Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсу «Физика» (механика) для студентов
факультета высоких технологий
часть 1
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны к. физ.-мат. н., доц. кафедры общей физики
А.Л. Цветянским, ассистентом кафедры общей физики Ю.А. Дубининой,
ассистентом кафедры общей физики М.А. Кирикович, студ. 2 курса физфака
О.Ю. Педановой.
Компьютерный набор
студ. 2 курса О.Ю. Педановой
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета РГУ, протокол № 23 от
11 апреля 2006г.
2
Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной
работы студентов 1 курса факультета высоких технологий. В сборнике приведены
основные теоретические положения, знания которых необходимы для решения
задач, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения
(наиболее сложные снабжены ответами), а также приложениями, содержащими
формулы алгебры и тригонометрии, правила работы с векторами, таблицы
производных и интегралов, постоянные величины, астрономические величины и
десятичные приставки к названиям единиц.
3
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Механика - часть физики, в которой изучаются закономерности механического
движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Физические модели в механике
Физические модели - модели, применяемые в механике для описания движения
тел (изменения с течением времени взаимного расположения тел или их частей) в
зависимости от условий конкретных задач.
Материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого в данной
задаче можно пренебречь. Понятие материальной точки - абстрактное, но его
введение облегчает решение практических задач. Например, изучая движение
планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за материальные точки.
Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить
на малые взаимодействующие между собой части, каждая из которых
рассматривается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной
системы тел сводится к изучению системы материальных точек. В механике
сначала изучают движение одной материальной точки, а затем переходят к
изучению движения системы материальных точек.
Абсолютно твердое тело - тело, которое ни при каких условиях не может
деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (точнее,
между двумя частицами) этого тела остается постоянным.
Абсолютно упругое тело - тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а
после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные
размеры и форму.
Абсолютно неупругое тело - тело, полностью сохраняющее деформированное
состояние после прекращения действия внешних сил.
4
Система отсчета. Кинематические уравнения движения
Тело
отсчета
-
произвольно
выбранное
тело,
относительно
которого
определяется положение других (движущихся) тел.
Положение
любого
движущегося
тела
определяется по отношению к телу отсчета,
поэтому механическое движение относительно.
Система координат - система (в простейшем,
случае прямоугольная декартова система xyz (см.
рисунок 1)), связанная с телом отсчета.
Система отсчета - совокупность тела отсчета,
связанной с ним
системы
координат
и
Рисунок 1
синхронизированных между собой часов.
Кинематические уравнения движения материальной точки
Положение материальной точки A в декартовой системе координат определяется

тремя координатами x , y , z или радиусом-вектором r (он проводится из начала
отсчета координат O в точку A ). При движении материальной точки ее
координаты с течением времени изменяются, поэтому ее движение определяется
записанной системой скалярных уравнений или эквивалентным ей векторным
уравнением.
Траектория, длина пути, вектор перемещения
Траектория - линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом)
относительно выбранной системы отсчета.
В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение,
5
криволинейной движение, движение по окружности и т. д.
Вид траектории зависит от характера движения материальной точки и от системы
отсчета.



Вектор перемещения - вектор r  r2  r1 , проведенный из начального положения
движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение
радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).
Длина пути - длина участка траектории
АВ, пройденного материальной точкой
за данный промежуток времени:
скалярная
функция
S  S t —
времени.
При
прямолинейном движении вектор перемещения
совпадает
с
соответствующим
участком

траектории и модуль перемещения r равен

пройденному пути S : r  S .
Рисунок 2
Плоское движение - движение, при котором все точки траектории лежат в одной
плоскости.
Поступательное движение твердого тела - движение, при котором любая
прямая, жестко связанная с движущимся
телом и проведенная через две произвольные
точки данного тела, остается параллельной
самой
себе
(см.
рисунок
3).
При
поступательном движении все точки тела
движутся
одинаково,
поэтому
его
поступательное движение
можно
охарактеризовать
Рисунок 3
движением
какой-то
произвольной
точки
тела
(например, движением центра масс тела).
Вращательное движение твердого тела - движение, при котором все точки тела
6
движутся по окружностям, центры которых лежат на одной
прямой, называемой осью вращения.
Различные точки твердого тела движутся по-разному,
поэтому
его
вращательное
движение
нельзя
охарактеризовать движением какой-то одной точки.
Рисунок 4
КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Скорость
Скорость - векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и
его направление в данный момент времени.
Средняя скорость - векторная величина, определяемая отношением приращения

r

 v 
t
радиус-вектора

r
точки
к
промежутку времени t , в течение
которого это приращение произошло.
Направление вектора средней скорости совпадает

с направлением r .
Рисунок 5
Мгновенная скорость - векторная величина, определяемая первой производной
радиус-вектора движущейся точки по времени.


r dr

v  lim

dt
t  0 t
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к
траектории в сторону движения (см. рисунок 5).
Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.


r

r
s ds
v  v  lim
 lim
 lim

t 0 t
t 0 t
dt
t  0 t
Проекции вектора скорости на оси координат
vx 
dy
dx
dz
; v y  ; vz 
dt
dt
dt
x, у, z — соответственно проекции радиус-вектора на
оси координат.
Рисунок 6
7
Движение в одной плоскости
  
v  v x  v y , v  v x2  v 2y ,
v x  v cos  , v y  v sin  , tg 
vy
vx
Ускорение и его составляющие
Ускорение - характеристика неравномерного движения, определяющая быстроту
изменения скорости по модулю и направлению.
Среднее ускорение – векторная величина, равная отношению изменения скорости

 v к интервалу времени  t , за которое это изменение


v
 a 
t
произошло.
Мгновенное ускорение – векторная величина, определяемая первой производной



v dv
a  lim

t 0 t
dt
скорости по времени
Составляющие ускорения
тангенциальная
a 
dv
dt
характеризует
скорости
по
быстроту
модулю
изменения
(направлена
но
касательной к траектории, см. рисунок 7).
Рисунок 7
нормальная
an 
v2
r
характеризует быстроту изменения скорости по направлению
(направлена к центру кривизны траектории, см. рисунок 7).

 dv 

a
 a  a n Полное ускорение при криволинейном движении - геометрическая
dt
сумма тангенциальной и нормальной составляющих ускорения.
a
a2  an2
модуль полного ускорения.
8
Таблица 1
Классификация движения в зависимости от тангенциальной и нормальной
составляющих ускорения
Движение
aτ
an
0
0
прямолинейное равномерное
aτ = a = const
0
прямолинейное равнопеременное
aτ = f(t)
0
прямолинейное с переменным ускорением
0
const
равномерное по окружности
0
≠0
равномерное криволинейное
const
≠0
криволинейное равнопеременное
aτ = f(t)
≠0
криволинейное с переменным ускорением
Путь, пройденный материальной точкой за промежуток времени от t1 до t 2
s   v(t )dt Для определения s надо знать функцию vt  .
t2
t1
Тогда
пройденный
путь
за
промежуток
времени от t1 до t 2 определяется заштрихованной на
рисунке площадью.
Рисунок 8
КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Элементарный угол поворота, угловая скорость

Элементарный угол поворота ( d )
Элементарные (бесконечно малые) повороты

рассматривают как векторы. Модуль вектора d
равен углу поворота, а его направление
совпадает с направлением поступательного
движения острия винта, головка которого
Рисунок 9
вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется
правилу правого винта.
9
Угловая скорость


  lim
t 0 t


Вектор  направлен вдоль оси вращения по
правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор

d (см. рисунок 10).
Рисунок 10
Векторная величина, определяемая первой производной угла поворота тела по
времени.
Связь модулей линейной и угловой скоростей
Рисунок 11
Связь векторов линейной и угловой скоростей
 
v   r 
Положение рассматриваемой точки задается радиусом
вектором r (проводится из лежащего на оси вращения

начала координат 0). Векторное произведение  r 
совпадает по направлению с
Рисунок 12



вектором v и имеет модуль, равный  r sin   R , т. е. v   r  .
Единица угловой скорости - 1 рад с .
Псевдовекторы
(аксиальные
векторы)
-
векторы,

направления
которых

связываются с направлением вращения (например, d ,  ). Эти векторы не имеют
определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки на
10
оси вращения.
Равномерное движение материальной точки по окружности
Равномерное движение по окружности - движение, при котором материальная
точка (тело) за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги
окружности.
Угловая скорость   const :  

t
(  — угол поворота).
Период вращения Т - время, за которое материальная точка совершает
один полный оборот по окружности, т. е. поворачивается на угол 2 .
Так как промежутку времени t  T соответствует   2 , то  
2
.
T
Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых материальной точкой
при равномерном ее движении по окружности, в единицу времени.
Характерная особенность равномерного движения по
окружности
Равномерное движение по окружности — частный случай
криволинейного движения. Движение по окружности со

скоростью, постоянной по модулю ( v  const ), является
ускоренным. Это обусловлено тем, что при постоянном
модуле направление скорости все
Рисунок 13
время изменяется.
Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности
a  0
Тангенциальная составляющая ускорения при равномерном движении
точки по окружности равна нулю.
составляющая
ускорения
(центростремительное
v 2 Нормальная
an 
r ускорение) направлена по радиусу к центру окружности (см. рисунок
13). В любой точке окружности вектор нормального ускорения перпендикулярен
11
вектору скорости.
Ускорение материальной точки, равномерно движущейся по окружности в любой
ее точке, центростремительное.
Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин
Угловое ускорение - векторная величина, определяемая первой производной
угловой скорости по времени.
Направление вектора углового ускорения
При вращении тела вокруг неподвижной
оси вектор углового ускорения направлен
вдоль оси вращения в сторону вектора
элементарного
приращения
угловой
скорости.
При ускоренном движении вектор



сонаправлен вектору  , при замедленном –
Рисунок 14

противонаправлен ему. Вектор  — псевдовектор.
Единица углового ускорения - 1 рад
с2
.
Связь линейных и угловых величин
( R — радиус окружности; v — линейная скорость; a — тангенциальное
ускорение; a n — нормальное ускорение;  — угловая скорость).
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1 Радиус-вектор, характеризующий положение частицы М относительно




неподвижной точки О, меняется со временем по закону r  A sin t  B cos t , A и
12
 

B — постоянные векторы, причем A  B ;  — положительная постоянная. Найти

ускорение a частицы и уравнение ее траектории у(х), взяв оси X и Y


совпадающими по направлению с векторами A и B соответственно и имеющими
начало в точке О.

Решение Продифференцировав r по времени дважды, получим




a   2 ( A sin t  B cos t )   2 r ,

т. е. вектор a все время направлен к точке О, а его
модуль пропорционален расстоянию частицы до этой
точки.

Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав r
на оси X и Y, получим
х=Asinωt, y=Bcosωt.
Рисунок 15
Исключив ωt из этих двух уравнений, найдем
x2/А2+у2/В2=1.
Это уравнение эллипса, А и В - его полуоси (рис. 15, где стрелкой показано
направление движения частицы М).
Задача 2 Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения
s = t4 +2t 2+5. Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце
второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это
время.
Решение Мгновенная скорость — это первая производная от пути по времени:
Мгновенное ускорение — это первая производная от скорости по времени:
Средняя скорость точки <v> за время Δt = t - t0 определяется по формуле
13
Так как t0 = 0, то
Путь, пройденный точкой за время t = 2 с, будет равен
Задача 3 Движение двух тел описывается уравнениями х1 = 0,75t3 + 2,25t2 + t,
х2 = 0,25t3 + 3t2 + 1,5t. Определить величину скоростей этих тел и момент
времени, когда ускорения их будут одинаковы, а также значение ускорения в этот
момент времени.
Решение Определим момент времени, когда ускорения обоих тел одинаковы. Для
этого
найдем
выражение
для
ускорения
первого
и
второго
тела,
продифференцировав по времени уравнения движения этих тел:
Согласно условию а1 = а2 в какой-то момент времени t. Приравниваем
полученные выражения для а друг к другу и решаем уравнение относительно t:
Зная t, найдем значение скоростей тел в этот момент времени:
Ускорение тел в этот момент времени будет
14
Задача 4 Камень, брошенный с высоты h=2,1м
под углом а=45° к горизонту, падает на землю
на расстоянии s=42м (по горизонтали) от места
бросания (рис. 16). Найти начальную скорость
камня, время полета и максимальную
подъема над
уровнем
земли.
высоту
Определить
также
Рисунок 16
радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на
землю.
Решение Из условия задачи известно направление вектора начальной

скорости v0 камня, который можно рассматривать как материальную
точку.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то
a g,
т. е. ускорение
постоянно, направлено по вертикали вниз и равно 9,8 м/с 2 .
Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не

равный ни 0, ни π, поэтому движение криволинейное. Поскольку a  const ,
движение плоское и для описания его достаточно двух осей координат, что
позволит сложное криволинейное движение камня рассматривать как
совокупность двух прямолинейных движений. Если ось ОХ направить по
горизонтали, а ось OY — по вертикали, то движение вдоль оси ОХ
равномерное, т. к. проекция ускорения a x  0 , а движение вдоль оси OY —
равнопеременное ( a y   g ). Для нахождения закона движения необходимо
знать, как было указано ранее, начальные условия, т. е. координаты и
скорость в начальный момент времени. Числовое значение начальной
скорости неизвестно, однако закон движения, включающий неизвестную
начальную скорость, может быть записан. Координаты точки падения
15
можно найти из условия. Подставив их в закон движения, получим систему
уравнений, содержащую в качестве неизвестных начальную скорость и
время полета.
Максимальную высоту найдем из условия, что в верхней то чке траектории
вертикальная составляющая скорости обращается в нуль.
Зная законы изменения проекций v x и v y со временем, можно найти модуль
и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения


постоянен и известен ( a  g ), следовательно, для любого момента времени

можно определить нормальное ускорение (проекцию вектора a на ось n ,
перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кр ивизны
траектории) и радиус кривизны траектории.
Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания (х 0 =у0 =0). В системе
координат XOY (см. рис. 16)
ax  0 ,
v x  const  v0 cos ,
x  v0 cos   t ;
ay  g ,
v y  v0 sin   t  gt ,
y  v0 sin   t 
(1)
gt 2
.
2
(2)
Закон движения записан, хотя значение v0
неизвестно.
При
t 
в конечной
точке
траектории x  s ; y  h . Тогда уравнения (1) и
(2) примут вид
g 2
 h  v0 sin   
.
2
s  v0 cos  ,
Рисунок 17
Данные уравнения составляют систему с двумя неизвестными v0 и  .
Решение этой системы:

2h  s tg  
 3с ;
g
v0 
16
s
 20 м / с .
 cos 
Найдем максимальную высоту подъема камня над землей:
H  h  yм
При y  y м имеем v y  0 , t  t1 . Подставив в уравнения (2) v y  0 , найдем время
подъема t1 
v0 sin 
. Тогда
g
v02 sin 2 
,
yм 
2g
v02 sin 2 
H h
 12 м .
2g


В верхней точке траектории v y  0 , поэтому v м  vx . Следовательно, a  v м . Это
значит, что an  a  g . Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус
кривизны траектории в точке М:
rм 
v м2 v02 cos 2 

 20 м .
an
g
В точке В (рис. 17) скорость
vB  v x2  v y2  v02 cos 2   (v0 sin   g ) 2  20,8 м / с .
(3)
Нормальное ускорение
an 
Здесь sin  
v B2
 g sin  .
rB
v x v0 cos 

, где  - угол между векторами ускорения и скорости.
vB
vB
Тогда радиус кривизны траектории в точке В
v B3
rB 
 67 м .
gv0 cos 
Задача 5 Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20t - 2t2.
Найти величину и направление полного ускорения точки, находящейся на
расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени t = 4 с.

Решение Точка описывает окружность радиуса r. Полное ускорение a точки,
17
движущейся по криволинейной траектории, равно геометрической сумме


векторов тангенциального a и нормального a n ускорений (рис. 18), угол между
которыми равен π/2:
Величина полного ускорения:
Тангенциальное и нормальное ускорения выражаются
формулами аτ = ε r, аn = ω2r, где ω — угловая скорость
тела, ε — угловое ускорение, r — расстояние точки от оси
Рисунок 18
вращения. Подставляя эти выражения в формулу для полного ускорения,
получим:
Угловая скорость равна первой производной от угла поворота по времени:
При t = 4 с значение
Угловое ускорение — это первая производная от угловой скорости по времени:
Тогда


Из рис. 18 видно, что sin α угла между направлением a и a n равен:
Угол
18


Угол между a и a будет равен:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1 Элементы векторной алгебры
1.1 Два одинаковых вектора длиной 4 см перпендикулярны друг другу.
Определите длину вектора суммы и его направление по отношению к
слагаемым векторам.
1.2 Даны два вектора, расположенные на одной прямой и одинаково
направленные. Докажите, что модуль вектора суммы равен сумме модулей
векторов слагаемых.
1.3 Два
вектора
расположены
на
одной
прямой
и
направлены
в
противоположные стороны. Докажите, что модуль вектора суммы будет
равен разности модулей слагаемых векторов.
1.4 В координатах х,у положение точки задано М(5,5). Определить модуль ее
радиус-вектора и угол, который он составляет с осью Ох.
1.5 Даны точки М1(2,10) и М2(5,6). Определить модуль вектора М1М2.
1.6 Компоненты одного вектора равны (1,3,5), а другого - (6,4,2). Найти угол
между векторами.
1.7 Вектор силы, величина которой 10 Н, направлен под углом 30° к оси х.
Представить его в виде суммы составляющих по осям ох и оу.
2 Прямолинейное равномерное движение
2.1 Движение велосипедиста описывается уравнением х=150 -10t. Опишите
характер
его
движения, найдите начальную координату, модуль
и
направление вектора скорости. В какой момент времени велосипедист
проедет мимо школы, координата которой х=100 м? Нарисуйте график
движения.

2.2 Точка движется с постоянной скоростью V0 под углом α к оси ох (рис. 19) В
19
начальный момент времени t=0 точка имела координаты (хо, yо). Написать
уравнение движения точки и уравнение траектории.
Рисунок 19
2.3 Поезд, вышедший в 12 ч дня из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч.
Поезд, вышедший в 2 ч дня из пункта В, движется со скоростью 40 км/ч
навстречу первому поезду. Определить место встречи, если расстояние АВ
равно 420 км.
2.4 По прямому шоссе в одном направлении движутся два мотоциклиста.
Скорость первого мотоциклиста 10 м/с. Второй догоняет его со скоростью
20 м/с. Расстояние между мотоциклистами в начальный момент времени
равно 200 м. Написать уравнение движений мотоциклистов в системе
отсчета, связанной с землей, приняв за начало координат место нахождения
второго мотоциклиста в начальный момент времени и выбрав за
положительное направление оси ох направление движения мотоциклистов.
Построить на одном чертеже графики движения обоих мотоциклистов время
и место встречи мотоциклистов.
2.5 Автобус и мотоциклист движутся навстречу друг другу со скоростями,
соответственно равными 10 и 20 м/с. Расстояние между ними в момент
начала наблюдения равно 600 м. Считая, что ось ох направлена в сторону
движения автобуса и при t=0 положение автобуса совпадает с началом
отсчета написать для автобуса и мотоциклиста уравнение x=x(t). Найти:
20
1) время и место встречи автобуса и мотоциклиста; 2) расстояние между
ними через 10 с; 3) положение мотоциклиста в тот момент времени, когда
автобус проходит точку с координатой 250 м; 4) в какие моменты времени
расстояние между автобусом и мотоциклистом было 300 м.
2.6 Найти время и место встречи тел, графики движения которых приведены на
рис.20.
Рисунок 20



2.7 Радиус-вектор частиц задан уравнением: r (t )  4(1  t )i  (2  3t ) j . Определить
модуль и направление скорости, перемещение и его модуль за 10 с, путь за
10 с, построить траекторию частицы на плоскости хОу.



2.8 Скорость частицы задана уравнением: v (t )  3i  4 j . Определить модуль
скорости, перемещение и его модуль за 5 с, путь за 5 с.
2.9 Радиолокатор ГИБДД засек координаты машины x1=60 м и у1=100 м. Через
2 с координаты машины изменились x2=100 м и у2=80 м. Превысил ли
водитель автомашины допустимую скорость 60 км/ч?
2.10 Первую половину времени своего движения автомобиль двигался со
скоростью 80 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 40 км/ч.
Какова средняя скорость движения автомобиля?
2.11 Автомобиль двигался из А в В со скоростью 40 км/ч, а из В в А со скоростью
120 км/ч. Какова средняя скорость рейса?
21
2.12 Автомобиль проехал половину пути со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть
пути он половину времени двигался со скоростью 15 км/ч, а последний
участок - со скоростью 45 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем
пути.
3 Неравномерное движение
3.1 По графику зависимости координаты тела от времени (рис. 21) построить
графики зависимостей ускорения, скорости и пути, пройденного телом, от
времени. Начальная скорость равна нулю.
Рисунок 21
3.2 График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рис.
22. Начертить графики зависимости ускорения и координаты тела, а также
пройденного им пути от времени.
Рисунок 22
22
3.3 График зависимости ускорения тела от времени имеет форму, изображенную
на рис. 23. Начертить графики зависимости скорости, смещения и пути,
пройденного телом, от времени. Начальная скорость тела равна нулю (на
участке разрыва ускорение равно нулю).
Рисунок 23

3.4 Тело начинает двигаться из точки А со скоростью v0 и через некоторое время
попадает в точку В (рис. 24). Какой путь прошло тело, если оно двигалось
равноускоренно с ускорением, численно равным а? Расстояние между
точками А и В равно l. Найти среднюю скорость тела.
Рисунок 24
3.5 На рис. 25 даны графики скоростей для двух точек, движущихся по одной
прямой от одного и того же начального положения. Известны моменты
времени t1 и t2. В какой момент времени t3 точки встретятся? Построить
графики движения.
23
Рисунок 25
3.6 Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид
х1=А1+В1t+С1t2 и х2=А2+B2t+C2t2, где B1=B2, С1=-2 м/с2, С2=1 м/с2. Определите:
1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2)
ускорения a1 и а2 для этого момента.
Ответ 1) t=0; 2) a 1=-4 м/с2 , a 2 =2 м/с2.
3.7 Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r=4м,
задается уравнением аn=А+Bt+Ct2 (А=1 м/с2, B=6 м/с3, С=9 м/с4). Определите:
1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с
после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с.
Ответ 1) аτ=6 м/с2; 2) s1=85 м; 3) а2=17,1 м/с2.
3.8 Движение материальной точки в плоскости ху описывается законом х=At,
у=At(1+Bt), где А и В — положительные постоянные. Определите:

1) уравнение траектории материальной точки y(x); 2) радиус-вектор r точки в
зависимости от времени; 3) скорость v точки в зависимости от времени; 4)
ускорение а точки в зависимости от времени.



Bx 2
; 2) r  Ati  At (1  Bt ) j ; 3) v  A 1  (1  2 Bt ) 2 ;4) a  2 AB  const .
A





 

3.9 Начальная скорость частицы v1  i  3 j  5k (м/с), конечная - v2  2i  4 j  6k (м/с).
Ответ 1) y  x 
24


Найти : 1) приращение скорости v , 2) модуль приращения скорости v , 3)
приращение модуля скорости v .




3.10 Радиус-вектор частицы определяется выражением: r  3t 2 i  4t 2 j  7k
(м).
Вычислить: 1) путь, пройденный частицей за первые 10 с движения,
2) модуль перемещения за то же время.




3.11 Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: r  3t 2 i  2tj  k (м).
Найти: а) скорость и ускорение частицы, б) модуль скорости в момент
времени t = 1 c.




3.12 Частица движется со скоростью v1  i  2tj  3t 2 k (м/с). Найти: а) перемещение
частицы за первые 2 с ее движения; б) модуль скорости в момент времени 2 с.
3.13 Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем



по закону r  ti   t 2 j , где α и β - постоянные. Найти: 1) уравнение
траектории точки у =у(х); изобразить ее график; 2) зависимость от времени
скорости точки, ускорения и модулей этих величин, 3) зависимость от
времени угла между векторами ускорения и скорости
3.14 Точка движется в плоскости ху по закону х = αt, у = αt(1-βt), где α и βположительные постоянные. Найти: 1) уравнение траектории точки у(х);
изобразить ее график; 2) скорость и ускорение точки в зависимости от
времени; 3) момент времени, когда угол между скоростью и ускорением
равен π/4.
3.15 Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам
vx=a cos ωt, vy =a sin ωt, vz=0, где а и ω -константы. Найти модули скорости и
ускорения, а также угол между векторами скорости и ускорения.
3.16 Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид x=a cos ωt,
y=a sin ωt. 1) Определить радиус-вектор частицы, скорость, ускорение, а
также их модули. 2) Вычислить скалярное произведение радиус-вектора и
вектора скорости. 3) Вычислить скалярное произведение радиус-вектора и
25
вектора ускорения. 4) Найти уравнение траектории, изобразить ее график и
указать направление движения частицы по траектории.
3.17 Уравнения движения по шоссе велосипедиста, пешехода и бензовоза имеют
вид: x1= -0,4t2; x2=400 - 0,6t и x3= -300. Найти для каждого из тел: координату
в момент начала наблюдения, проекции на ось х начальной скорости и
ускорения, а также направление и вид движения.
4 Движение под действием силы тяжести в вертикальном направлении
4.1 Человек, стоящий на краю высохшего колодца, бросает вертикально вверх
камень, сообщая ему скорость 10 м/с. Через какой промежуток времени
камень упадет на дно колодца? Глубина колодца 15 м. Найти путь за 3 с.
Определить скорость в 3-ю секунду. Построить графики зависимости y(t),
S(t), V(t), a(t).
4.2 Камень бросают с башни, сообщая ему начальную скорость, направленную
вниз. 1) Какой она должна быть, чтобы камень за время 2 с опустился на
30 м? 2) Какой должна быть эта скорость, чтобы камень за 2 с опустился на
10 м?
4.3 Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0=5м/с. В
тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из
точки, соответствующей максимальной верхней точке полета hmax первого тела,
брошено второе тело. Определите: 1) в какой момент времени t тела
встретятся; 2) на какой высоте h от поверхности Земли произойдет эта
встреча; 3) скорость v1, первого тела в момент встречи; 4) скорость v2 второго
тела в момент встречи.
Ответ 1) t=127 мс; 2) h=56 см; 3) v1=3,75 м/с; 4) v2=6,25 м/с.
4.4 Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего
пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.
4.5 Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Найти
26
высоту падения.
5 Движение тела, брошенного под углом к горизонту
5.1 С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросили вверх мяч под утлом 30°
к горизонту со скоростью 10 м/с. Направив ось ох вдоль поверхности земли
вправо, а ось оу вверх, написать уравнение зависимости координат от
времени x=x(t) и y=y(t) и уравнение траектории у=у(х). Найти: 1) координаты
мяча через 2 с; 2) через какой промежуток времени мяч упадет на землю;
3) горизонтальную дальность полета.
5.2 Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота
подъема h=s/4 (s — дальность полета). Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определите угол броска к горизонту.
Ответ α=45°.
5.3 Тело брошено со скоростью v0=20 м/с под углом α=30° к горизонту.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени t=1,5 с
после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.
Ответ 1) аn=9,47 м/с2; 2) аτ=2,58 м/с2.
5.4 Тело брошено горизонтально со скоростью v0=15 м/с. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите радиус кривизны траектории тела через
t=2 с после начала движения.
Ответ R=102 м.
5.5 Тело брошено под углом α к горизонту со скоростью Vo. Определить
скорость этого тела на высоте h над горизонтом. Зависит ли эта скорость от
угла бросания? Сопротивлением воздуха пренебречь.
5.6 Доказать, что при отсутствии сопротивления
воздуха максимальная
дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, будет при угле
бросания 45°.
5.7 Небольшое тело брошено из точки О под углом α к горизонту с начальной
27
скоростью Vo (рис. 26). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
1) время полета τ; 2) дальность полета 1; 3) наибольшую высоту подъема тела
h; 4) уравнение траектории тела; 5) значения

dV
dt
и

dV
dt
в вершине
траектории; 5) радиус кривизны R траектории в точках О и О”.
Рисунок 26
5.8 На высоте 5000 м летит прямолинейно самолет с постоянной скоростью
100 м/с. В момент, когда он находится над зенитной батареей, производится
выстрел (рис. 27). Начальная скорость снаряда 500 м/с. Найти: 1) под каким
углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд и самолет
достигли одновременно точки пересечения их траекторий; 2) на какую
продолжительность полета нужно установить взрыватель, чтобы снаряд
разорвался в точке встречи с целью; 3) на какое расстояние по горизонтали
отстоит от батареи точка встречи.
Рисунок 27
28
6 Относительность движения
Закон сложения скоростей Галилея
6.1 Какова траектория движения точки обода велосипедного колеса при
равномерном и прямолинейном движении велосипедиста в системах отсчета,
жестко связанных; 1) с вращающимся колесом; 2) с рамой велосипеда; 3) с
землей?
6.2 Может ли человек, находясь на движущемся эскалаторе метро, быть в покое в
системе отсчета, связанной с землей?
6.3 Скорость штормового ветра равна 30 м/с, а скорость автомобиля «Жигули»
достигает 150 км/ч. Может ли автомобиль двигаться так, чтобы быть в покое
относительно воздуха?
6.4 Скорость велосипедиста 36 км/ч, а скорость ветра 4 м/с. Какова скорость
ветра в системе отсчета, связанной с велосипедистом; при 1) встречном
ветре; 2) попутном ветре?
6.5 Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найти время, за которое
пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в
направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета,
связанной с эскалатором.
6.6 Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч.
Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд
проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда?
6.7 Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в
течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин.
Сколько
времени
будет
подниматься
идущий
вверх
пассажир
по
движущемуся эскалатору?
6.8 Легковой автомобиль движется со скоростью 20 м/с за грузовым, скорость
которого 16,5 м/с. В момент начала обгона водитель легкового автомобиля
29
увидел встречный междугородный автобус, движущийся со скоростью 25 м/с.
При каком наименьшем расстоянии до автобуса можно начинать обгон, если
в начале обгона легковая машина была в 15 м от грузовой, а к концу обгона
она должна быть впереди грузовой на 20 м?
6.9 Рыболов, двигаясь на лодке против течения реки, уронил удочку. Через 1 мин
он заметил потерю и сразу же повернул обратно. Через сколько времени
после потери он догонит удочку? Скорость течения реки и скорость лодки
относительно воды постоянны. На каком расстоянии от места потери он
догонит удочку, если скорость течения воды равна 2 м/с?
6.10 Вертолет летел на север со скоростью 20 м/с. С какой скоростью и под каким
углом к меридиану будет лететь вертолет, если подует западный ветер со
скоростью 10 м/с?
6.11 Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со
скоростью 4 м/с в системе отсчета, связанной с водой. На сколько метров
будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения
1 м/с?
6.12 Найти скорость относительно берега реки: 1) лодки, идущей по течению;
2) лодки, идущей против течения; 3) лодки, идущей под углом 90° к течению.
Скорость течения реки 1 м/с, скорость лодки относительно воды - 2 м/с.
6.13 Самолет летит относительно воздуха со скоростью 800 км/ч. Ветер дует с
запада на восток со скоростью 15 м/с. С какой скоростью самолет будет
двигаться относительно земли и под каким углом α к меридиану надо
держать курс, чтобы перемещение было: 1) на юг; 2) на север; 3) на запад;
4) на восток?
6.14 Самолет летит от пункта А до пункта В, расположенного на расстоянии
300 км к востоку. Найти
продолжительность полета, если: 1) ветра нет;
2) ветер дует с юга на север; 3) ветер дует с запада на восток. Скорость ветра
30
20 м/с, скорость самолета относительно воздуха 600 км/ч.
6.15 Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью 7,2 км/ч. Течение
относит ее на расстояние 150 м вниз по реке. Найти скорость и течения реки
и время, затраченное на переправу через реку. Ширина реки 500 м.
7 Кинематика вращательного движения
7.1 Найти угловую скорость: 1) суточного вращения Земли; 2) часовой стрелки
на часах; 3) минутной стрелки ни часах; 4) искусственного спутника Земли,
движущегося по круговой орбите с периодом вращения 88 мин. Какова
линейная скорость движения этого искусственного спутника, если известно,
что его орбита расположена на расстоянии 200 км от поверхности Земли?
7.2 Найти линейную скорость точек земной поверхности на широте Ленинграда
(φ = 60°).
7.3 С какой линейной скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока
на запад, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижным?
7.4 Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга,
вращается с частотой 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба
диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно
отверстия в первом диске на угол 120. Найти скорость пули.
7.5 Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость
точки, лежащей на ободе, в 2,5 paзa больше линейной скорости точки,
лежащей на расстоянии 5 см ближе к оси колеса.
7.6 Колесо, вращаясь равноускоренно, через 60 с после начала вращения
приобретает частоту 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число
оборотов колеса за это время.
7.7 Колесо, вращаясь равнозамедленно, за 60 с уменьшило свою частоту
300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение а колеса и число
оборотов колеса за это время.
31
7.8 Точка
движется
по
окружности
радиусом
20
см
с
постоянным
тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через какое время после начала
движения нормальное ускорение точки будет: 1) равно тангенциальному;
2) вдвое больше тангенциального?
7.9 Точка
движется
по
окружности
радиусом
10
см
с
постоянным
тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки, если
известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная
скорость точки 79,2 см/с.
7.10 Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что
зависимость
угла
поворота
диска
от
времени
задается
уравнением
φ=А+Bt+Ct2+Dt3 (В=1 рад/с, С=1 рад/с2, D=1 рад/с3). Определите для точек
на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1)
тангенциальное ускорение аτ; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение
а.
Ответ 1) аτ=1,4 м/с2; 2) аn=28,9 м/с2; 3) a=28,9 м/с2.
7.11 Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота
радиуса диска от времени задается уравнением φ=Аt2 (А=0,1рад/с2).
Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй
секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот
момент равна 0,4 м/с.
Ответ a=0,256 м/с2.
32
ПРИЛОЖЕНИЕ
Формулы алгебры и тригонометрии
Корни квадратного равнения a x 2  b x  c  0 :
x1, 2
 b  b 2  4a c
.

2a
Некоторые приближенные формулы.
Если   1 , то
1   n  1  n ;
sin    ;
e  1   ;
cos  1   2 2 ;
ln 1      ;
tg   .
Основные тригонометрические формулы:
2tg
;
1  tg 2
sin 2   cos 2   1 ;
tg 2 
sin   1 1  ctg 2 ;
   1  cos 
sin 2   
;
2
2
cos   1 1  tg 2 ;
   1  cos 
cos 2   
;
2
2
sin 2  2sin  cos ;
sin      sin  cos  cos sin  ;
cos 2  cos 2   sin 2  ;
cos     cos cos  sin  sin  .
Некоторые сведения о векторах
Скалярное произведение векторов:
 
a b  b a  ab cos  ;
     
a b  c  ab  a c .


Векторное произведение векторов:
ab   b a ;
ab  a b sin  ;
a, b  c   ab  ac .
33
Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех векторов является
скаляром и численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах:
 
 
 
 
       
a b c  b c a   c a b ;
 
 
 
a b c  b  a c   a c b .
Двойное векторное произведение:
abc   bac   cab  .
Произведение векторов в координатном представлении.




a  a1e1  a2 e2  a3e3 ,




b  b1e1  b2 e2  b3e3 ,
Если
  
где e1 , e2 , e3 - координатные орты (взаимно перпендикулярные и образующие
правую тройку), то

ab  a1b1  a2b2  a3b3 ;

e1


a b  a1
b1
 

e2
a2
b2

e3



a3  a2b3  a3b2  e1  a3b1  a1b3  e2  a1b2  a2b1  e3 .
b3
Правила дифференцирования векторов, зависящих от некоторой скалярной
переменной t :


d   da db
a b 

;
dt
dt dt



d   da   db
ab 
b a
;
dt
dt
dt

 


d    da     db 
a b   b   a  .
dt
 dt   dt 

 d 
d
da
 a   a   ;
dt
dt
dt
 
Градиент скалярной функции  :
 
     
i
j
k,
x
y
z
  
где i , j , k - координатные орты осей x, y, z .
34
Таблица 2
Таблица производных и интегралов
Функция
Производная
Функция
Производная
1x
1 x 2
sin x
cos x
x
1 2 x
 
cos x
 sin x
xn
x n 1
tg x
1 cos 2 x
enx
ne n x
ctg x
 1 cos 2 x
ax
a x ln a
arcsin x
1 1 x2
ln x
1x
arccos x
1 1  x 2
u x 
v x 
vu x  vx u
v2
arctg x
arcctg x
Таблица 3
Физические постоянные
Скорость света в вакууме
c  2,998 108 м с
Гравитационная постоянная
  6,67 10 11 м3 кг  с 2 
Ускорение свободного падения
g  9,807 м с 2
Постоянная Авогадро
N A  6,022 10 23 моль 1
Элементарный заряд
e  1,602 10 19 Кл
Масса покоя электрона
0,91110 30 кг
me  
0,511МэВ
Масса покоя протона
m p  1,673 10 27 кг
Атомная единица массы
1,660 10 27 кг
1а.е.м.  
931,4МэВ
35
 
 1 1  x 
1 1 x2
2
Таблица 4
Астрономические величины
Космическое тело
Масса, кг
Средний радиус, м
Средний радиус
орбиты, м
Солнце
1,99 1030
6,96 108
-
Земля
5,98 10 24
6,37 10 6
1,50 1011
Луна
7,35 10 22
1,74 106
3,84 108
Таблица 5
Десятичные приставки к названиям единиц
Т-
тера (1012 )
с-
санти (10 2 )
Г-
гига (109 )
м-
милли (10 3 )
М-
мега (10 6 )
мк -
микро (10 6 )
к-
кило (10 3 )
н-
нано (10 9 )
г-
гекто (10 2 )
п-
пико (10 12 )
да -
дека (101 )
ф-
фемто (10 15 )
д-
деци (10 1 )
а-
атто (10 18 )
Рекомендуемая литература
1 Н.И. Гольдфарб. Физика. Задачник. 9-11 классы. М.: Дрофа, 2005.
2 И.Е. Иродов. Механика. Основные законы. М. – С.-Пб.: Физматлит, 2002.
3 И.В. Савельев. Курс общей физики. Механика. М.: Астрель – АСТ, 2001.
4 Т.И. Трофимова. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002.
5 Т.И. Трофимова. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая
школа, 2001.
6 Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. Сборник задач по курсу физики с решениями:
учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
36
7 В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2000.
8 И.В. Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Наука, 1988.
9 Е.И. Бабаджан и др. Сборник качественных вопросов и задач по общей
физике. М.: Наука, 1990.
10 А.П. Рымкевич. Физика. Задачник. 10-11 классы. М.: Дрофа, 2002.
37
38