МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.М. Горбунов
ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Учебное пособие
ТОМСК –2010
Теория принятия решений
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция №1. Введение. Основные понятия и определения ТПР
Лекция №2. Многокритериальная оптимизация
Лекция №3. Оптимальность по Парето
Лекция №4. Методы определения весовых коэффициентов
Лекция №5. Методы замены векторного критерия скалярным
Лекция №6. Методы последовательной оптимизации
Лекция №7. Принятие решений в условиях неопределённости. Теория
игр. Теория статистических решений
Лекция №8. Принятие решений в условиях риска
Лекция №9. Принятие решений в условиях риска с проведением
эксперимента
Лекция №10. Марковские модели принятия решений
Лекция №11. Заключительная
Лекция №1
Введение
История — утомительная прогулка от Адама до атома"
Леонард Луис Левинсон,
американский писатель
Говорят, самое сложное –
это сделать правильный выбор.
(Из газет)
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
На протяжении всей истории люди при необходимости принимать
решения прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные
церемонии, приносили в жертву животных, гадали по звёздам и следили за
полётом птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать
примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений.
В настоящее время для принятия решения используют новый и, по-видимому,
более научный "ритуал", основанный на применении ЭВМ [c. 8, Д.
Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1974.
534 с.].
Таким образом, необходимость принятия решений так же стара, как и
само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные
люди, отправляясь, скажем, охотится на мамонта, должны были принимать те
или иные решения: в каком месте устроить засаду? Как расставить охотников?
Чем их вооружить?
Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной
деятельности человека. Например, при создании новой техники – составляют
важный этап в проектировании машин, приборов, устройств, зданий, в
разработке технологии их построения и эксплуатации; в социальной сфере –
используются для организации функционирования и развития социальных
процессов, их координации с хозяйственными и экономическими. В области
инженерной практики и не только возникает потребность в принятии сложных
решений, последствия которых бывают очень велики. В связи с этим
появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые
упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надёжность (в
учебном процессе появляются соответствующие дисциплины, например, ТПР).
Такая тенденция неизбежно требует формализации процесса принятия
решений, против чего у практиков могут возникать определённые возражения.
Дело в том, что важные решения принимаются опытными людьми, довольно
далёкими от математики, и особенно от её новых методов, и опасающимися
больше потерять от формализации, чем выиграть.
Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному
(разумному) принятию решений. Прошло то время, когда правильное,
эффективное решение находилось "на ощупь", методом "проб и ошибок".
Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход – слишком
велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют
достичь цели при минимальных затратах трудовых, материальных и сырьевых
ресурсах. Таким образом, анализу и методам принятия оптимальных решений
(эффективных решений) в настоящее время уделяется большое внимание.
Методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах
классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в
математическом программировании. Решением этих задач является
математический объект, основным свойством которого является то, что он
доставляет экстремум заданной функции или функционалу. Как правило,
оценка решения производится по одному аспекту или критерию. На практике
решение нужно оценить с различных сторон, учитывая физические (габариты,
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
вес), экономические (стоимость, ресурсоёмкость), технические (реализуемые
функции) и другие критерии. Всё это требует построения модели оптимизации
решений одновременно по нескольким критериям. Такие модели
разрабатывают в теории выбора и принятия решений. Здесь при постановке
задачи уже недостаточно построить оптимизируемые функционалы. Требуется
ввести принцип оптимальности, который определяет понятие оптимального
решения. Поскольку оптимальность решения даже в одной и той же ситуации
может пониматься по-разному, вид принципа оптимальности в моделях
принятия решений заранее не фиксируют. Именно в этом состоят основные
особенности задач принятия решений.
Основные характеристики задач оптимизации,
выбора и принятия решений.
Теория выбора и принятия решений исследует математические модели
процессов принятия решений и их свойства. Основной в ней является задача
принятия решений, которая соответствует широкому кругу практических
ситуаций.
В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений
представляет собой совокупность математических и численных методов,
ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества
альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора.
Теория принятия решений – область исследования, вовлекающая
понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и
психологии; изучает закономерности выбора людьми путей решения
разного рода задач, а также исследует способы поиска наиболее выгодных
из возможных решений (из Википедии).
На предприятии освободилась должность главного инженера. Задача директора
- назначить главного инженера.
В 2008 году Ю.П. Похолков (ректор ТПУ) ушел в отставку. Задача –
выбор нового ректора.
Строительному тресту поручено выполнить комплекс работ. Задача
управляющего трестом – распределить работы по строительным управлениям.
Транспортному агентству необходимо перевести заданный объём грузов.
Задача диспетчера – определить маршрут перевозок.
В этих задачах общим является следующее. Имеется множество
вариантов (кандидатов на должность, назначенных работ, маршрутов). Нужно
из этого множества выделить некоторое подмножество, в частном случае –
один вариант. Выделение требуемых вариантов производится на основе
представления директора, управляющего, диспетчера об их качестве.
Представление
о
качестве
вариантов
характеризуют
принципом
оптимальности. Например, при проектировании на основе САПР имеется
возможность получить множество решений различных задач. Выделение
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
некоторого подмножества решений задач относится к проблемам выбора и
принятия решений.
Множество вариантов и принцип оптимальности (функция выбора)
позволяют ввести следующие понятия.
Опр. Задачей принятия решений назовём пару <X, ОП>, где X – множество
вариантов, ОП – принцип оптимальности, дающий представление о качестве
вариантов, в простейшем случае правило предпочтения вариантов;
Решением задачи <X, ОП> является множество Xоп X, полученное с
помощью принципа оптимальности ОП.
Понятие "оптимальность" описывается функцией выбора (ФВ). ФВ – это
правило, которое каждому допустимому набору вариантов (решений) ставит в
соответствие его поднабор наилучших, или оптимальных вариантов, т.е. ФВ
есть формальный (т.е. строго определённый) объект, отражающий весьма
неформальную вещь: представление человека об оптимальности. Поэтому в
ТПР говорят, например: "Принцип оптимальности выражается ФВ,
определяемой близостью к "идеальной" точке"; "Принцип оптимальности
выражается бинарным отношением специального вида"; "Принцип
оптимальности задаётся условием: x лучше y, если x>y, и набору подлежат
варианты с максимальным значением".
Задачи принятия решений различают в зависимости от имеющейся
информации о множестве X и принципе оптимальности ОП.
В общей задаче принятия решений как X, так и ОП могут быть
неизвестными. Информацию, необходимую для выделения Xоп получают в
процессе решения.
Задачу, где X и ОП могут быть неизвестными, называют общей задачей
принятия решений. Данные для получения Xоп определяют в этой задаче в
процессе решения
Задачу с известным X называют задачей выбора.
Задачу с известными X и ОП - общей задачей оптимизации.
Таким образом, задача выбора и задача оптимизации являются частными
случаями общей задачи принятия решений.
Задачу принятия решения решают следующим образом. Составляют
множество X, если это возможно, т.е. определяют варианты, а затем решают
задачу выбора. Отметим, что задача построения X в общем случае является
задачей выбора. Следовательно, общую задачу принятия решений можно
свести к решению последовательных задач выбора. В принятии решения в
общем случае участвует ЭВМ; лицо, принимающее решение (ЛПР); эксперт и
консультант (см. далее стр. 7).
Языки описания выбора
При описании задач выбора видно, как об одном и том же явлении можно
говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось
три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и,
быть может, поэтому чаще употребляемым в приложениях) является
критериальный язык. Второй, более общий язык, на котором описывается
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
выбор, – это язык бинарных отношений. Некоторые особенности выбора
привели к построению третьего, ещё более общего языка его описания. Вопервых, нередко приходиться сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение
между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например,
предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от
наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора,
когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению
к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбор
"типичного", выбора "среднего", выбора "наиболее отличного, оригинального",
теряющие смысл в случае двух альтернатив. Третий язык – язык функций
выбора.
Подведём итог. Язык функций выбора является весьма общим и
потенциально может описать любой выбор. Однако его теория находиться в
начальной стадии развития и пока ещё занимается преимущественно описанием
старых ситуаций в новых терминах.
Summary. The language of choice functions is very general and can potentially
describe any type of choice. However, its theory is only beginning to be developed
and is still occupied with describing old situations in new terms [Перегудов,
Тарасенко].
Элементы множества X называют альтернативами или вариантами.
Принцип оптимальности задаёт понятие лучших альтернатив: лучшими
считают альтернативы, принадлежащие Xоп или Соп(X), где Соп - функция
выбора (если Соп - скалярная функция выбора на множестве X, то получаем
обычную оптимизационную задачу.
Таким образом, "решение" это и есть какой-то выбор из ряда
возможностей, имеющихся у организатора. Решения бывают плохими и
плохими, продуманными и скороспелыми, обоснованными и произвольными.
Опр. Всякий определённый выбор зависящих от нас параметров называется
решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и
неразумными.
Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам
предпочтительные перед другими.
Зам. В САПР встречаются все три вида перечисленных задач. Нужно
построить трассу, соединяющую два элемента на плате. Возможные различные
пути соединения будут вариантами. Пользователь в соответствии с алгоритмом
учитывает длину, стоимость, число изгибов, число пересечений. Значение
длины трассы можно выразить числом. Длину считать критерием
оптимальности (критерий (греческий) – отличительный признак, мерило).
В процессе решения задачи принятия решений участвуют следующие
лица: лицо, принимающее решение; эксперты; консультанты.
Опр. Лицом, принимающим решения (ЛПР), называют человека (или группу
людей), имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска
её решения. ЛПР является компетентным специалистом в своей области и
обладающее опытом деятельности в ней, наделено необходимыми
полномочиями и несёт ответственность за принятое решение. В задаче
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
принятия решений основная функция ЛПР состоит в выделении Xоп. В
рассматриваемых процедурах принятия решений ЛПР даёт информацию о
принципе оптимальности.
Опр. Экспертом (Э) называют специалиста, имеющего информацию о
рассматриваемой задаче, но не несущего непосредственной ответственности за
результат её решения. Эксперт даёт оценки альтернатив, необходимые для
формирования исходного множества альтернатив и решения задачи выбора.
Помощь экспертов неоценима: каждый военачальник имеет штаб;
ректор вуза или директор НИИ – учёный совет; министр – коллегию; в
отдельных случаях образуют разовую группу экспертов для рассмотрения
конкретной ситуации (см. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного
анализа: Учеб. 2 – е изд., доп. – Томск: Изд–во НТЛ. 1997. – 396 с., стр. 263).
Опр. Консультантом (К) называют специалиста по теории выбора и принятия
решений. Консультант разрабатывает модель исходной задачи, процедуру
принятия решения, организует работу ЛПР и экспертов при поиске решения.
Консультанты также называются исследователями, аналитиками, членами
рабочей группы и др.
У ЛПР есть своё понимание оптимальности, то, казалось бы, пусть оно
берёт и осуществляет выбор. Но обычно задачу выбора ЛПР решает в
простейших случаях без использования специальных процедур. Однако для
автоматизированного выбора проектных решений требуются математические
модели и методы, которые помогают ЛПР получать обоснованные
эффективные решения.
Замечание. В инженерной практике в задачу выбора включают большее
количество параметров. Например, некоторые включают семь параметров
Классификация задач выбора
Классификацию проводят по следующим признакам:
1. Вид отображения F детерминированное, вероятностное или неопределённое,
что позволяет выделить соответственно:
задачи ПР в условиях определенности (детерминированные)1;
задачи ПР в условиях риска (вероятностная неопределённость);
задачи ПР в условиях неопределённости.
2. Мощность множества критериев - одноэлементное или состоящее из
нескольких критериев:
задачи ПР со скалярным критерием (однокритериальная задача);
задачи ПР с векторным критерием (многокритериальные задачи).
3. Тип системы - отображает предпочтения одного лица или коллектива,
поэтому
задачи индивидуального ПР;
Уточним задачи ПР в пункте 1. В условиях определённости, существует детерминированное
отображение множества альтернатив (решений) во множество их критериальных оценок. Имеет
место тогда, когда для каждой альтернативы можно указать соответствующее ей точное значение
любого критерия.
1
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
задачи группового ПР. (Ларичев. Диалоговые системы принятия
решений).
Уточним задачи ПР в пункте 1. В условиях определённости, существует
детерминированное отображение множества альтернатив (решений) во
множество их критериальных оценок. Имеет место тогда, когда для каждой
альтернативы можно указать соответствующее ей точное значение любого
критерия.
Человеко-машинные системы и выбор
Основной причиной возникновения системного анализа является
необходимость разрешения сложных проблем, управления сложными
системами. Многие существенные особенности преодоления сложности можно
проследить и на примере конкретного этапа, представляющего собой хотя и
важную, но лишь составную часть управления, этапа выбора (принятия
решения).
Как бы ни понималась сложность, простота понимается одинаково:
простым является случай, когда посторонняя помощь не требуется. В сложных
случаях, особенно если принимающий решение сталкивается со сложностью в
отягчающих условиях дефицита времени или других экстремальных
обстоятельств, ему требуется квалифицированная помощь в оценке возможных
альтернатив. Как было сказано выше – помощь экспертов неоценима. Однако
существуют естественные пределы человеческих способностей при восприятии
и обработке информации. Работу экспертов лимитируют не только
межличностные отношения, но и внутренние психологические и
физиологические причины. Оказывается, человек одновременно может
оперировать лишь с небольшим числом операндов (понятий, идей, моделей,
альтернатив и т.д.) – психологи, говоря о пределе возможностей, иногда
называют это законом "семь плюс – минус два". Кроме того, столкнувшись,
например, с многокритериальной задачей, эксперт часто проявляет
непостоянство, неуверенность нелогичность, стремление к резкому упрощению
задачи. Наконец, в ряде случаев играет роль и низкое быстродействие нервной
и мышечной системы человека.
Во всех этих отношениях возможности ЭВМ превосходят способности
человека, и возникает простая, но очень плодотворная идея создания системы,
которая объединила бы достоинства человека и машины и компенсировала их
недостатки.
Вряд ли возможно, да и не стоит создавать универсальную систему на все
случаи жизни. На практике идут по пути создания человеко-машинных систем,
называемых проблемно-ориентированными. Даже в сравнительно конкретной
сфере принятия решений наблюдается разветвление типов систем по типам
задач выбора. К настоящему моменту существует несколько самостоятельных
направлений этого развития.
Пакеты прикладных программ для выбора
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
К первому относятся программы и пакеты программ для решения
конкретных хорошо определённых задач выбора. Примером может служить
математическое обеспечение ЭВМ для статистической обработки данных (т.е.
выбора в условиях стохастической неопределённости).
Базы знаний и экспертные системы
Второе направление – создание баз знаний и экспертных систем. В
настоящее время это, пожалуй, главный путь движения к "искусственному
интеллекту".
Экспертные системы имеют широкие перспективы: известны их
многочисленные практические реализации в разнообразных предметных
областях. Некоторые важные принципы организации экспертных систем,
учитывающие расплывчатость терминов естественного языка, были заложены
Д.А. Поспеловым ещё в системах ситуационного управления.
Если первое направление ориентировано на полную автоматизацию
хорошо формализованных задач, то второе – на создание систем,
накапливающий опыт экспертов и, по существу, впоследствии заменяющих
самих экспертов. В третьем современном направлении развития человекомашинных систем выбора делается основной акцент на участие самого лица,
принимающего решения, в попытках формализовать задачу выбора, в
самостоятельном сравнении и оценивании с помощью ЭВМ различных
альтернатив разными способами.
Системы поддержки решений
Это третье направление представлено системами "интерактивной оценки
решений" и особенно "системами поддержки решений" (DSS – Decision Support
Systems).
Системы поддержки решений ориентированы не на автоматизацию
функций лица, принимающего решения, а на предоставление ему помощи в
поиске хорошего решения. Конечно, в математическое и программное
обеспечение систем поддержки решений входят и формализованные
процедуры, которые лицо, принимающее решения, может использовать в
любой нужный ему степени.
Некоторые определения и понятия.
Принятие решения представляет собой выбор одного из некоторого
множества рассматриваемых вариантов [Э. Мишук. Методы принятия
технических решений].
Оптимальные варианты в некотором наборе называются выбором
[Многокритериальная оптимизация. Б. Березовский].
Теория принятия решений (ТПР) – это математическая дисциплина,
призванная помогать человеку вырабатывать "разумное" решение в трудных
ситуациях.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Теория принятия решений – область исследования, вовлекающая понятия и
методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии;
изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач, а
также исследует способы поиска наиболее выгодных из возможных решений (из
Википедии).
Тема. Многокритериальные задачи оптимизации
Общие сведения о многокритериальных задачах оптимизации
До сих пор мы рассматривали задачи оптимизации, где ясен критерий
(показатель эффективности) по которому проводится оценка эффективности
проектируемого объекта, т.е. требуется обратить в min (max) один
единственный показатель. К сожалению, такие задачи на практике встречаются
редко. Когда идёт речь о проектировании таких объектов как самолёт,
технологический процесс, то их эффективность, как правило, не может быть
полностью оценена с помощью единственного показателя. Приходится
рассматривать дополнительные критерии (показатели эффективности). Чем
больше критериев качества вводится в рассмотрение, тем более полную
характеристику достоинств и недостатков проектируемого объекта можно
получить. Таким образом, задачи проектирования сложных систем всегда
многокритериальны, так как при выборе наилучшего варианта приходится
учитывать много различных требований, предъявленных к системе (объекту).
Например, при проектировании самолёта учитывают следующие показатели:
скорость, радиус действия, боевой потолок, полезная нагрузка.
Впервые проблема многокритериальной оптимизации возникла у
итальянского экономиста В. Парето при математическом исследовании
товарного объёма. В дальнейшем интерес к проблеме векторной оптимизации
усилился в связи с разработкой и широким использованием вычислительной
техники в работах всё тех же экономистов-математиков. И уже позднее стало
ясно, что многокритериальные задачи возникают не только в экономике, но и в
технике: например, при проектировании технических систем, при оптимальном
проектировании интегральных схем, в военном деле и т.д.
Прежде чем сформулировать задачу векторной оптимизации (ЗВО)
введём и рассмотрим некоторые понятия.
Математическая модель объекта проектирования
При решении задач следует основное внимание обратить на
предварительный этап – составление математической модели (ММ) и на
заключительном этапе – всесторонний анализ полученного оптимального
решения.
Составление математической модели начинается с выбора переменных,
совокупность числовых значений, которых однозначно определяет один из
вариантов процесса. После выбора переменных необходимо по тексту задачи
составить ограничения, которым эти переменные должны удовлетворять. При
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
этом нужно следить, чтобы в модель были включены все ограничения, а в то же
время не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем
требуется условиями задачи, форме.
Наконец, составляется целевая функция (функции), которая в
математической форме отражает критерий (критерии) выбора лучшего
варианта. После составления математической модели необходимо рассмотреть
возможные пути её упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод
для решения задачи.
Опр. 1. Приближённое описание объекта, выраженное с помощью
математической символики, называют математической моделью.
Математические модели могут быть функциональными, если они
отображают физические или информационные процессы, протекающие в
моделируемом объекте, и структурными, если они отображают только
структурные (например, геометрические свойства объектов. Функциональные
модели чаще всего представляют собой системы уравнений, а структурные
модели — это графы, матрицы.
Опр.2. В математической модели объектов проектирования обычно выделяют
свойства систем, элементов систем и внешней среды, в которой должен
действовать объект. Количественные представления этих свойств называют
параметрами, т.е. фигурирующие в математической модели объектов
проектирования величины называют параметрами. Параметр – это величина,
характеризующая свойства или режим его функционирования
Различают выходные параметры как величины, характеризующие
свойства системы, внешние параметры как величины, характеризующие
свойства внешней среды, внутренние параметры как величины,
характеризующие свойства элементов системы.
Опр. 3. Параметры элементов объекта называют внутренними параметрами,
величины. Следовательно, внутренние параметры характеризуют свойства
элементов проектируемого объекта (проектные параметры).
Опр.4. Те внутренние параметры, которые являются независимыми друг от
друга и могут изменяться в некоторых пределах, называются управляемыми
параметрами (независимыми).
Опр.5. Параметры, характеризующие свойства объекта, называют выходными
параметрами.
Опр.6. Параметры, характеризующие свойства внешней по отношению к
рассматриваемому объекту среды, называют внешними параметрами.
Например, для блока электронно-вычислительной аппаратуры (ЭВА)
выходными параметрами будут быстродействие, объём внутренней памяти;
внутренними параметрами могут быть параметры транзисторов, ёмкости
конденсаторов, тепловые характеристики элементов; внешними параметрами
будут радиационное излучение, температура окружающей среды, давление,
влажность, напряжение источников питания и т.п.
Функционирование любой проектируемой технической системы
подчиняется определённым физическим законам. Закон функционирования
технической системы описывается аналитическим выражением между
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
входными, внутренними и выходными переменными системы. Эти переменные
связаны определёнными соотношениями с переменными проектирования X,
под которыми понимаются внутренние переменные, допускающие
варьирование (изменение). В процессе определения наилучших значений
параметров (параметрического синтеза) изменение переменных X ведёт к
изменению выходных параметров Y системы.
Введём обозначения
X=(x1, x2, . . . , xn) – вектор управляемых параметров;
Y=(y1, y2, . . . , ym) – вектор выходных параметров;
Q=(q1, q2, …,ql) – вектор внешних параметров;
т.к. Y есть функция от X и Q, то в явном виде она имеет следующий вид
Y=F(X, Q) – аналитическая модель объекта
(1)
Следовательно, y1=F1(X,Q), y2=F2(X, Q), . . . , ym=Fm(X,Q).
Опр. 7. Если математическое описание проектируемого объекта не содержит
элементов
случайности,
то
математическая
модель
называется
детерминированной.
Опр. 8. Математические модели, в которых учитываются случайные факторы,
называются вероятностными (стохастическими).
Таким образом, выражение "задана математическая модель" означает, что
имеются формулы (или готовые программы (алгоритмы)), позволяющие по
заданному набору (x1, x2, . . . , xn) вычислить любые интересующие нас
характеристики системы (y1, y2, . . . , ym).
Опр. 9. Пространством параметров называется n – мерное пространство,
состоящее из точек с декартовыми координатами (x1, x2, . . . , xn). Обычно X
входит в дифференциальные или другие уравнения, описывающие
функционирование системы.
В общем случае, для того чтобы создать хорошую машину, необходимо
учитывать ограничения – параметрические и функциональные.
Проектировщики могут указать разумные пределы изменения каждого из
внутренних параметров, которые мы будем называть параметрическими
xi* xi xi** ; i = 1, n.
(2)
Кроме параметрических ограничений в условие задачи включают
функциональные ограничения, которые мы будем записывать в следующем
виде
hk(X)=0, k=1,2, . . . , K; ограничения равенства
(3)
gj(X)0, j= 1,2, . . . , J. ограничения неравенства
(4)
Ограничения – зависимости между проектируемыми параметрами, которые
должны учитывать при отыскании решения.
Очевидно, ограничения (2) выделяют в n – мерном пространстве
параметров параллелепипед П. Ограничения (3) и (4) выделяют в
параллелепипеде П некоторое подмножество D. Динамика определение
допустимого множества решений и критериального пространства показана на
рис. 1. Рассмотрен двумерный случай.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
x2
П
x1
Рис 1. а. Область работоспособности,
заданная параметрическими ограничениями
Рис. 1. б. Область работоспособности D
Критериальное пространство YП
Критериальное пространство YD
Опр. 10. Множество D – допустимая область (область работоспособности) – это
множество векторов X, для которых одновременно выполняются условия (2),
(3) и (4).
Отметим, что условия работоспособности важны при проектировании,
т.к. задача проектирования формулируется следующим образом:
Разработать объект, в котором наилучшим образом выполняются
условия работоспособности во всём диапазоне изменения внешних
параметров и при выполнении всех качественных требований
технического задания.
Опр. 11. Множество D называют множеством решений (альтернатив,
вариантов, планов, стратегий).
Определение множества D – одна из первостепенных проблем
оптимального проектирования. Кто поручится, что даже талантливый и
опытный конструктор при малом числе вариантов, не имея этого множества,
сможет найти оптимальное решение? А ведь речь идёт о современных
машинах, приборах и конструкциях, которые тиражируются миллионами штук.
Следовательно, чтобы создать конкурентоспособные машины, необходимо
уметь строить допустимое множество вариантов проекта. В этом множестве
имеется подмножество неулучшаемых или так называемых паретооптимальных решений, т.е. таких, которые нельзя одновременно улучшить по
всем оптимизируемым критериям качества не ухудшив при этом значения хотя
бы одного из этих критериев. Очевидно, вариант проекта, по которому будет
изготавливаться серийная машина, обязательно должен быть паретооптимальным.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Отметим также, что если система ограничений несовместима, то область
допустимых решений является пустой. Одной из причин получения пустого
множества D завышенные требования заказчика к проектируемому объекту. В
этом случае нужно потребовать от заказчика "уступок" при назначении
технических заданий и ограничений.
Замечание. Некоторые авторы разделяют ограничения на выходные параметры,
т.е. рассматривают ограничения на выходные параметры, не входящие в
критерий оптимальности (функциональные ограничения) и ограничения на
выходные параметры, вошедшие в критерий оптимальности. Разница между
критериальными и функциональными ограничениями состоит в том, что
функциональные ограничения – ограничения нормативного вида, и нарушать
которые чаще всего нельзя (например, допустимые напряжения в элементах
конструкции, ток или напряжение в сети, ширина колеи подвижного состава и
т.п.), а ограничения критериальные не являются жесткими, они зависят от
физического смысла критерия, конъюнктурных и других соображений.
Пример ограничений в других областях. Утилизация автомобилей.
"Ограничений только три: нужно, чтобы автомобиль был в собственности не
менее года, кроме того, не удастся спихнуть битые или аварийные авто. И
последнее – субсидию можно потратить только на новую машину,
выпущенную в России". [Статья "Кто снимет сливки", АН, №192, четверг 21
января 2010 года]
В многокритериальных задачах оптимизации (МЗО) сравнение решений
осуществляется при помощи задания на множестве управляемых параметров
функций y1=F1(X), y2=F2(X), . . . , ym=Fm(X), называемых критериями.
Показатель качества принято называть критерием оптимальности.
Опр. 12. Критерием называется характеристика системы (объекта) заданная
функцией f(X), которая связана с её качеством монотонной зависимостью и
обладает тем свойством, что если альтернатива X1 предпочтительнее
альтернативы X2, то f(X1)<f(X2) и обратно.
Стремление оперирующей стороны к достижению цели описывается
стремлением к увеличению (уменьшению) функций F1(X), F2(X), . . . , Fm(X),
называемых критериями эффективности.
Встречаются также названия: показатели качества, эффективности,
критериальные функции, функции предпочтения, функция полезности, целевые
функции, частные критерии или локальные критерии.
Если оптимизация ведётся без учёта статистического разброса
характеристик, то соответствующий критерий оптимальности называют
детерминированным критерием, если разброс параметров учитывается, то
имеем критерий статистический. Статистические критерии оптимальности
более полно отражают представление о качестве объектов проектирования,
однако их использование, как правило, при автоматизированном
проектировании ведёт к значительному увеличению затрат машинного времени
[Корячко В.П. и др. Теоретические основы САПР: Учебник для вузов/В.П.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Корячко, В.М. Курейчик, И.П. Норенков. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.:
ил.].
Постановка задачи многокритериальной оптимизации
Предполагается, что m2, при m=1 задача оптимизации является
однокритериальной (скалярной).
Опр. 13. Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых
функций (критериев), получили название многокритериальных задач
оптимизации.
Критерии Fi(X), i=1,2, . . . , m, образуют векторный критерий F(X)=(F 1, F2,
. . . , Fm). Поэтому в литературе также используют термин "векторная
оптимизация".
Пусть X1D, тогда
F1(X1) – локальная оценка решения X1 по 1 – му критерию или критерию F1;
F2(X1) – локальная оценка решения X1 по 2 – му критерию или критерию F2;
.
.
.
Fm(X1) – локальная оценка решения X1 по m – му критерию или критерию Fm;
F(X1)=(F1(X1), F2(X1), Fm(X1)) – векторная оценка для решения X1.
Для пояснения сущности задач используют геометрическую
интерпретацию, связанную с введением n – мерного пространства En
пространства параметров проектирования (управляемых параметров) и m –
мерного пространства Em выходных параметров. Каждой точке пространства En
и Em соответствуют векторы X и Y значений переменных проектирования и
выходных параметров соответствующего проектируемого объекта.
Следовательно, допустимой области D (образ) можно поставить в
соответствие некоторое множество оценок. Это множество будем обозначать
YD и его будем называть критериальным пространством или областью
критериев (областью оценок), т.е. YD=F(D) – прообраз множества D.
Сформулируем задачу многокритериальной оптимизации. Она имеет вид:
min F(X)
min F(X)
*
xi xi xi** ; i = 1, n.
XD
или
hk(X)=0, k=1,2, . . . , K;
(5)
gj(X) 0, j= 1,2, . . . , J.
Задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована
следующим образом, например:
в
квадрате
D={-1x1
1,
-1x2
1}
заданы
два
критерия
2
2
2
2
F1 ( x1 , x2 ) 4 x1 x2 , F2 ( x1 , x2 ) = (x 1 1) (x 2 1) ,
которые
желательно
минимизировать.
Замечание. Символ minF(X) понимается как набор символов minFi(X), i=1,2, . . .
, m. Будем предполагать, что все критерии нужно минимизировать, т.к. всегда
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
можно перейти от maxFi(X) к min[-Fi(X)], i=1,2, . . . , m, т.е. сменой знака перед
частным критерием.
Спрашивается,
можно
ли
найти
решение,
одновременно
удовлетворяющее всем этим требованиям? Со всей откровенностью
ответим: нет. Решение, обращающее в минимум один какой-то показатель,
как правило, не обращает ни в минимум, ни в максимум другие. Поэтому часто
применяемая формулировка: "достичь максимального эффекта при
минимальных затратах" представляет собой не более чем фразу и при
научном анализе должна быть отброшена [стр. 44; Е.С. Вентцель.
Исследование операций: задачи, принципы, методология. – 2-е изд., стер. – М.:
Гл. ред. физ. мат. лит., 1988. – 208 с.].
Теоретически можно представить себе случай, когда на множестве D
окажется одна альтернатива (решение), в которой все m критериев принимают
наименьшие значения; она и является наилучшей. Однако на практике такие
случаи почти не встречаются, и возникает вопрос, как же тогда осуществлять
выбор. Как правило, критерии противоречивы, т.е. уменьшение одного
критерия ведёт к увеличению других критериев.
Пример. При проектировании транзисторного элемента ЭВМ
необходимо рассматривать одновременно несколько частных критериев
оптимальности. Задача векторной оптимизации для данного примера имеет
следующий вид:
maxF1(X); maxF2(X); maxF3(X); minF4(X); minF5(X);
XD
XD
XD
XD
XD
где D – область работоспособности; F1(X) – нагрузочная способность; F2(X),
F3(X) – помехоустойчивость; F4(X) – рассеиваемая мощность, F5(X) – среднее
время задержки сигнала.
Замечание. Векторная задача (выражение (4)) представляет собой ММ
проектируемого объекта (технической системы), т.е. критерий эффективности,
независимые переменные, ограничения образуют ММ рассматриваемой
системы (объекта).
Процесс решения задачи (5), как правило, состоит из двух этапов:
1. Находят множество решений оптимальных по Парето PD;
2. Из множества P выбирают вектор Xopt ( x1opt , x2opt , . . . , x nopt ) , являющийся
наиболее предпочтительным из всех векторов множества P и которому
соответствует набор технических характеристик объекта Fi(Xopt), i=1,2, . . .
, m.
Замечание. Дадим другую форму записи постановки задачи векторной
оптимизации:
Xopt=arg minF(X)
XD
Таким образом, в результате решения задачи (4) мы получим вектор
оптимальных параметров объекта Xopt ( x1opt , x2opt , . . . , x nopt ) и набор технических
характеристик объекта Fi(Xopt), i=1,2, . . . , m.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
§2. Проблемы решения задач
многокритериальной оптимизации
На предыдущей лекции мы сформулировали задачу многокритериальной
оптимизации (ЗМО):
min F(X) или min (F1(X), F2(X), . . . , Fm(X))
XD
XD
где Fi(X), i=1,2, . . . , m, частные критерии, D – область работоспособности.
Заметим, что к выходным параметрам относят не только физические параметры
(масса, скорость, задержка сигнала), но и стоимость, надёжность. Говорят, что
мы построили математическую модель многокритериальной задачи
оптимизации. Но эту задачу нужно ещё и решить, т.е. найти оптимальное
решение. Главная особенность многокритериальных задач оптимизации
заключается в том, что частные критерии противоречивы, т.е. улучшение
одного приводит к ухудшению другого (других) критериев. Такие критерии
(выходные параметры) ещё называют конфликтными.
При разработке методов решения МЗО приходится решать
специфические проблемы. Рассмотрим эти проблемы подробнее.
Несравнимость решений. Основная сложность логического анализа
многокритериальных задач состоит в том, что в них, в отличие от "обычных"
(однокритериальных) задач появляется эффект несравнимости вариантов
(решений). Рассмотрим пример. Множество D состоит из 4 возможных
решений X1, X2, X3, X4. Каждому решению соответствуют определённые
значения показателей (критериев) F1 и F2 (критерии минимизируются). Пусть
имеются следующие векторные оценки: F(X1)=(2;4), F(X2)=(3;5), F(X3)=(5;2),
F(X4)=(2;1). Вариант X1 лучше варианта X2. Вариант X1 лучше по первому
критерию, но хуже по второму (варианты X1 и X3 несравнимы между собой).
Вариант X1 хуже варианта X4. Вариант X4 лучше по первому критерию вариант
X3, но хуже по второму (варианты X3 и X4 несравнимы между собой). В
результате решения мы получили два недоминируемых (неулучшаемых)
решения X3 и X4. Несравнимость решений является формой неопределённости,
которая, в отличие от неопределённости, вызванной воздействием среды,
связана со стремлением лица принимающего решение "достичь
противоречивых целей" и может быть названа ценностной неопределённостью.
Выбор между несравнимыми решениями является сложной концептуальной
проблемой и составляет основное содержание многокритериальной
оптимизации [В.В. Розен. Математические модели принятия решений в
экономике].
Нормализация критериев. Так как частные критерии имеют различный
физический смысл, т.е. измеряются в различных единицах; масштабы их не
соизмеримы, поэтому невозможно сравнение качества полученных результатов
по каждому критерию.
Операция приведения масштабов локальных критериев к единому,
обычно безразмерному, носит название нормализации критериев.
После нормализации частных критериев векторные критерии
приобретают некоторые полезные свойства. Главное из них – любая
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
перестановка частных критериев приводит к векторной оценке, которая входит
во множество векторных оценок (значений исходной векторной оценки). С
помощью нормализации частных критериев стоятся пошаговые математические
алгоритмы сужения исходного множества D до единственного решения.
Нормализация частных критериев используется, например, при построении
аддитивного критерия оптимальности.
Выбор принципа оптимальности, т.е. требуется определить правило,
которое позволило бы сказать какое решение лучше. Выбор принципа
оптимальности – основная проблема векторной оптимизации. Формально
описать принцип оптимальности (критерии "правильности решения") –
оказывается затруднительным.
1. Во-первых, объекты, рассматриваемые теорией принятия решений
настолько разнообразны, что установить единые принципы
оптимальности для всех классов задач не представляется возможным.
2. Во-вторых, цели участников процессов принятия решений – различны и
часто противоположны.
3. В-третьих, критерии правильности решения зависят не только от
характера задачи, её цели и т.п., но и от того, насколько
беспристрастно они выбраны, в противном случае будет подготовка
под ответ.
4. В-четвёртых, трудности выбора решения могут скрываться и в самой
постановке задачи, если требуется достижение нереальных
результатов. Например,
получение максимальной прибыли при
минимальном риске; строительство в минимальные сроки при
максимальном качестве; минимальный ущерб противнику в военных
действиях при минимальных собственных потерях.
В целом, все принимаемые в ТПР принципы оптимальности прямо
или косвенно отражают идеи устойчивости, выгодности и справедливости.
Учёт приоритета критериев. Обычно из физического смысла задачи
следует, что локальные критерии имеют различную важность при решении
задачи, т.е. один локальный критерий имеет какой-то приоритет над другим
локальным критерием. Это следует учитывать при выборе принципа
оптимальности и определении области возможных решений, отдавая
предпочтение более важным критериям.
Вычисление оптимума ЗВО. Сейчас достигнуты определённые успехи в
области решения задач математического программирования (МП). Так по
одним данным, методов однокритериальной оптимизации и их модификаций
более 500 (пятисот), по другим - их количество перевалило за несколько тысяч!
Но их, как правило, нельзя один к одному применять к решению. ЗМО, т.к.
известны
примеры,
когда
вычислительные
алгоритмы
становятся
непригодными для решения задач математического программирования в
результате небольших изменений и добавлений к первоначальной задаче,
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
поэтому встаёт проблема – вычисление оптимума построенной задачи
векторной оптимизации.
Замечание. Оценивая в целом все рассмотренные и перечисленные методы
векторной оптимизации, можно заметить, что все они, так или иначе, сводят
векторный критерий к скалярному (однокритериальному) критерию или к
сужению множества D с последующим выбором одного решения лицом,
принимающим решение (ЛПР).
Развитие методов решения задач векторной оптимизации идёт по трём
направлениям (хотя некоторые авторы называют больше):
1. Замена векторного критерия скалярным критерием, т.е. переход к однокритериальной задаче
оптимизации;
2. Последовательное решение конечного множества однокритериальных задач;
3. Сужение множества D с последующим непосредственным выбором оптимального решения (см. рис
3.).
Методы решения
многокритериальных задач
Методы построения
обобщённых критериев оптимальности
Методы последовательной оптимизации
Методы сужения
области D
Рис. 3. Методы решения задач векторной оптимизации
Подведём
итоги.
Все
задачи
многокритериальны по своему существу.
проектирования,
управления
Построение допустимого множества – основной этап в постановке и
решения
задач
оптимального
проектирования
и
управления.
Многокритериальная задача оптимизации вместе с множеством возможных
(допустимых) решений D включает набор частных критериев оптимальности
F1(X), F2(X), . . . , Fm(X). Набор частных критериев оптимальности образует
вектор-функцию (векторный критерий), которую будем обозначать через
F(X)=(F1(X), F2(X), . . . , Fm(X)).
Каждому решению XD соответствует векторная оценка F(X)=(F1(X),
F2(X), . . . , Fm(X)). С другой стороны, каждой оценке F(X)=(F1(X), F2(X), . . . ,
Fm(X)) YD=F(D) могут соответствовать несколько решений из D. Таким
образом, между множествами D и YD имеется связь, и поэтому выбор решения
из D равносилен выбору соответствующей оценки из YD. В дальнейшем наряду
с множеством допустимых решений D будем рассматривать множество YD –
критериальное пространство (область критериев, пространство оценок).
Главная особенность многокритериальной задачи оптимизации
заключается в том, что частные критерии противоречивы, т.е. улучшение
одного приводит к ухудшению другого (других) критериев. Для общей задачи
многокритериальной оптимизации не существует единственного решения.
Решение зависит от выбора принципа оптимальности, т.е. её частные
постановки, имеющие единственное решение, приводят к разным результатам.
Поэтому ЛПР на основе использования оптимизационных методов, должно с
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
наибольшим вниманием относиться, прежде всего, к постановке задачи, к тому,
в какой степени именно такая постановка соответствует стоящей перед ним
проблеме.
Предыдущая Главная Следующая
Следующая
В.М. Горбунов
Начало
Оптимальность по Парето
Введение
В науке и технике достаточно актуальны задачи многокритериальной
оптимизации [1,2,3], требующие одновременной оптимизации сразу по
нескольким
функциям
(критериям).
Краеугольным
понятием
в
многокритериальной
оптимизации
является
–
Парето-оптимальная
(недоминируемая) альтернатива, т.к. поиск приемлемой ("оптимальной")
альтернативы, являющейся решением многокритериальной задачи, следует
выполнять на множестве недоминируемых альтернатив. Именно поэтому так
актуальны методы, позволяющие выделять подмножества Парето-оптимальных
альтернатив из множества возможных альтернатив.
Для облегчения результатов полезно всё время проводить аналогию с
однокритериальным (классическим) случаем. Пусть имеется область D и задана
функция f(X) – целевая функция (критерий). Задача оптимизации имеет вид
min f(X)
XD
Точка X1D называется оптимальной (недоминируемой, неулучшаемой),
если не существует точки X2D, для которой f(X1)>f(X2) (целевая функция
минимизируется). Аналогично в МЗО можно исключить из области D точки,
которые заведомо не могут оказаться наилучшими.
Очевидно, что в обобщённом смысле определение оптимальности можно
трактовать как описание (выделение) в подмножестве D некоторого нового
подмножества D0, т.е. некоторое сужение D до D0 D. В зависимости от
характера описания, подмножество D0 может оказаться пустым, состоять из
одного элемента, содержать более одного элемента. Описание D0 можно
проводить либо только с помощью критериев Fi, либо использовать
дополнительные условия. Здесь мы рассмотрим направление, которое связано с
определением оптимальности по Парето2.
Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность
Как было сказано раньше для всякого решения XD набор его оценок по
всем критериям, т.е. набор (F1(X), F2(X), . . .,Fm(X)), есть векторная оценка
решения X. Векторная оценка X содержит полную информацию о ценности
(полезности) этого решения для ЛПР и сравнение любых двух решений
заменяется сравнение их векторных оценок. Пусть в МЗО требуется получить
меньшие значения каждого частного критерия (минимизировать частные
критерии) Fi(X).
Опр. Пусть имеются два решения X1 и X2. Говорят, что решение X1 лучше
(предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X2, если Fi(X1)<=Fi(X2)
Наименование указанного понятия связано с именем итальянского экономиста Вильфредо Парето [1848 1923(24)].
2
Теория принятия решений
для всех i=1,m, и хотя бы для одного j - го критерия выполняется строгое
неравенство Fi(X1)<Fi(X2) или
Опр. Решение X2 называется доминируемым, если существует решение X1, не
хуже чем X2, т.е. для любой оптимизируемой функции Fi, I=1, 2, …, m,
Fi(X2)Fi(X1) при максимизации функции Fi,
Fi(X2)Fi(X1) при минимизации Fi.
В случае доминирования при переходе от X2 к X1 ничего не будет
проиграно ни по одному из частных критериев, но в отношении j – го частного
критерия точно будет получен выигрыш. Говорят, что решение X1 лучше
(предпочтительнее) решения X2.
Опр. Стратегия X1D называется эффективной (оптимальной по Парето), если
не существует стратегии X2D такой, что Fi(X2)Fi(X1), i=1, . . ., m,
F(X2)F(X1), или
Опр. Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно
называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето.
Очевидно, тогда в составе множества D нет смысла сохранять решение
X2, оно вытесняется (или, как говорят, “доминируется”) решением X1. Ладно,
выбросим, решение X2 как неконкурентоспособное и перейдём к сравнению
других решений по всем критериям. В результате такой процедуры
отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество D
обычно сильно уменьшается: в нём сохраняются только так называемые
эффективные (иначе “паретовские”) решения, характерные тем, что ни для
одного из них не существует доминирующего решения. Множество таких
точек и называется множеством точек оптимальных по Парето. Множество
точек оптимальных по Парето лежат между точками оптимумов,
полученных при решении задачи математического программирования для
каждого частного критерия. В литературе множество точек оптимальных
по Парето, как правило, обозначают буквой P (PD).
Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству эффективных
точек, называют областью компромиссов (переговорным множеством) или
множеством Парето в области критериев. Будем обозначать YP (YP YD).
Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству
неэффективных точек (доминируемых решений), называют областью согласия
Yc.
В области Yc нет противоречия между частными критериями
оптимальности, т.к. каждая точка XD может быть изменена таким образом,
что будет одновременно улучшены все частные критерии.
Если область критериев YD состоит только из области согласия Yc, то
существует единственная точка XoptD, в которой все частные критерии
согласованны между собой в том смысле, что при движении к точке Xopt все
Fi(X) i=1, 2, . . ., m, одновременно улучшаются. Все частные критерии
достигают минимума в т. Xopt
(см. рис. 1). Такую точку называют оптимальным решение и при этом значения
всех частных критериев достигают в ней минимума.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
F1, F2
F1
F1opt
F2
F2opt
D
Xopt
x
Рис. 1. Критерии F1 и F2 непротиворечивы
Однако такая ситуация встречается крайне редко. Наиболее типичным
является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и
минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае
уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных
критериев (рис. 2).
Рис. 2. Критерии F1 и F2 противоречивы на отрезке [1; 2]
Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать
значение одного критерия, не ухудшая при этом хотя бы одного из
остальных.
Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере
задачи с двумя критериями F1 и F2 (оба требуется максимизировать).
Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению
соответствуют определённые значения показателей F1 и F2. Пусть имеются
следующие векторные оценки: F(X1)=(2;4), F(X2)=(3;5), F(X3)=(3;3), F(X4)=(5;2),
F(X5)=(4;3), F(X6)=(1;3), F(X7)=(2;3), F(X8)=(3;2), F(X9)=(2;2), F(X10)=(3;1),
F(X11)=(2;1). Векторные оценки исходов представим точками координатной
плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F 1, а по оси ординат
– значения критерия F2). Используем принцип оптимальности по Парето для
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
выделения эффективных решений. Решение X1 вытесняется решением X2,
решение X2 лучше решений X3, X7, X8, X9, X10 и X11. Решение X4 по первому
критерию лучше решения X5, а по второму наоборот, т.е. имеем неулучшаемые
решения, и т.д. После проведённого анализа у нас остались три решения X2,X4,
X5 оптимальных по Парето.
Построим критериальное пространство для нашей задачи. Как известно
паре чисел соответствует точка на плоскости. Занумеруем точки
соответственно номеру решения (рис. 3). Из рисунка видно, что эффективные
точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд.
решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).
F2
5
2
1
6
7
max
3
5
1
min
9
8
11
10
1
4
5
F1
Рис. 3. Множество Yk
Когда из множества возможных решений выделены эффективные,
“переговоры” могут вестись уже в пределах этого "эффективного" множества.
На рис 3. образуют три решения X2, X4, X5; из них X4 лучше по критерию F1, а
решение X2 по критерию F2. Дело ЛПР, выбрать тот вариант, который для него
предпочтителен и “приемлем” по обоим критериям.
Замечание. Точка Y1 выбирается в YD в том и только в том случае, когда любая
другая точка Y2 из YD имеет хотя бы по одной координате значение больше чем
Y1 (критерии минимизируются).
Замечание. Для определения эффективных точек используют правило “уголка”.
Уголок вида ∟ используется для определения компромиссных точек в
критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок
┐когда критерии минимизируются.
В случае, когда множество допустимых исходов является непрерывным,
их векторные оценки "заполняют" некоторую область YD на плоскости и
получается "картинка" вроде изображённой на рис.4. В этом случае множество
Парето-оптимальных оценок (красная линия) представляет собой часть
границы YD, образно говоря, её "юго-западную" границу". Если критерии
максимизируются то – "северо-восточную" границу области YD.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Рис. 4. Пространство оценок YD
и компромиссная кривая (красный цвет)
Замечание. В случае невыпуклой области её Парето-оптимальная граница
может иметь более "экзотический" вид, например, состоять из отдельных линий
и/или точек. Для данного примера (критерии максимизируются) — это правый
пик.
Замечание. Экономисты так определяют оптимальность по Парето. Состояние
называется оптимальным по Парето, если выполняется следующее условие:
ничьё благосостояние не может быть улучшено без ухудшения
благосостояния кого-либо другого (см. История экономических учений. /Под
ред. В. Автономова: Учеб. Пособие. – М.: ИНФА – М, 2000. – 784 с. (стр. 242)).
Таким образом, под оптимально-компромиссным решением будем
понимать одну из эффективных точек, являющуюся предпочтительней с точки
зрения ЛПР. Задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить
на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот
вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев,
которая имеется у ЛПР.
Аналитические методы построения множества
Парето
Компромиссная кривая
Особый интерес для практики — m=2. В этом случае множество
паретовских точек представляет собой одномерное многообразие на плоскости
и допускает удобное графическое представление.
Опр. Множество паретовских точек в двухмерном пространстве
критериев называют компромиссной кривой.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Она может состоять из несвязных кусков и содержать изолированные
точки (см. рис. 5). Компромиссная кривая (КК) строго монотонно убывает в
следующем смысле. Пусть Y1 и Y2 произвольные точки, принадлежащие КК.
Обозначим их координаты Y1(y1,y2) и Y2(y3,y4), если y1<y3, то y2>y4. Таким
образом, КК не содержит ни горизонтальных, ни вертикальных отрезков и её
уравнение может быть представлено в форме F2=u(F1) и F1=v(F2).
Рис. 5. Примеры КК (компромиссная кривая выделена красным цветом)
Расчёт компромиссных кривых.
Аналитический подход. Если функции F1(X) и F2(X) дифференцируемы, то
можно попытаться найти геометрическое место точек соприкосновения
поверхностей уровня F1(X)=b1 и F2(X)=b2. В таких точках gradF1=-gradF2, 0
.
Последнее
векторное
уравнение
равносильно
n
скалярным
алгебраическим уравнениям
F1
F
2 ,. j = 1, n, которые определяет кривую в
x j
x j
пространстве параметров x1=1(), ..., xn=n(). Если участок этой кривой, на
котором 0 принадлежит множеству D, то он принадлежит и множеству P (P множество Парето). Участок КК в этом случае определяется параметрическими
уравнениями:
F1=F1(1(), ..., n()),
F2=F1(1(), ..., n()), 0.
Пример 1. В квадрате D={-1 x1 1, -1 x2 1} заданы два критерия
F1 ( x1 , x2 ) 4 x12 x22 , F2 (x 1 , x 2 ) = (x 1 1) 2 (x 2 1) 2 ,
которые
желательно
минимизировать.
1. Находим минимумы функций F1 и F2 . Абсолютные минимумы находятся в
точках (0,0) и (-1,1) и принадлежат D.
2. Находим частные производные
F1
F2
F2
F1
8x1 ;
2( x1 1);
2( x2 1);
2x2 , составляем систему уравнений
x1
x1
x2
x2
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
4x1=- (x1+1)
x2=- (x2-1).
Отсюда получаем
параметрическое
параметров x1
; x2
4
1
уравнение
кривой
в
пространстве
В данном случае можно получить уравнение этой кривой в более
распространённой форме: y=f(x). Для этого решаем эти уравнения относительно
параметра . Получим
4 x1
,
x1 1
4 x2
.
x2 1
Приравнивая правые части и разрешая относительно x2, получим уравнение
4x
паретовской кривой P: x2 1 .
3x1 1.
Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид
F1()= 4
,
4
1
2
2
2
2
F2()=
1
1 .
4 1
Закономерность КК: F1 возрастает от 0 до 5, а F2 убывает от 2 до 0.
Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев
(рис. 6 и 7).
x2
Множество P
1
F2
Область D
X2opt
КК
-1
1
-1
Рис. 6. Область D и множество P
x1
X1opt
1
1
3
1
F1
Рис. 7. Компромиссная кривая
Пример 2. В области D1={-0.5 x1 0.5, 0 x2 1} заданы два критерия
F1 x12 4x22 , F2 = (x1 1) 2 (x 2 1) 2 , которые нужно минимизировать с учетом
функциональных ограничений x2-x1-0.375 0.125.
а) рассмотрим сначала случай без функциональных ограничений
1. Находим минимумы функций F1 и F2. Абсолютные минимумы находятся в
точках X1opt=(0,0) и X2opt=(-1,1) и первая точка принадлежат D, а вторая нет.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Находим условный минимум для функции F2: X2услов=(-0.5, 1); находим
значения функций в этой точке F2(-0.5,1)=0.25, F1(-0.5,1)=4.25.
2. Находим частные производные
F1
F2
F2
F1
2x1 ;
2( x1 1);
2( x2 1);
8x2 , составляем систему уравнений
x1
x1
x2
x2
2x1=-2 (x1+1),
8x2=-2 (x2-1).
Отсюда получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве
параметров x2
4
; x1
1
В данном случае можно получить уравнение этой кривой в более
распространённой форме: y=f(x). Для этого решаем эти уравнения относительно
параметра . Получим
4 x1
,
x1 1
4 x2
.
x2 1
Приравнивая правые части и разрешая относительно x2, получим
x
уравнение паретовской кривой P: x2 1 . Найдём точку пересечения кривой
3x1 4.
x
x2 1 с x1=-0.5. Получим Xп=(–0.5; 0.2). Это соответствует случаю, когда
3x1 4.
λ меняется от 0 до 1 (0≤λ≤1). Для удобства введём новые обозначения: P1 –
паретовская кривая в области D1 и КК1 – соответствующая компромиссная
кривая в области критериев.
Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид (когда точки
X1opt=(0,0) и X2opt=(-1,1) принадлежат области D)
F1()=
4
,
1
4
2
F2()=
2
2
2
1
4
.
1
4
Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев
(рис. 8 и 9).
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
X2усл
Xп
X1opt
Рис. 8.
Область D1 и множество P1
Рис. 9. Компромиссная кривая КК1
Рис. 10. Пространство оценок и компромиссная кривая
Таким образом, паретовская кривая P1 будет состоять из двух кусков: от
X1opt Xп и от XП до X2усл. Как видно из рисунка 8 на отрезке [-0.5,0] P и P1
совпадают.
Компромиссная кривая КК1 также состоит из двух частей. Левая часть от
0 до 0.41, которая совпадает с компромиссной кривой КК и правая часть,
которая соответствует второй части кривой P1.
Закономерность КК: F1 возрастает от 0 до 4.25, а F2 убывает от 2 до 0.
б) введём функциональные ограничения. Область D1 в этом случае будет иметь
вид (см. рис. 11). Находим условный минимум для функции F1 и F2 . Они лежат
в точках X1opt=(0,0) и X2opt=(-0.5, 1). Как видно из полученных результатов
точки минимумов не изменились.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Рис. 11. Область D1
Рис. 12. Пространство оценок
Рис. 13. Область D (синий цвет) и множество Парето (тёмно-синий цвет)
Из рассмотренного примера видно, что нахождение множества P в
аналитическом виде является сложной задачей. Поэтому в настоящее время
широко используются численные методы построения решений оптимальных по
Парето (см. раздел "Численные методы получения множеств Парето").
Способы сужения Парето-оптимального множества
Выделение множества Парето многокритериальной задачи оптимизации
часто не является удовлетворительным решением. Это связано с тем, что при
достаточно большом исходном множестве вариантов множество Парето
оказывается недопустимо большим для того, чтобы ЛПР было бы в состоянии
осуществить выбор самостоятельно. Таким образом, выделение множества
Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и
налицо проблема дальнейшего сокращения этого множества.
Для выбора одной оптимальной стратегии из множества эффективных
решений в каждой конкретной многокритериальной задаче необходимо
использовать дополнительную информацию о цели операции, т.е. ту
информацию, которая при задании векторного критерия осталась
неформализованной и потому неиспользованной.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Наиболее логичным и последовательным представляется путь построения
бинарного отношения предпочтения, более сильного, чем отношение Парето,
позволяющего сузить множество выбираемых вариантов до приемлемых с
точки зрения ЛПР размеров. Разумеется, для этого потребуется некоторая
дополнительная информация, которую придётся получить от ЛПР. Это может
быть информация о критериях, о самих сравниваемых вариантах и т.п. Задача,
стоящая перед создателями методов, заключается в том, чтобы с помощью этой
информации обосновать свои действия по сужению выбора и гарантировать
ЛПР от того, чтобы ни один из вариантов, представляющих для него интерес,
не был потерян в процессе оптимизации.
Необходимо отметить, что необоснованность сужения множества Парето
является существенным недостатком многих методов многокритериальной
оптимизации. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты
/Б.А Березовский, Ю.М. Барышников и др. - М.: Наука, 1989. - 128 с.
Таким образом, общая методика исследования задач принятия решения на
основе математического моделирования для МЗО может быть реализована в
рамках одного из следующих подходов.
Первый подход. Для заданной многокритериальной задачи оптимизации
находится множество её Парето-оптимальных решений, а выбор конкретного
оптимального варианта из множества Парето-оптимальных предоставляется
ЛПР.
Второй подход. Как уже было сказано выше, производится сужение
множества Парето-оптимальных исходов (в идеале – до одного элемента) с
помощью
некоторых
формализованных
процедур,
что
облегчает
окончательный исход для ЛПР. Отметим, что такое сужение может быть
произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или
свойствах оптимального решения.
Рассмотрим некоторые простейшие способы сужения Паретооптимального множества, акцентируя при этом внимание на необходимость
дополнительной информации. Считаем, что задана многокритериальная задача
оптимизации.
Указание верхних границ критериев. Дополнительная информация об
оптимальном исходе XoptD в этом случае имеет вид
()
Fi ( X opt ) Ci , i 1, m.
Число Ci рассматривается здесь как верхняя граница по i – му критерию.
Отметим, что указание верхних границ по критериям не может быть
"извлечено" из математической модели задачи принятия решения; набор
ограничений (C1, C2, , Cm) представляет собой дополнительную информацию,
полученную от ЛПР.
Задача. Выбор места работы
Предположим, что Вам предстоит выбрать место работы из девяти
вариантов, представленных в табл.1. В качестве основных критериев взяты:
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
зарплата З, длительность отпуска Д, время поездки на работу В. Из смысла
задачи следует, что критерии З и Д следует максимизировать, а критерий В –
минимизировать. Какой вариант является оптимальным?
Таблица 1
Варианты
Зарплата,
(руб.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
900
500
700
800
400
600
900
600
650
Критерий
Длительность
отпуска,
(дни)
20
30
36
40
60
30
35
24
35
Время поездки,
(мин)
60
20
40
50
15
10
60
10
40
Решение. Выделим вначале Парето-оптимальные варианты. Отбрасывая
доминируемые по Парето варианты {1, 2, 8, 9}, получаем Парето-оптимальное
множество {3, 4, 5, 6, 7}. При отсутствии информации об относительной
важности рассматриваемых критериев, а также о каких-либо дополнительных
свойствах оптимального решения дальнейшее сужение Парето-оптимального
множества произвести нельзя. Тогда формальный анализ заканчивается
указанием Парето-оптимального множества, и окончательный выбор
оптимального варианта производится ЛПР из этих пяти вариантов на основе
каких-то дополнительных соображений.
Рассмотрим теперь второй подход, который приводит к сужению Паретооптимального множества на основе дополнительной информации, получаемой
от ЛПР.
а) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие
ограничения на оптимальное решение:
зарплата — не менее 600 рублей;
длительность отпуска — не менее 30 дней;
время поездки — не более 40 минут.
Варианты, удовлетворяющие этим дополнительным ограничения: {3, 6,
9}; из них оптимальными по Парето являются варианты 3 и 6. Остаётся сделать
окончательный выбор между вариантами 3 и 6.
б) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного (главного,
важнейшего) критерия выступает критерий зарплата; ограничения
длительность отпуска — не менее 30 дней, время поездки — не более 40 минут.
Отбросим варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям;
остаются варианты: {2, 3, 5, 6, 9}. Из них максимальную зарплату имеет
вариант 3. Этот вариант и будет оптимальным.
в) Лексикографическая оптимизация.
Упорядочим критерии по
относительной важности. Например, следующим образом: З В Д (т.е.
важнейший критерий — зарплата, следующий за ним по важности время
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
поездки, наименее важный критерий длительность отпуска). Максимальное
значение по критерию З имеют варианты 1 и 7. Далее сравниваем эти варианты
по второму по важности критерию В. Так как время поездки для этих вариантов
одинакова, переходим к третьему критерию Д; по критерию длительность
отпуска лучшим является вариант 7, который и является здесь оптимальным.
Задание. Проверьте, что при упорядочении В Д З оптимальным
является вариант 6, а при упорядочении Д З В – оптимальным
становится вариант 5.
Методы ЭЛЕКТРА [1]
Группа методов (ЭЛЕКТРА 1, ЭЛЕКТРА 2, ЭЛЕКТРА 3) предложена
профессором Б. Руа (Франция). В этих методах бинарное отношение
предпочтения (более сильное, чем отношение Парето) строятся следующим
образом.
Для каждого из m критериев (предполагаются, что критерии числовые)
определяется вес – число, характеризующее важность соответствующего
критерия. Для того чтобы определить, превосходит ли вариант X1 вариант X2,
производятся следующие действия.
Множество критериев разбивается на три подмножества:
критерии, по которым X1 превосходит X2;
критерии, по которым X1 и X2 имеют одинаковые оценки;
критерии, по которым X2 превосходит X1.
Далее определяется относительная важность
каждого из этих
подмножеств. Устанавливается некоторый порог c и считается, что вариант X1
превосходит X2 только в том случае, когда некоторая функция (называемая
индексом согласия) удовлетворяет условию
f(
)≥c
(1)
Условие (1) является необходимым, но не достаточным условием
превосходства X1 над X2. В некоторых методах ЭЛЕКТРА формулируется
дополнительные условия, которые предназначены учитывать не только порядок
следования оценок X1 над X2 по критериям, но и значения их разностей.
Проведём анализ описанного метода.
На первом этапе (во всех модификациях ЭЛЕКТРА) определяются веса
критериев – положительные действительные числа, которые тем больше, чем
важнее соответствующий критерий). Такой подход имеет существенный
недостаток – неоднозначность определения весовых коэффициентов.
Существую ситуации, когда ЛПР сообщает информацию о критериях
качественного типа. Например, при назначении весов критериям, по которым
следует выбрать автомобиль: цена (критерий 1), важнее комфортности
(критерий 2), а та, в свою очередь, важнее, чем скоростные качества (критерий
3) и внешний вид автомобиля (критерий 4). Кроме того, критерии 3 и 4 имеют
одинаковую важность, а, рассматриваемые совместно, имею большую
важность, чем критерий
1 (цена).
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
p1> p2>p3= p4, p3+ p4> p1.
Один из вариантов назначения весовых коэффициентов: p1=5; p2=4;
p3=p4=3.
Множество критериев разбивается на три подмножества;
Далее определяется относительная важность
, как сумма весов,
входящих в них критериев.
В качестве условия (1) предлагается (ЭЛЕКТРА 1) взять выражение
Зам. Если мы выбрали нормированные весовые коэффициенты, то λi=pi и
Рассмотрим пример. Пусть у нас имеются два решения X1 и X2, которые
оцениваются по 5 критериям (F1, F2, F3, F4, F5):
F(X1)=(5,3,2,7,2); F(X2)=(4,2,3,5,1).
Определяем весовые коэффициенты:
Литература
1. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты
/Б.А Березовский, Ю.М. Барышников и др. – М.: Наука, 1989. – 128 с.
2. В.В. Розен. Математические модели принятия решений в экономике.
Учебное пособие.– М.: Книжный дом "Университет", Высшая школа, 2002.–
288 с., ил.
Численные методы получения множеств Парето
Часто используют следующий подход. Во множестве D выбирается
некоторая сетка, например, координаты которой определяются с помощью
датчика случайных чисел, распределённых по равномерному закону. Потом
вычисляют значения векторного критерия F в точках этой сетки, после чего за
конечное число сравнений, используя функцию выбора по Парето, строится
множество Парето на указанной сетке, являющееся при большом N
приближением множества Парето относительно D (N - число точек сетки).
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Рис.11. Левый рисунок – область D и P (красная линия), правый рисунок – область
векторных оценок YD и КК (красная линия)
Литература
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения
многокритериальных задач. – М.: "Наука", 1982. – 254 с.
2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со
многими критериями. – М.: Наука, 1982. – 110 с.
3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде.
Количественный подход. – М.: Физматлит, 2002. – 176 с.
4. Сушков Ю.А. Метод, алгоритм и программа случайного поиска // -- Л.:
ВНИИТрансМаш, 1969. – 43 с.
5. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска //
Исследование операций и статистическое моделирование. – Л. ЛГУ. 1972.
Вып.1. – С.180-185.
6. Deb K. Multi-objective Genetic Algorithms: Problem Difficulties and Construction
of Test Problems. // Evolutionary Computation – vol.7, 1999. – pp. 205-230.
7. Deb K. Evolutionary Algorithm for Multi-Criterion Optimization in Engineering
Design // Proceedings of Evolutionary Algorithms in Engineering and Computer
Science (EUROGEN-99) – pp. 135-161.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
8. Zitzler E., Thiele L. Multiobjective optimization using evolutionary algorithms – A
comparative case study. // Parallel Problem Solving from Nature -- Springer, Berlin,
Germany. – pp. 292-301.
9. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации и принятия решений. -- СПб.: Лань,
2001. – 384 с.
10. Сушков Ю.А. Многокритериальность в многорежимных системах. //
Архитектура и программное оснащение цифровых систем. – М.: МГУ, 1984. –
С . 71-77.
11. Курячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР.
-- М.: Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.
12. Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Статистическое исследование случайного
поиска //Математические модели. Теория и приложения. – СПб.: СПбГУ. 2002.
– C. 87-101.
Предыдущая Главная Следующая
В.М. Горбунов
Тема. Методы определения весовых коэффициентов
Введение. Можно сказать, что веса критериев – самое тонкое место в
проблеме критериального анализа. Чаще всего веса назначают, исходя из
интуитивного представления о сравнительной важности критериев. Однако
исследования показывают, что человек (эксперт) не способен непосредственно
назначать критериям корректные численные веса. Необходимы специальные
процедуры получения весов.
В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает
необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых
в
аддитивный,
мультипликативный
или
минимаксный
критерии
оптимальности, метод последовательных уступок, для сужения множества
Парето. Оценивают важность частных критериев Fi(X) с помощью
коэффициентов i:
f(X)= ifi(X) – аддитивный критерий;
m
f(X)= fi ( X ) – мультипликативный критерий;
i
i 1
ifi(X)=K, – равенство частных критериев,
где fi(X)= Fi(X)/ Fi0(X), Fi0(X) – нормирующий множитель.
Для рассматриваемых методов многокритериальной оптимизации
существенным является исходное упорядочивание критериев. Иногда их
порядок очевиден ("кошелёк или жизнь") или общепризнан (как порядок букв в
алфавите), но бывает, что этот вопрос не тривиален, а привлекаемые для его
решения эксперты дают несовпадающие упорядочения критериев. Выход
состоит в том, чтобы установить, какое из предложенных экспертами
упорядочений является "средним", “типичным” для данной группы. Это опятьтаки можно делать по-разному. Среди специалистов пользуется признанием
упорядочение, называемое медианой Кемени.
Весовые коэффициенты должны качественно отражать важность
соответствующих частных критериев. Значения i выбираются исходя из
анализа мирового уровня развития данной отрасли, из требований к
проектируемому объекту и из существующих возможностей реализации этих
требований. Открытие новых физических принципов и разработка новых
методов проектирования могут существенно влиять на значения весовых
коэффициентов. Величина i определяет важность i го критерия
оптимальности и задает в количественном измерении предпочтение i го
критерия над другими критериями оптимальности. Весовые коэффициенты i
должны удовлетворять условию
m
i 1 . В связи с этим возникает вопрос: "Как
i 1
выбирать численные значения весовых коэффициентов i?". Получить ответ на
этот вопрос, в какойто степени можно, если имеется дополнительная
информация о важности частных критериев оптимальности.
Теория принятия решений
§1. Экспертные оценки
Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать
интеллект людей, их способность искать и находить решение слабо
формализованных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов
проведения экспертизы. Наиболее эффективными оказались методы
ранжирования и приписывания баллов.
§1.1. Метод ранжирования
Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза
проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными
специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования
основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии
проектируемого объекта в порядке их важности. Цифрой 1 обозначают
наиболее важный частный критерий, цифрой 2 - следующий по важности
частный критерий и т.д. Эти ранги преобразовываются таким образом, что ранг
1 - получает оценку m, ранг 2 - оценку m-1 и т.д. до ранга m, которому
присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки rik - где i - i - й эксперт,
k - k - й критерий. Тогда результаты опроса экспертов можно свести в таблицу
Эксперты
1
2
.
.
.
L
оценок
Критерии
F1
r11
r21
.
.
.
rL1
r1
F2
r12
r22
.
.
.
rL2
r2
...
...
.
.
.
...
...
Fm
r1m
r2m
.
.
.
rLm
rm
L
r r , i=1,2, …,m.
i
ji
j 1
В (L+1) - строке стоят суммы оценок, полученных критериями от экспертов.
Тогда весовые коэффициенты определяются следующим образом
i
ri
m
r
i 1
- (i=1,2, . . . , m) - формула для вычисления весовых коэффициентов i
i
по методу ранжирования.
Рассмотрим пример. Пусть имеются группа из трёх экспертов и два
критерия F1 и F2. Эксперты их расставили в следующем порядке.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Места
Эксперты
1
F1
F2
F1
1
2
3
2
F2
F1
F2
Определим элементы матрицы согласно алгоритму (первому месту – два балла,
а второму - один балл): r11=2, r12=1, r21=1, r32=1.
Критерии
Эксперты
F1
2
1
2
1
2
3
Сумма
m
r =5+4=9;
i 1
i
F2
1
2
1
r2=4
r1=5
1=r1/9=5/9; 2=r2/9=4/9.
Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го.
§1.2. Метод приписывания баллов
Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного
критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными
величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы
нескольким критериям. Обозначим через hik - балл i - го эксперта для kкритерия, тогда
rik
hik
m
h
,
где
m
h
ik
-
сумма i - ой строки.
k 1
ik
k 1
rik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда,
учитывая, что
ri
L
r
ji
j 1
, получим i
ri
m
r
i
i 1
Пример. Пусть имеются два критерия F1 и F2. Эксперты поставили им
следующие баллы.
F1
F2
1 9
6
h11=9, h12=6;
1=15
2 10
6
h21=10, h22=6;
2=16
3 10
5
h31=10, h32=5;
3=15
Построим матрицу оценок
Эксперты
В.М. Горбунов
критерии
F1
F2
Теория принятия решений
1
h11=9
h21=10
h31=10
2
3
h12=6
h22=6
h32=5
Находим сумму значений каждой строки
Эксперты
1
2
3
критерии
F1
9
10
10
Сумма
F2
6
6
5
15
16
15
Вычислим веса rik
r11=h11/15=9/15, r12=h12/15=6/15, r21=h21/16=10/15, r22=h22/16=6/16,
r31=h31/15=10/15, r32=h32/15=5/15.
Построим матрицу весов и найдём сумму значений каждого столбца
Эксперты
1
2
3
Сумма
критерии
F1
9/15
10/16
10/15
r1=1.892
F2
6/15
6/16
5/15
r2=1.108
ri=1.892+1.108=3.
Вычисляем весовые коэффициенты
1=1.892/3=0.631, 2=1.108/3=0.369.
Таким образом, 1>2 и 1 – й критерий важнее 2 – го критерия.
Выше подразумевалось, что эксперты имеют равную компетентность.
Однако если компетентность экспертов различна и может быть оценена
некоторым числом, то полученные формулы нуждаются в уточнении. Пусть
компетентность j - го эксперта оценивается положительной величиной j (вес
L
эксперта). Будем считать эти величины нормированными ( j 1 ).
j 1
Тогда для метода ранжирования ri будем рассчитывать по формулам
L
ri rji j . Аналогично получаем для метода приписывания баллов
j 1
L
ri rji j .
j 1
Замечание. Иногда значения j выбирают из интервала (0 1).
§1.3. Обработка результатов экспертных оценок
Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как
реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
математической статистики. Среднее значение оценки для i - го критерия
L
r
ji
ri
j 1
L
1 L
r
rji i .
L j 1
L
Среднее значение ri выражает коллективное мнение группы экспертов.
Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной
i2
1 L
( rji ri ) 2 ,
L j 1
называемой дисперсией оценок. Ясно, что чем меньше
значение дисперсии, чем с большей уверенностью можно опираться на
найденные значения ri оценки степени важности частного критерия Fi(X). В
качестве меры надёжности приведённой экспертизы принимают
i
ri
и
называют вариацией. По среднему значению оценки ri определяются весовые
коэффициенты
i
ri
m
r
i 1
, i 1, m.
i
Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна
статистической обработке результатов измерений. На достоверность
экспертизы существенно влияют такие факторы, как численный состав
экспертной группы, уровень компетентности экспертов; состав вопросов,
представляемых экспертам и т.д.
Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать
случайности: настроение, самочувствие, обстановка, а также знание и опыт.
§2. Формальные методы определения весовых коэффициентов
Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по
информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять
значения весовых коэффициентов λi.
Способ 1. Для каждого частного критерия оптимальности Fi(X)>0,
i 1,2,...,m вычисляется коэффициент относительного разброса по формуле:
Fi Fi
i
1
Fi
где
Fi
Fi
,
Fi min Fi ( X ), Fi max Fi ( X ) , который определяет максимально
X D
X D
возможное отклонение по i -му частному критерию. Весовые коэффициенты λi
получают наибольшее значение для тех критериев, относительный разброс
которых в области оценок наиболее значителен
i i
(i 1,...,m) .
m
k
k 1
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Пример 1. В качестве примера рассмотрим конкретную числовую задачу
в следующей постановке:
min F1 x min 4( x 2) 2 5,
xD
xD
min F2 x min ( x 4) 2 1,
xD
xD
D 0 x 5.
При этом имеем следующие значения промежуточных вычислений:
41 5 36
17 1 16
F1 41, F1 5 , 1
, F2 17, F2 1 , 2
.
17
17
41
41
Тогда весовые коэффициенты будут иметь следующие значения:
1
36 36 16
1
0,48 ,
1 2 41 41 17
2
16 36 16
2
0,52 ,
1 2 17 41 17
т.к. λ2>λ1, то локальный критерий F2 важнее локального критерия F1.
Способ 2.
коэффициенты
Пусть
все
Fi 0, i1,2,..., s ,
i ( X )
Fi ( X ) Fi
Fi
тогда
рассматриваются
,
которые характеризуют отклонение частного критерия оптимальности от его
наименьшего значения.
Предположим, что важность i -го критерия оптимальности зависит от
выполнения неравенства
i (x) i .
(1)
Здесь величины i задаются ЛПР из условия, что чем важнее критерий,
тем меньше выбирается значение i .
Пусть Ri* - наибольший радиус шара, построенного около точки
минимума
X i* - i -го критерия оптимальности, внутри которого точки
X d ( X i* Ri* ) (шар радиуса Ri* с центром в X i* ) удовлетворяют условию (1).
n
Fi ( X ) Fi
*
* 2
Тогда Ri max ( x k x k ) , при условии i ( x )
i .
F
X D
k 1
i
*
Теперь очевидно, что чем больше радиус шара Ri , в котором
относительное отклонение i -го критерия от его минимального значения не
превосходит i , тем меньше надо выбирать значение весового коэффициента λi:
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
1
i
Ri*
s
i 1,...,m .
1
*
i 1 Ri
Пример 2. Рассмотрим задачу из примера 1 и положим, что ЛПР задал
1 0,4 , 2 0,6 . Тогда будем иметь
4( x 2) 2 5 5
R max ( x 2)
0,4 при ( x 2) 2 0,5 ,
0 x5
5
( x 4) 2 1 1
0,6 при ( x 4) 2 0,6 .
R2* max ( x 4) 2
0 x5
1
R1* 0,5
6
5
1 0,55 2 0,45 ,
Откуда
11
11
R2* 0,6
т.к. λ1>λ2, то локальный критерий F1 важнее локального критерия F2.
*
1
Предыдущая Главная Следующая
В.М. Горбунов
2
Методы замены векторного критерия скалярным
Одним из подходов к поиску компромиссного решения задач векторной
оптимизации является сведение её к задаче параметрической оптимизации, т.е.
сведение её к однокритериальной (скалярной) оптимизации. Иначе говоря,
частные критерии Fi(X), тем или иным способом объединяются в составной
(обобщенный, интегральный) критерий f(X)=Ф[F1(X), F2(X), . . . , Fm(X)],
который затем оптимизируется. Под построением обобщённого критерия в
МЗО понимается процедура, которая "синтезирует" набор оценок по заданным
частным критериям, в единую численную оценку, выражающую итоговую
полезность этого набора оценок для ЛПР. Формально обобщённый критерий
для МЗО, представляет собой функцию Ф: Y1 Y2 Ym E , где Yj –
множество оценок по j – критерию. Если обобщённый критерий Ф построен, то
для каждого допустимого исхода XD может быть найдена численная оценка
его полезности (ценности, эффективности): f(X)= Ф[F1(X), F2(X), . . . , Fm(X)].
Таким
образом,
задание
обобщённого
критерия
сводит
задачу
многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации с
целевой функцией f(X). Наиболее распространённым обобщённым критерием
является "взвешенная сумма частных критериев", которая превращает
векторную оценку в скалярную оценку.
Метод взвешенных сумм
(Метод линейной свертки)
Идея этого метода заключается в том, что обобщённый критерий
записывается в следующем виде:
m
f ( X ) i Fi ( X ),
(1)
i 1
который называют аддитивным критерием. Здесь i0 являются весовыми
коэффициентами, которые задают предпочтение i - го критерия по сравнению с
другими критериями. Величина i определяет важность i - го частного
критерия. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а
общая важность всех критериев принимается равной 1, т.е.
m
i
1. То, что
i 1
решение можно получить, используя аддитивность векторного критерия,
высказал Парето. Он также ввёл понятие весовых коэффициентов. Таким
образом, мы получили однокритериальную задачу математического
программирования
min f ( X ) min
m
F (X ) .
i 1
XD
i
XD
i
Теория принятия решений
Замечание. Как правило, частные критерии имеют различную размерность.
Поэтому при образовании обобщённого критерия нужно работать не с
натуральными критериями, а с их нормированными значениями.
Нормированный критерий представляет собой отношение “натурального”
частного критерия к некоторой нормирующей величине. При этом выбор
нормирующего делителя должен быть обоснован. Возможно несколько
подходов к выбору нормирующего делителя:
в
качестве нормирующего делителя берут директивные значения
параметров, заданные заказчиком, т.е. предполагают, что в ТЗ на
проектируемый объект заданы оптимальные значения параметров:
в качестве нормирующих делителей берут максимальные значения
критериев, достигаемых в области существования проектных решений
(область D);
берут лучшие мировые достижения в данной области;
в качестве нормирующего берут разность между max и min значениями
критерия в области D
fi ( X )
Fi max Fi ( X )
Fi ( X ) Fi min
f
(
X
)
или
.
i
Fi max Fi min
Fi max Fi min
Нормированные критерии будем обозначать через fi(X), т.е. аддитивный
m
критерий примет вид f ( X ) i f i ( X ).
(2)
i 1
Какой определён принцип оптимальности?
Поскольку в области компромисса увеличение (уменьшение) одного
критерия может достигаться лишь ценой уменьшения (увеличения) другого
(или других) критериев, то справедливым является тот компромисс, при
котором абсолютный уровень снижения одного не превосходит суммарного
уровня увеличения других критериев.
Пусть имеется два решения X1 и X2. Тогда в соответствии с изложенным
принципом следует вычислить сумму абсолютных изменений всех частных
критериев, обусловленных этим переходом (переход от X1 к X2)
m
m
m
i 1
i 1
i 1
f i ( f i ( X 2 ) . f i ( X 1 )) i f i ( X 2 ) i f i ( X 1 )..
В случае f<0 решение X2 признаётся лучшим, чем X1, если f>0, то лучше X1.
Тогда оптимальным решением будет такое, для которого f0 при переходе от
него к любому другому решению, т.е.
m
m
i 1
i 1
i f i ( X ) i f i ( X opt ), где Xopt – точка min, X любая точка из D.
Таким образом, принцип справедливой абсолютной уступки
(компенсации) приводит к утверждению, что оптимальное решение означает
минимизацию суммы нормированных частных критериев.
Иногда условия работоспособности позволяют выделить две группы
выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения
которых в процессе оптимизации нужно увеличить Fi ( X ) (производительность,
вероятность безотказной работы), во вторую – выходные параметры, значения
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
которых нужно уменьшить Fi ( X ) (расход топлива, длительность переходного
процесса).
Тогда
аддитивный
критерий
(2)
примет
вид
m1
f ( X ) i f i ( X ) i 1
m2
f
i 1
i
i
( X ) , где m1+m2=m. Обобщённый критерий f(X) –
максимизируется.
Замечание. Если решается задача выпуклого программирования, то полученное
решение (с использованием аддитивного критерия) является оптимальным по
Парето, т.е. оптимальное решение, полученное с использованием метода
линейной свёртки, лежит в области эффективных решений. Доказать данное
утверждение самостоятельно.
Решение, полученное с использованием аддитивного критерия
оптимальности — это точка, которая в наибольшей мере удалена от начала
координат (при максимизации критериев).
Рассмотрим пример. Пример взят из книги [В.П. Корячко, В.М. Курейчик,
И.П. Норенков. Теоретические основы САПР]. Переносной автомат для
забивания стальных дюбелей в бетонные стены состоит из корпуса с
магазином, содержащим запас дюбелей; подающего-спускового механизма с
зарядами и ствола. Требуется определить основные конструктивные параметры
автомата – длину ствола L и число дюбелей –N при следующих исходных
данных:
число дюбелей , N12;
масса одного дюбеля с зарядом равна m=50 г;
масса ствола 1.6 кг/м;
масса корпуса 2 кг.
При фиксированной величине заряда и заданной массе дюбеля скорость V
выбрасывания связана с длиной ствола L соотношением
V=k L ; где
k=150
м 0.5
. Минимально допустимая скорость Vmin=100 м/cек. Масса автомата
c
не должна превышать 6 кг. Частными критериями являются скорость
выбрасывания и число дюбелей, помещающихся в магазине. Выбор этих
критериев объясняется тем, что чем выше V, тем надёжнее дюбеля проникают в
бетонные стены любой марки, а чем больше N, тем удобнее работать. По
мнению экспертов оба критерия V и N имеют одинаковую важность.
Введём обозначения: F1(N,L)= k L - первый критерий (скорость);
F2(N,L)=N – второй критерий (число дюбелей).
Сформулируем задачу многокритериальной оптимизации:
maxF=max(F1, F2)
при следующих ограничениях
N12;
V100;
1.6L+ 0.05N+26.
Построим область D (см. рис.1) и критериальное пространство и
определим компромиссную кривую (КК) (см. рис.2).
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
L
Lmax=17/8
Область D
Lmin=4/9
Nmin=12
Nmax=66
N
Рис.1. Область D
Для определения оптимальных значений параметров будем использовать
m
аддитивный критерий f ( X ) i f i ( X ). Так как критерии имеют одинаковую
i 1
V
Vmax=218
КК
Критериальное
пространство
Vmin=100
Nmin=12
Nmax=66
N
Рис.2. Критериальное пространство и КК
важность, то весовые коэффициенты можно взять равными единице. В качестве
нормирующих делителей возьмём максимальные значения критериев,
достигаемых в области существования проектных решений (область D). Для
определения нормирующих делителей будем использовать уравнение баланса
(массу автомата). Найдем Nmax из условия, что Vmin=100 м/cек. Определяем
2
длину
ствола,
соответствующую
минимальной
скорости
V
L= min и
k
подставляем в уравнение баланса. Получим, что Nmax=66. Аналогично находим,
т.е. берём N=12 и подставляем в уравнение баланса. Получим Vmax=219 м/cек.
Таким образом, мы получили следующую задачу оптимизации:
найти максимум функции f ( L, N )
В.М. Горбунов
k L
N
Vmax
N max
Теория принятия решений
при ограничении 1.6L+ 0.05N+26.
Так как наша функция f(L,N) монотонно возрастающая, то максимум
достигается на границе. Поэтому ограничение неравенство мы можем заменить
на ограничение равенство. Окончательно имеем
k L N
найти максимум функции f ( L, N )
219 66
при ограничении 1.6L+0.05N+2=6.
Для определения максимального значения f(L,N) с учётом ограничения
равенства мы будем использовать метод неопределённых множителей
Лагранжа. Получим следующую задачу безусловной оптимизации:
найти максимум функции ( L, N , )
k L
N
(1.6 L 0.05 N 4).
Vmax
N max
Находим частные производные по L, N, и приравниваем их к нулю.
Получим систему уравнений:
k
1
1.6 0,
L Vmax 2 L
1
0.05 0,
N N max
1.6 L 0.05 N 4 0.
Решая
эту
систему,
получим
следующие
2
значения:
1
,
0.05 N max
0.05 * N max * k
или =-4/13=0.308, Nopt=64,
Vopt
Lopt
2
*
1
.
6
*
V
max
Lopt=0.499 м, Vopt=106 м/cек.
Аддитивный критерий имеет ряд недостатков:
Он выступает как формальный математический приём, придающий
задаче удобный для решения вид;
В аддитивном критерии может происходить взаимная компенсация
частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из
них вплоть до нуля может быть покрыто возрастанием другого критерия.
Для ослабления этого недостатка следует вводить ограничения на
минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.
Более того, оказывается, что сумма оценок основана на следующем
неявном постулате: "низкая оценка по одному критерию может быть
компенсирована высокой оценкой по другому". Однако, этот постулат
верен отнюдь не всегда. Например, пусть качество оператора ввода
текстов оценивается двумя критериями: 1) скорость ввода (символов в
минуту) и 2) среднее количество ошибок на страницу текста. Очевидно,
что ухудшение качества ввода (увеличение количества ошибок) не может
быть компенсировано увеличением скорости ввода. Можно даже сказать,
что в области оценки персонала такая ситуация типична. Скажем,
k2
,
2Vmax 1.6
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
недостаток компетентности не может быть компенсирован повышенным
уровнем активности. Скорее наоборот! Вспомним шутливое изречение:
"Кто может быть хуже дурака? Дурак с инициативой!"
Замечание. Хотя аддитивный критерий подвергается сильной критике, но
существуют задачи, где критерий качества должен удовлетворять
аддитивности. Например, в динамическом программировании эффект от
управления процессом F складывается из элементарных эффектов fk,
полученных на отдельных шагах процесса: F=fk.
Мультипликативный критерий преобразуется в аддитивный путём
логарифмирования целевой функции, то получим эквивалентный аддитивный
критерий,
который
обращается
в
максимум
одновременно
с
мультипликативным критерием. Таким образом, несмотря на слабые стороны,
обобщённый аддитивный критерий позволят в ряде случаев успешно решать
многокритериальные задачи и получать полезные результаты.
Мультипликативный критерий
Аддитивный критерий основан на использования принципа справедливой
компенсации значений нормированных частных критериев. Но в ряде задач
проектирования более целесообразным является оперирование не с
абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.
Принцип справедливой относительной компенсации формулируется
следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс, когда
суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких
критерий не превышает суммарного уровня относительного увеличения других
критериев.
В математической формулировке условие оптимальности на основе
принципа справедливой относительной компенсации имеет вид
m
i 1
Fi ( X )
0,
Fi ( X )
(3)
где ΔFi(X) – приращение величины i – го критерия, Fi(X) – первоначальная
величина i – го критерия.
Полагая Fi Fi (X ) , можно представить (3) как дифференциал
натурального логарифма
m
Fi ( X )
d
(ln
F
(
X
))
d
ln
Fi ( X ) 0,
i
i 1 Fi ( X )
i 1
m
(4)
Из выражения (4) следует, что принцип относительной компенсации
приводит к мультипликативному обобщённому критерию оптимальности
m
F ( X ) Fi ( X ).
(5)
i 1
Мультипликативный критерий образуется путём простого перемножения
частных критериев в том случае, когда они имеют одинаковую важность. В
случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты i
и мультипликативный критерий примет вид
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
m
F ( X ) Fi i ( X ).
(6)
i 1
Мультипликативный критерий иногда представляется в виде отношения
произведений частных критериев (выходных параметров)
m1
F(X )
F
F
j
i
i 1
m2
(X )
, m1+m2=m;
(7)
(X )
j 1
где в числителе перемножаются все выходные параметры, требующие
максимизации и имеющие ограничения Fi ( X ) TTi , а в знаменателе – все
выходные параметры, требующие минимизации и имеющие ограничения
Fi ( X ) TTi . , где TTi – значение технического требования, предъявленного к i–
му критерию. Целевая функция (7) в дальнейшем подвергается максимизации.
Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его
использовании не требуется нормирование частных критериев. Недостатки
критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного
критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать
уровни частных критериев за счёт неравнозначных первоначальных значений
частных критериев.
Примеры 1. Производственная функция, отражающая овеществлённый
технический прогресс (модель Р. Солоу):
Yt ALt K t1 ,
где Yt – выпуск продукции; L – численность рабочих; K – объём основных
производственных фондов. Здесь величины и 1- следует рассматривать как
весовые коэффициенты.
Пример 2. Обнаружение сигналов в "белом" шуме. На вход RC – фильтра с
импульсной характеристикой
аддитивная смесь:
h( ) e поступает
прямоугольный импульс s(t) плюс "белый" шум n(t). Требуется найти такое
значение , чтобы отношение сигнал/шум было максимальным, т.е. мы желаем,
чтобы значение сигнала было максимальным, а уровень шума – минимальным
( – полоса пропускания RC – фильтра).
1.531
2
s(t)
ng
A
1.712
T
Рис.3. Сигнал s(t)
В.М. Горбунов
t
0
2
0
0
100
200
g
Рис 4.Шум n(t)
300
299
Теория принятия решений
2.531
4
62.152
100
2
xpg
zm
50
0
1.712
2
0.987
0
100
0
200
g
300
299
Рис. 5.Сигнал плюс шум
0
0
0
100
200
m
250
Рис.6. Отфильтрованный сигнал
n(t)
sˆ(t) nˆ(t)
s(t)
h()
Рис. 7.Система обнаружения сигнала
F1()=A(1-e-T) max (уровень сигнала на выходе фильтра),
F2()=
N
min (уровень шума на выходе фильтра).
2
где A,N,T - константы; F1 и F2 - имеют одинаковую размерность. Найти
оптимальную полосу пропускания , если справедлив принцип относительной
компенсации частных критериев. Согласно формуле (7) мультипликативный
критерий будем иметь вид:
A(1 e T )
F ( )
max .
N
2
Пример. Применим мультипликативный критерий оптимальности для
определения оптимальных параметров для автомата. Мы получили следующую
задачу оптимизации:
найти максимум функции f ( L, N ) k L * N
при ограничении 1.6L+ 0.05N+2≤6.
Для определения максимального значения f(L,N) с учётом ограничения
равенства мы будем использовать метод неопределённых множителей
Лагранжа. Получим следующую задачу безусловной оптимизации:
найти максимум функции ( L, N , ) k L * N (1.6 L 0.05 N 4).
Находим частные производные по L, N, и приравниваем их к нулю.
Получим систему уравнений:
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
k * N
1.6 0,
L 2 L
k L 0.05 0,
N
1.6 L 0.05 N 4 0.
Решая эту систему, получим следующие значения: Nopt=53, Lopt=0.83 м,
Vopt=137 м/cек.
Использование мультипликативного критерия в задаче оптимизации
привело другим значениям параметров автомата по сравнению с решением
задачи с аддитивным критерием оптимальности. Это объясняется тем, что
диапазоны взаимной компенсации абсолютных и относительных изменений
частных критериев неодинаковы. Поэтому в каждом конкретном случае
технического проектирования следует тщательно анализировать и
обосновывать целесообразность учёта либо абсолютных, либо относительных
изменений значений частных критериев и в зависимости от степени важности
этих отклонений выбирать либо аддитивный, либо мультипликативный
критерий оптимальности.
Заключение. Преимущества и недостатки формальных обобщённых критериев.
Преимущества – возможность учёта в качестве fi(X) любых выходных
параметров системы, а также надёжность и стоимость.
Основные недостатки – возможность компенсации ухудшения целевой
функции из-за ухудшения одного параметра за счёт улучшения какого-либо
другого выходного параметра.
Метод "идеальной" точки
Метод "идеальной" точки. Рассматривается m-мерное пространство (где
m число локальных критериев), в котором априори выбирается вектор,
отображающий "идеальное" решение (или, что тоже самое, "идеальная" точка,
координатами которой являются "идеальные" значения (например,
минимальные или максимальные значения) локальных критериев). В этом
пространстве вводится некоторая метрика, с целью вычисления расстояния
между вектором, отображающим рассматриваемое решения, и "идеальным". В
качестве наилучшего выбирается такое решение, векторная оценка которого
наиболее близка к "идеальной" точке. Недостатками метода являются произвол
при выборе идеальной точки и введение метрики.
Определим обобщенный критерий следующим образом. Положим
ai=maxFi(X); i 1, m , т.е. ai является максимально (минимально) возможным
значением по i – му критерию. Положим a=(a1, a2, . . ., am). Точка a называется
идеальной. Смысл названия связан с тем, что такие точки оптимальны сразу по
всем критериям – получить большее (меньшее) значение ни по одному
критерию невозможно. Как правило, точка aYD. Зададим для всех точек YYD
функцию, являющуюся евклидовым расстоянием между точками Y и a
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
1
m
2
( y , a ) ( a i y i ) 2 .
i 1
За целевую функцию (обобщённый критерий) берут выражение
m
f ( X ) i ai Fi ( X ) ,
2
i 1
где i – весовые коэффициенты.
Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом
m
min i ai Fi ( X )2
i 1
XD
С учётом нормировки
a F (X )
min i i 0i
Fi
i 1
XD
m
2
(8)
Замечание. Здесь принцип оптимальности выражается функцией выбора
определяемой близостью к идеальной точке.
Замечание. В качестве идеальной точки берут директивные значения
параметров, заданные заказчиком, т.е. в ТЗ (техническом задании).
Какие задачи оптимального проектирования приводят к использованию
метода идеальной точки?
Например, когда все или основные условия работоспособности имеют
вид равенств, т.е. Fi(X)=TTi, где TTi – значение технического требования,
предъявленные к i - критерию. Тогда целевая функция имеет вид:
2
F (X) TTi
f (X) i i
min .
0
F
i 1
i
m
Пример. Пусть имеются частные критерии F1(X)=-3x1+2x2; F2(X)=4x1+3x2;
F3(X)=2x1-5x2, которые требуется максимизировать. Область D задаётся
неравенствами –x1-3x2+180; -2x1-x2+100; x10; x20. Линейная функция F1(X)
достигает максимального значения a1=12 в точке X1=(0, 6); F2(X) максимальное значение a2=24 в точке X2=(3, 4); F3(X) - максимальное значение
a3=10 в точке X3 =(5, 0). По методу идеальной точки составим функцию
f(X)=[12-(-3x1+2x2)]2+[24-(4x1+3x2)]2+[10-(2x1-5x2)]2. После преобразований
получим f(x1, x2)= 29 x12 38x22 8x1 x2 160 x1 92 x2 820 .
Таким образом, задача оптимизации будет такая
min f(x1, x2)
g1(X)= –x1-3x2+180
g2(X)= -2x1-x2+100
g3(X)=x1≥0; g4(X)=x2≥0
Построим область D.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Рис. 8. Область D
Найдем максимум функции, не учитывая ограничений. Если полученное
значение будет лежать в области D, то оно и будет решением нашей задачи.
Находим частные производные по x1 и x2 функции f(x1, x2) и приравняем их к
нулю. Получим следующую систему линейных уравнений
29x1-4x2=80
-4x1+38x2=46.
Решение этой системы: x1=2.97; x2=1.52. Эта точка находится внутри
области D. Следовательно, минимум функции достигается в точке с
координатами x1opt=2.97; x2opt=1.52.
В найденной точке Xopt, являющейся решением рассматриваемой
многокритериальной задачи линейного программирования, F1(Xopt)=-5.87;
F2(Xopt)=16.44; F3(Xopt)=-1.66.
Следовательно, x1opt=2.97; x2opt=1.52.
Проблемы построения обобщённого критерия для векторных задач
оптимизации
(этот материал взят из книги В.В. Розена "Модели принятия решений в
экономике")
Вопросы:
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Сложности в построении обобщённого критерия; примеры.
Формальное определение обобщённого критерия. Эквивалентность
обобщённых критериев.
Локальный коэффициент замещения (ЛКЗ). Карта безразличий. Условия
постоянства ЛКЗ.
1. Как было сказано ранее, задание обобщённого критерия превращает задачу
многокритериальной оптимизации в задачу однокритериальной оптимизации.
Первоначально кажется, что это единственный способ. Однако на пути
построения обобщённого критерия (итоговой “синтетической” оценки)
имеются весьма существенные, а подчас – непреодолимые препятствия.
В качестве примера можно рассмотреть задачу построения обобщённой
оценки некоторой реальной системы (объекта). Частные критерии оценки
системы можно разбить на две группы: критерии, отражающие эффективность
системы, и критерии, связанные со стоимостью системы. Предположим, что
уже удалось построить обобщённый критерий эффективности (Э) и
обобщённый критерий стоимости (С). Как теперь соединить критерий
стоимости и эффективности в один критерий? Наиболее естественным
представляется в качестве такой оценки рассматривать “удельную
эффективность”, т.е. отношение эффективности к стоимости:
f=Э/С. Так как обобщённый критерий указывает “итоговую” оценку
полезности системы для принимающего решение, то по величине обобщённого
критерия устанавливается предпочтение между сравниваемыми объектами.
Рассмотрим теперь показатели стоимости и эффективности для трёх
систем: a0, a1, a2, представленные на рис. 9. Здесь f0 = Э0/С0, f1 = Э1/С1,
f2 = Э2/С2, причём f1 > f0, f2 > f0 .
Э
a2
Э2
Э0
a0
a1
Э1
1
0
С1
2
3
4
С0
5
С2
6
С
Рис. 9. Отношение эффективности к стоимости для трёх систем
Из рисунка можно определить, что f1 =
1
2 10
4
12
= 1, f0 = = , f2 = = .
3 15
5
15
1
Таким образом, по обобщённому критерию системы a1 и a2 являются
более предпочтительными, чем система a0. Однако система a1 имеет очень
низкую эффективность, а система a2 – очень высокую стоимость. Ясно, с
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
практической точки зрения ни система a1, ни система a2 не могут
рассматриваться как удовлетворительные. Поэтому критерий f=Э/С не может
претендовать на роль “адекватного” обобщённого критерия. Отметим, что даже
на первом шаге – объединении всех частных критериев эффективности в
единый обобщённый критерий (Э) можно встретиться с весьма существенными
трудностями, особенно в случае наличия критериев, характеризующих объект с
разных сторон (например, скорость автомобиля и его надёжность).
Обратимся теперь к проблеме построения обобщённого критерия в виде
взвешенной суммы частных критериев, которая превращает векторную оценку
y = (y1, . . . , ym) в скалярную оценку Ф(y) = λ1y1 + … + λmym ,(где λj o, j = 1, m ).
Предложено множество различных способов нахождения весовых
коэффициентов, однако ни один из них не может претендовать на роль
универсального. Рассмотрим в качестве примера следующий способ
нахождения весовых коэффициентов:
λJ =
1
Mj
где Mj = max
|fj(x)| .
aD
,
В этом случае
f(x) =
m
f j ( x)
j 1
Mj
,
(8)
т.е. итоговой численной оценкой исхода а, является сумма нормализованных
оценок по всем критериям (нормализованная оценка по j-му критерию есть
отношение fj(x)/Mj). На первый взгляд, обобщённый критерий (8)
представляется вполне разумным. Однако, следующий пример выявляет один
существенный недостаток критерия (8).
Предположим, требуется сравнить два альтернативных варианта мест
работы А и В, векторные оценки которых приведены в табл.1
А
В
Зарплата (руб.)
900
500
Длительность отпуска (дни)
20
30
Таблица 1
Время поездки (мин)
-60
-40
Здесь M1 = 900, М2 = 30, М3 = 60, откуда
f(A) =
900
20 60
2
+
= ;
900
30
60
3
f(B) =
500
30 40
8
+
= .
900
9
30 60
Так как f(B) > f(A), то альтернатива В более предпочтительна, чем альтернатива
А.
Пусть теперь наряду с альтернативами А и В появилась ещё одна
альтернатива С, которая характеризуется векторной оценкой (400, 60,-100). В
900
20
60
22
+
=
;
900
60 100
30
400
60 100
4
f(C) =
+
= .
60 100
9
900
этом случае M 1 = 900, M 2 = 60, M 3 = 100, откуда f(A) =
f(B) =
500
30
40
59
+
=
;
900
60 100
90
Получаем, что теперь альтернатива А стала более предпочтительной, чем
альтернатива В, т.е. порядок предпочтения альтернатив А и В получился в этом
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
случае обратным! Итак, наличие ещё одной альтернативы с меняет
предпочтения между альтернативами А и В. Это парадоксальное свойство
называется нарушением независимости предпочтений относительно
посторонних альтернатив. (При этом следует заметить, что дополнительная
альтернатива С здесь не конкурирует ни с А, ни с В, так как А и В
предпочтительнее, чем С).
Подведём некоторый итог. Принципиальная сложность построения
обобщённого критерия заключается в том, что приходится “соотносить” друг с
другом критерии, характеризующие объект с разных сторон; эти критерии
имеют часто совершенно различную природу, в силу чего оценки по ним
делаются в разных шкалах. Построение итоговой (“интегральной”) оценки
невозможно без соизмерения критериев между собой, что требует большой
дополнительной информации об относительной важности этих критериев для
ЛПР.
2.
Рассмотрим теперь в общем виде проблему построения обобщённого
критерия для многокритериальных задач принятия решений. Ограничимся
случаем двух критериев, оценки по которым будем обозначать через u и v
соответственно; тогда каждая векторная оценка может быть представлена
точкой на координатной плоскости (u, v). Считаем, что оба критерия являются
позитивными, следовательно, целью принимающего решение будет увеличение
обоих критериев.
Построение обобщённого критерия представляет собой процедуру,
которая “синтезирует” пару оценок (u, v) в единую числовую оценку;
формально обобщённый критерий может быть задан в виде отображения
Ф: R R R. Главное, (и, по – существу, единственное) требование, которое
должно быть наложено на это отображение, состоит в том, что это отображение
должно “сохранять” отношение доминирования по Парето. Поэтому можно
дать следующее определение.
Опр. Под обобщённым критерием будем понимать отображение
Ф: R R R , удовлетворяющее условию
Par
(u1, v1) (u2, v2) Ф(u1, v1) > Ф(u2, v2).
(9)
Замечание. Иногда рассматривают ослабленный вариант условия (9),
состоящий в импликации
Par
(u1, v1) (u2, v2) Ф(u1, v1) Ф(u2, v2).
(10)
Par
(Отношение понимается как объединение отношения доминирования по
Par
Парето и отношения равенства = ). Например, взвешенная сумма с
неотрицательными весовыми коэффициентами удовлетворяет условию (10), а с
положительными – более сильному условию (9).
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Поскольку для обобщённого критерия Ф существенным является не сама
величина Ф(u, v), а соотношение типа Ф (u1, v1) Ф(u2, v2), введём следующее
определение.
Опр. Обобщённые критерии 1 и 2 называются эквивалентными, если
для любых векторных оценок (u1, v1) и (u2, v2) выполняется равносильность:
Ф (u1, v1) 1 (u2, v2) 2 (u1, v1) 2 (u2, v2)
Например, обобщённые критерии
1 (u, v) = 2u + 3v, 2 (u, v) =
=0,4u+0,6v и 3 (u,v)= e 2 u 3v эквивалентны между собой. Если Ф – обобщённый
критерий, то функция = , где – произвольная монотонно
возрастающая функция, также будет обобщённым критерием, который
эквивалентен критерию .
3.
Основной задачей является выявление данных, которые требуются для
построения обобщённого критерия. Предположим, что обобщённый критерий
(u, v) построен. Тогда уравнение Ф(u, v)=с при каждом фиксированном
значении константы с определяет на плоскости переменных (u, v) некоторую
кривую, которая называется кривой безразличия. Для любых двух точек М1(u1;
v1) и М2(u2; v2), принадлежащих одной кривой безразличия, Ф (u1,v1)=Ф(u2, v2),
поэтому принимающий решение будет рассматривать векторные оценки (u1, v1)
и (u2, v2) как равноценные.
Зафиксируем некоторую точку
М(u; v) и проанализируем, что
происходит при переходе от точки М к точке M (u ; v) при движении по кривой
безразличия (рис. 10).
v
М(u; v)
v
v
М’(u’; v’)
V'
0
u
u
u'
u
Рис. 10. Кривая безразличия
Положим u = u - u, v = v - v. При переходе от точки М к точке
M оценка по первому критерию увеличивается на величину | u|, а оценка по
второму критерию уменьшается на величину | v | (заметим, что для точек,
лежащих на одной кривой безразличия, u и v всегда имеют разные знаки).
Так как лицо, принимающее решение рассматривает векторные оценки (u, v) и
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
(u , v) как равноценные, то для него потеря | v| единиц по второму критерию
компенсируется прибавкой | u| единиц по первому критерию. (В
эквивалентной форме это можно выразить ещё так: для лица принимающего
решение прибавка | v | единиц по второму критерию компенсирует потерю | u
| единиц по первому критерию).
Положительное число –( v/ u), указывающее соотношение "потерьприбавок", зависит, конечно, от того, в какую точку M произойдёт смещение
из точки М по кривой безразличия. Чтобы исключить зависимость от точки
M , надо взять "бесконечно малое смещение", т.е. перейти к пределу при
условии M М; последнее эквивалентно тому, что u 0.
Опр. Положительное число
k = ulim 0 (-
v
)
u
называется локальным коэффициентом замещения (ЛКЗ) в точке М(u, v).
Конечно, в общем случае ЛКЗ зависит от точки М, т.е. k = k(u, v).
Содержательный
смысл
локального
коэффициента
замещения
заключается в следующем. Если u мало, то можно считать, что - v k u;
приняв u за единицу, получаем | v| = - v k. Таким образом, ЛКЗ
приблизительно равен той минимальной прибавке по второму критерию,
которая компенсирует для лица принимающего решение потерю единицы по
первому критерию (равенство тем точнее, чем меньшей взята единица по
первому критерию).
Геометрический смысл ЛКЗ ясен из рис. 10: так как v/ u есть тангенс
угла наклона секущей М M к оси абсцисс, то, переходя к пределу при u 0,
получаем следующее правило.
Правило 1. ЛКЗ в точке М(u; v) равен взятому со знаком “минус” тангенс
угла наклона к оси абсцисс касательной, проведённой к кривой безразличия в
точке М.
Пусть Q R2 – некоторое множество векторных оценок. Из определения
кривой безразличия следует, что через каждую точку M Q проходит одна
кривая безразличия.
Опр. Множество всех кривых безразличия составляет карту безразличий
в области Q; типичный вид карты безразличий представлен на рис.11
v
Q
0
В.М. Горбунов
u
Теория принятия решений
Рис. 11. Карта безразличий
Будем считать, что кривые безразличия являются гладкими (т.е. имеют
касательную в каждой точке).
Правило 2. Задание в области Q карты безразличий равносильно заданию
ЛКЗ для каждой точки M Q.
Действительно, предположим, что в области Q задана карта безразличий.
Тогда для каждой точки М(u; v) Q существует единственная проходящая
через неё кривая безразличия. Взятый со знаком “минус” тангенс угла наклона
касательной, проведённой к этой кривой безразличия в точке М, даст по
правилу 1 ЛКЗ в точке М.
Обратно, пусть для каждой точки М(u; v) Q задан соответствующий ей
локальный коэффициент замещения k(u; v). Тогда для каждой точки области Q
известен угловой коэффициент касательной к кривой безразличия. В этом
случае можно построить (при некоторых ограничениях на функцию k(u; v))
карту безразличий – это хорошо известный в математике способ построения
интегральных кривых в заданном поле направлений.
В заключение данного пункта найдём условия, при которых ЛКЗ является
постоянным.
Если в области векторных оценок Q R2 ЛКЗ k постоянен, то семейство
кривых , составляющих карту безразличий обобщённого
критерия Ф, определяется дифференциальным уравнением dv/du = -k, откуда
dv=-k du, а v = -k u + c, т.е. в этом случае карта безразличий представляет
собой семейство параллельных прямых, угловой коэффициент которых равен –
k.
Пусть в области Q задана карта К, состоящая из семейства параллельных
прямых, имеющих отрицательный угловой коэффициент
-k. Тогда
обобщённый критерий (u, v) = k u + v совместим с картой К (так как его
карта безразличий состоит из линий k u+v=с – прямых, имеющих угловой
коэффициент -k, т.е. совпадает с картой К). Получаем, что в этом случае
обобщённый критерий, совместимый с картой К, может быть представлен в
виде взвешенной суммы критериев u и v (с положительными постоянными
коэффициентами).
Предположим, что обобщённый критерий представим в виде
взвешенной суммы: Ф(u, v) = u+ v, где > 0, > 0 – постоянные. Тогда
кривые безразличия этого обобщённого критерия определяются уравнением u
+ v = с, где с – постоянная величина, т.е. являются прямыми с угловым
коэффициентом k = - / ; по правилу 1 в этом случае ЛКЗ равен / и
является постоянным.
Утверждение Следующие три условия эквивалентны между собой для
произвольного обобщённого критерия Ф, заданного в области векторных
оценок Q.
a) Обобщённый критерий Ф представим в виде взвешенной суммы частных
критериев.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
b) Карта безразличий обобщённого критерия Ф состоит из семейства
параллельных прямых.
c) Локальный коэффициент замещения в области Q постоянен.
В связи с этим, для представимости обобщённого критерия в виде
взвешенной суммы частных критериев необходимо и достаточно постоянного
ЛКЗ. Это - очень сильное требование, которое в большинстве экономических
задач не выполняется.
Таким образом, при заданном в аналитической форме ЛКЗ задача
построения карты безразличия сводится к задаче интегрирования
дифференциального уравнения (решения дифференциального уравнения –
dv
=du
k(u, v)).
Замечание. В качестве обобщённого критерия, совместимого с картой К,
может быть взята любая функция, имеющая вид суперпозиции с, где монотонно возрастающая функция одной переменной. Например, взяв (w) =
w , получаем обобщённый критерий с1(u, v) = u v .
Предыдущая Главная Следующая
В.М. Горбунов
Методы последовательной оптимизации
Недостатки свёртывания нескольких критериев заставляют искать другие
подходы к решению задач многокритериального выбора. В данной лекции мы
будем рассматривать методы последовательной оптимизации.
К
методам
последовательной
оптимизации
относят
метод
последовательных уступок и как частный случай данного метода – метод
главного критерия, лексикографический критерий и метод равенства частных
критериев.
Метод главного критерия
Существует
один,
часто
применяемый
способ
свести
многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один
(главный, основной) критерий F1 и стремиться его обратить в максимум
(минимум), а на остальные F2, F3 , . . Fm частные критерии наложить только
некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше (больше)
каких-то заданных величин. Таким образом, идея метода главного критерия
заключается в том, что частные критерии обычно неравнозначны между собой
(одни из них более важны, чем другие) и это позволяет выделит главный
критерий, а остальные (критерии) рассматривать как дополнительные,
сопутствующие. Например, при оптимизации плана работы предприятия можно
потребовать, чтобы прибыль была максимальна, план по ассортименту –
выполнен или перевыполнен, а себестоимость продукции – не выше заданной.
При таком подходе все показатели, кроме одного – главного, переводятся в
разряд ограничений. Такое различие позволяет сформулировать задачу
многокритериальной оптимизации как задачу нахождения условного
экстремума основного (главного) критерия:
X opt arg{max F1 ( X ) | Fi Ci , i 2, . . ., m}
X D
Метод последовательных уступок
Встречаются случаи, когда пользователь готов на некоторое снижение
величин более важных критериев, чтобы повысить величину менее важных. В
таких ситуациях можно воспользоваться методом уступок. Идею этого метода
можно изложить следующим образом.
Метод последовательных уступок. Согласно этому методу локальные
критерии предварительно ранжируются по важности. Затем ищется наилучшее
решение по наиболее важному критерию. На следующем шаге ищется решение
наилучшее по следующему по важности критерию, причем допускается потеря
в значении первого критерия не более чем на некоторую обусловленную
величину, т.е. делается уступка по первому критерию. На третьем шаге
оптимизируется решение по третьему критерию, при заданных уступках по
первому и второму и т.д., пока не будет рассмотрен последний по важности
критерий.
Теория принятия решений
При решении многокритериальных задач методом последовательных
уступок вначале нужно определить важность частных критериев, т.е.
расположить частные критерии в порядке убывания важности. Таким образом,
главным считается критерий F1 , менее важным F2, . . . , Fm. Минимизируется
первый по важности критерий и определяется его наименьшее значение F1min .
Затем назначается величина допустимого снижения уступки 10 критерия F1 и
ищется наименьшее значение критерия F2 при условии, что значение F1 должно
быть не больше, чем F1min+1. Снова назначается уступка 20, но уже по
второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении
условного минимума F3 и т.д. Наконец, минимизируется последний по
важности критерий Fm при условии, что значения каждого критерия Fi из m-1
предыдущих должны быть не больше соответствующей величины Fimin+i
.Получаемое в итоге решение считается оптимальным.
Таким образом, оптимальным считается всякое решение, являющимся
решением последней задачи из следующей последовательности задач
1) Найти F1 min=min F1(X)
XD
2) Найти F2 min.=min F2(X)
(1)
XD
F1 F1min+1
m) Найти Fm min.=min Fm(X)
XD
Fi Fimin+i
i=1,2, . . . ,m-1
Величины уступок выбирают в пределах инженерной точности, т.е. 510% от наименьшего значения критерия.
Пример. Пусть в области D={0;4} заданы два критерия F1(x)=(x-1)2+1 F2(x)=(x2)2+2, которые нужно минимизировать (рис.1). Критерий F1важнее критерия F2
(F1 предпочтительнее F2).
Рис.1. Графики функций F1 и F2
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
1. Согласно алгоритму минимизируем первый по важности критерий, и
определяется его наименьшее значение F1min. Формулируем задачу
оптимизации
найти min F1(x)= min[(x-1)2+1]
при ограничениях
x{0;4}
Минимум для первого критерия достигается в точке x1opt=1 и равен F1(x1opt)=1
2. Затем назначается величина уступки 1=0.1 критерия F1 и ищется
наименьшее значение критерия F2 при условии, что значение F1 должно быть не
больше, чем F1min+1. Таким образом, мы получили следующую задачу
оптимизации
minF2(x)=min[(x-2)2+2]
при ограничениях
x{0;4}
(x-1)2+11+0.1
Для решения воспользуемся методом множителей Лагранжа. В результате
получим безусловную задачу оптимизации
Ф(x, λ)= (x-2)2+2+ λ((x-1)2-0.1).
Находим частные производные и приравниваем их к нулю. В результате
получим систему уравнений
( x 2) ( x 1) 0
( x 1) 2 0.1 0.
Решая эту систему, получим x2opt=1.32.
Согласно алгоритму, решение, полученное на последнем этапе, и будет
считаться оптимальным, т.е. xopt=1.32.
Решим данную задачу, используя систему MathCad.
f(x):=(x-2)2+2
целевая функция
x:=1
начальное приближение
Given
0≤x≤4
ограничения
(x-1)2≤0.1
p:=Minimize(f,x)
p=1.316.
Ответ: xopt=1.32.
Зам. Метод последовательных уступок целесообразно применять для
решения тех инженерных задач, в которых все частные критерии упорядочены
по степени важности, причём каждый критерий настолько более важен, чем
последующий, что можно ограничиться учётом только попарной связи
критериев и выбирать величину допустимого снижения очередного критерия с
учётом поведения лишь одного следующего критерия.
Недостатком метода являются трудности с назначением и согласованием
величин уступок, возрастающие с ростом размерности векторного критерия, а
также необходимость формирования неизменного для всей задачи априорного
ранжирования критериев.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Как видим, в методе уступок предполагается, что разница в важности
критериев не слишком велика. Можно предположить, что величина уступок
как-то связана с нашим ощущением этой разницы.
Лексикографический критерий
Противоположным крайним случаем является ситуация, в которой
разница между упорядоченными критериями настолько велика, что следующий
в этом ряду критерий рассматривается только в том случае, сравниваемые
альтернативы неразличимы по старшим критериям. Ни о каких уступках при
этом не может быть и речи. В этой ситуации выбор довольно часто
заканчивается на первом же шаге, а до последнего критерия дело обычно не
доходит (точнее он “изобретается” в том чрезвычайно редком экзотическом
случае, когда принятые ранее критерии не выделили единственной
альтернативы). Такой выбор получил название лексикографического
упорядочивания альтернатив, поскольку этот метод используется при
упорядочивании слов в различных словарях (предпочтительность определяется
алфавитным рангом очередной буквы в данном слове).
Наиболее часто МЗ с таким жестким упорядочиванием частных
критериев по важности возникает при последовательном введении
дополнительных критериев в обычные скалярные задачи оптимизации, которые
могут иметь неединственное решение.
Пусть, например, задача с одним критерием F1 имеет несколько решений.
Подобное положение часто возникает в задачах линейного программирования,
дискретного программирования. При этом для окончательного выбора можно
использовать второй, дополнительный критерий F2 и отыскивать решение,
которое обращает в минимум критерий F1 и доставляет критерию F2
наименьшее значение. Если и второй критерий не выделяет единственное
решение, то можно ввести третий критерий F3 и т.д.
Определение. МЗО со строго упорядоченными по важности критериями
называют лексикографическими.
Наиболее часто МЗ с жестким упорядочением частных критериев
возникают при последовательном введении дополнительных критериев в
обычные, скалярные задачи оптимизации, которые могут иметь не
единственное решение.
Постановка детерминированной
лексикографической задачи оптимизации
Пусть имеется стратегия X1, которой соответствует вектор значений
частных критериев (F1(X1), F2(X1),…,Fm(X1)). Все частные критерии
образующие векторный критерий F=(F1, F2, …, Fm),строго упорядочены по
важности. При сравнении пары стратегий в первую очередь используется
первый критерий F1 и лучшей считается та стратегия, для которой значение
этого критерия меньше (больше, если находят максимум). Если значение
первого критерия для обеих стратегий оказываются равными, то применяется
второй критерий F2, и предпочтение отдаётся той стратегии, для которой его
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
значение меньше (больше), если второй критерий не позволяет выделить
лучшую стратегию, привлекается третий частный критерий, и т.д. до Fm.
Если же значение каждого частного критерия для рассматриваемых
стратегий оказываются равными, то эти стратегии считаются эквивалентными,
т.е. равноценными в смысле векторного критерия F.
Таким образом, стратегия X1 предпочтительнее стратегии X2 , если
выполняется одно из условий:
1) F1(X1) < F1(X2);
2) F1(X1) = F1(X2), F2(X1)<F2(X2);
∙
∙
∙
m) Fi(X1) = Fi(X2), i=1, 2, , m-1, Fm(X1)<Fm(X2).
(1)
Стратегии X1 и X2 эквивалентны (X1~X2), если выполнено условие
F(X1) = F(X2)
(2).
lex
Опр. Стратегия X1 лексикографически не хуже чем стратегия X2 (X1 X2), если
выполнено одно из условий (1) или (2).
Опр. Оптимальной называется такая стратегия X*, которая не хуже любой
другой стратегии X, т.е. если (X
lex
*
X).
Это определение аналогично определению оптимальных стратегий в обычных
скалярных задачах с единственным критерием.
Зам. В лексикографической постановке формулируются задачи оптимизации
сложных систем, состоящей из взаимосвязанных подсистем, относящихся к
разным иерархическим уровням.
Зам. Лексикографическое упорядочивание часто используется для
установления правил старшинства, приоритета и т.д. Очень много примеров
можно найти в спорте: достаточно вспомнить определение победителей в
соревнованиях по хоккею, футболу, шахматным турнирам и т.д. Например,
1) первое место занимает команда, набравшая наибольшее количество очков;
2) если одинаковое количество очков, то чемпионом будет сборная, имеющая
лучший результат (очкам) во встречах между этими командами;
3) разница между забитыми и пропущенными шайбами;
4) отношение забитых шайб к пропущенным;
5) по буллитам;
6) подбрасывается монета.
В.М. Горбунов
Теория принятия решений
Метод равенства частных критериев
Критерии работают на принципе компромисса, основанного на идее
равномерности. Основываясь на идее равномерного компромисса, стараются
найти такие значения переменных X, при которых нормированные значения
всех частных критериев становятся равными между собой, т.е.
fi(X)=K , i=1, 2, . . ., m
(3)
или в другой форме f1(X)= f2(X)= …=fm(X).
С учётом весовых коэффициентов важности частных критериев выражение (3)
запишется в виде
i fi(X)=K, i=1, 2, . . ., m
(4).
Зам. При большом числе частных критериев из-за сложности взаимосвязей
иногда трудно добиться выполнения соотношений (3) и (4).
Пример. Применим метод равенства частных критериев для определения
оптимальных параметров переносного автомата. Будем считать, что частные
критерии одинаковы по важности, тогда
k L N F1 ( L, N ) F2 ( L, N )
.
,
218 65 Vmax
N max
Выразим F2 через
F1.
Получим F2
N max
66
150 L и подставим в
F1 или N
218
Vmax
уравнение для массы автомата 1.6 L c L 4, где с 0.05
66
150. Сделаем замену
218
L x. Получим квадратное уравнение 1.6x2+c·x-4=0. Решаем это уравнение и
выбираем, положительный корень x=1.024.Учитывая замену, получим L=1.05
м. Таким образом, получим следующие значения оптимальных параметров:
Nopt=46, Lopt=1.05м, Vopt=152 м/сек (K=0.697).
Предыдущая
В.М. Горбунов
Главная
Следующая