Document 321983

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа учебного курса геометрии для 9 класса составлена на основе Примерной программы основного общего
образования по математике и программы для общеобразовательных учреждений по геометрии 7 - 9 классы (к учебному
комплекту по геометрии для 7-9 классов авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев и др.), составитель Бурмистрова
Т.А.-М.: Просвещение,2011.
Содержание программы направлено на освоение учащимися знаний, умений и навыков на базовом уровне. Она включает
все темы, предусмотренные федеральным компонентом государственного образовательного стандарта основного общего
образования по математике.
Рабочая программа составлена в соответствии с программой для общеобразовательных учреждений по геометрии 7 - 9
классы, Бурмистрова Т.А.-М.: Просвещение,2011, изменения в изучении содержания материала не внесены.
Программа рассчитана на 68 ч (2 часа в неделю), в том числе контрольных работ - 5, включая итоговую контрольную
работу.
Промежуточная аттестация проводится в форме тестов, контрольных и самостоятельных работ. Итоговая аттестация –
согласно Уставу образовательного учреждения
Цели:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения
смежных дисциплин, продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в
современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы
алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства
моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости
математики для научно-технического прогресса;
приобретение конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирование языка описания объектов
окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического
воспитания обучающихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия
доказательства.
Задачи:
изучить понятия вектора, движения;
расширить понятие треугольника, окружности и круга;
развить пространственные представления и изобразительные умения; освоить основные факты и методы планиметрии,
познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами;
овладеть символическим языком математики, выработать формальнооперативные математические умения и научиться применять их к
решению геометрических задач;
сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как
важнейших средствах математического моделирования реальных
процессов и явлений.
Формы и методы организации учебного процесса:
- индивидуальные, групповые, индивидуально-групповые, фронтальные,
классные и внеклассные;
- объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый.
Формы контроля:
Самостоятельная работа, контрольная работа, работа по карточке.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Основная
тема
1 Векторы.
Метод
координат 18ч
№
Содержание обучения
Понятие вектора.
Равенство векторов.
Сложение и вычитание
векторов. Умножение
вектора на число.
Разложение вектора по
двум неколлинеарным
Основная цель
Характеристика курса.
Научить учащихся
выполнять действия
над векторами как
направленными
отрезками, что важно
для применения
векторов в физике.
Вектор определяется как направленный отрезок
и действия над векторами вводятся так, как это
принято в физике, т.е. как действия с
направленными отрезками. Основное внимание
должно быть уделено выработке умений выполнять
операции над векторами (складывать векторы по
правилам треугольника и параллелограмма, строить
векторам. Координаты
вектора. Простейшие
задачи в координатах.
Уравнения окружности и
прямой. Применение
векторов и координат при
решении задач.
Познакомить с
использованием
векторов и метода
координат при
решении
геометрических
задач.
2 Соотношение
между
сторонами и
углами
треугольника.
Скалярное
произведение
векторов –
11ч
Синус, косинус и тангенс
угла. Теоремы синусов и
косинусов. Решение
треугольников. Скалярное
произведение векторов и
его применение в
геометрических задачах.
Развить умение
учащихся применять
тригонометрический
аппарат при решении
геометрических
задач.
3 Длина
окружности и
площадь
круга- 12ч
Правильные
многоугольники.
Окружности, описанная
около правильного
многоугольника и
Расширить знание
учащихся о
многоугольниках.
Рассмотреть понятия
длины окружности и
вектор, равный разности двух данных векторов, а
также вектор, равный произведению данного
вектора на данное число).
На примерах показывается, как векторы могут
применятся к решению геометрических задач.
Демонстрируется
эффективность
применения
формул для координат средины отрезка, расстояния
между двумя точками, уравнений окружности и
прямой в конкретных геометрических задачах, тем
самым да1тся представление об изучении
геометрических фигур с помощью алгебры.
Синус и косинус любого угла от 0  до 180 
вводятся с помощью единичной полуокружности,
доказываются теоремы синусов и косинусов и
выводится
ещё
одна
формула
площади
треугольника (половина произведения двух сторон
на синус угла между ними). Этот аппарат
применяется к решению треугольников.
Скалярное произведение векторов вводится как
в физике (произведение длин векторов на косинус
угла между ними). Рассматриваются свойства
скалярного произведения и его применение при
решении геометрических задач.
Основное внимание следует уделить выработке
прочных
навыков
в
применении
тригонометрического аппарата при решении
геометрических задач.
В начале темы даётся определение правильного
многоугольника и рассматриваются теоремы об
окружностях, описанной
около правильного
многоугольника и вписанной в него. С помощью
описанной окружности решаются задачи о
вписанная в него.
Построение правильных
многоугольников. Дина
окружности. Площадь
круга.
4 Движения –
8ч
Отображение плоскости на
себя. Понятие движения.
Осевая и центральная
симметрии. Параллельный
перенос. Поворот.
Наложения и движения.
5 Об аксиомах
Беседа об аксиомах
площади круга и
формулы для их
вычисления.
построении
правильного
шестиугольника
и
правильного 2п -угольника, если дан правильный п угольник.
Формулы, выражающие сторону правильного
многоугольника и радиус вписанной в него
окружности через радиус описанной окружности,
используются при выводе формул длины
окружности и площади круга. Вывод опирается на
интуитивное представление о пределе: при
неограниченном
увеличении
числа
сторон
правильного
многоугольника,
вписанного
в
окружность, его периметр стремится к длине этой
окружности, а площадь – к площади круга,
ограниченного окружностью.
Познакомить
Движение плоскости вводится как отображение
учащихся с понятием плоскости на себя, сохраняющее расстояние между
движения и его
точками. При рассмотрении видов движений
свойствами, с
основное внимание уделяется построению образов
основными видами
точек, прямых, отрезков, треугольников при осевой
движений, со
и центральной симметриях, параллельном переносе,
взаимоотношений
повороте. На эффектных примерах показывается
наложений и
применение
движений
при
решении
движений.
геометрических задач.
Понятие наложения относится в данном курсе к
числу основных понятий. Доказывается, что
понятия наложения и движения являются
эквивалентными: любое наложение является
движением плоскости и обратно. Изучение
доказательства не является обязательным, однако
следует рассмотреть связь понятий наложения и
движения.
Дать более глубокое
В данной теме рассказывается о различных
геометрии- 2ч геометрии.
представление о
системе аксиом
планиметрии и
аксиоматическом
методе.
Предмет стереометрии.
Дать начальное
6 Начальные
Геометрические тела и
представление о
сведения из
телах и поверхностях
стереометрии- поверхности.
Многогранники: призма,
в пространстве.
8ч
параллелепипед, пирамида, Познакомить
формулы для вычисления
учащихся с
их объёмов. Тела и
основными
поверхности вращения:
формулами для
цилиндр, конус, сфера,
вычисления
шар, формулы для
площадей
вычислений их площадей
поверхностей и
поверхностей и объёмов.
объёмов тел
системах аксиом геометрии, в частности, о
различных способах введения понятия равенства
фигур.
Рассмотрение простейших многогранников
(призмы, параллелепипеда, пирамиды), а также тел
и поверхностей вращения (цилиндра, конуса,
сферы, шара) проводится на основе наглядных
представлений,
без
привлечения
аксиом
стереометрии. Формулы для вычисления объёмов
указанных тел выводятся на основе принципа
Кавальери, формулы для вычисления площадей
боковых поверхностей цилиндра и конуса
получаются
с
помощью
развёрток
этих
поверхностей, формула площади сферы приводится
без обоснования.
Требования к уровню подготовки обучающихся в 9 классе
В результате изучения курса геометрии 9 класса обучающиеся должны:
знать/понимать
существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических
и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о
них, важных для практики.
уметь
пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;
распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;
распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;
в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел;
проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;
вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180
определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических
функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности,
площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные
построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их
использования;
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
описания реальных ситуаций на языке геометрии;
расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы; решения геометрических задач с использованием
тригонометрии решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин ;
построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Геометрия 9 класс
Учебник:
Атанасян Л.С.. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.
М., «Просвещение», 2009
Программа: Бурмистрова Т.А. Геометрия 7 - 9 классы. Программы общеобразовательных учреждений. М.,
«Просвещение», 2011.
Количество часов в неделю - 2
№ п\п
Наименование темы
Колво
часов
1
1.1
Векторы
Понятие вектора
8
2
1.2
1.3
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число. Применение
векторов к решению задач
Метод координат
Координаты вектора
Простейшие задачи в координатах
Уравнения окружности и прямой
Решение задач
Контрольная работа № 1
Соотношения между сторонами и углами
треугольника. Скалярное произведение
векторов.
Синус, косинус и тангенс угла
Соотношения между сторонами и углами
треугольника
Скалярное произведение векторов
Решение задач
3
3
2
2.1
2.2
2.3
3
3.1
3.2
3.3
Требования к уровню подготовки
Знать: определение вектора, равенства двух векторов;
законы сложения; общий вид уравнения окружности и
прямой.
Уметь:
откладывать вектор, равный данному;
складывать несколько векторов; находить разность
двух векторов;
определять координаты векторов;
решать простейшие задачи в координатах; составлять
уравнение окружности и прямой.
10
2
2
3
2
1
11
3
4
2
1
Знать: определения синуса, косинуса и тангенса,
скалярного произведения векторов; теоремы синуса и
косинуса; формулу скалярного произведения, площади
треугольников, определение скалярного произведения
векторов, его свойства.
Контрольная работа № 2
1
Длина окружности и площадь круга
Правильные многоугольники
Длина окружности и площадь круга
Решение задач
Контрольная работа № 3
12
4
4
3
1
Движения
8
5.1
5.2
Понятие движения
Параллельный перенос и поворот
Решение задач
Контрольная работа № 4
3
3
1
1
6
6.1
6.2
7
8
Начальные сведения из стереометрии
Многогранники
Тела и поверхности вращения
Об аксиомах планиметрии
Повторение. Решение задач
Итоговая контрольная работа
Итого часов
8
4
4
2
8
1
68
4
4.1
4.2
5
Уметь:
доказывать
изученные
теоремы
и
анализировать, высказывать свою точку зрения,
выбирать рациональные способы решения задач.
Знать: определение правильного многоугольника,
вписанной и описанной окружности, формулы
связывающие радиус окружности и длину стороны
многоугольника, формулу площади круга, формулу
длины окружности и длины дуги, формулу площади
кругового сектора.
уметь: решать задачи с применением изученных
формул, выполнять чертежи по условию задачи с
соблюдением основных соотношений
Знать: понятия отображения плоскости на себя и
движения, что такое осевая и центральная симметрия и
свойства движений.
Уметь: строить фигуры симметричные относительно
прямой и точки, выполнять поворот фигур на заданный
угол и параллельный перенос на заданный вектор.
Список литературы, использованный для составления рабочей программы:
1. Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования (приказ
Минобрнауки от 05.03.2004г. № 1089).
2. Примерная программа по математике (письмо Департамента государственной политики в образовании
Минобрнауки России от 07.07.2005г № 03-1263)
3. Примерная программа общеобразовательных учреждений по геометрии 7–9 классы, к учебному комплексу для
7-9 классов (авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев и др., составитель Т.А. Бурмистрова – М:
«Просвещение», 2008 – М: «Просвещение», 2008. – с. 19-21).
4. Геометрия: учеб, для 7—9 кл. / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. — М.: Просвещение, 2009.
5. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод, рекомендации: кн. для учителя / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А.
Глазков и др.]. - М.: Просвещение, 2003 — 2008.
6. Гусев В. А. Геометрия: дидакт. материалы для 9 кл. / В.А. Гусев, А.И. Медяник. — М.: Просвещение, 2009.
7. Зив Б.Г. Геометрия: дидакт. материалы для 9 кл. / Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. — М.: Просвещение, 2009.
Дополнительная литература:
1. Математика 5-11 классы: нетрадиционные формы организации контроля на уроках / авт.-сост. М.Е. Козина, О.М.
Фадеева. - Волгоград, Учитель, 2007;
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс. – М.: ВАКО, 2009.
3.
Технические средства обучения
Компьютер, медиапроектор
Интернет-ресурс
1. www.edu - "Российское образование" Федеральный портал.
2. www.school-collection.edu.ru/ Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
3. www.it-n.ru"Сеть творческих учителей".
4. www .festival.1september.ru Фестиваль педагогических идей "Открытый урок".
Календарно-тематическое планирование
№
урока
Наименование раздела и тем
I Векторы (8 час)
1
1 Понятие вектора. Равные вектора.
2
2 Понятие вектора. Равенство векторов. Вводное тестирование (20
мин)
3
3 Сложение и вычитание двух векторов. Работа над ошибками.
4
4 Сложение и вычитание двух векторов
5
5 Сложение нескольких векторов. Правило многоугольника
6
6 Умножение вектора на число. Применение векторов к решению
задач.
7
7 Умножение вектора на число. Применение векторов к решению
задач.
8
8 Применение векторов к решению задач. Самостоятельная работа
по теме «Умножение вектора на число»
II Метод координат (10 час)
9
1 Координаты вектора.
10
2 Координаты вектора.
11
3 Простейшие задачи в координатах.
12
4 Простейшие задачи в координатах.
13
5 Уравнение окружности и прямой
14
6 Уравнение окружности и прямой
15
7 Уравнение прямой.
16
8 Решение задач по теме «Уравнение окружности и уравнение
прямой»
17
9 Решение задач по теме «Уравнение окружности и уравнение
Сроки
прохождения
план
факт
Подготовка к
ГИА
7.1.3
7.1.6
7.2.9
7.2.9
7.5.1
7.5.1
7.6.3
18
III
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
IV
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
прямой»
10 Контрольная работа № 1 по теме «Метод координат».
Соотношение между сторонами и углами треугольника ( 11 час)
1 Работа над ошибками. Синус, косинус, тангенс угла.
2 Синус, косинус, тангенс угла. Основные тригонометрические
тождества. Формулы приведения.
3 Синус, косинус, тангенс угла.
4 Соотношения между сторонами и углами треугольника.
5 Соотношения между сторонами и углами треугольника.
6 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Теорема
косинусов. Теорема синусов. Решение треугольников.
7 Соотношения между сторонами и углами треугольника
8 Скалярное произведение векторов
9 Скалярное произведение векторов
10 Решение задач
11 Контрольная работа № 2 по теме «Соотношение в
треугольнике. Скалярное произведение»
Длина окружности и площадь круга (12 час)
1 Работа над ошибками. Правильные многоугольники.
2 Правильные многоугольники.
3 Правильные многоугольники.
4 Правильные многоугольники. Решение задач.
5 Длина окружности и площадь круга.
6 Длина окружности и площадь круга.
7 Решение задач по теме «Длина окружности и площадь круга»
8 Решение задач по теме «Длина окружности и площадь круга»
9 Решение задач
10 Решение задач
11 Решение задач. Подготовка кконтр работе.
12 Контрольная работа № 3 по теме «Длина окружности и
площадь круга»
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
7.2.10
7.3.4
7.3.5
7.5.2
7.5.2
V Движения (8 час)
42
1 Работа над ошибками. Понятие движения.
43
2 Понятие движения.
44
3 Понятие движения.
45
4 Параллельный поворот и перенос.
46
5 Решение задач
47
6. Решение задач по теме «Параллельный поворот и перенос»
48
7 Решение задач. Подготовка кконтр работе.
49
8 Контрольная работа № 4 по теме «Движения».
Начальные сведения из стереометрии (8 час)
50
1 Работа над ошибками. Многогранники
51
2 Многогранники
52
3 Многогранники.
53
4 Многогранники.
54
5 Тела и поверхности вращения. Цилиндр.
55
6 Тела и поверхности вращения. Конус.
56
7 Тела и поверхности вращения Сфера и шар.
57
8 Решение задач по теме «Тела и поверхности вращения.»
Об аксиомах планиметрии (2 час)
58
1 Об аксиомах планиметрии
59
2 Об аксиомах планиметрии
Итоговое повторение курса геометрии 7-9 класса (9 час)
60
1 Начальные геометрические сведения. Параллельные прямые
61
2 Треугольники
62
3 Окружность
63
4 Четырёхугольники. Многоугольники.
64
5 Векторы. Метод координат. Движения.
65
6 Итоговая контрольная работа.
66
7 Работа над ошибками. Решение геометрических заданий из
КИМов
67
8 Решение геометрических заданий из КИМов
7.6.3
7.2.11
7.4.3
7.4.4
7.4.5
7.4.6
7.1.1
7.2.1-7.2.4
7.4.1-7.4.6
7.3.1-7.3.4
7.6.1-7.6.3
68
9 Решение геометрических заданий из КИМов
Средства контроля
Г-9
Контрольная работа № 1
Метод координат
Вариант 1
1.Найдите координаты и длину вектора а, если а  b  1 c, b 3; 2 , c 6; 2 .
2
2. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (-6; 1), B (2; 4), С (2; -2).
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведенную из вершины A.
2
3. Окружность задана уравнением  х  1  у 2  9. Напишите уравнение прямой, проходящей через её центр и
параллельной оси ординат.
1.Найдите координаты и длину вектора
b,
Контрольная работа № 1
Метод координат
Вариант 2
если b  1 c  d, c 3; 6 , d 2; 2.
3
2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A (-6; 1), B (0; 5), С (6; -4),D (0; -8).
Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
2
2
3. Окружность задана уравнением  х  1   у  2   16. Напишите уравнение прямой, проходящей через её центр и
параллельной оси абсцисс.
Г–9
Контрольная работа № 2
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов.
Вариант 1
1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3).
2. Решите треугольник АВС, если B  30 , C  105 , BC  3 2cм.
3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К(1; 7), L(-2; 4), М(2; 0).
Контрольная работа № 2
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов.
Вариант 2
1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В(3; 3).
2. Решите треугольник ВСD, если B  45 , D  60 , BC  3cм.
3. Найдите косинус угла А треугольника АВC, если А(3; 9), В(0;6), С(4;2).
Г–9
Контрольная работа №3
Длина окружности и площадь круга
Вариант 1
1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного
восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.
2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм 2.
3. найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если её градусная мера равна 150о.
Контрольная работа №3
Длина окружности и площадь круга
Вариант 2
1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону квадрата,
вписанного в ту же окружность.
2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в неё правильного шестиугольника равна 72 2см2 .
3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120о, а радиус круга равен 12 см.
Г–9
Контрольная работа №4
Движения
Вариант 1
1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно
прямой, содержащей боковую сторону АВ.
2. Две окружности с центрами О1 и О2, радиусы которых равны, пересекаются в точках M и N. Через точку М
проведена прямая, параллельная О1О2 и пересекающая окружность с центром О2 в точке D. Используя параллельный
перенос, докажите, четырехугольник О1МDО2 является параллелограммом.
Контрольная работа №4
Движения
Вариант 2
1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно
точки, Являющейся серединой боковой стороны CD..
2. Дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6. Его стороны А1А2 и А4А5, А2А3 и А5А6, А3А4 и А6А1 попарно равны и
параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4, А2А5, А3А6 данного шестиугольника
пересекаются в одной точке.
Г- 9
Итоговая контрольная работа
Вариант 1
1. В треугольнике АВС точка D – середина стороны АВ, точка М – точка пересечения медиан.
а) Выразите вектор MD через векторы МА и МB и вектор АМ через векторы АВ и АС .
б) Найдите скалярное произведение АВ  АС , если АВ  АС  2, В  75 .
2. Даны точки А(1; 1), В(4; 5), С(-3; 4).
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный.
б) Найдите длину медианы СМ.
3. В треугольнике АВС А    90 , В   , высота ВD равна h.
а) Найдите сторону АС и радиус R описанной окружности.
б) Вычислите значение R, если   120 ,   15 , h  6см.
4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 120о. Найдите: а) длину дуги; б) площадь сектора, ограниченного этой
дугой и двумя радиусами.
Итоговая контрольная работа
Вариант 2
1. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О.
а) Выразите вектор ОС через векторы АВ и ВС и вектор OD через векторы АВ и АD .
б) Найдите скалярное произведение АВ  ВС , если АВ  2ВС  6, А  60 .
2. Даны точки К(0; 1), М(-3; -3), N(1; -6).
а) Докажите, что треугольник KMN равнобедренный и прямоугольный.
б) Найдите длину медианы NL.
3. В треугольнике АВС А    90 , В   , высота ВD равна h.
а) Найдите сторону АD и радиус R описанной окружности.
б) Вычислите значение R, если   135 ,   30 , h  3см.
4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 60о. Найдите: а) длину дуги; б) площадь сектора, ограниченного этой
дугой и двумя радиусами.