Кинематика. Способы задания движения. Скорость точки

http://teormex.net
7
Кинематика
Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с
геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Способы
задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении.
Естественный сп. указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения
точки. При прямолинейном движении: х=f(t).
Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).
Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений
параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).
Векторный сп. положение точки определяется ее радиус-вектором
z
 
r  r (t ) , проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая выr
k
черчивается концом какого-либо вектора, назыв. годографом этого
O
y
вектора. Т.е. траектория – годограф радиус-вектора. Связь между
j




i
r

x

i

y

j

z

k
координатным
и
векторным
способами:
,
x  
( i , j, k – орты – единичные вектора, сонаправленные с какой-либо осью)
 x
модуль r  x 2  y 2  z 2 , направляющие косинусы: cos(x, r )  и т.д.
r
t
Переход от координатного способа к естественному: s   x 2  y 2  z 2 dt .
0

 d r 
 r – первая производная от радиус-вектора
Скорость точки. Вектор ск-сти: v 
dt
 dx  dy  dz 
v
 i   j  k .
по времени (точка обозначает производную по времени); 
dt
dt
dt
dx
dy
dz
 x , v y 
Проекции скорости: v x 
 y , v z 
 z . Модуль скорости:
dt
dt
dt
v

v  v 2x  v 2y  v 2z , направляющие косинусы: cos(x, v)  x и т.д. Если модуль скоv
рости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.
ds
 ds  
 s – модуль скорости, вектор скорости: v    ,  –
При естественном сп.: v 
dt
dt
орт касательной, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории. Если
v>0, то движение происходит в сторону положительного отсчета дуговой координаты и наоборот. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус,
=(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление v r  r , поперечное
направление v p  r   , модуль скорости v  r 2  r 2  2 ; x=rcos, y=rsin.
http://teormex.net
8


dv
 dv d 2 r  
 2  v  r , [м/сек2]. Проекции уск.-я: a x  x  v x  x
Ускорение точки. a 
dt
dt dt
 a
и т.д. Модуль уск.-я: a  a 2x  a 2y  a 2z , направляющ. косинусы: cos(x, a )  x , и т.д.
a
При задании движения в полярных координатах: проекции ускорения на радиальное
  2r , модуль ускоренаправление a r  r  r   2 , поперечное направление a p  r  
ния a  a 2r  a 2p . При естественным сп. задания движения полное ускорение рас 

кладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: a  a n  a  .
v2
,  – радиус кривизны траектории, нор
мальное ускорение направлено по нормали к траектории ( к касательной) всегда к
y
центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное
аx
ускорение характеризует изменение скорости по направлеx
dv d 2 s
90o
аn

нию. Модуль касательного ускорения a  
, направа
dt dt 2
лено по касательной к траектории, либо в сторону скорости,
n

либо в обратную. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. При ускоренном движ-ии
а
аy
направление касат. уск. и скорости совпадают, при замедлен 
ном – противоположно. a n  a  ,  a  a 2n  a 2 . Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости  его проекция на бинормаль равна 0 (главная нормаль лежит в соприкасающейся плоскости, т.е. в плоскости плоской кривой, бинормаль – 
к главной нормали и касательной). Частные случаи движения точки: 1) Прямолинейное: радиус кривизны =  (бесконечно большой)  аn=0, a=a. 2) Равномерное
криволинейное движ-ие: v=const  a=0, a=an. Уск. появляется только за счет изменения направления скорости. Закон движ-ия: s=s0+vt, при s0=0 v=s/t.
3) Равномерное прямолинейное движ-ие: а=a=an=0. Единственное движ-ие, где а=0.
a t 2
4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: a=const, v=v0+at, s  s 0  v 0 t 
.
2
При равноуск. движении знаки у a и v одинаковы, при равнозамедленном – разные.
Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси. Поступательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное
самой себе. При поступат. движ. все точки тела описывают одинаковые траектории
и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости
и ускорения. Вращательное движение тела – такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом,
остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела. При этом
движении все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения,
Модуль нормального ускорения: a n 
http://teormex.net
9
и описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Урав-ние (закон)
вращательного движ.: =f(t) – угол поворота тела в радианах. (1 рад= 180о/=57,3о).
d
  , [рад/с] – определяет быстроту изменения угла поворота.
Угловая ск-сть:  
dt
Вектор угловой скорости тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси,
направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение буn
дет против час. стрелке. "n"– число оборотов в мин. [об/мин], 1об=2 рад,  
.
30
d d 2 
 
 , [рад/с2]. Вектор углового ускорения


Угловое ускорение тела:  
dt dt 2
также направлен вдоль оси вращения. При ускоренном движении совпадает по
направлению с угловой скоростью и противоположно при замедленном вращении.
Частные случаи вращения тела: 1) Равномерное вращение: =const, =t, =/t,
t 2
2) Равнопеременное вращение: =0+t;   0 t 
, здесь начальный угол 0=0.
2
  
v
  r –
Скорости
и
ускорения
точек
вращающегося
тела.
z
а
v скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг
aц
неподвижной оси, равна векторному произведению вектора
С
aвр
М
R
угловой скорости тела на радиус–вектор этой точки. Модуль
 
векторного произведения: v=rsin()= (CM), (СМ) – расr

стояние от точки М до оси вращения. Направлен вектор скоy
рости по касательной к окружности, по которой перемещаетО
x
ся точка М, в сторону вращения.
  
i j k



  
Формулы Эйлера: v    r   x  y  x  i ( y z  z y)  j(z x   x z)  k ( x y   y x ) ,
x
y z
x,y,z – проекции вектора угловой скорости. Проекция вращательной (окружной)
скорости: vx=yz – zy; vy=zx – xz; vz=xy – yx. Если ось вращения совпадает с
         
осью z, то vx= – y; vy=x. Ускорение: a    r    v    r    (  r ) . Враща
 
тельное ускорение a вр    r , модуль вращат. уск. авр=rsin, направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости. Центростремительное

    
(осестремительное) ускорение a ц    v    (  r ) , ац=2R, направлено по радиусу к оси (центру) вращения. Модуль полного уск.: a  (a ц ) 2  (a вр ) 2  R  2  4 .
a вр

Угол, между векторами полного и центростремит-ного ускорений: tg  ц  2 .
a
