Поворот и отражение вектора

ПОВОРОТ ВЕКТОРА, ОТРАЖЕНИЕ ВЕКТОРА
⃗ . Чтобы получить из него
Как сделать вектор единичным. Пусть задан вектор 𝑉
⃗ на его
вектор единичной длины 𝜐, имеющий то же самое направление, нужно поделить 𝑉
длину
𝜐=
⃗
𝑉
.
⃗|
|𝑉
⃗ задан своими координатами 𝑉
⃗ = (𝑎, 𝑏).
Поворот вектора на 90°. Пусть вектор 𝑉
⃗ ′, повернутого на 90°, нужно поворачивать вектор 𝑉
⃗
Чтобы найти координаты вектора 𝑉
вместе с содержащей его коробкой.
𝑏
⃗
𝑉
⃗′
𝑉
𝑎
𝑎
−𝑏
⃗ ′ = (−𝑏, 𝑎), то есть поворот на 90° против часовой стрелки
Из рисунка видно, что 𝑉
осуществляется преобразованием координат
𝑎
−𝑏
( )→( )
𝑏
𝑎
То же самое преобразование можно осуществить с помощью матрицы (0 −1)
1
0
0 −1 𝑎
−𝑏
)( ) = ( )
𝑏
1 0
𝑎
(
⃗ задан своими
Поворот вектора на произвольный угол. Пусть вектор 𝑉
⃗ = (𝑎, 𝑏), повернем его на угол 𝛼. Сначала запишем 𝑉
⃗ в виде
координатами 𝑉
⃗V = 𝑎 (1) + 𝑏 (0).
0
1
При повороте на угол 𝛼 вектор (1) по определению косинуса и синуса переходит в вектор
0
(
cos 𝛼
− sin 𝛼
), а перпендикулярный ему вектор (0) в повернутый на 90°, то есть в (
).
sin 𝛼
1
cos 𝛼
⃗′
Таким образом, после поворота мы получаем повернутый вектор 𝑉
⃗V′ = 𝑎 (cos 𝛼 ) + 𝑏 (− sin 𝛼),
sin 𝛼
cos 𝛼
имеющий координаты
⃗V ′ = (𝑎 cos 𝛼 − 𝑏 sin 𝛼 ).
𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼
Это же преобразование можно осуществить с помощью матрицы 𝑅𝛼 = (cos 𝛼 − sin 𝛼)
sin 𝛼 cos 𝛼
cos 𝛼 − sin 𝛼) (𝑎) → (𝑎 cos 𝛼 − 𝑏 sin 𝛼)
(
sin 𝛼 cos 𝛼 𝑏
𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼
Матрица 𝑅𝛼 называется матрицей поворота. При 𝛼 = 90° получаем известную нам
матрицу поворота на 90°
𝑅90° = (
0 −1
).
1 0
Отражение вектора. Пусть частица абсолютно упруго соударяется с кривой. Тогда,
как при отражении светового луча, угол падения равен углу отражения. При этом
величина скорости частицы не меняется
⃗ ′ | = |V
⃗ |.
|V
⃗ и 𝑉
⃗ ′ порождают ромб. Поскольку угол падения равен углу
Из-за этого векторы 𝑉
отражения, единичный нормальный вектор 𝑛⃗ делит угол ромба пополам. Диагональ
ромба, проходящая через точку отражения, тоже делит этот угол пополам, поэтому она
направлена вдоль нормали.
𝑛⃗
⃗′
𝑉
⃗
𝑉
⃗ ′ получается из вектора 𝑉
⃗ вычитанием
На рисунке видно, что отраженный вектор 𝑉
⃗ на единичный вектор нормали 𝑛⃗ (на рисунке эта проекция
удвоенной проекции вектора 𝑉
⃗ ⋅ 𝑛⃗)𝑛⃗, поэтому
обозначена зеленой стрелкой). Эта проекция вычисляется по формуле (𝑉
⃗′=𝑉
⃗ − 2(𝑉
⃗ ⋅ 𝑛⃗)𝑛⃗
𝑉
Этот закон отражения в векторной форме можно применять и при абсолютно
упругом соударением частиц с отражающей поверхностью и при отражении световых
лучей от зеркальной поверхности. Он работает и на плоскости при отражении от кривой и
в пространстве при отражении от поверхности. Стоит сказать, что выбор единичного
вектора нормали 𝑛⃗ неоднозначен. В каждой точке кривой или поверхности существует
два таких противоположных вектора. Формула отражения одинаково хорошо работает
при выборе любого из них.