Линейные преобразования трехмерного

Линейные преобразования пространства векторов V3 бывают следующие:
1)  : V3  V3 – это
а) поворот вокруг прямой l против часовой стрелки на угол  (в частности, поворот на угол
  180 вокруг прямой l = симметрии относительно прямой l );
0
0 
1


матрица поворота вокруг оси Ox на угол  против часовой стрелки :  0 cos   sin   ,
 0 sin  cos  


 cos  0  sin  


матрица поворота вокруг оси Oy на угол  против часовой стрелки :  0
1
0 ,
 sin  0 cos  


 cos   sin  0 


матрица поворота вокруг оси Oz на угол  против часовой стрелки :  sin  cos  0  ,
 0
0
1 

б) симметрия относительно плоскости  ;
Пусть плоскость  имеет уравнение Ax  By  Cz  0 . Рассмотри точки M (1,0,0) , N (0,1,0) и
K (0,0,1) . Найдем точки M ' , N ' и K ' , которые симметричны точкам M , N и K относительно
плоскости  . Пусть M ' (m1 , m2 , m3 ) , N ' (n1 , n2 , n3 ) и K ' (k1 , k2 , k3 ) .
 m1 n1

Тогда матрица симметрии относительно плоскости имеет вид:  m2 n2
m n
3
 3
в) симметрия относительно точки O ;
 1 0 0 


Матрица симметрии относительно точки O (0,0,0) :  0  1 0 
 0 0  1


k1 

k2  .
k3 
г) растяжение (сжатие) вдоль прямой l .


5 0 0 
Пример: растяжение вдоль оси Ox в 5 раз и сжатие вдоль оси Oz в 3 раза:  0 1 0  .

1
0 0

3

2)  : V3  V2 – это проектирование на плоскость  .
Пусть плоскость  имеет уравнение Ax  By  Cz  0 . Рассмотри точки M (1,0,0) , N (0,1,0) и
K (0,0,1) . Найдем проекции точек M , N и K на плоскость  . Пусть это будут точки M ' , N ' и K '
соответственно. Пусть M ' (m1 , m2 , m3 ) , N ' (n1 , n2 , n3 ) и K ' (k1 , k2 , k3 ) .
 m1

Тогда матрица проектирования на плоскость имеет вид:  m2
m
 3
n1
n2
n3
k1 

k2  .
k3 
3)  : V3  V1 – это проектирование на прямую l .
Рассмотри точки M (1,0,0) , N (0,1,0) и K (0,0,1) . Найдем проекции точек M , N и K на прямую l .
Пусть это будут точки M ' , N ' и K ' соответственно. Пусть M ' (m1 , m2 , m3 ) , N ' (n1 , n2 , n3 ) и
K ' (k1 , k2 , k3 ) .
 m1

Тогда матрица проектирования на прямую имеет вид:  m2
m
 3
n1
n2
n3
k1 

k2  .
k3 

Отметим, что при линейном преобразовании нулевой вектор 0 остается нулевым, следовательно,
точка – начало координат тоже остается на месте. Поэтому прямая l и плоскость  проходят через
нее.
Рассмотрим некоторое линейное преобразование  . Возможно, оно является комбинацией
нескольких указанных выше простых преобразований. Пусть нам дана матрица этого
 a1 b1 c1 


преобразования     a2 b2 c2  . Вопрос: какой геометрический смысл имеет это
a b c 
 3 3 3
преобразование?
Решение:
 



Обозначим: a  (a1 , a2 , a3 ) – образ вектора i , b  (b1, b2 , b3 ) – образ вектора j и c  (c1 , c2 , c3 ) – образ

вектора k .
1) Чтобы понять проектирование это или нет, мы вычисляем ранг матрицы   .
Если ранг матрицы равен 1, то это комбинация проектирования на какую-то прямую и
растяжения.
Если ранг матрицы равен 2, то это комбинация проектирования на какую-то плоскость и
растяжения.
Если ранг матрицы равен 3, то это комбинация поворота, симметрии и растяжения.
Если ранг матрицы   равен 3.
  
Вычисляем длины векторов a , b и c :



a  a12  a22  a32 , b  b12  b22  b32 и c  c12  c22  c32 . Получаем, что вдоль оси Ox



растяжение в a раз, вдоль оси Oy растяжение в b раз и вдоль оси Oz растяжение в c раз.
  
 
(Например, если a  b  c  2 , то говорят, что это растяжение в 2 раза. А если a  b  1 и
 1
c  , то говорят, что это сжатие в 3 раза вдоль оси Oz .)
3
Теперь мы хотим понять – происходил поворот или нет? Для этого вычисляем определитель
матрицы  . Если det   0 , то это поворот. Если det   0 , то это симметрия.
a b c 
 1 1
1 
 a b c 


 a2 b2 c2 
Исключим растяжение и преобразуем матрицу   следующим образом:  
  .
a b c 


 a3 b3 c3 
 
 
a b c 


Сравниваем с матрицами поворота, и матрицей симметрии относительно точки, которые
указаны выше.
Если у вас симметрия относительно плоскости, то нужно найти уравнение этой плоскости. Для

  a
  b
a1 a2 a3
b
b b
этого рассмотрим d  i    (1   ,  ,  ) и e  j    ( 1 ,1  2 , 3 ) . Вектор нормаль к
a
a a a
b
b
b b




искомой плоскости будет n  d  e . Мы его вычисляем и пусть n  ( A, B, C ) . Тогда уравнение
плоскости: Ax  By  Cz  0 .
Если ранг матрицы   равен 2.
Вначале, мы хотим выяснить на какую плоскость проектирование.
  
Среди векторов a , b и c есть два линейно независимых. По ним мы можем найти вектор
 
нормали к плоскости, на которую происходит проектирование. Если a и b линейно
  
 
  
независимы (т.е. неколлениарны), то n  a  b . (Если a и c линейно независимы, то n  a  c ;

 



если b и c линейно независимы, то n  b  c .) Вычисляем вектор нормали. Пусть n  ( A, B, C ) ,
тогда уравнение плоскости  : Ax  By  Cz  0 .
Теперь нужно проделать проектирование на плоскость  и записать матрицу этого
 d1 e1 f1 



преобразования. Предположим, получилась матрица:  d 2 e2 f 2  . Пусть d  (d1, d2 , d3 ) ,
d e f 
3
 3 3



     

   
e  (e1 , e2 , e3 ) , f  ( f1, f 2 , f3 ) Проверьте, что a || d , b || e и c || f . Если a  d , b  e и c  f ,

a
то растяжения не происходило. Иначе, вдоль оси Ox растяжение в  раз, вдоль оси Oy
d


b
c
растяжение в  раз и вдоль оси Oz растяжение в  раз.
e
f
Если ранг матрицы   равен 1.
Вначале, мы хотим выяснить на какую прямую проектирование.
  
Среди векторов a , b и c есть ненулевой. Он является направляющим вектором данной прямой.
 
x
y
z
 .
Если вектор a  0 , то уравнение прямой l : 
a1 a2 a3
Теперь нужно проделать проектирование на прямую l и записать матрицу этого
 d1 e1 f1 



преобразования. Предположим, получилась матрица:  d 2 e2 f 2  . Пусть d  (d1, d2 , d3 ) ,
d e f 
3
 3 3



     

   
e  (e1 , e2 , e3 ) , f  ( f1, f 2 , f3 ) Проверьте, что a || d , b || e и c || f . Если a  d , b  e и c  f ,

a
то растяжение не происходило. Иначе, вдоль оси Ox растяжение в  раз, вдоль оси Oy
d


b
c
растяжение в  раз и вдоль оси Oz растяжение в  раз.
e
f