ИДЗ № К3x

Индивидуальное задание № К3
Определение скоростей и ускорений точек
многозвенного механизма
Для заданного положения механизма определить:
1) скорости точек A , B , C , … механизма и угловые скорости всех
звеньев при помощи плана скоростей;
2) ускорения точек A и B , а также угловое ускорение звена AB ;
3) ускорение точки M , делящей звено AB пополам;
4) скорости точек A , B , C , … механизма и угловые скорости
звеньев при помощи мгновенного центра скоростей;
5) положение мгновенного центра ускорений звена AB .
Схемы механизмов помещены в табл. 25, необходимые для
расчёта данные приведены в табл. 24.
Пример. Задана схема механизма в заданном положении (рис. 14)
при   60 o ; исходные данные: l O1 A  0,12 м , l O2 D  0,19 м ,
l A B  0,5 5 м , l BC  0,19 м , l C D  0, 2 3 м , l DE  0,27 м , l EF  0,22 м ,
a  0,19 м , b  0,19 м , c  0,1 м , d  0,22 м . Угловая скорость звена
O1 A – ω1  2 рад/с .
Решение.
1. Построение положения механизма.
м
и вычисляем
мм
длины отрезков, изображающих звенья на плане механизма:
lO A
l
0,55
0,12
 68,75 мм ,
O1 A  1 
 15 мм , AB  AB 
μl
0,008
μl
0,008
lO D
l
0,23
0,19
CD  CD 
 28,75 мм , O2 D  2 
 23,75 мм и т.д.
μl
0,008
μl
0,008
С помощью масштаба μ l определяем расстояния a , b , c и d на
плане:
0,19
0,1
0,22
ab
 23,75 мм , c 
 12,5 мм , d 
 27,5 мм .
0,008
0,008
0,008
План механизма строим методом засечек. Сначала вычерчиваем
звено 1 длиною O1 A в заданном положении, а затем определяем
положения других звеньев механизма.
2. Определение линейных скоростей точек и угловых скоростей
звеньев механизма.
Вычисляем скорость точки A звена 1 при заданном положении
механизма:
Выбираем масштаб плана положений μ l  0,008
V A  ω1  l O1 A  2  0,12  0,24 м / с .
Вектор скорости точки A перпендикулярен к звену O1 A (см. рис. 15).
Строим план скоростей. Выбираем масштаб плана скоростей
м/c
. Из произвольно выбранного полюса p v проводим луч
μ v  0,002
мм
p v a , изображающий в выбранном масштабе скорость точки A (рис. 15):
V
0,24
pva  A 
 120 мм .
μ v 0,002
Для определения скорости точки B , рассмотрим движение этой
точки относительно точек, скорости которых нам известны (точка A и
неподвижная стойка).
Обозначим неподвижную стойку дополнительной точкой W (
VW  0 , на плане скоростей точка w находится в полюсе p v ) и составим
V B  V A  V BA
систему уравнений, описывающих движение точки B : 
.
V B  VW  V BW
Вектор скорости V BA направлен перпендикулярно отрезку AB , а
вектор скорости V BW направлен параллельно движению ползуна
относительно неподвижной стойки.
Проводим через полюс p v вертикальную прямую, а через точку a
прямую, перпендикулярную отрезку AB . На пересечении прямых
линий получаем точку b (рис. 15). Отрезок p vb показывает
направление и величину скорости точки B . Измеряем длину отрезка
p vb и, пользуясь масштабом плана скоростей, находим:
V B  V BW  p vb  μ v  113  0,002  0,226 м / с .
Отрезок ab плана скоростей изображает скорость V BA точки B
при вращении звена 2 вокруг полюса A :
V BA  ab  μ v  116,5  0,002  0,233 м / с .
Следовательно, угловая скорость звена AB :
V
0,233
рад
.
ω 2  BA 
 0,423
l AB
0,55
с
Для определения скорости точки C , лежащей на звене AB
(шатун), составим пропорцию, выражающую равенство отношений
длин отрезков:
l  ab 0,19  116,5
l AB ab

 bc  BC

 40,245 мм .
lBC bc
l AB
0,55
Определив положение точки c на отрезке ab плана скоростей,
соединяем точку c с полюсом p v . Измеряем длину отрезка p v c и,
пользуясь масштабным коэффициентом плана скоростей, находим:
VC  p vc  μ v  101  0,002  0,202 м / с
Для определения скорости точки D воспользуемся тем, что она
принадлежит звену 4, совершающему плоское движение, и звену 5,
вращающемуся вокруг неподвижной оси O 2 (VO 2  0 , на плане
скоростей точка o 2 находится в полюсе p v ). Составим систему
уравнений, описывающих движение точки D :
V D  VC  V DC
.

V

V

V
D
O
DO

2
2
Вектор скорости V DC направлен перпендикулярно отрезку DC ;
вектор скорости V DO2 направлен перпендикулярно отрезку O2 D .
Проводим через точку c прямую, перпендикулярную отрезку DC
, а через полюс p v – прямую, перпендикулярную отрезку O2 D . На
пересечении прямых линий получаем точку d (см. рис. 15). Отрезок
p v d показывает направление и величину скорости точки D . Измеряем
длину отрезка p v d и, пользуясь масштабом плана скоростей, находим:
V D  V DO2  p v d  μ v  79  0,002  0,158 м / с .
Угловая скорость звена 5:
V
0,158
рад
.
ω5  D 
 0,831
l O2 D
0,19
c
Отрезок cd плана скоростей изображает скорость V DC точки D
при вращении звена 4 вокруг полюса C :
V DC  cd  μ v  42,4  0,002  0,085 м / с .
Следовательно, угловая скорость звена CD :
V
0,085
рад
.
ω 4  DC 
 0,37
l CD
0,23
c
Для определения скорости точки E , принадлежащей звену DE
(коромысло), составим пропорцию, выражающую равенство отношений
длин отрезков:
lO2 E
pv d  lO2 E 79  0,08
pe
 v  pve 

 33,26 мм .
lO2 D pv d
lO2 D
0,19
Точка e на плане скоростей находится на линии действия
скорости VDO2 с обратной стороны полюса p v . Зная длину отрезка p v e
и, пользуясь масштабным коэффициентом плана скоростей, находим:
V E  p ve  μ v  33,26  0,002  0,066 м / с .
Определим скорость точки F . Точка F принадлежит звену 6,
совершающему плоское движение, и ползуну 7, движущемуся
поступательно в горизонтальном направлении. Составим систему
уравнений, описывающих движение точки F :
V F  V E  V FE
.

V F  V Z  V FZ
Здесь V Z  0 (на плане скоростей точка z находится в полюсе p v ),
вектор скорости V FE направлен перпендикулярно отрезку EF , а вектор
скорости V FZ направлен параллельно движению ползуна относительно
неподвижной стойки (точка Z ).
Проводим через полюс p v прямую, параллельную скорости V FZ ,
а через точку e прямую, перпендикулярную отрезку EF . На
пересечении прямых линий получаем точку f (см. рис. 15). Отрезок
p v f показывает направление и величину скорости точки F . Измеряем
длину отрезка p v f и, пользуясь масштабом плана скоростей, находим:
V F  V FZ  p v f  μ v  14,7  0,002  0,0294 м / с
Отрезок ef плана скоростей изображает скорость V FE точки F
при вращении звена 6 вокруг полюса E :
V FE  ef  μ v  37  0,002  0,074 м / с .
Следовательно, угловая скорость звена EF :
V
0,074
рад
.
ω 6  FE 
 0,336
l EF
0,22
с
3. Определение линейных ускорений точек и угловых ускорений
звеньев механизма.
Определяем ускорение
точки A звена O1 A при
помощи
теоремы
об
ускорениях точек плоской
фигуры:
n
τ
.
a A  aO1  a AO
 a AO
1
1
Ускорение точки
a O1
O1
равно
0
(точка
принадлежит неподвижному
звену). Так как звено O1 A
вращается
равномерно
(
ω1  co n s t ), следовательно,
τ
ускорение a AO
равно 0. В
1
этом случае имеем:
a A  a nAO1  ω12  l O1 A 
.
 2  0,12  0,48 м/с
Вектор
нормального
n
ускорения a AO
направлен
1
2
2
параллельно звену O1 A от
точки A к центру O1 .
Строим план ускорений.
м /c 2
Выбираем масштаб плана ускорений μ a  0,005
. Из произвольно
мм
выбранного полюса p a проводим луч p a a , изображающий в выбранном
масштабе ускорение точки A (рис. 16):
a
0,48
p a a  A 
 96 мм .
μ a 0,005
Для определения ускорения точки B , рассмотрим движение этой
точки относительно точек, ускорения которых нам известны (точка A и
W , на плане ускорений точка w находится в полюсе p a ).
Составим систему уравнений, описывающих движение точки B :
n
τ
a B  a A  a BA
 a BA

a B  aW  a BW
n
Вектор a BA
нормального ускорения точки B , возникающий при
рассмотрении движения относительно точки A , направлен параллельно
AB от точки B к точке A . Величина этого ускорения равна:
n
a BA
 ω 22  l AB  0,423 2  0,55  0,0984 м/с 2 .
τ
Вектор a BA
тангенциального ускорения точки B в ее движении
относительно точки A направлен перпендикулярно к звену AB .
Вектор a BW ускорения точки B направлен параллельно
движению звена 3 относительно точки W .
Чтобы решить графически составленные векторные уравнения
ускорений необходимо:
На плане ускорений из точки a  провести отрезок a n1 ,
показывающий направление и величину нормального ускорения точки
B относительно точки A . Длина отрезка a n1 с учетом масштабного
коэффициента:
n
a BA
0,0984
a n1 

 19,7 м м .
μa
0,005
Из точки n1 проводим линию действия вектора тангенциального
τ
ускорения a BA
. Из полюса p a (так как точка w лежит в полюсе)
проводим линию действия вектора ускорения a BW .
На пересечении линий действия получаем точку b . Соединяем
точку b с полюсом p a . Отрезок p a b показывает величину и
направление ускорения a B :
a B  p ab  μ a  81 0,005  0,405 м/с 2 .
τ
a BA
Из плана ускорений находим величину тангенциального ускорения
и полного ускорения a B A :
τ
a BA
 n1 b  μ a  44  0,005  0,22 м/с 2 ;
a BA  a b  μ a  48  0,005  0,24 м/с 2
Определяем величину углового ускорения ε 2 звена 2:
τ
a BA
0,2 2
ε2 

 0,4 с -2 .
l AB 0,5 5
τ
Направление ε 2 определяем по направлению вектора a BA
переносом его в точку B плана механизма. Угловое ускорение ε 2
направлено по часовой стрелке.
Для определения ускорения точки C , лежащей на звене AB
(шатун), составим пропорцию, выражающую равенство отношений
длин отрезков:
l  ab 0,19  48
l AB ab

 bc  BC

 16,58 мм .
lBC bc
l AB
0,55
Определив положение точки c на отрезке a b плана ускорений,
соединяем точку c с полюсом p a . Измеряем длину отрезка p a c и,
пользуясь масштабным коэффициентом плана ускорений, находим:
aC  p ac  μ a  83,2  0,005  0,416 м/с 2 .
Для определения ускорения точки D , рассмотрим движение этой
точки относительно точек C и O 2 (на плане ускорений точка o2
находится в полюсе p a ).
Составим систему уравнений, описывающих движение точки D :
n
τ
a D  a C  a DC
 a DC

n
τ
a D  a O2  a DO2  a DO2
n
Вектор a DC
нормального ускорения точки D , возникающий при
рассмотрении движения относительно точки C , направлен параллельно
CD от точки D к точке C . Величина этого ускорения равна:
n
a DC
 ω 24  lCD  0,37 2  0,23  0,0315 м/с 2 .
τ
Вектор a DC
тангенциального ускорения точки D в ее движении
относительно точки C направлен перпендикулярно к звену CD .
n
Вектор a DO
нормального ускорения точки D , возникающий при
2
рассмотрении
движения
относительно
точки
O2 ,
направлен
параллельно O2 D от точки D к точке O 2 . Величина этого ускорения
равна:
n
a DO
 ω 52  lO2 D  0,8312  0,19  0,131м/с 2 .
2
τ
Вектор a DO
тангенциального ускорения точки D в ее движении
2
относительно точки O 2 направлен перпендикулярно к звену O2 D .
На плане ускорений из точки c следует провести отрезок c n2 ,
показывающий направление и величину нормального ускорения точки
D относительно точки C . Длина отрезка c n2 с учетом масштабного
коэффициента:
n
a DC
0,0315
c n2 

 6,3 м м .
μa
0,005
Из точки n2 проводим линию действия вектора тангенциального
τ
ускорения a DC
.
Из полюса p a (так как точка o2 лежит в полюсе) проводим
отрезок p a n3 , показывающий направление и величину нормального
ускорения точки D относительно точки O 2 . Длина отрезка p a n3 с
учетом масштабного коэффициента:
n
a DO
0,131
2
p a n3 

 26,2 м м .
μa
0,005
Из точки n3 проводим линию действия вектора тангенциального
τ
ускорения a DO
.
2
На пересечении линий действия получаем точку d  . Соединяем
точку d  с полюсом p a . Отрезок p a d  показывает величину и
направление ускорения a D :
τ
a DC
a D  p ad   μ a  75,5  0,005  0,3775 м/с 2 .
Из плана ускорений находим величины тангенциальных ускорений
τ
и a DO
, а также полного ускорения a D C :
2
τ
a DC
 n2d   μ a  16  0,005  0,08 м/с 2 ;
a DC  c d   μ a  17,5  0,005  0,0875 м/с 2
τ
3d   μ a  71 0,005  0,355 м/с 2 .
a DO

n
2
Определяем величину углового ускорения ε 4 звена 4:
τ
a DC
0,08
ε4 

 0,35 с -2 .
l DC 0,23
τ
Направление ε 4 определяем по направлению вектора a DC
переносом его в точку D плана механизма. Угловое ускорение ε 4
направлено по часовой стрелке.
Определяем величину углового ускорения ε 5 звена 5:
ε5 
τ
a DO
2
l DC

0,3 5 5
 1,8 7 с -2 .
0,1 9
τ
Направление ε 5 определяем по направлению вектора a DO
2
переносом его в точку D плана механизма. Угловое ускорение ε 5
направлено по часовой стрелке.
Для определения ускорения точки E , принадлежащей звену DE
(коромысло), составим пропорцию, выражающую равенство отношений
длин отрезков:
lO2 E
pa d   lO2 E 75,5  0,08
pa e


 pa e 

 31,8 мм .
lO2 D pa d 
lO2 D
0,19
Точка e на плане ускорений находится на линии действия
ускорения aD с обратной стороны полюса p a . Зная длину отрезка p a e
и, пользуясь масштабным коэффициентом плана ускорений, находим:
a E  p ae  μ v  31,8  0,005  0,159 м/с 2 .
Определение ускорения точки F проводим по аналогии
определения ускорения точки B , рассматривая движение этой точки
относительно точек E и Z .
Составим систему уравнений:
n
τ
a F  a E  a FE
 a FE

a F  a Z  a FZ
n
a FE
 ω 62  l EF  0,336 2  0,22  0,025 м/с 2 .
n
a FE
0,0 2 5

 5 мм.
μa
0,0 0 5
Из плана ускорений находим:
a F  p a f   μ a  3,5  0,005  0,0175 м/с 2 ;
e n4 
τ
a FE
 n4 f   μ a  30  0,005  0,15 м/с 2 ;
a FE  e f   μ a  30,5  0,005  0,1525 м/с 2 .
Определяем величину углового ускорения ε 2 звена 2:
τ
a FE
0,1 5
ε6 

 0,6 8 с -2 .
l EF 0,2 2
τ
Направление ε 6 определяем по направлению вектора a FE
переносом его в точку F плана механизма. Угловое ускорение ε 6
направлено против хода часовой стрелки.
Направления угловых скоростей и ускорений звеньев механизма
представлены на рис. 17.
Данные для индивидуального задания №К3
№
варианта
φ,
град.
a
Расстояние, см
c
b
d
e
O1 A
O2 B
O2 D
O3 D
Длины звеньев, см
BC
AB
O3 F
CD
CE
DE
EF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
200
60
90
155
125
60
250
90
200
110
50
55
45
90
130
40
145
45
40
145
115
35
130
115
55
135
140
215
90
25
18
56
15
26
19
65
11
27
23
55
50
10
17
28
46
36
96
70
42
27
46
46
31
36
72
36
71
30
35
46
23
10
25
15
19
49
42
18
19
21
30
86
54
40
31
22
9
39
24
23
30
39
36
53
27
20
15
28
18
26
54
23
10
11
14
20
25
32
6
15
37
30
11
50
13
36
32
35
38
17
22
16
35
22
7
15
28
28
18
31
32
40
7
-
23
25
24
30
21
15
-
14
21
15
15
12
15
16
14
21
15
14
21
15
15
15
15
15
16
20
20
15
15
15
17
15
19
16
19
10
16
28
25
28
65
29
34
29
31
29
31
20
20
28
50
15
30
23
40
30
16
25
19
24
40
40
39
20
45
30
19
-
28
58
24
23
25
55
15
20
38
50
17
50
15
75
20
41
25
30
19
-
21
54
42
51
55
50
25
55
65
70
45
60
50
50
45
45
84
78
71
80
78
44
40
35
76
76
46
59
50
50
21
52
21
22
19
25
25
32
62
35
54
30
35
25
15
20
20
38
30
32
39
25
16
11
46
38
33
29
33
11
48
69
47
38
23
32
42
15
31
33
34
19
40
70
31
24
51
41
58
26
30
60
45
50
68
40
24
16
33
38
35
26
23
21
60
22
35
17
19
29
52
22
30
25
35
35
20
-
38
45
11
17
37
22
17
40
57
15
25
48
45
26
42
32
31
22
39
49
29
12
49
50
50
37
57
35
38
40
30
44
51
29
50
36
33
44
Схемы механизмов к ИДЗ № К3
задание №1
задание №2
задание №3
задание №4
задание №5
задание №6
задание №7
задание №8
задание №9
задание №10
задание №11
задание №12
задание №13
задание №14
задание №15
задание №16
задание №17
задание №18
задание №19
задание №20
задание №21
задание №22
задание №23
задание №24
задание №25
задание №26
задание №27
задание №28
задание №29
задание №30