Кинематические модели манипуляционных роботов

УДК 528.8
Кинематические модели манипуляционных роботов
Кулаков Ф.М., Алфёров Г.В., Шарлай А.С.
ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет
Аннотация
Рассматривается
метод
построения
кинематических
моделей
манипуляционных роботов, предназначенных для силомоментного управления
на основе использования в качестве сигналов обратной связи упругих
деформаций гибких элементов манипуляторов.
Предлагаемые
методы
управления
манипуляционными
роботами,
взаимодействующими с механическими “связанными” предметами, пока не
позволяют строить системы
силомоментного
управления
с хорошими
динамическими свойствами, что снижает экономическую оправданность
роботизации. Кроме того, эти методы плохо работают, когда манипуляторы
имеют гибкие элементы, в частности гибкие звенья, что характерно для
космических манипуляторов [1,2].
Наш
подход
построения
моделей
манипуляторов
применим
к
манипуляционным роботам с гибкими звеньями, которые имеют упругую
податливость в суставах.
Рассмотрим математические модели манипуляторов при наличии связей на
перемещаемый объект.
Текущее положение манипулятора, снабженного управляемыми приводами
определяется суставными координатами g i (i  1,2,..., n). Эти координаты можно
объединить в n-мерный вектор суставных координат g  ( g1 , g 2 ,..., g n ).
Изменение суставных координат осуществляется с помощью приводов,
текущее состояние которых определяется
n-мерным вектором координат
приводов d  (d1 , d 2 ,..., d n ) .
Связь между этими векторами представляется соотношением:
g  g   , g  P(d ),
(1)
где g = (g1, g2,..., gn) – n- мерный вектор приведенных к суставам углов поворота
валов двигателей приводов, τ = (τ1, τ2, …, τn) – n- мерный вектор упругих
деформаций редукторов, P(d) – n- мерная вектор-функция редукционных
преобразований.
Будем
считать,
что
звенья
манипулятора
являются
упруго
деформируемыми, т.е. гибкими. Для этого в моделях, используем метод
конечных элементов, т.е аппроксимируем каждое из звеньев цепочкой из k
твердых тел, которые соединены друг с другом упругими элементами нулевых
размеров и нулевой массы, характеризуемыми только симметрическими
положительно определенными (6×6) матрицами жесткости и вязкого трения.
Причем упругая деформация каждого звена определяется координатами
l1,
l2,...,l6×k, являющимися величинами упругих деформаций всех k упругих
элементов, аппроксимирующих звено.
Деформация всех
n звеньев определяется координатами всех (6×k×n)
упругих элементов аппроксимирующих эти звенья и объединенных в вектор l =
(l1, l2,..., l6×k×n). В случае, если робот-манипулятор предназначался для работы с
предметами, имеющими связи, что особенно характерно при выполнении
сборочных операций, то при традиционном подходе в запястье манипулятора
устанавливался силомоментный сенсор для измерения контактных сил и
моментов реакций, необходимых для использования в законе управления.
Упругие деформации несущей конструкции сенсора, связанной со схватом
относительно его основания, являются шестью запястными координатами,
образующими вектор w = (w1, w2, w3, w4, w5, w6).
Таким
образом,
текущее
состояние
манипулятора
характеризуется
n+6×k×n+6 координатами, объединенными в вектор ( g , d , g ,  , l , w) .
Однако, поскольку n-мерные векторы g , g ,  , d
(2),
то
для
описания
текущего
состояния
связаны уравнениями (1),
манипулятора
достаточно
использовать два из этих векторов, например, g и τ. Тогда вместо вектора
( g , d , g ,  , l , w) будем использовать вектор состояния манипулятора
q  ( g ,  , l , w)  q  ( g , e) ,
(2)
где
e  ( , l , w)
– вектор упругих деформаций всех гибких элементов
манипулятора. Размерность вектора q равна n+m , размерность e равна m; m =
n + 6 × k × n + 6.
Связи, наложенные на перемещаемые жестко захваченные схватом
манипулятора объекты описываются r алгебраическими уравнениями (r ≤ 6):
M(x)=0; X=(y1, y2, y3, θ 1, θ 2, θ 3) = L(g, e),
(3)
где M(x) – r-мерная непрерывно дифференцируемая вектор-функция, X - 6мерный вектор положения схвата, определяющий координаты y1, y2, y3
положения его характеристической точки в неподвижной системе координат и
Эйлеровы углы θ1, θ 2, θ 3 поворота координатной системы схвата относительно
неподвижной системы координат.
X = L(g, e)
(4)
где L(g,e) – непрерывно дважды дифференцируемая 6-мерная вектор-функция.
Уравнения (3), (4) можно трансформировать в систему
Q(g, e) = M[L(g, e)] = 0,
(5)
являющуюся системой r уравнений голономных связей механизма.
Эта система, в принципе, позволяет в явном виде представить r компонент
вектора, объединенных в вектор gr в функции остальных n – r + m независимых
координат вектора q = (g,e)
g r  ( g ( n  r ) , e)  (q )
(6)
где g(n-r) - (n-r) - вектор, составленный из (n-r) компонент вектора g, не
вошедших в gr, q  ( g nr , e)  (n  r  m) - вектор независимых координат.
С помощью (6) вектор состояния q может быть выражен через q . Тогда
вектор q можно выразить через q следующим образом:
q  ( g r , g n r , e)  ((q ), q )
(7)
Дифференциальная форма уравнений связи имеет вид:
M 
X 0
X
где
M
– (r × 6) матрица связей ранга r;
X
(8)
X  ( y 1, y 2 , y 3 , 1 , 2 , 3 )  ( y , ).
Более удобно в (8) вместо вектора X
использовать вектор
(9)
x  (v,  )
линейной и угловой скоростей схвата в системе координат схвата
v  y ,      ,
(10)
где α = α(g, e) - (3×3) - матрица направляющих косинусов, определяющая
поворот системы координат схвата относительно неподвижной системы
координат; ~   - вектор угловой скорости схвата в неподвижной системе
координат; γ - (3×3) - матрица связи между ~ и  , структура которой зависит
от выбора типа используемых углов Эйлера.
Из (9), (10) следует, что
x  (v,  )  X ,
где


0
0 
.
Тогда (8) примет вид:
K  x  0 ,
(11)
где
K 
M 1

X
а в нормализованной форме:
nx  0
(12)
где n  R 1 K  - (r×6) - нормализованная матрица связей; R={R1, R2, ..., Rr} диагональная (r×r) матрица; Ri – эвклидова норма i-й строки матрицы Kβ.
Вектор x линейных и угловых скоростей схвата
х  х r  х e
(13)
является суммой двух слагаемых.
Первое - вектор скорости перемещения схвата, порождаемый вектором g
приведенных к суставам скоростей вращения валов приводов
х r  Jg ,
J
х
g
(14)
где J - (6× n) матрица Якоби ранга 6.
Второе - вектор, скорости перемещения схвата, порождаемый вектором e
скоростей деформаций упругих элементов манипулятора: редуктора τ, звеньев l,
запястья w
х e  J e e  J    J l l  J w w ,
Je 
х
х
х
х
; J 
; Jl 
и Jw 
e

l
w
(15)
- матрицы Якоби размеров (6×m); (6×n);
6×(6×k×n) и 6×6, соответственно.
С учетом (13-15) система уравнений (12) примет вид:
nJg  nJ e e  Sq  S I q r  S II q  0 ,
(16)
S  nJ  J e   n( J  J   J e  J w )
(17)
S I  (nJ ) r r и S II  (nJ e ) r ( n  r  m ) - r×r и r×(n-r+m) блоки матрицы S.
Из (16) следует:
q r  S I1 S II q ,
и, следовательно:
q  (q r , q )  Wq ,
(18)
 S 11 S II 


где W   ,
 I



W=(n +m)×(n-r+m) – матрица ранга (n-r+m), I – единичная матрица.
Продифференцировав левую и правую части (18), получим для q :
q  Wq  W q
(19)
Приведенные выше уравнения (5-19) являются, соответственно, неявной и
явной формами уравнений связи манипулятора, перемещающего механически
“связанный” объект. Эти уравнения являются его кинематической моделью.
Список используемой литературы:
1. Алферов Г.В., Кулаков Ф.М., Неокесарийский В.Н. Кинематические и
динамические модели исполнительной системы робота.-Л.: ЛГУ, 1983.
2. Кулаков Ф.М. Робастное управление движением роботов с гибкими
элементами//Изв. РАН. ТиСУ. 2000. №4. С. 176-185