Таблица 4 - Кинематические параметры механизма
advertisement
Министерство образования и науки Украины Донбасская государственная машиностроительная академия МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по дисциплинам «Теория механизмов и машин» и «Прикладная механика» для студентов всех специальностей дневного и заочного обучения КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ ПЛАНОВ Перезатверджено на засiданнi методичноi ради факультету ПiМОТ протокол №6 вiд 20.02.2012 Краматорск 2007 1 УДК 621.01 Методические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по дисциплинам «Теория механизмов и машин» и «Прикладная механика» для студентов всех специальностей дневного и заочного обучения. Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов / Сост.: В.А. Загудаев, В.Е. Шоленинов. – Краматорск: ДГМА, 2007. – 68 с. В методических указаниях изложена методика исследования кинематических параметров рычажных механизмов методом планов, рассмотрены особенности определения скоростей и ускорений в различных механизмах II класса, приведены примеры кинематического анализа механизмов. Составители: Загудаев В.А., доц., к.т.н. Шоленинов В.Е., асс. Отв. за выпуск Карнаух С.Г. 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………………………….4 1 Построение планов механизма и определение траекторий точек методом засечек ......................................................................4 2 Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма методом планов ..............................................................12 3 Особенности построения планов скоростей для кулисных механизмов .........................................................................................23 4 Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизма методом планов ..............................................................28 5 Особенности построения планов ускорений для кулисных механизмов .........................................................................................36 6 Пример кинематического анализа рычажного механизма .............42 6.1 Исходные данные ........................................................................42 6.2 Планы механизма ........................................................................42 6.3 Планы скоростей..........................................................................43 6.4 Планы ускорений .........................................................................48 Приложение А. Планы скоростей элементарных механизмов II класса ..............................................................................................52 Приложение Б. Планы ускорений элементарных механизмов II класса ...............................................................................................59 Список рекомендованной литературы ...............................................64 3 ВВЕДЕНИЕ Для расчета и проектирования разного рода машин, в основу которых положены шарнирные механизмы, необходимо знать траектории, описываемые их характерными точками, а также величины и направления скоростей и ускорений, возникающих у этих точек в различных положениях механизмов. Кинематическое исследование механизмов можно проводить аналитическими и графическими методами. Рассмотрим наиболее простой и наглядный графический метод определения траекторий, скоростей и ускорений точек и звеньев, широко применяемых в машинах шарнирных механизмов II класса. 1 ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНОВ МЕХАНИЗМА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ТОЧЕК МЕТОДОМ ЗАСЕЧЕК Вид траекторий точек механизма часто определяет его практическое применение. Графическое определение траекторий производится методом засечек. Он позволяет определить положения всех точек механизма, соответствующие принятым положениям ведущего звена (чаще всего кривошипа) и, таким образом, произвести разметку траекторий точек механизма. При изучении движения звеньев механизма вместо его конструктивного изображения обычно составляется кинематическая схема механизма, которая является его кинематической моделью и строится в выбранном масштабе с точным соблюдением всех тех размеров и форм, от которых зависит взаимное движение звеньев. Все лишнее, не характерное для движения звеньев, должно быть исключено из кинематической схемы механизма, чтобы не усложнять чертежа. Таким образом, для определения положений звеньев и траекторий точек механизма необходимо построить его кинематическую схему, которая при графическом исследовании должна быть выполнена в строго определенном масштабе. В теории механизмов и машин пользуются понятием вычислительного масштаба, или так называемого масштабного коэффициента, имеющего определенную размерность. Масштабным коэффициентом некоторой физической величины называется отношение действительного значения 4 данной величины в свойственных ей единицах к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину на чертеже. Масштабные коэффициенты позволяют переходить от отрезков на чертеже к действительным значениям изображаемых ими физических величин (перемещений, скоростей, ускорений, сил и т.д.) и наоборот. Чтобы получить действительное значение искомой величины и ее размерность, необходимо взятый из чертежа отрезок в миллиметрах, изображающий эту величину, умножить на соответствующий масштабный коэффициент, и, наоборот, чтобы найти длину отрезка, которым необходимо показать данную физическую величину на чертеже, надо действительное численное значение этой величины разделить на соответствующий масштабный коэффициент. Например, при построении кинематических схем механизмов в ТММ применяется не масштаб М, а масштабный коэффициент длины l, который показывает число метров натуры, содержащееся в 1 мм схемы. Следовательно, l μl AB , (AB) где lAB - действительная длина некоторого звена АВ механизма, м; (АВ) - изображение этого звена на схеме, мм. Переход от масштабного коэффициента длины l к чертежному масштабу М и наоборот осуществляется по следующим формулам: M Так, если 0,001 ; μl обычный μl чертежный 0,001 м , . мм M масштаб равен М 1:2, то μl 0,002 м , и надо читать: 0,002 м в 1 мм чертежа; если М 1:5, то мм μl 0,005 м , и т.д. Например, отрезок (АВ)=100 мм в масштабе длины мм μl 0,005 м дает действительный размер lAB=1000,005=0,5 м. мм При выполнении построений кинематических схем механизмов желательно выбирать такой l, который соответствовал бы одному из стандартных чертежных масштабов М (табл. 1). 5 Таблица 1 – Стандартные чертежные масштабы М l , 5:1 2:1 м 210-4 510-4 мм 1:1 1:2 1:2,5 1:4 1:5 1:10 110-3 210-3 2,510-3 410-3 510-3 110-2 Для решения задачи о положениях звеньев механизма должны быть заданы кинематическая схема механизма и функция перемещений ведущего звена механизма. Схема механизма и размеры всех его звеньев определяются в результате кинематического синтеза механизма, исходя из требований того технологического процесса, для выполнения которого предполагается использовать этот механизм. При кинематическом исследовании механизмов в первом приближении будем предполагать движение его ведущего звена равномерным. Определение траекторий и их разметку проведем методом засечек на примере шестизвенного механизма, показанного на рис.1. Зная размеры всех звеньев механизма ( lO1 A , l AB , lO2 B , lO2 C , lCD ), а также конструктивные размеры a и b, изображаем механизм в положении (выделено на рисунке жирными линиями), соответствующем заданному положению входного звена 1, в выбранном масштабе l. Для этого все размеры механизма необходимо перевести в масштаб делением на l: (O1 A) lO1 A μl , мм; lO B l (AB) AB , мм; (O2 B) 2 , мм и т.д. μl μl Взаимное расположение звеньев движущегося механизма все время меняется, но в каждый данный момент времени положение каждого из них является вполне определенным. Графическое изображение кинематической схемы механизма, соответствующее заданному положению его входного звена, называется планом механизма. Ряд последовательных планов механизма, построенных для моментов времени, следующих друг за другом, позволяет наглядно проследить за движением данного механизма. 6 l ... м мм С3 С6 С7 С1 С0,8 С2 С4С5 Ск S40 S4 S4к Bк 4 Dк D5 D4 B6 2 D7 D3 D6 H D2 5 O1 A5 A6 О2 a Рисунок 1 – Планы положений рычажного механизма 7 A2 рx Aк 3 D1 D0,8 A3 A4 b Fпс B B4 3 B5 B2 B7 B1 B0,8 1 1 A1 xx A0,8 A7 Для построения планов механизма, изображенного на рис. 1, зададимся разметкой траектории точки А кривошипа 1, вращающегося вокруг оси О1 с постоянной угловой скоростью ω1 const . Траекторией этой точки является окружность радиуса О1А с центром в точке О1. Обычно отмечают 8…30 положений точки А. Разметку необходимо выполнять так, чтобы в неё попали крайние положения механизма (когда звенья О1А и АВ находятся на одной прямой, а выходное звено 5 может двигаться только в одном направлении). При этом O1 B0 AB O1 A и O1 Bк AB O1 A (см. рис.1). За начало отсчета следует принимать одно из крайних положений механизма, определив предварительно углы поворота кривошипа для рабочего pх и холостого xх ходов, причем pх xх . Отсчет положений необходимо вести в направлении вращения кривошипа. Будем полагать, что в механизме, изображенном на рис.1, основные исследования проводятся для ползуна 5. Тогда для рассматриваемого механизма можно принять равномерную разметку (разбивку) траектории точки А. За нулевое (начальное) положение А0 принимаем положение кривошипа в конце холостого, начале рабочего хода (когда звенья механизма занимают крайнее правое положение). На рабочем ходу выходное звено 5 преодолевает силу полезного сопротивления Fnc (движение ползуна справа налево). Положение А0 определяется следующим образом. Очевидно, что при движении механизма звено 3 будет совершать вращательное движение вокруг оси О2 (точнее, качаться с некоторым углом размаха ), поэтому траекториями точек В и С коромысла 3 будут дуги окружностей с радиусами, соответственно, О2В и О2С. Из центра О2 опишем эти дуги. Затем из центра О1 раствором циркуля, равным (АВ-О1А), сделаем засечку на дуге радиуса О2В. Полученная точка В0 определяет крайнее правое положение коромысла О2С. Проведя из точки В0 через точку О1 прямую до пересечения с траекторией точки А, получим точку А0. Она и определяет начальное положение механизма, которое иногда называют ”мертвым” положением, т.к. при переходе кривошипа через это положение происходит мгновенная остановка и смена направлений движения всех остальных звеньев механизма, в том числе и ползуна 5. Нетрудно понять, что для определения другого “мертвого” (конечного) положения механизма необходимо из 8 центра О1 сделать засечку раствором циркуля, равным (АВ+О1А), на той же дуге радиуса О2В. Полученная точка Вк определяет крайнее левое положение коромысла О2С. Соединив Вк с О1 прямой линией, найдем Ак как точку пересечения этой линии с траекторией точки А. Разметим 8 равностоящих положений точки А от А0 в сторону вращения кривошипа 1. Затем, делая на дуге радиуса О2В засечки из всех точек Аi (i=1, 2, 3, … , 8) раствором циркуля, равным АВ, разметим траекторию точки В. Проводя через каждую точку Вi лучи О2Вi до пересечения с дугой радиуса О2С, разметим траекторию точки С, причем каждый из этих лучей показывает соответствующее положение коромысла 3. И, наконец, засечками из всех точек Сi раствором циркуля, равным СD, разметим прямолинейную траекторию точки D ползуна 5, движущегося в прямолинейных горизонтальных направляющих. Значения перемещений Si точки D (ход ползуна) в метрах, отсчитываемые от нулевого положения точки D0, заносим в табл. 2, где Si=(D0Di )l, (например, S3=(D0D3)l и т.д.). Если последовательно соединить прямыми линиями все размеченные точки Аi, Вi, Сi, Di, имеющие одинаковые индексы, то можно получить 8 планов механизма, соответствующих 8 равноотстоящим (через 45 ) положениям кривошипа О1А, которые нумеруют А1, А2, А3, … , А8 в направлении его вращения. Аналогичным путем можно построить план механизма для любого заданного положения входного звена. Кроме того, имея разметку характерных точек механизма, можно построить траекторию любой точки данного механизма. Траектории различных точек шатунов, т.е. звеньев со сложным движением (на рис. 1 это звенья 2 и 4), называются шатунными кривыми. Они имеют самую разнообразную форму, и вследствие этого часто используются в специальных машинах, например в картофелекопалках, сеноворошилках, тестомесилках и т.п. В качестве примера на рис. 1 построена шатунная кривая S40 S4к , которая представляет собой траекторию движения центра масс S4 шатуна 4. Для её построения необходимо по имеющейся разметке точек С и D (рис. 1) показать все положения звена СD и на каждом из них отметить точки S 4i . Геометрическое место этих точек и дает искомую шатунную кривую точки S4. По имеющейся разметке траектории можно достроить диаграмму перемещений S() для любой точки механизма в координатах: перемещение S 9 – угол поворота кривошипа (отсчитываемый от его нулевого положения). График S() дает функцию изменения положений рассматриваемой точки (или звена) от положения входного звена, выраженную графически. Поэтому зависимость S() часто называют функцией положения. Построим диаграмму S() перемещения ползуна 5 рассматриваемого механизма. Для этого выбираем прямоугольную систему координат S (рис. 2) и задаемся удобными величинами отрезков (0-8) и (S max ) в миллиметрах, которые в масштабе изображают, соответственно, угол, равный 2 и отвечающий одному обороту кривошипа 1, и полный ход H ползуна 5, причем H (D0 Dк )μl , м. м мм м V=... с мм м a=... с 2 мм S,V,a S=... =... град рад =... мм мм Smax S() =... с t мм Vmax V() 0 1 2 3 4 5 7 8 ,t хх amax рх 6 a() Рисунок 2 – Диаграммы движения ползуна 5 Тогда масштабные коэффициенты углов поворота кривошипа и перемещения ползуна будут, соответственно, равны: 10 μ рад 2π , ; (0 8) мм μS H м . (S max ) мм , Отрезок (0-8) разбиваем на 8 (по числу положений кривошипа) равных частей: (0-1), (1-2), (2-3) и т.д., соответствующих равным углам поворота кривошипа (в данном случае 45 ). Найденные ранее значения перемещений Si ползуна для каждого из положений кривошипа переводим в масS штаб S: (S i ) i , мм, и откладываем полученные отрезки (Si ) из соответμS ствующих точек оси абсцисс 1, 2, 3, … , 8 в виде ординат (S1), (S2), (S3), … , (S8). Соединяя концы этих отрезков плавной кривой, получаем искомую диаграмму S(). При равенстве масштабных коэффициентов μ S μl построение диаграммы упрощается. О построении диаграмм скорости и ускорения ползуна 5, показанных на рис. 2, будет сказано ниже. В случае построения диаграммы перемещений для точки, имеющей криволинейную траекторию, например для точки S4, задаются прямоугольной системой координат x-y с началом в нулевом положении точки, проектируют на эти координаты перемещения точки, отсчитывая их от нулевого положения, и по полученным проекциям перемещений строят два графика Sx() и Sy() описанным выше способом. При равномерном вращении кривошипа по оси абсцисс (рис. 2) одновременно можно отсчитывать и время t, т.е. график S() является также и функцией S(t), но в другом масштабе t , который легко определяется на основании того, что при равномерном вращении кривошипа время t Относя постоянную ω1 в масштаб, получаем: μt μ ω1 , ω1 . c . мм Выше был рассмотрен механизм, для которого можно задаваться равномерной разметкой траектории ведущей точки А, поскольку у этого механизма величины рабочего рх и холостого хх углов поворота кривошипа отличаются незначительно. Однако существуют механизмы, для которых приходится применять разный шаг разметки траектории ведущей точки на участках рабочего и холостого ходов. На рис.5, a показана кинематическая 11 схема механизма поперечно-строгального станка, для которого желательно брать разный шаг разметки траектории точки А кривошипа 1 на участках рабочего рх и холостого хх углов поворота кривошипа вследствие большой разницы величин этих углов. Из рисунка видно, что для нахождения угла рх, на который должен повернуться кривошип 1, чтобы звено 5 переместилось на величину рабочего хода H, и угла хх, соответствующего обратному ходу звена 5, необходимо из точки О2 провести касательные к окружности радиуса О1А. Эти касательные отображают крайние положения кулисы 3, качающейся вокруг оси О2 с углом размаха . В этих положениях кривошип располагается перпендикулярно кулисе. В данном случае каждый из углов рх и хх делится на одинаковое (или разное) число равных частей, соответствующих шагу разметки, разной для рх и хх. Полученные положения ведущей точки кривошипа размечаются по направлению вращения кривошипа. По принятой разметке ведущей точки определяются и размечаются траектории остальных точек механизма описанным выше методом засечек. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК И УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА МЕТОДОМ ПЛАНОВ Знание скоростей различных точек и угловых скоростей звеньев механизмов необходимо для решения ряда вопросов кинематики и динамики этих механизмов, в частности, для определения приведенных сил и масс, расчета работы и мощности машин и т.д. Достаточно часто для определения скоростей точек механизмов используется метод планов скоростей, который основан на решении векторных уравнений графическим путем. Этот метод находит довольно широкое применение в инженерной практике ввиду его простоты и наглядности, а также потому, что при соответствующем выборе масштаба может быть обеспечена достаточная точность. Планом скоростей (или ускорений) механизма называется масштабное построение, в котором векторы абсолютных скоростей (или ускорений) точек механизма выходят из одной точки, называемой полюсом 12 плана, а отрезки, соединяющие концы этих векторов, изображают относительные скорости (или ускорения) точек. Полюс плана скоростей принято обозначать буквой р, а полюс плана ускорений – . Из этих определений следует, что нулевые векторы на планах изображаются точкой – полюсом плана. При построении планов скоростей (или ускорений) приходится выполнять графическое решение векторных уравнений, в процессе которого применяется геометрическое сложение векторов. Концы векторов скоростей VA , VB , VC , … или ускорений a A , a B , aC , … точек А, В, С, … механизма принято на планах скоростей и ускорений обозначать одноименными малыми буквами a, b, c, … . Поэтому на планах векторы абсолютных скоростей точек изображаются отрезками pa , pb , pc , … ; векторы ускорений – a , b , c , …, а векторы относительных скоростей VBA , VCB , … или относительных ускорений a BA , aCB , … изображаются отрезками ab , bc , … . Это позволяет не проставлять на планах исходные обозначения векторов, чтобы не загромождать чертеж. Рассмотрим метод построения планов скоростей на примере кинематического анализа шестизвенного механизма, изображенного на рис.3 в масштабе l, для которого известны истинные длины li всех звеньев и угловая скорость входного звена 1 - 1. Найдем скорости характерных точек механизма для заданного его положения, определяемого углом 1* (обобщенная координата механизма), который отсчитывается от нулевого положения в сторону вращения кривошипа 1. Для определенности задачи в механизмах с одной степенью подвижности достаточно знать угловую скорость начального звена 1. Будем считать, что 1=const для всех положений механизма. Вообще говоря, вид функции изменения угловой скорости ведущего звена 1(t) зависит от сил, действующих на механизм. Но при кинематическом исследовании силы не вводятся в рассмотрение, и закон 1(t) остается неизвестным. Это вынуждает задаваться видом функции 1(t). Обычно принимают простейший закон равномерного вращения ведущего звена 1=const. 13 l ... С м мм F 4 4 4 B S4 3 D, S5 S3 x 2 S2 2 O1 3 3 О2 1 S1 A0 a Рисунок 3 – План кривошипно-коромыслового механизма 14 A 1 b Fпс x 5 2 d,s5 а s1 a f s4 s2 p V ... м c мм s3 b c б d, s5 s1 a n4 c n3 s4 b s3 μa ... s2 f n2 а - план скоростей; б - план ускорений Рисунок 4 – Планы скоростей и ускорений кривошипно-коромыслового механизма 15 м c 2 мм Действительные же величины и закон изменения углов поворота кривошипа 1(t), а следовательно, угловой скорости 1(t) и углового ускорения 1(t) определяются в динамике машин и зависят от распределения масс и сил, приложенных к звеньям данной машины. И если при динамическом исследовании оказывается, что изменение скорости 1(t) значительно отличается от принятого в кинематике 1=const, то необходимо повторить кинематическое исследование, вводя действительные значения 1 для каждого положения механизма. Расчет скоростей точек механизма начинают с определения скорости той точки входного звена, которая является центром вращательной кинематической пары (шарнира), связывающей входное звено со следующим подвижным звеном механизма. В рассматриваемом примере – это точка А, общая для звеньев 1 и 2. Так как кривошип 1 вращается вокруг оси О1, то скорость точки А определяется по формуле, м , с V A ω1lO1 A . (1) Если задана частота вращения кривошипа n в оборотах за минуту, тоπn1 рад , . Направлен вектор VAO1 A в сторону вращения криво30 с шипа. Выберем масштаб плана скоростей. В зависимости от имеющегося на чертеже места задаемся длиной от- гда ω1 резка, изображающего вектор VA : (pa)=50…80 мм. Тогда масштабный ком эффициент плана скоростей, , с мм μV VA . (pa) (2) Сначала величину отрезка (pa) выбираем произвольно, но такой, чтобы μV получился в виде “круглого” числа, удобного для расчетов. Например, если по формуле (2) получился V =0,0432 чательно V =0,04 м , то принимаем оконс мм м , а затем обязательно уточняем длину отрезка (pa) с мм 16 при принятом округленном значении V , мм: V (pa) A . μV Этот отрезок (pa) и будет изображать скорость точки А при выбранном масштабном коэффициенте V =0,04 м , его и откладываем из с мм произвольно выбранного полюса p так, чтобы вектор pa был направлен перпендикулярно О1А в данном положении кривошипа в сторону его вращения (см. рис. 3). Скорости всех остальных точек механизма находятся из двух условий, учитывающих, что все шарниры, связывающие некоторые два звена, одновременно принадлежат обоим этим звеньям. Возможность составления соответствующих векторных уравнений и определяет последовательность рассмотрения механизма. При выполнении кинематического анализа используются теоремы классической механики о скоростях и ускорениях точек плоской фигуры и теоремы о сложении скоростей и ускорений точки, находящейся в сложном движении. Широко используются также теоремы подобия для планов скоростей и ускорений, о которых будет сказано ниже. Скорость точки В определяется из следующих условий. 1 Рассмотрим точку В, принадлежащую звену 2 (точка В является общей для звеньев 2 и 3), которое совершает плоское движение. Из кинематики твердого тела известно, что плоское движение тела может быть представлено как состоящее из переносного поступательного движения тела вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом) и относительного вращения вокруг полюса. Поэтому скорость любой точки звена, совершающего плоское движение, может быть выражена геометрической суммой скорости полюса и скорости ее движения вокруг этого полюса. В данном случае, выбрав за полюс точку А, скорость которой уже известна, можем записать векторное уравнение VB V A VBA , O2 B (3) O1 A BA где VBA - вектор относительной скорости точки В в ее вращательном 17 движении вокруг полюса А, и поэтому вектор VBA BA. Модуль VBA пока неизвестен. В уравнении (3) и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный только по направлению, подчеркнут одной линией. Ниже подчеркивающих линий обычно указываются направления соответствующих векторов, т.к. это удобно для выполнения построений. 2 Теперь рассмотрим точку В, принадлежащую звену 3. Это звено совершает вращательное движение вокруг оси О2, и поэтому вектор абсолютной скорости любой его точки направлен перпендикулярно радиусу вращения О2В, следовательно, VB O2B. В соответствии с определением плана скоростей уравнение (3) можно записать и в отрезках плана в следующем виде: pb pa ab . O2 B O1 A BA (4) Решаем графически векторное уравнение (3) либо (4). Для этого через точку a плана скоростей проводим прямую линию, перпендикулярную звену АВ плана механизма, а из полюса p – линию O2 B . Пересечение этих прямых дает точку b, удовлетворяющую уравнениям (3) и (4). Векторы pb и ab направляют в соответствии с правилами сложения векторов (они в принятом масштабе изображают искомые скорости VB и VBA ). Из плана скоростей определяют модули абсолютных и относительных скоростей точек, м : с VB=(pb)V; VBA=(ab)V. Векторы скоростей остальных точек механизма находятся аналогично. Построение их будем излагать более кратко. Скорость точки F, принадлежащей звену 2, определяется из следующих условий: 1 Приняв за полюс точку А звена 2, можно записать: 18 VF V A VFA . (5) O1 A FA 2 Если принять за полюс точку В звена 2, то справедливо уравнение VF VB VFB . O2 B (6) FB В результате совместного графического решения векторных уравнений (5) и (6) определим скорость VF . Для этого через точку a проводим прямую AF , а через точку b – прямую BF и в пересечении этих прямых получаем точку f, являющуюся решением уравнений (5) и (6). Вектор VF абсолютной скорости точки F изображается вектором pf , а ее модуль VF=(pf)V. Векторы относительных скоростей VFA и VFB изображены векторами af и bf соответственно. Из выполненного построения следует, что abf плана скоростей подобен ABF плана механизма, т.к. стороны этих треугольников взаимно перпендикулярны. Скорость точки С коромысла 3 определяется из пропорции, составленной на основании положения механики, согласно которому скорость любой точки вращающегося тела пропорциональна расстоянию от этой точки до оси вращения. Следовательно, (O2C) VC (pc) , (O2 B) VB (pb) откуда, (7) м , c VC VB (O2C) (O2 B) или в отрезках (O C) м (pc) (pb) 2 , . (O2 B) c Направлен вектор VC O2С в ту же сторону, что и вектор VB , т.е. VC VB . Поэтому на плане скоростей откладываем вычисленный вектор pc 19 в направлении pb , т.е. на его продолжении. Скорость точки D, общей для звеньев 4 и 5, найдем из следующих условий: 1 Рассмотрим точку D, принадлежащую звену 4, которое совершает плоское движение. Выбрав за полюс точку С, можем записать: VD VC VDC . //x x O2 C (8) DC 2 С другой стороны, точка D принадлежит ползуну 5, поступательно движущемуся в горизонтальных направлениях, и совершает вместе с ним прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль линии х–х (см. рис. 3). Следовательно, абсолютная скорость точки D VD x-x. Для графического решения уравнения (8) проводим через точку С прямую линию CD, а из полюса р – прямую //x–x. Пересечение этих линий дает точку d, а вектор pd в масштабе изображает скорость VD . Таким образом, построен план скоростей для заданного положения механизма. Он дает направления векторов абсолютных и относительных скоростей, а для определения действительных величин этих скоростей необходимо длины соответствующих отрезков плана в миллиметрах умножить на масштабный коэффициент V, например: VD=(pd)V; VC=(pc)V; VDC=(cd)V и т.д. При построении плана надо иметь в виду, что полюс р отображает все неподвижные точки механизма. Следствия. Из проведенных построений можно вывести следующие общие для всех механизмов свойства планов скоростей: 1 О направлениях векторов относительных скоростей. Направления векторов относительных скоростей точек на планах скоростей обратны порядку следования индексов в их обозначениях. Например, относительная скорость VBA (точки В вокруг А) направлена от а к b (см. рис.4, а) и, наоборот, относительная скорость V AB (точки А вокруг В) направлена от b к а. Аналогично VDC направлена от с к d, а VCD – от d к c и т.д. Вследствие этой двойственности векторов относительных скоростей иногда на планах скоростей их направления стрелкой не указывают. На рис.4, а направления векторов относительных скоростей соответствуют за20 писанным векторным уравнениям. 2 О величинах и направлениях угловых скоростей звеньев. Имея план скоростей, можно найти угловую скорость любого звена, совершающего вращательное или плоское движение. Например, величина угловой скорости вращающегося звена 3, ω3 VB lO2 B рад , с VC . lO2 C (9) Направление 3 находится мысленным переносом вектора VB (или VC ) из плана скоростей в соответствующую точку B (или С) плана механизма и определением возможного поворота звена 3 вокруг точки О2 при данном направлении скорости VB (или VC ). Аналогично определяются угловые скорости 2 и 4 звеньев, совершающих плоское движение, но при этом всегда используют только относительные скорости точек: V ω4 DC . lCD V ω2 BA ; l AB (10) Направления 2 и 4 также находятся мысленным переносом векторов относительных скоростей VBA и VDC из плана скоростей в соответствующие точки В и D плана механизма и определением направлений относительного поворота звеньев 2 и 4 вокруг выбранных полюсов А и С при данных направлениях VBA и VDC (см. рис. 3 и 4). Следует помнить, что 5=0, т.к. ползун совершает поступательное движение. 3 Теорема подобия плана скоростей. Фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими некоторые точки одного и того же звена на плане механизма, и фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими концы векторов абсолютных скоростей этих точек на плане скоростей, подобны, повернуты одна относительно другой на 90 и сходственно расположены. Это правило называют теоремой подобия плана скоростей. Термин "сходственно расположенные" означает, что одна фигура получается из другой простым поворотом в плоскости без переворачивания в пространстве, т.е. порядок следования букв на 21 схеме механизма и на плане скоростей при обходе по контуру фигуры, например, по часовой стрелке, должен сохраняться. Так, выше было показано, что имеющий место на плане механизма ABF подобен abf, полученному на плане скоростей. Пользуясь правилом подобия, можно найти скорости любых точек механизма, например, центров масс Si звеньев VS i (psi )μV . Так, если шатун 2 – однородное тело, то его центр масс S2 расположен в точке пересечения медиан ABF, и для определения скорости VS 2 нужно провести медианы в abf, пересечение которых определит конец вектора ps2 , соответствующего вектору VS 2 . Скорость точки S4 можно определить из пропорции (cs4 ) (CS4 ) (cs ) , откуда (cs4 ) (cd) 4 . (cd) (CD) (cd) (11) Для определения VS1 и VS 3 используют соотношения, аналогичные выражению (11). Тогда VS 1 (ps1 )μV ; VS 2 (ps2 )μV ; VS 3 (ps3 )μV ; VS 4 (ps4 )μV ; VS 5 (ps5 )μV VD . Кроме этого, следует обратить внимание на то, что определив скорости точек А и В, скорость точки F можно было бы определить по теореме подобия, построив на стороне ab плана скоростей abf , подобный ABF по известным углам у вершин A и B. Для полного исследования скоростей точек механизма строят планы скоростей для каждого из размеченных положений механизма. Результаты построений, измерений и вычислений сводят в таблицу по форме табл. 2. Имея данные табл. 2, можно построить графики зависимости скорости какой-либо точки механизма от угла поворота ведущего звена или от времени t, например точки D ползуна 5. Такая диаграмма V() для ползуна 5 показана на рис. 2. Ее построение аналогично построению диаграммы S(), а ее масштаб V может отличаться от масштаба плана скоростей либо быть равным ему (тогда построение упрощается). Для удобства сравнения диаграмма скоростей точки D V() совмещена с диаграммой перемещения S() и диаграммой ускорений этой точки a(). 22 Таблица 2 - Данные к построению планов скоростей Величина Номер положения SD VA (pb) VB (ab) VBA (pc) VC (cd) VDC (pd) VD V S1 (ps2) VS 2 (ps3) V S3 (ps4) V S4 V S5 м м м м м м м мм мм мм мм мм с с с с с с м с мм м с мм м с мм м с 1 2 3 4 5 рад с м с 0 2 0 3 0 4 const 1 const 0 const 0 0 5 0 6 0 7 0 8 0 23 При построении всех этих диаграмм за положительное направление векторов S , V и a принимают направление положительных приращений, считая их от начального (нулевого) положения рассматриваемой точки. Так, для точки D ползуна 5 рассматриваемого кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 1) за нулевое положение принято крайнее правое ее положение D0. Следовательно, положительные приращения функции S() будут направлены справа налево. Поэтому за положительные ординаты графиков S(), V() и a() следует брать векторы S Di , VDi и a Di , направленные справа налево. Векторы же S Di , VDi и a Di на планах механизма, на планах скоростей и на планах ускорений, направленные в противоположную сторону, должны откладываться в сторону отрицательных ординат на соответствующих диаграммах. При построении графиков S(), V() и a() следует пользоваться известным методом определения экстремальных значений функций, с помощью которого можно показать, что там, где график функции S(t) имеет максимум, график ее производной V(t) проходит через нуль, а экстремальным значениям графика V(t) соответствуют точки перегиба графика S(t) и т.д. (см. рис. 2). Имея для точки D механизма графики S(), V() и a(), можно по ним найти значения S Di , V Di и a Di (при известных S, V и a) для любого заданного положения механизма, определяемого углом поворота кривошипа 1. 3 ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ КУЛИСНЫХ МЕХАНИЗМОВ Кулисными называют механизмы, имеющие ползуны (кулисные камни) на подвижных направляющих (кулисах) с вращательным или плоским движением. Построение планов скоростей и, особенно, планов ускорений для таких механизмов имеет некоторые особенности. Построение планов скоростей покажем на примере механизма поперечно-строгального станка с двумя ползунами (камнями) на направляющем звене (кулисе) 3 (рис. 5, а). H 5 B0 x VB45 B3 4 B Bк 3 Fпс x aBк45 B3 3 VA3 A12 2 A0 90 рх 1 O1 1 A 3 aAк3 A12 Aк хх 90 x 3 4 3 5 3 а м l =... мм O2 y x B y б а - с группой Ассура 4-го вида; б - с группой Ассура 5-го вида Рисунок 5 – Планы кулисного механизма У таких механизмов следует различать две совпадающие на стержне, но принадлежащих разным звеньям точки А: А12 и А3, а также две точки В: В3 и В45, которые необходимо рассматривать раздельно. Цифры при буквах соответствуют номерам звеньев, которым эти точки принадлежат, и вопрос об их цифрах решается путем внимательного анализа схемы механизма. 25 Так, точка А12, принадлежит шарниру, связывающему кривошип 1 и камень 2, и является их общей точкой (это ось вращения камня относительно кривошипа). Точка А3 принадлежит кулисе (цифры при буквах соответствуют номерам звеньев, которым эти точки принадлежат). Очевидно, что эти точки имеют разные абсолютные скорости и, следовательно, имеют относительные скорости VA3 A12 или VA12 A3 VA3 A12 , направленные вдоль звена 3. Скорость точки А12 определяется по уравнению (1). Выбор масштабного коэффициента плана скоростей V и вектора pa 12 , изображающего скорость V A12 , осуществляется точно так же, как и в рассмотренном выше примере. Скорость точки А3, совпадающей в данный момент с точкой А12, определим из двух условий, известных из общей механики о переносном и относительном движении точек. 1 Рассматривая движение точки А3 вместе с точкой А12 и относительно нее, запишем: V A3 V A12 V A3 A12 . O2 A O1 A (12) //O 2 A 2 Точка А3 вращается вместе со звеном 3 вокруг оси О2, следовательно, вектор абсолютной скорости этой точки VA3 O2 A . Реализуем графически векторное уравнение (12). Для этого через точку а12 (рис. 6, а) плана скоростей проводим прямую //O2А, а из полюса р – линию О2А. Пересечение этих линий дает точку а3, а вектор pa 3 изображает в выбранном масштабе скорость V A3 . Скорость точки В3 кулисы 3 найдем из пропорции, аналогичной выражению (7), применяя теорему подобия: (O2 B) VB3 (pb3 ) (O B) , откуда (pb3 ) (pa3 ) 2 . (O2 A) V A3 (pa3 ) (O2 A) 26 (13) (b'5 ) b45 p VB45 B3 b3 (b'34 ) a3 а VA3 A12 V =... a12 (b'5 ) a12 м с мм b45 k2 a =... a3 м с 2 мм n3 б (b'34 )b3 k4 а – план скоростей; б - план ускорений Рисунок 6 – Планы скоростей и ускорений кулисного механизма 27 Откладываем вектор pb 3 O2B в направлении pa 3 на его продолжении. Угловую скорость звена 3 легко определить по уравнению ω3 V A3 lO2 A VB3 (pb3 )μV (pa3 )μV или ω3 . (O2 A)μl lO2 B (O2 B)μl (14) О направлении 3 судим по направлению вектора скорости V A3 или VB3 . Скорость точки В45, общей для камня 4 и штока 5 и совпадающей в данный момент с точкой В3, находим из двух условий аналогично определению скорости А3: 1 Рассматривая движение точки В45 вместе с точкой В3 и относительно нее, можно записать: VB45 VB3 VB45 B3 . //x x O2 B (15) //O 2 B 2 Точка В45 перемещается по горизонтали вместе со звеном 5 параллельно линии х-х (рис. 5, а), так как звено 5 – шток, перемещающийся в горизонтальных направляющихся точки VB45 //x-x. Реализуя графически векторное уравнение (15), проводим через точку b3 плана скоростей линию //O2B, а из полюса р – линию //x-x. Тогда точка b45 пересечения этих линий определяет конец вектора pb 45 , изображающего абсолютную скорость VB45 . Значения относительных скоростей VA3 A12 и VB45 B3 из построенного плана скоростей будут равны, м : с V A3 A12 (a12 a3 )μV ; VB45 B3 (b3b45 )μV . (16) Если камень 4 соединить шарниром В не со звеном 5, а с кулисой 3 и обеспечить возможность его перемещения вдоль прямолинейной направляющей y-y звена 5 (рис. 5, б), то движение камня 4 можно представить составленным из двух прямолинейных поступательных движений: вместе со 28 звеном 5 (теперь кулисой) и относительно него (при условии, что остальная часть механизма осталась без изменений, как на рис. 5, а). В новом варианте механизма, в отличие от вышерассмотренного, точка В34 является общей для кулисы 3 и камня 4 (это ось вращения камня относительно кулисы), поэтому VB4 VB3 и pb'34 на плане изображает VB34 . Скорость точки В5, совпадающей в данный момент с точкой В34 и принадлежащей кулисе 5, которая совершает поступательное движение параллельно линии х-х, определим по уравнению VB5 VB34 VB5 B34 . //x x O2 B //y y ' Решая графически это уравнение, проводим через точку ( b34 ) линию //y-y (на рис. 6, а проведена пунктиром), а из полюса р – линию //x-x. Пере- сечение этих линий дает точку ( b5' ), которая является концом вектора pb'5 , изображающего скорость VB5 . Для решения задач кинематики любого плоского механизма II класса необходимо уметь строить планы скоростей различных элементарных механизмов. Необходимые векторные уравнения и методика построения планов скоростей для ряда наиболее распространенных из этих механизмов представлены в приложении А. 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК И УГЛОВЫХ УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА МЕТОДОМ ПЛАНОВ Знание ускорений точек и угловых ускорений звеньев механизмов необходимо для решения ряда вопросов кинематики этих механизмов, для определения динамических нагрузок на звенья, для выяснения неравномерности движения, уравновешивания машин и т.д. Наиболее универсальным, простым и наглядным методом определения ускорений в механизмах является метод планов ускорений, позволяющий найти ускорение любой точки механизма в рассматриваемом его положении. Построим план ускорений механизма, показанного на рис. 3, в 29 положении, заданном углом *, для которого уже построен план скоростей (рис. 4, а) в масштабе V. Расчёт ускорений (как и скоростей) начнём с определения ускорения точки А входного звена, являющейся общей точкой кривошипа 1 и шатуна 2. Ускорение точки А кривошипа 1, совершающего вращательное движение, определяется геометрической суммой нормального и касательного ускорений: а A а An a Aτ . //AO1 (17) AO1 τ Поскольку принято 1=const, то 1=0 и a A ε1lO1 A 0 . Тогда a A a An , и их модули a A a nA ω12lO1 A , м . Направлен вектор a A a An с2 вдоль звена О1А (рис. 3) от точки А к центру его вращения О1, как указано стрелкой в уравнении (17). Выбрав полюс (рис. 4, б) плана ускорений, изображаем вектор a A отрезком (а), направленным //О1А от А к О1. Длину отрезка (а) и масштабный коэффициент а плана ускорений выбираем, руководствуясь теми же соображениями, что и при выборе (ра) и V в плане скоростей, приняв удобное значение a, м 2 с мм , обязательно уточняем (а): a (а)= A , мм. μa Ускорение точки В, общей для звеньев 2 и 3, определяется из двух условий: 1 Рассматриваем точку В, принадлежащей звену 2, совершающему плоское движение. Как и в случае определения скоростей, раскладываем плоское движение звена 2 на переносное поступательное движение вместе с точкой, выбранной за полюс, и относительное вращательное движение вокруг этого полюса. Тогда полное ускорение какой-либо точки звена 2 будет равно геометрической сумме переносного ускорения полюса и относитель30 ного ускорения точки в её движении вокруг полюса. Выбрав за полюс точку А звена 2, ускорение которой уже известно, запишем уравнение для определения ускорения точки В: a B a A a BA , или n τ , а B а A а BA a BA //AO1 //BA (18) BA n τ где a BA a BA - вектор полного относительного ускорения точ a BA ки В в её вращательном движении вместе со звеном 2 вокруг точки А; n τ и a BA - нормальная и касательная составляющие относительного a BA n τ ускорения a BA ( a BA a BA ). n В уравнении (18) вектор a BA направлен вдоль линии АВ плана мехаτ низма от точки В к центру относительного вращения А, а вектор a BA АВ. n Значение a BA определяем по формулам: 2 V м n n aBA ω22l AB или a BA BA , . l AB с 2 Угловая скорость 2 и относительная скорость VBA определяются из плана скоростей. Принято концы векторов всех нормальных составляющих относительных ускорений обозначать на планах ускорений буквой n с цифровыми индексами, соответствующими номеру рассматриваемого звена. Тогда векторное уравнение (18) можно записать в отрезках плана ускорений: πb πa an2 n2 b . //AO1 //BA 31 BA (19) В уравнении (19) вектор b соответствует вектору a B , вектор a n τ вектору a A , вектор an 2 - вектору a BA и вектор n2 b - вектору a BA . Длина отрезка (an2) на плане будет, мм: (an2 ) n a BA μa . 2 Рассматриваем точку В, принадлежащую звену 3, которое совершает вращательное движение вокруг оси О2. Тогда полное ускорение точки В будет а B а Bn a Bτ , //BO 2 (20) BO 2 или в отрезках плана b n3 n3b . // BO 2 (21) BO 2 Вектор нормального ускорения a Bn направлен вдоль линии О2B на n плане механизма от В к O2, а его модуль a B ω32lO2 B . Длина отрезка, a Bn n изображающего вектор a B на плане ускорений, будет (n3)= , мм. Векμa тор a Bτ O2B. Решим графически систему двух векторных уравнений (18) и (20) или (19) и (21). Согласно уравнению (19) из точки а плана ускорений (рис. 4, б) откладываем отрезок ( an 2 ) //ВА по направлению от В к А и через конец вектора an 2 проводим линию АВ. По уравнению (21) из полюса откладываем отрезок ( πn 3 )//BO2 по направлению от В к O2 и через точку n3 проводим прямую BO2. Пересечение этой прямой с линией, проведённой через точку n2АВ, даёт точку b, которая является решением системы уравнений (19) и (21). Вектор πb изображает абсолютное ускорение a B точки В, его модуль aB=(b)a. Вектор ab изображает полное относительное ускорение 32 n . При реализации уравнения (20) вектор a Bn откладываем из полюса , a BA так как этот вектор является нормальной составляющей абсолютного ускорения точки В, а не относительного ускорения (по определению плана, векторы всех абсолютных ускорений точек выходят из полюса). Из плана: aBA=(ab)a; aBA =(n2b)a; a B =(n3b)a. Ускорение точки F звена 2 определится по известным ускорениям точек А и В из следующих двух уравнений, аналогичных уравнению (18): 1 Выбрав за полюс точку А, можно записать: n τ . а F а A а FA a FA //FA (22) FA n a FA n 2 Значение a FA ω2 l AF , а его изображение на плане (an'2 ) . μa FA. Направлен вектор an' 2 //FA от точки F к точке А. Вектор a FA 2 Выбрав за полюс точку В, запишем: n τ . а F а B а FB a FB //FB (23) FB n a FB 2 n Значение a FB = ω2 l BF , а его изображение на плане ( bn" 2 )= . a FB. Направлен вектор bn" 2 //Fb от точки F к точке В, а вектор a FB Решаем графически систему векторных уравнений (22) и (23). По уравнению (22), из точки а откладываем вектор an' 2 //FA и через его конец n'2 проводим линию FA. По уравнению (23), из точки b откладываем отрезок ( bn" 2 )//FB и через точку n"2 проводим прямую FB. Пересечение прямых, проведенных через точки n'2 и n"2, даёт точку f, которая является концом вектора f , изображающего в масштабе ускорение a F , его величина aF=(f )a. 33 Ускорение точки С звена 3 определится на основании положения теоретической механики о том, что ускорения всех точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами вращения. Следовательно, можно записать пропорцию, аналогичную выражению (7): O C O2 C ac (c) , откуда (c) (b) 2 , мм. O2 B ab (b) O2 B Значение ускорения aС=(c)a. Направлен вектор aC // a B и в ту же строну, поэтому из полюса откладываем c на продолжении b . Ускорение точки D, общей для звеньев 4 и 5, определится из двух условий: 1 Рассмотрим точку D, принадлежащую звену 4, которое совершает плоское движение. Принимая за полюс точку С, аналогично уравнению (18), можем записать: n τ . а D аC а DC a DC // x x //DC (24) DC n Величина нормального ускорения a DC ω42lCD ; его изображение на плане ускорений (cn4 ) n a DC μa . Направлен вектор cn4 //DC от D к C, а век- τ тор a DC DC. 2 Точка D принадлежит ползуну 5, совершающему прямолинейное возвратно-поступательное движение вдоль x-x. Следовательно, вектор a D абсолютного ускорения точки D//x-x. Решим графически уравнение (24). Из точки С откладываем вектор cn4 в указанном направлении и через его конец n4 проводим линию СD. Затем из полюса проводим прямую //x-x. Пересечение этих линий даёт точку d – конец вектора d , изображающего ускорение a D . Из полученного плана ускорений можно определить для заданного положения механизма ускорение любой его точки, например: 34 a D (d) a ; τ a DC (n4 d)μa ; a DC (cd)μa и т.д. Следствия. Из проведенного построения можно вывести следующие общие для всех механизмов свойства планов ускорений: 1 О направлениях векторов относительных ускорений. Направления векторов относительных ускорений и их составляющих на планах ускорений – обратные порядку следования индексов в их обозначениях. Вектор a BA относительного ускорения точки B вокруг А направлен от a к b (см. рис. 4, б). Это же правило касается и направлений векторов его n . И, наоборот, a , a n и a направлены от b к составляющих a BA и a BA BA BA BA a. Вследствие этой двойственности направлений относительных ускорений стрелки, указывающие их направления, на планах ускорений иногда не ставят. 2 О величинах и направлениях угловых ускорений звеньев. Имея план ускорений, можно для данного положения механизма найти угловое ускорение любого звена с вращательным или плоским движением. Для этого необходимо величину соответствующего касательного ускорения разделить на радиус вращения. Например, угловое ускорение звена 2, совершающего плоское движение, в рассматриваемом положении механизма равно, рад с 2 : ε2 τ a BA l AB . Для определения направления углового ускорения звена необходимо вектор касательного ускорения мысленно перенести из плана ускорений в соответствующую точку плана механизма и установить возможное направление поворота звена (под действием этого вектора) вокруг центра его относительного вращения. Например, ускорение 2 направлено в сторону дей , приложенного в точке В механизма и стремящегося поствия вектора a BA вернуть звено 2 вокруг точки А, т.е. в данном случае по ходу часовой стрел- ки (см. рис. 3 и 4, б). Аналогично определяются величины и направления 3 и 4 : 35 ε3 4= a Bτ lO 2 B τ a DC lCD ; ; 5=0, т.к. ползун движется поступательно. 3 Теорема подобия плана ускорений. Фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими некоторые точки одного и того же звена на плане механизма, и фигура, образованная прямыми линиями, соединяющими концы векторов абсолютных ускорений этих точек на плане ускорений, подобны и сходственно расположены. Это правило называют теоремой подобия планов ускорений. Термин “сходственно расположены” следует понимать так же, как и для планов скоростей. Из теоремы подобия следует, что на плане ускорений abf пропорционален ABF на плане механизма, и ускорение точки F звена 2 можно было бы найти, построив на стороне аb (см. рис. 4, б) abf, подобный ABF и сходственно с ним расположенный. Пользуясь правилами подобия, легко найти ускорение любой точки механизма, например ускорения центров масс звеньев. Они находятся аналогично скоростям центров масс с использованием соотношений типа равенств (11). Из плана ускорений (см. рис. 4, б) видно, что эти ускорения будут равны: a S 1 (s1 ) a ; a S 2 (s 2 ) a ; a S 3 (s3 ) a ; a S 4 (s4 ) a ; a S 5 (s5 ) a a D . Для полного исследования ускорений в механизме построение планов ускорений выполняется для каждого из размеченных положений механизма. Результаты вычислений удобно свести в таблицу по форме табл. 3. 36 Таблица 3 - Данные к построению планов ускорений Величина Номер положения n aA a BA aBA a Bn aB aB n τ a DC aC a DC a D a S1 aS 2 aS 3 aS 4 aS 5 1 рад с2 с2 1 0 2 0 3 0 const 0 const 3 м 0 4 2 0 5 0 6 0 7 0 8 0 4 Имея данные такой таблицы, можно построить диаграмму a( ) или a(t) ускорений какой-либо точки механизма. Такая диаграмма a( ) для точки D ползуна 5 представлена на рис. 2, где она совмещена с графиками S( ) и V( ) и cтроится аналогично им. Следует отметить, что, имея для какой-либо точки механизма, совершающей прямолинейное движение, диаграмму перемещения по времени S(t), можно путём графического дифференцирования получить производные dS d 2S и ускорения а= и, таким образом, полно2 dt dt стью провести кинематическое исследование движения этой точки, используя так называемый метод диаграмм. Аналогично при дифференцировании диаграммы скорости V= диаграммы пути S() по углу поворота входного звена (т.е. по обобщённой dS d 2S координате механизма) можно получить графики и . Первая проd d 2 изводная dS называется аналогом скорости, или первой передаточной d функцией, а вторая производная d 2S d 2 – аналогом ускорения, или второй передаточной функцией. Для обратного перехода от одной диаграммы к другой применяют метод графического интегрирования. 5 ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ПЛАНОВ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ КУЛИСНЫХ МЕХАНИЗМОВ Как уже отмечалось выше, главной особенностью таких механизмов (рис. 5, а) является то, что они имеют ползуны на подвижных направляющих. В этом случае абсолютное движение точек ползуна удобно рассматривать геометрически составленным из переносного движения соответствующей точки направляющей (кулисы), с которой в данный момент совпадает рассматриваемая точка ползуна, и относительного движения ползуна по направляющей. В теоретической механике доказывается, что в случае непоступательного переносного движения (например, вращения) появляется некоторое добавочное, или кориолисово ускорение. Вектор a k кориолисова ускорения точки равен удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения e на относительную скорость точки Vr : a k =2 e Vr . Модуль кориолисова ускорения будет равен a k 2ωeVr sin(ωe Vr ) . Для плоских механизмов угол между векторами e и Vr всегда равен 90, и поэтому величина кориолисова ускорения a k 2ωeVr , (25) a направление a k можно найти, повернув вектор относительной скорости Vr на 90 в сторону переносного вращения (по ходу или против хода часовой стрелки, в зависимости от направления e ). В случае прямолинейной кулисы абсолютное ускорение ползуна a равно геометрической сумме переносного ускорения ae в движении ползуна вместе с кулисой, кориолисова ускорения a k и относительного ускорения a r в движении ползуна относительно кулисы: a = ae + a k + a r . (26) Кориолисово ускорение равно нулю, если e =0 или Vr=0, следовательно, a k =0 в положениях возврата ползуна кулисы (когда e =0) и в положениях возврата ползуна (когда Vr=0). Обычно получается четыре таких положения механизма. При разложении плоского движения тела, которое мы применяли в разд. 4, a k также равно нулю, поскольку переносная часть движения во всех тех случаях являлась поступательной. 39 Построим план ускорений для заданного положения механизма поперечно-строгального станка (см. рис. 5, а), для которого на рис. 6, а построен план скоростей. Данный механизм имеет два ползуна (камня), 2 и 4, на направляющей кулисе 3, совершающей вращательное движение вокруг оси O2. Ускорение точки A12 и масштабный коэффициент плана ускорений a определяются совершенно аналогично тому, как это было сделано в разд. 4 при определении и построении ускорения точки А кривошипа. Из полюса плана ускорений (см. рис. 6, б) откладываем //О1А по направлению от А к О1 отрезок (а12 )= a A12 μa , мм, изображающий вектор ускорения a A12 . Ускорение точки А3, принадлежащей кулисе 3 и совпадающей в данный момент времени с точкой А2 ползуна 2, определяется из двух условий: 1 Рассматриваем движение точки А3 вместе с точкой А12 и относительно неё. Так как переносное движение точки А3 является вращательным, то появится кориолисово ускорение. Тогда для ускорения точки А3 запишем уравнение вида выражения (26): а A3 а A а Ak A a A A , 12 3 12 3 12 //AO1 O2 A (27) //O 2 A где a Ak A - кориолисово ускорение при движении точки А3 относи3 12 тельно точки А12; a A A - относительное ускорение в движении точки А3 относительно 3 12 точки А12. Величина кориолисова ускорения определяется по уравнению (25), при этом переносным движением для ползуна 2 является вращение звена 3, т.е. e =3, а относительным движением – перемещение ползуна 2 по прямолинейной направляющей 3, и, следовательно, относительная скорость Vr точки А3 по отношению к точке А12 равна V A A . Тогда 3 12 a kA A =2 ω3 V A3 A12 . 3 12 40 В этом выражении численные значения 3 и V A3 A12 определяются по формулам (14) и (16), а их направления – из плана скоростей (см. рис. 5, а и 6, а). Направление вектора a Ak A определяем, повернув вектор V A3 A12 , 3 12 который на плане скоростей изображается вектором a12 a3 , на 90 в сторону 3 (как показано на рис. 5, а). На плане ускорений (см. рис. 6, б) вектор a Ak A будем изображать вектором a12 k 2 (индекс при k обозначает номер 3 12 ползуна), тогда длина отрезка (а12k2) определится из равенства, мм: a kA A (a12 k 2 ) 3 12 . μa Поскольку относительное движение ползуна является прямолинейным, то вектор относительного ускорения a A3 A12 направлен вдоль кулисы 3, по которой перемещается ползун 2. Величина a A3 A12 пока неизвестна. 2 Рассматриваем движение точки А3 в её вращении вместе со звеном 3 вокруг оси О2. Тогда абсолютное ускорение точки А3 будет равно а A3 а An a Aτ . 3 3 //AO 2 (28) AO2 Вектор нормального ускорения a An направлен вдоль звена АО2 меха3 низма от точки А и О2. Его значение a nA ω32 lO2 A ω32(O2 A)μl . Длина от3 a nA резка, изображающего вектор a An на плане ускорений, (n3)= 3 , мм. 3 μa Вектор a Aτ O2 A . 3 Решим графически систему векторных уравнений (27) и (28). Для этого, согласно уравнению (27), на плане из точки a12 отложим вектор a12 k 2 O2 A в указанном на рис. 5, а направлении. Через конец k2 этого век- 41 тора проведем прямую //O2A. Затем по уравнению (28) из полюса отложим вектор πn3 //AO 2 по направлению от А к О2 и через точку n3 проведем прямую О2А. Пересечение этой прямой с линией, проведенной через точку k2, дает точку a3. Вектор πa 3 изображает ускорение a A3 в масштабе a. Из плана ускорений: a A3 (a3 ) a ; τ aA (n3 a3 )μa . a A3 A12 (a12 a3 )μ a ; Угловое ускорение кулисы ε3 τ aA 3 l O2 A 3 τ aA 3 (O2 A)μl , рад с2 . Его направле- ние определено по направлению a Aτ (или n3 a3 ) и показано на рис. 5, а, 3 откуда видно, что кулиса 3 в данный момент вращается замедленно, т.к. направления 3 и 3 противоположны. Ускорение точки В3 кулисы 3 можно найти по теореме подобия, пользуясь пропорцией, аналогичной выражению (13): O2 B O2 A a B3 a A3 (b3 ) O B , откуда (a3 ) (a3 ) 2 . O2 A (a3 ) Вектор a B3 // a A3 и одинаково с ним направлен, поэтому на плане из полюса откладываем вектор b3 a B3 (b3 )μa . по направлению a3 . Модуль Ускорение точки В45, являющейся общей для звеньев 4 и 5, определяется аналогично ускорению точки А3 из двух условий: 1 Рассмотрим движение точки В45 вместе с точкой В3 и относительно неё. Поскольку переносное движение точки В3 является вращательным, то возникает кориолисово ускорение, и выражение для ускорения точки В45 будет иметь вид: а B45 а B а Bk B a B B . 3 45 3 45 3 //x x O2 B 42 //O 2 B (29) Учитывая, что в данном случае e=3 и Vr VB45 B3 , значение которой определяется по формуле (16), модуль кориолисова ускорения равен: k aB 2ω3VB45 B3 . 45 B3 Длина отрезка (b3k4), изображающего a B45 B3 на плане ускорений, будет, мм: k aB B (b3 k 4 ) 45 3 . μa Направление вектора a Bk B определяется поворотом вектора отно45 3 сительной скорости VB45 B3 на 90 в сторону 3 (см. рис. 5, а). Вектор относительного ускорения a B45 B3 направлен вдоль кулисы О2В, величина его пока неизвестна. 2 Рассматриваем движение точки В45 вместе со звеном 5, которое совершает прямолинейное возвратно-поступательное движение в горизонтальных направляющих вдоль х-х. Следовательно, абсолютное ускорение a B45 //x-x. Решаем графически векторное уравнение (29). Для этого из точки b3 (см. рис. 6, б) плана ускорений откладываем вектор b3 k 4 , изображающий a Bk B , в указанном на рис. 5, а направлении. Через конец k4 этого вектора 45 3 проводим линию b3 k 4 , а из полюса – линию //х-х. Точка пересечения этих линий есть точка b45, а вектор b45 изображает в масштабе искомое ускорение a B45 . Его значение a B45 =(b45)a. Из построенного плана можно определить направления и численные значения ускорений любых точек и угловых ускорений звеньев механизма. Следует отметить, что поскольку движение камней 2 и 4 относительно кулисы 3 поступательное, то 2=3 и 2=3, а также 4=3 и 4=3. В другом варианте кулисного механизма (см. рис. 5, б) переносным движением для ползуна 4 является поступательное движение звена 5, сле43 довательно, e=5=0 и a k =0. В отличие от рассмотренного выше механизма здесь a B4 a B3 , и на плане ускорений вектор b' 34 изображает a B34 , а ускорение точки В5 в данном случае можно найти по уравнению а B5 а B a B B . 34 5 34 //x x (30) //y y Ускорение Кориолиса в уравнении (30) в отличие от уравнения (29) отсутствует. Для графического решения уравнения (30) необходимо на плане ускорений (см. рис. 6, б) через конец вектора b' 34 провести параллельно y-y линию до пересечения с линией, проведенной из полюса параллельно x-x. Точка пересечения этих линий и представляет собой конец вектора b' 5 , изображающего ускорение a B5 . На рис. 6, б построение по уравнению (30) выполнено пунктирной линией. Значение ускорения a B5 (b' 5 )μ a . Для решения задачи кинетостатики любого плоского механизма II класса при выполнении курсового проекта необходимо уметь строить планы ускорений различных элементарных механизмов. В приложении Б приведены необходимые векторные уравнения и показана методика построения планов ускорений наиболее распространенных типов элементарных механизмов II класса. 6 ПРИМЕР КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЫЧАЖНОГО МЕХАНИЗМА Проведем кинематический расчет кривошипно-ползунного механизма для заданного его положения. 6.1 Исходные данные Исходными данными для расчета являются: - размеры звеньев lAB=0,1 м; lBC=0,4 м; e=0,032 м; 44 - закон движения входного звена: 1=const (частота вращения кривошипа n1=100 об ); мин - обобщенная координата механизма 1=135. 6.2 Планы механизма Принимаем масштабный коэффициент длины l=0,004 м . мм Определяем размеры звеньев для выполнения чертежа: l 0,1 =25 мм; (AB) AB μl 0,004 l 0,4 =100 мм; (BC) BС μl 0,004 (e) e 0,032 =8 мм. μl 0,004 По этим размерам и углу 1 строим два крайних и заданное положение механизма (рис. 7, а) методом засечек (разд. 1). Указываем направление 1 и определяем: - угол рабочего хода кривошипа рх=185; - угол холостого хода хх=175; - полный ход ползуна 3: Н=(С0Сk )l=500,004=0,2 м; - перемещение ползуна S=(C0C)l=410,004=0,164 м. 45 хх Планы механизма l=0,004 H B0 e A 1 1 S1 рх Bk 1 2 2 B 2 Ck C,S3 C0 м мм Fпс x x 3 S2 а Планы скоростей м V=0,02 с мм b s2 s1 p,а b n2 Планы ускорений м а=0,1 с 2 мм s1 s2 c, s3 p0 ,а c, s3 ,а c,s3 0,а c,s3 s1 s2 b s1 б n2 в а - планы положений; б - планы скоростей; в - планы ускорений Рисунок 7 - Планы кривошипно-ползунного механизма 46 s2 b 6.3 Планы скоростей Расчет скоростей начинаем с определения скорости точки В входного звена: VB=1lAB, где 1 n1 30 3,14 100 рад ; lAB=0,1 м. 10,47 с 30 Тогда VB=10,47 0,1=1,047 м . с Вектор VB AB и направлен в сторону вращения кривошипа. Выберем масштаб построения планов скоростей. Назначим предварительно длину отрезка (pb), изображающего скорость VB : (pb)=50 мм. Тогда μV Принимаем V=0,02 VB 1,047 м =0,021 . с мм (pb) 50 м и определяем окончательно: с мм V 1,047 (pb)= B =52,35 мм 52,5 мм. μV 0,02 Из произвольно выбранного полюса р (рис. 7, б) откладываем вектор pb AB и направленный в сторону 1. Анализируя характер движения точек и звеньев рассматриваемого механизма, составляем векторное уравнение для определения скорости точки С: VC VB VCB . //x x (31) AB CB Реализуя это уравнение графически (разд. 2), построим план скоростей механизма для заданного его положения. Из плана: VC=(pc)V=450,02=0,90 47 м ; с VCB=(bc)V=330,02=0,66 м . с V 0,66 рад Угловая скорость звена 2: ω2 CB = =1,65 . 0,4 с l BC Направление 2 определяем, мысленно перенося вектор относительной скорости VCB (т.е. bc ) из плана скоростей в точку С плана механизма и наблюдая, в какую сторону этот вектор стремится повернуть шатун относительно условно неподвижного центра вращения В. В эту сторону и направлена 2. На плане механизма направления угловых скоростей показывают круговыми стрелками (см. рис. 7, а). Значения угловых скоростей и ускорений принято записывать с определенным знаком: "+", если (или ) направлены против хода часовой стрелки, и "–", если наоборот. В нашем случае 2=-1,65 рад . Угловая скорость 3=0, т.к. звено 3 - поступательно с движущийся ползун. Скорости центров масс звеньев VS 1 , VS 2 и VS 3 определяем, пользуясь теоремой подобия. Поскольку центры масс S1 и S2 находятся посередине звеньев АВ и ВС, а S3 совпадает с точкой С, то на плане скоростей соответствующие им точки лежат посередине отрезков (рb) и (bс) и в точке c. Тогда векторы ps1 , ps 2 и ps 3 = pc изображают искомые скорости VS 1 , VS 2 и VS 3 = VC . Следует отметить, что уравнение (31) справедливо при построении планов скоростей для любых положений механизма, в том числе и для крайних. Из полюса р0 (см. рис. 7, б) построим план скоростей для нулевого положения, в котором линии кривошипа АВ и шатуна ВС сливаются в одну линию В0С0. Необходимо обратить внимание на то, что здесь VC =0, т.к. точка с совпадает с полюсом р0, но относительная скорость VCB=(bс)V 0, и, следовательно, 2 0 (часто ошибочно считают, что в крайних положениях механизма 2=0). Как видно из плана скоростей, для данного положения механизма bc =- p0 b , а это значит, что VCB =- VB , и, следовательно, VCB = VB =1lAB. 48 Результаты расчетов удобно представить в виде таблицы 4, в которую и занесены все полученные данные. На рис. 8, б по уравнению (31) выполнены построения планов скоростей для каждого из размеченных на рис. 8, а положений рассматриваемого механизма. 6.4 План ускорений Ускорение точки В равномерно вращающегося кривошипа 1 a B = a Bn (разд. 4), при этом м n . aB ω12l AB =10,47 20,1=10,96 с2 Направлен вектор a Bn вдоль кривошипа от точки В к центру его вращения А. Изображать a B на плане ускорений будем вектором b , проведенным из произвольно выбранного полюса в указанном выше направлении (рис. 7, в), т.е. b // BA (стрелка над ВА показывает конкретно сторону, в которую направлен данный вектор – от В к А). Приняв длину (b)=109,6 мм, получим значение масштабного коэффициента плана ускорений: a B 10,96 м . 0,1 (b) 109,6 с 2 мм Ускорение точки С, общей для шатуна 2, совершающего плоское движение, и для поступательно движущегося вдоль линии х-х ползуна 3, определим по векторному уравнению μa n τ . aC a B aCB aCB //x x //AB //CB (32) CB n Величина нормальной составляющей aCB относительного ускорения м n aCB будет: aCB . ω22l BC 1,652 0,4 1,09 2 с На рис. 8, а показано построение планов рассматриваемого механизма для крайних и каждого из восьми равноотстоящих (через 45) положений кривошипа при том же l. 49 l=410-3 B7 Fпс м мм B6 хх B5 B0,8 A e рх B2 0 B4' 1 1 B3 1 C1,7 x C0 S2 B4 S1 B1 F=40 2 а 2 H мм 3 H C2 C6 4 4' S3 C5 3 C3 S3 C4' C4 Fпс x p,a,c,s3 c,s3 p,a p,a 1 0,8 s1 s1 2 s2 b s2 s1 p,a b b 4 s1 4' p,a,c,s3 c,s3 5 s2 b s2 6 s1 p,a c,s3 b б а - планы положений; б - планы скоростей Рисунок 8 - Планы положений и скоростей кривошипно-ползунного механизма 51 c,s3 p,a p,a c,s3 s2 c,s3 s2 s1 s2 м c мм b 3 b b b s1 s2 s1 c,s3 s2 V=210-2 p,a 7 n Длину отрезка (bn2), изображающего на плане ускорение aCB , находим из равенства (bn2 ) n aCB μa 1,09 10,9 11 мм. 0,1 Решая графически (разд. 4) уравнение (32), получим план ускорений для заданного положения механизма. Из плана ускорений, применяя свойство подобия, можно определить ускорения любых интересующих нас точек механизма, например: м aC a S 3 (c) a 70,5 0,1 7,05 м τ aCB (n2 c)μa 84,5 0,1 8,45 aCB (bc)μa 85 0,1 8,5 a S 2 (s2 ) a 81,5 0,1 8,15 Угловое ускорение шатуна ε 2 τ aCB l BC с с м с 2 м с 2 2 2 2 ; ; ; и т.д. 8,45 рад 21,07 . 2 0,4 с τ Для определения направления 2 мысленно переносим вектор aCB (т.е. n2 c ) из плана ускорений в точку С плана механизма и наблюдаем, в какую сторону этот вектор стремится повернуть звено 2 относительно условно неподвижного центра вращения В. Это и будет направление 2. Из рис. 7, а видно, что в данный момент шатун поворачивается ускоренно, т.к. направления 2 и 2 совпадают. Угловое ускорение ползуна 2=0. На рис. 7, в из полюса 0 построен план ускорений для нулевого положения механизма. Следует иметь в виду, что в этом случае n aCB 0 , т.к. 2 0. 2 VCB V 2 1,0472 м n B 2,74 Здесь aCB . 2 lCB l BC 0,4 с Поскольку на плане механизма линии AB и BC совпадают, то из уравнения (32) следует, что линии векторов b и n2 b также совпадают (см. рис. 7, в). Результаты вычислений кинематических характеристик для заданного и нулевого положений механизма сведены в табл. 4. Пользуясь уравнениями (31) и (32), можно построить планы скоростей и ускорений для любого интересующего положения исследуемого механизма и определить нужные кинематические параметры. 53 Таблица 4 - Кинематические параметры механизма Величина Положение S Нулевое 2 VB VCB VC VS 1 VS 2 aB n τ aCB aCB aCB aC aS1 aS 2 1 2 м с м рад с2 с2 0,164 10,47 -1,65 1,047 0,66 0,90 0,52 0,92 10,96 1,09 8,45 8,5 м Заданное 1 0 рад с 10,47 2,62 1,047 1,047 0 3 7,05 5,48 8,15 0 -21,07 0 0,52 0,52 10,96 2,74 0,95 2,90 8,25 5,48 8,15 0 2,38 0 Приложение А Планы скоростей элементарных механизмов II класса Механизм I(0,1) II(2,3)2,1 B 2 A S2 3 2 1 1 3 S3 S1 С 0 D d a s3 s2 p,c, s1 b V A ω1l S1 A ; VB V A VBA ; VS1 0 ; VC 0 ; BC bcd S 1 A BA BCD; V D pd ; V S3 ps 3 ; (as2 ) (AS 2 ) ; VS2 ps 2 ; (ab) (AB) ω2 VBA ; l AB V ω3 B . l BC y Механизм I(0,1) II(2,3)2,2 B 2 S2 3 y 1 S3 1 S1 A 3 C 0 c b1 p,a,s1 s3 b2 ,b3 ,s2 VB1 ω1l S1 B ; 2=1; ω3 V B3 l AB ; VB3 VB2 VB1 VB2 B1 ; VS1 V A 0 ; AB S1B //y y (ac) (AC) (as3 ) (AS 3 ) ; . (ab3 ) (AB) (ab3 ) (AB) 56 Механизм I(0,1) II(2,3)2,3 C 1 2y 1 D S2 2 S1 3 A,S3 0 y c a2 s2 b d p,a3 ,s1 ,s3 VC ω1l S 1C ; V A2 VC V A2C ; S1C AC V A2 V A3 V A2 A3 ; 0 //y y VS3 V A3 V A0 0 ; ω3 ω2 bcd V A2C l AC ; BCD; V D pd ; V S2 ps 2 ; (cb) (CB) (bd) (BD) ; . (ca 2 ) (CA) (cb) (CB) 57 B B Механизм I(0,1) II(2,3)2,3 A 2 S2 y 3 1 1 S3 С 3 S1 y D 0 d p,c,s1 s3 a12,s2 a3 b V A1 ω1l S1 A ; V A2 VA1 ; AS1 VA3 VA2 VA3 A2 ; AC //y y AS1 ω2 ω3 V A3 l AC ; ( cb ):(ca3):(cd)=(CB):(CA):(CD); (cs3):(ca3)=(CS3):(CA); VS1 0 ; VC 0 . 58 y Механизм I(0,1) II(2,3)2,4 S2 ,SS3 ,A 3 x 2 1 y 1 x S1 0 a1 p, s1 a2 ,a3 ,s2 ,s3 V A1 ω1l S1 A ; 2=1; 3=0; VA3 VA2 VA1 VA2 A1 . //x x S1 A 59 //y y Механизм I(0,1) II(2,3)2,5 D S3 x 3 x y 2 y 1 1 A, S2 C B S1 0 a1,a2 ,s2 ,c p, s1 a3,s3 , b, d V A1 ω1l S1 A ; V A2 VA1 ; AS1 VA3 VA2 VA3 A2 ; //x x //y y 2=3=0; VD VS 3 VB VA3 ; VC V A2 VS 2 . 60 Приложение Б Планы ускорений элементарных механизмов II класса Механизм I(0,1) II(2,3)2,1 B 2 A S2 3 2 1 3 1 S1 S3 С 1 const 0 D d a C aS1 0 ; a A a An a Aτ ; AS1 //AS1 a Aτ ε1l AS1 ; a nA ω12 l AS1 ; n τ n a B a A a BA a BA ; aBA ω22l AB ; s3 ,c,s1 //BA a B a Bn a Bτ ; BC //BC n3 bcd b n1 BA BCD; a Bn ω32 l BC ; (as2 ) (AS 2 ) ; (ab) (AB) a S2 πs 2 ; a S3 πs 3 ; s2 ε2 a n2 61 τ a BA l BA ; a Bτ ε3 . l BC Механизм I(0,1) II(2,3)2,2 C 1 const A 2 1 1 S1 2 S2 3 x x 0 B, S3 ,s1 b,s3 aS1 0 ; a A a An a Aτ ; //AS1 AS1 a nA ω12 l AS1 ; a Aτ ε1l AS1 ; n τ a B a A a BA a BA ; // x x //BA BA n aBA ω22l AB ; ε2 s2 n1 τ a BA ; l BA 3=0; (ac) (AC) ; (ab) (AB) (as2 ) (AS 2 ) . (ab) (AB) n2 a c 62 y Механизм I(0,1) II(2,3)2,2 1 const B 2 y 1 2B 1 S3 1 S1 c 3 VB 1 S2 A Нап рав л. a 90 кор B2 B 1 1 2 C 0 ,a,s1 s3 b2 ,b3 ,s2 n1 n3 b1 k a A aS1 0 ; a B1 a Bn a Bτ ; 1 //BS1 1 a Bn ω12 l BS1 ; 1 a Bτ ε1l BS1 ; 1 BS1 (ac) (AC) (as3 ) (AS 3 ) ; ; a S3 πs 3 ; (ab3 ) (AB) (ab3 ) (AB) a S2 a B3 a B2 a B1 a BкорB a Bотн ; B 2 1 2 1 y y //y y a BкорB 2ω1VB2 B1 ; 2 1 a Bn ω22 l BA ; 3 2=1; ε3 a B3 a Bn a Bτ ; a Bτ 3 l BA 63 . 3 3 //BA BA A 2 1 1 const y S2 3 1 1 90 S3 ,c s1 3 VA 3 a3 s3 b n3 k a12 s2 aC = aS1 0 ; a A1 a A2 a An a Aτ ; 1 1 //AS1 A2 С 3 3 y D S1 0 d Нап равл .a B ко A3 Aр 2 Механизм I(0,1) II(2,3)2,3 n1 a Aτ ε1l AS1 ; a nA ω12 l AS1 ; 1 1 AS1 ; a A3 a A2 a AкорA a Aотн 3 2 3 A2 y y a A3 a An a Aτ ; //y y 3 3 //AC AC a кор 2ω3V A3 A2 ; a nA ω32 l AC ; A A 3 3 2 ε2 ε3 a Aτ 3 ; l AC (cb):( ca 3 ):(cd)=(CB):(CA):(CD); (cs3):(ca3)=(CS3):(CA). 64 Механизм I(0,1) II(2,3)2,3 C 1 1 2 1 S1 D 2 y S2 2 3 1 const A,S3 VA A вл. a aC aCn aCτ ; 90 aCn ω12 lCS1 ; aCτ ε1lCS1 ; 2 3 d CS1 //CS1 Нап ра 2 B aS1 0 ; кор A2 A 3 0 y ; a A2 a A3 a AкорA a Aотн A b 0 2 3 2 3 y y //y y a A2 aC a An C a Aτ C ; a2 s2 2 2 //AC AC a кор 2ω2V A2 A3 ; A A 2 3 k a nA 2C ω22 l AC ; a A3 a A0 0 ; ,s1 ,a2 ε2 ε3 bcd a Aτ 2C l AC ; BCD; (cb):( ca 2 )=(CB):(CA); ( bd ):( cb )=(BD):(CB). n1 n2 c 65 y Механизм I(0,1) II(2,3)2,4 S2 ,S S3 ,A 3 x 2 1 1 A1 1 2 y 1 const x VA S1 На пра вл. к 90 aA ор 1 2 A 1 0 a2 ,a3 ,s2 ,s3 s1 n1 a1 к aS1 0 ; a A1 a An a Aτ ; 1 //AS1 1 a nA ω12 l AS1 ; 1 a Aτ ε1l AS1 ; 1 AS1 ; a A3 a A2 a A1 a AкорA a Aотн 2 1 2 A1 // x x y y a кор 2ω1V A2 A1 ; A A 2 1 ε 2 ε1; 3=0. 66 //y y Механизм I(0,1) II(2,3)2,5 D S3 x 3 x y 2 1 const A, S2 C y 1 B 1 1 S1 0 a3,s3 , b, d s1 n1 a1,a2 ,s2 ,c,k aS1 0 ; a A1 a A2 a An a Aτ ; 1 //AS1 1 y y 1 a Aτ ε1l AS1 ; 1 AS1 ; a A3 a A2 a AкорA a Aотн 3 2 3 A2 //x x a nA ω12 l AS1 ; a кор 2ω2V A3 A2 0 , так как 2=0; A A 3 2 //y y ε 2 ε3 0; a D a S 3 a B a A3 ; aC a A2 a S 2 . 67 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1988. – 580 с. 2 Прикладная механика/ Под ред. Заблонского К.И. – Киев: Выща школа, 1984. – 280 с. 3 Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине ТММ. Кинематический анализ рычажных механизмов / Сост. Загудаев В.А. – Краматорск: КИИ, 1984. – 56 с. 68 Методичні вказівки до виконання розрахунково-графічних і контрольних робіт із дисциплін «Теорія механізмів і машин» і «Прикладна механіка» для студентів усіх спеціальностей денної і заочної форм навчання КІНЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ВАЖIЛЬНИХ МЕХАНІЗМІВ МЕТОДОМ ПЛАНІВ (Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов) Укладачi: ЗАГУДАЄВ Вiктор Олексiйович, ШОЛЕНIНОВ Владислав Євгенович Редактор О.О.Дудченко Комп’ютерна верстка О.П.Ордіна Підп. до друку Формат 60х84/16 Папір офсетний. Ум. друк.арк . Обл.-вид.арк. Тираж прим. Зам.№ . Видавець і виготівник «Донбаська державна машинобудівна академія» 84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72 Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру серія ДК №1633 від 24.12.2003 р. 69