Тема «Построение графика функции y=kf(x)».

Построение графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓 (𝑥 )
1.
Покажем, как, зная график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), построить график
функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), где 𝑘 ∈ ℝ. При этом нам достаточно рассмотреть
только положительные значения 𝑘 > 0, поскольку, для построения,
например, графика функции 𝑦 = −2𝑓(𝑥), достаточно построить график
функции 𝑦 = 2𝑓(𝑥), а затем симметрично отразить его относительно оси
абсцисс.
Построим график функции 𝑦 = 2√𝑥 исходя из графика функции 𝑦 =
√𝑥. Точка 𝐹 графика функции y = √𝑥 с абсциссой x0 имеет ординату √x0 , а
точка 𝐹2 графика функции y = 2√𝑥 с той же абсциссой x0 – ординату 2√x0 ,
то есть в два раза большую (рис.1). Поэтому ординаты точек графика
функции y = 2√x
получаются
умножением
на
число
2
ординат
соответствующих точек графика функции y = √𝑥 (рис.2).
Рисунок 2
Рисунок 1
Это преобразование графика функции y = √𝑥, в результате которого
получается график функции y = 2√𝑥, называется растяжением вдоль оси Oy
с коэффициентом 2.
Таким же образом приходим к выводу, что ординаты точек графика
1
функции y = √x
2
получаются
умножением
на
число
1
2
ординат
соответствующих точек графика функции y = √𝑥 (рис.3). В этом случае тоже
1
можно сказать, что график функции y = √x получается из графика функции
2
1
y = √𝑥 растяжением вдоль оси Oy с коэффициентом . Однако, чаще говорят,
2
1
не о растяжении с коэффициентом , а о сжатии в 2 раза.
2
Рисунок 3
2.
Рисунок 4
В общем случае при построении графика функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) на
основе графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) применимы те же рассуждения, что и в
предыдущем примере. Сравним ординаты точек графиков функций 𝑦 =
𝑘𝑓(𝑥) и 𝑦 = 𝑓(𝑥), имеющих одинаковую абсциссу x (рис.4). Ордината точки
графика функции y = 𝑘𝑓(𝑥) получаются умножением на число 𝑘 ординаты
точки графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥). Поэтому способ построения графика
функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) из графика функции y = f(x) следующий:
𝒇(𝒙)
График
функции
𝒌𝒇(𝒙)
𝒚 = 𝒌𝒇(𝒙),где
𝒌 > 𝟎,
получается растяжением графика функции
𝒚 = 𝒇(𝒙) вдоль оси ординат Oy в 𝒌 раз
Если 𝟎 < 𝐤 < 𝟏, то вместо выражения «растяжение графика в 𝐤 раз »
𝟏
предпочтительнее употребить выражение «сжатие графика в 𝒌 раз»
Отметим, что, если коэффициент 𝑘 > 1, то точка графика функции y =
𝑘𝑓(𝑥)
лежит дальше от оси 𝑂𝑥 в сравнение с соответствующей точкой
графика функции y = 𝑓(𝑥). Если 0 < 𝑘 < 1, то - ближе.
Область определения функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥)
совпадает с областью
определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), а ее множество значений составляет
множество чисел 𝑘𝑐, где 𝑐 ∈ 𝐸(𝑓).
На рисунке 5 приведены примеры построения графиков функций с
помощью растяжения вдоль оси ординат, с коэффициентами 𝑘 = 3 и 𝑘 =
0,05, соответственно. Во втором случае уместно говорить о сжатии графика
функции 𝑦 = 𝑥 2 в 20 раз. На рисунке 6 – пример построения графика
функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) с отрицательным коэффициентом 𝑘 = −2. В этом случае
сначала растяжением графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) вдоль оси ординат
𝑂𝑦 строится график функции 𝑦 = 2𝑓(𝑥), а затем симметрией относительно
оси 𝑂𝑥 – график функции 𝑦 = −2𝑓(𝑥).
Рисунок 5
Рисунок 6
Упражнения
1. Постройте график функции.
1
a) 𝑦 = 𝑥 3
b) 𝑦 = −3|𝑥|
𝑥 2, x < 0
c) 𝑦 = −0,5𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥) = {
2𝑥, x ≥ 0
d) 𝑦 = 2|𝑥 + 1|
3
2. На рисунке изображен график функции y = f(x). Постройте график
функции 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), где 𝑘 = 2; −2; 0,5, −0,5
b)
a)
3. Найдите множество значений функции 𝑦 = kf(x), если известно
множество значений функции 𝑦 = f(x).
E(f)
a) (1; 3]
c) (−∞; 1]
e) (−∞; −2) ∪ (2; ∞)
k
4
-2
0,5
E(f)
b) (−∞; ∞)
d) [−6; 2] ∪ (3; 6]
f) [−2; −1]
k
2
-2
-0,2
4. Пусть функция 𝑦 = f(x) – периодическая с периодом 𝑇. Докажите, что
функция 𝑦 = 𝑘f(x) также является периодической с периодом 𝑇.
5. Будет ли обратимой функция 𝑦 = 𝑘f(x), если функция 𝑦 = f(x)
обратима?