Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
О.А.Захарова
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ЯДЕРНЫМ РЕАКТОРОМ
НА ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНАХ
Учебно-методическое пособие по дисциплине
дифференциальные уравнения и математическая физика для
индивидуальной и самостоятельной работы студентов,
магистрантов физико-математических и технических
специальностей.
Павлодар
УДК 517.977.5:621.039.524
ББК б22.161+31.49
М 3-38
Рекомендовано к изданию ученым советом ПГУ
им. С.Торайгырова
Рецензенты:
Исин М.Е. – кандидат физико-математических наук, доцент ПГУ
Ильясов М Н- кандидат физико-математических наук, профессор
ПГПИ
М 3-38 Захарова О.А.
Учебно-методическое пособие по дисциплине дифференциальные
уравнения и математическая физика для индивидуальной и
самостоятельной работы студентов, магистрантов физикоматематических и технических специальностей. – Павлодар,
издательство «Кереку», 2008.  125 с.
Данное пособие предназначено для студентов, магистрантов
физико-математических и технических специальностей университета,
оно поможет им повысить уровень математической подготовки, окажет
большую помощь студентам магистрантам физико-математических,
технических специальностей.
УДК 517.977.5:621.039.524
ББК б22.161+31.49
© Захарова О.А., 2008
© Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова, 2008
2
Введение
Развитие производительных сил общества приводит к увеличению
потребления энергоресурсов, поэтому использование атомной энергии
дает несоизмеримо большие ресурсы для выработки энергии. Становится
все более актуальной проблема экологического воздействия ТЭС на
окружающую среду, в то время как АЭС этому не способствует. С
другой стороны АЭС имеют потенциальную опасность, и проблема
устойчивости и безопасности их работы в настоящий момент не решена.
Объектом теоретического изучения данного пособия являются
уравнения математической физики, описывающие процессы в ядерных
реакторах; численное моделирование и обоснование вычислительных
алгоритмов для математической модели процессов в ядерных реакторах
на тепловых нейтронах с точки зрения геометрических параметров.
Теоретическое исследование в настоящей работе отличается тем, что в
ней анализируются критические размеры ядерных реакторов на
тепловых нейтронах.
Целью данного учебного пособия является теоретическое
обоснование, исследование уравнений различных процессов в ядерных
реакторах на тепловых нейтронах с точки зрения оптимизации
геометрических параметров, являющихся наиболее целесообразными для
ядерных реакторов на тепловых нейтронах, также выяснение
устойчивости процессов в них.
В рамках поставленной цели решаются следующие задачи:
- доказательство существования и единственности оптимального
управления ядерным реактором на тепловых нейтронах;
исследование некоторых критических размеров ядерного
реактора на тепловых нейтронах;
исследование одногруппового кинетического уравнения
ядерного реактора на тепловых нейтронах для различных геометрий;
изучение устойчивости решений некоторых уравнений,
связанных с реакторами на тепловых нейтронах.
В ходе решения поставленных задач использовались методы
математического
моделирования,
методы
математического
программирования, численные методы.
Научная новизна настоящей работы заключается в следующих
положениях:
3
исследуются процессы ядерных реакторов на тепловых
нейтронах с точки зрения геометрических параметров, что практически
делает режим работы реактора оптимальней, безопасней и устойчивей;
доказывается
возможность
обобщенного
решения
дифференциального уравнения процессов в ядерном реакторе на тепловых
нейтронах;
исследуется
зависимость
коэффициента
размножения
тепловых нейтронов и лапласиана от шага решетки и радиуса блока
ядерного реактора;
проводится расчет критических размеров ядерного реактора на
тепловых нейтронах.
Результаты данной работы докладывались на конференциях и
семинарах:
«Научно-исследовательская конференция молодых ученых ПаУ»,
ПаУ, Павлодар, февраль 1999г.;
Республиканская научно-практическая конференция «Наука и
образование в стратегии регионального развития», ПГУ, Павлодар,
апрель 1999г.;
Объединенный семинар лабораторий «Современные проблемы
прикладной математики» под руководством доктора физикоматематических наук, профессора, академика АН ВШК Неронова В.С.,
ПаУ, Павлодар, май 2000г.;
Региональная конференция «На стыке тысячелетий», ПаУ,
Павлодар, октябрь 2000г.;
Научный семинар «Проблемы математических дисциплин высшей
школы» под руководством кандидата физико-математических наук,
доцента Павлюка И.И., ПГУ, Павлодар, январь 2001г.;
«Научно-практическая
конференция
по
проблемам
вычислительной математики», КазГУ, Алматы, июль 2001г.;
Международная конференция «Социальные и экономические
аспекты развития региона», ПаУ, Павлодар, ноябрь 2001г.;
Научная конференция молодых ученых «III Сатпаевские чтения»,
ПГУ, Павлодар, март 2003г.;
Международная конференция «I Ержановские чтения», ПГУ,
Павлодар, июль 2004г.;
«X Международная межвузовская конференция по математике и
механике», КазНУ им. Аль-Фараби, Алматы, сентябрь 2004г..
4
Учебное пособие состоит из введения, четырех разделов, списка
использованной литературы из 61 наименования.
В первом разделе данной работы
рассмотрено построение
математической модели и доказательства существования оптимального
управления ядерным реактором на тепловых нейтронах.
Во втором разделе дается математическое описание диффузионных
процессов и применение метода динамического программирования к
исследованию этих процессов. Также исследуется устойчивость решений
уравнений, связанных с реактором на тепловых нейтронах.
В третьем разделе исследуются некоторые критические размеры
ядерного реактора на тепловых нейтронах, зависимость коэффициента
размножения тепловых нейтронов и лапласиана от шага решетки и
радиуса блока ядерного реактора.
В четвертом разделе проводятся численные расчеты критических
размеров ядерного реактора на тепловых нейтронах.
5
1 Построение математической модели
1.1 Общие сведения об ядерных реакторах на тепловых нейтронах
Математическое моделирование и оптимальное управление
являются одними из основных наиболее активно разрабатываемых
областей современной математики. Математическое моделирование,
сущность которого состоит в замене исследуемого процесса его
математической моделью, является мощным средством быстрого и
качественного решения фундаментальных и прикладных задач
современной науки и техники. В теории оптимального управления
особое место занимают вопросы управления системами с
распределенными параметрами. Это связано с тем, что математические
модели с распределенными параметрами достаточно полно описывают
исследуемые процессы и для задач оптимального управления требуется
привлекать более сложный математический аппарат.
Возникновение теории оптимального управления системами с
распределенными параметрами связывают с появившимися в начале 60-х
годов работами А.Г.Бутковского, А.И.Егорова, Т.К.Сиразетдинова и др.
Дальнейшее развитие теория оптимального развития получила в работах
Ж.Л.Армана,
О.В.Васильева,
В.Т.Литвинова,
В.С.Неронова
и
С.Я.Серовойского.
В данной работе исследуются оптимальное управление ядерными
реакторами. Ядерные реакторы служат для проведения цепной реакции
деления ядер, в результате которой происходит выделение тепловой
энергии и ионизирующего излучения.
Впервые цепная реакция деления урана была осуществлена в США
коллективом ученых под руководством Энрико Ферми. В Советском
союзе первый ядерный реактор был запущен 25 декабря 1946 года
коллективом физиков, который возглавлял Курчатов И.В.
С практической точки зрения ядерные реакторы являются
основными элементами в атомных электростанциях, ядерных
двигателях, широко используются в ракетной технике, в морском флоте
(атомные ледоколы, подводные лодки) и т.д.
В зависимости от энергии нейтронов ядерные реакторы делятся на
реакторы
на тепловых, быстрых и промежуточных нейтронах.
Тепловыми нейтронами называют такие нейтроны, энергия которых
сравнима с кинетической энергией молекул замедлителя. В реакторе на
быстрых нейтронах нет замедлителя, и они поглощаются, имея энергию,
6
не очень сильно отличающуюся от той энергии, с которой возникли при
делении ядра. В реакторах на промежуточных нейтронах замедлитель
есть, но его мало, так что основное поглощение нейтронов происходит в
широкой области энергий, которая заметно выше тепловой и ниже
энергии нейтронов при рождении.
Кроме классификации реактора по виду спектра нейтронов, можно
классифицировать их и по другим признакам: по виду горючего –
естественный уран, обогащенный изотопом U235, чистый делящийся
изотоп (U233, U235 или Р239); по виду замедлителя – графит, тяжелая вода,
простая вода, бериллий; по характеру размещения горючего –
гомогенный, когда уран равномерно размещается по объему реактора,
или гетерогенный, когда уран размещен в виде отдельных блоков; по
виду теплоносителя – простая вода, тяжелая вода, газ, жидкий металл; по
назначению – реактор, предназначенный для экспериментальных
исследований, для производства электроэнергии, плутония или того и
другого одновременно.
Применение ядерной энергии для преобразования ее в
электрическую впервые было осуществлено в СССР в 1954 году. В
городе Обнинске была введена в действие первая атомная
электростанция (АЭС) мощностью 5000 кВт. Энергия, выделяющаяся в
ядерном реакторе, использовалась для превращения вводы в пар,
который вращал затем связанную с генератором турбину.
АЭС обладают рядом преимуществ по сравнению с тепловыми
электростанциями, работающими на органическом топливе. Ядерные
реакторы не потребляют дефицитного органического топлива и не
загружают перевозками угля железнодорожный транспорт. Атомные
электростанции не потребляют атмосферный кислород и не засоряют
среду золой и продуктами сгорания. Полное использование урана
достигается в реакторах на быстрых нейтронах, в которых
обеспечивается также воспроизводство нового ядерного горючего в виде
плутония.
В 1980г на Белоярской АЭС состоялся пуск первого в мире
реактора на быстрых нейтронах мощностью 600 МВт. С помощью
ядерных реакций можно получить радиоактивные изотопы всех
химических элементов, встречающихся в природе только в стабильном
состоянии. С помощью ядерных реакций получены также трансурановые
элементы.
7
В настоящее время, как в науке, так и производстве, все более
широко начинают применяться радиоактивные изотопы различных
химических элементов. Наибольшее применение имеет метод меченых
атомов. Метод основан на том, что химические свойства радиоактивных
изотопов не отличаются от свойств нерадиоактивных изотопов тех же
элементов. Обнаружить радиоактивные изотопы можно очень просто по
их излучению. Радиоактивность является своеобразной меткой, с
помощью которой можно проследить за поведением элемента при
различных химических реакциях и физических превращениях веществ.
Метод «меченых атомов» используется при решении многочисленных
проблем
биологии, физиологии, медицины и т.д. Радиоактивные
изотопы широко применяются в науке, медицине и технике, как
компактные источники  -лучей. Получают радиоактивные изотопы в
ядерных реакторах. Одним из наиболее выделяющихся исследований,
проведенных с помощью «меченых атомов», явилось исследование
обмена веществ в организмах.
Ядерные реакторы на тепловых нейтронах состоят из активной
зоны, отражателя, системы охлаждения, системы контроля и управления
и биологической защиты.
Элементы с ядерным горючим, так называемые твэлы, вместе с
замедлителем образуют активную зону ядерного реактора, в котором
протекает цепная реакция с выделением энергии.
Активная зона окружена отражателем, служащим для уменьшения
вероятности утечки из нее нейтронов; пронизана каналами, в которые
вводятся твэлы. Органы управления и аварийной защиты, выполненные
из хорошо поглощающего нейтроны материала. В каналах с твэлами
циркулирует теплоноситель. Органы аварийной защиты предназначены
для обеспечения быстрого снижения мощности реактора и полного
прекращения цепной реакции в ситуациях, угрожающих повреждением
или разрушением реактора.
Детекторы плотности потока нейтронов представляют собой
устройства для формирования электрических сигналов в зависимости от
плотности нейтронов в активной зоне.
Биологическая
защита
служит
для
снижения
уровня
ионизирующего
излучения
до
значений,
безопасных
для
обслуживающего реактор персонала.
В качестве ядерного горючего в настоящее время широко
используется природный уран, двуокись урана (UO2), карбид урана
8
(UC2), смесь урана с графитом и различные сплавы урана с другими
материалами.
Замедлителем в ядерных реакторах на тепловых нейтронах служит
графит, обычная и тяжелая вода, бериллий и его окись и т.д.
В качестве теплоносителя наиболее широко используется обычная
вода, но нашли также применение тяжелая вода, некоторые газы
(H2,Hl,CO2), жидкие металлы (Na,K) и различные органические
жидкости.
1.2 Математическая модель управления ядерным реактором на
тепловых нейтронах
Процессы в ядерных реакторах на тепловых нейтронах
описываются, обычно, системами дифференциальных уравнений с
частными производными параболического типа второго порядка и
гиперболического типа первого порядка.
Для конкретности рассмотрим ядерный реактор, представляющий
собой геометрическое тело   Rn , ограниченное поверхностью S,
процессы в котором описываются дифференциальным уравнением:
m
 1 
2
  )  a exp (  )   a  

div
(
D
grad

)

K
(
1

i
  t
i 1
 N


c i
k
m

2
  i  a    i c i , i  1, m ,
  exp(  )i 1  i c i  S 0 ,
t




( x , t )  Q    (0, T)

(1.1)
с начальными и граничными условиями
C x,0   C 0 x , x  Ω, i  1,2, , m,
Φx,0   Φ 0 x ,

Φx, t   0, x, t     S 0, T ,
где t – время, x   x,, xn  – пространственная координата;
  x, t  – плотность потока нейтронов;
9
(1.2)
Ci  Ci x, t  –
концентрация предшественников запаздывающих
нейтронов i-ой группы;
m – число групп запаздывающих нейтронов;
vn – скорость движения нейтронов;
D – эффективный коэффициент диффузии нейтронов;
a – макроскопическое сечение поглощения нейтронов;
k  k кр  δk – коэффициент размножения нейтронов в бесконечной
среде;
k кр – критический коэффициент размножения нейтронов;
 k – избыточная реактивность;
 i – доля запаздывающих нейтронов i-ой группы;
B 2 – материальный параметр;
 – квадрат длины замедления;
 – вероятность избежания резонансного поглощения нейтронов в
процессе замедления;
 – постоянные радиоактивного распада осколков деления;
S 0 – плотность внешних источников нейтронов.
Граничные условия (1.2) соответствуют ядерному реактору без
отражателя. Для реакторов с отражателем используются граничные
условия третьего рода. В качестве управления выбираются избыточная
реактивность  k и плотность внешних источников нейтронов S 0 .
Ставится задача: найти управление   k , S 0  , доставляющее
минимум функционалу
I
T
 
  x, t , , c1 , c 2 , ..., c n ,  k, S0 d x d t 
0
  T  x,   x, t , c1  x, t , c 2  x, t , ..., c n  x, t  d x .
(1.3)

Изменение управления осуществляется путем изменения скорости
производства нейтронов, их поглощения или утечки. Из этих способов
наибольшее распространение получил способ регулирования количества
веществ, поглощающих нейтроны, который осуществляется за счет
- введения в активную зону стержней поглотителей;
10
- изменения уровня жидкого поглотителя в активной зоне или
концентрации поглощающих ядер в растворе;
- введения поглотителей в жидкий заполнитель или
теплоноситель;
- изменения в активной зоне давления газообразного
поглотителя;
- введения в активную зону поглотителя, «выгорающего» из-за
захвата нейтронов.
Задаваясь различными критериями оптимальности, можно ставить
различные оптимизационные задачи. Это, например, могут быть задачи о
наиточнейшем или с минимальными энергетическими затратами
переводе ядерного реактора с одного режима на другой, задачи
оптимальной стабильности и др.
Для некоторого упрощения изложения будем рассматривать только
первую группу запаздывающих нейтронов и систему (1.1), систему (1.2)
представим в виде
2
 y1



div
a
grad
y

b1j y j  c1 v1 y1  v 2 ,

1
 t
j1


2
 y 2 
b 2j y j  c 2 v1 y1 ,  x, t   Q,


j1
 t
yi x, t   y0i  x ,
x   , i  1, 2;
где y1  y1 x, t   x, t ,
y 2  y 2 x, t   C x, t  ,
a  vN D ,


 
b11  v N a k кр 1  β  exp  B 2 τ  1 ,


b12  v N  exp  B 2 τ λ ,


c1  v N a 1  β  exp  B 2 τ ,
11
yi x, t   0,
(1.4)
x, t    ,
(1.5)
b21  β
k кр


a
,
b22  λ ,
c2  b21 , v1  δk , v2  v N S 0 .
Несмотря на введенные обозначения y1   , y2  C, v1  k , v2  v N S 0 ,
В дальнейшем будем ими пользоваться равнозначно.
В качестве управления выберем избыточную реактивность
δk  δk t   vt  и в пространстве V  L2 Q  L2 Q определим множество
допустимых управлений
U  v v V , vt  G п.в. на Q,
(1.6)
2
где G – выпуклое замкнутое ограниченное множество в R .
С учетом обозначений (1.6) функционал (1.3)
эффективности процесса) примет следующий вид:
(критерий
T
I v   I v, y v     w x, t , y x, t; v  dx dt   wT x, y x, T ; v  dx,
0
(1.7)

где y v  y x, t; v   y1 x, t; v, y2 x, t; v – вектор-функция состояния процесса,
соответствующая управлению v .
Ставится задача: найти управление u U , минимизирующее на
множестве U функционал (1.27). Введем функциональные пространства:



      1 ,  2   H 1 0, T ; H 01    
 H 1  0, T ; L2   ,  i  T , x   0,
п.в в , i  1, 2
(1.8)
Y     1 ,  2   Y1  Y2 ,
Y1  C  0, T ; L2    L2 0, T ; H 01    Lq0 Q ,
q0 
2 m  2
, Y2  C 0, T ; L2  .
m
12
(1.9)
являющееся пространством Банаха относительно нормы

2
Y
 1
  i
i 1

C 0 ,T ; L2  
H 1 0,T ; H 1  
  2
 1

L2 0 ,T ; H 01  
W 1 0 ,T ; L2  

(1.10)
.
Определение 1
Функцию yv  будем называть обобщенным решением начальнокраевой задачи (1.4) – (1.5), если yv  Y и для всех t  0, T и для любых
h1 , h2   H 01    L2   она удовлетворяет системе уравнений
2
d


y
v
,
h

b1 j y j v   c 2 vy1 v , h2


2
2
dt
j

1


n
2
y1 v  h1
d
 dt y1 v , h1   a x , x   b1 j y j v   c1vy1 v   g , h1
i 1
j t
i
i

с начальными условиями yi 0  y0i п.в. в  , i  1, 2 , где ,  – скалярное
произведение в L2 .
Теорема 1
Пусть   R n – открытое ограниченное множество с границей S, и
пусть выполнены условия
a  L Q , ax, t   a  0 п.в. в Q, b1 j , ci  L Q ,
i, j  1, 2, g  L2 Q , y 0i  L2  , i  1, 2.
(1.11)
Тогда для всех v U существует обобщенное решение yv  задачи
(1.4) – (1.5). Если кроме условий (1.11) при всех v  G имеет место

2
2
 ξ   b ξ
i 1
i
 j 1
ij j

 ci vξ1   0 ξ  R 2 п.в. в Q , то это решение единственно.

Доказательство
Существование обобщенного решения задачи (1.4) – (1.5) будем
доказывать методом Фаедо-Галеркина, следуя которому в пространстве
13
H  H 01    L2  
введем
фундаментальную
последовательность
μ11 , μ12 ,, μ1s , μ 2s , , обладающую такими свойствами:
1) μ1i , μ 2i   H при всех i;
2) при любых s элементы μ11 , μ12  , μ1s , μ 2s  линейно независимы;
3) система элементов μ1i , μ 2i  полна в H, т.е. совокупность
конечных линейных комбинаций  cij μ ij  R , плотна в H.
Приближенное решение y s  y s t    y1s t , y 2 s t  задачи (1.4) – (1.5)
s
yis t    ξ ijs t μ ij , i  1, 2 ,
будем искать в виде
где функции
ξ ijs t 
j 1
определяются из следующих условий:
n
y μ 1γ
d
y1s , μ 1γ   a 1s ,
dt
xi xi
i 1
2
d
y 2 s , μ 2γ 
dt
b
j 1
2j
2
b

j 1
1j
y js  g , μ 1γ
y js  c 2 vyis , μ 2γ , γ  1, 2,  , s;
s
y is 0   y 0is   α ijsμ ij , y 0is  y 0i
j 1
(1.12)
в L2   при s  , i  1, 2.
В силу линейной независимости элементов μ ik , i  1, 2 , система
(1.12) представима в виде
dξ ijs
dt
s
  Aijs t ξ iks  Bijs t , i  1, 2
γ
j  1, 2,, s,
где Aijs , Bijs t  – известные измеримые функции.
Полученная система обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений,
будучи
дополнена
начальными
условиями
ξ ijs  α ijs , i  1, 2 j  1, 2, , s ,
согласно
известным
теоремам
о
существовании решения разрешима на отрезке 0, T  .
Умножим каждое из уравнений (1.12) на ξ ijs t  и просуммируем по
γ от 1 до s. После этого, сложив их между собой, получим
n
y is t 
y t  y t 
, y is t    a is , is

t
x i
x i
i 1
2

i 1
2

i 1
2
b
j 1
ij
y js t   c i vyis t ; y is t   g , y is t  .
14
Отсюда будем иметь
1 d 2
 y js t 
2 dt i 1
2

i 1
2
b
j 1
ij
n
 a
2
i 1
yis t  yis t 
,

xi
xi
(1.13)
y js t   ci vyis t ; yis t   g , yis t  .
где  – норма в L2 .
Учитывая условия (1.11), ограниченность множества допустимых
управлений U и используя неравенства Коши, переходим от неравенства
(1.13) к неравенству
n
2
y is t 
1 d 2


y
t

α


js
2 dt i 1
xi
i 1
2
2
C 2
1
2
y js t   g t  ,

2 i 1
2

(1.14)
где C – определенная положительная константа.
Теперь, интегрируя неравенство (1.14) от 0 до t, получаем:
2
t
n
y js t   2α  

2
i 1
0 i 1
2
  y 0is
t
2
i 1
y is τ 
τ 
x i
2
(1.15)
t
2
 C   y is τ  τ   g τ  τ .
2
2
0 i 1
0
Из (1.15), в частности, следует, что
2

i 1
2
y js t    y 0is
2
i 1
t
2
2
 C   yis τ  dτ  g
2
0 i 1
2
.
L2 Q 
(1.16)
Применяя к полученному неравенству лемму Гронуола и учитывая,
что, в силу (1.13), y0is  C0 y0i , i  1, 2 , где С0 – положительная

2
2
константа, будем иметь yis t  2  const   y 0 j  g

j 1
2
L2 Q 

 , i  1, 2.


Отсюда, используя условия (1.11), находим, что
yis t   const, i  1, 2.
(1.17)
15
Тогда из (2.5) получаем
y1s xi
L2 Q 
 const,
i  1, 2,  , n.
(1.18)
Из оценок (1.17), (1.18) следует, что из последовательности y s 
можно выделить под последовательность y k  , что при k  
yik  i - слабо в L 0, T ;L 2   , i  1, 2,


(1.19)
yik  1  слабо в L2 0, T ; H 01   .
Покажем, что   1 , 2  является обобщенным решением задачи
(1.4) – (1.5), т.е. yv    . Положив s = k в (1.13) и зафиксировав γ < k,
будем иметь
2
d
y 2 k , μ 2γ   b2 j y jk  c 2 vy1k , μ 2γ

j 1
 dt

n
2
y1k μ 1γ
d
y
,
μ

a
,

b1 j y jk  c1vy1k  g , μ 1γ


1
k
1γ
 dt
xi xi
i 1
j 1

Согласно (1.19), при

– слабо в L 0, T ,
i  1, 2.
(1.21)
yik , μ iγ   i , μ iγ
k 
(1.20)
i  1, 2, а следовательно,
d
d
y ik , μ iγ 
 i , μ iγ
dt
dt
в D' (0,T),
Далее в силу (1.19) находим, что при k  
n

a
i 1
n
y1k μ 1γ
y μ 1γ
,
  a 1k ,
- слабо в L2 0, T 
xi xi
xi xi
i 1
2
b
j 1

ij
y jk  ci vy1k , μ iγ 

2
b
j 1
- слабо в L2 0, T , i  1, 2.
16
ij
y jk  ci v1 , μ 1γ
,
(1.22)
Переходя в (1.20) к пределу при k   и учитывая (1.21), (1.22),
получаем
n
 μ 1γ
d
1 , μ 1γ   a 1 ,

dt
xi xi
i 1
d
1 , μ 2 γ 
dt
2
b
2j
j 1
2
b
j 1
1j
 j  c1v1  g , μ 1γ ,
(1.23)
 j  c 2 v1 , μ 2 γ .
Равенства (1.22) имеют место при любом фиксированном γ. Тогда, в
силу плотности множества конечных линейных комбинаций элементов
μ 1γ , μ 2γ  в пространстве H, следует справедливость равенств
n
 h
d
1 , h1   a 1 , 1 
dt
xi xi
i 1
d
 2 , h2  
dt
2
b
j 1
2j
2
b
j 1
 j  c 2 v1 , h2
1j
 j  c1v1  g , h1 ,
(1.24)
h1 , h2   H ,
из которых вытекает, что функция φ удовлетворяет системе уравнений
(1.3) и граничному условию (1.4).
Теперь установим, что   Y . Из системы уравнений (1.4) в силу
включений
 1  L 0, T ; L2    L2 0, T ; H 01  ,
 2  L 0, T ; L2  
(1.25)
и условий (1.11) находим, что


1 t  L2 0, T ; H 1  ,  2 t  L 0, T ; L2  .
(1.26)
При выполнении условий (1.25), (1.27) заключения
i  C 0, T ; L2  , i  1, 2
(1.27)
имеют место.
Наконец, покажем, что функция φ удовлетворяет начальным
условиям (1.4). Согласно (1.27) имеем при k  
17
yik 0   i 0 слабо в L2 , i  1, 2,
k 
(1.28)
а поскольку, в силу (2.2), yik 0  y0i сильно в L2 , i  1, 2, то  i 0  y0i .
Перейдем к доказательству единственности обобщенного решения.
Пусть существует два различных решения y , y  задачи (1.4) – (1.5)
при одних и тех же исходных данных. Тогда их разность   y   y  , будет
удовлетворять системе уравнений
2
  2
 t  div a grad  1    b1 j  j  c1v ,
j 1


2
  2  b   c v в Q

2j
j
2
1

j 1
 t
(1.29)
с начальными и граничными условиями  i x,0  0, x  , i  1, 2,  1   0 .
Умножив каждое из уравнений (1.29) на  i x, t  , сложим их между
собой. Тогда после интегрирования будем иметь
t
2
n
  i t   2  a
2
i 1
0 i 1
2
t
 
i 1 0
 1 τ   1 τ 
,
τ 
x i
xi
2
 b  t   c v τ ,  τ 
j 1
ij
j
i
i
.
(1.30)
i
Отсюда, учитывая условия (1.11), (1.12), получаем неравенство
2
  t 
i 1
i
2
n
 2α
i 1
1
xi
2
0,
(1.31)
L2 Q 
из которого вытекает, что   0 , следовательно, y   y  . Теорема доказана.
1.3 Существование оптимального управления
реактором на тепловых нейтронах
Введем множество оптимальных управлений


U 0  u u  U , I 0  I u   inf I v, y v  .
vU
18
ядерным
(1.32)
Теорема 2
Пусть
выполнены
условия
теоремы
w :   0, T   R  R, wT :   R  R, w : 0, T   G  R
2
2
1.
Интегранты
удовлетворяют
условиям Каратеодори и следующим неравенствам:
2
1)
w x, t , y   ψ x,t   C y , w x, t , y    D почти для всех x,t  Q и
для любых y  R 2 ;
2
wT x, y T    T x   CT y T  , wx, y T    DT почти для всех x  
2)
и для любых yt   R 2 ;
2
3)
w t , v   ψ  t   C v , w t , v    D почти для всех t  0, T  и для
любых
v  G, где ψ  L1 Q, ψT  L1 ,
ψ  L1 0, T , C, CT , C  0, D, DT , D  const.
Кроме того, функция wx, t, y1, для почти всех x,t  Q и для любых
y1  R выпукла на R; wT x,  для почти всех x   выпукла на R 2 ; w t ,
для почти всех t  0, T  выпукла на G.
Тогда множество оптимальных управлений U 0  Ø и любая
минимизирующая последовательность vs   U слабо в V сходится к U 0 .
Доказательство
Пусть vs   U – некоторая минимизирующая последовательность,
т.е.
lim I v s   inf I v   I 0 .
s 
(1.33)
vU
Для установления непрерывности отображения v  yv рассмотрим
процесс (1.4) – (1.5) при управлении v s  U :
2
y s1
 div a grad y s1    b1 j y sj  c1v s y si  g ,
t
j 1
2
y s 2
  b2 j y sj  c 2 v s y si
t
j 1
(1.34)
в Q,
где y s1 x, 0  y0i x, x  , i  1, 2, y s1   0,
19
y si  yi v s , i  1, 2.
Умножая каждое из уравнений (1.22) на y si , после некоторых
преобразований будем иметь
n
y t  y t 
1 d 2
2


y
t

a si , si



si
2 dt i 1
x i
x i
i 1
2

i 1
2
b
j 1
ij
.
(1.35)
y sj  c i v s y si t , y si t   g , y si t 
Учитывая ограниченность множества допустимых управлений и
проводя в равенстве (1.23) выкладки, как при доказательстве теоремы 1,
можно показать, что
ys1
L 0,T ; L2   L2 0,T ; H 01    H 1 0 ,T ; H 1  
ys 2
W1

0,T ;L2  


  C1 ,
(1.36)
 C2 ,
где C1 ,C2 - положительные константы, не зависящие от s.
Тогда из последовательности v s , y s  можно выделить
последовательность vk , y k  такую, что при k  
под
v k  u слабо в V , u  U ,
y ki  y i  - слабо в L 0, T ; L2  , i  1, 2,


y k1  y1 слабо в L2 0, T ; H 01   ,
(1.37)
y k1
y
 1 слабо в L2 0, T ; H 1   ,
t
t
y k 2
y
 2  - слабо в L 0, T ; L2   .
t
t


Отметим, что включение u U имеет место в силу слабой
компактности множества U.
Покажем, что y   y1 , y2  является обобщенным решением задачи
(1.4) – (1.5), соответствующим управлению U.
В силу условий (1.37), для любых h1 , h2   H 01    L2  
20
d
d
y k1 , h1 
y1 , h1 слабо в L2 0, T ,
dt
dt
d
d
y k 2 , h2 
y 2 , h2  - слабо в L 0, T  ,
dt
dt
n
n
y h
y h
a k1 , 1   a 1 , 1 слабо в L2 0, T ,

 xi  xi
 xi  xi
i 1
i 1
2

j 1
(1.38)
2
bij y kj , hi   b j y kj , hi  - слабо в L 0, T  , i  1, 2.
j 1
Кроме того, в силу непрерывности функции t  y ki : 0, T   L2 
имеем
y ki 0  yi 0 слабо в L2 , i  1, 2.
(1.39)
Теперь, чтобы установить, что y  yu  , необходимо обосновать
предельные переходы
ci vk yk1 , hi  ci uy1 , hi , i  1, 2.
Лемма 1
Вложение
(1.40)




L2 0, T ; H 01    H 1 0, T ; H 1  
пространства
L2 0, T ; L2   L2 Q компактно.
в
Доказательство
Согласно теореме Реллиха, вложение H 01   L2   компактно, и,
кроме этого, имеем H 01    L2    H 1  .
Применяя лемму 1 к условиям (1.38), в частности, получаем, что
при k  
y k1  y1 сильно в L2 Q .
(1.41)
Тогда переходы (1.40) будут иметь место в пространстве Д 0, T  , и,
следовательно, y  yu  действительно является обобщенным решением
задачи (1.4) – (1.5).
Теперь докажем, что u – оптимальное управление.
21
Лемма 2
Пусть ω :   R m , R n   R – функция Каратеодори, удовлетворяющая
для почти всех  p, q   R m  R n неравенству ωξ, p, q  C, где C  const , и,
кроме того, для почти всех ξ   и для любых p  R m функция ωξ, p,
выпукла на R n .
Пусть p s – последовательность измеримых функций, сильно сходящаяся
к p в L2  m , а q s – последовательность измеримых функций, слабо
сходящаяся к q в L2  n .
inf  ωξ, p s ξ , q s ξ dξ  ωξ, pξ , qξ dξ .
Тогда lim
s 


Используя условия (1.37), (1.41), согласно лемме 2 получаем, что
lim inf I v k   I u  .
(1.42)
k 
Теперь из условий (1.33), (1.42) будем иметь
I 0  lim I v s   lim inf I v k   I u  .
s 
k 
(1.43)
С другой стороны, из определения нижней грани функционала
имеем
I 0  I u  .
(1.44)
Сравнивания (1.43), (1.44), получаем, что I u   I 0 . Отсюда следует,
что U 0  Ø и любой элемент u, являющейся слабым пределом какой-либо
под последовательности vn  , принадлежит U 0 , т.е. v s  слабо в V
сходится к U 0 . Теорема доказана.
Для необходимого условия оптимальности введем сопряженное
состояние p  px, t    p1 x, t , p 2 x, t  как решение задачи
22
2
p1
ωu 
 div (a grad p1 )   b j1  c j u  p j 
,
t
y1
j 1
2
p 2
ωu 
  b j2 p j 
п.в. в Q,
 t j 1
y 2
p i  x, T   
ωT u 
п.в. в  , i  1, 2,
y i T 
(1.45)
p1 x, T   0 п.в. в  ,
где ω u   ω x, t, yx, t; u ,
ωT u   ωT x, yx, T ; u .
Определение 2
Функцию p  pu  будем называть обобщенным решением
сопряженной системы (4.1), если pu   Y и для почти всех t  0, T  и для
любых h1 , h2   H 01   L 2   она удовлетворяет системе уравнений
n
d
p1 p1
ωu  2
p
,
h

a
,

  b j1  c j u  p j , h1 ,


1 1
dt

x

x

y
i

1
j 1
i
i
1


ωu  2
d
 dt p 2 , h2  y   b j 2 p j , h2
j 1
1

с конечными условиями pi T   
(1.46)
ωT u 
п.в. в , i  1, 2.
yi T 
Теорема 3
Пусть выполнены условия теоремы 2, и пусть
ωT u 
ωu 
L 2 Q ,
L 2 ,
yi
yi T 
i  1.
(1.47)
Тогда для всех u  U 0 существует единственное обобщенное
решение сопряженной системы.
Доказательство
При выполнении условий теоремы 2 множество оптимальных
управлений U 0  Ø , а, следовательно, производные
23
ωu 
,
yi
ωT u 
,
yi T 
i  1, 2,
(1.48)
можно в соответствующих областях Q, Ω считать известными
функциями аргументов x, t , и тогда доказательство существования и
единственности обобщенного решения сопряженной системы проводится
по схеме теоремы 1.
Для формулировки условий оптимальности управления введем
функцию
2
Η t , y u , pu , v   ω t , v   v y1 u ,  ci t  pi u  .
(1.49)
i 1
Теорема 4
Пусть
выполнены
условия
ωT
ω
:   0, T   R 2  R,
:   R2  R
yi
yi
–
теоремы
функция
3;
Каратеодори;
существуют такие константы L, LT  0, что для почти всех x, t   Q и для
любых  y , y   R 2  R 2 выполняются неравенства
2
ωx, t , y  ωx, t , y 



 L y j  y j , i  1, 2,
yi
yi
j 1
(1.50)
а для почти всех x   и для любых  y T , y T   R 2  R 2 – неравенства
ω T x, y T  ω T x, y T 


y i t 
y i T 


 LT  y j T   y j T  , i  1, 2.
2
(1.51)
j 1
Тогда оптимальное управление u  U 0 почти для всех на
удовлетворяет условию максимума
Η t , yt; u , pt; u , ut   max Η t , yt; u , pt; u , q .
qG
24
0, T 
(1.52)
Доказательство
Используя (1.45), представляем приращение функционала I в виде
T
I    Η t , yt; u , pt; u , vt   Η t , yt; u , pt; u , u t  
0
 dt  η  0,
(1.53)
v U ,
где I  I v  I u  ,
2
η
i 1
2

i 1
 ω y u   ε 1 y   ω y u 

, y
y i
y i

L2  Q 
 ω T  y T ; u   ε 2 y T   ω T  y T ; u 

, y T  
y i T 
y i T 
,
2
 v  u , y1 ,  c i t  p i u 
i 1
, 0  ε k  1,
(1.54)
k  1, 2,
L2 0 ,T 
а приращения yi  yi x, t  определяются из системы уравнений
2
 y1



div
a
grad

y

b1 j y j  c1 vy1 v   uy1 u ,

1
 t
j

1


2
 y1  b y  c vy v   uy u  в Q

2j
j
2
1
1
  t
j 1
(1.55)
с начальными и граничными условиями yi x, 0  0, x  , i  1, 2, y1   0.
Введем в рассмотрение Tk  0, T  – интервалы прямых с центром в
точке t  . Предполагается, что Tk 1  Tk и при k  
mes Tk  0.
(1.56)
Рассмотрим допустимые управления
vk  1  χ k u  χ k q,
q  G,
где χ k – характеристические функции множеств Tk .
25
(1.57)
Полагая v  vk в формуле приращения функционала (1.53), после
деления ее на mes Tk  0 будем иметь
1
mes Tk
 H t, yu , pu , v   H t , yu , pu , u dt  η
k
k
 0,
(1.58)
Tk
где η k  η mes Tk .
Покажем, что η k  0 при k   . Умножим каждое из уравнений
системы (1.55) на yi и сложим их между собой. Затем, проинтегрировав
полученное неравенство по области Ω, получим
2
y1 t  y1 t 
1 d 2
2



y
t

a
,



i
2 dt i 1
xi
xi
i 1
2

i 1
2
 b y t   c vt y t; v   u t y t; v  ,
j 1
ij
j
i
1
1
(1.59)
yi t  .
Используя условия (1.11), неравенства Коши и ограниченность
множества допустимых управлений U, из (1.59) будем иметь
2

i 1
t 2
2
2
y i t   C    y i τ  dτ 
 0 i 1
T
2
0
i 1
(1.60)
  vt   u t  y1 t ; u  ,  y i t  dt ;
здесь и далее С – положительные константы.
Отсюда с помощью леммы Гронуола и неравенства Гельдера
найдем, что
yi
2
C 0,T ; L2  
T
2
0
j 1
 C  vt   ut  y1 t; u   y j t  dt , i  1, 2.
Учитывая, что y1 u   L 0, T ; L2  ,
Гельдера, из (1.61) получаем
26
и,
применяя
(1.61)
неравенство
y i
2
C 0 ,T ; L2  
C vu
2
Ls 0 ,T
y

j 1
j L 0 ,T ; L  
r
2
,
(1.62)
i  1, 2, 1 s  1 r  1, 1  s  2.
Поскольку y j
Lr 0,T ; L2  
 C yi
C 0,T ; L2  
,
j  1, 2, то из (1.62) будем
иметь
y i
 C vu
C 0 ,T ; L2  
Ls 0 ,T 
,
i  1, 2, 1  s  2.
(1.63)
Полагая в полученных неравенствах v  vk , находим, что
yi
C 0,T ; L2  
 C mes Tk  , i  1, 2, 1  s  2.
1s
(1.64)
Теперь перейдем к оценке η k . Используя условия (1.11), (1.50),
(1.51), неравенства Коши и Гельдера, получаем
C  2
ηk 
  y i
mes Tk  i 1
 q  u , y1
L2  
2
 p u 
i
i 1
2
2
  y i T  
2
i 1

.

L2 Tk  
(1.65)
Отсюда, учитывая, что функция t  pi u  , i  1, 2, принадлежат
ограниченным подмножествам пространства L 0, T , и применяя
неравенства Гельдера, будем иметь
2
C 2
2
2

y

y i T  


i

L2  
mes Tk  i 1
i 1
 q  u L T  y1 L T :L   , 1 λ  1 μ  1, 1  λ  2.
ηk 
λ
μ
k
k
2

(1.66)
Подставляя оценки (1.61) в неравенство (1.66) и учитывая
ограниченность множества допустимых управлений U, находим


η k  C mes Tk   mes Tk  ,
α

27
(1.67)
где α  2 s  1  0, β  1 λ  1 s  1  0.
Из (1.67) согласно (1.56) следует, что
η k  0 при k   .
(1.68)
Пусть T – совокупность точек 0, T  , являющихся точками Лебега
для функции
t  H t , yt; u , pt; u , vk   H t , yt; u , pt; u , ut .
(1.69)
Тогда для любой фиксированной точки t T из (1.58) с учетом (1.53),
(1.68) имеем
 1


lim 
H t , y t ; u , pt ; u , v k   H t , y t ; u , pt ; u , u  dt  η k  

k   mes T


k Tk
 H t  , y t  ; u , pt  ; u , q   H t  , y t  ; u , pt  ; u , u   0 , q  G.
(1.70)
Теперь, поскольку mes 0, T  / T   0, получаем
H t, yt; u , pt; u , ut   H t , yt ; u , pt ; u , q  0 , q  G п.в. на 0, T ,
что представляет собой доказываемое условие максимума (1.52). Теорема
доказана.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит сущность математического моделирования?
2. Из каких основных технических элементов состоят ядерные
реакторы на тепловых нейтронах?
3. В чем принципиальное отличие ядерного реактора на быстрых
нейтронах от ядерного реактора на тепловых нейтронах?
4. Как описываются процессы в ядерных реакторах на тепловых
нейтронах?
5. Каковы граничные условия соответствия ядерному реактору без
отражателя?
28
6. Как осуществляется изменение управления ядерным реактором
на тепловых нейтронах?
7. Какие оптимизированные задачи можно решать различными
критериями оптимальности?
8. Какая функция называется обобщенным решением начальной
краевой задачи?
9.
Каким методом доказывается существование обобщенного
решения к теореме 1?
10. По каким признакам классифицируют ядерные реакторы на
тепловых нейтронах?
11. С помощью какой теоремы доказывается существование
оптимального управления ядерным реактором на тепловых нейтронах?
12. Что утверждают леммы 1-2 к теореме 3?
13. Каково определение обобщенного решения сопряженной
системы?
14. Какова формулировка теоремы 3?
15. Что говорит об оптимальном управлении теорема 4?
16. Где была впервые осуществлена цепная реакция деления урана?
17. Как классифицируются ядерные реакторы в зависимости от
энергии нейтронов?
18. Какие нейтроны называются тепловыми?
19. На чем основан метод «меченых атомов»? Где он используется?
20. Какими математическими системами описываются процессы в
ядерных реакторах на тепловых нейтронах?
2 Математическое описание процессов в ядерных реакторах
2.1 Математическое описание диффузионных процессов в
реакторах на тепловых нейтронах
Пусть область  с границей S заполнена замедлителем, в котором
произвольным образом размещены молекулы урана. Атомы урана в
результате ядерных превращений выбрасывают нейтроны, которые при
движении в замедлителе практически разделяются на две группы.
Нейтроны первой группы, не успев потерять своей энергии,
сталкиваются с другими ядрами и вызывают их деление. В результате
таких столкновений зарождаются новые нейтроны. Вторая группа
нейтронов при движении в замедлителе теряют значительную часть
своей кинетической энергии и в конце концов их энергия становится
29
сравнимой с кинетической
энергией молекул замедлителя. В
дальнейшем энергия таких нейтронов не уменьшается. Они либо
поглощаются ядрами урана, либо продолжают перемещаться в
замедлителе. Эти нейтроны называются тепловыми. Выведем уравнение,
описывающее диффузию таких нейтронов. При этом будем исходить из
предложения, что все тепловые нейтроны имеют одинаковую по
величине, но не по направлению скорость. Обозначим их плотность
через N в  , возьмем произвольную малую область  , ограниченную
кусочно-гладкой поверхностью  . Тогда количество нейтронов в этой
области будет равно
N d


(2.1)
Изменение этого количества за время t будет равно
q

N d  t
t 

(2.2)
Оно вызывается несколькими причинами. Во-первых, часть
нейтронов покидает область  через ее границу  .
В соответствии с законом Фика их число определяется формулой
q1   D

N
d  t   div ( D gradN ) d  t
n

,
(2.3)
где n-внешняя нормаль к  .
Во-вторых, часть нейтронов исчезает в результате поглощения. Их
число можно найти следующим образом.
Пусть Т0 – время жизни нейтронов. Тогда количество поглощенных
нейтронов во всем объеме за время t будет равно
q2 
1
N d  t
T0 

(2.4)
В-третьих, число нейтронов изменяется за счет их рождения, т.е. за
счет того, что замедляющиеся нейтроны становятся тепловыми. Если
30
обозначить через Q – число тепловых нейтронов, рождающихся в
единице объема за единицу времени, то общее количество таких
нейтронов, родившихся в объеме  за время t , будет равно
q3   Q d  t

(2.5)
Следовательно, уравнение баланса нейтронов можно записать в
виде
q=q3-q2-q1
(2.6)
Так как область  и отрезок времени t произвольны, то отсюда
получаем дифференциальное уравнение относительно плотности
нейтронов
N (t , M )
1
 div ( D gradN )  N  Q , M  
t
T0
(2.7)
Выражение Q-1/ T*N представляет собой плотность внутренних
источников. Если в результате поглощения нейтронов ядро не порождает
быстрых нейтронов, то Q=0 и уравнение принимает вид
N (t , M )
1
 div ( D gradN )  , M  
t
T0
(2.8)
Подсчитаем теперь величину Q для случаев, когда в результате
поглощения тепловых нейтронов рождаются быстрые нейтроны.
Количество тепловых нейтронов, поглощенных в малой окрестности
точки М, вычисляется по формуле
q1 
1
T0
 N (t , M )  t
1

Тогда число рожденных быстрых нейтронов будет равно:
31
(2.9)
k
 T

N (t , M 1 )  t ,
(2.10)
0
где k – положительный коэффициент, называемый коэффициентом
размножения быстрых нейтронов. Если обозначить через W(M,M1)
вероятность того, что быстрый нейтрон, рожденный в точке М1,
становится тепловым в точке М, то
Q
1
T0
 k W (M , M ) N (t , M ) d(M ) .
1
1
1
(2.11)

Следовательно, уравнение диффузии нейтронов в этом случае
принимает вид
N (t , M )
1
1
 div( D gradN )  N   k ( M 1 )W ( M , M 1 ) N (t , M 1 ) d ( M 1 ) ,
t
T0
T0 
(2.12)
которое должно выполнятся при всех M   .
В случае установившегося процесса (N не зависит от t) плотность
нейтронов N(M) удовлетворяет уравнению
div ( D gradN ) 
1
1
N
T0
T0
 k (M )W (M , M ) N (t , M ) d (M )  0.
1
1

1
1
(2.13)
Относительно функции W(М, М1) обычно предполагают, что она
непрерывна и симметрична, т.е.
W(M, M1)=W(M1, М).
(2.14)
Получение решений каждого из уравнений при естественных
граничных условиях представляет собой трудную и зачастую
практически неразрешимую задачу. Поэтому на основе различных
физических гипотез эти уравнения заменяются более простыми
уравнениями, которые проще решать либо точно, либо приближенно.
Предположим, что неограниченная однородная среда заполняет
свое трехмерное пространство. Тогда функция W(M, M1) имеет вид:
32
W ( M , M 1 )  (4 )
3
 MM 1
2
e
4
2
,
W (M , M ) d (M )  1,
1
1
(2.15)
где |MM1|-расстояние между точками М и М1;
  -положительная постоянная, которая определяется равенством
6  r 2 ;
r-средний пробег нейтрона от момента его зарождения до момента
времени, когда он стал тепловым.
Разлагая функцию Т(М1) в ряд Тейлора будем иметь
N ( M ) 1
 2 N (M )
1 3
1

( xi  xi )   ( xi1  xi )( x j  x j ) 
x i
xi x j
2 i , j 1
i 1
3
N (M1 )  N (M )  
(2.16)
где хi1 и хi – координаты точек М1 и М соответственно.
Так как функция W(M1,M) симметрична, то
W (M
1i
, M )( x11  xi ) d ( M 1 )   W ( M , M 1 )( xi1  xi )l ( x1j  x j ) m d ( M 1 )  0 ,
(2.17)
при i  j и любых нечетных l и m . Здесь интеграл берется по всему
пространству переменных х11,х21,х31. Далее величина
xi2   W ( M , M1 )( xi1  xi )2 d ( M1 ) ,
i  1,3,
(2.18)
при любом i является квадратом проекции r на ось х
3
r   xi
2
2
i 1
,
(2.19)
и в силу однородности пространства
2
2
3x i  r .
(2.20)
В теории векторов известно, что
r 2  6 .
33
(2.21)
Поэтому, считая k - постоянная, будем иметь
 k W (M , M1 ) N (M1 ) d (M1 )  k N (M )  k (
2 N 2 N 2 N
 2  2 ) 
x12
x2
x3
,
(2.22)
где точками отмечены слагаемые, содержащие производные
функции N, начиная с третьего порядка. Подставляя это выражение
интеграла в уравнение (2.14), получаем
div ( D gradN ) 
k 1
k
N
N    0 .
T0
T0
(2.23)
Так как среда однородна, то, игнорируя слагаемые, отмеченные
точками в этом уравнении окончательно получаем:
N   2 N  0 ,
2 
k 1
,
D T0   k
(2.24)
где N  div (gradN ), а постоянная  называется лапласионом или
материальным параметром. Уравнение (2.25) приближенно описывает
установившейся процесс диффузии нейтронов в однородной среде,
заполняющей все пространство. В ряде практически важных случаев
оказывается полезным привести уравнение (2.14) к эквивалентной ему
системе уравнений, когда D и k можно считать постоянными, т. е. среда
считается однородной, а D и k не зависят от N. Эта система имеет вид
2
1
n ( , M )
N  n (  , M ) , N 
,
T

n (0, M )  kN ( M ) ,
D N 
(2.25)
где
n – плотность замедляющихся нейтронов,  вспомогательный параметр, зависящий от энергии теплового нейтрона и
называемый возрастным параметром,  - значение этого параметра для
теплового нейтрона.
В заключение рассмотрим вопрос о характеристике граничных
условий, которые необходимо учитывать при определении плотности
34
нейтронов в области  с помощью уравнений (2.14) или (2.25). Если
среда, в которой происходит движение нейтронов, граничит с вакуумом, то
на некотором расстоянии lt от границы этой среды плотность нейтронов N
будет равна нулю. Величина lt будет постоянной относительно времени,
если диффузионный процесс является установившимся, т. е. плотность N
нейтронов удовлетворяет уравнению (2.25). Поэтому для описания
процесса диффузии нейтронов в области  , граничащей с вакуумом,
решается следующая задача. Найти функцию N(M). Определенную и
1
непрерывную в замкнутой области  , которая внутри этой области
удовлетворяет уравнению (2.25), а на ее границе S1 удовлетворяет условию
N ( M )  0,
M S1
(2.26)
Граница S1 называется «эффективной» границей области  . Можно
1
считать, что область  и ее границы заданы.
Рассмотрим теперь случай, когда область  граничит с другой
областью 1 , которая не является вакуумом. При этом на границе
раздела этих областей не происходит накопления или поглощения
нейтронов. Тогда в 1 плотность N1 нейтронов будет подчиняться
уравнению , аналогичному уравнению (2.22)
N1 (M )  12 N1 (M )  0 , M  1 ,
(2.27)
в котором лапласион 1 определяется физическими свойствами среды,
заполняющей область 1 . На границе раздела областей 1  и   должны
выполнятся следующие два условия
2
N  N1
D
N
 N1
D
n
 n1
(2.28)
(2.29)
Условие (2.28) выражает непрерывность плотности нейтронов на
границе между 1 и  , а условие (2.29) – равенства потоков нейтронов в
двух средах у границы их раздела и указывает на отсутствие поглощения
или накопления нейтронов на границе. Представляет интерес случай,
35
когда на границе раздела двух сред расположен тонкий слой вещества,
поглощающего нейтроны. В этой ситуации поток нейтронов через
границу S из области  определится по формуле
Q  D
N
n ,
(2.30)
где n – внешняя нормаль к  поверхности S и не будет совпадать с
потоком нейтронов, попадающих в 1 через S. Количество этих
нейтронов определяется по формуле
Q1   D1
N1
n ,
(2.31)
где n – та же нормаль, что и в (2.30)
Величина q=Q-Q1 (2.31) равна количеству нейтронов, которые
поглощаются единичной площадкой поверхности S в единицу времени.
Если через d – обозначить толщину поглощающего слоя, а через ld –
длину поглощения в этом слое, то легко показать, что
q
d
ld
N,
(2.32)
где v - скорость нейтронов.
Поэтому граничное условие (2.31) для рассматриваемого случая
принимает вид
D
N1 ( M )
N ( M ) d
D
 N (M ) , M  S.
n
n
ld
Если процесс неустановившийся,
удовлетворяет уравнению
то
плотность
1 N (t , M )
 N   2 N , M   ,
D
t
36
(2.33)
нейтронов
(2.34)
которое получается из (2.12) при гипотезах, использованных для
получения уравнения (2.23). Для однозначного определения решения
этого уравнения нужно кроме одного из вышеперечисленных граничных
условий, еще задавать плотность нейтронов в некоторый начальный
момент времени при t=0
N (0, M )   ( M ) , M   ,
(2.35)
где  (M ) - заданная функция.
2.2 Теплоперенос в слабопоглощающих средах
В результате захвата нейтрона ядром, вызывающего расщеплением
ядра, выделяется тепловая энергия. Эта энергия (если она отводится
недостаточно интенсивно) повышает температуру внутри реактора, что в
свою очередь приводит к изменению физических свойств среды,
влияющих на процесс зарождения и диффузию нейтронов. Таким
образом, при недостаточно интенсивном отводе тепла диффузия
нейтронов и теплопроводность оказываются взаимосвязанными ,
подобно тому, как это происходит при тепло- и массопереносах в
бинарных газовых смесях и жидких растворах. Здесь пойдет речь о
математическом описании диффузии нейтронов с учетом тепловых
процессов, протекающих в среде. Ограничимся выводом уравнений при
выполнении следующих предложений:
1) диффузия нейтронов подчиняется закону Фика, т. е. плотность
их потока определяется по формуле
j   DgradN ,
где
(2.36)
N – число нейтронов, находящихся в единице объема;
D – коэффициент диффузии;
2) диаметр реактора много больше длины свободного пробега
нейтрона;
3) запаздывающие нейтроны не оказывают существенного влияния
на процесс диффузии и им можно пренебречь;
4) плотность источников тепла пропорциональна плотности
источников нейтронов;
37
5) тепло распространяется по закону Фурье, т. е. плотность
j  gradT
g
теплового потока, определяется по формуле
, где  коэффициент теплопроводности, а Т – температура среды.
При выполнении перечисленных условий уравнение диффузии
нейтронов имеет вид
N
1
1
 div ( DgradN )  N 
t
T0
T0
 k (M )W (M , M ) N (t , M )d(M )
1
1
1

1
.
(2.37)
При этом последнее слагаемое в правой части уравнения
представляет собой плотность внутренних источников (но не стоков)
тепловых нейтронов. Раньше было показано, что для случая
установившегося процесса при больших размерах однородного реактора
с достаточной степенью точности можно считать , что
W (M , M ) N (M )d(M )  N (M )  N
1
1
1

(2.38)
где  - положительная постоянная, однозначно определяемая
средним пробегом нейтрона от момента времени его зарождения до того
момента времени, когда он становится тепловым,  - оператор Лапласа.
Поэтому, если считать, что это равенство остается справедливым и при
неустановившемся потоке нейтронов, то для гомогенного реактора
вместо уравнения (2.37) можно брать уравнение
N
k
k 1
 ( D  )N 
N
t
T0
T0
в котором сумма D 
k
T0
(2.39)
представляет собой плотность внутренних
источников нейтронов. С другой стороны, в соответствии с
результатами, полученными выше, процесс теплопроводности
описывается уравнением
C
T
  T  Q
t
38
(2.40)
где Q – плотность внутренних источников тепла;
С – удельная теплоемкость среды;
 – ее плотность.
Так как по предположению, плотности источников тепла
пропорциональны плотности нейтронов, т.е. Q   (
k
k
N 
) , то для
T0
T0 N
описания процессов диффузии нейтронов и теплопроводности получаем:
N
k
k 1
 ( D  )N 
N
t
T0
T0
C
T
k
k
  T   ( N  N ) .
t
T0
T0
(2.41)
Дополнительные (начальные и граничные) условия для этой
системы определяются независимо, т.е. нужно отдельно указать условия
для плотности нейтронов и для температуры.
2.3 Метод динамического программирования, применение
метода динамического программирования к исследованию
уравнений процессов, протекающих в реакторе на тепловых
нейтронах
Рассмотрим процесс, протекающий в области  трехмерного
евклидова пространства E . Пусть t  0, T  – время, и x  x1 , x2 , x3     E
–
пространственная
координата.
Введем
вектор–функцию
 x, t    1 x, t ,  2 x, t , ...,  n x, t 
, характеризующую состояние с
распределенными параметрами в точке x   и в момент времени t  0, T  .
Эта вектор-функция удовлетворяет некоторой системе уравнений,
например, дифференциальных или интегрально–дифференциальных
уравнений в частных производных, граничных и начальных условий.
Распределения начальных значений вектор-функций  x, t  не
варьируются. Граничные условия могут содержать управления


u s x, t   u1 x, t , u 2 x, t , ..., u r1 x, t  ,
x  S , t  t 0 , T 
,
распределенные по границе S области  . Кроме того, процесс
 x, t , x  , t  t 0 , T 
зависит от управления
39


u  x, t   u r1 1 x, t , u r1  2 x, t , ..., u r x, t  ,
x  , t  t 0 , T 
, распределенного
по области  или по ее части. Каждая компонента управлений u s x, t  и
u  x, t  обязательно является функцией времени t , но не обязательно –
координаты x .
Введем обозначение u x, t   u s x, t , u  x, t   .
Процесс обладает свойством отсутствия последействия, если
начальное распределение
управлении
 t0    x, t 0 , t  t 0 , T 
, при заданном


u x, t   u1 x, t , ..., u r1 x, t  , t  t 0 , T 
выделяет
единственную вектор-функцию    x, t 0 , x  , t  t 0 , T ,
удовлетворяющую указанной системе уравнений. Эти процессы не
зависят от истории до начального момента t 0 . В дальнейшем будем
рассматривать возмущенные процессы без последействия. Пусть при
 x, t 0   0, u x, t   0 получается вектор-функция
 x, t   0, t  t 0 ,
x
, соответствующая процессу, который
назовем невозмущенным процессом. Функция  x, t   0 соответствует
возмущенному процессу.
 x, t  ,
Класс
допустимых
вектор-функций
например,
ограниченных, непрерывных, дифференцируемых и т.д. должен быть
указан в заранее в зависимости от конкретной задачи.
Управление u x, t  предполагается кусочно-непрерывной векторфункцией с конечным числом поверхностей разрыва, принимающей свои
значения из выпуклой области U r-мерного евклидова пространства, т.е.
u U .
Введем критерий качества возмущенного процесса, возникшего
вследствие начального возмущения  x, 0, x   , в момент времени t  0
40
T
J   W dt  W0
0
,
(2.42)
где W  W , u, t , W0  W0  x, T  – заданные положительные
функционалы,
определенные
на
множестве
вектор-функций
 x, t , u x, t  в каждый момент времени
t  0, T 
и  x, T 
соответственно.
Требуется найти оптимальное управление u 0 из условия минимума
функционала J (2.42). Эту задачу решим, применяя принцип
оптимальности Беллмана, согласно которому "последний участок
оптимальной траектории также является оптимальным". Этот принцип
применим для процессов без последействия при оптимизации
функционалов вида J (2.42). В самом деле, рассмотрим два участка
t 0 , T  и t 0, T  , где 0  t 0  t 0  T . Пусть управление u 0 минимизирует
функционал
T
J t0   W dt  W0
t 0
,
(2.43)
а u 0 – функционал
T
J t0   W dt  W0
t 0
.
(2.44)
J 
Значение t 0 определяется однозначно начальным состоянием
  x, t 0 
и управлением u  x, t  , t  t 0, T  .
Пусть процесс     x, t  начинается при t  t 0 , а     x, t  при
t 0  t 0  0
. Если начальное распределение
t0  x 
процесса
  x, t 
  x      x, t 0 
совпадает с состоянием   x, t 0  , т.е. t 
, то оптимально
0
управление u 0 и u 0 в интервале t 0, T  совпадают. В этом заключается
41
принцип оптимальности. Допустим,
управление u 0  u 0 такое, что
T
 W 
неверно,
и
существует
T
u 0
t 0
это
d t   W u0 d t
t 0
.
(2.45)
Неравенство в другую сторону исключается, так как u 0 доставляет
минимум функционалу
J t0
u0 при
u0 при
. Тогда, вводя управление u0  
t0 , t0,
t0, T ,
получим
J 
t0 u
0
 
 J t0
u0
.
(2.46)
Это противоречит тому, что управление u 0 доставляет минимум
J
функционалу t0 . Следовательно, выполняется принцип оптимальности.
Обозначим
T
 T
V 1 , t1   min   W dt  W0    W u 0 dt  W0 u 0
u
 t1
 t1
.
(2.47)
Функционал V 1 , t1  зависит только от распределения
1  1 x, t1  в момент времени t1 . Пусть Δ 1 – приращение  за время
Δt1 . Вектор-функция   1  Δ1 определяется согласно уравнениям
процесса. Введем производную
V 1  Δ 1 , t1  Δ t1   V 1 , t1 
dV
 lim
d t1 Δ t1 0
Δ t1
.
(2.48)
Тогда
V 1  Δ 1 , t1  Δ t1   V 1 , t1  
42
dV
Δ t1  O Δ t1 
d t1
,
(2.49)
где O Δt1  – величины более высокого порядка малости, чем Δt1 . С
другой стороны, последний участок  t1  Δ t1 , T  оптимальной траектории,
который занимает отрезок t1 , T , также является оптимальным:
T
 T

min   W dt  W0    W u 0 dt  Wu 0  V 1  Δ 1 , t1  Δ t1 
u t  Δ t
 t1  Δ t1
1 1
,
 
(2.50)
где u 0 – тот же закон управления, что и в выражении (2.47), т.е. в
отрезке  t1  Δ t1 , T  они совпадают. Учитывая принцип оптимальности,
выражение V 1 , t1  (2.47) запишем в виде
t1 Δ t1
V 1 , t1   min   W d t  min
u
u
 t1
 T
 
  W dt  W0  
t1 Δ t1
 
.
(2.51)
При бесконечно малых Δt1 , используя формулы (2.49) и (2.50),
получим


dV
V 1 , t1   min W Δ t1  V 1 , t1  
Δ t1  O Δ t1 
u
d t1

,
(2.51)
где u  u  x, t , t   t1 , t1  Δ t  . Выражение V 1 , t1  определяется
состоянием 1    x, t  в начальный момент времени t1 , и от управления
u  u  x, t , t  t1 , t1  Δ t1  не зависит. Поэтому его можно вынести из-под
знака минимума и сократить с соответствующим членом в левой части.
Но dV d t1 , как и W , нельзя выносить из-под знака минимума, так как они
зависят от управления u . Выражение W  W  , u по определению
содержит u , а dV d t1 определяется не только распределением  x, t1  в
момент времени t1 , но и бесконечно малым приращением Δ  x, t1  за
бесконечно малое время Δt1 . Это приращение, согласно уравнениям
процесса, зависит от управления в интервале t1 , t1  Δ t1  .
Учитывая сказанное, из (2.52) получим основное уравнение метода
динамического программирования [1, 3, 7].
43
 dV
  dV

min 
 W   
 W   0
u
 dt
  dt
 u0
,
(2.53)
а из выражения (2.47) – конечное условие
V t T
 W0   x, T  
(2.54)
для определения функционала V . Так как функция   x, t  в момент
времени t  T заранее не задана, условие (2.54) должно выполняться для
произвольных допустимых     x, t  .
В равенствах (2.53) и (2.54) выражения W  W  , u и
W0  W0   x, T   – заданные функционалы, а
является искомым
функционалом. Кроме того, искомым является управление u . Уравнение
(2.53) содержит два условия: выражение  dV d t  W  достигает минимума
и этот минимум равняется нулю. Из этих условий определяются V и u .
Аргументом функционала V  V   x, T , T  зависит от параметра t ,
например
V    2  x, t  d

.
V
(2.55)
Основное
уравнение
(2.53)
метода
динамического
программирования является функциональным. Для сосредоточенных
процессов,
описываемых
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями, основное уравнение переходит в дифференциальные
уравнения частных производных, полученных Р. Беллманом.
Уравнение (2.53) также применимо при T   . При этом следует
полагать W0  0 и требовать lim V  0 при t   . Это можно толковать как
требование асимптотической устойчивости процесса по мере   V .
Рассмотрим математическое описание диффузии нейтронов с
учетом тепловых процессов, протекающих в среде:
1) диффузия нейтронов подчиняется закону Фика, т.е. плотность
потока определяется по формуле j   D grad N , где N – число нейтронов
находящихся в единице объема, D – коэффициент диффузии;
44
2) диаметр реактора много больше длины свободного пробега
нейтрона;
3) запаздывание нейтрона не оказывает существенное влияние на
процесс диффузии;
4) плотность источников тепла пропорциональна плотности
источников нейтронов;
5) тепло распространяется по закону Фурье, т.е. плотность
теплового потока определяется по формуле j q   grad T , где X –
коэффициент теплопроводности, T – температура среды.
Пусть
реактор
на
тепловых
нейтронах
представляет
S
геометрическое тело  с границей
. В стационарном режиме
плотность нейтронов N 0  p  подчиняется уравнению диффузии
div D0 grad N  
k кр  1
T0
0
,
(2.56)
где D0 – эффективный коэффициент диффузии;
T0 – длина свободного пробега нейтронов;
k кр
– критический коэффициент его размножения.
k
Предположим, что D0 , T0 , кр являются некоторыми функциями
пространственных координат P x, y, z  . Кроме того, будем считать, что
реактор граничит с вакуумом, и поэтому функция N 0  p  на границе S
должна удовлетворять условию
N S  0.
(2.57)
Функция N 0  p  принимается как желательное распределение
плотности нейтронов.
Нестационарный процесс можно описать системой уравнений
k кр 1  
 N
1 



div
D
grad
N

N  r 
 k  p, t N

0
T0
T0
 t

  r  p, t    k кр N   r    k  p, t N
 t
N0
T

45
(2.58)
r  p, t  
r0 
 k кр
T0 

T0

 k
кр

  k  p, t    N  p, t    e    d 
(2.59)
0
N 0  p
(2.60)
Пусть управление процесса начинается с некоторого момента t  t 0 ,
в который реактор находится в стационарном состоянии и
характеризуется функциями r1  p  и N1  p , то есть
 N t 0 , p   N1  p 

r  p, t   r1  p 
.
(2.61)
Требуется найти управление  k  p, t  такое, что:
0
0
1) соответствующее управление решений N , r уравнений (2.58)
удовлетворяет условию
o
N S  r S  0,
(2.62)
асимптотически приближенное к функциям r0  p  и N 0  p  в метрике L2 ,
т.е. для   0 нашлось бы   0 , такое, что
   p    p  N  p  N  p d    
2
1


2
0
1
0

 
   0 t , p    0  p   N 0 t , p   N 0  p  d   
2
2
(2.63)

при этом
lim  0 t   0
t 
;


I t 0 ;  k     t  d t      k 2  p, t  d dt
t
t 
2) функционал
принимал

наименьшее положительное значение, где – числовой положительный
параметр, а
0
46
0
P t  
 r t; p  r  p  N t, p  N  p d

2
2
0
0
,
(2.64)
где  r t, p; N t, p  – решение краевой задачи.
Уравнение Беллмана. Пусть допустимое управление  k t, p
однозначно определяет классическое решение  r t, p; N t, p , и это
допустимое управление функции  k  p, t  , где
Z t     k 2  p, t  d

, на
t 0  t  T и Z t   M , где M – некоторая заданная постоянная.
Область значений функции Z t  обозначим через Z .
Воспользуемся методом динамического программирования. Введем
обозначения

W t , p    r t , p ; N t , p  
S w t , p    inf I  k  ; p  w t , p 
0

Z (t )

.
(2.65)
В соответствии с принципом оптимальности



2
2

r t , p   r0  p   N t , p   N 0  p  


Z (t )
t    t   t 
S w t , p   inf

   k 2  p, t  d  Λt  S w t  Λt ; p   0 Λt  
(2.66)
где
, 0 Δt   0 . Предполагая, что функция S  w t, p имеет
дифференциал Фреше, можно записать
Δt
-1
S  w t  Δt , p  S  w t , p  Φ  w t , p Δw   01 Δt 
где
Δt
-10
(2.67)
, 0 Δt   0 при Δt  0 ; Δw  w t  Δt , p  w t, p .
Дифференциал Фреше Φ  w t , pΔw  линеен по Δw в L2 , поэтому
47
wt , p w   v* t , p wt , p  d  

  v1 t , p N t , p   v2 t , p  t , p d  ,
(2.68)

где вектор v t, p  v1 ; v2  однозначно определяется функционалом
Φ  w t , p Δw , причем v1 t , p  и v2 t, p  L2   почти при всех t .
Учитывая (2.66)


1
2
2
 v1 t , p  ΔN t , p   v2 t , p  Δr t , p  d  0 2 Δt   0
inf   r t , p   r0  p     N t , p   N 0  p      k 2  p, t  d 

t ( )
Δt 
Δt 
t    t  Δ t 


где 0 2  01  0 . Так как функции N t, p и r t , p  дифференцируемы,
то, переходя к пределу при Δt  0 , будем иметь

r t, p  r  p 2   N t, p  N  p 2    k 2  p, t  d  1  v t, p  N  v t, p  r t, p  d   0
inf


t ( )
t    t Δ t 
0

Δt  
0
1
t
2
t
Учитывая, что функции N t, p и r t , p  удовлетворяет системе
уравнений (2.58), получим уравнение

inf  
Z (t ) Z

 r t, p   r  p  
2
0
 N t , p   N 0  p      k 2  p, t  
2
k кр 1     1


1 
 v1 t , p  div D0 grad N  
N t , p    r t , p  
 k  p, t  N t , p 
T0
T0



  k кр
 

  2 t , p  
N t , p    2 r t , p    k  p, t  N t , p   d   0

T0
 T0
 

(2.69)
которое является уравнением Беллмана для рассматриваемой задачи.
Если предположить, что на оси значений допустимых управлений не
найти никаких ограничений из (10) то следует, что оптимальное
0
0
управление и соответствующее ему решение N , r удовлетворяет
условию
48




 k  p, t    1   v1 t , p    v2 t , p  
N 0 t , p 
2T0  ,
(2.70)
которое следует из того, что при таком  k подынтегральное выражение
0
0
достигает своего наименьшего значения. Подставляя  k , N , r в (10),
получим уравнение оптимальных функций v1 t , p  и v2 t , p 
0

   r t , p   r  p     N t , p   N  p  
2
0
2
0
0
0



2
1
N 0 t , p  R 2 t , p  
2
4T0 
k кр 1     1


 v1 t , p  div D0 grad N 0 
N 0 t , p    r 0 t , p  
T0


  k кр
 
 v 2 t , p  
N 0 t , p    r 0 t , p    d  0
 T0
 


(2.71)
где через R t , p  обозначено выражение, стоящее в квадратных
скобках в формуле (2.70).
Это уравнение является уравнением относительно функционала

, ибо v1 t , p  и v2 t , p  однозначно определяется дифференциалом
Фреше функционала  , решив его можно определить оптимальное
управление по формуле (2.70). В том случае, когда на допустимое
управление накладывается ограничение  k  p, t   M 1 из (2.69), следует,
что оптимальное управление должно подчиняться условию

N 0 t , p 


M
,
если

R
t
,
p
 M1
 1
2
T

0

0

N t , p 
N 0 t , p 

0
 k  p, t    R t , p 
, если  M 1   R t , p 
 M1
2T0 
2T0 


N 0 t , p 
 M 1 , если  R t , p 
 M1

2T0 
.(2.72)
49
Допустимые управления не зависят от пространственных
координат, т.е.  k   k t  , т.е. речь идет об управлении процесса, который
описывается уравнениями
k кр 1    1
 N
1 
 D0 ΔN 
N  r 
k  t N

T0
T0
 t

  r   k кр N   r    k  t  N
t
T0
T0

,
(2.73)
k
где Δ – оператор Лапласа, D , кр ,  ,  , T0 – заданные постоянные.
Уравнение (10) тогда примет вид
inf


   r t , p   r  p     N t , p   N  p  
2
0

  r t , p  
2
0
0
0
k кр 1    1

 v1 t , p   D0 N 
N t , p  
T0

  k кр
 

1 

 k  t  N t , p   v 2 t , p  
N t , p    r   k  t  N t , p    d  0
T0
T0

 T0
 
(2.74)
Если по области значений не найти никаких ограничений, т.е.
    k   , то отсюда следует, что оптимальное управление  k 0 t 
должно удовлетворять условию
 k 0 t   

 0
1  1  







v
t
,
p

v
t
,
p
N
t
,
p

 d  0
1
2


2     T0
T0


(2.75)
0
0
где N t , p , r t , p  – решение, соответствующее оптимальному
управлению  k t  .
Таким образом, и в этом случае задача сводится к решению
нелинейного уравнения функциональных производных.
0
50
2.4 Устойчивость кусочно-линейных систем с разделяющим
многообразием
Рассмотрим в Rⁿ систему уравнений вида
dx/dt = Ax + cs;
ds/dt = rs + µρ – k |ρ| sign s;
ρ = q T x + αs,
(2.76)
где x  R n -1 ; s  R¹; q, c – постоянные векторы в R n 1 ; А – матрица с
постоянными коэффициентами; α, µ, k, r – некоторые числа; функция
sign s – знак величины s.
Отметим, что правые части уравнений терпят разрыв первого рода
на гиперплоскости s = 0. Таким образом, уравнения выходят за рамки тех
уравнений, которые рассматривали ранее. Общий подход к
исследованию таких систем заключается в следующем. Вместо системы
(2.76) можно рассмотреть совокупность систем с непрерывнолипшицевыми правыми частями (в данном случае для построения таких
систем достаточно заменить sign s на f (t, ε, s), где построение | f |≤1, f –
непрерывно-липшицева функция и при ε→0, f→sign s для всех s ≠ 0) и
затем рассмотреть предельный переход к системе (2.76).
Отметим, что при k>| µ| движения, начинающиеся на плоскости s = 0
при всех t≥0.
Приведем определение, несколько обобщающее понятие плоскости
скольжения.
Определение 1.1
Множество U  Rⁿ называют разделяющим многообразием, если
выполнены следующие условия:
1) если (x, s)  U при t = t 0 , то (x, s)  U при всех t ≥ t 0 ≥ 0;
2) существует вектор с Rⁿ, такой, что {x, s : cT (x, s) = 0}  U;
3) множества {x, s : cT (x, s) > 0} \ U = S  и {x, s : cT (x, s) > 0} \ U =
S  не пустые.
Из условия 1 следует, что поведение траекторий динамической
системы в S  и S  , если для неё существует разделяющее многообразие,
можно рассматривать независимо. Естественно, что гиперплоскость
51
скольжения дает пример разделяющего многообразия. К необходимости
обобщения этого понятия придем, если в (2.76) заменим sign s на f (t, ε, s)
с достаточно малым ε.
Для системы (2.76) уравнения, определяющие движение
изображающей точки на разделяющем многообразии (гиперплоскости s
= 0), очевидны
dx/dt = Ax при k >| µ|.
(2.77)
Отметим, что при k <| µ| разделяющее многообразие исчезает. Из
(2.77) следует, что одним из условий устойчивости решения (x, s)  0
является требование:
матрица А – гурвицева. Далее будем предполагать, что параметр r
> 0, т.к. при r < 0 устойчивость нулевого решения легко доказывается с
помощью квадратичной формы v= x T Hx + s², где Н – симметрическая
матрица, удовлетворяющая уравнению Ляпунова
A T H + HA = – G при G>>0.
(2.78)
Введем действительную передаточную функцию линейной части
системы (1.1), рассматривая s как входную величину, а ρ – как
выходную: χ(ρ) = q T (A – ρI)  ¹c – α, где ρ  R¹. Уравнение
(p - r) / k = –[(µ / k) sign χ(ρ)+1] | χ (p) |, p  R¹
(2.79)
будем называть характеристическим уравнением системы (2.76). К
уравнению (2.79) можно прийти, рассматривая условия существования
решений вида x = x(0)exp pt и s= = s(0)exp pt, p  R¹.
Дальнейшие рассуждения проведем, предполагая, что (x, s)  S 
(т.к. для (x, s)   S  , рассуждения проводятся аналогично). Рассмотрим
совокупность форм, близких к линейным и непрерывно зависящих от (x,
s) и параметра λ: ω  = s + (h Tλ x) + +σν½, где h λ – элемент из Rⁿ  ¹,
непрерывно зависящий от параметра λ (конкретный вид h λ установим
позднее); σ – некоторое положительное число; ν – положительноопределенная квадратичная форма; x T Hx > 0 и x T (A T H + HA)x <0 (при x
≠ 0). Последнее условие всегда может быть выполнено, т.к. А –
гурвицева матрица.
Очевидно,
52
1
dv/dt = x T (A T H + HA)x + 2c T Hxs ≤ –γ 1 ν + 2γ 2 ν 2 s,
(2.80)
где γ 1 , γ 2 – некоторые числа; γ 1 >0; γ 2 >0.
Дифференцируя ω λ в силу системы (2.76), принимая
hλ 
(r  λ )  γ 2 σ  ξ) T
q (A  λI) 1
χ(λ)
(2.81)
и учитывая неравенство (2.80), приходим к дифференциальному
неравенству
dω λ /dt ≤ λω λ + ν λ p - k|p| - [λ + (1/2) γ 1 ] σ ν
1
2
- ξs,
(2.82)
где ν λ = μ – (r – λ + γ 2 σ + ξ)/ χ(λ); ξ >0 – некоторое число.
Лемма 1.1
Пусть А – гурвицева матрица; k >| μ | и характеристическое
уравнение не имеет действительных неотрицательных корней. Тогда k
>|νλ| при всех λ  [0, λ кр ]; λ кр = r + γ 2 σ + ξ.
Доказательство
Неравенство k>|ν λ | эквивалентно двум следующим неравенствам:
k | χ (λ) | ≥ μ χ (λ) + λ - λ кр >0;
(2.83)
k | χ(λ) | ≥ – μ χ(λ) – λ + λ кр >0.
(2.84)
На отрезке [0, λ кр ] неравенство (2.83) выполняется всегда при
выполнении условия k >| μ |, поскольку λ < λ кр . Неравенство (2.84)
можно, очевидно, записать в виде [ср. с(2.79)]
–| χ (λ) | [(μ/k) sign χ (λ) + 1] ≤ (λ – λ кр ) / k.
53
(2.85)
При λ = λ кр неравенство, очевидно, выполнено; χ(λ) является
непрерывной функцией λ при λ >0 вследствие гурвицевости матрицы А;
кроме того, σ и ξ можно выбрать достаточно малыми, так, чтобы
неравенство (2.85) было строго выполнено при λ = r, поэтому если
неравенство (2.85) нарушается при λ < r, то (2.79) обязательно имеет
действительный неотрицательный корень. Доказательство закончено.
Из леммы следует, что если А – гурвицева матрица и
характеристическое уравнение (2.79) не имеет действительных
неотрицательных корней, то обязательно
dω λ /dt < λω λ , где λ  [0, λ кр ].
(2.86)
Для удобства дальнейшего изложения введем дополнительные
обозначения:
R λ = {x, s: ω λ > 0, s > 0}; R λ = {x, s: ω λ < 0, s > 0};
Г λ = {x, s:ω λ = 0, s > 0}; Sº = {x, s:s = 0}.
(2.87)
(2.88)
Из (2.86) следует, что при (x, s)  Г λ dω λ /dt<0 и, следовательно,
траектории системы (2.76) на границе сектора R λ направлены строго
внутрь этого сектора, иначе говоря, если изображающая точка
принадлежит R λ в момент t 0 , то при t > t 0 она принадлежит int R λ , если,
конечно, не попадает на Sº. После этих замечаний докажем следующее.
Лемма 1.2
Пусть выполнены условия леммы (2.76) и ε – сколь угодно малое
положительное число. Тогда существует конечный момент времени Т,
такой, что при t > T(x, s)  R 0 , если только при меньших t изображающая
точка не попадет на Sº или в ε - окрестность состояния равновесия: ||x, s||
< ε.
Доказательство
Возьмем λ = 0, тогда при условии леммы
1
dω 0 /dt ≤ – (1/2) γσν 2 – ξs,
54
(2.89)
где (1/2)γσ > 0; ξ > 0 и s > 0.
В начальный момент t 0 ω 0 > 0 по условию леммы, кроме того, ||x, s||
1
≥ ε > 0, а при s > 0 форма [(1/2) γσν 2 + ξs] – положительно-определенная
в Rⁿ, поэтому существует число m(ε) > 0, такое, что при всех t ≥ t 0 (если
только изображающая точка не попадает на поверхность скольжения)
выполнено неравенство dω 0 /dt ≥ – m(ε). Интегрируя это неравенство,
имеем ω 0 (t) ≤ ω 0 (t 0 ) – m(ε) (t – t 0 ). Т.к. неравенство ω 0 <0 означает, что
изображающая точка принадлежит R 0 , то доказательство закончено.
Теорема 1.1
Пусть матрица А – гурвицева и выполнено условие k >| μ |. Тогда
для попадания изображающей точки за конечное время на
гиперплоскость скольжения или в малую окрестность состояния
равновесия необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.79) не имело
действительных неотрицательных корней.
Доказательство
Необходимость: если уравнение (2.79) имеет корень p 0 ≥ 0, то
система (2.76) имеет решение вида s = s(0) exp p 0 t и, очевидно, s ≠ 0 при
всех t > 0.
Достаточность: выделим произвольно малую окрестность
состояния равновесия. Если изображающая точка за конечное время не
попадает в эту окрестность, то она за конечное время попадает на
плоскость скольжения или в R 0 .
Следовательно, осталось доказать, что изображающая точка за
конечное время попадает из R 0 в Sº. Приведем, прежде всего,
поясняющие соображения. Рассмотрим систему множеств R λ US°, λ 
[0, λ кр ]. В любой окрестности состояния равновесия (т.е. рассматриваем
R λ US° {x, s: ||x, s|| ≤R}, R – любое число) множества R λ US° непрерывно
зависят от параметра λ и их пересечение совпадает с S°. Кроме того,
изображающая точка не может выйти из R λ US° через поверхность S° и
через поверхность ω λ = 0 [см. неравенство (2.86)]. Таким образом, если
55
изображающая точка не уходит в ∞, то она обязательно попадает на
плоскость скольжения.
Дадим строгое доказательство. Движение изображающей точки в

R 0 представим как движение по поверхности ω λ = 0 с λ, зависящим от t.
1
Очевидно, s  h Tλ x - σv 2 . Отображение (λλx)  (s, x) однозначное, но не
взаимно-однозначное. При фиксированном x одному значению s может
соответствовать несколько значений λ. Это означает, что изображающая
точка может одновременно принадлежать нескольким поверхностям
ω λi = 0. Из неравенства (2.86) следует, что при больших t изображающая
точка будет находиться на каждой из этих поверхностей (ω λi >0).
1
Зависимость s  h Tλ x - σv 2 непрерывная и при λ  λ кр s  0 . Т.к. при
существовании нескольких значений λ i , соответствующих одному и
тому же значению s, мы можем выбрать любое из них, руководствуясь
лишь соображениями удобства, то зависимость s от λ можно определить
также с помощью функции
s  inf (-σμ0,λ 
1
2
 h μT x)  f(λ( x).
(2.90)
Функция f(λ( x) , очевидно, не возрастающая. Найдем оценку
изменения λ(t) во времени на траекториях системы (2.76). Для этого
воспользуемся равенством, вытекающим из условия ω = 0:
 d
 dλ
d

  w λ 
 wλ 
,
 dλ
 dt
 dt
 λ const
(2.91)
которое имеет место на участках изменения λ, и определяемым из
1
T
условия f(λ( x)  σv 2  h λ x. При переходе от такого участка к
следующему можно принять, что λ меняется скачком (в сторону
возрастания λ) при сохранении значений остальных переменных. Так как
 dw λ 


 dt  λ const
оценена ранее, то при
неравенство
56
f(x, λ)  σv
1
2
 h Tλ x
имеет место
dh

T
λ

/dλ x
1
dλ
 γ 1 2σv 2
dt
(2.91)

T
T
Отметим, что dh λ /dλ x  0 и вследствие аналитичности hλ :
1
dh Tλ
x  γ3γ4 v 2 .
dλ
(2.93)
Из неравенства (2.92) теперь имеем оценку
δλ dt  γ1σ 2γ 3 γ 4 .
(2.94)
С учетом гипотезы скачка оценка распространяется на любые значения
x, s   R0 .
Из оценки (2.94) следует, что λ достигает значения λ кр за время, не
превосходящее T  2rγ 3 γ 4 γ1σ  . Последнее означает, что изображающая
точка за время, меньшее T , попадает на S 0 .
Теорема 1.2
Пусть выполнены условия теоремы 2.76. Тогда нулевое решение
асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство
Основной момент доказательства состоит в получении оценок


изменения x, s в R 0 , так как в R 0 изображающая точка за конечное
время попадает на плоскость скольжения, и оценка этого времени не
зависит от выбора начальной точки.
Пусть x0, s0  R0 , т.е. w0 0  0 .
интегрируя его по времени, получаем
Из
неравенства
(2.89),
t
ξ  sdt  w0 0  w0 t .
0
57
(2.95)

Из предположения, что изображающая точка остается в R 0 , имеем
t
оценку ξ  sdt  w0 0 , при помощи которой находим k  μ  :
0
s  r ξ w0 0  s0.
(2.96)
Далее, из неравенства (2.80) с помощью оценки (2.96) находим
v
1
2
v
1
2
0  2γ 2
γ1   r ξ w0 0  s0 .
Очевидно, w0 0  s0  σv
1
2
0 
x(0)
(2.97)
h 0 . Оценки показывают, что

существует число m, не зависящие от выбора x0, s0 , и такое, что в R 0
x, s ≤ m x(0), s(0) .
(2.98)

0
С измененной константой оценка распространяется на R 0 US
вследствие равномерной оценки времени пребывания изображающей

точки в R 0 и гурвицевости матрицы А. Последнее условие обеспечивает
асимптотическую устойчивость нулевого решения в подпространстве
скользящих движений (на S 0 ).
Асимптотическая
устойчивость
доказывается
аналогично
доказательству теоремы об устойчивости. В самом деле, если

изображающая точка остается в R 0 , то в силу теоремы 1.1 она попадает
за конечное время в произвольно малую окрестность состояния
равновесия и ввиду оценки (2.98) при всех t не выходит из некоторой
произвольно малой окрестности состояния равновесия.
0
Доказательство закончено, так как при попадании в R 0 и S
изображающая точка в конечном счете попадает в состояние равновесия.
58
2.5
Исследование
устойчивости
решений
некоторых
уравнений, связанных с реакторами на тепловых нейтронах
Рассмотрим в реакторе на тепловых нейтронах иллюстрацию связи
избыточной реактивности с параметрами активной зоны. По окончании
процесса замедления нейтрон будет не в той точке, из которой он был
первоначально испущен, конечный результат процесса замедления
можно описать с помощью ядра k (r ; r ) , показывающего вероятность
для нейтрона, появившегося в точке r  и замедленного в точке r .
Уравнение диффузии тепловых нейтронов в размножающейся
среде будет
m
1 d
 div ( D grad )  a   1  e t  v   f  dλ     k i (r ; r ) λ i N i d λ 
 dt
i 1 



 Ni
  i v p    i N i , i  1,2,3... m ,
t
(2.99)
где D – коэффициент диффузии;
v – скорость тепловых нейтронов;
δ(k) – избыточная реактивность;
 a – полное макроскопическое сечение поглощения;

p
f
– макроскопическое сечение деления;
– макроскопическое сечение деления;
r – радиус-вектор;
v – выход нейтронов на один акт деления;
 – плотность потока тепловых нейтронов;
N i – концентрация ядер излучателей запаздывающих нейтронов;
k i – ядро замедления для запаздывающих нейтронов i–той группы.
К уравнению (2.99) добавим граничные условия поверхности Г,
ограничивающей объем активной зоны  , предполагая, что он будет
выпуклым множеством в R 3 .
Для реактора без отражателя граничные условия имеют вид из
3.2
  0,71t grad  , n   к  0 ,
59
(3.10)
здесь t – длина свободного пробега в среде [2.99], где n –
внешняя нормаль к Г.
Для реактора с отражателем, без учета временных процессов
эффективные граничные условия запишем в виде
   H t grad  , n   к  0 ,
(3.11)
где  H – находится из статического расчета отражателя.
Для однородной среды k (r ; r ' ) зависит в основном от расстояния между
точками r и r ' , и убывает с ростом r  r  r ' . Если  (t ; r ) мало
меняется на отрезке замедления, то от уравнений системы (2.99) можно
перейти к уравнениям диффузионного приближения.
Для однородной среды
 k (r; r ' )
f
 d     f     f  ,
(3.12)
где  – оператор Лапласа.
При указанных выше допущениях стационарное решение уравнения (2.99)
находят из
 f

M 2 2    v
 1   0 ,
 

a


где
D

(3.13)
   M 2 – квадрат длины миграционного нейтрона, при
a
краевом условии (3.11).
Для уравнения (2.99) обозначим индексом с нулем значения параметров
стационарное решение *
0
di ( D grad * )  a   v  k (r; r ' ) f  d   0 ,
0
0

0
сопряженное к нему решение обозначим через  .
60
(3.14)
Определим скалярное произведение  ;     d   , но так как ; 0   0 ;

   * n    ; N i   i v  f 0 x i   * u i   u i  ;
0
(3.15)
 ;     0 ;  ;  u i   0
где n и u i зависят от времени t.
Найдем изменения n и u i по времени, для этого умножим (2.99) на
 , проинтегрируем по объему, не принимая во внимание величины типа
  a  и  i   f , как величины второго порядка малости.
 d n
n m
  k  1    i (ni  n)
l 
k i 1
  dt 

 d u i   (n  u ),
i  1, 2, 3...m
i
i
 dt

k  1    ;
kl


(3.16),

*
 div D grad *   a   v  k (r ; r ' ) f * d  ,




1 
  ; v  k (r ; r )   f  * d  .

l 


(3.17)
(3.18)
Эта краевая задача имеет решение * при х=0, но могут быть и другие
решения с u i  0 .
Рассмотрим реактор в виде куба со стороной Н, у которого
0
отражатель
 0  0;
отсутствует
1  3 M 2
2
H2
и
 02  const ,
.
Проверим на устойчивость систему (3.16):
61


f0
a
 const ,
тогда
 d n k  1 n m βi
 d t  k l   l ui  n 

i 1

 d ui  λ n  u λ
i  1, 2, 3...m
i
i i
 d t
(3.19)
По условию Рауза-Гурвица для характеристического уравнения:
k 1 βi
k  1  λ   λ m β i   λ i  k  1  m β   0
 l  kl

. (3.20)
l

i
i
i
kl
l  k
i 1 l
i 1

λi  λi
m
n

1

β i u i  n 


k 1
n   β i u i  n  , тогда  k
i 1
λ i  0 ; n  ui при n  k .
Если 
k
i 1
λ n  λ u  0
i i
 i
m
Следовательно, система (3.16) – устойчива.
Изучение устойчивости решения дифференциального уравнения
можно проводить с помощью ограничения по мере.
Мерой отклонения или мерой процессов называется вещественный
функционал     , t , t  , определенный для каждого фиксированного
момента времени t  t 0 на множестве вектор–функций   , t  ,
удовлетворяющий условиям:
1)    , t   0 ;
2)   0 , t   0 ;
3) для любого рассматриваемого процесса   x, t  вещественная
функция    x , t , t  от аргумента t непрерывна по t .
Пусть в каждый момент времени t определены две меры
отклонений  н   н   и      , t , которые представляю собой
вещественные неотрицательные числа для любого t и для любого
состояния    , t  в области  , причем  н 0  0 и   0 , t   0 .
Мера отклонения  н от времени t явно не зависит, и ею будем
стеснять начальные возмущения. Неравенство  н   , где  –
положительное число, из всевозможных допустимых начальный
возмущений выделяют только такие, для которых эта начальная мера
62
при t  t 0 остается ограниченным числом  . Далее при t  t 0 за
поведением объекта следим по мере      , t . Это переменная, которая
в данный момент времени характеризует отклонение состояния объекта
от невозмущенного.
Введение различных начальных мер  н означает, что идеальный
процесс   0 подвергается начальным возмущениям различного класса,
различной степени гладкости. Для конкретного объекта класс
возмущений определяется условиями его работы и меры  н и  должны
задаваться по физическим соображениям.
Будем рассматривать процессы из некоторой окрестности
  Φ :     , t , t   Η t  t 0 ; x , t 0   0 x   Φ н ,  н  0   R,
(3.21)
где Η и R – положительные постоянные.
В частном случае может быть   t t   н . При этом состояния
объекта в начальный и произвольный моменты времени характеризуются
одной и той же мерой отклонения.
Рассмотрим семейство допустимых возмущенных процессов такое,
что при любых допустимых начальных распределениях с  н  Η
существуют
возмущенные
процессы,
которые
все
являются
неукороченными. Пусть t 0  0 , Τ – начальный момент времени. Введем
понятие устойчивости по двум мерам.
Невозмущенный процесс   0 называется устойчивым по двум
мерам  и  н , если для любого наперед заданного положительного числа
 и каждого t 0  0 , Τ можно указать такое положительное число
    , t 0  , что для всех допустимых начальных распределений,
удовлетворяющих условию  н    , t 0  , в любой момент времени t  t 0 для
всех допустимых процессов имеет неравенство    . В противном случае
невозмущенный процесс   0 называется неустойчивым по мерам  и  н ,
т.е. если для некоторого числа   R  0 , t 0  0 , Τ и любого сколь угодно
малого числа   0   H  существует хотя бы одно не равное нулю
допустимое начальное распределение из области  н   и допустимый
процесс с этим начальным распределением, покидающий область   
при некотором t   t 0 ,  .
0
63
Невозмущенный процесс   0 называется асимптотически
устойчивым по двум мерам  и  н , если он устойчив по этим мерам и
существует такое  0  t 0   0 , что для любого допустимого начального
распределения с  н   0 все допустимые процессы удовлетворяют
условию   0 при t   .
Исследуем решение нелинейного дифференциального уравнения
теплопроводности, которое связано с теплопереносом в ядерном реакторе.

 2
 a 2  b  2 ,  0, t    , t   0,
t
r
(3.22)
где b  b t  – некоторая ограниченная и непрерывная функция от t  0, по
мере
  2   2     2 
     2      d r.
r  r  
0



(3.23)
Зададим форму
 

   
 2  2
u     u1 r ,  2
 u 2 r , 
 dr d
2

r



r



0 0
(3.24)
и функционал
 

   
 2  2
v     f1 r ,  2
 f 2 r , 
 d r d .
2
r 
r 
0 0
(3.25)
Рассмотрим равенство
 f 1   2
 2  2
  
f 1 r ,   2

f 1   r , t 



 r   2
 r  2  r   r

 3 f1
 4 f1
   2 f1  






,
t

 r , t    , t 


2
2
   r 2    r 2

r



Если ввести граничные условия
64
(3.26)
 2 f1 r , 0  2 f r , 

 0,
r2
 2
f1 0,    f1 ,   
(3.27)
то при этом поверхностные интегралы (граничные значения), которые
получаются при подстановке (3.27) в форму v, обращаются в ноль, и
решение уравнения v  u сведется к решению двух уравнений Пуассона
где F1 
 2 F1  2 F1 1  4 u1
 2 F2  2 F2 1  2 u 2
,
,




a  r 2  2  r 2
a r 
r2
 2
 2
(3.28)
F p 0,    F p ,    F p r , 0  F p r ,   0
(3.29)
 4 f1
,
 r 2  2
F2 
 p  1, 2  ,
2 f2
, или
r 
2 f p
r2

2 f p
u p r , 

 2
a
 p  1, 2  .
(3.30)
Если
u1 r ,   

u
s , r 1
u 2 r ,   
f1 r ,  
sin sr sin r ,
1
sr

u
s , r 1

f
s , r 1
f 2 r ,   
1
sr
2
sr
sin sr sin r ,

f
s , r 1
cos sr cos r ,
2
sr
cos sr cos r ,
65
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
2
u spr    s p

 p  1, 2  ,
(3.35)
то u   p2 ,
sin sr sin r
f1 r ,   
,
2a s2
s 1

cos sr cos r
.
2a s2
s 1

f 2 r ,   
(3.36)
Используя выражения
2
   2  2
2
2
2  
 u2    f1  2
b  2 b

2
2

r



r




0 0

 
 
    b 2  b 2   
 f2 

 d r d  
 r   
  r 
2
   4 f     2
 2     
 2   2 
  1

 2b   f1
   2       2  2  
2 

     r 
 r   
0 0  r 
 
 


 

 

  
 f 2    , t 
  r , t 
 d r d  ,

 r   
r
66
(3.37)



  2
  
 2
 2
 u2  2 b max f1   2 d r    d    2 d r  
d 
 2
0   
0 r
0
0  r
2


0




  
 2
 2
 2
d

d
r

d


d r 
 
2
2
2




r
0 r 
0 
0

2
(3.38)

,




  




 max f 2  
d r 
d  
d r
d

r
0
0
0 
0  r



0
 2
d r   2 ,
 r2

2
  
0   r  d r  2 ,

 d r  
2
2
0
неравенство Коши–Буняковского для оценки  u 2 , получим
 u 2  const 32 2 . Отсюда следует устойчивость процесса   0 по мере  2 .
Если же рассмотреть решение уравнения Лапласа
и
 2
 2


t2
r2
0  r  ; t  0
(3.39)
при граничных условиях  0, t   , t   0 , формально представимое в
виде

  r , t     An ch nt  Bn sh nt  sin nr ,
(3.40)
n 1

то при t  0 имеем r , t    An sin nr , и пусть Bn  0 , и начальные условия
n 1

гладки. Например, An  C n k 1  k    , тогда r , t   
C
ch nt sin nr , при
k
n 1 n
t  0 ряд расходится, и функция r, t  становится неограниченной, но
T
мера  0    2 d r , при t  0 , не остается ограниченной, какой бы ни была
0

2
k
начальная мера 1 0    k  d r для любого положительного целого k.
0  r 
67
Рассмотрим решение

 N   N r , t     An ch nt  Bn sh nt  sin nr .
(3.41)
n 1
Введем меру

 0 N   0 N t     2N d r 
0
 N
 An ch nt  Bn sh nt 2 .

2 n1
(3.42)
В этом случае  0 N  1 , t   процесс  N  0 неустойчив.
Начальное распределение стесним мерой
 
 n 0    A 2n  B 2n ch 2 nT  sh 2 nT 
2 n 1
по  0   0 N   
0  T    ,
 
 
2



A
ch
nt

B
sh
nt

A 2n  B


n
n
2 n 1
2 n 1
ch 2 nt  sh 2 nt
1
ch 2 nT  sh 2 nT
2
n
t  0; T   .
ch
2
(3.43)
nt  sh 2 nt  и
(3.44)
Пусть для некоторой величины   0 задано число   , T   0 ,
такое, что  n 0  ; T  , то  0  t   , t  0 T .
Если начальные условия стеснить мерой  n 0 , а дальнейшее
поведение характеризовать  0  t  , то на конечном интервале времени
0, T  процесс   0 будет устойчив; таким образом, корректность
поставленной задачи зависит от выбора мер  0 и  n .
Контрольные вопросы
1. Как закон Фике определяет число нейтронов в диффузионных
процессах для реакторов на тепловой энергии?
2. Каково уравнение баланса нейтронов?
3. Какое условие выражает непрерывность плотности нейтронов в
области, граничащей с вакуумом?
68
4. По какому закону распространяется тепло в реакторах на
тепловых нейтронах?
5. Каким будет уравнение для описания процессов диффузии
нейтронов?
6. Когда процесс обладает свойством отсутствия последействия?
7. Как формируется принцип оптимальности Беллмана из условия
минимализма функционала?
8 Каким является основное уравнение динамического
программирования
при
исследовании
уравнений
процессов,
протекающих в реакторе на тепловых нейтронах?
9. Какое множество называется разделяющим многообразием?
10. Какая теорема говорит о состоянии равновесия точки за
конечное время на гиперплоскость скольжения?
11. Как доказывается асимптотическая устойчивость в данной
главе?
12. Когда невозмущенный процесс называется устойчивым?
13.Что происходит с тепловой энергией внутри реактора?
14. Как вводится вектор-функция, характеризующая состояния с
распределенными параметрами в точке?
15.Каково математическое описание диффузии нейтронов с учетом
тепловых процессов, протекающих в среде?
16. Какой системой уравнений описывается нестационарный
процесс?
17. Что называется мерой отклонения или мерой процессов?
18. Когда невозмущенный процесс называется устойчивым по
двум мерам?
19. Какому условию удовлетворяет функция на границе, когда
реактор граничит условно с вакуумом?
20. Каким дифференциалом однозначно определяется оптимальное
управление в главе 2?
69
3
Исследование некоторых критических размеров ядерного
реактора на тепловых нейтронах
3.1
Точечные
уравнения
кинетики,
исследование
одногруппового кинетического уравнения ядерного реактора для
различных геометрий
При расчётах критических размеров реактора имеет большое
значение одногрупповая теория, которая позволяет находить решения
многогрупповой
системы
кинетических
уравнений
реактора
приближёнными методами.
Одногрупповой метод также весьма полезен для решения задач в
двух и трёхмерных геометриях.
Рассмотрим кинетическое уравнение
    
Вдоль луча
соотношение

s
4
  (r;  ' ) g ( 

)  f (r;  )
совпадающего с вектором
  
где
0

(3.45)
имеет место
d
d
(3.46),
- координата точки вдоль луча.
В декартовой системе
3
dxi
d
, где

d i 1 xi d
dxi
 sin  cos
d  i
dx
dx 2
  2  sin  sin  ; 3  3  cos 
d
d
Учитывая (3.47-3.48), уравнение (3.45) представляется в виде
70
(3.47)
(3.48)
sin  cos
s

4
2



 sin  sin 
 cos 
  
x1
x 2
x 3

 d '  sin   ( x; ' ; ' ) g (
0
0
(3.49)
)d  f ( x; ; )
0
где
 0  cos  cos  ' sin  sin  ' cos( x   ' )
(3.50)
Обозначим x3=Z. Для плоскопараллельной геометрической фигуры
;  s; g (  0 ) и f не зависят от х1 , х2 и являются функциями ,  , и пусть
0  Z  H , но тогда уравнение (3.49) заменяется
cos 

 s 2 d '  sin  ' d ' (Z ; ; ) g ( )  f (Z ; ; )
  
0
0
Z
4 0
(3.51)
Если решение  источники f не зависят от азимута  , то (3.51)
упростится
x
 s sin ' (Z ; ) 1 d' g ( )  f (Z ; )
cos 
  
0
Z
2 0
2 0

2
(3.52)
В качестве координат для задачи со сферической геометрией
берётся расстояние r от центра сферически симметричной системы до
точки Р и угол  между радиус-вектором точки Р и осью Z, тогда
d  dr  d
dr
d
sin 



, где
  r  cos  ;
  
d r d  d
d
d
r
d
 sin  
 cos 

d
r
r 
(3.53)
(3.54)
Пусть
  cos  ;
d
 1   2 


d
r
r 
71
(3.55)
Следовательно, кинетическое уравнение для задач со сферической
геометрией имеет вид
 1   2 
 s d '  (r;  ' ) g ( '   )  f (r;  ) (3.56)


  
r
r 
2 
Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом R, где Z ось системы
цилиндра. Если построение находится в точке Р, то  угол между
направлением полёта нейтрона и вертикального в точке Р;  - угол
между проекцией направления полёта нейтрона на плоскость (х 1;х2) и
осью х; r - расстояние от оси симметрии до проекции точки Р на
плоскость (х1;х2).
В этом случае
d  dr  d  d





d r d  d  d
Из геометрических соображений следует, что
(3.57)
dr
 sin  cos x ; тогда
d
кинетическое уравнение имеет форму
sin  (cos 
s

4
 sin  

)   
r
r 
2

0
0
 d  sin  ' d ' (r; ' ' ) g (
(3.58)
0
)  f (r; ; )
За переменные возьмём   cos ;   cos  . Если известно, что
f (r ; ; ) - чётная функция относительно   0; 

2
, то для задач с
цилиндрической симметрией уравнение (3.58) имеет вид:
1   2 (
s


1

1
 1  

)   
r

d
1 2
(3.59)
1
 d (r;  ;  ) g (
0
72
0
)  f (r ;  ;  )
3.2 Критические размеры реактора в форме плоской пластины,
параллелепипеда, шара и цилиндра
Рассмотрим задачи на определение минимальных критических
размеров реакторов различных
конфигураций, когда плотность
нейтронов в них подчиняется уравнению
N (M )   2 N (M )  0 , M  .
(3.60)
По физическому смыслу функции N, входящей в уравнение (3.60),
нас будут интересовать лишь такое его решения, которые ограничены и
удовлетворяют условию
N ( M )  0 при
M  .
(3.61)
Общая словесная формулировка первой из рассматриваемой здесь
задач состоит в следующем. Пусть область  имеет заданную форму
(сфера, цилиндр, параллелепипед и др.) и на её границе S заданы
некоторые граничные условия, однозначно определяющие решение N(M)
уравнения (3.60) в области  .
Требуется указать такую область  , чтобы это решение
удовлетворяло условию (3.61), было ограничено, а объём области  был
минимальным.
Вторая задача является обобщением первой и имеет смысл, если 
задана такой же формой, как и в предыдущей задаче, тогда процесс
распространения нейтронов описывается уравнением
N ( M )  ( M ) N ( M )  0 , M   ,
(3.62)
в котором v(M) – произвольная кусочно-непрерывная функция,
удовлетворяющая условию:
0  ( M )   0 ,
(3.63)
где v0 – заданная постоянная.
Заданы также граничные условия, которые вместе с уравнением
(3.62) при каждом конкретном управлении v=v(M)
однозначно
определяют функцию N=N(M). Требуется найти такую функцию
v=v0(M), чтобы соответствующее ей значение N=N0(M) уравнения (3.62)
73
с выбранными граничными условиями удовлетворяло условию (3.61),
было ограниченным, и при этом объём области  был минимальным.
Каждую из этих задач проанализируем для некоторых частных типов
конфигурации области  .
Если реактор имеет вид однородной пластины, то плотность потока
нейтронов зависит только от координаты x (ось x перпендикулярна
пластине, начало координат в середине пластины). В этом случае
плотность потока нейтронов удовлетворяет следующему уравнению
d 2N
  2 N  0.
2
dx
(3.64)
Уравнение (3.64) имеет решение
N ( x)  A cosx,
(3.65)
где А – произвольная постоянная. Граничное условие (d – толщина
пластины),
N (
H
)0
2
,
(3.66)
будет выполнено, если


d
n , n  1,2,3,
(3.67)
Минимальное значение  имеет при n=1, т.е. реактор будет
критичен, если толщина пластины удовлетворяет условию:


d
.
(3.68)
Величину  , определенную из (3.68) по заданному значению d,
74
2 
k 1
L  k 2
называют геометрическим параметром, а величину
материальным параметром. Условие критичности состоит в равенстве
материального и геометрического параметров
M 
k 1 
   геом
M

.
(3.69)
Плоский реактор можно представить в виде кругового цилиндра
высотой 2с, где –с  z  c, достаточно большого радиуса R (граница
вакуум). Пусть Ф - плотность нейтронов в реакторе, S - граница
цилиндра.
По допущению R намного превышает 2c, по этому с практической
точки зрения можно считать, что реактор представляет неограниченную
пластину. Плотность нейтронов Ф здесь зависит от z в стационарном
z
режиме и от t в нестационарном. Стационарная плотность Ф0 внутри
Ф
 c  0
пластины при z
, будет удовлетворять однородному уравнению
диффузии
d 2Ф0 k кр  1

 Ф0  0
Т0
dz 2
,
(3.70)
где Ф0 является нетривиальным решением краевой задачи типа
x+x =0
2
(1), где x(-c) = x(c) = 0. Известно, что
  2  ...  n 
(2n  1)

2c
, (n =
1,2,…).
Для исследования устойчивости, уравнение (2.99) заменяем
эквивалентной системой
75
 dx
 dz  y

 dy  p (t ) x
 dt
(3.71)
Уравнение устойчиво, если устойчива или неустойчива система
(3.71).
Пусть
 x 2 , при 0  t  c
p(t )   2
 p  x 2 , при - c  t  c


(3.72)
где x(t) - нормированная фундаментальная матрица x(t), такая что
x(0)=Е используя приближенное вычисление мультипликаторов и
систему (3.72), получим

cos t
x(t)  

- sin t
1

sin t 
при 0  t  c
x

cos t 
0 0 
p(t )  x 2  p(t )   2

 x 0 ,
(3.73)
(3.74)
Sp p (t)=0
(3.75)
det x () = det x (0) ·e;
(3.76)

 a dt  1
(3.77)
0
a = 2 - ;


t1
 p(t )dt  dt  dt
1
0
1
1
0
0
2
(3.78)

t1
t2
0
0
0
(  t1  t 2 )  dt1  dt 2  d 3 (  t1  t 3 )  (t1  t 2 )  (t 2  t 3 )  p(t1 )  p(t 2 )  p(t 3 )  ...
76
При



2e ;



e
c 
; а=0 – уравнение устойчиво,
3
2(  c) - уравнение неустойчиво.
2 ;
при
Пусть реактор имеет форму параллелепипеда со сторонами а, b, с. В
этом случае уравнение плотности потока нейтронов имеет следующий
вид
2 N 2 N 2 N
 2  2   2N  0 .
2
x
y
z
(3.79)
Уравнение (3.79) решается методом разделения переменных.
Решение имеет вид:
N ( x, y, z )  A cos  x x  cos  y y  cos  z z ,
x 

, y 

, z 

,
(3.80)
3
V  a bc 
.
x  y z
(3.81)
a
x2  y2 z2
b
 a2.
c
Объем реактора равен
Минимальный объём при задании  имеет реактор в виде куба,
если сравниваются между собой только параллелепипеды
VK 
3 3 3
3
.
(3.82)
Пусть реактор имеет форму сферы, радиус которой обозначим через
R, а на её границе S выполняется условие
N / s =0.
(3.83)
77
Процесс описывается уравнением (3.60). Задача
состоит в
определении минимального R (R>0), при котором краевая задача (3.60),
(3.83) имеют ограниченное решение, удовлетворяющее условию (3.61).
Так как граничное условие однородно, а в уравнении (3.60)
2
лапласиан  считается постоянным , то N зависит лишь от r, 0  r  R .
Поэтому в сферических координатах уравнение (3.60) можно записать в
виде
1 d 2 dN
(r
)   2N  0
2
r dr
dr
.
(3.84)
Вводя замену rN=u, это уравнение можно привести к виду
d 2u
  2u  0
2
dr
(3.85)
и, следовательно, получить его общее решение
N (r )  A
sin r
cos r
B
, 0  r  R,
r
r
(3.86)
где Аr- произвольные постоянные .Поскольку интересующее нас
решение, кроме того , должно удовлетворять условию (3.61), то из (3.86)
находим, что оно имеет вид
N1 (r ) 
A1

sin r ,
r
R
(3.87)
где А1- положительная постоянная, а величины  и R связаны
соотношением
R

 .
(3.88)
Объём области  в этом случае определяется однозначно
V 
4 3 4  3
R 
( )
3
3  .
78
(3.89)
Следовательно, при заданной величине  существует единственная
сфера, её радиус определяется формулой (3.88), в которой краевая задача
(3.60), (3.83) имеет положительное ограниченное решение. Это означает,
что для сферической области сформулированная выше экстремальная
задача сводится к решению краевой задачи (3.60), (3.83) с ограничением
(3.61).
Предположим теперь, что область  представляет собой прямой
круговой цилиндр радиуса R и высоты 2Н. Процесс описывается
2
уравнением (3.60) с граничным условием (3.83). Лапласиан  считается
заданной постоянной. Требуется найти минимальное R и H такие, чтобы
краевая задача (3.60), (3.83) в области  имела ограниченное решение,
удовлетворяющее условию (3.61). Поместим начало координат в центр
цилиндра. В силу симметрии граничного условия (3.83) находим, что
N  N (r , z ) , 0  r  R ,  H  z  H ,
(3.90)
а уравнение (3.60) можно записать в виде
1  N
2 N
(r
)  2   2N  0
r r r
z
.
(3.91)
Согласно методу разделения переменных, решение этого уравнения
ищем в виде
N  ( ) ( z ).
1    
1 d 2
 
   2  
  2 z,
2
  r   r 
 dz
(3.92)
где  z - неопределённая постоянная. Отсюда следует , что
2
d d
(r
)   r2 r  0, r2   z2   2
dr dr
d 2
  z2  0 .
dz 2
Согласно граничному условию (3.83) имеем
79
(3.93)
( R)  0 ,  ( H )   ( H )  0 .
(3.94)
Общее решение второго уравнения (3.86) имеет вид
  A cos z z  B sin  z z ,
(3.95)
где А и В - произвольные постоянные. Поскольку нас интересует
лишь положительное решение, то В=0
 zH  ,
  z   A cos

H
Z , A  0.
(3.96)
Ограниченным решением первого уравнения из (3.93) является
(r )  cJ 0 ( r , r ) ,
(3.97)
где J0 – функция Бесселя нулевого порядка, c – произвольная
постоянная.
Из краевого условия (3.94) находим, что
J 0 ( r , r )  0
.
(3.98)
Так как нас интересует положительное решение Ф(r), то
r 
2,405
R ,
(3.99)
так как остальным корням уравнения (3.98) соответствуют функции
J 0 ( r , r ),
принимающие отрицательные значения на отрезке 0  r  R .
Таким
образом,
положительное
решение
уравнения
(3.60),
удовлетворяющее условию (3.83), имеет вид
N (r , z )  A cos(

H
z) J 0 (
80
2,405
)r
R
,
(4.10)
где А произвольная положительная постоянная, а объём
цилиндра, согласно (3.98), (3.99) равен
V  R 2 H   (
 2,405 2
)(
)
 z r
,
(4.11)
2
2
2
где  r   z   , или иначе
(
2,405

)  ( )2   2
R
H
.
(4.12)
Отсюда следует, что при любых R и Н, связанных равенством
(3.94), краевая задача (3.60), (3.83) имеет положительное решение в
цилиндре   {0  r  R,  H  z  H } и это решение имеет вид (4.11).
Для определения минимального объёма формулу (4.11) запишем в
виде
V 
2 2 a 2  2 z   2 r 12  z2   r2
(
) (
),
3
 2z
 2r
где а=2,405.
Согласно соотношениям (4.13), (4.14)
переписать в виде
2 4 H
V  3
 R
(4.13)
эту формулу можно
3
a 2 2
 R 2
(
)

(
)
 H
  .

(4.14)
Обозначим через V0 - критический объём сферического реактора,
вычисленный в предыдущем пункте в следующем виде
z
v
R
a
, x
, b .
v0
H

(4.15)
Тогда формулу (4.14) можно записать в виде
3 ( x2  b2 )
z
2
x
3
2
.
Эта функция достигает своего наименьшего значения в точке
81
(4.16)
2
b
2 .
x
(4.17)
Следовательно, цилиндрический реактор имеет наименьший объем
при
2R
d
 2b  2  1,08
H

.
(4.18)
Величина этого объема равна

 .
V  1,45V0  1,93 ( )3
(4.19)
Таким
образом,
в
случае
цилиндрической
области
сформулированная экстремальная задача решается однозначно, однако
ответ получается нетривиальным. Для полноты анализа этой задачи
полезно рассмотреть её приближённое решение, исходя из
предположения, что плотность нейтронов N не зависит от r, тогда задача
формируется следующим образом: пусть процесс описывается
уравнением
d 2N
  2N  0 ,  H  z  H ,
2
dz
(4.20)
с граничными условиями N(-H)=N(H)=0.
Требуется найти наименьшее Н, при котором эта краевая задача
имеет единственное решение. Легко видеть, что это значение Н
определяется по формуле
H 

,
(4.21)
а положительное решение краевой задачи имеет вид
N (r )  A cos(

H
82
z)
,
(4.22)
где А – произвольная положительная постоянная.
Обозначая через R радиус цилиндра, находим, что критический
объём реактора определяется по формуле
V  2R 2 H 
2 2

R2
.
(4.23)
Видимо, такой путь аппроксимации ничего не даёт для решения
рассматриваемой задачи, так как вычисленный критический объём
зависит от параметра R.
Аналогично можно проанализировать эту задачу для реакторов
других геометрических форм. Аппарат исследования, изложенный в этом
параграфе, позволяет решать задачу об определении оптимальных
размеров цилиндрического отражателя.
Пусть высота 2Н цилиндрического реактора достаточно велика,
чтобы можно было пренебречь влиянием граничных условий в его
торцах, т.е. z = –P и z = +H. Тогда можно считать, что плотность
нейтронов зависит лишь от r , т.е. N=N ( r ) , 0  r  R . Пусть далее
реактор окружён цилиндрическим отражателем толщина стенок
которого равна  , тогда плотность N1 нейтронов в отражателе также
зависит только от r, т.е.
N1  N1 (r ), R    R1  R  .
(4.24)
Предположим, что эта конструкция окружена вакуумом, т.е.
N1(R1)=0.
В результате получаем следующее описание процесса
1 d dN
(r
)   2 N  0 , при 0  r  R ,
r dr dr
1 d dN1
(r
)   21 N1  0 , при R  r  R 1,
r dr
dr
dN
dN
D
  D 1 , N  N1 , приr  R , N1 ( R1 )  0 .
dr
dr
(4.25)
Определим линейную плотность потока нейтронов в отражателе
83
ql 
Q
l ,
(4.26)
где Q – количество нейтронов, проходящих за единицу времени
через участок отражателя длины 1.
Задача оптимизации формулируется следующим образом. Пусть
задан диаметр 2R реактора. Требуется определить R так, чтобы
максимизировать линейную плотность потока нейтронов в отражателе.
Рассмотрим теперь задачу о критическом диаметре сферического
2
реактора в предположении, что    (r ) , где  (r ) – произвольная
кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию
0   (r )  A2 ,
(4.27)
где А – фиксированная постоянная. Лапласиан  зависит от
коэффициента размножения нейтронов и поэтому определяется
концентрацией источника нейтронов. Поэтому ограничение (4.27) имеет
определённый физический смысл. В рассматриваемом случае процесс
описывается уравнением
2
1 d 2 dN
(r
)   (r ) N  0 , 0  r  R
r 2 dr
dr
(4.28)
с граничным условием
N( R ) = 0.
При этом по физическому смыслу функции
выполнятся условие
0  N (r )   , 0  r  R.
(4.29)
N( r ) должно
(4.30)
Задача оптимизации состоит в отыскании кусочно–непрерывного
управления  (r ) такого, чтобы оно удовлетворяло ограничениям (4.27),
соответствующее ему нетривиальное решение задачи (4.28), (4.29)
84

удовлетворяло условию (4.30) и при этом функционал I   d r принимал
0
наименьшее возможное значение. Для решения задачи вводим замену
N(r)=x, тогда уравнение (4.28) принимает вид
d 2x
  (r ) x  0
dr 2
.
Полагая x  x1 ,
(4.31)
d x1
 x2 , получаем каноническую систему уравнений
dr
dx1
 x2 ,
dr
dx2
  (r ) x1 , 0  r  R .
dr
(4.32)
с дополнительными условиями
x1( R )=0, x1( 0 ) =0.
(4.33)
Первое из условий непосредственно следует из (4.22). Второе
получается из условия ограниченности N( r ) при r=0.
Таким образом, задача оптимизации состоит в отыскании такого
допустимого управления в системе (4.32), чтобы соответствующее ему
решение задачи (4.32), (4.33) удовлетворяло условию
x1 (r )  0
(4.34)
и при этом функционал I принимал наименьшее значение.
Для отыскания оптимального управления составляем функцию
H  x21   (r ) x1 2 . Тогда внутри области определяемой неравенством
(4.34), переменные 1, 2 , связанны соотношениями
d 1
 d 2 ,
dr
d 2
  1 ,
dr
85
(4.35)
а оптимальное управление  0 (r ) определяется из условия максимума
A 2 , при  2 x1  0
функции Н по переменной  , т. е.  0 r  
.
Согласно условиям
граничным условиям
0, при  1 x2  0
трансверсальности 1, 2
 2 ( R)   2 (0)  0
удовлетворяют
(4.36)
Если внутри отрезка 0  r  R функция x(r), соответствующая
оптимальному управлению, выходит на границу области (4.26), то,
поскольку в нашем примере g(x)=x, находим, что
P ( x)  (grad g ( x), f )  x2
(4.37)
и, следовательно, условие регулярности в граничных точках не
выполняется. В силу этого обстоятельства не можем пользоваться
принципом максимума для определения оптимального управления в тех
точках r, в которых x1( r )=0
Предположим сначала, что x1( r ) >0 при 0<r<  , где  – некоторая
2
положительная постоянная. Если при этом  2 (r )  0 , то  (r )  A и,
согласно соотношениям (4.32), (4.33) имеем
x1 (r )  c sin A r
(4.38)
где с – произвольная положительная постоянная, а из (4.35), (4.36)
следует, что  2 (r )   sin Ar,  0 .
Таким образом, произведение  2 x1 сохраняет знак при всех r из
0, 
A . Нас интересует минимум функционала I. Исходя из этого,
отрезка
возьмём R. Тогда функция (4.38) должна удовлетворять первому
условию (4.33), и, следовательно, будем иметь C1=0 при R<П/А, а это
 2 x1  0 , при 0  r   .
противоречит
неравенству
Поэтому
предположение о том, что  2 x1  0 , при 0  r   приводит к тому, что
R

A.
86
(4.39)
Допустим теперь, что  2 ( x1 )  0 , при 0  r   . Тогда x0( r )=0 при
0<r<  и согласно соотношениям (4.32), (4.33) и (4.35), (4.36) находим,
что
x1 (r )  c1r ,  2 (r )   r , при 0  r  
x1 2  c2 r 2
,
(4.40)
где c1, c2 , – произвольные постоянные, причём c2>0. Отсюда
следует, что произведение  2 x1 не может обратиться в нуль при
возрастании r от 0 до R. Согласно условию (4.33) c1=0, а x1(r)=0 для
всех r  0, R . Таким образом, предположение  2 x1 >0 при 0  r  
неизбежно приводит к выводу, что x1(r) лежит на границе области (4.34)
при 0  r   . Допустим, что x1(r)=0 при 0  r   . Тогда на интервале
  r  R процесс описывается уравнениями (4.32) и дополнительными
условиями x1 ( R)  x1 ( )  0 и нужно минимизировать функционал I. Если
 x  0 при   r     , где  -произвольное малое число, то
изложенным выше способом приходим к выводу, что
x1  c sin A(r   )
(4.41)
и, следовательно,
R

A

(4.42)
Сравнивая полученный результат с (4.39) находим, что найденное R
не является минимальным.
Если  x  0 или x(r)=0 при   r     , то изложенный анализ
повторяем для     r       .
В результате приходим к одному из двух выводов:
1) из всех управлений, удовлетворяющих принципу максимума,
управление  0 (r )  A , 0  r  R даёт наименьшее значение функционала 1;
2) решение x1 (r )  0, 0  r  R , краевой задачи (4.32), (4.33) является
допустимым (принадлежит границе области (4.34)) и ему соответствует
произвольно малое значение функционала 1.
Так как второй из этих выводов даёт решение рассматриваемой
задачи, то окончательно полученное оптимальное управление имеет вид
2
87
 0 ( r )  A2 ,
0  r  R,
(4.43)
а соответствующий ему критический радиус сферического реактора
определяется формулой (4.39).
Сравнивая между собой объёмы реакторов в виде сферы, цилиндра
и куба при одинаковых 2, можно заметить, объём уменьшается по мере
того, как форма реактора становится более «правильной» и уменьшается
отношение поверхности к объёму
 S

 S
S
 куб .  3,46 ;  ц.  3,29 ;  сф.  3
 V
 V
.
V 
(4.44)
Можно определить объём и для некоторой другой формы реактора.
Например, для правильной шестигранной призмы бесконечной высоты
2 = 1,026  0 , где  0 - соответствует цилиндру равновеликого объёма.
Можно выразить  через среднюю хорду l объема реактора
2
2

C0 
l
(4.45),
где С0 изменяется от 1,2 до 2 для разной геометрии. Например, для
сферы С0сф=1,33; для полусферы С0псф=1,27; для куба С0к=1,16; для
пластины С0п=2; для цилиндра С0ц =1,53; для шестигранной призмы
С0пр=1,48.
Формула (4.45) полезна для ориентировочной оценки критического
объёма, и выше указанные рассуждения позволяют учесть влияние
гетерогенной структуры ядерного реактора на параметры, входящие в
уравнение, определяющие его критические размеры.
3.3 Исследование зависимости коэффициента размножения
тепловых нейтронов и лапласиана от шага решетки и радиуса блока
ядерного реактора
Решетки современных ядерных реакторов имеют сложную
структуру и характеризуются многими параметрами. В первых опытах
по осуществлению цепной реакции деления решетка была максимально
простой: блоки в виде однородных цилиндров из металлического урана,
заключенные в тонкую защитную оболочку из алюминия. Шаг решетки,
радиус блока, толщина оболочки - три основных параметра этой
88
решетки, если фиксировать толщину оболочки, то остается два
параметра. В первых опытах было очень важно получить зависимость
коэффициента размножения и лапласиана от этих параметров, чтобы
выбрать оптимальное их значение.
В настоящее время такие зависимости имеют значение для
планирования экспериментов на критических сборках, которые ставятся
в целях проверки всех констант и методов вычислений. Чтобы
погрешность вычислений была минимальной, необходима максимально
простая сборка: блок простой конструкции, однородная решетка,
отсутствие отражателя. Проведя большое количество опытов на
критических сборках, можно уточнить ряд основных характеристик,
таких, как число вторичных нейтронов, резонансный интеграл, длина
замедления и другое.
Целью данной работы является исследование зависимости
коэффициента размножения тепловых нейтронов и лапласиана от шага
решетки и радиуса блока методами математического моделирования.
Рассмотрим идеальный реактор на тепловых нейтронах, в котором
замедляющиеся нейтроны не поглощаются. В таком реакторе блок
характеризуется двумя постоянными: постоянной размножения k ,
которая равна числу быстрых нейтронов, рожденных в блоке k при
поглощении им одного теплового нейтрона и тепловой постоянной k,
равной отношению числа нейтронов, поглощенных блоком в единицу
времени jk, к плотности потока нейтронов на его поверхности
k 
jk
k
(4.46)
Основное уравнение гетерогенного реактора выводится с помощью
функций Грина Gf (r, r') и GS (r, r'); где под Gf (r; r') будем понимать поток
тепловых нейтронов в точке r , возникший от единичного источника
быстрых нейтронов в точке r'; под GS(r; r') – поток тепловых нейтронов в
точке r, возникший от единичного точечного источника тепловых
нейтронов в точке r' . Если в точках rk расположены блоки, обладающие
характеристиками k и k , то в точке r под влиянием источников
возникает поток нейтронов плотностью
 r     k GF  r ; rk   GS  r ; rk  k   k ,
k
89
(4.47)
где Фk – плотность потока нейтронов на поверхности блока k,
центр которого расположен в точке rk. Пусть в формуле (4.47) r
стремится к точке на поверхности блока k, тогда
 k   H rk , rk   k
(4.48)
k
где ядро H(rk;rk')='k['k; Gf(rk,r'k)] , если точка r расположена на
поверхности блока k. Равенство (4.48) является системой линейных
однородных уравнений относительно Фk. Если приравнять детерминант
этой системы к нулю, то получим условие критичности с физической
точки зрения. Систему (4.48) можно записать:
Фk = Ĥ Ф
(4.49)
где Ф – вектор, компонента которого равна Фk, а матричные
элементы равны H(rk; rk'), тогда условие критичности имеет вид
det( Ĥ – 1 ) = 0
(4.50)
Воспользовавшись формулами
r

1
G S (r )  (2D) K 0 ( L )

2
G (r )  (2D) 1 exp  {K ( r  1 E ( r ) 
0
1
 f
L
L 2
4

2
2
2
r
r
r
 r
 2L2 [exp(  4 )  4  E 1 ( 4 )]  
(4.51)
где L – длина диффузии,  - длина замедления.
Ядро запишем так:
H rk ; rk ' 

 k '  k
rkk2 '
r '
dZ
  

exp

exp
[-(Z

)]
 K 0( kk )]
 2  

2
2D  2
Z
L
4L Z
 L  
L2
где rkk' = |rk - rk'|.
90
(4.52)
Если реактор имеет высоту H и не имеет отражателей на
основаниях, то в ( 7 ) нужно сделать замену L  L' и тогда



L'  L  1   2Z L2
1
2
; Z 

H
(4.53)

2
всюду, кроме множителя exp( L ).
Для двухгруппового приближения



r
r
G f  2D((1  2 ) 1 [K 0 ( )  K 0 ( )]) 
L
L
 

(4.54)
ядро (4.49) запишем как:
H' kk 
'k
r'
r'
r'

{' k (1  2 ) 1 [K 0 ( kk )  K 0 ( kk )]  K 0 ( kk2 )}
2D
L
L
L
'
(4.55).
Если применить оператор ( - L2) к уравнению (4.47) и считать, что
функции Gf и Gs определены формулами (4.51), то получим
DФ(r )   Ф(r )   k  k Wr; rk Ф k    k r  rk Ф k  0
k
k
где W определено как
W(r, ) =
4

n
2
 r  r0 2 
exp 

4 

(4.56)
(4.57).
Если рассмотреть сложную решетку в простейшем случае малых
блоков, то уравнение (4.48) можно записать в виде :
Ф kj   HR k  r j ; R ' k  r ' j Ф' kj
kj
(4.58)
где rj – радиус-вектор j-го блока в ячейке, относительно другого
блока, выбранного за начало координат в каждой ячейке, а Rk – радиус –
вектор начального блока k и ячейки. Если реактор не имеет отражателя,
то
91
Φkj = Φj exp i2 (Rk + rj),
(4.59)
и подставляя (4.59) в (4.58), получаем
N ~
Ф j   Hrj ; r ' j Ф' j ,
j'1
(4.60)
где N – число блоков в ячейке и
~
Hrj ; r' j    HR k  rj ;r' j exp iR k  rj ;r' j 
k
(4.61)
Часто в элементарной ячейке некоторые блоки одинаковы и
одинаково расположены по отношению к соседним. Такие блоки
называют эквивалентными.
Плотность потока нейтронов на эквивалентных блоках одинакова и
поэтому число неизвестных в (4.61) уменьшается
M
~
Ф j   m' j Hrj r ' j Ф j
j'1
(4.62)
где М – число неэквивалентных блоков, mj – число эквивалентных
боков, сорта j.
Если размер ячейки a не слишком велик, то

 H r ; r    1
j
j


g0 j

 
 ,
g 0 j  S
ae
j



 n  exp   2  1

 j





g
r
;
r
1 j
j
2


1   2 Le


(4.63)
(4.64)
где L  - длина диффузии в замедлителе.
g1 rj , rj ' 
rj  rj '

1
exp[
2

i
n
(
)]

 n n2
a
S – площадь сплошной ячейки,
92
(4.65),

S
 
4L2  и g1 rj rj '  g1 (ρ j ),
(4.66),
где j – радиус j – го блока. Если число не эквивалентных блоков
равно двум, то можно явно решить уравнение (4.62). Пусть

 g  S  a
j
 0j
j

j 1
 2i nr j  r j '

exp 
 g1 (r j ; r j ' ) 

2
 ' n
a



n

Sj'

 j ' 
4L2

(4.67),
где Sj – площадь, приходящаяся на блок вида j. Можно сократить
число эквивалентных блоков mj из (4.62), и для М = 2 получим
~
~
Ф 1  H(r1 , r1 )Ф 1  H (r1 , r2 )Ф 2

~
~
Ф 2  H(r2 , r1 )Ф1  H(r2 , r2 )Ф 2
(4.68).
Вычитая уравнения в (4.68) одно из другого, находит отношение
Ф 2 1  R1

Ф1 1  R 2 ,

(4.69)

где Ri = H (ri; ri) – H (rj; ri);
В результате исследования получили, что условие критического
объема реактора зависит от обращения в нуль детерминанта (4.68),
которое можно записать, как
(1+2L2) exp(2τ) = k.
(4.70).
Полученные результаты показывают, что величина ,
определяющая критический объем реактора без отражателя зависит от
93
длины миграции, которая возрастает при увеличении шага решетки за
счет роста L2 . При увеличении шага решетки, когда радиус блока
фиксирован, падает резонансное поглощение и растет поглощение в
замедлителе, поэтому при некотором значении шага решетки
коэффициент размножения имеет максимум. С ростом радиуса при
фиксированном шаге уменьшается резонансное поглощение, а
поглощение в замедлителе растет, поэтому коэффициент размножения
растет с ростом радиуса, если шаг решетки большой, резонансное
поглощение близко к единице и главную роль играет изменение
поглощения в замедлителе. Наоборот, при малом шаге, когда главную
роль играет резонансное поглощение, коэффициент размножения
уменьшается с ростом радиуса.
3.4 Определение
характеристик
геометрических
и
теплогидравлических
Таблица 3.1- Определение геометрических характеристик
Характеристика
Формула или исходное значение
1
2
Объем основной зоны, м³
V  Qтепл qV
Диаметр активной зоны, м
D0  V 0,7854 H 0
Площадь одной ячейки, м²
1 h 
f яч  6  яч 
3 2 
N  0,7854 D02 f яч
2
Число ячеек
2
Площадь сечения одной ТВС,
м²
1 h 
fк  6  к 
3 2 
Проходное сечение кассеты, м²
1  h  2δ к 
sк  6  к
 
3
2

2
 0,7854d 22 n  13d р.д.
 d ц2 
2
94
Продолжение таблицы 3.1
1
2
Площадь проходного
сечения ячейки, м²
sяч  f яч  f к  sк
Гидравлический периметр
кассеты, м
1
hк  2δ к  
3
 π nd 2  13d р.д.  d ц
Гидравлический диаметр ТВС,
м
d г  4sк П г
Тепловой периметр ТВС, м
П тепл  π d 2 n
Тепловой диаметр пучка твэлов,
м
Высота активной зоны с учетом
экстраполированной добавки, м
Экстраполированная добавка, м
Полная поверхность пучка
твэлов
в одной ТВС, м²
Толщина оболочки твэлов, м
Средний диаметр оболочки
твэлов, м
d тепл  4sк П тепл
Пг  6


H  H0  2δ
δ  0,08
F  π d2n H0
δ об  d 2  d1  2
d об  d 2  d1  2
Таблица3.2 - Определение теплогидравлических характеристик
Параметр
1
Средняя энтальпия воды
на выходе из активной
зоны, Дж/кг
Формула или исходное значение
2
iвых  i pвых , вых 
95
Продолжение таблицы 3.2
1
2
Средняя
температура
воды на выходе из
активной зоны, ˚С
Давление теплоносителя
на выходе из активной
зоны, Па
Расход
теплоносителя
через активную зону, кг/с
Коэффициент
неравномерности
по радиусу
вых  вх  T
pвых  pвх   p
G  Qтепл k r iвых  iвх 
k r  1, 35 24


z
 p z    ξ тр
 ξ м  
dг


G 2 v z 
z


9
,
81
v z 
sяч N 2 2
Перепад давления по
высоте активной зоны,
Па
Высота активной зоны
разбивается на участки
длиной Δz, равной
расстоянию между
дистанционирующими
решетками, м
Удельный объем в точке
(на участе Δz), м³/кг
 z  H 0 nд. р.  1
vz   v pz , z 
ξ тр  0, 0035 13
Коэффициент трения
Местные сопротивления,
создаваемые
дистанционирующими
решетками
ξ м  0, 6 24
96
Продолжение таблицы 3.2
1
2
Закон
распределения
тепловой нагрузки по
высоте активной зоны на
единицу длины, Вт/м
ql  z   ql , 0 cos π z H 
Линейный тепловой поток
в центральной плоскости
для кассеты средней
нагрузки, Вт/м
Коэффициент
нераномерности
по
высоте
Линейный тепловой поток
в центральной плоскости
для
кассеты
максимальной нагрузки,
Вт/м
ql , 0  Qтепл k z N H 0
kz 
ql , 0  Qтепл kV N H 0
kV  22, 8 24
Объемный
коэффициент
неравномер-ности
Расход
теплоносителя
через ТВС, кг/с
Температура
теплоносителя по высоте
канала (для ТВС средней
и максимальной
нагрузки), ˚С
π H0
2 H sin π H 0 2 H 
GТВС 
 T z    вх 
G sТВС
N s яч
ql , 0 H
GТВС c p  z π
π H0
πz

  sin
 sin

2H
H 

97

Продолжение таблицы 3.2
1
2
Теплоемкость
воды
в
точке, Дж/(кг·К)
Температура
наружной
поверхности
оболочки
твэла по высоте (для
кассеты
средней
и
максимальной нагрузки),
˚С
Коэффициент теплоотдачи
по
высоте
канала,
Вт/(м²·К)
Число Рейнольдса
Скорость теплоносителя по
высоте канала, м/с
Теплопроводность воды в
точке, Вт/(м·К)
Динамическая
вязкость
воды в точке, Па·с
cp z   cp  p z ,  z 
Температура для оболочки
твэла на внутренней
поверхности (для ТВС
средней и максимальной
нагрузки), ˚С
Н
z    T z  
 об
αz   0, 021
λ z  0, 8 0, 43
Re Pr
dг
Re z   w z  d г μ z vz 
w z   GТВС vz  sТВС
λz   λ pz ,  z 
μ  z   μ p z ,  z 
H
 вн
об  z    об  z  
0, 92 ql z  δ об
π d об n λ об
λ об  20, 6 40
Теплопроводность
оболочки твэла, Вт/(м·К)
Температура
наружной
поверхности топливного
сердечника (для ТВС
средней и максимальной
нагрузки), ˚С
0, 92ql z 
π d 2 nαz 
Θ CH z    вн
об  z  
98
0, 92 ql z 
π d1 n α 3
Продолжение таблицы 3.2
1
2
Проводимость контактного
δ 
α 3  α  3   4, 9  10 3 18
слоя (газового зазора),
 d1 
Вт/(м²·К)
Температура сердечника на
внутренней поверхности
0, 92 ql z  
2 r02
rC 
вн
H
(для ТВС средней и
 C z    C z  
 1  2
ln

4π λ C z   rC  r02 r0 
максимальной нагрузки)*,
˚С, где
наружный радиус
rC  d C 2
сердечника, м
внутренний радиус
r0  d 0 2
сердечника, м
теплопроводность
4  10 3
сердечника*², Вт/(м·К),
λC  γ0
 3, 4  10 14 T 4
в зависимости от T
130  T
Температура k-го слоя
сердечника для
фиксированного z, ˚С
c, k
0, 92 ql z  
2 rk21
rk 
  c , k 1 
 1  2
ln

2
4π λ k
 rk  rk 1 rk 1 
Тепловой поток на единицу
поверхности твэла по
высоте (ТВС средней и
максимальной нагрузки),
Вт/м²
Относительная энтальпия
по высоте канала (для
ТВС
средней
и
максимальной нагрузки),
где
энтальпия
теплоносителя
энтальпия насыщения
удельная
теплота
парообразования
q s z   0, 92 ql z  π d 2 n
xотн z   iT z   i z  / r z 
iT z   i  p z ,  z 
i z   i  p z ,  z 
r z   r  p z ,  z 
99
Продолжение таблицы 3.2
1
2
Значение
относительной
энтальпии в точке
начала кипения*³, где
число Рейнольдса
тепловая нагрузка,
Вт/м²
плотность
насыщенной воды,
кг/м³
скорость
теплоносителя, м/c
удельная теплота
парообразования,
Дж/кг
плотность пара, кг/м³
давление, Па
критическое
давление, Па
кинематическая
вязкость, м²/с
0,3
 q 
xн. к.  0, 49  s 
 p w r 
qs
σ
p  r 9, 81  p   p 
Re q 
v
qs  qs, 0 / k z
начала
0 , 15
  pвых
 / 2
p   pвх
w  wвх  wвых  / 2
r  rвх  rвых  / 2
  pвых
  / 2
p   pвх
p   pвх  pвых  / 2
pкр  22,1  10 6
  vвых
 / 2
v  vвх
Энтальпия
теплоносителя в точке i
начала кипения,
Дж/кг
Координата
кипения, м
 p 
0, 4

 Re q 

 p кр 
н. к.
 i   r x н. к.
z н. к.  z n 
iн. к.  in
in 1  in
, где in  iн. к.  in 1
 0 , 225
0 , 15
Истинное
объемное


0, 2  p 
паросодержание
в   0, 43  q s 
Re

q 
0
 p w r 

точке xотн  0


 p кр 
100
Продолжение таблицы 3.2
1
Массовое
паросодержание в
точке xотн  0 (без
учета проскальзывания
на участке
поверхностного
кипения)  4
Критический тепловой
поток повысоте
канала (для ТВС
средней и
максимальной
нагрузки), Вт/м², где
число Рейнольдса
число Прандтля
обобщенное
расходное паросодержание  5
2
x0 
1
1
1

0
0
p
p 
1 3

1  X  z  / 3, 5
q кр  z  
r z  p  z  
320 1  H 0 3, 54 
1 3 1 3
 9, 81 d тепл 9, 81 a   z   
 Re 1 5 z  Pr 1 3 z 
p z w z  d тепл
Re z  
μ  z 
Pr z   v z  a z 
1 5
 p z  w 2 z  d тепл 
X z   






σ
z
p
z


Запас до кризиса кипения
(для ТВС средней и
K  z   q кр  z  qs  z 
максимальной
нагрузки)
101
Контрольные вопросы
1. При каких расчетах применяется одногрупповой метод?
2. Что берется в качестве координат для задачи в главе 3 со
сферической геометрией?
3.
Каково кинетическое уравнение для задач со сферической
геометрией?
4.
Каково кинетическое уравнение в цилиндрических
координатах?
5.
В чем состоит физический смысл задачи по определению
минимальных критических размеров реакторов различных конфигураций?
6. От чего зависит плотность потока нейтронов, если реактор
имеет вид однородной пластины?
7. Каково условие минимального объема, если реактор имеет
форму куба?
8. Как решается задача минимизации объема ядерного реактора в
случае цилиндрической области?
9. В чем состоит сущность задачи об определении размеров
цилиндрического отражателя?
10. От чего зависит лапласиан и чем он определяется?
11. Каким ограничениям удовлетворяет задача оптимизации при
отыскании кусочно-непрерывного управления?
12. Какая закономерность наблюдается при сравнении объемов
реакторов различной геометрической формы?
13. Каковы основные параметры решетки ядерного реактора?
14. Чем характеризуется блок «идеального» реактора на тепловых
нейтронах?
15. Какая функция задает основное уравнение гетерогенного
реактора?
16. Какие блоки в элементарной решетке называют эквивалентными?
17. В чем состоит условие критического объема реактора?
18. От чего зависит величина, определяющая критический объем
реактора без отражателя?
19. Какое уравнение из главы 3 можно применить, если число
неэквивалентных блоков равно двум?
20.Что происходит с резонансным поглощением в реакторе при
увеличении шага решетки ядерного реактора на тепловых нейтронах?
102
4 Численные расчеты критических
реактора на тепловых нейтронах
размеров
ядерного
4.1 Конечно – разностная форма диффузионных уравнений
Аналитическое решение диффузионных уравнений двухгрупповой
и многогрупповой теории, кроме отдельных случаев, затруднительно, а
часто практически невозможно. В конце этой главы дается метод
полуаналитического решения задачи для практического случая. Более
универсальным является иной подход к задаче: дифференциальные
уравнения многогрупповой теории заменяются конечно-разностными, в
результате чего приходим к системе алгебраических уравнений.
Общий приём, приводящий к удобной форме конечно-разностных
уравнений, таков: весь объём реактора разбивается на части так, чтобы
плотность нейтронов внутри каждой части не слишком сильно менялась.
Объём сферического реактора, естественно, разбивается на шаровые
слои, а цилиндрического - на кольцевые некоторой высоты. После этого,
значения плотности нейтронов каждой группы в «центре» каждого слоя
принимаются за искомые величины. Далее составляем уравнение
баланса. Если х1s - плотность нейтронов группы 1 в рассматриваемом
слое s, x1m - плотность нейтронов той же группы 1 в соседнем слое, h расстояние между центрами слоёв и S - площадь границы между слоями,
то поток нейтронов группы 1 в рассматриваемый слой из соседнего
равен
Dl S
xml  xsl
,
h
(4.71)
где D1 - коэффициент диффузии нейтронов группы 1. Полный
поток нейтронов группы 1 из соседних слоёв в данный равняется
xml  xsl
 Dl S h ,
(4.72)
где суммирование происходит по всем слоям, имеющим
непосредственную границу с рассматриваемым. Полученное выражение
- конечно-разностный аналог члена N в дифференциальном уравнении.
Потеря нейтронов группы 1 за счёт поглощения или замедления,
выражается AVsx1s, где Vs – объём слоя s и А- коэффициент,
пропорциональный соответственно величине.
103
Наконец, приток нейтронов за счёт перехода из групп с большей
энергией в данную энергетическую группу 1 в одном и том же слое,
получим систему уравнений
xsl   Asl , m xml   Bsn,l xsn  Fsl xsl ,
(4.73)
l
где xs –плотность нейтронов 1-й энергетической группы в s-м слое,
первая сумма распространена по слоям, соседним с s, a вторая - по тем
энергетическим группам, из которых имеется переход в 1-ю группу. Если
переход нейтронов в 1-ю группу из n–й группы происходит за счёт
размножения нейтронов при захвате их делящимися ядрами, то
коэффициент
Bsn,l -пропорционален коэффициенту размножения,
который соответствует энергии n-й группы нейтронов.
Заметим ещё, что для краевых слоёв поток нейтронов на границе с
вакуумом имеет вид D S
0 x
, т.е. имеет ту же форму, что для внутренних
h
слоёв, только плотность нейтронов на границе с вакуумом равна нулю.
Уравнение (4.73) справедливо и в том случае, когда реактор состоит из
нескольких зон с различными свойствами. Для слоёв, граничащих со
слоями другой зоны, в коэффициенте Ass,m следует учесть изменение
коэффициента диффузии при переходе из одной зоны в другую.
Система (4.73) - однородна и имеет только тривиальное решение.
Физически это соответствует тому, что реактор не находится в
критическом состоянии.
1 1
Если в (4.73) перенести Fs x s в левую часть, то получим
xsl   Dsl , m xm   Esn,l xsn ,
D l и E n ,l
(4.74)
s
причём коэффициенты s,m
положительны.
Если зададимся произвольным распределением плотности
нейтронов, т.е. зададим им числа х как угодно, лишь бы они были
неотрицательны и не все равны нулю, то, подставляя заданные значения
в правую часть (4.74) получим новые значения х. Повторяя этот процесс,
будем иметь:
а) если реактор подкритичен, стремление всех хls к нулю;
б) если реактор надкритичен, стремление хls к бесконечности.
104
В случае критичности реактора произойдёт установление
стандартных значений хls  0. Эти утверждения, ясные из физических
соображений, можно было получить и чисто математическим путём.
Из физических соображений видно, что если изменим подходящим
образом коэффициенты размножения во всех или некоторых слоях или
зонах, можем привести реактор к критическому состоянию. Если
произведём это изменение монотонно с помощью одного параметра 
(скажем, умножая коэффициент размножения во всех активных зонах на
 ), то опять из физических соображений ясно, что критичность
достигается при единственном значении  .
Поставим задачу так, пусть заданы геометрические и физические
параметры реактора. Ищем значение величины  , на которую можно
помножить коэффициент размножения в одной активной зоне или в
нескольких с тем, чтобы при прочих фиксированных геометрических и
физических параметрах реактора, он стал критичным.
Если получится  <1, то реактор в истинном виде надкритичен,
если же  >1, то реактор подкритичен. Отсюда можно сделать
заключение о направлении нужных изменений в геометрических или
физических параметрах реактора - увеличение при  <1 и уменьшение
при  >1 размером активной зоны или степени обогащения делящимися
изотопами и т.д. По количественному отличию величины  от 1 можно
делать и приближенные количественные заключения. Критическое
состояние отвечает таким параметрам реактора, при которых  =1.
Итак, свели задачу к нахождению собственного числа  некоторой
матрицы. Фактически само такое нахождение  производится разными
способами. Так, для двумерных задач приходится применять трудоёмкий
процесс итераций уравнений. Если переменные разделяются и задача
делается одномерной, то удастся найти сравнительно простые способы
нахождения  . Схему одного из таких способов приведём ниже.
Рассмотрим метод прогонки, смысл которого заключается в
следующем. Пусть дан цилиндрический реактор, состоящий из
нескольких активных зон и отражателя. Рассмотрим решение уравнений
теории двух групп, которые для удобства запишем
N 
kj N
N
n


W
n
,

n



,
j
L2j
j
L2j j W j
105
(4.75)
Wj 
где
В отражателе
kj
Bj
P0 j L2C
=0. Граничные условия между зонами таковы
N j  N j 1; N J  Pj , j 1 N j 1; n j  n j 1; nj  S j , j 1nj 1
(4.76)
Считая, что переменные разделяются в дальнейшем буквами N и n,
обозначим только радиальную часть функций.
Разделим каждую зону по радиусу на равные кольца. Плотность
тепловых и замедляющихся нейтронов в s-м кольце обозначим
соответственно Ns и ns (s=1.2,…,m). Пусть теперь при коэффициенте
*
размножения во всех активных зонах N P  N P (индексом р обозначим
слой, принадлежащей активной зоне ). Соотношение баланса приведут к
уравнениям для групп замедляющихся нейтронов
n1  c1 n 2  b1 N 1* ,

*
n 2  a 2 n1  c 2 n3  b2 N 2 ,
...

*
n S  a S n S 1  c S n S 1  bS N S ,
...

n m  a m n m 1
(4.77)
и для тепловой группы
 N 1  C1 N 2  B1 n1 ,
N  A N  C N  B n ,
2
1
2
3
2 2
 2
...

*
 N S  AS N S 1  C S N S 1  b S N S ,
...

 N m  Am N m 1  B m n m
(4.78)
Даны конкретные выражения для a,b,c,A,B,C. Идея метода состоит
в следующем: выразим каждое ns через Nk (k=1,2,…,s) ns+1 (прямой ход
106
прогонки ). Для n такое выражение дано формулой (4.77). Подставляя
его в формулу для n2, находим
n 2 (1  a 2 c1 )  a 2 b1 N 1*  b2 N 2*  c 2 n3
(4.79)
если для ns+1, получим
n S 1  FS 1   S 1 n S ,
где
Fs-1
линейная
последовательно находим
(4.80)
комбинация
n S  FS   S n S 1
,
Nk*(k=1,2,…,s-1),
то
(4.81)
FS 1
bS N S*
cS
FS 

S 
1  a S S 1 1  a S S 1 .
1  a S S 1 и
где
Когда активные зоны кончаются, то в Fs перестанут добавляться
*
члены с новыми N S .
Итак, каждое ns выразилось через ns+1 с коэффициентом vs и Fs –
*
линейную комбинацию величин N S , но nm – последние из ns, выражается
лишь через предыдущие, так как nm+1=0. Таким образом, последние ns
*
*
выражено через одни N h . Теперь выражаем nm-1 через N P , затем через
N P* найдем n и т.д. (обратный ход прогонки).
m-2
Далее используем уравнения (7.6) для тепловой группы нейтронов
и, двигаясь от N1 к Nm, выражаем N1 через N2 и Nр* и т.д. (прямой ход в
тепловой группе). Дойдя до конца отражателя, получим выражение для
Nm через Nр* и затем, возвращаясь обратно, последовательно выражаем
Nm-1, Nm-2, …, N1 через Nр* (обратный ход в тепловой группе).
Итак, получили выражение каждого Ns в активной зоне как
линейную комбинацию Np*
N s   a s , p N p ,
P
107
(4.82)
Заменяя N   N p , получаем

p
N s    a s, p N p .
P
a
Остается найти собственный вектор матрицы s , p с наибольшим
собственным числом. Это достигается, например, с помощью итераций,
причем за начальный вектор можно принять любой вектор с
неотрицательными компонентами. Затем нужно задать N1 и подставить
N  N
p
p
полученные для
величины в выражении для интересующих
значений Ns и ns.
Можно заметить, что этот метод без изменения переносится на
случай решения уравнений со многими группами. Если рождение
нейтронов происходит лишь в результате поглощения нейтронов одной
группы, то каждая из величин ns для самой быстрой группы выражается
через Np (прямой и обратный ход). Наконец, приходим к той же матрице,
как и в случае двух групп.
Несколько иначе обстоит дело в том случае, когда рождение
нейтронов происходит, в трех наиболее медленных группах. Обозначим
1
2
3
через N s , N s , N s плотности нейтронов в самых медленных группах и
положим
N S*   (d 1 N S1  d 2 N S2  d 3 N S3 )

где
имеет
1 N   2 N   3 N
1
s
2
s
3
s
тот
же
смысл,
что
и
,
(4.83)
прежде,
а
сумма
равна правой части уравнения (4.77) для самой
быстрой группы.
Применяя метод прогонки для каждой группы, начиная с самой
3
2
N
быстрой, приходим к линейному выражению N s через p , затем N s
через
Np
3
N
и, наконец, N s через p , далее нужно для каждого s выразить
x s    bs , p x p .
x s   1 N s1   2 N s2   3 N s3
P
и получить систему уравнений
b
Наибольшее собственное число матриц s , p и есть нужное нам
число  .
N1
Получив x s , находим все N s , следовательно, и все s .
108
Выведем формулы для коэффициентов уравнений (4.77-4.78).
r ,r
Пусть рассматриваемый слой ограничен радиусами s s 1 , принадлежат
к j-й зоне и не являются граничными. Если изменение толщины кольца в
j-й зоне есть  j, то получим
2j (rs 1  rs ) W j
2rs 1
2r
As 
, Bs 
, C s  s 1 ,
Gs
Gs
Gs
где


1
G s  (rs 1  rs ) 2  2j ( 2   2z )
Lj


(4.84)
 j (rs 1  rs )k j
2r
2r
a s  s 1 , bs 
, C s  s 1 ,
2
gs
gs
g s Ls  jW j
и
где


1
g s  (rs 1  rs ) 2  2j (   2z )
j


Для слоев, пограничных между j и j+1 зонами, если rs- граница
между этими зонами, имеем
As 
где
2rs 1
,
Gs
Bs 
2j (rs 1  rs ) W j
Gs
G s  2rs 1 
 j 1
где
as 
2rs 1
,
gs
bs 
g s  2rs 1 
g s L2s jW j
1
  z2 )
2
Lj
(4.85)
,
4 s j , j 1 rs
Cs 
(
 2j (rs 1  rs )(
 s j , j 1
,
 p j , j 1 )G s
j
 p j , j 1
4 s j , j 1 rs
j
 j 1
 2j (rs 1  rs )(
2j (rs 1  rs )k j
 j 1
4 p j , j 1 rs
Cs 
(
4 p j , j 1 rs
j
и
,
 j 1
j
1
j
,
 s j , j 1 ) g s
  z2 ).
Аналогичные формулы для s-го слоя (за границей зоны) выглядит
так:
109
4rs
j
As 1 
(1  p j , j 1
где
, Bs 1 
j  1
)Gs 1
4rs
Gs 1  2rs 1 
1  p j , j 1
и
4rs
j
a s 1 
(1  s j , j 1
где
g s 1  2rs 1 
 j 1
) g s 1
j
 j 1
2j 1 (rs  rs 1 )W j 1
2r
, Cs 1  s 1 ,
Gs 1
Gs 1
 2j 1 (rs  rs 1 )(
1
  2z )
L
2
j 1
2j 1 (rs  rs 1 )k j 1
2r
, bs 1 
, cs 1  s 1 ,
2
g s 1 j 1L j 1W j 1
g s 1
4rs
j
1  s j , j 1
 j 1
 2j  2 (rs  rs 1 )(
1
 j 1
(4.86)
  z ).
Приведем полуаналитические расчеты критических размеров
цилиндрического реактора со многими зонами. Пусть реактор имеет
форму цилиндра и в уравнениях (4.75) возможно разделение
переменных. Тогда из уравнений (4.77-4.78) получим
N  
n  
1
1
N   ( 2   z2 ) N  n W j ,
r
Lj
kj N
1
1
n   (   z2 ) n   2
.
r
j
Lj jWj
(4.87)
Кроме граничного условия, должны быть выполнены условия (при r  0 ):
N   n  0
(4.88)
и на экстраполированной границе последней зоны:
N  n  0.
(4.89)
Рассмотрим систему уравнений (4.87) в некоторой зоне. Это
система линейных дифференцированных уравнений второго порядка.
Известно, что общее решение такой системы содержит 4 произвольные
постоянные:
110
N (r )  C1 N 1 (r )  C 2 N 2 (r )  C 3 N 3 (r )  C 4 N 4 (r ),
n(r )  c1 n1 (r )  c 2 n 2 (r )  c3 n3 (r )  c 4 n 4 (r ).
(4.90)
Однако,
если
известны
граничные
условия,
которым
N
(r
)
n
(r
)
удовлетворяют
и
на одной из границ зоны, то общее решение
системы уравнений (4.87) содержит лишь две произвольные постоянные.
Будем искать решения (4.87), удовлетворяющие условиям
N  
1
N    2 N ,
r
n  
1
n    2 n.
r
(4.91)
Легко видеть, что это возможно при следующих значениях  :
12   2   z2 ,
22    2   z2 ,
(4.92)
При этом если N удовлетворяет условию
1
N " N ' 2z N  0 (k  1,2),
r
(4.93)
 2
1 
 k  2  N

L z  .

(4.94)
то
n  Jk N 
1
Wj
Решение уравнений (4.91) является функцией Бесселя нулевого
порядка:
 N (r )  C1 , k J 0 ( k r )  C 2 , k J 0 ( k r )
,

n(r )  C1 , k J k J 0 ( k r )  C 2 , k J k J 0 ( k r ) (k  1,2)
(4.95)
2
Так как  2 отрицательно, то в соответствующих местах стоят
функции Бесселя от мнимого аргумента. В большинстве зон 1
положительно. Поэтому общее решение системы уравнений (4.77-4.78)
можно записать так:
2
N (r )  C1 ,1 J 0 (1r )  C2 ,1 J 0 (1r )  C1 ,2 I 0 ( 2 r )  C2 ,2 K 0 ( 2 r )
n(r )  J C1 ,1 J 0 (1r )  C2 ,1 J 0 (1r )  J C1 ,2 I 0 ( 2 r )  C2 ,2 K 0 ( 2 r )
111
.
(4.96)
Рассмотрим вспомогательные функции
U (r ) 
J2N  n
J N n
; V (r )   1
J 2  J1
J 2  J1
(4.97)
Эти функции удовлетворяют уравнениям
U ' (r )

2
U " (r )  r   1U (r )  0

V " (r )  V ' (r )  2 V (r )  0
2

r
(4.98)
Функция N(r) и n(r) можно выразить через u и v так:
N (r )  U (r )  V (r ); n(r )  J 1U (r )  J 2V (r ) .
(4.99)
Все выше указанные рассуждения по методам имеют смысл при
следующих граничных условиях
 N '  d 11 N   12 n,

n'  d 21 N   22 n,
(5.10)
на экстраполированной границе последней зоны (4.89). Используя
формулы (4.97) можно получить, что в случае (5.10) для функции u и v
выполняются условия
U '  a11U  a12V ,
,

V  a 21U  a 22V
где
a11  ( J 2  J 1 ) 1 J 2 ( 11  J 1  12 )   21  J 1  22 ,

1
a12  ( J 2  J 1 ) J 2 ( 11  J 2  12 )   21  J 2  22 ,

1
a 21  ( J 2  J 1 )  J 1 ( 11  J 1  12 )   21  J 1  22 ,
a  ( J  J ) 1  J (  J  )    J  .
2
1
11
2 12
21
2 22
 22
(5.11)
(5.12)
Если же имеем граничные условия (5.10), то из них следует, что
112
u=v=0
(5.13)
Предположим теперь, что известны граничные условия вида (5.11)
для u и v. Так используя формулы (4.99) получим (5.10), причем
 11  J 2  J 1 1 J 2 a11  a 21   J 1 a12  a 22 ,

1
 12  J 2  J 1  a12  a 22  a11  a 21 ,

1
 21  J 2  J 1  J 2 J 1 a11  J 2 a 21   J 1 J 1 a12  J 2 a 22 ,

1
 22  J 2  J 1  J 1 a12  J 2 a 22  J 1 a11  J 2 a 21 .
(5.14)
Из граничных условий (5.13) следуют граничные условия (4.89).
Пусть r=rj есть граница между j-й и j+1-й зоне при r=rj выполняются
следующие граничные условия
 N '  11 N  12 n,

n'   21 N   22 n,
где
 11  p j , j 1 11 ;  12  p j , j 1 12 ;  21  p j , j 1 21 ;  22  p j , j 1 22
(5.15)
.
(5.16)
Аналогично можно от граничных условий при r=rj в j-й зоне
перейти к граничным условиям в j-й зоне.
Пусть в j-й зоне (rj-1rrj) функции u и v удовлетворяют
уравнениям (7.16) и при r=rj выполняются граничные условия
U ' (r j )  11U  12V ,

V ' (r j )   21U   22V ,
(5.17)
или (5.13). Соответствует только одно решение u1(r) и v1(r) системы
(4.98), удовлетворяющее граничным условиям (5.17) или соответственно
(5.13) и следующим условиям на другом конце зоны r=rj:
U 1 (r j 1 )  1, V1 (r j 1 )  0.
(5.18)
Аналогично, существует одно и только одно решение u2(r) и v2(r)
системы (4.98), удовлетворяющее граничным условиям (5.17) или
соответственно (5.13) и условиям при r=rj-1:
113
U 2 (r j 1 )  0, V2 (r j 1 )  1.
(5.19)
Общее решение системы (4.98), удовлетворяющее граничным
условиям (5.17) или соответственно (5.13), легко выражается через u1; u2;
v1; v2:
U (r )  U (r j 1 )U 1 (r )  V (r j 1 )U 2 (r ),
V (r )  U (r j 1 )V1 (r )  V (r j 1 )V2 (r )
(5.20)
Дифференцируем равенства (5.20) по r и положим r=rj-l. При этом
получим
U (r j 1 )  U (r j 1 )U 1 (r j 1 )  V (r j 1 )U 2 (r j 1 ),

V (r j 1 )  U (r j 1 )V1(r j 1 )  V (r j 1 )V 2 (r j 1 ).
(5.21)
Таким образом, при r=rj-l
общее решение системы (4.98),
удовлетворяющее условиям (5.17), или соответственно (5.13),
удовлетворяет граничным условиям (5.11) с



a11  U 1 (r j 1 ), a12  U 2 (r j 1 ), a 21  V1 (r j 1 ), a 22  V2 (r j 1 ).
(5.22)
4.2 Метод прогонки
Пусть мы имеем для конкретности цилиндрический реактор,
состоящий из нескольких активных зон и отражателя. Рассмотрим
решение уравнений теории двух групп, которые для удобства впишем
ещё раз
N 
где W j 
Bj
P0 j L2C
kj N
N
n
 W j n , n    2
,
2
Lj
j
L j j W j
(5.23)
.
В отражателе k j =0. Граничные условия между зонами таковы:
114
N j  N j 1; N J  Pj , j 1 N j 1; n j  n j 1; nj  S j , j 1nj 1
(5.24)
Считая, что переменные разделяются в дальнейшем буквами N и n,
обозначим только радиальную часть функций.
Разделим каждую зону по радиусу на равные кольца. Плотность
тепловых и замедляющихся нейтронов в s-м кольце обозначим
соответственно Ns и ns ( s=1.2,…,m ). Пусть теперь при коэффициенте
размножения во всех активных зон N P*  N P (индексом р обозначим
слой, принадлежащей активной зоне). Соотношение баланса приведут
нас к уравнениям для групп замедляющихся нейтронов
n1  c1 n 2  b1 N 1* ,
n 2  a 2 n1  c 2 n3  b2 N 2* ,
...
n S  a S n S 1  c S n S 1  bS N S* ,
(5.25)
...
n m  a m n m 1
и для тепловой группы
N 1  C1 N 2  B1 n1 ,
N 2  A2 N 1  C 2 N 3  B2 n 2 ,
...
N S  AS N S 1  C S N S 1  bS N S* ,
(5.26)
...
N m  Am N m 1  Bm n m
Даны конкретные выражения для a,b,c,A,B,C. Идея метода состоит
в следующем: мы выражаем каждое ns через Nk (k=1,2,…,s) ns+1 (прямой
ход прогонки ). Для n такое выражение прямо дано формулой (5.25).
Подставляя его в формулу для n2 находим
n 2 (1  a 2 c1 )  a 2 b1 N 1*  b2 N 2*  c 2 n3
и вообще, если для ns+1 мы уже имеем
115
(5.27)
n S 1  FS 1   S 1 n S ,
(5.28)
где Fs-1 линейная комбинация Nk*(k=1,2,…,s-1), то последовательно
находим
n S  FS   S n S 1 ,
(5.29)
Где
S 
FS 1
bS N S*
cS

, FS 
1  a S S 1 1  a S S 1
1  a S S 1
(5.30)
Когда активные зоны кончаются, то Fs перестанут добавляться
члены с новыми N S* .
Итак , каждое ns выразилось через ns+1 с коэффициентом vs и Fs линейную комбинацию величин N S* . Но nm -последние из ns, выражается
лишь через предыдущие, так как nm+1=0. Таким образом, последние ns
выражено через одни N h* . Теперь мы можем выразить nm-1 через одни
N P* , подставив его в выражение через N P* и nm уже полученное значение
nmчерез np*. Затем через N P* выражается nm-2 и т.д. (обратный ход
прогонки).
Далее мы используем уравнения (
) для тепловой группы
нейтронов и, двигаясь от N1 к Nm, выражаем N1 через N2 и Nр* и т.д.
(прямой ход в тепловой группе). Дойдя до конца отражателя, мы
получаем выражение для Nm через Nр* и затем, возвращаясь обратно,
последовательно выражаем Nm-1, Nm-2, …, N1 через Nр* (обратный ход в
тепловой группе).
Итак, мы получили выражение каждого Ns в активной зоне как
линейную комбинацию Np*
N s   a s , p N p ,
(5.31)
P
Вспоминая, что N p   N p , получим
N s    a s, p N p .
P
116
(5.32)
Теперь остается найти собственный вектор матрицы a s , p с
наибольшим собственным числом. Это достигается, например, с
помощью итераций, причем за начальный вектор можно принять любой
вектор с неотрицательными компонентами. Затем нужно задать, скажем
N1 и подставить полученные для N p  N p величины в выражении для
интересующих нас Ns и ns.
Легко видеть, что этот метод без изменения переносится на случай
решения уравнений со многими группами. Если рождение нейтронов
происходит лишь в результате поглощения нейтронов одной группы, то
так же, как мы делали выше, каждая из величин ns для самой быстрой
группы выражается через Np (прямой и обратный ход), затем для
следующей группы и т.д. Наконец, мы приходим к той же матрице, как и
в случае двух групп.
Несколько иначе обстоит дело в том случае, когда рождение
нейтронов происходит, скажем, в трех наиболее медленных группах.
Обозначим через N s1 , N s2 , N s3 плотности нейтронов в самых
медленных группах и положим
N S*   (d 1 N S1  d 2 N S2  d 3 N S3 )
(5.33)
где  имеет тот же смысл, что и прежде, а сумма
 1 N s1   2 N s2   3 N s3
(5.34)
равна правой части уравнения для самой быстрой группы.
Теперь, совершая для каждой группы, начиная с самой быстрой, прямой
и обратный ход, мы приходим к линейному выражению N s3 через N p ,
затем N s2 через N p и, наконец, N s3 через N p . Далее нужно для каждого s
выразить
x s   1 N s1   2 N s2   3 N s3
(5.35)
и мы получим систему уравнений
xs    bs , p x p .
P
117
(5.36)
Наибольшее собственное число матриц bs , p и есть нужное нам число
 . Получив x s , мы находим все N s , а следовательно, и все N s1 .
Контрольные вопросы
1.
Какой подход применяется при решении диффузионных
уравнений при расчетах критических размеров ядерного реактора?
2. В чем состоит сущность приема, приводящего к удобной форме
конечно-разностные уравнения?
3. К чему сводится задача главы 4?
4.
В чем состоит метод простой прогонки при расчете
критических размеров ядерного реактора на тепловых нейтронах?
5. Как применяется этот метод прогонки в случае решения
уравнений со многими группами?
6. Как находится наибольшее собственное число?
7. Сколько произвольных постоянных имеет система линейно
диффузионных уравнений для полуаналитического расчета?
8. Какой функцией является решение уравнений из главы 4?
9. Какие вспомогательные функции используются для решений
задачи главы 4?
10. Какие граничные условия выполняются на границах зон?
11. Какой переход происходит при изучении j-ой зоны?
12. Каково общее решение системы при решении задач главы 4?
118
Литература
1 Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов //перевод с англ.
− М .: Атомиздат, 1974. − 189 с.
2 Березин И.С., Жидков И.П. Методы вычислений. − М. :
Физматгиз, 1962. − 245 с.
3 Блохин А.М., Бушмаков А.С. Асимптотическая устойчивость
состояния равновесия для газодинамической модели переноса заряда в
полупроводниках. − М. : Издательство «Наука», 1980. − 345 с.
4 Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления. − М. : Издательство «Наука», 1969. − 458 с.
5 Вейнберг, Вагнер. Физическая теория ядерных реакторов. − М. :
Издательство иностранной литературы, 1961. − 278 с.
6 Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов на
тепловых нейтронах. − М. : Энергоатомиздат, 1990. − 487 с.
7 Галанин А.Д. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах.
− М. : Атомиздат, 1969. − 358 с.
8 Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов. − М. :
Энергоатомиздат, 1984. − 198 с.
9 Годулов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. − М. :
Издательство «Наука», 1973. − 125 с.
10 Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных
реакторов. − М. : Атомиздат, 1977. − 498 с.
11 Дементьев Б.А. Ядерные энергетические реакторы. − М. :
Атомиздат,1984. − 127 с.
12 Дементьев Б.А. Кинетика и регулирование ядерных реакторов. −
М. : Атомиздат, 1973. − 286 с.
13 Дементьев Б.А. Конструкции и тепловой расчет ядерных
реакторов. − М. : Издательство МАИ, 1975. − 359 с.
14 Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и
диффузионными
процессами
//Серия
«Теоретические
основы
технической кибернетики». − М. : Издательство «Наука»,1978. − 654 с.
15 Емельянов И.Я., Михан В.И., Солонин В.И. Конструирования
ядерных реакторов. − М. : Энергоиздат, 1982. − 196 с.
16 Закс Л. Статистическое оценивание. − М. : Издательство
«Статистика»,1976. − 234 с.
119
17 Захарова О.А. Исследование некоторых критических размеров
ядерных реакторов //Ученые записки Павлодарского Государственного
университета. – 2000. − №1
18 Захарова О.А. Исследование зависимости коэффициента
размножения тепловых нейтронов и лапласиана от шага решетки и
радиуса блока ядерного реактора //Вестник ПаУ. − № 1. – 2000.
19 Захарова О.А. Математическое моделирование процессов в
ядерных реакторах на тепловых нейтронах //Материалы научнопрактической конференции, ПГУ. – 2001.
20 Захарова О.А. Исследование одногруппового и кинетического
уравнения ядерного реактора для различных геометрий //Материалы
международной конференции, ПаУ. – 2001.
21 Иванов В.И., Машкович В.П. Международная система единиц
(СИ) в атомной науке и технике. − М. : Энергоиздат,1981. − 378 с.
22 Кипин Дж.Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов.
− М. : Атомиздат, 1967. − 458 с.
23 Клемин А.М., Стригулин М.М. Некоторые вопросы надежности
ядерных реакторов. − М. : Атомиздат, 1968. − 268 с.
24 Клигер И. Оптимальное по быстродействию управление
ядерным реактором //Сборник «Автоматическое управление тепловыми
и химическими процессами». − Труды: Международного конгресса
ИФАК. − М. : Издательство «Наука», 1972. − С. 158
25 Крамеров А.Я., Шевелев Я.В. Инженерные расчеты ядерных
реакторов. − М. : Атомиздат, 1977. − 380 с.
26 Крамеров А.Я. Вопросы конструирования ядерных реакторов. М.: Атомиздат.- 1971.
27 Кузнецов В.Д. Безопасность атомных электростанций. - М.:
Издательство МАИ.- 1975.
28 Левин В.Е. Ядерная физика и ядерные реакторы. − М. :
Атомиздат, 1979. − 458 с.
29 Лункина Ю.И. Приближенный метод решения задач теории
инвариантности для систем с распределенными параметрами //Сборник
«Математические методы оптимизации теплоэнергетических процессов».
− Фрунзе: Издательство «Илим», 1970. − 238 с.
30 Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. − М. : Физматгиз,
1969. − 256 с.
31 Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. − М. :
Издательство «Наука», 1980. − 135 с.
120
32 Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории
переноса нейтронов. − М. : Атомиздат, 1971. − 268 с.
33 Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. − М. :
Атомиздат, 1961. − 458 с.
34 Мегреблин Р., Холмс Д. Теория реакторов. - М.: Атомиздат.1962.
35 Митенков Ф.М., Моторов Б.И. Нестационарные режимы судовых
ядерных паропроизводящих установок. −
Ленинград: Издательство
«Судостроение», 1970. − 253 с.
36 Моисеев И.И. Численные методы в теории оптимальных чисел.
− М. : Издательство «Наука», 1971. − 398 с.
37 Неронов В.С. Оптимальное управление параболическогиперболическими системами //Вестник Павлодарского университета. −
№ 1. – 1999.
38 Неронов В.С., Шарабаева Л.Ю. Оптимальное управление
ядерным реактором. − Алматы: Издательство Казахского университета. –
1989. − 298 с.
39 Неронов В.С. Оптимальное управление процессами с
распределенными параметрами. − Астана: Евразийский Государственный
университет им. Л.Н.Гумилева. – 2001. − 587 с.
40 Неронов В.С. Оптимальное управление процессами,
описываемыми дифференциальными уравнениями с частными
производными первого порядка. //Ученые записки Павлодарского
Государственного университета // Павлодар. – 1998.
41 Неронов В.С. Оптимальное управление системами, описываемыми
нелинейными параболическими уравнениями. //Докл. АН СССР. − Т.300. −
№ 4. – 1988.
42 Неронов В.С. Оптимальное управление ядерными реакторами
на тепловых нейтронах //Журнал вычислительной математики и
математической физики. − 1987. − № 9.
43 Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко
Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. − М. : Физматгиз,
1961. − 514 с.
44 Рудик А.П. Оптимизация физических характеристик ядерных
реакторов. − М. : Атомиздат, 1979. − 189 с.
45 Рудик А.П. Ядерные реакторы и принцип максимума
Понтрягина. − М. : Атомиздат, 1979. − 268 с.
121
46 Сабаев Е.Ф. Система сравнения для нелинейных
дифференциальных уравнений и их приложений в динамике реакторов. −
М. : Атомиздат, 1977. − 578 с.
47 Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы сеточных уравнений. −
М. : Издательство «Наука», 1978. − 198 с.
48 Сидоренко В.А. Вопросы безопасности работы ВВЭР. − М. :
Атомиздат, 1977. − 235 с.
49 Синев Н.М., Бейтуров Б.Б. Основы технологии и экономики
ядерного топлива. − М. : Атомиздат, 1980. − 125 с.
50 Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными
параметрами. − Новосибирск: Издательство «Наука», 1987. − 249 с.
51 Соболев М.М. Метод Монте-Карло. − М. : Издательство
«Наука», 1978. − 300 с.
52 Сулливан Д. Геометрическая типология. − М. : Издательство
«Мир», 1975. − 512 с.
53 Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач.
− М. : Издательство «Наука», 1990. − 348 с.
54 Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального
управления. − М. : Издательство «Наука», 1978. − 512 с.
55 Фейнберг С.М. Теория ядерных реакторов. − М. : Атомиздат,
1978. − 457 с.
56 Хетрик А. Динамика ядерных реакторов //Перевод с англ. − М. :
Атомиздат, 1975. − 325 с.
57 Хитчкок Л. Устойчивость ядерных реакторов //Перевод с англ. −
М : Гостохиздат, 1950. − 169 с.
58 Цвайдиль П. Физика реакторов. − М. : Атомиздат, 1977. −
168 с.
59 Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. − М. :
Атомиздат, 1973. − 156 с.
60 Шульц М.А. Регулирование энергетических ядерных реакторов.
− М. : Издательство иностранной литературы, 1957. − 254 с.
61 Шишкин Г.И. Оптимальные по порядку скорости сходимости
кусочно-равномерные сетки для сингулярно возмущенных уравнений
конвекции – диффузии. //Известия высших учебных заведений. − № 3.
Казанский университет. – 2002.
122
Содержание
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
Введение…………………………………………………..…………….3
Построение математической модели……………………………….....6
Общие сведения об ядерных реакторах на тепловых нейтронах……6
Математическая модель управления ядерным реактором на
тепловых нейтронах……………………………………………………9
Существование оптимального управления ядерным реактором на
тепловых нейтронах…………………….…………………………….18
Математическое описание процессов в ядерных реакторах………..29
Математическое описание диффузионных процессов в реакторах
на тепловых нейтронах……………………….……………………….29
Теплоперенос в слабопоглощающих средах…………………….…..37
Метод динамического программирования, применение метода
динамического программирования к исследованию уравнений
процессов, протекающих в реакторе на тепловых нейтронах……..39
Устойчивость кусочно-линейных систем с разделяющим
многообразием……………………………………………………..…51
Исследование устойчивости решений некоторых уравнений,
связанных с реакторами на тепловых нейтронах…………………...59
Исследование некоторых критических размеров ядерного
реактора на тепловых нейтронах……………………………………..70
Точечные уравнения кинетики, исследование одногруппового
кинетического уравнения ядерного реактора для различных
геометрий……………………………………………………………...70
Критические размеры реактора в форме плоской пластины,
параллелепипеда, сферы и цилиндра………………………………...73
Исследование зависимости коэффициента размножения тепловых
нейтронов и лапласиана от шага решетки и радиуса блока
ядерного реактора……………………………………………………..88
Определение геометрических и теплогидравлических
характеристик........................................................................................94
Численные расчеты критических размеров ядерного реактора на
тепловых нейтронах…………………………………………………103
Конечно – разностная форма диффузионных
уравнений…………………………………………………………….103
Метод прогонки………………………………………………………114
Литература……………...………………………………….................119
123