и сравнительно большими. Это делается для того, чтобы исключить возможность использования фиктивной вершины в качестве промежуточного пункта.
50
РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
Выделяют следующие основные задачи с детерминированными
целочисленными значениями параметров: задачи с неделимостями;
комбинаторные задачи; задачи, формально сводящиеся к задачам дискретного программирования.
К задачам с неделимостями относятся: задача планирования
выпуска неделимых видов продукции; задача о ранце. Отличительная
особенность этого типа задач – неделимый характер искомых переменных.
Комбинаторные задачи характеризуются необходимостью поиска среди структурированного конечного множества альтернатив
наилучшего подмножества объектов. Структурные особенности заданного конечного множества являются исходной предпосылкой для
построения некоторого системно упорядоченного метода решения. К
комбинаторным относятся следующие задачи: минимального покрытия графа; назначения; календарного планирования; коммивояжера.
Задачи, формально сводящиеся к задачам дискретного программирования, включают: транспортные; планирования и размещения объектов.
3.1. Задачи с неделимостями
Задачи, формально сводящиеся к задачам дискретного программирования, включают: транспортные; планирования и размещения
объектов.
Задача планирования выпуска неделимых видов продукции. Заданы множества: I = {1,2,…,i…,m}–производственные факторы; J =
{1,2,...,i,...,n}- виды конечной продукции. Определены коэффициенты:
ау – количество i-го фактора, необходимое для производства единицы
j-й продукции; bi – наличные ресурсы i-го фактора; cj – прибыль, получаемая от единицы j – го продукта. Продукты всегда являются неделимыми, и фактический смысл имеют только их целые значения. Цель
– составление производственной программы, обеспечивающей максимум суммарной прибыли с учетом ограничений на ресурсы каждого из
факторов.
Задача о ранце. Путешественник собирается в поход и должен
выбрать набор предметов, которые в наибольшей степени ему будут
51
полезны в походе. Задано множество предметовI= {1,2,...,i,...,n}, для
каждого из которых определены коэффициент полезности ci, и объем
аi,i = 1, n . Необходимо определить наиболее эффективный набор предметов, при этом должно быть выполнено ограничение на предельный
объем ранца b, в котором необходимо разместить выбранные предметы.
В многомерной задаче о ранце количество ограничений превышает единицу и дополнительно включает ограничения на суммарный
вес и т.д.
3.2. Комбинаторные задачи
Задача о назначении. Задано множество работе A= {A1…,Ai...,An},и
множество исполнителейВ = {B 1…, B i ...,B n }.Известна матрица эффективности C  cij ,элементы которой Сijзадают значения эффективности выполнения Аi-йработы Вj-м исполнителем. Предполагается, что
количество работ равно количеству исполнителей. Необходимо, таким
образом, распределить работы по исполнителям, чтобы суммарная
эффективность выполнения всех работ была максимальной, и выполнялись следующие ограничения:
 каждая работа выполняется одним исполнителем;
 один исполнитель выполняет только одну работу.
Вводится переменная хij.
1, если𝐴𝑖 − яработаназначенадлявыполнения𝐵𝑗 − муисполнителю;
𝑥𝑖 = {
0, впротивномслучае.
В результате решения в матрице эффективности C  cij в каждой строкеи в каждом столбце должен быть выбран только один элемент и сумма выбранных элементов должна быть максимальной.
Задача трех станков. Задано множество деталей I =
{1,2,...,i,...,n}, имеются в наличии три станка А, В, С. Для каждой г'-й
детали известно время еевыполнения на станкахА, В, С : аi, bi, ci, i  1, n .
Детали обрабатываются последовательно, т.е. вначале – на станке А,
затем – на станке В и на последнем этапе –на станке С. Известны ограничения: каждый станок в текущий момент времени обрабатывает
только одну деталь и каждая из деталей в каждый из моментов времени обрабатывается только на одном станке.
Необходимо определить такую последовательность запуска
52

 i1 , i2 ,..., in , при которой бы длительность
производственногоцикла была бы минимальной.
Длительность производственного цикла – это интервал времени между моментом запуска на обработку первой по порядку детали
i1на станокАи моментом окончания обработки последней по порядку
детали inна станке С.
Задача о покрытии графа. Задан граф, который имеет множество вершин I = {1,..., i,...n} и множество ребер I = {1, 2,...,j,..., п}.
Взаимосвязь между вершинами и ребрами задается матрицей
деталей на обработку
n
А  аij ,элементы которой равны 1, если i–я вершина непосредственно связана с j-м ребром.
Покрытием графа называется такое подмножество его ребер, в
котором каждая вершина графа связана хотя бы с одним ребром, входящим в покрытие. Пример покрытия приведен на рис. 4.1. Покрытие,
которое содержит наименьшее количество ребер, называется минимальным.
В5
А1
В4
А5
В1
А3
В3
В2
А2
А4
Рис. 3.1 – Покрытие графа. Покрытия: R1 = {В5,В4,В2}, R2 = {Bl,B3iB4}
В обобщенной задаче о покрытии каждому ребру присваивается коэффициент стоимости cj. Необходимо минимизировать суммарную стоимость ребер, включенных в покрытие.
53
3.3. Задачи, формально сводящиеся к задачам дискретного
программирования
Постановка задачи коммивояжера в виде задачи дискретного
программирования. Задан п + 1 город A = {A0,...,Ai,...,An}, коммивояжер
находится в городе А0. Необходимо найти замкнутый маршрут, проходящий через все города ровно один раз и имеющий минимальную
длину.
Вводится переменная x ij , i  0, n, j  0, n, xij= 1, если коммивояжер из Ai-го города переезжает в Aj-й город, и xij= 0, в противном случае. Вводятся ограничения. Первое ограничение указывает на то, что
коммивояжер въезжает в каждый город ровно один раз, второе ограничение – на то, что коммивояжер выезжает из каждого города ровно
один раз, для исключения образования замкнутых подциклов, проходящих через ограниченный перечень городов, вводится дополнительное ограничение, которое не выполняетсядля подциклов длиной k<nи
выполняется для циклов, проходящих через все города.
3.4. Общая схема метода ветвей и границ
Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 году в работе Лэнд и Дойг применительно к задаче целочисленного линейного
программирования. Дальнейшее развитие этого метода было выполнено в 1963 году в работе Литгла, Мурти, Суини и Кэрел, посвященной
решению задачи коммивояжера. Основными понятиями метода ветвей
и границ являются: нижняя оценка; ветвление; правило пересчета
оценок; признак оптимальности. Общая схема реализации алгоритма
включает следующие этапы:
Этап 1. Определяется начальное множество G0, которое представляет собой множество всех решений. Это множество может состоять из множества перестановок, сочетаний, размещений и т.д. Элементы этого множества решений явно не записываются, а указываются правила их формирования. Графически множество Go представляется в виде корневой вершины дерева. Для множества Go находится
нижняя оценка. Правило нахождения зависит от постановки решаемой задачи. В общем случае нижняя оценка должна удовлетворять
следующим требованиям:
54




должна иметь качественную интерпретацию;
должна быть косвенно связана с критерием;
сравнительно просто вычисляться;
значение критерия ни при каких значениях параметров не
должно быть меньше значения нижней оценки, т.е. значение
критерия всегда больше или равно нижней оценки.
В задаче коммивояжера в качестве нижней оценки может быть
использовано значение критерия для задачи о назначениях. В этой задаче по сравнению с задачей коммивояжера отсутствует ограничение,
указывающее на циклический характер получаемого решения. Возможны два варианта формирования нижней оценки:
 первый вариант предлагает вычисление точного решения задачи о назначениях венгерским методом;
 второй вариант основан на получении приближенного решения
двойственной задачи о назначениях.
В качестве приближенного решения используется так называемая сумма приводящих констант. Для вычисления этой суммы применяется процедура приведения исходной матрицы С к матрице С0, в
которой на месте минимальных элементов находятся нулевые элементы, причем в каждой строке и в каждом столбце имеется, по крайней
мере, один такой элемент. Если из этих элементов можно сформировать замкнутый маршрут, то он будет оптимальным решением, и длина этого маршрута совпадает с суммой приводящих констант, т.е.
сумма приводящих констант матрицы С является нижней оценкой для
задачи коммивояжера.
В задаче трех станков нижняя оценка выбирается как максимальная из частных оценок, а каждая частная оценка вычисляется из
условия максимальной загрузки станков, т.е. предполагается отсутствие простоев станков.
Исходное множествоG0делится на ряд непересекающихся
между собой подмножеств Gi,.,,,Gv,...,Gp(1), количество подмножеств
равно р(1). Принцип разбиения исходного множества на подмножества, а также количество подмножеств зависят от типа решаемой задачи. В задаче коммивояжера исходное множество G0 всегда делится
только на два подмножества: G11 и G21 . Подмножество G11 содержит
все те перестановки, в которых имеется непосредственный переход из
rгорода в m,а подмножество G21 включает перестановки, в которых
такой переход отсутствует.
55
В задаче трех станков исходное множество G0делится на пнепересекающих подмножеств, где п – количество деталей, которые
должны быть обработаны. Полученные подмножества имеют следующие свойства: подмножество G11 содержит все те перестановки, которые начинаются с детали № 1, а подмножество G21 – с детали № 2 и
т.д.На этом этапе осуществляется расчет оценок для всех подмножеств.
Этап 2.В качестве перспективного из всех конкурирующих
подмножеств G11 …, G1 ,…, G1p (1) ,выбирается подмножество, имеющее минимальную нижнююоценку. Пусть это будет подмножество
G1 .
Этап 3. Перспективное подмножество G1 делится на ряд непересекающихся подмножеств: G1,1 …, G1, 2 ,…, G1, p (1) . В качестве конкурирующих на этомэтапе рассматриваются как вновь образованные
подмножества, так и подмножества, отброшенные ввиду неперспективности на предыдущем этапе. Все конкурирующие подмножества
переобозначаются. В качестве верхнего индекса используется цифра
2, а нижний индекс определяется порядковым номером этого под2
множества среди конкурирующих: G12 …, G 22 ,…, G …, G p2 ( 2) .
Для каждого из конкурирующих подмножеств рассчитываются
нижние оценки либо учитываются ранее рассчитанные оценки, и в качестве перспективного выбирается подмножество, имеющее минимальную нижнюю оценку.
Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие оптимальности. Это условие предполагает совпадеОК
ние значения нижней оценки  (G ) значением критерия для оптиOK
мального плана f ( x0 ), x0  G .
56
РАЗДЕЛ 4. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧ
Динамическое программирование – это совокупность процедур,
используемых для оптимизации многошаговых процессов принятия
решений.Многошаговый процесс принятия решений – это схема принятия последовательных решений, направленных на достижение единой цели.
На основе концепции динамического программирования в работах Вальда, Гиршика, Массе были решены частные задачи. Беллмаиом
был сформулирован принцип оптимальности и обосновано функциональное уравнение. Им разработаны схемы принятия решений на основе принципа оптимальности для многочисленных оптимизационных
задач, возникающих в экономике, технике и социальных исследованиях. Концептуально динамическое программирование применяется для
анализа систем, которые характеризуются следующими признаками:
 процесс функционирования системы включает последовательные этапы i-m,текущий этап имеет номер i, конечный этап –
номер m;
 на i-м шаге управление Ui переводит систему из состояния Si-1,
достигнутого на i-1 этапе, в состоянии Si;
 для анализируемой системы выполняется принцип отсутствия
последействия, состоящий в том, что состояние Siзависит только от состояния для предыдущего этапа Si-1и управления Uiно
не зависит от состояний Si-2,Si-3,…,Si и управленийUi-1,Ui-2,…,Ui.
Известна функция локального дохода Wi(Si,U,i),определяющая
значение прибыли, получаемой при применении на i-м этапе управления Uiв случае нахождения системы в состоянии Si.
Доход от функционирования системы за w-этапов равен сумме
локальных доходов, полученных на каждом из этапов.
Необходимо
найти
такой
вектор
управлений
U=
{U1,…,Ui,…,Um}который обеспечивает максимизацию суммарного дохода:W=∑m
i=1 wi(U) → max
Понятие этапа,состояния,управления,доходазависит от предметной ориентации сложной системы. Для организационноэкономических систем:
 в качестве этаповмогут выступать интервалы планирования –
год, квартал;
57

состояние – характеризуется наличием свободных финансовых
средств;
 управление – представляет возможные варианты инвестирования этих средств;
 локальныйдоходот i-го этапа – это прибыль, получаемая на iмэтапе.
Для дискретной системы принятия решения, к которой относятся процедуры решения в задаче коммивояжера:
 этапы – это переход из одного города в другой;
 состояние – город, в котором находится коммивояжер, и перечень тех городов, которые ему необходимо посетить;
 управление – выбор следующего для посещения города из
множества непосещенных городов;
 локальныйдоход – расстояние между соседними городами;
 суммарныйдоход – длина замкнутого пути, проходящего через
всегорода.
Для технических движущихся объектов:
 состояние–это совокупность таких параметров, как скорость,
геометрические координаты, ускорение и др.;
 управление – это изменение координат, скорости;
 локальныйдоход – либо время перехода между состояниями
для соседних этапов, либо расход топлива;
 суммарныйдоход – время перемещения между начальным и
конечным состояниями.
Для решения такого класса задач могут использоваться два подхода.
Первый подходпредполагает, что одновременно находятся компоненты вектора управления для всех этапов решения. Такой подход
глобальной оптимизации приводит к существенному возрастанию
трудоемкости получения решения.
Второй подходбазируется на нахождении оптимального управления последовательно для каждого из этапов. Очевидно, если находить оптимальное управление для первого этапа, не учитывая дальнейшее функционирование системы и, самое главное, не учитывая
влияние решения первого этапа на последующие решения, то локальное оптимальное решение может существенно отличаться от глобального оптимального решения для этого этапа. Следовательно, необходимо выбрать такой этап и такую последовательность их рассмотрения, при которой бы оптимальное управление на таком этапе не ока58
зывало влияния на последующие этапы.
Тогда классическая идея динамического программирования, основанная на алгоритме обратной прогонки, состоит в том, что в качестве этапа, для которого на первом шаге находится локальное оптимальное управление, рассматривается последний этап принятия решений. Очевидно, что решения, принятыена этом этапе не оказывают
влияния на последующий этап, т.к. этот этап является последним. Однако при таком подходе является неизвестным состояние, в котором
будет находиться система перед началом выполнения последнего этапа. Поэтому локальное оптимальное управление необходимо найти
для всех возможных состояний, в которых может находиться система,
перед выполнением последнего этапа. После этого осуществляется
переход к оптимизации управления на предпоследнем этапе. Оптимальное управление на этом этапе находится с учетом того, что уже
известно оптимальное управление на последнем этапе. Таким образом,
для каждого состояния предпоследнего этапа находится локальное оптимальное управление. Такая процедура повторяется для всех последующих этапов: n-2,n-3,…,i,…,2, вплоть до первого этапа, т.е. оптимальное решение для первого этапа определяется с учетом ранее
найденных оптимальных решений для последующих этапов.
4.1. Модели планирования и управления запасами
В условиях перехода к рыночным отношениям и внедрения на
предприятиях ERP-систем, предназначенных для планирования материальных, финансовых, кадровых ресурсов задачи управления запасами существенно усложняются. Для анализа реальных систем управления запасами целесообразно использовать имитационные модели. Однако для применения любых типов моделей аналитических и имитационных – необходимо знать классификационные признаки систем
управления запасами, а также качественный характер влияния параметров на показатели эффективности их функционирования. В качестве таких показателей выбираются суммарные затраты за определенный временный интервал либо затраты в единицу времени. Укрупненная структура системы управления запасами включает три взаимодействующие компоненты: внешний поставщик, складская система и потребитель.
59
В базовой модели система управления запасами через определенные интервалы делает заказ у внешнего поставщика, поставка производится мгновенно, потребление продукции со склада осуществляется с постоянной интенсивностью. Необходимо определить размер
поставки, минимизирующий затраты на функционирование системы в
единицу времени. Увеличение размера поставки позволяет уменьшить
частоту заказов и, следовательно, сократить расходы на оформление
заказа. Но, с другой стороны, увеличение размера заказа приводит к
возрастанию затрат на хранение продукции на складе. Возможны следующие модификации базовой моделей:
 в зависимости от количества периодов пополнения запасов –
наоднопериодные и многопериодные. В однопериодных моделях пополнения запаса производится один раз в течении интервала функционирования системы;
 в зависимости от характера спроса – надетерминированные и
вероятностные. Спрос предполагается вероятностным, если его величина является случайной величиной. В случае независимости спроса
от времени он относится к стационарным;
 в зависимости от организации контроля состояния запаса – на
системы с непрерывным, контролем и на периодические. В системах с
непрерывным контролем производится постоянный мониторинг объема продукции, находящегося на складе, и при достижении определенной точки заказа осуществляется размещение заказа. В периодических
системах размещение заказа реализуется через фиксированные интервалы времени;
 в зависимости от количества типов продукции, входящей в заказ – на однопродуктовые и многопродуктовые;
 в зависимости от схемы выполнения заказа - мгновенное выполнение заказа либо поставка продукции на склад с постоянной интенсивностью;
 в зависимости от структуры складской системы – на односкладские системы и сетевые склады;
 в зависимости от вида целевой функции – на системы с пропорциональными и непропорциональными затратами.
В общем случае, величина суммарных затрат C, связанных с
функционированием системы, определяется какС = С1 + С2 + С3 + С4,
где С1 – затраты на приобретение товара; C2 – затраты на размещение
заказа; С3 – затраты на хранение продукции; С4 – потери от наличия
дефицита продукции.
60
В качестве управляемых параметров выбираются: размер заказа,
период формирования заказа либо величина оставшейся продукции на
складе, определяемая как точка заказа. Очевидно, что компонента С1
уменьшается при увеличении размера заказа, ввиду наличия механизма оптовых скидок. Затраты С2 увеличиваются при уменьшении периода либо точки заказа; затраты на хранения С3 увеличиваются при возрастании объема продукции, хранящейся на складе, так как для хранения продукции необходимо выделять определенные площади, оплачивать работу персонала, осуществляющего управление запасами; выполнять страхование запасов и т.д. Компонента С4 учитывает потери
компании от наличия дефицита продукции, который приводит либо к
простою производственных мощностей либо к потере постоянных
клиентов.
4.2.
Однопродуктовая детерминированная модель управления
запасами с учетом оптовых скидок
В рассматриваемой модели учитываются скидки на стоимость
единицы продукции в зависимости от размера партии. Дополнительно
к ранее приведенным исходным данным вводится таблица, содержащая информацию о величине скидок (табл. 2)
Таблица 4.1 – Информация о скидках
Размер партии
Процент скидки
Стоимость единицы
продукции
qp1  qp2
qp3  qp4
s1
s2
s3
z1
z2
z3
qp5  qp6
В этом случае суммарные затраты содержат три компоненты:
C  C1  C2  C3  z * D  C0 D / q  Ch q / 2 ,
где z  {z1 , z 2 , z3 } – оптимальная стоимость единицы продукции; Сh – стоимость хранения единицы продукции на складе. Эта
величина определяется как процент r от стоимости единицы продукции.
*
4.3.
Однопродуктоваядетерминированная модель управления
61
запасами с планированием дефицита
В рассматриваемой модели допускается возможность возникновения дефицита продукции. Целесообразность применения такой стратегии связана с тем, что затраты на хранение продукции могут существенно превышать потери от наличия дефицита. В этой модели
предусматриваются две модификации стратегии управления дефицитом:
 модификация 1 предполагает игнорирование заказов, поступивших на склад в условиях отсутствия продукции;
 модификация 2 учитывает заказы, которые поступили на склад
в условиях отсутствия продукции, и эти заказы выполняются при поступлении очередной партии продукции от внешнего поставщика.
4.4.
Однопродуктовая
вероятностная
модель
управлениязапасами с непрерывным контролем их уровня
Рассматриваемая модель характеризуется следующими классификационными параметрами:
 заказ содержит один тип продукции;
 система производит непрерывный мониторинг уровня запаса и
при достижении определенной точки формирует заказ;
 время выполнения заказа внешним поставщиком представляет
собой случайную величину;
 спрос имеет вероятностный характер и является непрерывной
случайной величиной.
Количественные исходные данные содержат следующие параметры: С0, D, Сh, Сb, а также f(х) – плотность распределения величины
спроса. Необходимо найти размер партии q и уровень повторного заказа U, обеспечивающие минимизацию суммарных затрат:
C  C2  C3  C4  C0 D / q  Ch q  Cb S ,
где q – средний размер заказа, хранимого на складе; S– средний
размер дефицита.
62
РАЗДЕЛ 5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ MS
EXCEL
5.1.
Технология решения оптимизационных задач с помощью
Excel.
Для решения оптимизационной задачи с помощью Excel необхо-
димо:
Выделить на рабочем листе ячейки для каждой из управляемых
переменных и заполнить их какими-либо начальными значениями.Для
удобства набора последующего набора формул выделить ячейки для
всех или некоторых постоянных величин, входящих в формулы, и заполнить эти ячейки. В принципе, можно этот пункт не выполнять, а
вводить постоянные величины в формулы непосредственно.
Выделить на рабочем листе ячейки для зависимых внутренних
параметров и ввести формулы для вычисления их значений.
Выделить ячейку для функции цели и ввести соответствующую
формулу.
Вызвать надстройку «Поиск решения» (меню «Сервис»). Если
этой надстройки нет, то установить ее с помощью пункта «Надстройки» меню «Сервис».
В полученном диалоговом окне указать:
целевую ячейку;
направление ее оптимизации (минимум или максимум);
управляемые переменные (в строке «изменяя ячейки»);
ограничения на управляемые и зависимые внутренние переменные (с помощью кнопок «добавить», «изменить»), указав ограничиваемые значения, их вид и границы. Ограничения, заданные в виде
двойных неравенств разбиваются на пару обычных.
Если какие-либо внутренние переменные должны быть целочисленными, двоичными, или неотрицательными, то отразить это требование, добавив соответствующие ограничения.
Если все управляемые переменные должны быть неотрицательными, то можно указать это в диалоговом окне, вызываемом с помощью кнопки «Параметры»;
Выполнить поиск решения с помощью кнопки «Выполнить»;
Проанализировать полученное решение. Если оно корректное,
сохранить его.
63
5.2. Производственная задача
Постановка задачи.
При производстве трех видов продукции используют два типа
сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий
максимум прибыли. Исходные данные таковы:
Таблица 5.1
Запас сырья
40
24
Прибыль в у.е.
Расход сырья на единицу
продукции
№1
№2
№3
4
5
1
2
1
3
80
60
70
Экономико-математическая модель.
Обозначим за xi(i =1….3)объем производства соответствующей
продукции.
С учетом значений задачи получаем.
4х1 + 5х2 + 1х3 ≤ 40
2х1 + 1х2 + 3х3 ≤ 24
Дополнительные ограничения:
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
Необходимо найти оптимальный план выпуска продукций
(т.е.xi), который обеспечит максимальную выручку.
Исходя из условий задачи целевая функция принимает вид:
f = 80 x1 + 60 x2 + 70 x3 +  max
Табличная модель.
64
Рис. 5.1. Табличное представление модели
Более наглядно заполнение ячеек табличной формы задачи
представлено на рисунке 5.2.
Рис. 5.2. Табличная модель с представленными формулами
Оптимизация. Сервис  Поиск решений.
Рис. 5.3.Диалоговое окно надстройки Поиск решения
65
Рис. 5.4. Решение производственной задачи
Вывод: Оптимальный план производства, при данных условиях,
состоит в том, что продукцию 1-ого и 3-ого видов необходимо
производить в объеме 9 и 2 ед. соответственно, а продукции 2-ого вида
не выпускать в производство. При этом обеспечивается максимальная
выручка в размере 860 д.е.
5.3. Оптимальная организация рекламной компании
Постановка задачи.
На рекламу выделено 80000 руб. Предприятие рекламирует
свою деятельность, используя четыре источника массовой
информации: Интернет, телевидение, радио, газеты. Анализ рекламной
деятельности в прошлом показал, что вложенные в рекламу средства
приводят к увеличению прибыли на 16, 14, 9, 8 руб соответственно, в
расчете на 1 руб, затраченный на рекламу. Руководство намерено
потратить половину суммы на рекламу на телевидении, не менее 20%
выделенной суммы - на радио, не более 25% - на газеты. Определить
оптимальное распределение средств, направляемых на рекламу.
Экономико-математическая модель.
x1– средства, направленные на Интернет;
x2– средства, направленные на телевидение;
x3– средства, направленные на радио;
x4– средства, направленные на газеты.
Целевая функция:
F = 16 x1 +14x 2 + 9x 3 + 8x 4  max
66
Ограничения:
х1+ х2 + х3 + х4 = 80000,
х2≤ 0,5 * 80000,
х3 ≥0,2 * 80000
х4≤0,25 * 80000
х1≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.
Табличная модель.
Рис. 5.5Табличное представление модели
Рис. 5.6Табличная модель с представленными формулами
Оптимизация. Сервис  Поиск решения.
67
Рис. 5.7Диалоговое окно надстройки Поиск решения
Рис. 5.8Решение задачи об оптимальной организации рекламной
компании
Вывод: Для получения максимальной прибыли, предприятие,
проводя рекламную компанию, должно вложить 24000 руб. на рекламу
– в Интернете, 40000 руб. в рекламу на телевидении, 16000 р. – в
рекламу на радио, и не вкладывать средства на рекламу в газетах. При
этом максимальная прибыль составит 1088000 руб.
68
5.4. Транспортная задача
Постановка задачи.
Фирма по доставке букетов цветов имеет шесть постоянных
клиентов. Цветы поставляются из четырех киосков, где ежедневный
запас составляет: 10, 20, 10, 30 букетов соответственно. Фирма
получила заказ от постоянных клиентов: А, В, D, E, F по 10 букетов, C
– 20 букетов. Удельные затраты на поставку букетов от каждого
киоска каждому клиенту представлены в таблице. Определить объем
поставки из каждого киоска каждому клиенту так, чтобы
минимизировать суммарные затраты.
Киоск
1
2
3
4
Клиенты
А
2
3
5
4
В
10
6
3
7
С
8
3
3
2
D
4
9
5
2
E
7
3
6
1
F
6
5
4
8
Экономико-математическая модель.
Искомый объем перевозки от i-ого поставщика к j-ому
потребителю обозначим черезxij. Тогда определяются ограничения для
условия реализации всех мощностей:
 x11 + x12 + x13 + x14 + x15  х16 = 10

 x21 + x22 + x23 + x24 + x25  х26 = 20


 x + x + x + x + x  х = 10
 31 32 33 34 35 36
 х41  х42  х43  х44  х45  х46  30
Ограничения для удовлетворения спросов всех потребителей:
69
х11 + х21 + х31 + х41 = 10
х12 + х22 + х3 2+ х42 = 10
х13 + х23+ х33 + х43 = 20
х14 + х24 + х34 +х44 = 10
х15 + х25 + х35 + х45 = 10
х16 + х26 +х36 + х16 = 10
Суммарные затраты на перевозку выражаются через
коэффициенты затрат и поставки и определяют целевую функцию.
F = 2x 11 +10x 12 + 8 x13 + 4x 14 + 7 x15  6 х16 + 3x21 + 6 x22 + 3x 23 + 9 x24 + 3x 25  5 х26 +
+ 5x 31 + 3x32 + 3x 33 + 5 x34 + 6 x35  4 х36  4 х41  7 х42  2 х43  2 х44  1х45  8 х46  min
Табличная модель.
Рис. 5.9.Табличное представление модели
Рис. 5.9. Табличная модель с представленными формулами
70
Оптимизация. Сервис  Поиск решения.
Рис. 5.10. Диалоговое окно надстройки Поиск решения
Рис. 5.11. Решение транспортной задачи
Вывод: Минимальные суммарные затраты на доставку букетов
цветов в размере 180 д.е. достигаются путем распределения поставок,
представленных в ячейках [B4:G4]и[B6:G6] . Так, например, киоск 2
должен доставить клиенту C 10 ед. букетов и клиенту F 10ед. букетов.
К клиентам A, В, D, E ехать не надо.А киоск 4 должен доставить
клиентам C, D, E, по 10 ед. букетов. А к клиентам A, B, F ехать не
надо.
71
5.5. Задача об оптимальном назначении
Постановка задачи.
На упаковочной поточной линии работают четыре сотрудника.
Операции упаковки последовательны. Время работы (в мин.) каждого
сотрудника на каждой операции представлено в таблице. Необходимо
наладить процесс упаковки так, чтобы сократить общее время
упаковки (повысить производительность).
Операции
1
2
3
4
Сотрудники
А
В
9
8
8
8,8
8,5
7,5
8,8
8
С
8,5
8
7
7
D
7
8
7,4
7
Экономико-математическая модель.Данная задача является
типичной моделью линейного целочисленного программирования, так
как включает в себя двойственные ограничения на переменные (1сотрудник назначается на должность, 0- сотрудник не назначается на
должность).
x11– сотрудник A назначается на должность № 1;
x12– сотрудник A назначается на должность № 2;
х13 - сотрудник A назначается на должность № 3;
x14– сотрудник A назначается на должность № 4;
x21– сотрудник B назначается на должность № 1;
x22– сотрудник B назначается на должность № 2;
х23 - сотрудник B назначается на должность № 3;
x24– сотрудник B назначается на должность № 4;
x31– сотрудник C назначается на должность № 1;
x32– сотрудник C назначается на должность № 2;
х33 - сотрудник C назначается на должность № 3;
x34– сотрудник C назначается на должность № 4;
х41– сотрудник D назначается на должность № 1;
x42– сотрудник D назначается на должность № 2;
х43 - сотрудник D назначается на должность № 3;
x44– сотрудник D назначается на должность № 4;
Имеем матрицу переменных:
72
х11 х12 х13 х14
х21 х22 х23 х24
х31 х32 х33 х34
х41 х42 х43 х44
Целевая функция выражает суммарную производительность и
имеет вид:
F = 9 x11 + 8 x12 + 8,5 x13 + 7 x14 + 8 x21 + 8,8 x22 + 8 x23 + 8 x24 + 8,5 x31 + 7,5 x32
+ 7 x33 + 7,4 x34 + 8,8 x41 + 8 x42 + 7 x43 + 7 x44  max
Ограничения:
Матрица переменных принимает двоичное значение:
1сотрудник назначается на должность;
0- сотрудник не назначается на должность.
Табличная модель.
Рис. 5.12. Табличное представление модели
Рис. 5.13. Табличная модель с представленными формулами
73
Оптимизация. Сервис  Поискрешения.
Рис. 5.14. Диалоговое окно надстройки Поиск решения
Рис. 5.15. Решение задачи об оптимальном назначении
Вывод: С учетом производительности труда всех работников по
каждой операции, менеджеру необходимо назначить: сотрудника A на
должность № 4, сотрудника B на должность №1, сотрудника C на
должность №2, сотрудника D на должность №3,. При этом коллектив
добьется общей времени упаковки 29,50 мин.
74
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все решения должны быть обоснованными, принимаемыми на
основе экономического анализа и многовариантного расчета, и интуитивными, которые, хотя и экономят время, но содержит в себе вероятность ошибок и неопределенность.
Принимаемые решения должны основываться на достоверной,
текущей и прогнозируемой информации, анализе всех факторов, оказывающих влияние на решения, с учетом предвидения его возможных
последствий.
Руководители обязаны постоянно и всесторонне изучать поступающую информацию для подготовки и принятия на ее основе решений, которые необходимо согласовывать на всех уровнях внутрифирменной иерархической пирамиды управления.
Количество информации, которую необходимо переработать для
выработки эффективных решений, настолько велико, что оно давно
превысило человеческие возможности. Именно трудности управления
современным крупномасштабным производством обусловили широкое использование электронно-вычислительной техники, разработку
автоматизированных систем управления, что потребовало создания
нового математического аппарата и экономико-математических методов, который нужно не только изучать, но и применять в решении
сложных экономических задач.
75
ТЕСТ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Задачу линейного программирования приводят к каноническому виду для:
a. Удобства записи
b. Увеличения скорости сходимости решения задачи ЛП
c. Построения матрицы ограничений
d. Возможности применения общего метода решения
2. К задачам математического программирования не относится:
a. Квадратичное программирование
b. Сепарабельное программирование
c. Целочисленное программирование
d. Многопоточное программирование
3. К каноническому виду можно привести задачу:
a. В которой все переменные неотрицательные
b. Любую задачу ЛП
c. Задачу с целевой функцией на минимум
d. Задачу с целевой функцией на максимум
4. В задаче линейного программирования существует хотя бы
одно оптимальное решение, если:
a. Множество допустимых решений находится в первом
квадранте
b. Множество планов не пусто, а целевая функция ограничена
c. Целевая функция ограничена
d. Множество планов не пусто
5. Оптимальное решение задачи линейного программирования
может быть:
a. Только внутренней точкой множества планов
b. Только угловой точкой множества планов
c. Как внутренней, так и угловой точкой области допустимых значений
d. Угловой и граничной точкой множества планов
6. Пересечение выпуклых множеств:
a. Не является выпуклым множеством
b. Может быть, как выпуклым, так и невыпуклым множеством
c. Есть пустое множество
d. Есть выпуклое множество
7. Первый этап моделирования:
76
8.
9.
10.
11.
12.
a. Изучение объекта
a. Описательное моделирование
b. Математическое Выбор/создание метода решения
c. Выбор/создание метода решения
Суть метода Лагранжа состоит в:
a. Сведении задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума
b. Сведении задачи безусловного экстремума к задаче
условного экстремума
c. Последовательном исключении переменных
d. Минимизации суммы квадратов остатков регрессии
Выберите 2 класса на которые можно разделить математическую модель:
a. Аналитический
b. Статистический
c. Функциональный
d. Детерминированный
Какой математический аппарат применяется для решения задач «критических ситуаций»:
a. Теория игр
b. Нейронные сети
c. Логистическая регрессия
d. ROC-анализ
Экономический оптимум:
a. Наилучшее состояние экономической системы относительно ее целей при данных внешних и внутренних
условиях
b. Совокупность максимально благоприятных параметров
c. Наибольшее значение функции на заданном множестве
Задача линейного программирования записана в каноническом
виде если:
a. Если все ограничения кроме условий неотрицательности записаны в виде равенств
b. Если все ограничения кроме условий неотрицательности записаны в виде неравенств
c. Если все ограничения являются не отрицательными
d. Если все ограничения находятся в области допустимых
значений
77
13. Задача линейного программирования записана в стандартном
виде если:
a. Если условия только в виде неравенств
b. Если условия только в виде равенств
c. Если условия в виде неравенств и равенств
d. Нет правильного ответа
14. Система является детерминированной если:
a. Все показатели можно определить, идентифицировать
b. Система, автоматически изменяет данные алгоритма своего функционирования
c. Есть абстрактная сущность, обладающая целостностью
и определенная в своих границах
d. Каждый компонент системы может рассматриваться
как система
15. Первый этап моделирования:
a. Изучение объекта
b. Описательное моделирование
c. Математическое Выбор/создание метода решения
d. Выбор/создание метода решения
78
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильева Л.Н., Деева Е.А. Моделирование микроэкономических
процессов и систем. Кнорус, 2012. 392с.
2. Голубков Е.П. Инновационный менеджмент. Технология принятия управленческих решений. Дело и сервис, 2012. 464.
3. Горшков А.Ф., Евтеев Б.В., Коршунов В.А. Компьютерное моделирование менеджмента: Учебное пособие. Экзамен, 2007. 624с.
4. Ефимова О.В. Финансовый анализ: современный инструментарий
для принятия экономических решений. Омега-Л, 2012. 351с.
5. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и
принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. Дело,
2012 г. 640с.
6. Каплан, А.В. Математика, статистика, экономика на компьютере /
А. В. Каплан, Е.В. Овечкина, М.В. Мащенко – М:ДМК-Пресс, 2006. –
600 с.
7. Ковалева В.Д., Додонова И.В. Моделирование финансовоэкономической деятельности предприятияюКнорус, 2009. 280с.
8. Мельников, П. П. Компьютерные технологии в экономике: Учебное пособие / П.П.Мельников – М:Кнорус, 2012. – 224 с.
9. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: теория принятия решений. Кнорус, 2011. 568с.
10. Пикуза, В Экономические расчеты и бизнес-моделирование в
Excel / В. Пикуза – СПб:Питер, 2012. – 400 с.
11. Сидорова Н. Принятие бизнес-решений. Альфа-Пресс, 2007. 160с.
12. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум.
Учебное пособие для бакалавров. Юрайт, 2012. 295с.
79
Учебное издание
ДОЛГИНА Татьяна Валериевна
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОПТИМУМ
Конспект лекций
Подписано к печати .2013. Формат 60х84 1/16. Гарнитура «Таймс».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 80. Уч.-изд.л.5.5. Тираж экз. заказ №___
Кемеровский институт (филиал) ГОУ ВПО «РГТЭУ».
650992, г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39. Тел. 75-75-00.
80