Задача К.3.1 Кинематический расчет плоского механизма l
advertisement
Задача К.3.1 Кинематический расчет плоского механизма исходные даны задачи: Номер варианта 25 ω1 ε1 l1 AB BC С-1 1,6 С-2 1,8 М 2 М 4 М 1 Для заданного положения механизма требуется определить скорости и ускорения точек A, B, и C, а также угловую скорость и угловое ускорение звена 2. Рис.1 Решение 1) Описание видов движения каждого звена, входящего в плоский механизм. Звено 1 (кривошип), ведущее звено, совершает вращение вокруг неподвижной точки О. Звено 2 совершает плоское движение, при этом точка A этого звена перемещается по окружности, радиус которой равен l1, а точка B – по наклонной линии образуя угол 45. 2) Определение скоростей точек механизма способом векторного сложения. Расчет плоского механизма всегда начинаем от ведущего звена 1 (рис. 2). Y1 X1 Y Рис. 2 X Скорость точки A, принадлежащей кривошипу 1, определяем по Формуле м 𝑉𝐴 = 𝜔1 ⋅ 𝑙1 = 1,6 ∗ 2 = 3,2 𝑐 ̅ 𝐴 будет перпендикулярен звену 1 и направлен в сторону, Вектор 𝑉 как показывает 𝜔1 . Для вычисления скорости точки В, направление которой мы знаем, запишем векторное равенство, приняв за полюс точку A. 𝑉̅𝐵 = 𝑉̅𝐴 + 𝑉̅𝐵/𝐴 –+ ++ –+ (𝑉̅𝐵/𝐴 ⊥ 𝐴𝐵) В точке B показываем вектора 𝑉̅𝐵 , 𝑉̅𝐵/𝐴 . Через точку B проводим оси координат xBy и на эти оси проецируем векторное равенство. 𝑥: 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 𝑐𝑜𝑠45 𝑦: 0 = 𝑉𝐴 𝑠𝑖𝑛45 − 𝑉𝐵/𝐴 Из второго уравнения находим 𝑉𝐵/𝐴 . 𝑉𝐵/𝐴 = 𝑉𝐴 𝑠𝑖𝑛45 = 2,26 м 𝑐 Из второго уравнения находим 𝑉𝐵 . 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 𝑐𝑜𝑠45 = 2,26 м 𝑐 При этом 𝑉𝐵/𝐴 = 𝜔2 ∗ 𝐴𝐵, откуда 𝜔2 = 𝑉𝐵/𝐴 2,26 = = 0,56 𝑐 −1 𝐴𝐵 4 На схеме показываем ω2 около полюса – точки A и направляем в сторону, как указывает 𝑉̅𝐵/𝐴 . Для вычисления скорости точки C за полюс можно принять точку B и записать векторное уравнение 𝑉̅𝐶 = 𝑉̅𝐵 + 𝑉̅𝐶/𝐵 –– ++ –+ (𝑉̅𝐶/𝐵 ⊥ 𝐶𝐵) Вычислим модуль скорости 𝑉𝐶/𝐵 . 𝑉𝐶/𝐵 = 𝜔2 ∗ 𝐶𝐵 = 0,56 ∗ 1 = 0,56 м 𝑐 Через точку C проводим оси x1C y1 и на эти оси проецируем векторное равенство. 𝑥1 : 𝑦1 : 𝑉𝐶𝑋1 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶/𝐵 𝑉𝐶𝑦1 = 0 + 0 Находим проекции скорости точки C. 𝑉𝐶𝑋1 = 2,83 𝑉𝐶𝑦1 = 0 м 𝑐 м 𝑐 Тогда скорость 𝑉𝐶 = √𝑉𝐶2𝑋1 + 𝑉𝐶2𝑦1 = √(2,83 )2 + (0)2 = 2,83 м 𝑐 3) Определение скоростей точек при помощи мгновенного центра скоростей (МЦС). При известной скорости VA = 3,2 м/с находим МЦС для звена 2. Для этого восстанавливаем перпендикуляры к вектору vA и направлению скорости точки B, тогда их пересечение (т. P) дает МЦС звена 2. Определение BP и AP 𝑃𝐵 = 𝐴𝐵 = 4 м 𝑃𝐴 = √𝑃𝐵2 + 𝐴𝐵2 = √42 + 42 = 5,65 м При этом 𝜔2 = 𝑉𝐴 𝑃𝐴 = 3,2 5,65 = 0,56 𝑐 −1 откуда 𝑉В = 𝜔2 ∗ 𝐵𝑃 = 0,56 ∗ 4 = 2,26 м 𝑐 МЦС (точку P) соединяем с точкой C и перпендикулярно CP показываем вектор скорости vC в сторону 𝜔2 . Тогда 𝑉𝐶 = 𝜔2 ∗ С𝑃 По теореме косинусов вычисляем CP. 𝐶𝑃 = 𝑃𝐶 + 𝐵𝐶 = 4 + 1 = 5 м откуда 𝑉𝐶 = 0,56 ∗ 5 = 2,82 м 𝑐 4) Определение ускорений точек A, B, C и углового ускорения звена 2. При определении ускорений расчет также начинаем от ведущего звена 1 (рис. 3). Y1 X1 Y X Рис. 3 Ускорение точки A, которая перемещается по окружности, будет 𝑎̅𝐴 = 𝑎̅𝐴𝑛 + 𝑎̅𝐴𝜏 , 𝑎𝐴𝑛 = 𝜔12 ∗ 𝑙1 = (1,6)2 ∗ 2 = 5,12 ( 𝑎̅𝐴𝑛 ⊥ 𝑎̅𝐴𝜏 ) м м 𝜏 , 𝑎 = 𝜀 ∗ 𝑙 = 1,8 ∗ 2 = 3,6 1 1 𝐴 𝑐2 𝑐2 Тогда 𝑎𝐴 = √(𝑎𝐴𝑛 )2 + (𝑎𝐴𝜏 )2 = √5,122 + 3,62 = 6,25 м c2 Вектор 𝑎̅𝐴𝑛 направляем вдоль кривошипа 1 к оси вращения (т. О), а вектор 𝑎̅𝐴𝜏 – перпендикулярно кривошипу в сторону 𝜀1 . Запишем векторное равенство для вычисления ускорения точки B. 𝑛 𝑎̅𝐵 = 𝑎̅𝐴𝑛 + 𝑎̅𝐴𝜏 + 𝑎̅𝐵/𝐴 + 𝑎̅𝐵𝜏 /𝐴 –+ ++ ++ ++ –+ 𝑛 Определим модуль ускорения 𝑎̅𝐴/𝐵 . 𝜏 (𝑎𝐵/𝐴 ⊥ AB) 𝑛 𝑎𝐵/𝐴 = 𝜔22 ∗ 𝐴𝐵 = (0,56)2 ∗ 4 = 1,25 м c2 Проецируем векторное равенство на оси xBy. 𝑛 𝑥: −𝑎𝐵 = −𝑎𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠45 − 𝑎𝐴𝜏 𝑐𝑜𝑠45 − 𝑎𝐵/𝐴 𝜏 𝑦: 0 = 𝑎𝐴𝑛 𝑠𝑖𝑛45 − 𝑎𝐴𝜏 𝑠𝑖𝑛45 − 𝑎𝐵/𝐴 𝜏 Из второго уравнения находим 𝑎𝐵/𝐴 . м c2 = 0,27 𝑐 −2 𝜏 𝑎𝐵/𝐴 = 1,08 𝜏 Но 𝑎𝐵/𝐴 = 𝜀2 ∗ 𝐴𝐵, откуда 𝜀2 = 𝜏 𝑎𝐵/𝐴 𝐴𝐵 = 1,08 4 На схеме рис. 3 ε 2 показываем относительно полюса A в сторону 𝜏 направления вектора 𝑎𝐵/𝐴 Из первого уравнения находим 𝑎𝐵 . м 𝑎𝐵 = 4,91 2 c Для вычисления ускорения точки C , за полюс принимаем точку B и записываем векторное равенство 𝑛 𝜏 𝑎̅𝐶 = 𝑎̅𝐵 + 𝑎̅𝐶/𝐵 + 𝑎̅𝐶/𝐵 –– ++ ++ ++ 𝜏 (𝑎𝐶/𝐵 ⊥ AB) 𝑛 𝜏 Определим модуль векторов 𝑎̅𝐶/𝐵 , 𝑎̅𝐶/𝐵 . 𝑛 𝑎𝐶/𝐵 = 𝜔22 ∗ 𝐶𝐵 = (0,56)2 ∗ 1 = 0,31 м c2 м c2 𝑛 𝜏 𝑛 В точке C показываем вектора - 𝑎̅𝐶 , 𝑎̅𝐶/𝐵 , 𝑎̅𝐶/𝐵 . Вектор 𝑎̅𝐶/𝐵 направляем к 𝜏 полюсу (точке B), а вектор 𝑎̅𝐶/𝐵 - перпендикулярно BC в сторону 𝜀2 . Векторное равенство проецируем на оси координат x1Cy1. 𝜏 𝑥1 : 𝑎𝐶𝑥1 = −𝑎𝐵 + 𝑎𝐶/𝐵 𝑛 𝑦1 : 𝑎𝐶𝑦1 = −𝑎𝐶/𝐵 𝜏 𝑎𝐶/𝐵 = 𝜀2 ∗ 𝐶𝐵 = 0,27 ∗ 1 = 0,27 Тогда 𝑎𝐶𝑥1 = −4,64 м c2 𝑎𝐶𝑦1 = −0,31 м c2 2 2 Модуль ускорения точки C 𝑎𝐶 = √(𝑎𝐶𝑥1 ) + (𝑎𝐶𝑦1 ) = 4,91 м c2