Векторный и тензорный анализ - Основные образовательные

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
БУТАКОВА Н.Н.
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности 140402.65 «Теплофизика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Бутакова Н.Н. Векторный и тензорный анализ. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов специальности 140402.65 «Теплофизика», очная форма
обучения. Тюмень, 2011 г., 11 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Векторный и тензорный анализ
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Н.Н. Бутакова, 2011.
1. Цели и задачи курса
Целью курса «Векторный и тензорный анализ» является изучение основ
векторного и тензорного анализа и их приложений.
Основная задача учебного курса: изучение методов векторного и тензорного
анализа, применяющихся при решении прикладных задач. Векторный и тензорный анализ
является математическим инструментом физика теоретика, занимающегося механикой
сплошной среды, теоретической физикой, электродинамикой и т.д. Векторные и
тензорные поля являются объектами исследования в этих науках, поэтому студент должен
знать о существовании математической теории таких полей, уметь пользоваться этой
теорией в своих исследованиях.
2. Тематический план
1
2
Самостоятельная
работа
Тема
Итого
количе
ство
баллов
Семинарские
(практические)
занятия
№
Итого
часов
по
теме
Лекции
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
4
5
6
7
8
Модуль 1
1
Векторная алгебра и элементы
дифференциальной геометрии
4
4
4
12
0-10
2
Скалярные поля
4
4
4
12
0-10
3
Векторные поля
4
4
4
12
0-10
12
12
12
36
0-30
Всего
Модуль 2
4
Специальные виды полей
4
4
4
12
0-10
5
Криволинейные системы координат
4
4
4
12
0-10
6
Дифференциальные операции в
криволинейных координатах
4
4
4
12
0-10
12
12
12
36
0-30
Всего
Модуль 3
7
Тензорная алгебра
8
8
8
24
0-20
8
Приложения тензорного анализа
4
2
4
10
0-10
3
1
2
4
Итоговая контрольная работа
5
6
7
8
2
12
4
0-10
Всего
12
12
24
38
0-40
Итого (часов, баллов):
36
36
48
110
0-100
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Векторная алгебра и элементы дифференциальной геометрии:
скалярные и векторные величины; вектор и его характеристики, системы координат, базис
в двух и трехмерном пространстве, координаты вектора; разложение вектора по базису;
операции сложения и умножения векторов (скалярное, векторное и
диадное
произведения); умножение трех векторов и более; понятие векторной функции;
зависимость вектора от скалярного аргумента; радиус-вектор точки в пространстве;
годограф радиус-вектора; дифференцирование векторных функций; дифференциал
радиус-вектора.
Тема 2. Скалярные поля: скалярные и векторные поля; линии уровня и
поверхности уровня скалярного поля; градиент скалярного поля; символический
дифференциальный оператор Гамильтона; скорость изменения скалярного поля в
заданном направлении; максимальная скорость изменения скалярного поля; направление
вектора градиента скалярного поля; свойства оператора Гамильтона; оператор Гамильтона
применительно к сумме и произведению скалярных функций.
Тема 3. Векторные поля: понятие векторного поля; векторные линии (линии
тока); поток векторного поля через поверхность; физический смысл потока вектора через
замкнутую поверхность; дивергенция векторного поля; формула Остроградского, связь
поверхностного и объемного интегралов; циркуляция векторного поля; теорема Стокса
связь интегралов по поверхности и замкнутому контуру; понятие ротора векторного
поля и его физический смысл; обобщенные формулы Стокса и Остроградского;
скалярные, векторные и диадные операции с оператором Гамильтона.
Тема 4. Специальные виды полей: потенциальные - безвихревые,
консервативные,
центральные,
соленоидальные,
лапласовы
поля;
свойства
соленоидальных полей, основанные на понятии векторной трубки; примеры Лапласовых
полей; краевые задачи.
Тема 5. Криволинейные системы координат: понятие криволинейных систем
координат; цилиндрическая и сферическая системы координат; базис, взаимный базис,
связь базисов; координатные линии и поверхности. Метрический тензор и его
представление с помощью диадиков. Изменение метрического тензора при переходе к
новой системе координат. Тензоры произвольного ранга и произвольной ко- и
контрвариантности. Преобразование тензоров при переходе от старых систем координат
к новым системам координат.
Тема 6. Дифференциальные операции в криволинейных координатах:
дифференцирование базисных векторов; символы Кристоффеля первого и второго рода;
вычисление символов Кристоффеля для цилиндрической и сферической систем
координат; пример вычисления производной от вектор функции в цилиндрический
4
системе координат; ковариантное дифференцирование и его свойства; ковариантная
производная метрического тензора и тензора Леви -Чевита.
Тема 7. Тензорная алгебра: тензоры нулевого и первого ранга; тензоры
произвольного ранга и произвольной валентности; понятие жонглирования индексами
тензора; операции сложения тензоров; скалярное, векторное и диадное умножения и
связанное с этим понятие свертки тензора; понятия транспонирования, симметрирования
и альтернирования тензоров; декартовы тензоры; тензоры второго ранга; операции
сложения, умножения, транспонирования, симметрирования для тензоров второго ранга;
инварианты тензора первого ранга; инварианты тензора второго ранга; приведение
тензора второго ранга к главным осям; теорема Кейли - Гамильтона и степени тензоров.
Тема 8. Приложения тензорного анализа: появление некоторых тензоров в
механике деформируемого твердого тела и в гидромеханике; тензор напряжений, тензор
деформаций, тензор скоростей деформаций; понятие шаровой и девиаторной частей
тензоров.
4. Планы практических занятий
Тема 1. Векторная алгебра и элементы дифференциальной геометрии (4 час.):
1) скалярные и векторные величины;
2) разложение вектора по базису;
3) операции сложения и умножения векторов (скалярное, векторное и диадное
произведения);
4) умножение трех векторов и более;
5) понятие векторной функции;
6) годограф радиус-вектора;
7) дифференцирование векторных функций.
Тема 2. Скалярные поля (4 час.):
1) скалярные и векторные поля;
2) линии уровня и поверхности уровня скалярного поля;
3) градиент скалярного поля;
4) символический дифференциальный оператор Гамильтона.
Тема 3. Векторные поля (4 час.):
1) векторные линии (линии тока);
2) поток векторного поля через поверхность;
3) дивергенция векторного поля;
4) циркуляция векторного поля;
5) ротор векторного поля.
Тема 4. Специальные виды полей (4 час.):
1) потенциальные поля;
2) соленоидальные поля;
3) краевые задачи.
Тема 5. Криволинейные системы координат (4 час.):
1) цилиндрическая и сферическая системы координат;
2) базис, взаимный базис, связь базисов;
3) координатные линии и поверхности;
5
4) метрический тензор, изменение метрического тензора при переходе к новой
системе координат;
5) преобразование тензоров при переходе от старых систем координат к новым
системам координат.
Тема 6. Дифференциальные операции в криволинейных координатах (4 час.):
1) дифференцирование базисных векторов;
2) символы Кристоффеля первого и второго рода;
3) ковариантное дифференцирование и его свойства;
4) ковариантная производная метрического тензора и тензора Леви -Чевита.
Тема 7. Тензорная алгебра (8 час.):
1) тензоры произвольного ранга и произвольной валентности;
2) понятие жонглирования индексами тензора;
3) операции сложения тензоров;
4) скалярное, векторное и диадное умножения и связанное с этим понятие свертки
тензора;
5) понятия транспонирования, симметрирования и альтернирования тензоров;
6) инварианты.
Тема 8. Приложения тензорного анализа (2 час.):
1) тензоры в механике деформируемого твердого тела и в гидромеханике;
2) тензор напряжений, тензор деформаций, тензор скоростей деформаций;
3) понятие шаровой и девиаторной частей тензоров.
5. Примерные задания для контрольной работы
1. Из векторов
,
и
,
выделить аффинный базис и разложить по этому базису вектор
2. Найти смешанное произведение векторов
.
,
,
и определить объем параллелепипеда, построенного на векторах
сомножителях.
3. Найти углы между векторами
и
.
4. Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль окружности,
полученной пересечением сферы
с плоскостью
.
Обход контура осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из точки
.
5. Вычислить ротор векторного поля
в точке
.
6. Разложить
векторное
поле
на
потенциальное и соленоидальное векторные поля, восстановить скалярный и
векторный потенциалы этих полей.
7. Найти потенциал центрального поля
.
8. Разложить векторное поле
основного базиса сферической системы координат.
6
по векторам
9. Записать дивергенцию поля
цилиндрической системе координат.
10. Найти ротор векторного поля
в
.
6. Примерные вопросы для подготовки к зачету
1. Скалярные и векторные физические величины. Вектор и его числовые
характеристики. Примеры.
2. Координаты вектора и его числовые характеристики в координатной форме.
Примеры.
3. Линейные операции над векторами ( сложение, вычитание, умножение на число ) и
их свойства. Примеры.
4. Множество свободных векторов, равенство векторов, нулевой вектор, углы между
векторами, коллинеарные и ортогональные векторы. Примеры.
5. Линейная комбинация векторов, линейно зависимые и независимые векторы.
Примеры.
6. Базис в пространстве и на плоскости, разложение вектора по базису.
Ортонормированный базис, аффинный базис. Преобразование координат при
переходе от одного базиса к другому. Примеры.
7. Скалярное и векторное произведения векторов и их свойства. Примеры.
8. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Двойное векторное
произведение трех векторов и формула его вычисления. Примеры.
9. Понятие векторной функции от скалярного и векторного аргумента. Годограф
радиуса – вектора точки. Приращение радиуса – вектора при изменении
скалярного аргумента. Примеры.
10. Скалярные поля, линии и поверхности уровня скалярного поля. Примеры.
11. Производная по направлению для скалярного поля. Определение и формула для
вычисления. Примеры
12. Градиент скалярного поля. Теоремы о градиенте. Связь градиента с производной по
направлению. Примеры.
13. Представление градиента через символический оператор Гамильтона. Свойства
оператора ''набла''. Примеры.
14. Понятие векторного поля, примеры векторных полей. Векторные линии и их
уравнения. Примеры.
15. Поток векторного поля через поверхность, вычисление векторного поля по
определению. Инвариантная формулировка определения потока поля. Примеры.
16. Гидродинамическая интерпретация потока векторного поля через замкнутую
поверхность. Физический смысл потока поля через поверхность. Примеры.
17. Различные формулы вычисления потока через поверхность. Примеры.
18. Понятие дивергенции векторного поля, как числовой характеристики поля и ее
физический смысл. Источники и стоки поля. Инвариантная формулировка
дивергенции векторного поля в точке. Примеры.
19. Формула Остроградского – Гаусса, координатная форма дивергенции векторного
поля в точке и ее физический смысл. Представление дивергенции с помощью
оператора Гамильтона. Примеры.
20. Циркуляция векторного поля вдоль линии и замкнутого контура. Физический (
гидродинамический ) смысл циркуляции. Примеры вычисления циркуляции.
7
21. Понятие ротора векторного поля через циркуляцию вдоль замкнутого контура,
инвариантная формулировка ротора, определение ротора через поверхностную
циркуляцию. Примеры.
22. Теорема Стокса, координатная формула ротора. Теорема о роторе. Обозначение
ротора через определитель и с помощью оператора Гамильтона. Примеры.
23. Потенциальные векторные поля и их свойства. Примеры.
24. Консервативные векторные поля и их свойства. Примеры
25. Центральные векторные поля и их свойства. Примеры.
26. Соленоидальные векторные поля и их свойства, трубчатые поля. Лапласовы поля.
Примеры.
27. Векторный потенциал векторного поля. Теорема Гельмгольца. Примеры.
28. Повторные операции векторного поля и их свойства. Примеры.
29. Криволинейные системы координат, преобразование координат при переходе от
одной системы координат к другой. Примеры.
30. Основной и взаимный реперы, порожденные криволинейной системой координат.
Разложение вектора по основному и взаимному реперам. Примеры.
31. Цилиндрическая система координат, координатные поверхности и координатные
линии, основной и взаимный базисы. Примеры.
32. Сферическая система координат, координатные поверхности и координатные
линии, основной и взаимный базисы. Примеры.
33. Векторные поля в криволинейной системе координат, разложение вектора поля по
основному и взаимному базисам. Примеры.
34. Разложение векторного поля по цилиндрической системе координат.
Коэффициенты Ламе. Примеры.
35. Разложение
векторного
поля
по
сферической системе
координат,
коэффициенты Ламе. Примеры.
36. Полный дифференциал и градиент скалярного поля в цилиндрической и
сферической системах координат. Примеры.
37. Дивергенция векторного поля в цилиндрической и сферической системах
координат. Примеры.
38. Ротор векторного поля в цилиндрической и сферической системах координат.
Примеры.
39. Оператор Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат. Примеры.
40. Преобразование координат при переходе от одной системы координат к другой.
Разложение вектора по основному и взаимному базисам. Примеры.
41. Аналитическое определение вектора в криволинейной системе координат,
ковариантные и контравариантные компоненты вектора и формулы их
преобразования. Примеры.
42. Определение тензора второго ранга, формулы преобразования контравариантных,
ковариантных и смешанных компонент тензора. Примеры.
43. Запись тензоров любой валентности и любого порядка, преобразования компонент
произвольного тензора. Примеры.
44. Метрический тензор второго ранга, выражение геометрических характеристик
через компоненты метрического тензора. Поднятие и опускание индексов тензоров
с помощью компонент метрического тензора. Примеры.
45. Тензор Леви – Чевиты, его свойства и применение. Примеры.
8
7. Литература
Основная литература
1. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Физматлит, 2005. –
304 с.
2. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т.4: Кратные и криволинейные
интегралы; Векторный анализ; Функции комплексного переменного;
Дифференциальные уравнения с частными производными. – М.: УРСС - 2005. 352 с.
Дополнительная литература
1. Агеносов Л.Г., Няшин А.Ф. Векторный анализ (методические указания для
студентов физического факультета). Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2003. – 48 с.
2. Борисенко
А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного
исчисления. М.: Высшая школа, 1966. – 238 с.
3. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. –
296 с.
4. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.:
Наука, 1965. – 424 с.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
М.: Физматлит, 2000. – 448 с.
4. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: ЛКИ, 2010. - 664 с.
5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. М.: Наука, 1973. – 492 с.
6. Сокольников С.И. Тензорный анализ: теория и применение в механике
сплошных сред. М.: КомКнига, 2007. -376 с.
7. Френкель Я.И. Курс теоретической механики на основе векторного и тензорного
анализа. М.: Либроком, 2010. – 440 с.
8. Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
1
2
1
Векторная алгебра и
элементы
дифференциальной
геометрии
Виды СРС
обязательные дополнительн
ые
3
4
Модуль 1
решение
работа с
контрольной
литературой
работы;
выполнение
домашнего
задания
9
Недел
я
семес
тра
5
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
6
7
1-2
4
0-8
1
2
3
4
5
6
7
2
Скалярные поля
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
3-4
4
0-8
3
Векторные поля
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
5-6
4
0-8
12
0-24
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4
Специальные виды
полей
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
7-8
4
0-8
5
Криволинейные
системы координат
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
9-10
4
0-8
6
Дифференциальные
операции в
криволинейных
координатах
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
11-12
4
0-8
12
0-24
8
0-16
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7
Тензорная алгебра
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
10
13-16
1
8
2
3
4
5
6
7
17-8
4
0-8
13-18
12
0-10
Всего по модулю 3:
24
0-34
Итого
48
0-82
Приложения
тензорного анализа
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
Итоговая
контрольная работа
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
9. Балльная оценка успеваемости студента
контрольная работа
решение задач на
практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
2
3
4
5
6
Итого количество
баллов
ответ на
практическом
занятии
1
Письменные работы
собеседование
№ темы
Устный опрос
7
Модуль 1
1. Векторная алгебра и элементы
дифференциальной геометрии
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
2. Скалярные поля
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
3. Векторные поля
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
0-6
0-9
-
0-9
0-6
0-30
Всего
Модуль 2
4. Специальные виды полей
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
5. Криволинейные системы
координат
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
0-6
0-9
-
0-9
0-6
0-30
6. Дифференциальные операции в
криволинейных координатах
Всего
Модуль 3
11
1
2
3
4
5
6
7
7. Тензорная алгебра
0-4
0-4
-
0-6
0-6
0-20
8. Приложения тензорного анализа
0-2
0-3
-
0-3
0-2
0-10
Итоговая контрольная работа
0-10
0-10
Всего
0-6
0-7
0-10
0-9
0-8
0-40
Итого за семестр
0-18
0-26
0-10
0-18
0-20
0-100
11