Пространства Соболева - Основные образовательные программы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Подшивалова А.Н.
ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
Форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Подшивалова А.Н. Пространства Соболева. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль
подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ». Форма обучения
очная, Тюмень, 2014, 15 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Пространства Соболева
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой
математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Подшивалова А.Н., 2014.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Пространства Соболева и тесно связанное с ними понятие обобщенной
производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком
С. Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах
математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких
функций некоторыми идеальными элементами, приводит, с одной стороны, вследствие
полноты пространств Соболева к точности и завершенности многих математических
утверждений, а с другой стороны сохраняет все вычислительные возможности. Настоящая
дисциплина расширяет кругозор в таких разделах математики, как: дифференциальные
уравнения в частных производных, функциональный анализ, а также показывает
современные тенденции развития науки.
Цель курса «Пространства Соболева» - систематически изложить основы теории
пространств Соболева – раздела математики, лежащего в основе современной теории
дифференциальных уравнений. Сформировать новые элементы математической культуры,
привлечь внимание студентов к богатому многообразию приложений.
Задачи курса. Обеспечить усвоение студентами основных методов теории.
Показать связи теории пространства Соболева с разными разделами математики. Показать
перспективы развития теории пространств Соболева. Научиться применять
специфические методы и приемы в любых областях математики.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Учебная дисциплина «Пространства Соболева» входит в блок Б1 Дисциплины
(модули), является дисциплиной по выбору.
Требования к входным знаниям и умениям студента – свободное владение
методами математического анализа, линейной алгебры, теорией функций комплексного
переменного, теорией меры и интеграла Лебега.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
2.3.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.2.
2.2.
+
3.1.
2.1.
2.
Вариационное
исчисление
Преддипломная
практика
Таблица 1.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.2.
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
1.1.
№
п/п
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ПК-1, ПК-3.
ПК-1 - способность к определению общих форм и закономерностей отдельной
предметной области.
ПК-3 - способность строго доказать утверждение, сформулировать результат,
увидеть следствия полученного результата.
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: определения обобщенных производных, свойства функций пространств
в зависимости от показателя суммируемости и порядка производных, основные
теоремы вложения пространств Соболева, определения емкостей, связанных с
пространствами Соболева.
Wpk,
Уметь: находить норму функций в разных пространствах Соболева, решать
дифференциальные уравнения с обобщенными производными, определять вложенность
функции с обобщенными производными в пространства Ck и Lp.
Владеть: навыками решения типовых задач и правильной интерпретацией
полученного решения.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации – экзамен, лабораторные работы.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 академических
часов, из них 64,35 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем (30 часов
лекций, 30 - лабораторных, 4,35 часа иных видов работ), 43,65 часа, выделенных на
самостоятельную работу.
3. Тематический план.
Таблица 2.
3.1.
3.2.
*с учетом иных видов работ
Итого количество баллов
2.3.
Из них в интерактивной
форме
2.2.
Итого часов по теме
2.1.
Самостоятельная
работа
1.2.
Лабораторные
занятия
1.1.
2
Модуль 1
Предварительные сведения.
Пространства непрерывных
функций.
Пространства Лебега.
Всего
Модуль 2
Определения и основные
свойства пространства Соболева
Двойственность и пространства
Соболева
Аппроксимация гладкими
функциями
Всего
Модуль 3
Геометрические свойства
областей.
Теоремы вложения Соболева
Всего
Иные виды работ
Итого* (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
Лекции
1
Тема
3
4
5
6
7
8
9
1
3
3
4
10
2
3
6
3
6
5
9
11
21
3
3
3
4
10
4-5
6
6
9
21
4
0-10
6-7
6
6
9
21
4
0-10
15
15
22
52
8
0-30
8
3
3
3
9
2
0-20
9-10
6
9
6
9
0-20
0-40
30
21,3
30,65
4,35
108
2
4
30
9,65
12,65
4,35
48
14
0-100
3
11
недели семестра
№
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
0-15
2
2
0-15
0-30
0-10
14
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Итого количество
баллов
Письменные
работы
доклад
ответ на лекции
коллоквиумы
№ темы
собеседование
Устный опрос
Лабораторная
работа
Таблица 3.
Другие
формы
контроля
Модуль 1
Тема 1.1.
Тема 1.2.
Всего
0-2
0-2
0-4
Тема 2.1.
Тема 2.2.
Тема 2.3.
Всего
0-1
0-2
0-2
0-5
0-3
0-3
Тема 3.1.
Тема 3.2.
Всего
Итого
0-3
0-2
0-3
0-12
0-2
0-8
0-1
0-2
0-3
0-1
0-2
0-3
0-5
0-5
0-8
0-20
0-20
Модуль 2
0-4
0-8
0-5
0-17
Модуль 2
0-10
0-10
0-20
0-57
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-10
0-10
0-10
0-30
0-5
0-5
0-10
0-15
0-20
0-20
0-40
0–100
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1
Тема 1.1. Предварительные сведения. Пространства непрерывных функций
Топологические векторные пространства. Нормированные пространства. Пространства
непрерывных функций. Мера Лебега. Интеграл Лебега. Распределения и слабые
(обобщенные) производные.
Тема 1.2. Пространства Лебега
Основные свойства. Полнота. Аппроксимация непрерывными функциями. Свертки и
теорема Юнга. Усреднения и аппроксимация гладкими функциями. Предкомпактные
множества в Lp. Равномерная выпуклость.
Модуль 2
Тема 2.1. Определения и основные свойства пространства Соболева
Нормы в пространствах Соболева. Свойства Соболевских пространств.
Тема 2.2. Двойственность и пространства Соболева
Теоремы двойственности для Соболевских пространств. Нормированное двойственное
к пространству Соболева.
.
Тема 2.3. Аппроксимация гладкими функциями
Теорема о разбиение единицы. Усреднения в пространствах Соболева. Условие
сегмента. Множество сужений. Полярные множества. Преобразования координат.
Модуль 3
Тема 3.1. Геометрические свойства областей
Целевые пространства вложений. Условие сегмента, конуса. Слабое и равномерное
условие конуса. Строгое локальное условие Липшица.
Тема 3.2. Теоремы вложения Соболева
Теоремы вложения Соболева, стратегия доказательств. Доказательство вложений
методами потенциалов, усреднений. Вложения в пространства липшицевых функций.
Неравенство Соболева
6. Планы семинарских занятий.
Не предусмотрены учебным планом ОП.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Модуль 1
Тема 1. Функционально-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными
коэффициентами
1. Гладкие решения функционально-дифференциальных уравнений.
2. Характеристические функции.
Модуль 2
Тема 2. Вычисление интегралов по многомерным областям
1. Наиболее точное приближение интеграла ∫Ω 𝑑𝑥 𝑓(𝑥).
Модуль 3
Тема 3. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача
Коши
1. Фундаментальное решение дифференциального оператора.
2. Решение обобщенной задачи Коши с помощью свертки.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
обязательные
дополнительные
Количество
баллов
Модули и темы
Объём часов
№
Неделя
семестра
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы
студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Таблица 4.
Виды СРС
Модуль 1
1.1.
Предварительные
сведения. Пространства
непрерывных функций.
Пространства Лебега.
1.2.
Конспектирование
материала на
лекционных
занятиях
Работа с учебной
литературой.
Выполнение
лабораторной
работы,
подготовка к
собеседованию
1
10
0-15
2
11
0-15
21
0-30
3
4
0-10
4-5
9
0-10
6-7
9
0-10
22
0-30
8
3
0-20
9-10
9,65
0-20
12,65
4,35
48
0-40
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Определения и
основные свойства
пространства Соболева
Двойственность и
пространства Соболева
Аппроксимация
гладкими функциями
Конспектирование
материала на
лекционных
занятиях
Работа с учебной
литературой.
Выполнение
лабораторной
работы,
подготовка к
собеседованию,
подготовка к
докладу
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1.
Геометрические
свойства областей.
Теоремы вложения
Соболева
3.2.
Всего по модулю 3:
Иные виды работ
ИТОГО:
Конспектирование
материала на
лекционных
занятиях
Работа с учебной
литературой.
Выполнение
лабораторной
работы,
подготовка к
собеседованию,
подготовка к
докладу.
0-100
1. Вопросы к коллоквиуму.
Вопросы к коллоквиуму совпадают с вопросами к экзамену, приведенными ниже и
выбранными в соответствии с модулем, в котором проводится коллоквиум.
2. Примерные темы докладов:
1. Группы Карно
2. Группы Гейзенберга
3. Неравенство Пуанкаре
4. Дифференцируемость вдоль векторных полей
5. Субэллиптические дифференциальные уравнения
6. Сепарабельные пространства
7. Свертка обобщенных функций.
8. Функция Грина для оператора Штурма-Лиувилля
9. Вычисление нормы для полиномов Лежандра
10. Обобщенные функции. Обобщенные решения дифференциальных уравнений.
11. Неравенство Фридрихса
12. Средние функции, их свойства
13. Неравенство Пуанкаре
14.
15.
16.
17.
18.
Свойства собственных значений и обобщенных собственных функций для
эллиптического оператора
Метод Фурье для гиперболического уравнения в пространстве Соболева
Вариационные задачи в гильбертовом пространстве
Уравнения псевдопараболического типа
Ряды Фурье-Соболева
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и лабораторных занятиях,
развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени, отпущенного на
самостоятельную работу, должна быть использована на выполнение домашней работы.
Во время лекционных и лабораторных занятий самостоятельная работа реализуется
в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения части теоретического
материала, предусмотренного учебным планом ОП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную литературу, готовится к
лекционным и лабораторным занятиям, собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и
контрольным работам. При подготовке можно опираться на конспект лекций и
литературу, предложенную в соответствующем разделе данной рабочей программы. В нем
расположен список основной и дополнительной литературы, а также необходимые
интернет-ресурсы.
Перечень типовых заданий самостоятельных работ
1. Найти обобщенные производные первого, второго порядка от заданной функции.
1
2. При каких р функция 𝑓 ∈ 𝑊𝑝′ (𝐵) в единичном круге В? 𝑓(𝑟, 𝜑) = sin(𝑟 ).
3. Каким из пространств Соболева 𝑊𝑝2 (𝑄) принадлежит 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )−1/2 ,
𝑄 = {(𝑥, 𝑦): 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑦 < 1}.
4. Проверить компактность оператора вложения данных пространств 𝑊3′ (𝐵) ⊂
𝑊2′ (𝐵) в единичном круге.
5. Является ли данная область равномерной, какие из пространств Соболева
допускают продолжение функции из области, ограниченной кривой 𝑥 6 + 𝑦 6 = 1.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
ПК-1 - способность к определению общих форм и закономерностей отдельной
предметной области.
ПК-3 - способность строго доказать утверждение, сформулировать результат,
увидеть следствия полученного результата.
ПК-3
Индекс
компетен
ции
ПК-1
+
+
3
+
+
* - дисциплины базовой части
6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
Учебная практика
семестр
Преддипломная практика
7
Р-адический анализ
Вариационное исчисление
+
Пространства непрерывных функций
Теория обобщенных функций
Банаховы алгебры и гармонический анализ
Физика
Методы оптимизации
+
Теория категорий
Случайные процессы
5
Уравнения в частных производных
4
Комплексный анализ*
Математическая логика*
Дифференциальные уравнения*
1
Теория чисел
Циклы,
дисципли
ны
(модули)
учебного
плана ОП
Математический анализ*
Аналитическая геометрия*
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Таблица 5
Б.1. Дисциплины (модули)
Б.2. Практики
+
Б.3. ГИА
8
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Код
компете
нции
Карта критериев оценивания компетенций
ПК-1
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные понятия, определения и
свойства объектов пространства
Соболева
Знает: основные понятия и
утверждения, а также методы
доказательства стандартных утвержений
Умеет: решать простейшие задачи на
определение свойств соболевских
пространств
Умеет: решать задачи теории
соболевских пространств, выявлять
закономерности, доказывать
стандартные утверждения
Владеет:
навыками
интерпретации
результатов
исследования
свойств
пространств Соболева
Владеет: математическим аппаратом
теории соболевских пространств
ПК-3
Знает: основные теоремы дисциплины и
следствия из них
Умеет: использовать теоретический и
практический материал, необходимый
для представления задачи в терминах и
понятиях изучаемой дисциплины;
доказывать основные теоремы теории
соболевских пространств
Владеет: первоначальными
представлениями о методах
доказательства основных теорем
дисциплины
Знает: специфику формулировки задач
профессиональной деятельности в
терминах дисциплины
Умеет: проводить доказательства
математических утверждений, не
аналогичных ранее изученным, но тесно
примыкающих к ним;
систематизировать основные знания о
приемах и методах решения типовых
задач курса с использованием
справочной литературы
Владеет: способностью
интерпретировать профессиональный
смысл полученного результата
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды
занятий
Знает основные понятия и утверждения,
а также методы доказательств
утверждений, выявление
закономерностей
Умеет: решать задачи теоретического и
прикладного характера теории
пространств Соболева, доказывать
утверждения
Владеет: математическим аппаратом
теории пространств Соболева,
аналитическими методами исследования
объектов
Знает: на высоком уровне учебную
программу теории пространств
Соболева
Умеет: проявлять высокую степень
понимания утверждений теории
соболевских пространств, развернуто
характеризовать сущность и содержание
приемов и методов решения типовых
задач
лекции,
лабораторные
занятия
Коллоквиум,
ответ на
лекции
лекции,
лабораторные
занятия
Опрос,
собеседование
лекции,
лабораторные
занятия
Лабораторная
работа, доклад,
собеседование
лекции,
лабораторные
занятия
лекции,
лабораторные
занятия
Коллоквиум,
ответ на
лекции
Опрос,
собеседование
Владеет: навыками чтения и анализа
учебной и научной математической
литературы; способностью
формулировать и доказывать
утверждения теории пространств
Соболеа
лекции,
лабораторные
занятия
Лабораторная
работа, доклад,
собеседование
Оценочные
средства
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Перечень типовых заданий лабораторных работ:
Тема 1. Функционально-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными
коэффициентами
Найти решение функционально-дифференциальных уравнений с операторными
уравнениями в банаховых (гильбертовых) пространствах.
Однозначная разрешимость и асимптотическое поведение решений начально-краевых
задач для класса линейных дифференциальных уравнений, коэффициентами которых,
являются оператор-функции, принимающие значения в множестве, неограниченных
операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Тема 2. Вычисление интегралов по многомерным областям
Составить программу приближенного вычисления интеграла ∫Ω 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝛼(х). при
заданных параметрах.
Тема 3. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора и задача
Коши
1. Найти фундаментальное решение заданного дифференциального уравнения. С
помощью свертки найти решение обыкновенного дифференциального оператора.
Проверить полученные решения и построить совмещенные графики функций.
2. С помощью свертки найти решение обобщенной задачи Коши (уравнение
теплопроводности
или
волновое).
Дать
физическую
интерпритацию
математической модели и полученного решения
Перечень типовых теоретических вопросы к экзамену:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Топологические векторные пространства.
Пространства непрерывных функций.
Мера Лебега, свойства.
Производные распределений.
Распределения и слабые (обобщенные) производные.
Пространства Лебега, свойства.
Аппроксимация непрерывными функциями.
Свертки и теорема Юнга.
Усреднения и аппроксимация гладкими функциями.
Свертка. Усреднение. Теорема Свойства усреднений.
Равномерная выпуклость.
Нормированное двойственное пространство к 𝐿𝑝 (Ω).
Теорема Арцела-Асколи для непрерывных функций.
Теорема о предкомпактности множества в 𝐿𝑝 (Ω).
Пространства Лебега со смешанной нормой.
Определение пространства Соболева, свойства.
Теорема пространство 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) банахово.
Теорема о разбиении единицы.
Лемма усреднения в 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω).
Теорема 𝐻 = 𝑊.
Условие сегмента.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Теорема о плотном множестве сужений на Ω.
Носитель множества. Вложения.
Теорема о плотности множества в 𝑊 𝑚,𝑝 (𝑅 𝑛 ) и полярности его дополнения.
Преобразования координат. Ограниченный обратный оператор.
Целевые пространства вложений.
Геометрические свойства областей.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Студент, набравший в течение семестра не менее 91 балла, получает автоматически
оценку отлично, от 76 до 90 баллов – хорошо, от 61 до 75 баллов – удовлетворительно.
Если студент не набрал необходимого числа баллов (то есть суммарное количество
баллов 60 или меньше), то ему необходимо сдавать экзамен в назначенное преподавателем
и утвержденное руководством института время.
Билеты к зачету формируются из вопросов, список которых был приведен в п.10.3
данной рабочей программы.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики.
При проведении лабораторных занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; определяющее приобретение навыков решения
практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического
материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения.
Они включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность
обучающихся и вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую
активность.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Избранные труды/ Сергей Львович (1908-1989) Соболев; С.Л. Соболев ; ред.- сост.
С.К. Водопьянов, Г.В. Демиденко ; РАН СО, Ин-т математики им. С.Л. Соболева. –
Новосибирск: Изд-во Института математики. ISBN 5-86134-119-2 Т. 2:
Функциональный
анализ;
Дифференциальные
уравнения
с
частными
производными. – 2009. – 689 с.
2. Интегральные и дифференциальные операторы и обобщенные функции / Н.В.
Мирошин, А.С. Логинов, Ю.Н.Гордеев, В.М. Простокишин. – М. : МИФИ, 2010. 168 с. – ISBN 978-5-7262-1317-0 9 ; То же [Электронный ресурс]. - URL:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=231550 (дата обращения: 13.10.2014).
3. Кучер, Н.А. Нелинейные краевые задачи на плоскости : учебное пособие /
Н.А. Кучер, О.В. Малышенко. - Кемерово : Кемеровский государственный
университет, 2012. - 116 с. - ISBN 978-5-8353-1338-9 ; То же [Электронный ресурс].
- URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=232684 (дата обращения:
13.10.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л: Изд-во ЛГУ, 1985.
2. Решетняк, Ю. Г. К теории соболевских классов функций со значениями в
метрическом пространстве / Ю. Г. Решетняк // Сибирский математический журнал. 2006. - Т. 47, № 1. - С. 146 - 168.
3. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М. Пространства Соболева и специальные классы
отображений. НГУ, 1981.
4. Бесов О. В. Теорема вложения Соболева для анизотропно нерегулярных областей /
О. В. Бесов // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 438, № 5, июнь. - С. 586-589.
5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М., Интегральные представления функций и
теоремы вложения. М.: Наука, 1996.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Образовательный математический сайт «Экспонента»
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tfkp/
2. Единое окно доступа к образовательным ресурсам
http://window.edu.ru/window/library?p_rid=47134
3. Литература по математике: http://window.edu.ru/library?p_rubr=2.2.74.12
4. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике. [Электронный ресурс] М.: Наука, 1988. - Режим доступа:
http://ihtik.lib.ru/2012.03_ihtik_mathematic/2012.03_ihtik_mathematic_12891.rar
(дата обращения: 13.10.2014).
5. Мазья, В.Г. Пространства С. Л. Соболева [Электронный ресурс]/ В. Г. Мазья. Ленинград:
Изд-во
ЛГУ,
1985.
415
с.
Режим
доступа:
http://techlibrary.ru/b/2u1a1i2d2g_2j.2k._2x1r1p1s1t1r1a1o1s1t1c1a_2z.2t._2z1p1b1p1
m1f1c1a._1985.djvu (дата обращения: 13.10.2014).
6. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические
задачи в областях с гладкой и липшицевой границей [Электронный ресурс] / М.
С. Агранович. - Москва : Издательство МЦНМО, 2013. - 378 с. - Режим доступа:
ftp://nozdr.ru/biblioteka/kolxo3/M_Mathematics/MC_Calculus/MCde_Differential%20
equations/Agranovich%20M.S.%20Sobolevskie%20prostranstva,%20ix%20obobshche
niya%20i%20e'llipticheskie%20zadachi%20(MCNMO,%202013)(ru)(ISBN%2097854
43900704)(379s)_MCde_.pdf (дата обращения: 13.10.2014).
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения
необходимости).
и
информационных
справочных
систем
(при
В организации
учебного процесса
необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Лекционные и лабораторные занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной
доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Пространства Соболева» содержит 3 модуля, которые изучаются 1
семестр. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению
к установленным целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных
достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а
непрерывно складываются на протяжении всего семестра. Комплексность означает учет
всех форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Опросы проводятся на каждом семинаре по содержанию лекционного материала, а также
по базовым знаниям, полученным на лабораторных занятиях. Промежуточный контроль –
это проверка знаний студентов по разделу программы, проводится в виде регулярных
контрольных мероприятий или коллоквиумов. Итоговый контроль по дисциплине – это
проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Условия получения зачета на основе полученного суммарного количества
баллов можно найти в п.10.4 данной рабочей программы.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной
работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и
готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические
задания, выполнять упражнения. Результаты решения задач и выполнения заданий, а
также возникшие трудности студент может обсудить с преподавателем на лабораторноом
занятии либо в консультационные часы.