Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Линейная алгебра»
1. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
2. Перестановка. Определитель n-го порядка и его свойства.
3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам
любой строки (или столбца).
4. Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать
теорему существования и единственности обратной матрицы.
5. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B.
6. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная
запись. Правило Крамера.
7. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения
ранга матрицы.
8. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге
матрицы.
9. Теорема Кронекера — Капелли.
10. Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых
решений. Фундаментальная система решений.
11. Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных
алгебраических уравнений.
12. Линейные пространства. Определение. Примеры.
13. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Свойства.
14. Размерность линейного пространства. Базис.
15. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в
координатной форме.
16. Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами
вектора в разных базисах.
17. Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности
подпространства.
18. Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными
преобразованиями.
19. Сложение линейных преобразований.
20. Умножение линейного преобразования на число.
21. Умножение линейных преобразований.
22. Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.
23. Обратные преобразования.
24. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.
Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду.
25. Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного
преобразования.
26. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного
преобразования.
27. Инвариантность
характеристического
многочлена
линейного
преобразования.
28. Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному
виду в случае простого спектра.
29. Векторы. Линейные операции над векторами.
30. Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.
31. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл
линейной зависимости.
32. Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве.
Прямоугольная система координат.
33. Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление
отрезка в данном отношении.
34. Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух
векторов.
35. Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние
между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами.
36. Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие
коллинеарности двух векторов.
37. Векторное произведение двух векторов в координатной форме.
38. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства.
39. Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие
компланарности трех векторов.
40. Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос
начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой.
41. Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и
сферы.
42. Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым
коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках.
43. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения
прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.
44. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и
перпендикулярности.
45. Векторно-параметрическое
уравнение
плоскости.
Параметрические
уравнения плоскости.
46. Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости.
47. Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному
виду.
48. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение
плоскости. Связка плоскостей.
49. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение
плоскости в отрезках.
50. Угол
между
двумя
плоскостями.
Условие
параллельности
и
перпендикулярности двух плоскостей.
51. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое
уравнение прямой.
52. Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения
прямой к каноническому виду.
53. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и
перпендикулярности 2-х прямых.
54. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и
плоскости.
55. Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения
прямой и плоскости.
56. Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм.
57. Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты.
58. Цилиндрические и конические поверхности.
59. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
60. Поверхности вращения.