Преобразование графиков

Тема: Преобразование графиков функций
Выполнила:
Вострова Елена Евгеньевна
СВАО, Школа № 298
Москва, 2011 г.
Содержание
Введение ................................................................................................................... 3
Параллельный перенос ........................................................................................... 5
Перенос вдоль оси ординат................................................................................. 5
Перенос вдоль оси абсцисс ................................................................................. 5
Отражение ................................................................................................................ 6
Построение графика функции вида y=f(-x)....................................................... 6
Построение графика функции вида y=-f(x)...................................................... 7
Построение графика четной функции ............................................................... 7
Построение графика нечетной функции ........................................................... 8
Построение графика обратной функции ........................................................... 9
Деформация (сжатие и растяжение) ...................................................................... 9
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат ........................................... 9
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс .......................................... 10
Функции, содержащие знак модуля .................................................................... 11
Построение графика функции y=|f(x)| ............................................................. 11
Построение графика функции y=f(|x|) ............................................................. 11
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных
преобразований графиков элементарных функций (на примерах) .................. 12
Заключение ............................................................................................................ 14
Используемая литература ..................................................................................... 15
2
Введение
Понятие функциональной зависимости, являясь из центральных в
математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни одно другое,
приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во взаимной
связи и обусловленности. Изучение поведения функций и построение их
графиков является важным разделом математики. Существуют различные
способы задания функции: аналитический, табличный, словесный, а также
графический. Иногда график является единственно возможным способом
задания функции. Свободное владение техникой построения графиков часто
помогает решать многие задачи и порой является средством их решения.
Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес
для самих учащихся.
Опыт работы показывает, что материал, связанный с построением
графиков функций учащимися усваивается недостаточно полно с точки
зрения требований, предъявляемых на экзаменах. Поэтому задачи на
построение графиков нередко вызывают затруднения.
Графическое
изображение
функции
дает
весьма
наглядное
представление о поведении функции в целом. Нередко график оказывает
существенную помощь при решении задачи. Поэтому важно уметь упрощать
процедуру
построения
графиков,
используя
для
этого
различные
преобразования.
Иногда график строится с помощью полного исследования функции,
которое устанавливает область определения, область значений, промежутки
убывания и возрастания, промежутки знакопостоянства, асимптоты и т. д.
Но довольно часто при построении графиков функций можно избежать
подобных исследований, используя ряд приемов, позволяющих путем
некоторых преобразований получить график требуемой функции из графика
какой-нибудь хорошо известной функции.
Цель данной презентации – дать систематизированное изложение методов
построения
графиков
функций
в
рамках
программой средней школы.
3
знаний,
предусмотренных
Главное внимание презентации уделено именно методам построения
графиков, а не изучению отдельных видов функций. Такой подход
представляется наиболее целесообразным, так как позволяет сделать
материал более доступным, облегчить усвоение материала учащимися.
А
также рассматриваются примеры построения графиков сложных функций с
помощью
последовательных
преобразований
графиков
элементарных
функций.
Презентация может быть использована как элемент урока или
элективного курса.
4
Параллельный перенос
Перенос вдоль оси ординат
Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно
заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц
больше соответствующих ординат графика функции y=f(x) при b>0 и на |b|
единиц меньше при b<0.
Для построения графика функции y=f(x)+b следует построить график
функции y=f(x) и перенести его на |b| единиц вниз при b<0 или на |b| единиц
вверх при b>0.
Перенос вдоль оси абсцисс
Пусть требуется построить график функции y=f(x-a).
Рассмотрим
функцию y=f(x), которая в некоторой точке x=x1 принимает значение y1=f(x1).
Очевидно, функция y=f(x-a) примет такое же значение в точке x2, координата
которой
определяется
из
равенства
x2-a=x1,
т.е.
x2=x1+a,
причём
рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений x
из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(x-a)
может быть получен параллельным перемещением графика вдоль абсцисс
влево на |a| единиц при a>0 или вправо на |a| при a<0.
Для построения графика функции y=f(x-a) следует построить график
функции y=f(x) и перенести его на |a| единиц влево при a>0 или вправо на |a|
единиц при a<0.
5
Отражение
Построение графика функции вида y=f(-x)
Очевидно, что функции y=f(-x) и y=f(x) принимают равные значения в
точках,
абсциссы
которых
равны
по
абсолютной
величине,
но
противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции
y=f(-x) в области положительных (отрицательных) значений x будут равны
ординатам графика функции y=f(x) при соответствующих абсолютной
величине отрицательных (положительных) значений x.
Для построения графика функции y=f(-x) следует построить график
функции y=f(x) и отразить его относительно оси ординат полученный график
является графиком функции
y=f(-x).
Замечание: Точка пересечения графика с осью Y остается неизменной.
Замечание: График четной функции не изменяется при отражении
6
относительно оси Y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x).
Пример:
(-x)²=x²
Построение графика функции вида y=-f(x)
Ординаты графика функции y=-f(x) при всех значениях аргумента равны
по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика
функции y=f(x) при тех же значениях аргумента.
Для построения графика функции y=-f(x) следует построить график
функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Замечание. Точки пересечения графика с осью X остаются неизменными.
Построение графика четной функции
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Для построения графика четной функции у=f(x) следует построить ветвь
графика этой функции только в области положительных значений аргумента
x≥0. График функции у=f(x) в области отрицательных значений аргумента
симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается
отражением ее относительно этой оси.
7
Построение графика нечетной функции
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Для построения графика нечетной функции у=f(x) следует строить ветвь
графика этой функции только в области положительных значений аргумента
x≥0. График функции у=f(x) в области отрицательных значений аргумента
симметричен построенной ветви относительно начала координат и может
быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с
последующим
отражением
в
области
относительно оси абсцисс.
8
отрицательных
значений
х
Построение графика обратной функции
График обратной функции симметричен графику прямой функции
относительно прямой y=x.
Для построения графика функции y=φ(x), обратной по отношению к
функции y=f(x), следует построить график y=f(x) и отобразить его
относительно прямой y=x
Деформация (сжатие и растяжение)
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
Рассмотрим функцию вида y=k∙f(x), где k>0. Нетрудно заметить, что при
равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз
больше ординат графика функции y=f(x) при k>1 или в 1/k раз меньше
ординат графика функции y=f(x) при k<1.
Для построения графика функции y=k∙f(x) следует построить график
функции y=f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k>1 или уменьшить его
ординаты в 1/k раз при k<1.
9
Замечание. Точки пересечения графика с осью X остаются неизменными.
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс
Пусть
требуется
построить
график
функции
y=f(α∙x)
где
α>0.
Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x1 принимает
значение y1=f(x1). Очевидно, что функция y=f(α∙x) принимает такое же
значение в точке x=x2, координата которой определяется равенством x1= α∙x2,
или x2=x1/α, причем это равенство справедливо для совокупности всех
значений x из области определения функции. Следовательно, график
функции y=f(α∙x) оказывается сжатым (при α >1) или растянутым (при α <1)
вдоль оси абсцисс относительно графика функции y=f(x).
Для построения графика функции y=f(α∙x) следует построить график
функции y=f(x) и уменьшить его абсциссы в α раз при α>1 или увеличить его
абсциссы в α раз при α<1.
10
Замечание. Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными.
Функции, содержащие знак модуля
Построение графика функции y=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются
без изменения, а лежащие ниже оси X – симметрично отображаются
относительно этой оси (вверх).
Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в
верхней полуплоскости).
Построение графика функции y=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси Y, удаляется, а часть,
лежащая правее оси Y – остается без изменения и, кроме того, симметрично
отражается относительно оси Y (влево). Точка графика, лежащая на оси Y,
остается неизменной.
11
Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно
оси Y).
Построение графиков сложных функций с помощью
последовательных преобразований графиков
элементарных функций (на примерах)
1.)
2.)
12
3.)
4.) Решите уравнение:
Рассмотрим функции:
При
решении
уравнения
f(x)=φ(x)
учащиеся
могут
графиками функций без подробного обоснования
воспользоваться
различных этапов
исследования.
Рисунок подсказывает, что x=2 является единственным корнем уравнения.
13
Заключение
Мы видим, что правила преобразования графиков существенно
упрощают построение графиков сложных функций. Помогают найти
нетрадиционное решение сложных задач.
Построение эскизов графиков – важнейший навык, необходимый как в
математике (для исследования уравнений и неравенств), так и в смежных
разделах знаний. Без графиков сейчас не представляется даже информация о
текущих экологических и социальных проблемах. График – это язык,
средство для передачи емкой, качественной информации об интересующих
нас явлениях в их взаимосвязи с сопровождающими (или побуждающими)
обстоятельствами.
14
Используемая литература
1. Экзамен по алгебре и начала анализа (Пособие для учителей и
старшеклассников.)
С. Н. Саакян
Москва, 2001, «Вербум - М»;
2. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике
И. Н. Данкова, Т. Е. Бондаренко и др.
Москва, 2006, «5 за знания»;
3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
В. С. Крамор
Москва, 1994, «Просвещение»;
4. Графики функций (учебное пособие для поступающих)
А. М. Дороднов, И. Н. Острецов и др.
Москва, 1972, «Высшая школа»;
5. Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами.
Л. Э. Генденштейн, А. П. Ершова, А. С. Ершова.
Москва, 1997, «Илекса»;
6. Алгебра и начала анализа 10-11 классы
А. Г. Мордкович
Москва, 2009, «Мнемозина».
15