2. векторная алгебра

2. Векторная алгебра
24
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется геометрическим вектором или просто вектором. Обозначается AB или строчными буквами латинского алфавита со стрелкой сверху: a , b , c , …
Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора и обозначается:
AB , a .
Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается либо 0 , либо 0. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или
параллельны одной прямой (лежат на параллельных прямых).
Два вектора называется равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое
направление и длину.
Произведением a вектора a на действительное число  называется новый вектор b , который обладает свойствами:
1о b    a ;
2° направление вектора b совпадает с направлением вектора a , если   0
(рис. 2.1, а) и противоположно направлению вектора a , если   0 (рис. 2.1, б).
а)
C
B
A
б)
AB  a ,
AC  a ,
(  1)
B
A
C
AB  a ,
AC  a ,
(  0,   1)
Рис. 2.1
Если точка А является началом вектора a , то говорят что вектор a отложен от
точки А. Отложим от точки А вектор AB , равный a . Затем от точки В отложим вектор
BC , равный b . Вектор AC , равный c , называется суммой векторов a и b и обозначается: c  a  b .
Для любых трех точек А, В, С (рис. 2.2) справедливо
B
равенство (правило треугольника): AB  BC  AC .
b
Умножение вектора на число и сложение векторов
a
C называются линейными операциями над векторами.
A
Два вектора называются противоположными, если
c
их длины равны, и они противоположно направлены. Из
определения произведения вектора на число следует, что
Рис. 2.2
AB   BA и BA   AB .
Разностью векторов a и b называется вектор c , сумма которого с вектором b
равна вектору a . Обозначается: c  a  b . Разность векторов можно определить также
равенством: c  a  ( 1)b . Множество всех векторов на плоскости (в пространстве) образуют линейное пространство.
2. Векторная алгебра
25
2.2. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ
Осью называется прямая с заданным началом отсчета и направлением (направление на рисунках указывается стрелкой).
Проекцией точки А на ось 0u называется точка А1 пересечения оси и плоскости
 , перпендикулярной этой оси и проходящей
через точку А (рис. 2.3).
A  ,
Векторной проекцией вектора a  AB на
A
  0u
ось 0u называется вектор A1 B1 , где А1, В1 – проA1
екции точек А, В на ось 0u.
Числовой проекцией (или просто проекци- 0
u

ей) вектора a  AB на ось 0u называется число,
равное:
Рис. 2.3
A B , если вектор A B и ось 0u одина1 1
1 1
ково направлены (рис. 2.4,а);
– A1 B1 , если вектор A1 B1 и ось 0u направлены противоположно (рис. 2.4,б);
0, если A1 B1 =
Обозначается проекция вектора на ось 0u символом: пр u a . Из определения следует, что
прu a  a  cos  ,
(2.1)
а)
б)

B

B
A
A
A1
B1
B1
u
A1
u
Рис. 2.4
где  – угол между положительным направлением оси 0u и вектором a .
Таким образом, если угол  острый, то проекция вектора на ось положительна,
если  тупой угол, то проекция отрицательна; если   90  , то проекция равна нулю.
Вектор e называется единичным, если e  1 .
Единичный вектор e , направление которого совпадает с направлением оси 0u,
называется направляющим вектором этой оси или ортом оси. Если a 0 – единичный
вектор, сонаправленный с вектором a , то a  a  a 0 , если a 0 направлен противоположно вектору a , то a   a  a 0 .
Свойства проекций
1°. Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов, т.е.
пр u ( a1  a 2    a n )  прu a1  прu a 2    пр u a n .
(2.2)
2°. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на
проекцию вектора, т.е.
прu ( a )  прu a .
(2.3)
2. Векторная алгебра
26
Доказательство
Свойство 1о
Доказательство проведем для двух векторов
(для большего числа аналогично).
Пусть a  AB, b  BC , c  AC ,
C
c
b
A
B
a
e
А1
0
С1
В1
u
Рис. 2.5
т.е. c  a  b , тогда A1C1  A1 B1  B1C1 (рис. 2.5),
но по определению проекции вектора и произведения вектора на число, получаем:
A1 B1  (прu a )e , B1C1  (прu b )e , A1C1  (прu c )e ,
где e – единичный, направляющий вектор оси 0u.
Следовательно,
(прu c )  e  (прu a )  e  (прu b )  e ,
(прu c )  e  (прu a  прu b )e ,
откуда прu c  прu a  прu b .
Свойство 2°
Если   0 (рис. 2.6,а), то по формуле (2.1) получаем:
прu a  a  cos     a  cos     a  cos   прu a .
a)
С
B
A

б)
AB  a ,
B
AC  a .
u
AB  a ,
AC  a .

u
A
C
Рис. 2.6
Если   0 , то по формуле (2.1), используя формулу приведения
cos(   )   cos , получаем (рис. 2.6,б):
прu a  a  cos     a  cos(   )  (  )  a  (  cos )    a  cos  прu a .
2.3. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ ВЕКТОРА
Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно перпендикулярных,
пересекающихся в точке 0 оси 0х, 0у, 0z. Пусть i , j , k – единичные направляющие векторы этих осей и a – произвольный вектор. Покажем, что векторы i , j , k образуют базис. Отложим вектор a от начала координат, пусть М – конец вектора a , т.е. a  0M
(рис. 2.7). Обозначим a x , a y , a z – проекции вектора a на оси координат, M x , M y , M z –
проекции точки М на оси координат, M 0 – проекцию точки М на плоскость 0 xy . Тогда, по определению произведения вектора на число, получаем (рис. 2.7):
0M x  a x i , 0M y  a y j , 0M z  a z k .
По определению сложения и равенства векторов
a  0 M 0  M 0 M , 0 M 0  0 M x  M x M 0  0M x  0M y  a x i  a y j ,
следовательно:
2. Векторная алгебра
27
a  a x i  a y j  0M z  a x i  a y j  a z k .
Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Таким
образом, координатная запись вектора имеет вид:
(2.4)
a  axi  a y j  az k .
a
z
Откуда следует, что i , j , k – базис.
Довольно часто вектор задается переMz
числением его координат, т.е. запись имеет
вид: a {a x , a y , a z } или a  {a x , a y , a z } (перM
вая запись является более строгой, но чаще
используется вторая).
k
Пусть a  AB , проекция точки А на ось
j
0
0u имеет координату u1 , а проекция точки
y
My
i
В – координату u 2 , тогда по определению
Mx
M0
проекции вектора на ось
x
пр u a  u 2  u1 .
Рис. 2.7
Следовательно, если
A( x1 , y1 , z1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ),
то a x  x2  x1 , a y  y 2  y1 , a z  z 2  z1 .
Из доказанных в разд. 2.2 свойств проекций вектора на ось получаем правила
сложения и умножения вектора на число в координатной форме:
a  b  {a x  bx , a y  b y , a z  bz },
  a  {a x , a y , a z },
a  b  ( a x  b x )i  ( a y  b y ) j  ( a z  b z ) k ,
  a  a x i  a y j  a z k .
По теореме Пифагора находим длину вектора (рис. 2.7):
a  a x2  a 2y  a z2
Из определения произведения вектора
на число следует, что если a и b ненулевые
коллинеарные векторы, то   R такое, что
b  a , или
bx  a x , b y  a y , bz  a z .
Отсюда получаем условие коллинеарности
векторов, заданных своими координатам:
bx b y bz
(2.6)


.
ax a y az
(2.5)
z
a



y
x
Рис. 2.8
Пусть  ,  ,  – углы, которые вектор
a составляет с осями координат (рис. 2.8), тогда по формуле (2.1)
a x  a cos  , a y  a cos  , a z  a cos  .
Возведя в квадрат эти равенства и сложив их, получим:
2
a x2  a 2y  a z2  a (cos 2   cos 2   cos 2  ) 
Кроме того, a  a  a0 , т.е.
cos 2   cos 2   cos 2   1 .
2. Векторная алгебра
28
1
 a  {cos  , cos  , cos  } ,
a
где cos  , cos  , cos  – направляющие косинусы вектора a . Координаты единичного
вектора равны направляющим косинусам.
a0 
2.4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: a  b или ( a , b ) .
Таким образом, по определению
a  b  (a , b )  a  b  cos  ,
(2.7)
где  угол между векторами a и b . По формуле (2.1)
прb a  a  cos  , пр a b  b  cos  ,
т.е.
a  b  a  пр a b  b  прb a .
(2.8)
Свойства скалярного произведения векторов ( a и b ненулевые векторы)
1 .
о
2.
3о.
a b  0

 прямой угол ( a  b ),
a b  0

 острый угол,
a b  0

 тупой угол;
a  b  b  a;
a  (b  c )  a  b  a  c ;
4 . (a )  b  a  (b )   ( a  b ).
Доказательство
Свойства 1о, 2о
Справедливость этих свойств вытекает непосредственно из определения.
Свойство 3°
o
( 2.8)
( 2.2 )
( 2.8)
a  (b  c )  a  пр a (b  c )  a  пр a b  a  пр a c  a  b  a  c .
Свойство 4°
( 2.8 )
( 2.3)
( 2.8 )
( 2.8 )
( 2.3)
( 2.8 )
( a )  b  b  прb a   b  прb a   ( a  b ),
a  ( b )  a  пр a b   a  пр a b   ( a  b ).
2
Если a  b , то по определению a  a  a  a cos 0  a .
Произведение a  a  a называется скалярным квадратом вектора a .
Получим формулу для вычисления скалярного произведения через координаты
сомножителей. Пусть a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  b y j  bz k , тогда, используя дока2
занные свойства l° – 4°, получаем:
(a  b )  (a x i  a y j  a z k )  (bx i  b y j  bz k )  a x bx (i  i )  a y bx ( j  i )  a z bx (k  i ) 
 a x b y (i  j )  a y b y ( j  j )  a z b y (k  j )  a x bz (i  k )  a y bz ( j  k )  a z bz (k  k ) 
 a x bx  a y b y  a z bz , так как j  i  k  i  i  j  k  j  i  k  j  k  0 (свойство 1о),
2. Векторная алгебра
29
i  i  j  j  k  k  1 ( i , j , k единичные векторы).
Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов:
(2.9)
a  b  a x bx  a y b y  a z bz .
Основные приложения скалярного произведения
1) Вычисление угла между векторами
Из определения скалярного произведения и формул (2.5), (2.9) следует, что
a x bx  a y b y  a z bz
a b
cos  

,
(2.10)
a b
a x2  a 2y  a z2  b x2  b y2  b z2
где  угол между векторами a и b .
2) Вычисление проекции одного вектора на другой
Из равенств (2.8) находим:
a  b a x bx  a y b y  a z bz
a  b a x bx  a y b y  a z bz
пр a b 

, прb a 

.
a
b
a x2  a 2y  a z2
bx2  b y2  bz2
3) Условие перпендикулярности векторов
Используя свойство 1о и формулу (2.9) , получаем:
a b
 a  b  0  a x b x  a y b y  a z b z  0.
2.5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Упорядоченная тройка векторов a , b , c называется правой, если кратчайший поворот первого вектора ко второму виден из конца третьего вектора против часовой
стрелки, в противном случае тройка векторов называется левой.
Векторным произведением двух векторов a и b называется третий вектор c ,
удовлетворяющий условиям:

а) длина вектора c вычисляется по формуле:
c  a  b  sin  ,
где  угол между векторами a и b .
Б) вектор c перпендикулярен векторам a и b ;
в) тройка векторов a , b , c правая.
Обозначение: c  a  b или c  [ a , b ] .
Свойства векторного произведения векторов
1°. a  b  0  a и b – коллинеарные векторы;
2°. a  b  b  a ;
3°. (a  b )  c  a  c  a  c ;
4°. (a )  b  a  (b )   ( a  b ) .
Доказательство
Свойство 1°
Если хотя бы один из векторов нулевой, то свойство очевидно. Пусть
a  0 , b  0 , тогда:
если a  b  0 ,
2. Векторная алгебра
30
то a  b  0  sin   0    0 , либо   
 a и b – коллинеарны;
если a и b коллинеарны,
то   0 , либо   
 sin   0 
a b  0  a b  0 .
Свойство 2о
Пусть c  a  b . Из определения векторного произведения векторов следует:
1) a  b  b  a  a  b  sin  ;
2) a  b  a , b ; b  a  a , b ;
3) a , b , c – правая тройка  b , a , c – левая тройка  b , a ,  c – правая
тройка. Отсюда получаем:
b  a  c   a  b .
о
Свойства 3 , 4° доказать самостоятельно.
Найдем векторные произведения ортов осей координат:
i  i  0, j  j  0, k  k  0
(свойство 1°);
i  j  k,
jk  i, k i  j
(правые тройки векторов);
k  j  i , i  k   j , j  i   k
(левые тройки векторов).
Используя полученные равенства, выразим векторное произведение через координаты сомножителей. Пусть a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  b y j  bz k , тогда, исполь-
зуя свойства 1о – 4°, получаем:
( a  b )  ( a x i  a y j  a z k )  (b x i  b y j  b z k )  a x b x (i  i )  a y b x ( j  i )  a z b x ( k  i ) 
 a x b y (i  j )  a y b y ( j  j )  a z b y ( k  j )  a x b z (i  k )  a y b z ( j  k )  a z b z ( k  k ) 
 ( a y b z  a z b y )i  ( a x b z  a z b x ) j  ( a x b y  a y b x ) k 
ay

by
az
a
i y
bz
bx
ax
az
j
bx
bz
i
ay
k  ax
by
bx
j
ay
by
k
az .
by
Таким образом,
i
a b  a x
bx
j
ay
by
k
az .
by
(2.11)
Основные приложения векторного произведения
1) Вычисление площади треугольника (параллелограмма). Из курса математики
средней школы известно, что площадь треугольника равна половине произведения его
сторон на синус угла между ними, что совпадает с
В
половиной модуля векторного произведения векторов, которые построены на сторонах треугольника.
Таким образом,
EMB
1
ED
S  a b ,
Equa
2
tion.
где S площадь треугольника с вершинами в точках
А
3
А, В, С, a  AB, b  AC (рис. 2.9).
b
Рис. 2.9
С
2. Векторная алгебра
31
2) Вычисление высоты треугольника (параллелограмма).Вычислим площадь треугольника двумя способами:
1
1
S  a b  h b ,
2
2
где h – высота треугольника, опущенная из вершины В (рис. 2.9). Из этого равенства
получаем:
a b
.
h
b
Пример. 2.1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(1, 1, 1),
В(1, 2, 3), С(3, 2, 1) и высоту, опущенную из вершины В на сторону АС (рис. 2.9).
Решение. Пусть a  AB, b  AC , тогда
a  {1  1, 2  1, 3  1}  {0, 1, 2}, b  {3  1, 2  1, 1  1}  {2, 1, 0}.
( 2.11)
a b 
i
j k
0 1
2
2 1
0
(1.6 )
 (0  2)i  ( 0  4) j  (0  2) k  2i  4 j  2 k ,
a  b  4  16  4  2 6 и S  6 ,
b  4  0 1  5 и h 
2 6
5
.
2.6. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Пусть a , b , c – три произвольных вектора.
Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости, т.е., будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости.
Смешанным произведением векторов a , b , c называется число равное скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на вектор c , т.е.
(a  b )  c Геометрический смысл смешанного произведения определяется следующей
теоремой.
Теорема 2.1. Смешанное произведение (a  b )  c равно объему параллелепипеда
V, построенного на векторах a , b , c , взятому со знаком "+", если тройка векторов
a , b , c правая, и со знаком "–", если тройка векторов a , b , c левая. Если векторы
a , b , c компланарны, то смешанное произведение рано нулю, т.е.
 V , если a , b , c правая тройка векторов,

( a  b )  c   V , если a , b , c левая тройка векторов,
 0, если a , b , c компланарны.

Доказательство
Пусть a , b , c – некомпланарные векторы, образующие правую тройку. Обозначим через V объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , через S – площадь параллелограмма, построенного на векторах a , b , через h – высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора c , через  – угол между векторами, a и b , через
 – угол между векторами a  b и c (рис. 2.10). Тогда по определению скалярного и
векторного произведений векторов находим:
2. Векторная алгебра
32
(a  b )  c  a  b  c  cos  a  b sin   c  cos ,
a  b sin    S ,
но
c  cos  h,
S  h  V , т.е. ( a  b )  c  V .
Пусть a , b , c – некомпланарные векторы, образующие левую тройку, тогда векторы a  b и c образуют угол, равный    , при этом cos(   )   cos , следовательно:
( a  b )  c  a  b  c  cos(   )   a  b sin   c  cos  V .
Пусть a , b , c компланарны. Если
c  0 , то утверждение очевидно. Пусть
c  0 , тогда либо a  b  0 (если векторы
a, b коллинеарны) и (a  b )  c  0 , либо
a  b  c и тогда (a  b )  c  0 .
Верно и обратное последнему утверждение, т.е., если (a  b )  c  0 , то векторы
a b
h

c
h
b

S
a , b , c компланарны. Действительно, если
a
a , b , c некомпланарны, то по теореме 2.1
(a  b )  c  V  0 , что противоречит условию (a  b )  c  0 .
Теорема 2.2. В смешанном произведении векторов знаки векторного и скалярного
произведений можно поменять местами, т.е.
(a  b )  c  a  (b  c ).
Рис. 2.10
Доказательство. По свойству 2° скалярного произведения имеем:
a  (b  c )  (b  c )  a .
По теореме 2.1
(b  c )  a  V ,
(a  b )  c  V ,
(2.12)
причем тройки векторов a , b , c и b , c , a одинаково ориентированы, т.е. если a , b , c
правая тройка, то и b , c , a правая тройка, если a , b , c левая тройка, то и b , c , a левая
тройка. Следовательно, в правых частях равенств (2.12) знаки одинаковые, т.е.
(b  c )  a  ( a  b )  c или (a  b )  c  a  (b  c ).
Так как справедлива теорема 2.2, смешанное произведение обозначают символом a b c .
Найдем выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей. Пусть
a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  b y j  b z k , c  c x i  c y j  c z k ,
тогда по формулам (2.9), (2.11) находим:
( 2.11) a a
ax a y
 ( 2.9 )
a a
y
z
a b c  ( a  b )  c  
i  y z  j 
 k   c 
b b
bx b y
bx bz
 y z

ax a y az
a y az
ax a y
a y az

c 
c 
 c  bx b y bz .
b y bz x bx bz y bx b y z
cx c y cz
2. Векторная алгебра
33
Основные приложения смешанного произведения векторов
1) Вычисление объема тетраэдра (параллелепипеда), построенного на векторах
a , b , c (рис. 2.10).Если векторы a , b , c некомпланарны, то по теореме 2.1
1
Vтетр  a b c Vпар  a b c .
(2.13)
6
2) Вычисление высоты тетраэдра (параллелепипеда) (рис. 2.10). Вычислим объем
тетраэдра двумя способами:
с одной стороны,
1
Vтетр  a b c ,
6
с другой стороны,
11
1
Vтетр 
Sh  a  b h,
32
6
ab c
отсюда h 
(высота параллелепипеда такая же);
a b


3) Условие компланарности векторов (теорема 2.1):
a b c  0  a , b , c – компланарны.
34
2. Векторная алгебра
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ............................................................................................................................. 24
2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами .................................................................................................................... 24
2.2. Проекция вектора на ось. Свойства проекций ................................................................................................................................. 25
2.3. Координаты вектора. Координатная запись вектора ....................................................................................................................... 26
2.4. Скалярное произведение векторов и его свойства .......................................................................................................................... 28
2.5. Векторное произведение векторов и его свойства .......................................................................................................................... 29
2.6. Смешанное произведение векторов и его свойства ......................................................................................................................... 31