1. Аксиомы вещественных чисел.

1. Аксиомы вещественных чисел.
2.
3.
Простейшие свойства арифметических операций (вывод из аксиом). Определения разности и
частного.
Простейшие свойства неравенств, связь с арифметическими операциями (вывод из аксиом).
4. Аксиома полноты (для разбиения R на два множества X,Y: X≤Y) и ее следствие
(для произвольных двух непустых подмножеств X,Y:X≤Y).
5. Границы числовых множеств. Теорема о существовании супремума.
6. Определение натуральных чисел. Принцип математической индукции.
Неравенство Бернулли.
7.
Существование минимума в любом непустом ограниченном подмножестве натуральных чисел.
Неограниченность множества натуральных чисел.
8. Определение элементарных функций. Корень n-ой степени.
9. Определение элементарных функций. Степень с вещественным показателем.
10. Определение элементарных функций. Логарифм.
11. Лемма о вложенных отрезках.
12. Теорема о выборе конечного покрытия отрезка интервалами из произвольного.
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
14. Предел последовательности. Единственность. Лемма о стабилизации знака.
15. Предельный переход в неравенстве. Лемма о двух милиционерах.
16. Бесконечно малые последовательности. Простейшие свойства.
17. Арифметические действия с пределами.
18. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционерах в этом случае.
19. Арифметические действия с бесконечными пределами.
20. Предел функции в точке. Эквивалентность определений Коши и Гейне.
21. Теорема о существовании предела монотонной функции.
22. Число e. Доказательство существования предела последовательности (1+1/n)n.
23. Существование предела функции (1+x)1/x при x→0.
24. Замечательный предел, связанный с синусом.
25. Определение непрерывной функции в точке и на промежутке. Арифметические
действия с непрерывными функциями.
26. Теорема о непрерывности монотонной функции.
27. Непрерывность композиции непрерывных функций.
28. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы для логарифма
и функции (1+x)u.
29. Подпоследовательности. Принцип выбора Больцано-Вейерштрасса.
30. Критерий Коши сходимости последовательности.
31. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.
32. Теорема Вейерштрасса. Ограниченность непрерывной функции.
33. Теорема Вейерштрасса. Существование максимума.
34. Критерий Коши для функций.
35. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
36. O- и o- символика. Арифметические операции. Эквивалентные функции.
37. Дифференцируемость. Производная в точке. Переформулировка в терминах
существования предела отношения.
38. Арифметические операции – производная суммы, произведения, частного.
39. Производная композиции функций.
40. Обратное отображение. Теорема о существовании для монотонной
непрерывной функции.
41. Производная обратной функции.
42. Таблица производных (с доказательствами).
БИЛЕТ №1
4. Аксиома полноты (для разбиения R на два множества X,Y: X≤Y) и ее следствие
(для произвольных двух непустых подмножеств X,Y:X≤Y).
25. Определение непрерывной функции в точке и на промежутке. Арифметические
действия с непрерывными функциями.
БИЛЕТ №2
5. Границы числовых множеств. Теорема о существовании супремума.
26. Теорема о непрерывности монотонной функции.
БИЛЕТ №3
8. Определение элементарных функций. Корень n-ой степени.
27. Непрерывность композиции непрерывных функций.
БИЛЕТ №4
11. Лемма о вложенных отрезках.
28. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы для логарифма
и функции (1+x)u.
БИЛЕТ №5
12. Теорема о выборе конечного покрытия отрезка интервалами из произвольного.
29. Подпоследовательности. Принцип выбора Больцано-Вейерштрасса.
БИЛЕТ №6
13. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
30. Критерий Коши сходимости последовательности.
БИЛЕТ №7
14. Предел последовательности. Единственность. Лемма о стабилизации знака.
31. Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.
БИЛЕТ №8
15. Предельный переход в неравенстве. Лемма о двух милиционерах.
32. Теорема Вейерштрасса. Ограниченность непрерывной функции.
БИЛЕТ №9
16. Бесконечно малые последовательности. Простейшие свойства.
33. Теорема Вейерштрасса. Существование максимума.
БИЛЕТ №10
17. Арифметические действия с пределами.
36. O- и o- символика. Арифметические операции. Эквивалентные функции.
БИЛЕТ №11
18. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционерах в этом случае.
38. Арифметические операции – производная суммы, произведения, частного.
БИЛЕТ №12
20. Предел функции в точке. Эквивалентность определений Коши и Гейне.
37. Дифференцируемость. Производная в точке. Переформулировка в терминах
существования предела отношения.
БИЛЕТ №13
21. Теорема о существовании предела монотонной функции.
39. Производная композиции функций.
БИЛЕТ №14
22. Число e. Доказательство существования предела последовательности (1+1/n)n.
41. Производная обратной функции.
БИЛЕТ №15
24. Замечательный предел, связанный с синусом.
40. Обратное отображение. Теорема о существовании для монотонной
непрерывной функции.