учитель математики Гайдук Я.С. 01.10.2015

Гайдук Янина Сергеевна
учитель математики МБОУ гимназии №36 г. Краснодара
+7(988)248-22-88, y.gaiduk@yandex.ru
Задачи C2.
Координатный метод.
Решение многих стереометрических задач координатным методом намного
легче их решения аналитическим способом. Кроме того, можно обойтись без
дополнительных построений, которые необходимы при иных методах
решения.
Рассмотрим, как с помощью координатного метода эффективно решать
задачи типа C2, предлагаемые в ЕГЭ.
Введём некоторые определения:
1) x1x2+ y1y2 + z1z2 =𝑛⃗ ∙ 𝑚
⃗⃗ - скалярное произведение векторов
𝑛⃗ (x1, y1, z1) и 𝑚
⃗⃗ (x2, y2, z2);
2) Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0;
3) Вектор нормали – это вектор, перпендикулярный данной плоскости;
4) Угол между плоскостями α и β, заданными уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0
и A2x+B2y+C2z+D2=0, можно найти как угол между их векторами нормалей
𝑛⃗(A1, B1, C1)и 𝑚
⃗⃗ (A2, B2, C2):
cos Ð(α, β) = |cosÐ(𝑛⃗, 𝑚
⃗⃗ )| = |
𝐴1 𝐴2 +𝐵1 𝐵2 +𝐶1 𝐶2
√𝐴21 +𝐵12 +𝐶12 ∙√𝐴22 +𝐵22 +𝐶22
|.
Задача №1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра AB=3,
AD=AA1=4. Найдите угол между B!D1 и плоскостью AD1C1.
Решение:
Введём систему координат как показано на рисунке:
1) Запишем уравнение плоскости (AD1C1): ax+by+cz+d=0:
A (3; 4; 0)
D1 (3; 0; 4)
C1 (0; 0; 3)
3𝑎 + 4𝑏 + 𝑑 = 0
{ 3𝑎 + 4с + 𝑑 = 0
4с + 𝑑 = 0
Из первого уравнения системы вычтем второе и из второго вычтем третье,
получим систему:
4𝑏 − 4𝑐 = 0
{ 3𝑎 = 0
𝑑 = −4𝑐
𝑏=𝑐
{ 𝑎=0
𝑑 = −4𝑐
Подставим полученные коэффициенты в уравнение плоскости:
by+bz-4b=0 разделим на b:
y+z-4=0
Т.о. 𝑛⃗{0; 1; 1}.
2) B1(0;4;4), D1(3; 0; 4)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B1 D1 {3; −4; 0}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
cos Ð ((AD1 C1 ); B
⃗ ,B
1 D1 ) = |cosÐ(𝑛
1 D1 )|= |
2√2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ð ((AD1 C1 ); B
1 D1 )=arccos 5 .
0∙3+1∙(−4)+1∙0
√02 +12 +12 ∙√32 +(−4)2 +02
4
|=5 2=
√
2√2
.
5
2√2
.
5
Ответ: arccos
Задача №2:В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны
основания равны 2, а боковые рёбра равны 5. На ребре DD1 отмечена точка F так,
что DF:FD1=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и AFC1.
Решение:
Введём систему координат как показано на рисунке:
Примем за вектор нормали плоскости ABC: 𝑛⃗{0; 1; 1}.
C1 (0; 0; 5)
E (0; 2; 3)
F (2; 0; 2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 F{2; 0; −3}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 E{0; 2; −2}
Найдём вектор нормали 𝑚
⃗⃗ плоскости AFC1:
Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой,
лежащей в этой плоскости. Тогда,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 E ⊥ 𝑚
⃗⃗ , значит ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 E ∙ 𝑚
⃗⃗ =0 и
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 F ⊥ 𝑚
⃗⃗ , значит ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C1 F ∙ 𝑚
⃗⃗ =0.
Получим систему:
0𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0
{
2𝑥 + 0𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑦 − 2𝑧 = 0
{
2𝑥 − 3𝑧 = 0
{
𝑦−𝑧 =0
2𝑥 − 3𝑧 = 0
3
𝑥
=
𝑧
∙
{
2
𝑦=𝑧
Эта система имеет бесконечное множество решений, т.к. векторов,
перпендикулярных плоскости AFC1 бесконечно много. Выберем из данного
множества ненулевой вектор 𝑚
⃗⃗ , положив z=2, тогда x=3, y=2.
Вектор нормали плоскости AFC1:𝑚
⃗⃗ {3; 2; 2}.
Ð ((ABC), (AFC1))=Ð(𝑛⃗; 𝑚
⃗⃗ )=α
cos α =
3∙0+2∙0+1∙2
√32 +22 +22 ∙√02 +02 +12
α = arccos
=
2
√17
=
2√17
.
17
2√17
.
17
Ответ: arccos
2√17
.
17
Задача №3: В правильной треугольной призме ABCA1B1C1сторонаоснования
равна 2, высота равна 4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Найдите
косинус угла между прямыми A1M и B1C.
Решение:
Введём систему координат как показано на рисунке:
Точка A – начало координат.
Ось Ox|| BC, ось Oy⊥BC, т.е. на оси Oy будет лежать отрезок AM, являющийся
высотой треугольника ABC (и биссектрисой).
Найдём координаты точек A1, M, B1, C:
A1 (0; 0; 4)
𝐴𝑀
Δ ABC: ÐB = 600, sin ÐB= ,
𝐴𝐵
√3
2
=
𝐴𝑀
2
, следовательно, AM=√3.
M (0; √3; 0),
C (-1; √3; 0),
B1 (1;√3;4).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Итак, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
A1 M{0; √3; −4},B
1 C{−2; 0; −4}.
cos α =
Ответ:
0∙(−2)+√3∙0−4∙(−4)
√02 +√32 +(−4)2 ∙√(−2)2 +02 +(−4)2
=
16
√19∙√20
=
8
√95
=
8√95
.
95
8√95
.
95
Задачи для самостоятельного решения:
Задача №1: В прямоугольном параллелепипеде MNPQM1N1P1Q1рёбра MN=15,
MQ=MM1=8. Найдите угол между QP1 и плоскостью QPN1.
Задача №2:В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1стороны
основания равны 5, а боковые рёбра равны9. На ребре BB 1 отмечена точка K так,
что B1K:KB=1:2. Найдите угол между плоскостями ABC и AKC1.
Задача №3:В правильной треугольной призме ABCA1B1C1сторонаоснования равна
4, высота равна 4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM, на ребре BB 1
выбрана точка K так, что BK:KB1=1:3. Найдите косинус угла между плоскостями
AKM и ABA1.
Литература:
1. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и
профильный уровни / Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.:
Просвещение, 2009. – 256 с.
2. ЕГЭ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 10 вариантов/ под
ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2012. – 112 с.
– (ЕГЭ-2012. ФИПИ – школе).
3. Смирнов В. А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия /
Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011. —64 с.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: типы задач и методы их
решения.