Глава 2. Численная модель коллективного ускорения протонов Общая схема модели

Глава 2. Численная модель коллективного ускорения протонов
2.1. Общая схема модели
Существует целый ряд методов численного моделирования плазмы [12,13],
например гидродинамические методы, метод водяного мешка, одним из наиболее
эффективных и часто применяемых методов моделирования плазменных процессов
является метод частиц в ячейке [14,15].
Суть данного метода состоит в следующем.
Реальная плазма заменяется значительно меньшим числом модельных частиц.
Чтобы сохранить параметры плазмы, каждая модельная частица должна иметь в N раз
большую массу и соответственно заряд. Таким образом, ускорение модельного иона или
электрона в результате их взаимодействия с электромагнитными полями, остается таким
же, как и у реальных частиц.
Для боле быстрого и рационального решения уравнений для поля выбирается сетка
с постоянным или переменным шагом. Выбор шага сетки и системы координат
обусловлен особенностями исследуемых процессов и численной модели. В данной работе,
например, использовалась декартова система координат, которая является более
экономичной, чем цилиндрическая с точки зрения затрат машинного времени.
После выбора сетки производится распределение заряда в узлы сетки. Эту
процедуру также
можно
производить
несколькими
способами.
Выбор
способа
распределения заряда зависит в основном от необходимой точности. Применяемый в
данной работе способ распределения заключается в следующем. Пусть заряд попал в
данную ячейку. Если мы теперь проведем плоскости через точку нахождения заряда
параллельно плоскостям XZ, XY, ZY, то получится четыре куба, ограниченные
проведенным плоскостями и плоскостями самой ячейки. В каждой узел данной ячейки,
раздается
часть заряда, которая пропорциональна объему куба противоположному
примыкающего к узлу.
Далее производится вычисление сил поля в узлах сетки с помощью усреднения
найденных значений потенциала по сетке. Сами же силы, действующие на частицы,
находятся с помощью интерполяции, часто тем же способом, что и «раздача» заряда в
узлы сетки.
Для
изучения
коллективного
ускорения
протонов
с
учетом
физических
особенности процессов коллективного ускорения ионов, описанны выше, была разработка
трехмерная модель, с учетом электростатических и магнитных взаимодействий.
Цикл вычислений состоит из следующих основных этапов:
1. По заданному пространственному распределению частиц плазмы (электронов и ионов)
в начальный момент времени t=0 рассчитывается плотность заряда в узлах заданной
 i, j , k    ix, jy, kz  и плотность тока
пространственной
сетки


J (i, j, k )   (i, j, k )  V (i, j, k ) . Здесь i, j , k – номера узлов в направлениях X , Y , Z
соответственно, x, y, z – пространственные шаги в этих направлениях; i  1,, L;

j  1,, M , k  1,, N , V (i, j , k ) - скорости электронов в узлах сетки. Плотности
зарядов в узлах сетки находятся с помощью процедуры раздачи заряда по восьми
ближайшим к частице узлам. Аналогичным образом определяются плотности тока.
2. На стационарной пространственной сетке решаются уравнение Пуассона,
  4 ,
конечно разностная форма, которого имеет вид:
i  1, j , k   2i, j , k   i  1, j , k 
x 2
i, j  1, k   2i, j , k    i, j  1, k 

y 2
i, j , k  1  2i, j , k    i, j , k  1

 4 i, j , k 
2
z 

и уравнения Пуассона, для составляющих векторного потенциала A  
(21)
4 
J , вид
c
которых аналогичен уравнению (21), Например, для x - составляющей:
Ax (i  1, j , k )  2 Ax (i, j , k )  Ax (i  1, j , k )
x 2
A (i, j  1, k )  2 Ax (i, j , k )  Ax (i, j  1, k )
 x
y 2
A (i, j, k  1)  2 Ax (i, j , k )  Ax (i, j , k  1)
4
 x
  J x i, j , k 
c
z 2
.(22)
3. Самосогласованное электрическое поле и магнитное поле плазмы вычисляются с
помощью разностных производных. Ниже, приведены выражения для составляющих
электрического и магнитного полей.
 (i  1, j , k )   (i  1, j , k )
2x
 (i, j  1, k )   (i, j  1, k )
Ei, j , k , y 
2y
 (i, j , k  1)   (i, j , k  1)
Ei, j , k , z 
2z
Ei, j , k , x 
(23)
A (i, j  1, k )  Az (i, j  1, k ) Ay (i, j , k  1)  Ay (i, j , k  1)
B x (i, j , k )  z

2y
2z
A (i, j , k  1)  Ax (i, j , k  1) Az (i  1, j , k )  Az (i  1, j , k )
(24)
B y (i, j , k )  x

2z
2x
Ay (i  1, j , k )  Ay (i  1, j , k ) Ax (i, j  1, k )  Ax (i, j  1, k )
B z (i, j , k ) 

2x
2y
4. Следующим шагом является интегрирование уравнений движения частиц.



 
dP
V  B
 eE 
(25)

dt
c


 

 


где - E  Ehf  Es  Ei и B  Bst  Bs



где P - импульс частицы; e – заряд электрона; Ehf - СВЧ - электрическое поле; E s и


Bs - собственное электрическое и магнитное поле плазмы соответственно; Ei индукционное электрическое поле и Bst - магнитное поле создающее системами катушек
устройства.
n+1, (см Таким образом, в представленной схеме реализуется последовательность
вычислений: координаты, и импульсы частиц в момент времени n - плотности заряда и
тока – потенциалы собственно электрического и векторного магнитного поля частиц –
собственно электрическое и магнитное поля частиц и новые координаты, и импульсы
частиц в момент времени ниже)

xn , y n , z n
 x n 1, y n 1, z n 1

ijk
ijk


E
ijk
m
m
 m m m



 m









n
n
n
p , p , p
 J ijk
 Aijk
 Bijk
 p n 1, p n 1, p n 1 (26)
xm
ym
zm




 xm ym zm
(n – номер временного шага, m – номер частицы), в результате которых частицы
продвигаются на один временной шаг.
2.2. Особенности реализации численной модели.
В связи с тем, что на разных стадиях ускорителя моделируются различные
процессы, в модели используется пространственная сетка с различным числом узлов и
пространственным шагом для разных процессов. На стадии ускорения электронов в
режиме синхротронного гиромагнитного авторезонанса используется сетка 32х32х32.
Общее число моделируемых частиц (электронов и протонов) составляет 200000. Расчет
собственного магнитного поля плазмы включается на стадии адиабатического сжатия. На
этой же стадии пространственный шаг сетки уменьшается вдвое по всем направлениям.
На стадии ускорения ионов расчет электрического и магнитного полей плазмы
производится на движущейся сетке, связанной с одной из частиц электронной или ионной
компоненты. Размер сетки в продольном (z) направлении увеличивается в 3 раза.
Для решения уравнений движения использовался метод Бориса. Конечно-разностный
аналог уравнений движения в безразмерной форме имеет вид для электронов:
1
1
n
n
n ~n
n ~n
u ex 2  u ex 2
n
n u ey bz  u ez b y
 g 0 cos  g sx  g ix 
n


1
1
n
n
u ey 2  u ey 2

n ~n
n ~n
n
n u ex bz  u ez bx
 g 0 sin   g sy  g iy 
n

1
1
n
n
n ~n
n ~n
u
b

u
bx
u ez 2  u ez 2
ex
y
ey
n
 g sz

n


и ионов
(27)
1
1
n
n
uix 2  uix 2 g sx


Rm
1
1
n
n
n
uiy 2  uiy 2 g sy
n


Rm
,
(28)
1
1
n
n
uiz 2  uiz 2 g sz


Rm
n


где u e , u i - импульсы электрона и иона в единицах m0 c ; g 0 , g s и g i - величины
электрического поля, нормированные на B0  m0 c / e ;
 
 e ,  i - координаты электрона и
~
иона в единицах c ; b  bst  b0  b( ) - магнитное поле, нормированное на B0 (
b( ) -магнитное нарастет по линейному закону b( )  b );  - временной шаг; Rm отношение массы иона к массе электрона.
При переходе к следующему моменту времени цикл вычислений завершается
расчетом новых координат частиц
 exn1
 n 12

 u ex

n
  ex  




1
n
 2

 e

 eyn1
 n 12



u
ey
n
  ey  
  
1
  n 2
,
 e

 ezn1
 n 12



u
  ezn   ez 1   
  n 2

 e

(29)
и получением нового распределения частиц в координатном пространстве и пространстве
импульсов. В дальнейшем цикл вычислений повторяется.
Выбор данной численной модели обусловлен возможностью анализа следующих
вопросов:

Пространственное распределение частиц плазмы,

энергетические спектры электронной и ионной компонент плазмы

Степени заряженности получаемой плазмы

Поля поляризации и определение оптимального градиента магнитного поля в
ускорении протонов.
2.3. Этапы моделирования коллективного ускорения протонов.
В применении к рассматриваемым физическим процессам этапы моделирования
можно представить следующим образом:
В первом этапе – ускорение электронов плазмы инжекции в условиях синхротронного
гиромагнитного авторезонанса до средней энергии 0,5-1,0 МэВ. Во втором этапе –
адиабатическое сжатие получаемой плазмы в условиях СГА до энергии 2,5-3,0 МэВ. В
третьем этапе – ускорение протонов в области спадающего магнитного поля. В модели
использовалось
реальное
отношение
массы
протона
к
массе
электрона.
Учет
диамагнитных явлений, отраженных в уравнении движения для электронов, дают
основание воспользоваться схемой метода
частиц с учетом лишь электрических и
магнитных взаимодействий.
Учитывая предполагаемые особенности исследуемого процесса, а именно: быстрое
изменение плотности плазмы, ускорение протонов до релятивистских энергий, выбор
шага сетки был обусловлен следующими соображениями. С одной стороны, шаг сетки
должен быть порядка дебаевского радиуса плазмы после стадии адиабатического сжатия,
а с другой стороны, он должен быть достаточно большим, чтобы релятивистская частица
проходила расстояние равное шагу сетки не менее чем за два временных шага, то есть
z  2ct , где t - шаг интегрирования уравнений движения. В расчете не учитывается
процесс ионизации, потому что характерное время этого процесса большее, чем время
протекания процесса адиабатического сжатия. Характерное время процесса ионизации
i  i  1 определяется формула
 i  (ne  ve i (ve ) ) 1 ,
(30)
где угловые скобки означают усреднение по распределению электронов по скоростям при
температуре Te ,  i (ve ) - сечение процесса ионизации при
относительной скорости
электрон-нейтрал или электрон-ион равной ve . При плотности электронов 1011 см-3 и ve ~
с, сечение процесса ионизации  i (v e ) ~10-18 и характерное время  i ~ 0,66.10 3 мс.
Учет пространственной ограниченности процесса проводился для анализа потерь
частиц из плазмы, посредством ввода границ, соответствующих условиям эксперимента.
Частицы, достигшие стенок камеры, считались потерянными