РПД Математика: экономико

1
1.Рабочая программа
1.1. Цели освоения дисциплины
Учебная дисциплина «Экономико-математические методы» позволяет:
 Развить системное мышление слушателей путем детального анализа
подходов к математическому моделированию и сравнительного анализа разных типов моделей;
 Ознакомить слушателей с математическими свойствами моделей и методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП
Учебная дисциплина «Математика: Экономико-математические методы» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин. Данная дисциплина опирается на предшествующие ей дисциплины
“Математический анализ” и “Линейная алгебра”. Данная дисциплина является предшествующей для следующих дисциплин: Макроэкономика, Микроэкономика, Теория отраслевых рынков, Эконометрика.
1.3.Требования государственного образовательного стандарта ВПО дисциплины «Математика: Экономико-математические методы»
Экономико-математические методы: линейное и целочис-ленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного
программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые гра-фики; сети Петри;
марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.
В результате изучения дисциплины студент должен:
- Знать: основные принципы и математические методы анализа решений.
- Уметь: выбирать рациональные варианты действий в практических
задачах принятия решений с использованием
экономикоматематических моделей.
- Владеть: аппаратом построения экономико-математических моделей и
математическими методами поиска оптимальных решений на этих моделях.
3
1.4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Экономикоматематические методы»
1.4.1. Разделы дисциплин и виды занятий
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
2
5
2
2
2
2
6
2
2
2
2.
3.
4.
5.
6.
1
1
Сам. занятия
2
Пр. занятия
1
Лекции
Лекции
2
Сам. занятия
Сам. занятия
Предмет, история и перспективы развития
методов оптимальных решений.
Линейное программирование.
Геометрическая
интерпретация
задачи.
Линейное программирование.
Симплексметод: основная
схема алгоритма.
Двойственные
задачи линейного программирования.
Транспортная
задача линейного программирования.
Определение
опорных планов
Формы
текущего
контроля
успеваемости
Пр. занятия
Неделя семестра
1.
Пр. занятия
Раздел дисциплины
(модуля)
Лекции
№
п/
п
Семестр
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
ОчноДневное
Заочное
заочное
отделение
отделение
отделение
0,5
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
8
1
1
8
Контрольная работа
Опрос
0,5
0,5
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
ТЗ.
Проверка оптимальности базисного распределения поставок. Улучшение
неоптимального
плана перевозок.
Целочисленное
программирование и дискретная оптимизация.
Метод ветвей и
границ. Задача о
назначениях.
Нелинейные
задачи оптимизации.
Метод множителей Лагранжа.
Многокритериальная оптимизация.
Оптимизация в
условиях неопределенности.
14. Сетевое
планирование
15. Теория игр
16. Матричные игры
17. Графическое
решение игры
Всего
2
7
2
2
2
2
8
2
2
2
2
9
2
2
2
2
10 2
2
2
2
11 2
2
2
2
12 2
2
2
2
13 2
2
2
2
14 2
2
2
2
2
15 2
16 2
2
2
2
2
2
17 2
2
2
34
34
68
5
1
0,5
1
1
0,5
1
1
8
0,5
3
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Тестирование
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос
8
1
1
8
Опрос.
8
1
1
8
9
1
1
8
Контрольная работа
Опрос
9
1
1
1
1
8
8
Опрос
Опрос
9
2
8
Тестирование
139
18
16
136
1.4.2. Содержание лекционных занятий
№ Наименование раздела
п/п дисциплины (модуля)
1. Предмет, история и перспективы развития методов оптимальных решений.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание раздела
Основные этапы принятия оптимальных решений. Общая постановка и классификация
задач оптимизации.
Использование математических моделей для
описания поведения экономических агентов.
Рациональное поведение. Использование оптимизации как способа описания рационального поведения. Принятие экономических решений.
Линейное программироФормулировка задачи линейного программивание. Геометрическая ин- рования (ЛП). Примеры задач ЛП. Стандарттерпретация задачи.
ная (нормальная) и каноническая формы
представления задачи ЛП и сведение к ним.
Свойства допустимого множества и оптимального решения в задаче ЛП. Основные
представления о методах решения задач ЛП,
основанных на направленном переборе вершин (симплекс-метод и др.).
Линейное программироСимплексные
таблицы.
Экономическая
вание. Симплекс-метод:
интерпретация
элементов
симплексной
основная схема алгоритма. таблицы. Улучшение опорного решения.
Определение ведущих столбца и строки.
Выбор
начального
допустимого
базисного решения. Введение искусственных
переменных.
Вырожденные
задачи
линейного
программирования. Зацикливание и его
предотвращение.
Двойственные задачи ли- Двойственные
задачи.
Экономическая
нейного программироваинтерпретация пары двойственных задач.
ния.
Теоремы двойственности, их экономическая
интерпретация.
Транспортная задача лиОбщая постановка транспортной задачи. Отнейного программировакрытая и закрытая ТЗ. Экономическая и матения.
матическая формулировки транспортной задачи.
Определение опорных
Метод северо-западного угла. Метод
планов ТЗ.
наименьшей стоимости. Определение перво-
7.
8.
9.
10
11
12
13
14
начального распределения поставок в вырожденном случае.
Метод потенциалов.
Проверка
оптимальности
базисного
распределения
поставок.
Улучшение
неоптимального
плана
перевозок.
Транспортные задачи с нарушенным балансом
производства и потребления. Транспортные
задачи с дополнительными условиями.
Целочисленное програм- Целочисленные переменные в задачах экономирование и дискретная мического планирования. Общая задача целооптимизация.Оптимизация численного программирования, общая задача
на графах.
целочисленного ЛП, задача частичноцелочисленного программирования. Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Алгоритм Гомори.
Метод ветвей и границ.
Метод ветвей и границ. Постановка задачи о
Задача о назначениях.
коммивояжере. Понятие о приближенных методах; эйлеровы графы; гамильтоновы графы;
орграфы; сетевые графики; сети Петри.
Нелинейные задачи опти- Общая постановка задач конечномерной опмизации.
тимизации. Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие
из неё.
Метод множителей ЛаМетод множителей Лагранжа в гладких эксгранжа.
тремальных задачах с ограничениями типа равенств и неравенств. Задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
Многокритериальная оп- Постановка и методы решения задач многотимизация.
критериальной оптимизации. Примеры многокритериальных задач в экономике. Марковские процессы; задачи анализа замкнутых и
разомкнутых систем массового обслуживания.
Оптимизация в условиях
Задача выбора решений в условиях неопреденеопределенности.
ленности. Критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, принцип Гурвица, принцип Байеса-Лапласа, принцип Сэвиджа).
Сетевое планирование.
Сеть проекта. Критический путь, время
завершения проекта. Резервы событий,
резервы
операций.
Динамическое
программирование;
рекуррентные
соотношения
Беллмана;
математическая
теория оптимального управления
7
15
Теория игр.
16
Матричные игры.
17
Графическое решение игры.
18
Подготовка к экзамену.
Игра как математическая модель конфликта.
Основные понятия теории игр. Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр.
Теория математических моделей принятия
оптимальных решений в условиях конфликта
и неопределенности
Антагонистические игры - матричные игры.
Смешанные стратегии.
Графоаналитический метод решения игр.
Матричные
игры
и
линейное
программирование.
Подготовка к экзамену
1.
2.
3.
Наименование
раздела дисциплины (модуля)
Предмет, история и перспективы развития
методов оптимальных решений.
Линейное программирование. Геометрическая интерпретация задачи.
ОК-1,
Образовательная технология
№
п/
п
Компетенции
1.5. Содержание практических занятий
практикум
ПК-4
ОК-4,
практикум
ОК12,
ПК-4
Линейное про- ОК-1,
граммирование. Симплекс- ОК-
практикум
Содержание занятий
Примеры: модели поведения потребителя и планирования производства в фирме. Пример использования оптимизации для идентификации параметров математической модели.
Примеры задач ЛП. Стандартная
(нормальная) и каноническая формы представления задачи ЛП и
сведение к ним.
Формы записи, свойства решений
задач линейного программирования.
Составление симплексных таблиц.
Экономическая
интерпретация
элементов симплексной таблицы.
метод: основ12,
ная схема алгоритма.
ПК-4,
ПК-5
4.
Двойственные
задачи линейного программирования.
ОК12,
ПК-4,
практикум
контрольная работа
№1
ПК-5
5.
Транспортная
задача линейного программирования.
ОК12,
практикум
ПК-4,
ПК-5
6.
7.
Определение
опорных планов
ТЗ.Решение
транспортной
задачи методом
Данцига.
ОК-1,
Метод потенциалов.
ОК12,
ПК-5,
практикум
ОК12,
ПК-6
практикум
контрольная работа
9
Улучшение опорного решения.
Определение ведущих столбца и
строки.
Выбор
начального
допустимого базисного решения.
Введение
искусственных
переменных. Вырожденные задачи
линейного
программирования.
Зацикливание
и
его
предотвращение.
Решение двойственных задач линейного программирования. Двойственный симплекс-метод.
Контрольная работа по теме «Графический метод и симплекс метод
решения задач линейного программирования. Двойственные задачи
линейного программирования.
1. Общая постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая ТЗ.
2. Метод северо-западного угла
(алгоритм метода).
3. Метод наименьшей стоимости
(алгоритм метода).
4. Определение первоначального
распределения поставок в вырожденном случае, когда из
рассмотрения выпадают одновременно и строка и столбец.
5. Проверка оптимальности базисного распределения поставок (определения).
Методы улучшения неоптимального плана перевозок (определение
цикла перераспределения).
Алгоритм распределительного метода. Метод северо-западного угла.
Метод наименьшей стоимости.
Определение первоначального распределения поставок в вырожденном случае.
Решение открытых транспортных
задач, задач с запретами и ограничениями на перевозки методом по-
8.
9.
ПК-6
Целочисленное ОК-4,
программирование и дисПК-7
кретная оптимизация. Оптимизация на
графах.
Метод ветвей и ОК-1,
границ. Задача
о назначениях. ОК-4,
№2
практикум
практикум
ПК-10
10.
Нелинейные
ОКзадачи оптими- 12,
практикум
зации.
ПК-10
11. Метод множителей Лагранжа.
ОК-1,
практикум
ОК-4,
ПК-10
12. Многокритери- ОК-4,
альная оптимизация.
ПК-6,
ПК-10
практикум
тенциалов.
Решение линейных задач дискретного программирования 1-ым алгоритмом Гомори и методом ветвей и
границ.
Представление задачи в виде дерева. Решение ее методом ветвей и
границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах.Решение задач о
назначениях.
Решение задач с седловой точкой
функции.
Необходимые и достаточные условия экстремума в задачах нелинейного программирования.
Контрольная работа по теме
«Транспортная задача. Целочисленное программирование. Задача о
назначениях»
Решение задач методом множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с ограничениями
типа равенств и неравенств. Задачи
выпуклого
программирования.
Теорема Куна-Таккера.
Пример: задача поиска разумных
экономических решений с учетом
экологических факторов. Множество достижимых критериальных
векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница.
Теорема Куна-Таккера в выпуклых
задачах многокритериальной оптимизации.
Основные типы методов решения
задач многокритериальной оптимизации. Методы аппроксимации па-
ретовой границы.
13. Оптимизация в
условиях неопределенности.
ОК-1,
практикум
контрольПК-10 ная работа
№3
Задача выбора решений в условиях
неопределенности. Критерии выбора решений в условиях неопределенности (принцип гарантированного результата, принцип Гурвица,
принцип Байеса-Лапласа, принцип
Сэвиджа). Применение принципа
гарантированного результата в задачах экономического планирования. Множество допустимых гарантирующих программ. Наилучшая гарантирующая программа.
Принятие решение при случайных
параметрах. Вероятностная информация о параметрах. Принятие
решений на основе математического ожидания. Случайность и
риск. Учет склонности к риску.
14. Сетевое
планирование.
ОК-1,
практикум
Решение задач по нахождению
критического пути. Сеть проекта.
Нахождение времени завершения
проекта. Резервы событий, резервы
операций.
ОК-1, практикум
ОК12,
ПК-10
ОК-1, практикум
Составление математической модели конфликта. Задачи теории игр.
Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр.
Составление
математических
моделей принятия оптимальных
решений в условиях конфликта и
неопределенности.
Определение
способа решения. Задачи по
антагонистическим играм. Форма
матричных
игр.
Нахождение
смешанных стратегий.
ОК-4,
ПК-10
15. Теория игр.
16. Матричные игры.
ОК12,
ПК-10
17. Графическое
решение игры.
ПК-5,
ПК-6
практикум
контрольная работа
№4
11
Решение
задач
графоаналитическимметодом.Пред
ставление матричных игр в виде
задач
линейного
18. Подготовка к
экзамену.
тестирование
тестирование
программирования.
Подготовка к экзамену
1.6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,промежуточнойаттестации по итогам освоения дисциплиныи учебно-методическое обеспечениесамостоятельной работы студентов
1.6.1. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Текущий контроль знаний студентов осуществляется с помощью контрольных работ, выполняемых на практическом занятии по темам 2-4: «Линейное программирование. Геометрическая интерпретация задачи», «Линейное программирование. Симплекс-метод: основная схема алгоритма», «Двойственные задачи линейного программирования» -(1-я контрольная работа),57: «Транспортная задача линейного программирования», «Определение
опорных планов ТЗ.Решение транспортной задачи методом Данцига», «Метод потенциалов» -(2-я контрольная работа), 10-13: «Нелинейные задачи оптимизации», «Метод множителей Лагранжа»,«Многокритериальная оптимизация.Оптимизация в условиях неопределенности» -(3-я контрольная работа),
15-17: «Теория игр», «Матричные игры», «Графическое решение игры» -(4-я
контрольная работа), и 8 (восемь) тестовых заданий, предложенных для самоконтроля студентов (см. п.1.6.3.), выполняемых дома в ходе подготовки к
занятиям. Примеры решения задач, подобных входящим в контрольные работы, можно найти в лекции по соответствующей теме. Образцы контрольных работ прилагаются в п.7.1.
Последним текущем контролем знаний является итоговое тестирование, состоящее из набора вопросов, освященных в учебном материале курса.
Каждый тестовый вопрос имеет несколько вариантов ответов. Тест состоит
из 15 заданий. На выполнение теста отводится 40 минут. Работа выполняется
индивидуально, без использования дополнительных источников. Задание рекомендуется выполнять по порядку, не пропуская ни одного. Если задание не
удается выполнить сразу, необходимо перейти к следующему. Если останется время, нужно вернуться к пропущенным заданиям.
1.6.2.Оценочные средства для итогового контроля
Итогой аттестацией студента является экзамен. К экзамену допускаются студенты, успешно выполнившие все контрольные работы, итоговое тестирование и восемь тестовых заданий для самопроверки. Образец экзаменационного билета представлен в п.7.4.
1.6.3 Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
В данном разделе представлены задания для самостоятельной работы студентов в ходе освоения дисциплины.
1. Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и
вогнутости функции f x, y   ( x  1) 3  6 xy  y 3 . Выпуклы ли построенные области?
2. Задачу нелинейного программирования
 x1  4 
2
x22
3 x1  x 2  6

 max при  x1  x 2  2
 x1 , x 2  0
привести к стандартному виду. Изобразить допустимое множество и линии
уровня целевой функции; решить задачу графически. Проверить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения. На
рисунке проверить выполнение условий Куна-Таккера в угловых точках
допустимого множества (т.е. в точках, в которых число активных ограничений не меньше числа переменных) и в точках касания линии уровня целевой функции с границами допустимой области. Найти точки, в которых
условия Куна-Таккера выполняются, и определить, какие из ограничений
являются активными в таких точках. Выписать условия Куна-Таккера в
найденных точках и рассчитать значения двойственных переменных. Сделать обоснованный вывод о наличии или отсутствии локального (глобального) максимума во всех рассмотренных точках.
3. Фабрика по производству мороженого может выпускать пять сортов мороженого. При производстве мороженого используется два вида сырья: молоко и наполнители, запасы которых известны. Известны также удельные затраты сырья, а также цены продукции. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода.
4. Подготовлено несколько вариантов U  u i , i  I  стратегий u i управления
фирмой. По каждой стратегии оценен объем π ij прибыли для различных прогнозов ξ j , j  1,2,3, будущей ситуации, причем не известно какой из прогнозов
ξ j реализуется. Вероятность реализации прогноза также не известна. Вели13
чины прибыли при реализации каждого из прогнозов приведены в таблице.
Найти наилучшие стратегии по критериям максимакса, Байеса-Лапласа,
Гурвича, Сэвиджа, а также наилучшую гарантирующую стратегию и максимальную гарантированную оценку прибыли.
5. Рассмотреть задачу целевого программирования, в которой множество допустимых решений задается неравенствами x1  2x2  4, 4x1  x2  4 и x1, 2  0 .
Критерии заданы соотношениями z1  2x1  x2 , z 2  2x2 , а целевая точка совпадает с идеальной точкой z*, отклонение от которой задается функцией
 ( z, z*)  max ( z1 *  z1 ), ( z 2 *  z 2 ). Найти и изобразить множество достижимых
критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и идеальную точку z*.
Изобразить линии уровня функции  ( z, z*) . Графически решить задачу
нахождения достижимой точки (z’1, z’2), дающей минимум отклонения от
идеальной точки; аналитически записать задачу минимизации отклонения от
идеальной точки в виде задачи линейного программирования.
6. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации
z1  F1 ( x)  2 x1  5x2  4 x3 → max, z 2  F2 ( x)  5x1  x2  4 x3 → max
на множестве допустимых решений
X  E3
2 x12  x22  ( x3  1) 2  1 , x1≥0, x2≥0, x3≥0.
Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку
критериев
 ( z1 , z 2 )  0,6z1  0,4z 2 .
Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей
выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных
ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера через
функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в найденном решении.
7. Фирма принимает решение о стратегии замены оборудования. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически
моментально), причем частичная замена оборудования невозможна. Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования
на новое составляет 6 миллионов рублей. После замены старое оборудование, эксплуатировавшееся до этого t лет, t  0;10 , реализуется по цене, которая определяется формулой R(t )  0.2(10  t ) миллионов рублей. Известно,
что прибыль от реализации продукции, произведенной за год, определяется формулой F (t )  5  t миллионов рублей. Планирование производится на
7 лет. Определить оптимальную стратегию замены оборудования при
условии, что в начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее 1 год.
8. Динамика фирмы описывается моделью
Kt+1 =Kt + (1 – ut) δ Kt, K0=1,
Ct+1 = Ct + utδKt, C0=0,
где t = 0,1,2,…, T-1 – номер года;
Kt – стоимость основных фондов к началу периода [t, t+1];
Ct – суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода [t, t+1];
ut – доля дивидендов в период [t, t+1] в прибыли фирмы, которая считается
равной δKt, причем δ – заданный постоянный параметр.
Величина ut является управлением в модели, причем 0 ≤ ut ≤ 1, t=0,1,2,…,T-1.
Пользуясь методом динамического программирования, построить оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период
времени [0, T], то есть величину СT. Считать, что δ = 0.6, T=4.
Рекомендации по использованию информационных технологий:
При выполнении домашнего задания, посвященного решению задачи линейного программирования, требуется использовать компьютерную программу,
которая позволяет проводить анализ чувствительности. В частности, рекомендуется использовать оптимизатор MS Excel.
Самостоятельная работа студентов должна способствовать укреплению и
углублению знаний студентов, формированию творческого отношения к изучаемой дисциплине, дополнительному приобретению навыков решения задач.
Самостоятельная работа по дисциплине “Методы оптимальных решений” заключается:
- в активной работе на лекциях;
- в активной работе на практических занятиях;
- в углубленном изучении теоретических материалов с использованием конспекта лекций и рекомендуемой литературы. В конце каждой темы
приводятся вопросы для самоконтроля знаний студентов;
- в выполнении контрольных работ;
- в выполнениидополнительных заданий по каждой теме.
1.6.4. Темы эссе, рефератов
Эссе не предусмотрено. Реферат не предусмотрен.
15
1.7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля)
а) основная литература
1. Бережная Е. В. Методы и модели принятия управленческих
решений: Учеб.пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.:
НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 384 с. + (Доп. мат. znanium.com). (Высшее образование: Бакалавриат). - ЭБС : http://znanium.com/
2. Дорогов В.Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: Учеб.пособие / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. - М.: ИД ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. - 240 с. - (Высшее образование). - ЭБС :
http://znanium.com/
б) дополнительная литература
1. Зуб А. Т.Принятие управленческих решений. Теория и практика:
Учеб. пособие / А.Т. Зуб. - М.: ИД ФОРУМ: ИНФРА-М, 2010. 400 с.: ил. - (Высшее образование). - ЭБС : http://znanium.com/
2. Эддоус М.Методы принятия решения = Decison making techniques /
М. Эддоус, Р. Стэнсфилд; Пер. с англ. И.И.Елисеевой. - М.:
Аудит; ЮНИТИ, 1997. - 590с.
3. Соколов А.В., Токарев В.В. Методы оптимальных решений. М.: Физматлит, 2010.
4. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная
теория управления. М.: Наука, 2010.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Федеральный образовательный портал. Экономика. Социология. Менеджмент. [Электронный ресурс]. – (http://ecsocman.edu.ru/)
2. Образовательный экономический портал [Электронный ресурс]. –
(http://www. econportal.ru/).
1.8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Специально оборудованные кабинеты и аудитории: компьютерные классы,
аудитории, оборудованные мультимедийными средствами обучения.
2. Перечень вопросов к зачету
Зачет по данной дисциплине не предусмотрен.
3. Перечень вопросов к экзамену
Итоговой аттестацией студента является экзамен.
Экзамен по данной дисциплине проводится в письменной форме.
К экзамену допускаются студенты, успешно выполнившие все контрольные работы, итоговое тестирование и восемь тестовых задания для самопроверки. Образец экзаменационного билета представлен в п.7.4.
Экзамен по данной дисциплине проводится в письменной форме.
Экзаменационная работа включает в себя две части: практическую и
общетеоретическую.
Результат сдачи экзамена оценивается по десятибалльной системе суммированием баллов, получаемых студентом за каждую часть экзаменационного билета.
Ниже излагаются основные принципы формирования экзаменационных билетов и рекомендации по оцениванию знаний студентов.
17