Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием А.В. Чмшкян

Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием
А.В. Чмшкян
Первостепенное значение для расчета фундаментов из конических свай имеет
определение напряжений и перемещений в грунтовом массиве. Важнейшим вопросом
является также изучение зоны уплотнения грунта, формируемой вокруг фундамента в
процессе его нагружения. Таким образом, представляет большой интерес возможность
определения компонент вектора напряжений и деформаций в любой точке грунтового
основания вокруг конического фундамента.
Во многих известных задачах получены напряжения на контакте между
заглубленной конструкцией и окружающим массивом [1, 2, 3]. Вопросом исследования
напряженно-деформированного состояния неоднородного основания при внедрении в
него жесткого конического тела практически не уделялось внимания.
Ниже показано численное решение задачи о взаимодействии жесткого конического
штампа, моделирующего конический фундамент, с неоднородным упругим основанием.
Физическая и математическая постановка задачи заключалась в следующем. В результате
действия осесимметрично передаваемой на жесткий штамп нагрузки P в основании
возникали нормальные напряжения σr, σz, σӨ, касательные напряжения τrz, радиальные U1
и вертикальные U2 перемещения. Сам штамп перемещался на величину δ. Внутри
исследуемой области Ω (рис.1) выполнялись уравнения равновесия осесимметричной
задачи теории упругости.
Рис. 1. Схема разбиения исследуемой области Ω на конечные элементы
На контуре граничные условия принимались следующими:
σz = τrz = 0, при z = 0, r > R,
то есть на поверхности вне штампа напряжения отсутствуют. По мере удаления в глубину
и в стороны от штампа перемещения затухают
U1 = U2 = 0, при z = H⋃(r,z) ∊ LKM.
Так как грунт предполагается жестко скрепленным со сваей, то на ее боковой
поверхности выполняются условия:
U1 = 0, U2 = δ, при (r, z) ∊ ABM1.
Под штампом вдоль оси Z выполняются условия симметрии:
𝜕𝑈
U1 = 0, 𝜕𝑟2 = 0, при r = 0.
Решение проводилось в цилиндрической системе координат r, Ө, z методом
конечных элементов (МКЭ) [4, 5]. Для построения решения исследуемая область была
разбита на элементы в виде параллелограммов и прямоугольников (см. рис. 1).
Неизвестными параметрами являлись радиальные U1 и вертикальные U2 перемещения
узлов rizj, при пробегании индексами i и j всех значений
i = 0, 1, 2, … , M1, … , M;
j = 0, 1, 2, … , N1, … , N2.
Внутри каждого элемента задано полилинейное распределение функций UK, K = 1, 2:
UK = aKr + bKz + cKrz + dK,
где aK, bK, cK, dK – постоянные коэффициенты, выраженные через перемещения
(ℋ)
соответствующих узлов на элементах ∆𝑖𝑗 , ℋ = 1, 2, 3, 4. Окончательно перемещения UK,
(ℋ)
K = 1, 2 на всем параллелограмме ∆𝑖𝑗 = ⋃4ℋ=1 ∆𝑖𝑗 представлены в виде
1
𝑈𝐾 = ∑ UK,i+m,j+n 𝜑𝑖+𝑚,𝑗+𝑛 (r, z) 𝜑𝑖+𝑛 (𝑧),
𝑚,𝑛=−1
где φi,j(r,z) и φj(z) – кусочно-полилинейные координатные функции.
В силу принципа Лагранжа решение свелось к вариационной задаче о нахождении
минимума функционала энергии
J(𝑈1 , 𝑈2 ) = ∫ (𝜎𝑟 ε𝑟 + 𝜎𝜃 ε𝜃 + 𝜎𝑧 ε𝑧 + 𝜏𝑟𝑧 𝛾𝑟𝑧 )𝑟𝑑𝑠.
Ω
Входящие в функционал напряжения и деформации определялись из
геометрических и физических уравнений теории упругости. В результате минимизации
была получена система алгебраических уравнений для определения радиальных и
вертикальных перемещений узловых точек области Ω. Решение системы проводилось
методом верхней релаксации
Un+1 = Un - τAUn,
n
где
U – вектор столбец узловых перемещений;
A – матрица коэффициентов;
AUn – система алгебраических уравнений МКЭ;
τ – итерационный параметр.
По найденным перемещениям определялись компоненты вектора напряжений в
узловых точках Ω и на контакте конического штампа с основанием. В результате
интегрирования напряжений по поверхности штампа определялась сила, действующая на
него. Для решения системы уравнений и вычисления напряжений составлена программа
для ЭВМ. С помощью этой программы определены поля напряжений и перемещений в
грунтовом основании конического фундамента при различных его геометрических
параметрах и характеристиках окружающего грунта. Установлено, что изменение угла
сбега образующих конического фундамента от 2º до 15º при постоянном его перемещении
приводит к увеличению вертикальных напряжений, действующих на боковую
поверхность на 20-25%. Изменение модуля общей деформации естественного грунта при
постоянных значениях модулей в пределах уплотненной зоны практически не влияет на
величину нагрузки, воспринимаемой фундаментом. Увеличение коэффициента Пуассона
от 0,25 до 0, 4 незначительно (до 5%) влияет на напряженное состояние основания
конического фундамента.
Метод решения задачи позволил учесть неоднородность грунтового массива,
которая обусловлена формированием уплотненной зоны в процессе погружения
фундамента [6]. Так, при увеличении максимальной ширины зоны уплотнения с 2,0 до 2,5
D нагрузка, действующая на фундамент, возрастает в 1,3-1,5 раза, а изменение значений
модулей общей деформации грунта внутри уплотненной зоны в 1,5 раза приводит к
изменению нагрузки на фундамент на 25-30%.
Литература
1. Златин А.Н., Уфлянд Я.С. Осесимметричная контактная задача о вдавливании
упругого цилиндра в упругий слой. – Прикладная математика и механика, 40, 1976,
№1. с. 79-84.
2. Ковнеристов Г.Б., Шишов О.В.Исследование распределения контактных
напряжений для заглубленных штампов. – В кн.: Сопротивление материалов и
теория сооружений. 1977, вып. 30, с. 44-47.
3. Стаин В.М. Напряжения в грунте в окрестности осесимметрично нагруженного
жесткого фундамента. – В кн.: Труды Фрунзенского политехнического института.
1972, вып. 53, с. 29-33.
4. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. –М.: Издво МИСИ, 1973. -118с.
5. Винокуров Е.В. Итерационный метод расчета оснований и фундаментов с
помощью ЭВМ. –Минск: Наука и техника, 1972. -246с.
6. Логутин В.В., Чмшкян А.В. О формировании зоны уплотнения вокруг конической
сваи. – В кн.: Перспективные разработки проектирования и комплексное
строительство сельскохозяйственных объектов на Северном Кавказе. – Ростов-наДону, 1984. с. 27-32.