Сценарий проблемно-эвристического урока. Автор: Образовательное учреждение Курс:

Сценарий проблемно-эвристического урока.
Автор: Брагина Елена Леонтьевна
Образовательное учреждение: МОУ лицей№7 города Томска
Курс: алгебра и начала анализа
Раздел: тригонометрия
Тема: Метод вспомогательного аргумента
Класс: 10, физико-математический
Время реализации занятия:90 минут (2 урока)
Цель урока:
Построить математическую модель сложения колебаний и научиться с ней работать.
Задачи урока:
Образовательные: Найти и обосновать метод вспомогательного аргумента и научиться его
применять для решения уравнений и преобразования тригонометрических выражений.
Развивающие: продолжить формировать умение применять эвристические приемы при попадании
в проблемную ситуацию; развивать способность выделять риски, преимущества, альтернативы.
Воспитательные: воспитывать готовность к содружеству и сотворчеству, целеустремленность.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Форма урока: урок-исследование в ходе эвристической беседы.
Формы обучения: фронтальная работа,
индивидуальная работа, групповая работа.
Методы: проблемно-эвристические, репродуктивный, креативный (метод конструирования
правила), когнитивный.
Карта урока:
Название этапа
Время
(мин)
Актуализация опорных знаний.
5
Групповая работа по обсуждению
домашнего задания.
Озвучивание
ситуации.
Понимание
проблемной 3
постановки
задачи. 5
Развитие личностных качеств и
психологических процессов
Репродуктивные
Продуктивные формы
формы деятельности деятельности
Кооперативные (умение
 Внимание
 Память
работать в группе)
 Культура эмоций
 Культура диалога
 Культура
 Активное слушание
поведения
 Умение
 Организованност
сформулировать и
ь
отстоять точку
зрения
 Толерантность
 Мышление
(логичность, ясность
речи, понимание
материала)
 Аргументированнос
ть выбора решения




Внимание
Память
Культура эмоций
Культура
поведения
Внимание




•
Любопытство
Восприимчивость к
новому
Умение слушать и
слышать
Интеграция знаний
Системность
Работа с алгоритмом «Изучение
задачи»
память
организованность
•
аналитичность
Постановка проблемы.
5




Внимание
Память
Культура эмоций
Культура
поведения
самостоятельное
целеполагание
Выдвижение рабочих гипотез.
5




Внимание
Память
Культура эмоций
Культура
поведения
Глубина рассуждений
Аргументированность
Системность
Аналитичность
Проблемно-эвристическая беседа.
Работа с таблицей Д. Пойа «Как 5
решать задачу?»
Память
Внимание
Системность
Аналитичность
Рефлексивность
Сведение
к
однородному 10
уравнению.
1. Выступление
первой
группы.
2. Решение уравнения с
использованием формул
двойного аргумента.
3. Решение
уравнения
методом возведения обоих
частей в квадрат.
4. Анализ ответов.
5. Достоинства и недостатки
метода.
Функционально-графический
5
метод.
1. Выступление
второй
группы.
2. Достоинства и недостатки
метода.
Память
Целеустремленность
Внимание
Настойчивость
Культура поведения
Восприимчивость к
новому
Метод
универсальной 7
подстановки.
1. Выступление
третьей
группы.
2. Групповая
работа
по
решению
уравнения
данным методом.
3. Анализ ответа.
4. Достоинства и недостатки
метода.
Метод
вспомогательного 15
Память
Внимание
Культура поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Самостоятельность
Память
Внимание
Культура поведения
Самостоятельность
Память
Альтернативность
мышления
Способность выделять
риски, преимущества,
множество причинноследственных факторов
Активное слушание
Аналитичность
Аргументированность
Точность, уместность и
выразительность речи
Активное слушание
Способность выделять
риски, преимущества.
Альтернативность
мышления
Точность, уместность и
выразительность речи
Активное слушание
Способность выделять
риски, преимущества,
Глубина рассуждений
аргумента
1. Выступление
четвертой
группы.
2. Групповая
работа
по
решению
уравнения
данным способом.
3. Возможность
использования
разных
формул сложения.
4. Анализ ответов.
5. Достоинства и недостатки
способа.
6. Планирование работы по
обоснованию способа.
7. Метод вспомогательного
аргумента. Вывод
Первичное закрепление.
10
Преобразование
выражений
методом
введения
вспомогательного аргумента.
Решение проблемной задачи.
5
Взгляд назад.
Внимание
Культура поведения
Самостоятельность
Аргументированность
Системность
Аналитичность
Точность, уместность и
выразительность речи
Активное слушание
Альтернативность
мышления
Способность выделять
риски, преимущества,
Способность
самостоятельного
планирования
5
Взгляд в будущее. Темы для 5
самостоятельной и проектной
работы.
Память
Внимание
Культура поведения
Самостоятельность
Настойчивость
Ответственность
Внутренняя дисциплина
Память
Внимание
Культура поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Память
Внимание
Культура поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Память
Внимание
Культура поведения
Культура эмоций
Самостоятельность
Целеустремленность
мышление
Рефлексия
Способность выделять
риски, преимущества,
Способность
самостоятельного
планирования
Любознательность
активность
Ход урока.
1.Актуализация опорных знаний. Групповая работа по обсуждению домашнего задания.
1 группа. 1. Решить однородные уравнения:
1.. 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3.
2.Не решая уравнения, запишите его корни
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
2𝑐𝑜𝑠 2 2 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑐𝑜𝑠 2 + 5𝑠𝑖𝑛2 2 = 3.
2группа. Графическое решение тригонометрических уравнений.
3 группа. Универсальная подстановка.
1. Докажите тождества:

sin 𝑥 =
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
cos 𝑥 =
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2
2
1−𝑡𝑔2
2.Решите с помощью доказанных тождеств уравнение 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1.
4группа. Решить уравнение:


𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1.

√3
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
1
2
+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1.
Не решая уравнения, назовите его корни:
√3𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2.
2.Озвучивание проблемной ситуации.
Волновые процессы занимают в природе существенное место. Они проявляются во многих
областях физики и техники. Так как колебания вездесущи, то тела обычно участвуют в нескольких
колебательных процессах. Например, если до уха доходят звуковые волны сразу от двух
источников, эти волны суммируются на барабанной перепонке, движение которой и определяют
слуховые ощущения.
Складываются волны, имеющие одинаковую частоту, но сдвинутые по фазе относительно друг
друга на четверть периода. Какова амплитуда и начальная фаза суммарной волны?
3.Понимание постановки задачи. Работа с алгоритмом «Изучение задачи».
4.Рабочие гипотезы.
1. Поскольку речь идет об уравнении колебаний, то найдя метод решения уравнения:
asin x + b cos x = c, мы сможем преобразовать данную сумму.
2. Построение графиков и их сложение даст возможность «увидеть» амплитуду и
начальную фазу колебаний.
3. Провести экспериментальное исследование с помощью осциллографа.
5.Постановка проблемы.
Учащимся предлагается сформулировать проблему занятия, учитывая тот факт, что математика, в
основном, занимается моделированием реальных процессов путем создания идеальных знаковых
моделей. Поэтому представляется уместным рассмотреть первую гипотезу, а остальные
реализовать в форме проектной деятельности.
Итак, учебная проблема нашего занятия: Как можно преобразовать выражение вида: 𝒂𝒔𝒊𝒏 𝒙 +
𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙 к выражению, содержащему одну тригонометрическую функцию?
6. Проблемно-эвристическая беседа.
6.1. Работа с таблицей Д. Пойа «Как решать задачу?».
6.2. Сведение к однородному уравнению.
Необходимо решить уравнение: 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑐.
Рассмотрим частные случаи и попытаемся их обобщить.
 а=1; b=1; c=0.
Решить уравнение: 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟎.
 а=1; b=1; c=1.
Решить уравнение: 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏.
Обсуждение.
Решали ли мы уравнения, сводящиеся к однородным, в которых справа стояло число, отличное от
нуля? Да, но это были однородные уравнения второй степени. Вспомним метод их решения.
Вставка1. Результаты работы первой группы.
Обсуждение.
Можно ли свести уравнение 𝐬𝐢𝐧 𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 = 𝟏 к однородному уравнению второй степени?
1 способ.
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
Уменьшив в два раза аргумент, повысим степень уравнения. Ответ: [𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
Достоинства и недостатки данного способа решения.
2 способ.
Возвести обе части уравнения в квадрат.
Решение 2:
𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏
(𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)𝟐 = 𝟏𝟐
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
1 + 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =1
2𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0
𝜋𝑛
𝑥=
,𝑛 ∈ 𝑍
2
Обсуждение.
Что же произошло? Почему мы получили другой ответ?
Проанализируем полученный ответ. Для этого представим его в нескольких сериях:
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
𝜋
𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
𝜋
[𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
(Это можно так же показать на числовой окружности.)
Теперь мы видим, что получили не совсем другой ответ. Просто во втором решении появились
дополнительные корни.
Почему это произошло?
Мы совершили неравносильное преобразование уравнения: возведение в четную степень. При
этом действии могут появиться посторонние корни. Что и произошло. Отсеем их с помощью
проверки.
𝑥 = 2𝜋𝑛, sin 2𝜋𝑛 + 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑛 = 0 + 1 = 1,
𝜋
𝜋
𝜋
𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑠𝑖𝑛 ( 2 + 2𝜋𝑛) + 𝑐𝑜𝑠 ( 2 + 2𝜋𝑛) = 1 + 0 = 1,
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑠𝑖𝑛(𝜋 + 2𝜋𝑛) + 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 2𝜋𝑛) = 0 + (−1) = −1,
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
𝑥 = − + 2𝜋𝑛, 𝑠𝑖𝑛 (− + 2𝜋𝑛) + 𝑐𝑜𝑠 (− + 2𝜋𝑛) = −1 + 0 = −1
Проверка показала, что третья и четвертая серия значений переменной не является решением
уравнения. Поэтому ответ будет следующим:
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
[
𝑥 = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
Что и совпадает с первым решением.
Поищем другие способы решения уравнения. Нет ли среди уравнений, которые решали группы,
уравнений нужного нам вида?
6.3. Функционально-графический метод.
6.4. Метод универсальной подстановки.
Вставка3. Результаты работа третьей группы.
Обсуждение.
При применении данного способа происходит сужение области определения уравнения и
необходимо проверить, не является ли числа вида 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛 и корнем данного уравнения?
Проверкой убеждаемся, что нет.
6.5. Метод вспомогательного аргумента
Вставка2. Результаты работы четвертой группы.
Обсуждение.
Пользуясь этим приемом, мы можем решить уравнение 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝟏.
Решение 1:
√2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
+
√2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
=
√2
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠
𝜋
𝜋
√2
+ 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
4
4
2
𝜋
𝜋
𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 4 ) =
𝜋
√2
;
2
𝑥 = − 4 + (−1)𝑛 ∙ 4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
√2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
Решение 2:
𝑥
√2
√2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
2
𝜋
𝜋
√2
𝑠𝑖𝑛 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 ;
𝜋
√2
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 4 ) = 2 ;
𝜋
𝜋
= 4 ± 4 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
+
Обсуждение.
Опять разные ответы?!
Воспользуемся старым приемом: распишем общий ответ по сериям.
𝜋
𝜋
Ответ 1:
𝑥 = − + (−1)𝑛 ∙ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
4
𝜋
𝜋
𝑥 = − 4 + 4 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
[
𝜋
3𝜋
𝑥 = − 4 + 4 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
𝜋
𝜋
Ответ 2:
𝑥 = 4 ± 4 2𝜋𝑛, 𝑛
6
𝑥 = 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
𝜋
[
𝑥 = 2 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
∈ 𝑍.
𝜋 𝜋
𝜋
𝑥 = + + 2𝜋𝑟, 𝑟 ∈ 𝑍
𝑥 = + 2𝜋𝑟, 𝑟 ∈ 𝑍
4
4
[
[
2
𝜋 𝜋
𝑥 = 2𝜋𝑟, 𝑟 ∈ 𝑍
𝑥 = − + 2𝜋𝑟, 𝑟 ∈ 𝑍
4 4
Можно ли данный способ распространить на общий прием решения уравнения asin x + b cos x =
c?
Планирование деятельности.
1. Какие уравнения можно решать данным способом?
2. Как найти это число, на которое делятся обе части уравнения?
3. «Хороших» значений тригонометрических функций не так много. Применим ли этот
метод для других случаев?
4. Почему мы можем делать такие преобразования?
Обоснование метода.
7.Первичное закрепление.
Преобразование выражений методом введения вспомогательного аргумента. 8.Решение
проблемной задачи.
Задача. Складываются волны, имеющие одинаковую частоту, но сдвинутые по фазе относительно
друг друга на четверть периода. (Сколько это?)
Какова амплитуда и начальная фаза суммарной волны?
Решение.
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑥 + sin (𝑥 + 2 ) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √2(
𝜋
𝜋
√2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
+
√2
𝑐𝑜𝑠 𝑥)
2
𝜋
= √2(𝑐𝑜𝑠 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 +
𝑠𝑖𝑛 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = √2 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 4 ).
Амплитуда суммарной волны равна √2, то есть меньше, чем сумма амплитуд. Кроме этого
𝜋
суммарная волна сдвинута по фазе относительно каждой из исходных волн на 4 .
9.Взгляд назад (изучение полученного решения).
 Нельзя ли получить тот же результат иначе?
 Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный метод решения?
1. Для ответа на первый вопрос поработаем со статьей Чулкова «Векторы и геометрия» по
методике ЗУХ (Знаю. Узнал. Хочу знать.).
П. Чулков
Векторы и тригонометрия.
𝜋
Пример. Докажите, что 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = √2cos(𝛼 − 4 ).
Доказательство. Пусть вектор⃗⃗⃗⃗
𝑚 имеет координаты (1;1), а вектор 𝑛⃗ координаты (cos x; sin
x). Тогда |𝑚
⃗⃗ | = √12 + 12 = √2, а |𝑛⃗| = √𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥=1.
Запишем их скалярное произведение двумя способами:
1. 𝑚
⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ = 1 ∙ cos 𝛼 + 1 ∙ sin 𝛼 = cos 𝛼 + sin 𝛼/
𝜋
2. 𝑚
⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ = √2 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 = √2 cos (𝛼 − 4 ). Формула доказана.
Знаю
Правила нахождения длины
вектора и скалярного
произведения двух векторов
Узнал
Что векторы применяются для
доказательства
тригонометрических тождеств.
Хочу знать
Можно ли этим способом
доказать другие
тригонометрические
тождества?Применяются ли
еще векторы в алгебре?
2.Нужно найти область значений функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥. Ученик решил задачу так:
−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1
+
−1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1
−2 ≤ sin 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 2
Согласны ли вы с ним? В чем причина его ошибки? (Функции немонотонны).
10.Взгляд в будущее.
Темы для самостоятельной и проектной работы.
1. Французский физик Жюль Атуан Лиссажу разработал оптический метод суммирования
колебаний. Результирующая траектория тела называется фигурой Лиссажу и могут
представлять окружность (как в нашем случае), так и сложные сочетания различных петель.
2. Сложение колебаний глазами математика и физика.
3. Векторы и тригонометрия.
11. Домашнее задание.
Решить уравнение 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 разными способами.
Список литературы.
1. Алгебра и начала анализа.10 класс: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных
учреждений(профильный уровень)\ А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич, Т.А.
Корешкова,Т .Н. Мишустина, А.Р.Рязановский, П.В. Семенов.- М.: Мнемозина, 2005.340с.
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа.10 класс: В двух частях. Ч.1:
учебник для общеобразовательных учреждений( профильный уровень).- М.: Мнемозина,
2005.- 408с.
3. Восемь способов решения тригонометрического уравнения
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1. Математика, «Первое сентября», 1995, №40.-с.3,6.
4. Коробов В.А. Изложение основных понятий теории колебаний и волн в рамках изучения
тригонометрии.- Математика в школе,№3, 1989.с.114-118.
5. Пойа Д. как решать задачу.- Львов: Журнал «Квантор»,1991. -216с.
6. Финкельштейн В. М. Когда задача не выходит… - М.: Школа-пресс,1999. – 64с.
7. Чулков П. Векторы и тригонометрия.- Математика, «Первое сентября», 2005, №23.