Тема 3 Кинематика поступательного движения»

Тема 3
«Кинематика поступательного движения»
В соответствии с изложенным во второй лекции начнем изучение с поступательного
движения.
Кинематика – раздел механики, описывающий механическое движение без изучения
причин его вызвавших.
Для описания перемещения тела в пространстве (а это и есть механическое движение)
введем систему отсчета и будем использовать модель матеиальной точки.
По отношению к системе отсчета положение точки А в данный момент времени в
декартовой системе координат, используемой наиболее часто, определяется тремя

координатами: xA , y A , z A или радиус – вектором r , проведенным из точки начала отсчета
в данную точку (см. рисунок 1).
Рис. 1
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются.
Уравнение выражающие зависимость радиус – вектора движущийся точки от времени
 
r  r (t ) или эквивалентная ему система трех скалярных уравнений
 x  x(t )

 y  y (t )
 z  z (t )

называются уравнениями движения точки или законом движения.
Введем еще несколько необходимых понятий.
Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в
пространстве. Это не очень точное, хотя простое и понятное определение. Точнее было бы
сказать, что траектория – это геометрическое место точек, последовательно занимаемых
телом в процессе движения.
В зависимости от формы траектории движения подразделяются на прямолинейные и
криволинейные. Если все точки траектории лежат в одной плоскости, движение
называется плоским.
Траектории механического движения в различных системах отсчета могут иметь
неодинаковую форму. Исследуя пространственно – временное перемещение тел,
кинематика оперирует следующими физическими величинами – время, длина пути,
перемещение, скорость движения и ускорение.
Рассмотрим движение материальной точки по произвольной траектории. Отсчет времени
начнем с момента, когда точка находилась в положении А (см. рисунок 2).
Длиной пути называется длина участка траектории АВ, пройденного материальной
точкой с момента начала отсчета времени. Длина пути является скалярной функцией
времени S  S (t ).
Рис. 2
  
Перемещением называется вектор r  r  r0 .

Средней скоростью v движения за интервал времени t  t  t0
называется физическая величина
 

 r  r0 r
v 

t  t0 t
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения

r (см. рисуно 3).
Рис. 3
Средняя скорость характеризует движение в течение всего интервала времени, для
которого она определена. Это простое определение, но
Мгновенной скоростью в момент времени называется физическая величина, равная
пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшение интервала
времени t



r
v  lim v  lim
t 0
t 0 t
В математике такой предел называется производной, поэтому

 dr
v
dt

Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в сторону
движения материальной точки.
Средним ускорением неравномерного движения за интервал времени t  t  t0
 

называется физическая величина

v  v0 v
 a 

t  t0
t
Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t называется
физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при
бесконечном уменьшении интервала времени t




v dv
a  lim a  lim

t 0
t 0 t
dt

Направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора v (см. рисунок 4).
Рис. 4
С мгновенным ускорением дело обстоит сложнее, поэтому рассмотрим это подробно.
Как всякий вектор, вектор ускорения при произвольном плоском движении (например,
вращательном) материальной точки можно представить в виде суммы его составляющих
по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В качестве одного направления
выберем направление касательной в рассматриваемой точке траектории, тогда другим
перпендикулярным направлением окажется направление нормали к кривой в этой же
точке.
Составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории, называется

тангенциальной составляющей ускорения ( a ) и определяет быстроту изменения
скорости движения по численному значению.
Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости и в
противоположенную сторону – при убывании скорости.
Тангенциальная составляющая ускорения численно равна производной скорости по
времени и характеризует быстроту изменения скорости по численному значению.
a 
dv
dt

Вторая составляющая называется нормальной составляющей ускорения ( an ) и
направлена по нормали к касательной и к центру вписанной в данной точке
окружности (поэтому ее называют также – центростремительным ускорением).
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости
движения по направлению и численно равна
v2
an 
R
где R – радиус криволинейной траектории в данной точке (радиус вписанной
окружност и). Способ определения радиуса кривизны произвольной кривой излагается
в специальной математической дисциплине, которая называется дифференциальная
геометрия.
Таким образом, мгновенное ускорение представляется в следующем виде

 dv  
a
 a  an
dt
(см. рисунок 5).
Рис. 5
При этом величина ускорения равна
a  a2  an2
Рассмотренная процедура определения скорости и ускорения по заданному закону
движения называется прямой задачей кинематики.
Данное определение можно представить в виде диаграммы
Прямая задача кинематики



r (t )  v (t )  a (t )
Указанная задача решается с помощью операции дифференцирования.
Задачу определения скорости и закона движения по заданному ускорению естественно
называть обратной задачей кинематики.
Обратная задача кинематики



a (t )  v (t )  r (t )
Естественно, что эта задача решается с помощью операции интегрирования



v (t )  v0   a (t )dt

 
v (t )  v0  at



r (t )  r0   v (t )dt


 
at 2
r (t )  r0  v0t 
2
Первая и третья формулы соответствуют решению в общем случае, а вторая и четвертая для постоянного ускорения.
Следует отметить, что указанное решение обратной задачи справедливо только в том
случае когда ускорение является функцией только времени. Однако, в большинстве
интересных для приложений задач ускорение является функцией координат или скорости.
Окончательное решение обратной задачи, поэтому, возможно только в рамках динамики,
о чем будет рассказано в соответствующем месте.
Рассмотренные в данной лекции определения позволяют ввести новое понятие – понятие
состояния. Под состоянием обычно понимают минимальный набор величин, который дает
возможность предсказывать дальнейшее поведение системы.
Для классической механики таким набором будут радиус-вектор и скорость (или радиус
вектор и импульс), а для квантовой механики – волновая функция  (r ) .