õíðï

13.4.5. Теорема Умова–Пойнтинга
Как уже отмечалось в начале раздела 13.1, электромагнитное поле
является носителем определенного количества энергии и с его помощью
может осуществляться передача энергии на расстояние. Запас энергии в
некотором объеме V можно подсчитать с учетом соотношения (13.8):
1
 DE BH 
2
2
W   wЭМ dV   

dV   (ε a E  μ a H )dV .
2 
2V
V
V 2
Этот запас непрерывно изменяется во времени со скоростью
W
E
H 

   εaE
 μaH
dV .
t V 
t
t 
Если изменение происходит за счет токов проводимости и смещения, плотность которых без учета тока переноса определяется по (13.5),
то из уравнений Максвелла (13.10) следует:
E D
H B
a

 δ  E  [H]  E,  a

 [E] .
t
t
t
t
Таким образом, подынтегральное выражение в предыдущей формуле
можно представить в виде:
E
H
aE
 aH
 E[H]  H[E]  E 2 .
t
t
Первые два слагаемых правой части с обратным знаком являются не
чем иным, как результатом вычисления дивергенции векторного произведения [EH]. Действительно, обращаясь с оператором «набла» как с
вектором, но не забывая, что он одновременно и символ дифференцирования, можно записать: [EH] = E[H] + H[E] = H[E] – E[H].
Поэтому выражение скорости изменения энергии в объеме V
W
можно записать в виде:
   E 2 dV   [EH]dV .
t
V
V
Первый интеграл в правой части выражения учитывает потери
энергии в рассматриваемом объеме. Второй интеграл преобразуем по
теореме Остроградского–Гаусса:  [EH]dV   [EH]ds . Он представV
S
ляет собой поток энергии, уходящей в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V. Плотность этого потока
(количество энергии, проходящей в единицу времени через единичную
площадку, нормальную к направлению потока энергии) выражается
вектором Пойнтинга П = [EH].
Теперь формула скорости изменения энергии может быть приведена к виду, который представляет собой математическую запись теоремы Умова–Пойнтинга:
W

  E 2dV   Ï ds.
(13.66)
t V
S
Фактически эта теорема формулирует баланс мощностей для
определенной области пространства. Поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух слагаемых: мощности тепловых потерь в объеме V, ограниченном этой поверхностью,
и мощности, с которой изменяются запасы энергии в том же объеме.
Пример 13.18. Передача энергии по коаксиальному кабелю.
Известны напряжение между медной жилой и оболочкой
кабеля U , ток в этих проводниках I, а также их радиусы r0 , r1 , r2 ,
обозначенные на рис. 13.23, и абсолютная диэлектрическая проницаемость изоляции  a .
Оценить вектор Пойнтинга в различных частях кабеля.
Решение
Пусть центральный проводник имеет положительный заряд, а
наружный – отрицательный. Тогда вектор напряженности электрического поля Е в изоляции практически лежит в плоскости, нормальной к
оси кабеля. Продольная составляющая этого вектора для силового кабеля на несколько порядков меньше нормальной, и ею в первом приближении можно пренебречь. В проводниках вектор Е совпадает по
направлению с током I, т. е. в центральном проводнике он направлен
«к нам», а в наружном – «от нас».
Вектор напряженности магнитного поля Н имеет лишь азимутальную составляющую и в любой точке внутри кабеля направлен против часовой стрелки.
Вектор Пойнтинга П = [EH] в соответствии с правилом правоходового винта («буравчика») в изоляции направлен вдоль оси кабеля в ту
же сторону, что и ток в центральном проводнике, то есть от источника к
приемнику.
Все упомянутые выше векторы в различных точках кабеля (без соблюдения масштабов) также показаны на рис. 13.23. Каждая пара векторов
образует прямой угол.
П
E
H
I
H
П
I
E
dr
I
r
r0
П
r1
H
E
Рис. 13.22
Количество энергии, проходящей в единицу времени через кольцеобразный элемент сечения радиусом r и толщиной dr, равно
dP  EH  2r  dr , где Е и Н определяются соответственно по формуU
B
I
лам (13.30а) и (13.59б): E 
, H
. Тогда

r ln( r1 / r0 )
 0 2r
UIdr
и после интегрирования последнего выражения в преdP 
r ln( r1 / r0 )
делах от r0 до r1 найдем энергию, передаваемую сквозь сечение изоляционного слоя в единицу времени: P  UI . Это не что иное, как
мощность передачи энергии по кабелю. Так что передача энергии происходит не внутри проводников, а по разделяющему их изоляционному
слою. Проводники лишь обеспечивают ее движение в нужном направлении.
При этом часть энергии поступает внутрь проводников для компенсации потерь на их нагревание. Например, на поверхности цен
I
I
трального проводника E   2 , H 
, поэтому внутрь про r0 
2r0
водника длиной l проникает в единицу времени энергия, покрывающая
джоулевы
потери
P  ПSl  EH  2πr0l  I 2l /( πr02 γ)  I 2 R1,
где
R1  l /(r02 ) – сопротивление жилы кабеля. Подобным же образом
можно показать, что энергия, проникающая в наружный проводник,
расходуется именно на его нагревание.