Загрузить - ВоГТУ - ЭЭФ - Кафедра физики

Федеральное агентство по образованию
Вологодский государственный технический университет
Кафедра физики
ФИЗИКА
Сборник задач для практических занятий по физике
Факультеты: технические
Вологда
2005
2
УДК 53 (07.072)
Сборник задач для практических занятий по физике – Вологда: ВоГТУ, 2005 – 43
с.
В сборнике приведены указания к самостоятельной работе студентов при
подготовке к практическим занятиям по соответствующей теме курса общей
физики, вопросы для экспресс – контроля и список задач для решения под
руководством преподавателя на практических занятиях.
Сборник задач предназначен для студентов дневного отделения,
изучающих физику в течении трех семестров.
Утверждено редакционно издательским советом ВоГТУ.
Составитель: Л.В.Белан-Гайко, кандид. физ.-мат.наук, доцент кафедры физики
ВоГТУ
Рецензент: А.Г.Дрижук, канд.физ.-мат.наук, проректор по учебной работе
многопрофильного лицея
3
Введение
Решение задач представляет собой способ изучения закономерностей
явлений природы. Поэтому умение решать задачи – один из критериев оценки
усвоения программы, который позволяет судить о способности студента
анализировать физические процессы и явления, определять границы
применимости физических законов. При решении задач по физике у студентов
развиваются способности применять общие теоретические закономерности к
конкретным случаям.
Данные методические указания содержат, как правило, типовые задачи по
всем разделам курса. Задачи подобраны в соответствии с содержанием «Рабочей
программы по физике», утвержденной на кафедре физики ВоГТУ. Они
составляют основу для практических занятий по курсу общей физики для
студентов дневного отделения. Сформулирована цель, представлены указания для
самостоятельной работы для каждого занятия и дан перечень вопросов, которые
будут использованы для проверки знаний лекционного материала при экспресс –
контроле.
Задачи, отмеченные *, должны быть решены студентом обязательно в
случае пропуска по уважительной причине соответствующего практического
занятия и представлены преподавателю для проверки. Задачи для домашнего
задания дает преподаватель.
Напоминаем общую схему решения задачи: краткая запись условия;
графический материал, необходимый для решения; как правило, решение в общем
виде; проверка размерности; получение численного ответа и оценка его
правдоподобности.
Кинематика поступательного и вращательного движений
Цель – научиться применять основные методы решения прямой и обратной
задачи кинематики.
Указания к самостоятельной работе.
Для подготовки к решению задач следует усвоить понятия и определения
кинематики поступательного и вращательного движения [1, §1 – 5; 2, §1.1 – 1.3].
Выделяют прямые и обратные задачи кинематики. Прямой называют задачу
нахождения параметров движения по известному закону движения, а обратной –
определение закона движения по известным параметрам. При решении прямой
задачи кинематики необходимо использовать кинематические уравнения с учетом
различных способов задания движения.
При решении задач о вращательном движении тел важно усвоить аналогии в
описании поступательного и вращательного движений материальной точки.
4
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Дайте определение пути, траектории, перемещения.
2. Какие величины характеризуют механическое состояние материальной очки?
3. Запишите закон движения при координатном способе задания движения.
4. Запишите закон движения при векторном способе задания движения.
5. Представьте определение скорости при векторном способе задания движения.
6. Представьте выражение для скорости в скалярной форме.
7. Дайте определение ускорения при векторном способе задания движения.
8. Как связаны между собой линейная и угловая скорости?
9. Как связаны тангенциальное и угловое ускорения?
10. Как связаны нормальное ускорение и угловая скорость?
11. Чему равна размерность величины, равной отношению квадрата угловой
скорости к угловому ускорению?
1.
(*)Движение материальной точки задано уравнением x  At  Bt 2 , где A  4 м с ,
B  0,05 м
2.
3.
4.
5.
с2
. Определить момент времени, в который скорость  точки равна
нулю. Найти координату и скорость точки в этот момент времени.
(*)Радиус – вектор частицы меняется с течением времени t по закону
r  в  t 1  t  , где в - постоянный вектор,  - положительная постоянная.
Найти:
1) Скорость  и ускорение a частицы в зависимости от времени;
2) Промежуток времени t , по истечении которого частица вернется в
исходную точку, а также путь S , который она пройдет при этом.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением a , модуль которого
зависит от скорости  по закону a  в  , где в - положительная постоянная.
В начальный момент времени скорость точки равна  0 . Какой путь она
пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Точка движется в плоскости xy с постоянным ускорением a , направление
которого противоположно положительному направлению оси y . Уравнение
траектории частицы имеет вид y  вx  cx 2 , где c и в - положительные
постоянные. Найти скорость частицы в начале координат.
(*)Тело бросили с поверхности Земли под углом  к горизонту с начальной
скоростью  0 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
1) время движения;
2) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета;
при каком значении угла  они будут равны друг другу;
3) уравнение траектории yx  ;
4) радиусы кривизны начала и вершины траектории;
5) нормальное a n и тангенциальное a ускорения тела в начальный
момент времени и в точке наивысшего подъема тела.
5
3
Указание: радиус кривизны траектории определяется R 
6.
  dy  2  2
1    
  dx  
d2y
dx 2
(*)Диск радиусом r  20см вращается согласно уравнению y  A  Bt  ct 3 , где
A  3 рад; B  1
рад
рад
; c  0,1 3 . Определить тангенциальное
c
с
a , нормальное
a n и полное ускорение точек на окружности диска для момента времени
t  10c .
7.
(*)Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым
ускорением   At , где A  2,0  10 2 рад 3 . Через сколько времени после начала
с
8.
9.
вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет
составлять угол   60 0 с ее вектором скорости?
(*)Велосипедное колесо вращается с частотой   5c 1 . Под действием сил
трения оно остановилось через интервал времени t  1мин. . Определить
угловое ускорение  и число N оборотов, которое сделает колесо за время
торможения.
Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым
ускорением    , где  - его угловая скорость. Найти среднюю угловую
скорость тела за время его вращения, если в начальный момент времени его
угловая скорость была равна  0 .
Динамика прямолинейного движения. Закон сохранения импульса.
Динамика материальной точки, движущейся по окружности.
Цель – усвоить методы и научиться решать задачи динамики материальной
точки, поступательного движения; закона сохранения импульса.
Указания к организации самостоятельной работы.
Для достижения цели занятия следует изучить теорию данного вопроса,
изложенную в учебнике [1, §6 – 17; 2, §2.1 – 2.7].
Основы динамики материальной точки составляют три закона Ньютона,
которые справедливы лишь при выполнении следующих условий: движение тела
рассматривается по отношению к инерциальной системе отсчета, тело должно
быть представлено в виде материальной точки постоянной массы, скорость тела
должна быть гораздо меньше скорости света в вакууме.
Вопросы для экспресс – контроля.
1.
2.
Дайте определение инертности, массы.
Представьте различные выражения для второго закона Ньютона.
6
3. Сформулируйте третий закон Ньютона.
4. Как записать закон Гука?
5. Как определяется сила трения?
6. В чем различие между силой тяжести и весом тела?
7. Какова размерность импульса?
8. Чему равна единица измерения квадрата импульса, деленная на единицу
массы?
9. Можно ли применять закон сохранения импульса для незамкнутой системы?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(*)Груз массой m1 находится на столе, который движется с ускорением a
горизонтально. К грузу присоединена нить, перекинутая через неподвижный
блок. К другому концу нити подвешен другой груз массой m2 . Найти силу
натяжения нити, если коэффициент трения груза массой m1 о стол равен  .
Задачу решить для двух случаев:
а) при отсутствии проскальзывания;
б) при проскальзывании груза по столу.
(*)Угол  наклонной плоскости с горизонтом постепенно увеличивают от 00
до 900. На плоскости находится тело массой m . Коэффициент трения
скольжения равен  . Постройте график зависимости силы трения от угла  .
Чему равно максимальное значение силы трения?
(*)Тело массой m  5 кг брошено под углом   30 0 к горизонту с начальной
скоростью  0  20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
а) импульс силы, действующей на тело за время его полета;
б) изменение импульса тела  p за время его полета.
Тело бросают вертикально вверх в вязкой среде. Сила вязкого трения
пропорциональна скорости движения тела. Вычислить время t1 подъема тела
на максимальную высоту его полета вверх и сравнить его со временем t 0
подъема в отсутствие трения. Начальная скорость тела в обоих случаях
одинакова.
(*)На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими
колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека M  60 кг,
масса доски m  20 кг. С какой скоростью  относительно пола будет
двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью   1 м/с
относительно доски? На какое расстояние передвинется тележка, если
человек перейдет на другой конец доски? На какое расстояние переместится
центр масс системы тележка – человек относительно доски и относительно
пола? Длина доски l  2 м. Массой колес пренебречь. Трение во втулках не
учитывать.
(*)Снаряд массой m  10 кг обладал скоростью   200 м/с в верхней точке
траектории. В этой точке снаряд разорвался на две части. Меньшая массой
m1  3 кг полетела вперед под углом 1  60 0 к горизонту со скоростью 1  400
7
м/с. С какой скоростью 2 и под каким углом  2 к горизонту полетит
большая часть снаряда?
7. Вопрос о движении тела с переменной массой был впервые исследован И.В.
Мещерским. Частную формулу уравнения Мещерского можно вывести из
одного простого случая движения ракеты. Пусть для получения ускорения
ракета выпускает непрерывную струю газа, вылетающую из ракеты с
относительной скоростью u . Масса газа, вылетающего в единицу времени
 , масса ракеты в данный момент времени M . Найти уравнение движения
ракеты.
8. Пользуясь результатами предыдущей задачи, найти соотношение,
связывающее скорость  , достигнутую ракетой, с ее массой M в один и тот
же момент времени, если масса ракеты на старте M 0 , а скорость газовой
струи U относительно ракеты постоянна и направлена против ее движения.
9. (*)К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял
горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила натяжения шнура в
момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол  с
вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения равна силе
тяжести гири?
10. Шарик массой m подвешен на идеальной пружине жесткости К и начальной
длины  над центром платформы центробежной машины. Затем шарик
начинает вращаться вместе с машиной с угловой скоростью  . Какой угол 
образует при этом пружина с вертикалью.
Работа. Энергия. Закон сохранения энергии
Цель – освоить понятия работы, мощности, потенциальной и кинетической
энергии, научиться применять законы сохранения импульса и энергии.
Указания к организации самостоятельной работы.
Для освоения темы изучить материал учебников [1, §6 – 17, и стр.74 – 116;
2, стр.17 – 36, 48 - 52].
Особое внимание обратить на то, что если сила, действующая на тело,
непостоянна по величине, а является функцией координат F  F r , то работа при
поступательном движении выражается через интеграл

r2
A   Fd r
 
3.1
r1
Необходимо отличать среднюю мощность  N 
A
за интервал времени
t
dA
, которая есть производная работы во времени.
dt
Используя формулу (3.1) и выражения для консервативных сил F  kx , F  mg ,
t
от мгновенной N 
можно определить потенциальную энергию упругодеформированного тела
8
x
и потенциальную энергию тела в однородном поле сил тяжести
2
 mgh .
WПОТ  k
WПОТ
2
В ряде задач по известному выражению для WПОТ x, y, z  необходимо найти
выражение для силы F . В этом случае надо использовать соотношение
 WПОТ
WПОТ
WПОТ 

F   gradWПОТ   i
j
k
y
z 
 x
3.2
При изменении скорости тела от  1 до  2 происходит изменение его
кинетической энергии, т.е. работа, затрачиваемая на ускорение тела, идет на
увеличение его кинетической энергии WКИН .
WКИН

2
d
m 22 m12
  Fd r   m
 d r m d 

dt
2
2
1
1
1
2
2
3.3
Для систем в механике, в которых действуют только консервативные силы,
закон сохранения энергии имеет вид
W  WКИН  WПОТ  const ,
3.4
где W , WКИН , WПОТ соответственно полная, кинетическая и потенциальная энергии.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Перечислите виды сил, с которыми имеют дело в механике.
2. В чем отличие диссипативных сил от консервативных?
3. Как записывается работа сил через интеграл?
4. В какой форме запасается работа, затрачиваемая на ускорение тел?
5. В какой форме запасается работа, затраченная на упругую деформацию и на
изменение положения тела?
6. Как связаны потенциальная энергия тела и сила, на него действующая?
7. Сформулируйте закон сохранения энергии.
1.
(*)Цепь длиной 2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если
длина свешивающейся части превышает 1 3 длины всей цепи, то цепь
соскальзывает со стола. Какую работу совершают силы трения при ее полном
соскальзывании со стола. Чему равна скорость цепи в момент ее полного
соскальзывания?
2.
(*)Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид: Wпот.
a b
 ,
r2 r
где a и b - положительные постоянные, r - расстояние от центра поля.
Найти:
1) значение r0 , соответствующее равновесному положению частицы;
устойчиво ли это положение?
2) максимальное значение силы притяжения.
3) изобразите графически зависимости Wпот. r  и Fr r  - проекции силы на
радиус – вектор r .
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9
(*)Материальная точка массой m  2 кг двигалась под действием некоторой
силы согласно уравнению x  A  Bt  Ct 2  Дt 3 , где А = 10м, В=-2 м/с, С=1 м/с2,
Д=-0,2 м/с3. Найти мощность N, затрачиваемую на движение точки, в момент
времени t1 = 2 c и t2 = 5 c.
(*)Два неупругих шара массами m1  2 кг и m2  3 кг движутся со скоростями
1  8 м/с и  2  4 . м/с Определить изменение внутренней энергии шаров при
их столкновении в двух случаях: 1)меньший шар нагоняет большой; 2) шары
движутся навстречу друг другу.
(*)Шар массой m1  2 кг налетает на покоящийся шар массой m2  8 кг.
Импульс движущегося шара равен 10 (кг∙м)/с. Удар шаров прямой, упругий.
Определить непосредственно после удара:
1) импульс первого и второго шаров;
2) изменение импульса первого шара;
3) кинетические энергии шаров;
4) изменение кинетической энергии первого шара;
5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром второму.
(*)На покоящийся шар налетает со скоростью  1  2 м/с другой шар
одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар изменил
направление движения на угол   30 0 . Определить:
1) скорости шаров после удара;
2) угол между вектором скорости второго шара и первоначальным
направлением движения первого шара.
Удар считать упругим.
Докажите, что при соударении двух тел изменение их суммарной
кинетической энергии не зависит от того в какой системе отсчета
рассматривается этот процесс.
Докажите, что кинетическую энергию системы движущихся материальных
M c

 W Ц .И , где М – суммарная масса
2
2
точек можно представить в виде W лин .
всех материальных точек, W Ц .И . - кинетическая энергия материальных точек в
системе отсчета центра масс.
Динамика твердого тела
Цель – освоить понятия момента инерции, момента импульса и момента
силы и методику описания плоского движения твердого тела (вращение вокруг
неподвижной оси).
Указания к организации самостоятельной работы.
Основные представления о динамике твердого тела изложены в [1, §27 – 29,
36 – 44; 2, §4.1 – 4.3].
10
Существует глубокая аналогия между динамикой поступательного движения
тела и динамикой вращательного движения. Она обычно иллюстрируется
таблицей.
Движение
поступательное
вращательное
Основной закон динамики
dP
F
dt
F  ma
dZ
M
dt
M  I 
Ft  m 2  m 1
M t  I 2  I 1
Закон сохранения импульса
m 
i
i
I 
 const
i
i
i
 const
i
Работа и мощность
dA  F d S
dA  M d
N  F 
N  M ,
 


Кинетическая энергия
WКИН  m

2
2
WКИН  I
2
2
Эта аналогия может быть использована и при решении задач (см. занятие № 2).
Вопросы для экспресс – контроля.
1. В каких единицах измеряется момент инерции?
2. Дайте определение момента силы и момента импульса и представьте их на
рисунке.
3. Сформулируйте уравнение моментов – основное уравнение динамики
вращательного движения.
4. Сравните определения момента инерции материальной точки и твердого тела.
5. Как формулируется теорема Штейнера и где она применяется?
6. Дайте формулировку закона сохранения момента импульса.
7. Укажите размерность момента импульса.
8. Есть ли в классической механике физическая величина, имеющая такую же
размерность, как и момент импульса?
9. Сравните выражения для работы при поступательном и вращательном
движении тела.
10. Проведите аналогию для кинетической энергии при поступательном и
вращательном движении тела.
11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(*)Однородный диск радиусом R имеет круглый
вырез как это показано на рис. Масса оставшейся
(заштрихованной) части диска m. Найти момент
инерции такого диска относительно оси, проходящей
через его центр инерции перпендикулярно плоскости
диска.
Определить момент инерции I тонкой плоской пластины со сторонами а=10
см. и в=20 см. относительно оси, проходящей через центр масс пластины
параллельно большой стороне. Масса пластины равномерно распределена по
ее площади с поверхностной плотностью   1,2 кг/м2.
(*)Через неподвижный блок массой m=0,2 кг перекинут шнур, к концам
которого подвесили грузы массами m1=0,3 кг и m2=0,5 кг. Определить силы
натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если
масса блока равномерно распределена по ободу.
На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в
противоположных направлениях две легкие нити,
2R
нагруженные массами m1 и m2. Найти угловое
ускорение блока и силы натяжения нитей, если 2r
момент инерции блока I .
(*)Платформа, имеющая форму диска, может
m1
m2
вращаться около вертикальной оси. На краю
платформы стоит человек массой m1 = 60 кг. На какой угол  повернется
платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется
в исходную точку на платформе. Масса m2 платформы равна 240 кг. Момент
инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
(*)Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси,
проходящей через их центр. Моменты инерции дисков относительно этой оси
равны I1 и I2, а угловые скорости 1 и  2 . После падения верхнего диска на
нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое
время вращаться как единое целое. Найти:
1) установившуюся угловую скорость вращения дисков;
2) работу, которую совершили при этом силы трения.
(*)Тонкий однородный стержень длиною  и массой m может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов.
Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить
зависимость углового ускорения, угловой скорости и величины силы реакции
опоры от угла поворота стержня. Найти угловое ускорение  , угловую
скорость  , модуль и направление силы реакции опоры в начальный момент
времени и при прохождении стержнем положения равновесия.
(*)С одного уровня наклонной плоскости одновременно скатываются без
скольжения сплошной цилиндр и шар одинаковых радиусов. Какое из этих
тел раньше достигнет основания наклонной плоскости? Как будут отличаться
время скатывания шара и цилиндра?
12
Специальная теория относительности
Цель – усвоить основные понятия, постулаты и следствия релятивистской
механики, показать, при каких условиях следует применять СТО.
Указания к организации самостоятельной работы.
Необходимо найти ответы на контрольные вопросы в конспекте лекций и в
учебниках [1, §62 – 71; 2, §7.1 – 7.7]. При этом сопоставлять постулаты
классической механики и СТО, инварианты в классической механике и СТО и
основной закон динамики в классической механике и СТО, и представлять
границы применимости СТО.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. В чем заключается основной постулат классической механики?
2. Сформулируйте принцип относительности и преобразование Галилея.
3. Сформулируйте постулаты Эйнштейна и его принцип относительности.
4. Укажите, в чем отличие преобразований Лоренца от преобразований Галилея.
5. В чем различие правил сложения скоростей Галилея и Лоренца?
6. Перечислите интварианты – те физические величины в механике, которые не
меняются при переходе от одной системы отсчета к другой.
7. Сравните основной закон динамики в механике Ньютона и СТО.
8. Запишите два уравнения, связывающие энергию и импульс частицы в СТО.
9. Как связаны энергия покоя и масса частицы в СТО?
1.
2.
3.
4.
5.
(*)Частица с массой m движется со скоростью   0,8 с по направлению к
покоящейся частице той же массы. Определите:
1) скорость центра масс частиц;
2) скорости частиц в системе отсчета, связанной с центром масс.
(*)Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость   0,4 с. В момент
вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения  частицу со скоростью U  0,5 с относительно ядра. Найдите скорость частицы
 0 относительно ускорителя.
Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в K системе отсчета, в течение времени t . В системе же отсчета, связанной со
стержнем K /  , метка движется вдоль него в течение времени t / . Найти
собственную длину стержня.
(*)Найти собственную длину стержня  0 , если в системе отсчета, по
отношению к которой он движется со скоростью, в 2 раза меньшей скорости
света, его длина  0 , а угол между ним и направлением движения составляет
.
(*)Найти зависимость импульса от кинетической энергии частицы с массой
m . Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.
13
6. Релятивистская частица с импульсом p и полной энергией W движется вдоль
оси x K - системы. Показать, что в K / - системе, движущейся с постоянной
скоростью  относительно K - системы в положительном направлении ее оси
x , импульс и полная энергия данной частицы определяется формулами:

px  W 2
c ; W /  W  p x , где   
p x/ 
c
1  2
1  2
7.
Энергия фотона в K - системе равна  . Воспользовавшись формулами
преобразования, полученными в предыдущей задаче, найти энергию  / этого
фотона в K / - системе, перемещающейся со скоростью  относительно K системы в направлении движения фотона. При каком значении  энергия
фотона  /   2 ?
Показать, что для частицы величина W 2  p 2 c 2 есть инвариант, т.е. имеет одно
и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение
этого инварианта.
9. (*)Нейтрон с кинетической энергией W кин . 2m c 2 , где m - его масса, налетает
на другой покоящийся нейтрон. Определить:
1) суммарную кинетическую энергию обоих нейтронов в системе их
центра инерции и импульс каждого нейтрона в этой системе;
2) скорость центра инерции системы нейтронов.
10. Частица с массой m и кинетической энергией Wкин. налетает на покоящуюся
частицу той же массы. Найти массу и скорость составной частицы,
образовавшейся в результате соударения.
8.
Механика сплошных сред
Цель – освоить основные понятия, модели и соотношения для описания
течения жидкостей и газов, упругих свойств твердых тел.
Указания к организации самостоятельной работы.
Используя конспект лекций и учебники [1, стр. 39-43], уяснить специфику
при постановке задачи в курсе общей физики для описания механики сплошных
сред (течения жидкостей и газов, упругих свойств твердых тел). Обратить
внимание на использование моделей идеальной, несжимаемой жидкости,
деформируемого твердого тела и понять, при каких условиях можно применять
эти модели при объяснении свойств сплошных сред.
Вопросы для экспресс – контроля.
1.
2.
3.
Гидростатическое давление в жидкости определяется так.
Для идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид.
Чему равна размерность величины, входящей в уравнение непрерывности?
14
4. Запишите соотношения, характеризующие течение Пуазейля.
5. Чему равна размерность величины, равной отношению размерности силы
трения к коэффициенту вязкости?
6. Приведите выражение для числа Рейнольдса.
7. Представьте закон Гука для стержней различного диаметра.
8. Запишите соотношения для плотности энергии и энергии упругой
деформации.
1.
2.
(*)Тонкий однородный медный стержень длины  и массы m равномерно
вращается с угловой скоростью  в горизонтальной плоскости вокруг
вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу
натяжения в стержне в зависимости от расстояния r до оси вращения, а так
же удлинение стержня.
(*)Медный стержень длины  подвесили за один конец к потолку. Найти:
1) удлинение стержня  по действием его собственного веса;
V
.
V
(*)Стальной цилиндрический стержень длины  и радиуса r подвесим одним
2) относительное приращение его объема
3.
концом к потолку.
1) найти энергию упругой деформации стержня;
2) выразить энергию упругой деформации через относительное
удлинение
4.
5.
6.
7.

.

На столе стоит тяжелый цилиндрический сосуд высотой H . Сосуд наполнен
водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте h от дна сосуда
следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в
поверхность стола на максимальном расстоянии  max . от сосуда. Чему равно
 max . - ?
Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на
поршень, выдавить из горизонтально расположенного
S
цилиндра всю воду за время t ? Объем воды в цилиндре
V
равен V , площадь сечения отверстия S , причем S
значительно меньше площади поршня. Трение и вязкость
пренебрежимо малы.
(*)Горизонтально расположенная трубка AB длины  вращается с
постоянной угловой скоростью  вокруг неподвижной вертикальной оси
OO / , проходящей через конец A . В трубке находится  O /
B
идеальная жидкость. Конец A трубки открыт, а в
A
закрытом конце B имеется очень малое отверстие. Найти,
h
с какой скоростью относительно трубки будет вытекать

h.
жидкость в зависимости от длины ее столба.
0
(*)По трубке длины  и радиуса R течет стационарный
15
8.
9.
поток жидкости, плотность которой  и вязкость  . Скорость течения
жидкости зависит от расстояния r до оси трубки по закону    0 1  r 2 R 2 .
Найти:
1) объем жидкости, протекающей через сечение трубки в единицу
времени;
2) кинетическую энергию жидкости в объеме трубки;
3) силу трения, которую испытывает трубка со стороны жидкости;
4) разность давлений на концах трубки.
Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого
  13,9 Па∙с. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще
останется ламинарным? Известно, что переход к турбулентному обтеканию
соответствует числу Re  0,5 .
(*)Стальной шарик диаметра d  3,0 мм опускается с нулевой начальной
скоростью в провансном масле, вязкость которого   0,90 Па∙с. Через
сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться
от установившегося значения на 1%?
Уравнение состояния идеального газа. Газовые процессы. Смеси газов
Цель – усвоить, какие физические величины характеризуют состояние
термодинамической системы на примере самой простой – идеального газа.
Указания к организации самостоятельной работы.
Обратить особое внимание на отличие термодинамики от других разделов
физики, на описание состояния термодинамической системы [1, стр.224 – 245, 289
– 307; 2, стр.95 – 105, 125 - 136].
Следует вспомнить известные еще из школы соотношения, описывающие
состояние идеального газа.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Перечислите физические величины, характеризующие состояние идеального
газа.
2. Запишите уравнение Клапейрона.
3. Как выразить число молей?
4. Представьте уравнение, описывающее изобарическое изменение состояния
идеального газа.
5. Запишите уравнение изотермы для идеального газа.
6. Запишите уравнение изохоры для идеального газа.
7. Чему равна разность между C p и C v для идеального газа?
8. Запишите уравнение адиабаты для идеального газа.
16
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Колба объемом V  300 см , закрытая пробкой с краном, содержит
разреженный воздух. Для измерения давления в колбе ее горлышко
поместили в воду на незначительную глубину и открыли кран, в результате
чего в колбу вошла вода массой m  292 г. Определить первоначальное
давление p в колбе, если атмосферное давление pатм.  100 кПа.
(*)Манометр в виде стеклянной U - образной трубки с внутренним
диаметром d  5 мм наполнен ртутью так, что оставшийся в закрытом колене
воздух занимает при нормальном атмосферном давлении объем V1  10 мм3.
При этом разность уровней h1 ртути в обоих коленах равна 10 см. При
соединении открытого конца трубки с большим сосудом разность h2
уровней ртути уменьшилась до 1 см. Определить давление p в сосуде.
Полый шар объемом V  10 см3, заполненный воздухом при температуре
T1  573 К, соединили с чашкой, заполненной ртутью. Определить массу
ртути, вошедшей в шар при остывании воздуха в нем до температуры T2  293
К. Изменением объема шара пренебречь.
(*)Посередине лежащего на боку заполненного газом запаянного
цилиндрического сосуда длиной L  1 м находится тонкий поршень массой m
и площадью S  10 см2. Если сосуд поставить на основание, то поршень
перемещается на расстояние   10 см. Какого было начальное давление p в
сосуде? Трение между стенками сосуда и поршнем отсутствует. Процесс
считать изотермическим.
(*)Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух,
отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда трубка обращена
закрытым концом кверху, воздух внутри нее занимает длину  ; когда же
трубка обращена кверху открытым концом, то воздух внутри нее занимает
длину 1   . Длина ртутного столбика h мм. Определить атмосферное
давление.
(*)В вертикальном закрытом со всех торцов цилиндре находится
легкоподвижный поршень, по обе стороны которого находится по одному
молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре T0  300 К объем
верхней части цилиндра в   4,0 раза больше объема нижней части. При
какой температуре отношение этих объемов станет равным  /  3,0 ?
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом V . За один цикл
(ход поршня) насос захватывает объем V . Сколько следует сделать циклов,
чтобы давление в сосуде уменьшилось в  раз? Процесс считать
изотермическим, газ – идеальным.
(*)В гладкой, открытой с обоих концов вертикальной трубе находятся два
p0
поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между ними
– один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего
поршня на S  10 см2 больше, чем нижнего. Общая масса
поршней m  5,0 кг. Давление наружного воздуха p0  1,0
атм. На сколько градусов надо нагреть газ между
p0
поршнями, чтобы они переместились на   5,0 см?
3
17
Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе,
происходящем по закону T  T0  V 2 , где T0 и  - положительные
постоянные, V - объем оного моля газа. Изобразить примерный график этого
процесса в параметрах p,V .
10. (*)Имеются два сосуда, содержащие идеальные газы. Давление газа в одном
сосуде p1 , в другом - p2 . Какое давление установится в сосудах, если их
соединить между собой. Задачу решить для двух случаев:
1) объемы сосудов одинаковы; V1  V2  ;
2) количество молекул газа в сосудах одинаково. N1  N 2  .
Процесс смешивания газов считать изотермическим.
9.
Первый закон термодинамики. Теплоемкость
Цель – уяснить смысл первого начала термодинамики и его применение для
описания процессов в идеальном газе.
Указания к организации самостоятельной работы.
Используя конспект лекций и учебники [1, стр.224 – 245; 2, стр.100 - 105],
понять, в чем отличие закона сохранения энергии в термодинамике от
классической механики. Усвоить, что главная величина в первом начале
термодинамики – внутренняя энергия (функция состояния; физическая величина,
не зависящая от вида процесса), что в термодинамические соотношения входит не
сама внутренняя энергия, а ее изменение либо производные от нее по какому –
либо параметру, что изменение внутренней энергии системы может происходить
либо за счет совершения работы (системой или над системой), либо за счет отвода
или передачи системе количества теплоты. Работа, совершаемая внешними
телами над системой (например, газом), считается отрицательной, а работа
совершаемая системой (газом), - положительной.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Сформулируйте первое начало термодинамики.
2. Как определяется работа при изменении объема тела?
3. Запишите первое начало термодинамики для изохорического изменения
состояния.
4. Запишите первое начало термодинамики применительно к изобарическому
изменению состояния.
5. Приведите определение энтальпии (теплосодержания).
6. Дайте определение для C p и C v .
7. Как связаны молярная и удельная теплоемкости?
1.
(*)Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены
короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и
18
температура воздуха в них ( V1 , p1 , T1 и
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
p2 ,V2 , T2 ). Найти температуру и
давление воздуха, которые установятся после открытия крана.
(*)Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на T  72K ,
сообщив ему количество тепла Q=1,60кДж. Найти совершенную газом
работу, приращение внутренней энергии и величину   C p C V .
Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом
сосуде объемом V  5,0 л, охладили на T  55 К. Найти приращение
внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.
(*)Два моля идеального газа при температуре T0  300 К охладили
изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в n  2,0 раза.
Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его
температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла,
поглощенного газом в этом процессе.
(*)Один моль кислорода, находящийся при температуре T0  290 К,
адиабатически сжали так, что его давление возросло в   10,0 раза. Найти:
1) температуру газа после сжатия;
2) работу, которая была совершена над газом.
(*)При некотором политропном процессе гелий был сжат от начального
объема V1  4 л до объема V2  1 л. Давление при этом возросло от 1 до 8 атм.
Найти теплоемкость С всей массы гелия, если его начальная температура
была 300 К.
(*)Идеальный газ с показателем адиабаты  расширили по закону p  V , где
 - постоянная. Первоначальный объем газа V0 . В
результате расширения объем увеличился в  раз. Найти:
1) приращение внутренней энергии газа;
2) работу, совершенную газом;
3) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
Моль идеального газа нагревают в цилиндре под поршнем,
удерживаемым в положении равновесия пружиной,
подчиняющейся закону Гука. Стенки цилиндра и поршень
адиабатические, а дно проводит тепло. Начальный объем
газа V0 , при котором пружина не деформирована, подобран так, что
p 0 S 2  kV0 , где p 0 - наружное атмосферное давление, S - площадь поршня, k коэффициент упругости пружины. Найти теплоемкость газа для этого
процесса.
Второй закон термодинамики. Энтропия
Цель – уяснить смысл главного закона термодинамики – второго начала;
разобраться, что такое энтропия.
19
Указания к организации самостоятельной работы.
По конспекту лекций и материалу учебника [1, стр.289 – 307; 2, стр.125 –
136] усвоить понятия: термодинамическая система, окружающая среда
(термостат), обратимые и необратимые процессы, коэффициент полезного
действия, энтропия; обдумать различные формулировки второго начала
термодинамики – что общего и какие особенности в них; понять работу
идеализированной тепловой машины (цикл Карно).
Учесть, что все уравнения в термодинамике справедливы только для
обратимых процессов.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Представьте графически цикл Карно в координатах (P, V).
2. Представьте графически цикл Карно в координатах (S, T).
3. Приведите формулировку второго начала термодинамики (Клаузиус).
4. Приведите аналитическую формулировку второго начала термодинамики.
5. Приведите формулу для расчета энтропии при нагревании тела.
6. Приведите формулу для расчета энтропии при нагревании идеального газа
(изохорический процесс).
7. Приведите формулу для расчета энтропии при нагревании идеального газа
(изобарный процесс).
1.
2.
3.
(*)Один моль одноатомного идеального газа (   5 3 ) совершает в тепловой
машине цикл Карно. Температура нагревателя t1  1270 С, температура
холодильника t2  270 С. Наименьший объем газа в ходе цикла V1  5 л,
наибольший - V2  20 л. Какую работу А совершает эта машина за один цикл?
Сколько тепла Q1 она получает от нагревателя? Сколько тепла Q2 за цикл
отдается холодильнику?
(*)Идеальный газ с показателем адиабаты  совершает цикл, состоящий из
двух изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если абсолютная
температура возрастает в n раз как при изохорном нагреве, так и при
изобарическом расширении.
(*)Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изохоры, изобары и
политропы, на которой давление газа p и объем V связаны соотношением
p  V   const. . Найдите КПД цикла, если в ней в качестве рабочего тела
3
2
используется идеальный газ с молярной теплоемкостью CV  R . Отношение
4.
максимальной температуры в цикле к минимальной равно 9.
(*)Тепловая машина работает по циклу, состоящему из изотермы 1  2,
политропы 2  3 и адиабаты 3  1. Температура газа в состоянии 1 равна T1 ,
в состоянии 3 - T3 . Молярная теплоемкость в политропном процессе С. Найти
работу, совершаемую этой машиной за один цикл, если в качестве рабочего
20
тела используют один моль идеального газа. Указание: для решения задачи
использовать неравенство Клаузиуса.
5. (*)Найти приращение энтропии одного моля углекислого газа при
увеличении его абсолютной температуры в n  2,0 раза, если процесс
нагревания: 1) изохорный; 2) изобарный. Показатель адиабаты углекислого
газа   1,33 .
6. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем   4,0 молей
идеального газа, чтобы его энтропия испытала приращение S  23 Дж/К?
7. Гелий массой m  1,7 г адиабатически расширили в n  3,0 раза, а затем
изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение
энтропии газа в этом процессе.
8. Идеальный газ с показателем адиабаты  совершает процесс по закону
p  p0  V , где p 0 и  - положительные постоянные, V - объем. Пи каком
значении объема энтропия газа окажется максимальной?
9. (*)Два баллона с объемами V  1 л каждый соединены трубкой с клапаном. В
одном из них находится водород при давлении 1 атм и температуре t1  200 С,
в другом – гелий при давлении 3 атм и температуре t2  100 С. Найти
изменение энтропии системы S после открытия крана и достижения
равновесного состояния. Стенки баллонов и трубки обеспечивают полную
теплоизоляцию газов от окружающей среды.
10. Найти изменение энтропии S 30 г льда при превращении его в пар, если
начальная температура льда  40 0 С, а температура пара 1000 С. Теплоемкости
воды и пара считать постоянными, а все процессы – происходящими при
атмосферном давлении. Удельная теплоемкость льда C  0,5 кал/г∙0С.
Постоянное электрическое поле в вакууме
Часть 1.
Цель – усвоить представление об основных характеристиках интенсивности
электрического поля – напряженности и потенциала; научиться рассчитывать эти
величины для электрических полей, создаваемых точечными и распределенными
зарядами с помощью принципа суперпозиции.
Указания к самостоятельной работе.
С помощью конспекта лекций и учебников [1, стр.9 – 27; 2, стр.154 – 169]
найти ответы на контрольные вопросы и осознать, что такое электрическое поле,
кем и зачем оно было введено. Освоить понятия точечного, пробного зарядов,
применимости закона Кулона. Иметь ясное представление о том, что
взаимодействие электрических зарядов может быть описано на основе идей
дальнодействия и близкодействия (теория поля), что введение понятия
21
электрического поля требует введения его количественной характеристики. Ею
является напряженность электрического поля E .
Точечный бесконечно малый заряд dq создает электрическое поле,
напряженность d E которого на расстоянии r от заряда равна
dE 
1 dq
r
40 r 3
Это соотношение в сочетании с принципом суперпозиции дает основу для
расчета электростатических полей, создаваемых любой системой зарядов.
Скалярной характеристикой электростатического поля является потенциал  .
Для вычисления потенциала поля, создаваемого одним или несколькими
зарядами, используют выражение
d 
dq
40 r
1
и принцип суперпозиции полей.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Запишите в векторном виде закон Кулона.
2. Укажите пределы применимости закона Кулона.
3. В механике вещество тела состоит из частиц. Какая новая физическая
реальность вводится в электромагнетизме?
4. Что такое напряженность электрического поля?
5. Приведите выражение для напряженности электрического поля точечного
заряда.
6. Как проводятся линии напряженности электрического поля?
7. Приведите формулировку принципа суперпозиции и укажите условия его
применимости.
8. Представьте определения линейной, поверхностной и объемной плотностей
заряда и объясните, зачем они вводятся.
9. Чему равна работа, совершаемая силами электрического поля по
перемещению заряда из точки 1 в точку 2?
10. Чем определяется разность потенциалов?
11. Каким образом вводится потенциал поля?
12. Приведите выражение для потенциала точечного заряда.
13. Как связаны две характеристики электрического поля – напряженность и
потенциал?
14. Дайте определение градиента.
1. (*)Тонкий длинный стержень равномерно заряжен положительным зарядом с
линейной плотностью  . Найти силу, действующую на точечный заряд q,
расположенный на продолжении оси стержня на расстоянии a от его конца.
2. (*)Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины 2а заряжен
равномерно зарядом q. Найти модуль вектора напряженности электрического
поля как функцию расстояния r от центра стержня для точек прямой:
22
3.
4.
5.
6.
1) перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр;
2) на оси стержня вне его.
Исследовать полученные выражения при r  a .
(*)Кольцо радиуса r из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль
напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния
 до его центра. Исследовать полученную зависимость при
  r .
Определить максимальное значение напряженности и соответствующее
расстояние  0 .Изобразить примерный график функции E(  ).
(*)Электрическое поле создано точечным зарядом q  0 . Найти поток вектора
напряженности электрического поля через круглую площадку, края которой
равноудалены от заряда q на расстояние R, а плоскость, в которой
расположена площадка, удалена от заряда на расстояние r0  R .
(*)Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью заряда  .
Найти поток вектора напряженности электрического поля через сечение
шара, которое образовано плоскостью, отстоящей от центра шара на
расстояние r0  R .
Шар радиуса R имеет положительный заряд, объемная плотность которого
r
R
зависит только от расстояния r до его центра по закону    0 (1  ) , где  0 постоянная. Полагая диэлектрическую проницаемость шара и окружающего
пространства равной единице, найти:
1) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне
шара как функцию расстояния r;
2) максимальное значение напряженности Emax и соответствующее ему
значение расстояния r0 .
7. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с
объемной плотностью  , имеется круглая цилиндрическая полость.
Расстояние между осями цилиндра и полости равно а . Найти напряженность
E электрического поля в полости. Диэлектрическую проницаемость считать
равной единице.
8. (*)Заряд равномерно распределен по объему сферической оболочки.
Объемная плотность заряда  . Внутренний радиус оболочки R1 наружный R2 . Определить напряженность поля в точках, отстоящих от центра оболочки
на расстоянии r:
а) r  R1;
б ) R1  r  R2 ;
в) r  R2 .
Часть 2
1.
(*)Найти разность потенциалов двух точек поля, созданного:
1) равномерно заряженной плоскостью; поверхностная плотность
заряда  ;
23
2.
3.
4.
5.
z
p
2) заряженной сферой; заряд сферы q, радиус R;
3)равномерно заряженной нитью; линейная плотность заряда  .
(*)Найти потенциал на оси заряженного кольца как функцию расстояния  до
его центра. Заряд кольца q, радиус r.
(*)Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиусом R
равномерно заряжена с поверхностной плотностью  . Найти потенциал и
напряженность электрического поля как функцию расстояния  от ее центра.
Исследовать полученное выражение при   0 и   R .
(*)Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая
диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал:
а) в центре шара;
б) внутри шара как функцию расстояния r от его центра.
Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p (см. рис.)
т.А

r
может быть представлен как  
6.
7.
8.
pr
, где r - радиус – вектор. Найти с
40 r 3
помощью этого выражения модуль вектора напряженности электрического
поля диполя как функцию r и θ.
Точечный электрический диполь с моментом p находится во внешнем
однородном электрическом поле, напряженность которого равна E0 , причем
p  E0 . В этом случае одна из эквивалентных поверхностей, охватывающих
диполь, является сферой. Найти ее радиус.
(*)Имеется плоский конденсатор с круглыми тонкими пластинами радиуса R,
отстоящими друг от друга на расстояние    R . Найти потенциал и
модуль вектора напряженности электрического поля на оси системы как
функции расстояния x до пластины, если x   . Исследовать получение
выражения при x  R .
(*)Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния r
до его центра по закону   ar 2  b , где a и b - постоянные. Найти
распределение объемного заряда  r  внутри шара.
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Часть I
Цель – изучить поведение проводников и диэлектриков в электрическом поле и
научиться рассчитывать электроемкости системы проводников и электрические
поля при наличии диэлектриков.
24
Указания к самостоятельной работе.
По конспекту лекций и учебникам [1, стр.55 – 73; 2, стр.170 – 189] ответить
на контрольные вопросы. При этом уяснить, что при внесении проводников в
электрическое поле в них происходит перераспределение свободных зарядов до
тех пор, пока напряженность поля внутри проводника и ее касательная
составляющая на поверхности проводника не станет равной нулю.
Усвоить отличие определения электроемкости уединенного проводника
C  q  и системы проводников (конденсатора) C  q U , где U - разность
потенциалов между проводниками (обкладками конденсатора). Вычисление
емкости конденсатора сводится к нахождению разности потенциалов между его
обкладками.
Разобраться в отличии полярных и неполярных диэлектриков, связанных и
сторонних зарядов. Осознать, что для расчета электрических полей в
диэлектриках вводятся новые понятия – вектор электростатической индукции D и
вектор поляризации P . При этом вектор D определяют как линейную
комбинацию
D  0E P .
Вектор поляризации P связан с E соотношением
P   0kE ,
где k - диэлектрическая восприимчивость, так что
D   0 E  P   0 E   0 k E   0 1  k E   0 E ,
где   1  k - диэлектрическая проницаемость среды.
Для решения задач необходимо разобраться с поведением электрического поля
на границе раздела двух диэлектриков (граничные условия).
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Как направлена напряженность электростатического поля у поверхности
проводника?
2. Чему равна напряженность электростатического поля внутри проводника?
3. Как определяются электроемкость уединенного проводника и электроемкость
конденсатора?
4. Сформулируйте определения сторонних и связанных зарядов.
5. Приведите определение вектора поляризации P .
6. Объясните, почему вводят понятия вектора электрической индукции D .
7. Запишите уравнение, связывающее D , E и P .
1.
(*)Точечный заряд q находится на расстоянии  от безграничной
проводящей плоскости. Найти:
1) силу, действующую на заряд;
2) работу, которую нужно совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на
очень большое расстояние от плоскости;
25
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3) поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как
функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из
заряда на плоскость.
(*)Найти потенциал  незаряженной проводящей сферы, вне которой на
расстоянии  от ее центра находится точечный заряд q .
(*)Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра О незаряженного
сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого
равны соответственно R1 и R2. Найти потенциал в т. О, если r  R1 .
Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии
d друг от друга (см. рис.). Крайние пластины
1
соединены проводником, а на внутренние
2
пластины подана разность потенциалов  .
3
Найти:
а) значение напряженности электрического
4
поля между соседними пластинами;
б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой
пластины.
Металлический шарик радиуса R  1,5 см имеет заряд q  10 мкКл. Найти
модуль вектора результатирующей силы, которая действует на заряд,
расположенный на одной половине шара.
(*)Определить электрическую емкость, приходящуюся на единицу длины
двухпроводной линии, если заряд распределен по проводам равномерно с
линейной плотностью заряда  и  . Радиус проводов R, расстояние между
осями проводов d .
Определить электрическую емкость системы, которая
А
состоит из металлического шарика радиуса a и
а
)
безграничной проводящей плоскости, отстоящей от
В
центра шарика на расстояние  , если   a .
(*)Четыре одинаковые
металлические пластины
А
расположены в воздухе на одинаковом расстоянии d б )
друг от друга. Площадь каждой пластины S. Найти
B
емкость системы между точками А и В, если пластины
соединены так, как показано:
(*)Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного
и того же звена, состоящего из двух одинаковых конденсаторов, каждый
емкости С.
26
Часть II.
1.
2.
3.
4.
5.
(*)Точечный заряд q находится в центре шара из однородного изотропного
диэлектрика с проницаемостью  . Найти поляризованность P как функцию
радиус – вектора r относительно центра системы, а также заряд q/ внутри
сферы, радиус которой меньше радиуса шара.
Однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью  имеет вид
сферического слоя с радиусами R1 и R2. По внутренней поверхности
диэлектрика равномерно распределен сторонний заряд q  0 . Найдите
зависимости напряженности электрического поля Е и потенциала  от
расстояния r от центра слоя. Изобразите примерные графики Е(r) и  r  в
диапазоне изменения 0  r   .
(*)Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью
  0 по шару радиуса R из однородного и изотропного диэлектрика с
проницаемостью  . Найти:
1) модуль вектора напряженности электрического поля как функцию
расстояния r от центра шара; изобразите примерные графики
зависимостей Е(r) и  r  ;
2) объемную и поверхностную плотность связанных зарядов.
(*)Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено воздухом и напряженность поля в зазоре
1
равна E 0 . Затем половину зазора заполнили
однородным
изотропным
диэлектриком
с

2
проницаемостью  , как показано на рисунке. Найти
модули E и Д в обеих частях зазора (1 и 2), если при введении диэлектрика:
1) напряжение между обкладками не менялось;
2) заряды на обкладках оставались неизменными.
(*)Решите предыдущую задачу с тем отличием, что диэлектриком заполнили
половину зазора, как показано на рисунке.
1
6.
7.

2
(*)Найти емкость уединенного шарового проводника радиуса R1,
окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем однородного
диэлектрика с проницаемостью  и наружным радиусом R2.
(*)Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено
последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d1 и d2 и
с проницаемостями  1 и  2 . Площадь каждой обкладки S. Найти:
1) емкость конденсатора;
2) плотность  / связанных зарядов на границе раздела диэлектрических
слоев, если напряжение на конденсаторе U и электрическое поле
направлено от слоя 1 к слою 2.
27
Энергия заряженного проводника.
Энергия электрического поля
Цель – уяснить, чем определяется важнейшая физическая величина – энергия
заряженного проводника и электрического поля и научиться рассчитывать ее.
Указания к самостоятельной работе.
Изучить материал по конспекту лекций и учебникам [1, стр.76–4;
2, стр.190–194].
Осознать, что энергия в электростатике является важнейшей физической
величиной. Существенно, что плотность энергии электрического поля в отличие
от энергии уединенного проводника и системы проводников, выражается только
через напряженность и индукцию электрического поля  
ED
и в этом смысле
2
является универсальной – в нее не входят характеристики размеров, формы
проводников.
Вопросы для экспресс – контроля.
1.
2.
3.
4.
5.
Как определяется энергия уединенного проводника?
Чему равна энергия заряженного конденсатора?
Приведите выражение для плотности энергии электрического поля.
Как определить энергию электрического поля (поле однородное)?
Как определить энергию электрического поля (поле неоднородно)?
1.
(*)Найти энергию W уединенной сферы радиусом R= 4 см., заряженной до
потенциала   500 В.
(*)Уединенная металлическая сфера электроемкостью С = 10 пФ заряжена до
потенциала   3 кВ. Определить энергию W поля, заключенного в
сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней
сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса
сферы.
(*)Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек
радиусами R1 и R2 с соответствующими зарядами q1 и q 2 . Найти значения
собственной энергии каждой оболочки W1 и W2 , энергию взаимодействия
оболочек W12 и полную электрическую энергию W системы.
Заряд q распределен равномерно по объему шара радиуса R. Полагая
диэлектрическую проницаемость равной единице, найти:
1) собственную электростатическую энергию шара;
2) отношение энергии W1 , запасенной внутри шара, к энергии W2 ,
заключенной в окружающем пространстве.
(*)Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки
которого равна S. Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно
2.
3.
4.
5.
28
6.
7.
8.
увеличить расстояние между обкладками от x1 до x 2 , если при этом
поддерживать неизменным:
1) заряд конденсатора, равный q ;
2) напряжение на конденсаторе, равное U ?
Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам
пластинка, толщина которой составляет   0,60 части зазора между
обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластинки С = 20 нФ.
Конденсатор сначала подключили к источнику постоянного напряжения
U  200 В, затем отключили и после этого медленно извлекли пластинку из
зазора. Найти работу, затраченную на извлечение пластинки, если пластинка:
1) металлическая;
2) стеклянная, с проницаемостью   6,0 .
(*)Плоский воздушный конденсатор представляет собой две квадратные
металлические пластины со стороной а, расположенные на расстоянии d друг
от друга, причем d << a. Пластинки вертикальны, их нижние края
горизонтальны. Конденсатор заряжают и, отсоединив его от источника
напряжения, подносят к нему широкий сосуд с непроводящей жидкостью так,
чтобы поверхность жидкости коснулась нижних краев пластин. Жидкость
втягивается в конденсатор и устанавливается на некоторой высоте. Чему
равна эта высота h, если напряжение на конденсаторе к концу процесса равно
 , диэлектрическая проницаемость
.
U ? Плотность жидкости
Поверхностным натяжением жидкости можно пренебречь.
(*)В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой диэлектрика
с проницаемостью  , заполняющей все пространство между обкладками.
Средний радиус обкладок равен R, зазор между ними d, причем d<< R.
Обкладки конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения
U . Найти модуль электрической силы, втягивающей диэлектрик в
конденсатор.
Электрический ток
Цель – развить представления о постоянном токе и усвоить основные
закономерности для простых электрических целей и переходных процессах в них.
Указания к самостоятельной работе.
Подготовиться к занятию, используя конспект лекций, учебники [1, стр.95 –
112; 2, стр.195 - 209] и иметь ясное представление об основных понятиях (сила
тока, плотность тока, сопротивление, электродвижущая сила) и законах Ома,
Джоуля – Ленца, правилах Кирхгофа.
Следует иметь в виду, что через любое сечение неразветвленного участка
электрической цепи течет один и тот же ток. Если плотность тока и
29
напряженность поля в разных точках проводника различны, следует пользоваться

законами постоянного тока в дифференциальной форме (  j 


1
E  , W  E 2 ).

 
1
Обратить внимание на зависимость силы тока от времени для простых
переходных процессов и на расчет количества теплоты, выделяющегося в
проводнике при протекании по нему переменного электрического тока.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Дайте определения силы тока и плотности тока.
2. Укажите размерности плотности тока, удельного сопротивления
проводников.
3. Как зависит сопротивление проводников от температуры.
4. Дайте определение э.д.с.   .
5. Представьте закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.
6. Запишите закон Ома для неоднородного участка цепи.
7. Представьте графически зависимость силы тока от времени для RC – цепи
при подключении ее к источнику постоянного тока и отключении от источника.
3.
2.
(*)При 00С сопротивление проводника 1 в  раз меньше сопротивления
проводника 2. Их температурные коэффициенты сопротивления равны  1 и
 2 . Найти температурный коэффициент сопротивления участка цепи,
состоящего из этих двух проводников, если они соединены:
1) последовательно;
2) параллельно.
При каком значении сопротивления Rx в цепочке сопротивление между
A
3.
4.
5.
2R
2R
2R
2R
точками А и
В не будет
R
R
R
Rx
зависеть от
B
числа ячеек?
(*)Однородная слабопроводящая среда с удельным сопротивлением 
заполняет пространство между двумя коаксиальными идеально проводящими
тонкими цилиндрами. Радиусы цилиндров R1 и R2, причем R2 > R1, длина
каждого цилиндра  . Пренебрегая краевыми эффектами, найти
сопротивление среды между цилиндрами.
(*)Два цилиндрических проводника одинакового сечения, но с разными
удельными сопротивлениями  1 и  1, прижаты торцами друг к другу. Найти
заряд на границе раздела данных проводников, если в направлении от
проводника 1 к проводнику 2 течет ток I.
(*)Конденсатор, заполненный диэлектриком с проницаемостью   2,1 , теряет
за время   3,0 мин. половину сообщенного ему заряда. Предполагая, что
утечка заряда происходит только через диэлектрическую прокладку,
вычислить ее сопротивление.
30
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Амперметр и вольтметр подключили последовательно к батарее с э.д.с.
  6,0 B .
Если
параллельно
вольтметру
подключить
некоторое
сопротивление, то показания вольтметра уменьшатся в   2,0 раза, а
показание амперметра во столько же раз увеличивается. Найти показания
вольтметра после подключения сопротивления.
Найти э.д.с. и внутреннее сопротивление источника, эквивалентного двум
параллельно соединенным элементам с э.д.с.  1 и  2 и внутренним
сопротивлением r1 и r2.
В схеме, представленной на рисунке. э.д.с. источников 1  1,5 В,  2  2,0 В,
A
 3  2,5 В и сопротивления R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3
= 30 Ом. Внутреннее сопротивление источников
3
1
пренебрежимо мало. Найти:
R2
1) ток через сопротивление R1;
R1
R3
2
2) разность
потенциалов
между
 A  B
точками А и В.
B
Найти зависимость от времени t напряжения на конденсаторе С после
замыкания в момент t = 0 ключа К.
K
(*)Сколько тепла выделится в спирали
R
сопротивлением R при прохождении через нее 
C
количества электричества q, если ток в
R
спирали:
1) равномерно убывает до нуля в течение времени t ;
2) монотонно убывает до нуля так, что за каждые t секунд он
уменьшается вдвое.
(*)В схеме, приведенной на рисунке. заданы сопротивления R1 и R2, а также
э.д.с. источников  1 и  2 . Внутренние сопротивления
2
источников пренебрежимо мало. При каком значении  1 R
сопротивления R выделяемая на нем тепловая мощность будет
максимальной? Чему она равна?
R2
R1
(*)Стеклянная пластинка целиком заполняет зазор между
обкладками плоского конденсатора, емкость которого в отсутствие пластинки
С = 20 нФ. Конденсатор подключили к источнику постоянного напряжения
U  100B . Пластинку медленно без трения извлекли из зазора. Найти
приращение энергии конденсатора и механическую работу, затраченную на
извлечение пластинки.
Обкладкам конденсатора емкости С = 2,00 мкФ сообщили разноименные
заряды. q0  1,00 мКл. Затем обкладки замкнули через сопротивление R = 5,0
МОм. Найти:
1) заряд, прошедший через это сопротивление за   2,00 с;
2) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за то же время.
31
Постоянное магнитное поле в вакууме
Цель – усвоить представление об основной характеристике состояния
магнитного поля – индукции B , создаваемой проводниками с током различной
конфигурации и научиться применять закон Био – Савара – Лапласа, закон
полного тока при решении задач.
Указания к самостоятельной работе.
К данной теме подготовиться, используя конспект лекций и учебники [1,
стр.127 – 156; 2, стр.235 – 243]. Следует ясно представлять, что закон Био –
Савара – Лапласа и принцип суперпозиции позволяют рассчитать магнитные поля
для прямого, кругового тока (и для прочих конфигураций).
Вопросы для экспресс – контроля.
1. В чем заключается очевидное отличие магнитного поля от
электростатического?
2. О чем свидетельствуют величины коэффициентов пропорциональности в
законе Кулона и законе Био – Савара – Лапласа?
3. Приведите формулу закона Био – Савара – Лапласа.
4. Приведите определение магнитного момента контура с током.
5. Сформулируйте закон полного тока.
1. (*)По круговому витку радиуса R  100 мм из тонкого провода циркулирует ток
I  1.00 А. Найти магнитную индукцию:
1) в центре витка;
2) на оси витка в точке, отстоящей от его центра на x  100 мм.
2. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус
витка R=100 мм и индукция магнитного поля в его центре B  6,0 мкТл.
3. (*)Непроводящий тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с одной
стороны с поверхностной плотностью  , вращается вокруг своей оси с
угловой скоростью  . Найти:
1) индукцию магнитного поля в центре диска;
2) магнитный момент диска;
3) отношение магнитного момента диска к его моменту импульса,
если масса диска m.
4. (*)Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имеющего вид
прямоугольника, если его диагональ d  16 см, угол между диагоналями   30 0
и ток в конуре I  5.0 А
5. Очень длинный проводник с током I  5.0А изогнут в виде прямого угла.
Найти индукцию магнитного поля в точке, которая отстоит от плоскости
проводника на   35см и находится на перпендикуляре к проводнику,
проходящим через точку изгиба.
32
Z
(*)Найти индукцию магнитного поля в точке O,
R
y
если проводник с током I  8.0 А имеет вид,
I
показанный на рисунке. Радиус изогнутой
x
части проводника R  100 мм, прямолинейные
участки проводника очень длинные.
6. (*)Очень длинный прямой соленоид имеет радиус сечения R и n витков на
единицу длины. По соленоиду течет постоянный ток I. Пусть x расстояние,
отсчитываемое вдоль оси соленоида от его торца. Найти:
1) индукцию магнитного поля на оси как функцию x; изобразить
примерный график зависимости В(x/R);
2) расстояние x0 до точки на оси, в которой индукция поля отличается от
индукции в глубине соленоида на   1%
8. (*)На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно
N=2.5*103 витков провода, по которому течет ток I. Найти отношение
индукции магнитного поля внутри тороида к индукции магнитного поля в
центре тороида.
9. По круглому однородному прямому проводу, радиус сечения которого R ,
течет постоянный ток плотности j . Найти вектор индукции магнитного поля
в точке, положение которой относительно провода определяется радиусомвектором r . Магнитную проницаемость всюду считать равной единице.
Действие магнитного поля на движущиеся электрические заряды и
проводники с токами
Цель – рассмотреть, как меняется состояние заряженных частиц в магнитном
поле и как магнитное поле действует на проводники с током.
Указания к самостоятельной работе.
Подготовиться по конспекту лекций и учебникам [1, стр. 125–156;
2, стр. 226–234].
Если заряженная частица влетает в магнитное поле с индукцией B со
скоростью  , то на нее действует сила Лоренца
Fл  q [ , B ] ,
зависящая от взаимной ориентации векторов  и B . Уяснить, как будет вести себя
заряд, если  B и   B .
Если скорость заряженной частицы близка к скорости света, то следует
использовать релятивистские уравнения движения.
На проводники с током в магнитном поле действует сила Ампера.
Вопросы для экспресс – контроля.
1.
Запишите выражение для силы Лоренца.
33
2. Как будет двигаться заряженная частица q  0 , влетающая в магнитное поле,
если  B ?
3. Как будет двигаться заряженная частица q  0 , влетающая в магнитное поле,
если   B ?
4. Как будет двигаться заряженная частица, влетающая под произвольным
углом в магнитное поле – по какой траектории?
5. Чему будет равна работа, совершаемая магнитным полем над заряженной
частицей, если ее скорость  B ?
6. Чему равна работа по перемещению проводника с током в магнитном поле?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
I1
(*)Заряженная частица движется по окружности радиуса r=100мм в
однородном магнитном поле с индукцией В=10.0 мТл.
Найти ее скорость и период обращения, если частицей является:
1) нерелятивистский протон;
2) релятивистский электрон.
Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона
протона в магнитном поле на   1% больше периода их обращения при
нерелятивистских скоростях?
(*)Нерелятивистские протоны движутся прямолинейно в области, где
созданы однородные взаимоперпендикулярные магнитное
y
и электрическое поля с Е=4,0кВ/м и В=50 мТл. Траектория 0 E
x

протонов лежит в плоскости xoz и составляет угол   30 0 с B
осью ох. Найти шаг винтовой линии, по которой будут z

двигаться протоны после выключения электрического поля?
(*)Протоны ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны
их траектории r=50см. Найти:
1) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция
магнитного поля В=1,0Тл;
2) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце
ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию Wкин =20МэВ.
Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S и расстояние
между ними d, поместили в поток проводящей жидкости с удельным
сопротивлением  . Жидкость движется с постоянной скоростью 
параллельно пластинам. Система находится в однородном магнитном поле с
индукцией В, причем вектор В параллелен пластинам и перпендикулярен
направлению потока. Пластины конденсатора замкнуты на внешнее
сопротивление R. Какая мощность выделится на сопротивлении? При каком
значении R выделяемая мощность будет максимальной? Чему равна эта
мощность?
(*)По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых
показан
на рисунке, текут постоянные токи I1 и I2. Расстояние между
a
b
проводниками а, ширина правого проводника в . Имея в виду,
что оба проводника лежат в одной плоскости, найти силу
I2
34
магнитного взаимодействия между ними в расчете на единицу длины.
7.
(*) Медный провод сечением S=2,5мм2 ,согнутый в виде трех сторон
O квадрата, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси 00'.
B
Провод находится в однородном вертикально направленном
O
магнитном поле. Найти индукцию поля, если при пропускании по

данному проводу тока I= 6А угол отклонения   20 0 .
Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиуса r течет ток I.
Какое давление испытывают стенки цилиндра?
9. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент pm , находится на
оси кругового витка радиуса R, по которому течет ток I. Найти модуль
вектора силы, действующей на катушку, если ее расстояние от центра витка
равно х, а вектор p m совпадает по направлению с осью витка.
10. (*)Квадратная рамка с током I = 0,90 А расположена в одной плоскости с
длинным прямым проводом, по которому течет ток I0 =5,0 А. Сторона рамки
а  8,0 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки
параллельна проводу и лежит с ним в одной плоскости. Расстояние между
проводом и осью рамки в   1,5 раза больше стороны рамки. Найти:
1) силу, действующую на рамку со стороны поля, создаваемого
проводом;
2) механическую работу, которую нужно совершить для поворота рамки
вокруг своей оси на 1800, если токи поддерживают неизменными;
3) механическую работу, которую нужно совершить, чтобы удалить
рамку от провода на бесконечно большое расстояние, не меняя ее
ориентации в пространстве;
8.
Электромагнитная индукция
Цель – использовать один из главных законов электромагнетизма, чтобы
развить физическое мышление, убедить студентов в преимуществах теории
электромагнитного поля, многочисленные применения явления электромагнитной
индукции на практике.
Указания к самостоятельной работе.
Готовиться к занятию, используя конспект лекций и учебники [1, стр.199 –
233; 2, стр.275 – 288].
Записать различные формулировки закона электромагнитной индукции.
Осознать его роль для создания теории электромагнитного поля – в явлении
напрямую проявляется взаимосвязь магнитного и электрического полей.
Понять значение явления электромагнитной индукции для практики. Осознать,
что из этого закона следуют явления самоиндукции и взаимной индукции,
понятия индуктивности и коэффициентов взаимной индукции.
35
Для успешного решения задач ответить на вопросы экспресс – контроля.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Приведите выражение для закона электромагнитной индукции в форме
Фарадея.
2. Запишите закон электромагнитной индукции так, чтобы из него в явной
форме вытекала взаимосвязь электрического и магнитного полей.
3. Зачем нужен замкнутый проводник в явлении электромагнитной индукции?
4. Как опыты Фарадея интерпретировал Максвелл? Что такое вихревое
электрическое поле?
5. В чем заключается явление самоиндукции?
6. Из каких соотношений наиболее просто определить размерность
индуктивности контура?
7. В чем заключается явление взаимной индукции?
1.
(*)Провод, имеющий форму параболы y  bx 2 , находится в однородном
магнитном поле с индукцией В, причем вектор B
y
перпендикулярен к плоскости xoy . Из вершины параболы в
B
a
момент времени t  0 начинают перемещать поступательно
перемычку с ускорением a . Найти
ЭДС индукции в
x
образовавшемся контуре как функцию y.
2.
Квадратная рамка со стороной а и длинный прямой провод с
током I находятся в одной плоскости. Рамку поступательно

перемещают вправо с постоянной скоростью  . Найти ЭДС I
индукции в рамке как функцию x.
(*)Металлический стержень массой m может вращаться
вокруг горизонтальной оси О, скользя по кольцевому 
t
проводнику радиуса а. Система находится в однородном
магнитном поле с индукцией В, направленном
0
перпендикулярно к плоскости кольца. Ось и кольцо

B
подключены к источнику ЭДС, образуя цепь с
сопротивлением
R.
Пренебрегая
трением,
индуктивностью цепи и сопротивлением кольца, найти по какому закону
должна изменяться ЭДС источника, чтобы стержень вращался с постоянной
угловой скоростью  ?
Найти индуктивность соленоида длины  , обмоткой которого является
медная проволока массы m. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида
значительно меньше его длины.
(*)Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус
каждого провода в  раз меньше расстояния между их осями. Полем внутри
3.
4.
5.
x
a
36
проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной
единице,   1 .
6. (*)Определить взаимную индуктивность длинного прямого провода и
прямоугольной рамки со сторонами а и в . Рамка и прямой провод лежат в
одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длиной в
параллельна проводу и отстоит от него на расстояние  .
7. (*)Имеются два неподвижных контура с взаимной индуктивностью М12 . В
одном из контуров начали изменять ток по закону I1  t , где  -постоянная,
t -время. Найти закон изменения тока I 2 (t ) в другом контуре, индуктивность
которого L2 и сопротивление R.
8. (*)Катушку индуктивности L  300 мГн и сопротивление R=140 мОм
подключили к источнику постоянного напряжения. Через сколько времени
ток через катушку достигнет   50% установившегося значения?
9. Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных источника
постоянной ЭДС  и дросселя индуктивности L. Активное сопротивление
всей цепи равно R . В момент времени t  0 индуктивность дросселя скачком
уменьшилась в  раз. Найти ток в цепи как функцию времени.
Указание: при скачкообразном изменении индуктивности полный магнитный
поток (потокосцепление) остается неизменным.
Магнитное поле в веществе. Энергия магнитного поля. Уравнения
Максвелла
Цель – сформировать представление о том, как меняются свойства вещества в
магнитном поле, как классифицируются магнетики, чем определяется энергия
магнитного поля и как используются два основных уравнения Максвелла.
Указания к самостоятельной работе.
Подготовиться к занятию по конспекту лекций и учебникам [1, стр.199 – 233;
2, стр.269 – 271, 285 – 293].
Для понимания классификации магнетиков построить графики B  f H  для
диа, пара и ферромагнетиков. По аналогии с темой занятия 3 ввести понятия
энергии и плотности энергии магнитного поля.
Записать два основных уравнения Максвелла и убедиться в том, что ток
смещения необходим с точки зрения симметрии проявления электрических и
магнитных явлений.
Вопросы для экспресс – контроля.
1.
2.
3.
4.
Что можно сказать о магнитной проницаемости ферромагнетика?
Запишите выражение для энергии магнитного поля.
Чем определяется плотность энергии магнитного поля?
Сравните плотность энергии электрического и магнитного полей.
37
Как определяется ток смещения:
a) в вакууме;
b) в диэлектрике.
6. Приведите формулировку первого основного уравнения Максвелла в
интегральной форме.
7. Представьте второе основное уравнение Максвелла в интегральной форме.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(*)На железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением
радиуса a  3,0 см, намотана обмотка, содержащая N  1000 витков. По
обмотке течет ток I=1,0 А. средний радиус тора в  32 см. Найти магнитную
энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность поля H
одинаковой по всему сечению и равной ее значению в центре сечения.
(*)Тонкое кольцо из магнетика имеет средний диаметр d  30 см и несет на
себе обмотку из N  800 витков. Площадь поперечного сечения S=5,0 см2 . В
кольце сделана поперечная прорезь ширины в  2,0 мм. Когда по обмотке
течет некоторый ток, магнитная проницаемость магнетика   1400 .
Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти:
1) отношение магнитной энергии в зазоре к магнитной энергии в
магнетике;
2) индуктивность системы, причем двумя способами – через поток и
через энергию.
(*)При каком значении напряженности электрического поля в вакууме
объемная плотность энергии этого поля будет такой же, как у магнитного
поля с индукцией В=0,1 Тл (тоже в вакууме)?
(*)Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами
заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным
сопротивлением  и диэлектрической проницаемостью  . В момент времени
t  0 внутренней сфере сообщали некоторый заряд. Найти:
1) связь между векторами плотностей
тока смещения и тока
проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент
времени;
2) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность,
расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю
сферу, если заряд этой сферы в данный момент времени равен q .
Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму
круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной
проводимостью  и электрической проницаемостью  . Расстояние между
обкладками d . Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность
магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на
конденсатор подано переменное напряжение U  U m cos t .
Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет
переменный ток i  I m sin t . Найти плотность тока смещения как функцию
расстояния r от оси соленоида. Радиус сечения соленоида R.
38
Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью   const .
A
Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора H по
r
пунктирной окружности (см.рис), найти H в точке А как
q
 O
функцию радиуса-вектора r и скорости  заряда.
8. (*)В инерциальной К-системе отсчета имеется только
однородное электрическое поле с напряженностью E=8кВ/м. Найти модуль и
направление:
1) вектора E ' ;
2) вектора B '
в инерциальной системе K ' - системе, движущейся по отношению к К-системе
с постоянной скоростью  под углом   450 к вектору E . Скорость K ' системы равна:
1)   0,6 *105 м/с
2)   0,6 * с где с- скорость света в вакууме.
9. (*)Решить задачу, отличающуюся от предыдущей лишь тем, что в К-системе
имеется не электрическое, а магнитное поле с индукцией В=0,8 Тл.
10. Электромагнитное поле имеет две инвариантные величины. Показать с
/
/
помощью формул преобразования E //  E // ; B //  B // ;
7.
/

E 
E   [  B]
1
2
c2
;
/

B 
B   [  E ] / c 2
1
2
,
c2
что такими величинами являются:
1) E  B ;
2) E 2  c 2 B 2 .
/
/
/
/
В формулах преобразования E // и B //   ; E // и B //  
Механические колебания
Цель – решить конкретные задачи, убедиться в универсальности подхода к
описанию колебательных процессов различной физической природы.
Указания к самостоятельной работе.
Подготовиться к занятию по конспекту лекций и учебникам [2, стр.289 – 325,
333 – 337].
Подчеркнем, что при изучении колебаний прежде всего необходимо знать:
закон, по которому происходят колебания, амплитуду – максимальное отклонение
колеблющейся системы из положения равновесия и период колебаний – время,
через которое система возвращается в исходное состояние. Важно понимать, что
период колебаний (или частота колебаний) определяется характеристиками
колеблющейся системы, а амплитуда и начальная фаза – начальными условиями,
а не свойствами самой колеблющейся системы.
39
Следует знать уравнения, связывающие частоту, циклическую (круговую)
частоту, период колебаний. Нужно ясно представлять, что гармонические
колебания – это идеализация, что свободные реальные колебания – затухающие и
что коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность
колебательной системы – физические величины, показывающие, как быстро или
медленно колебания исчезают.
Усвоить понятие волны, как процесса, протекающего во времени с периодом Т
и в пространстве с периодом  (длина волны), что следует из уравнения
 t x
E  Em cos 2    .
T  
Еще раз обратить внимание на общность математического аппарата,
используемого при изучении колебаний и волн различной физической природы.
Вопросы для экспресс – контроля.
1. Представьте основные характеристики гармонических колебаний.
2. Сравните два уравнения: для гармонических и затухающих колебаний.
3. Приведите определение и укажите размерности коэффициента затухания,
логарифмического декремента затухания, добротности контура.
4. Как связаны между собой коэффициент затухания и время релаксации?
5. Приведите соотношения, характеризующие резонанс в контуре.
6. Укажите как направлены векторы B , E и  в электромагнитной волне.
7. Как определяется фазовая скорость электромагнитной волны?
8. Чему равна плотность энергии электромагнитного поля?
9. Дайте определение вектора Пойтинга. Приведите выражение для вектора
Пойтинга.
1.
2.
3.
4.
(*)Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около
положения равновесия x  0 . Частота колебаний   4,00 рад/с. В некоторый
момент времени координата частицы x0  25,0 см и ее скорость  x 0  100 см/с.
Найти координату х и скорость  x частицы через t  2,40 с после этого.
(*)Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления
x1  3,0 cost   3 и x 2  8,0 sin t   6. Найти амплитуду и начальную фазу
колебаний точки.
(*)При сложении двух гармонических колебаний одного направления
результирующее колебание точки имеет вид x  A cos 2,1t  cos 50,0t где t в
секундах. Найти циклические частоты складываемых колебаний и период
биений результирующего колебания.
(*)Точка движется в плоскости xoy по закону x  asin t , y  b cos t , где a, b
и  - положительные постоянные. Найти:
1) уравнение траектории точки y x  и направление ее движения по
этой траектории;
2) ускорение точки в зависимости от ее радиус – вектора r
относительно начала координат.
5.
40
Найти уравнение траектории точки y x  , если она движется по законам:
1) x  asin t , y  a sin 2t ;
2) x  asin t , y  a cos 2t .
Изобразите графики этих траекторий.
6. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее
потенциальная энергия зависит от координаты х как W пот . x   W 0 1  cos ax , где
W 0 и a - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы
около положения равновесия.
7. (*)Определить период малых колебаний математического маятника – шарика,
подвешенного на нити длины   20 см, если он находится в жидкости,
плотность которой в   3,0 раза меньше плотности материала шарика.
Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
8. (*)На стержне длиной   30 см укреплены два одинаковых груза: один – в
середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами
колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец
стержня. Определить приведенную длину и период колебаний такой системы.
Массой стержня пренебречь.
9. Вычислить период малых колебаний ареометра, которому сообщили
небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m  50 г,
радиус его трубки r  3,2 мм, плотность жидкости   1,00 г/см3.
Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
10. В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом,
находится поршень массы m и площадью S. В состоянии равновесия поршень
делит цилиндр на две равные части, каждая объемом V 0 . Давление газа p 0 .
Поршень немного сместили из положения равновесия и отпустили. Найти
частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение
ничтожно малым.
11. По квадратной рамке из тонкой проволоки массой m  2г пропущен ток силой
I  6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на
неупругой нити. Определить период Т малых колебаний такой рамки в
однородном магнитном поле с индукцией B  2 мТл. Силами сопротивления
воздуха пренебречь.
12. Контур образован двумя параллельными проводниками с индуктивностью L
и проводящим стержнем массы m, который может свободно (без трения)
скользить по проводникам (см. рис.). Проводники находятся в
L


B
m
x
(вид сверху)
0
горизонтальной
плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с
индукцией В. Расстояние между проводниками  . В момент времени t  0
41
13.
14.
15.
16.
стержню сообщили начальную скорость  0 . Найти закон его движения xt  ,
если сопротивление контура пренебрежимо мало.
(*)Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой   25 рад/с.
Найти коэффициент затухания  , если в начальный момент скорость точки
равна нулю, а смещение из положения равновесия в   1,020 раза меньше
амплитуды в этот момент.
Математический маятник совершает колебания в среде, для которой
логарифмический
декремент
затухания
Каким
будет
0  1,50 .
логарифмический декремент затухания, если сопротивление среды увеличить
в n  2,00 раза? Во сколько раз следует увеличит сопротивление среды, чтобы
колебания стали невозможны?
(*)Шарик массы m, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на
величину  . Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по
гармоническому закону с амплитудой F0 , шарик совершает вынужденные
колебания. Логарифмический декремент затухания равен  . Пренебрегая
массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой
амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой
амплитуды?
Шарик массы m  50,0 г подвешен на невесомой пружинке жесткостью
k  20,0 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической
силы с частотой   25,0 рад/с шарик совершает установившиеся колебания с
амплитудой a  1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от
вынуждающей силы на   3 4  . Найти:
1) добротность данного осциллятора;
2) работу вынуждающей силы за период колебаний.
Электромагнитные колебания и волны
1.
2.
(*)Колебательный контур состоит из конденсатора емкости С, катушки
индуктивности L с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При
разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения U m и затем в
момент t  0 замкнули ключ. Найти:
1) ток в контуре как функцию времени it  ;
2) э.д.с. самоиндукции в катушке в моменты, когда
электрическая энергия конденсатора оказывается равной
энергии тока в катушке.
Некоторый колебательный контур содержит конденсатор емкостью С,
катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R, а также ключ.
При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и
начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его
амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.
42
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1)
(*)На сколько процентов отличается частота  свободных колебаний контура
с добротностью Q  5,0 от собственной частоты  0 колебаний этого контура?
В контуре, добротность которого Q  50 и собственная частота колебаний
0  5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени
энергия, запасенная в контуре, уменьшится в   2,0 раза?
(*)Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости
С = 22 мкФ и катушки с активным сопротивлением R = 20 Ом и
индуктивностью L = 0,35 Гн, подключена к сети переменного напряжения с
амплитудой U m  180 В и частотой   314 рад/с. Найти:
1) амплитуду тока в цепи;
2) разность фаз между током и внешним напряжением;
3) амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.
Найти добротность колебательного контура, в который последовательно
включен источник переменной э.д.с., если при резонансе напряжение на
конденсаторе в n раз превышает напряжение на источнике.
Цепь, содержащая последовательно соединенные конденсатор и катушку с
активным сопротивлением, подключена к источнику гармонического
напряжения, частоту которого можно менять, не изменяя амплитуды
напряжения. При частотах 1 и 2 амплитуды тока оказались в n раз меньше
резонансной амплитуды. Найти:
1) резонансную частоту;
2) добротность контура.
(*)Конденсатор емкости C  1,0 мкФ и катушку с активным сопротивлением
R  0,10 Ом и индуктивностью L  1,0 мГн подключили к источнику
синусоидального напряжения с действующим значением U  31 В. Найти:
1) частоту, при которой наступает резонанс;
2) действующее значение подводимого тока при резонансе, а
также соответствующие токи через катушку и конденсатор.
(*)Исходя из уравнений Максвелла, показать что для плоской
электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, ,
,
B
E
E
B
t
 C 2
x
t

x
10. (*)Найти среднее значение вектора Пойтинга плоской электромагнитной
волны, если волна распространяется в вакууме.
11. В вакууме в направлении оси х установилась стоячая электромагнитная
волна, электрическая составляющая которой E  Em cos kx  cos t . Найти
магнитную составляющую волны Bx, t  . Изобразите примерную картину
распределения E и B в моменты времени t  0 и t  T 4 , где Т – период
колебаний.
12. Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом е и массой
m, движущейся по круговой орбите радиуса R в поле неподвижного заряда q.
43
Рекомендуемая литература
1)
2)
3)
Савельев И.В. Курс физики: учебник для ВТУЗов.-М: Наука, 1977г.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебное пособие для ВТУЗов.- М:
Высшая школа, 1989г.
Трофимова Т.И., Курс физики: учебное пособие для инж.-техн. Спец. ВУЗов.М: Высшая школа, 1990-1998 гг.