Глава 7. Вариационные методы

77
Глава 7. Вариационные методы
Введение
Предмет «Механика» учит, как найти для реального объекта такую модель
(систему уравнений), которая позволила бы нам найти интересующие нас величины. В
соответствии с этой задачей пояснялись все примеры данного конспекта.
Глава 7 принципиально отличается. В этой части мы рассмотрим только решение и
всего одним методом – методом приближенных вариаций. Делается это потому, что
программа высшей школы по математике не включает в себя обучение по этой теме, тогда
как в инженерной практике при расчете на компьютере метод является доминирующим.
Читателям для лучшего усвоения примеров этой части необходимо предварительно
серьезно изучить раздел 8 Части 1. Разбирая конкретные примеры дальнейшего текста, мы
проиллюстрируем их алгоритм, который в виде итога (резюме) описан в Части 1 &8.6.
Пример 1
Изгиб балки
1) Выбор модели среды.
В примере надо найти прогиб балки u(x).
Естественно для этого использовать модель
балки.
2) Описание внешней поверхности реального
объекта
Характерный размер балки - ее длина L.
3) Определяем граничные условия (главные).
Оба конца балки жестко заделаны, т.е. нет ни
прогиба, ни угла поворота:
u(0)  0;
y
q
x
x
u(x)
du
du
 u(0)  0; u(L)  0;
 u(L)  0;
dx
dx
L
(P7-1-1)
4) Выбираем функцию перемещения так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям
(P7-1-1) и по-возможности лучше описывала деформированное состояние. Функция
( 1  cos
2x
) удовлетворяет граничным условиям (проверьте!), симметрична (как вся
L
задача) и отвечает представлениям, какая может быть линия прогиба. Можно было бы
искать решение в соответствии с этой функцией, но мы эту функцию можем еще
улучшить, создавая тригонометрический ряд на базе выбранной функции (граничные
условия удовлетворяют каждому из членов данного ряда):
N
u( x)   Ck (1  cos
k 1
2kx
)
L
5) Выражаем все неизвестные только через функцию прогиба u(x). В случае изгиба
балки действует изгибной момент M(x). Используем соотношение (из Части 1 &9.2.3)
d 2u( x) M( x)
d 2u( x)

 M( x)  EJ z
EJ z
dx 2
dx 2
6) Расчет накопленной энергии U. Энергия накоплена изгибным моментом при повороте
на угол d (см. Часть 1 &9.2.3):
78
1
1
du( x)
dU  M( x) d  M( x) d(
)
2
2
dx
Чтобы получить всю накопленную потенциальную энергию, проинтегрируем по всей
длине балки:
1L
du( x)
1L
d 2 u( x)
U   M( x) d(
)   M( x )
dx
20
dx
20
dx 2
и выражаем накопленную потенциальную энергию только через неизвестную функцию
прогиба:
2
L
 d 2u( x) 
1
 dx
U  EJ z  
2 
2
dx
0

7) Рассчитаем затраченную энергию H внешних сил. Ее получаем при умножении
внешней силы q(x)dx (распределенная по длине нагрузка q Н/м умножена на длину
элемента dx) на соответствующее перемещение u(x) и интегрируем по всей зоне действия
распределенной нагрузки
L
H   q( x) u( x) dx
0
8) Производная потенциальной энергии П по всем Ck. Поместив в выражение
потенциальной энергии выбранную аппроксимацию приближенной функции, получаем:
EJ z
П=U-H= 
2
2
L
 4 2
2kx 
2kx 

2


k
C
cos
dx

q
C
1

cos

dx

k
  L2  k


L
L


k
0
0 k

L
Благодаря тому, что члены тригонометрического ряда ортогональны, интегралы заметно
упрощаются и производные потенциальной энергии по константам дают следующую
систему
 8 4 EJ z 2

k Ck  qL  0
Ck
L3
9) Решив полученную систему алгебраических уравнений, находим все Ck.
4
Ck 
qL
k 2 84EJ z
Выводы
1) Легко заметить, что полученный ряд быстро сходящийся, так как в знаменателе
находится квадрат номера члена ряда.
2) Задача 2 раза статически неопределима (в каждой опоре действует реакция опоры и
момент опоры, т.е. 4 неизвестные реакции и два уравнения равновесия) Используя
принцип минимума потенциальной энергии и основывающиеся на нем приближенные
методы, проблема статической неопределимости престает существовать, одинаково
решаются как статически неопределимые, так и статически определимые задачи..
Пример 2
Определение критической силы при подольном сжатии.
Сжатый стержень теряет устойчивость прямолинйного положения, изгибаясь. При
решении примера снова следуем стандартному алгоритму:
79
1) Выбор модели среды.
В примере надо найти прогиб балки u(x). Естественно
использовать модель балки.
2) Описание внешней поверхности реального
объекта. Характерный размер балки – ее длина L.
3) Определяем (главные) граничные условия
Оба конца балки жестко заделаны, т.е. там нет ни
прогиба, ни угла поворота:
du
u(0)  0;
 u(0)  0;
dx
du
u(L)  0;
 u(L)  0;
dx
F
dx cos

L
(P7-2-1)

u(x)
x
dx
y
4) Выбираем функцию перемещения так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям
(P7-2-1) и возможно лучше описывала деформированное состояние. Функция
1  cos
2x
удовлетворяет граничным условиям (проверьте!), симметрична (как все
L
задание) и отвечает представлениям какая может быть линия прогиба. В отличии от
предыдущего примера удовлетворимся данной функцией, не присоединяя следующие
члены ряда.
5) и 6) пункты алгоритма совпадают с предыдущим примером
7) Рассчитаем затраченную энергию H внешних сил. Потерянная энергия внешней
силы F находится при умножении этой силы на вертикальное перемещение , которое
появляется в следствии того, что расстояние между концами стержня меньше
прямолинейной длины стержня. Укорачивание стержня при сжатии не учитываем. На
дополнительном рисунке видно, что проекция элемента стержня в деформированном
сосотоянии длиной dx на недеформированное состояние dxcos. Интегрируя разницы
всех бесконечно маленьких кусочков, получаем перемещение верхнего закрепления :
L
   (1  cos)dx
0
Упростим это выражение, учитывая, что деформации небольшие. Разложим cos в ряд и
учтем только первые члены. Одного члена будет недостаточно, так как в скобках под
интегралом будет l-l. Если берем два члена ряда cos  1 
2
, то
2
2
1L 2
1 L  du( x) 
    dx   
 dx
20
2 0  dx 
и затраченная работа H внешней силы F рассчитывается как
2
F L  du( x) 
H  
 dx
2 0  dx 
8) Производная потенциальной энергии П по неизвестным константам С.
В случае потери устойчивости при продольном сжатии выражение потенциальной
энергии следующее:
80
2
2
L
 d 2u( x) 
1
F L  du( x) 


  U  H  EJ z  
dx   
 dx
2 
2
2
dx


0  dx
0

Помещаем в нее принятую аппроксимацию u( x)  C(1  cos
2
2x
)
L
2
EJ z L 2  4 2 
2x
F
2x
 2 

C  2  cos2
dx   C 2   sin
dx

2 0  L 
L
2
L
L
и интегрируем
2
 4 2  L
1
2  L  2

  EJ z  2   F   C
2 
 L  2 
 L 2
Взяв производную этого выражения по неизвестной константе С, получим уравнение
такой структуры:
d
 [.........] C  0
dC
Уравнение выполнится в двух случаях
a)С=0, т. е. Стержень прямой (u(x)0) и не теряет устойчивость при продольном
сжатии.
b)…….=0 откуда следует:
Fk 
4 2 EJ z
L2
Итак, если сила сжатия достигает критической величины F=Fk, стержень теряет
устойчивойть прямолинейного положения и переходит в выгнутое положение.
Пример 3
Изгиб прямоугольного резинового амортизатора
1) Выбор модели среды.
Резина - деформируемая среда, а эксперимент показывает, что резина является
несжимаемым материалом Несжимаемость как свойство записать достаточно просто –
объем остается неизменным. Если мы рассмотрим кубик, длины граней которого 1, то
объем V также V=1=1x1x1. Длины деформирумых граней l+, а объем в
деформированном состоянии
Vd  (1   xx )(1   yy )(1   zz )  1   xx   yy   zz
В приближенном выражении отбросим члены типа 2, так как они на порядок меньшие
величины. Условие несжимаемости
V  Vd
  xx   yy   zz  0 
u x u y u z


 0 (P3-1-1)
x
y
z
Сравнив полученное выражение с условием сохранения массы для жидкостей (см. Часть 1
&7.6. и &7.8.2.) видим, что они полностью совпадают. Разница только в том, что для
жидкостей это составляющие скорости.
Получено также дополнительное уравнение (P3-1-1), которое не можем просто
присоединить к системе 18 уравнений деформируемой среды, так как тогда будет 19
уравнений с 18 неизвестными.
81
Недостающую неизвестную можем найти с помощью логики:
a) Рассмотрим случай сжатия, в котором продольная деформация g, а в обоих
поперечных направлениях деформации определяются с помощью коэффициента Пуассона
соответственно (P4-1-1)
S= -g
Условие несжимаемости xx+yy+zz=0 в случае сжатия g+S+S=0  g(1-2)=0,т.е.
=0.5.
b) Используем еще раз условие несжимаемости, только теперь в нем разместим
выражение (P4-1-2), которое для деформируемой среды дает возможность выразить
деформации через напряжения:
 xx 
 yy 
 zz 
 xx  ( yy   zz )
 yy
E
 ( xx   zz )
 zz
E
 ( yy   xx )
E
:
:
:
Сумма левых частей трех выражений – изменение объема, т. е. 0, а сумма правых частей
1  2
( xx   yy   zz )
E
Так как 1-2=0, то величина (xx+yy+zz)=p остается неопределенной, даже если все
0
величины были бы известны. Это суммарное давление и есть 19-ая неизвестная. В системе
уравнений ее надо ввести также как для жидкостей (см. Часть 1 &7.8.2.).
Получили систему уравнений модели несжимаемой деформируемой среды:
Уравнения равновесия
0  p, x  yx ,y   zx,z  g x
0  p, y  xy,x   zy,z  g y
0  p, z  xz,x   yz ,y  g z
ij=ji;
Уравнения свойств материала
 xx  0,5( yy   zz )
3 xx  p
:
E
2E
 yy  0,5( xx   zz ) 3 yy  p
 yy 

:
E
2E
 zz  0,5( yy   xx ) 3 zz  p
 zz 

:
E
2E
;
xz=Gxz;
zy=Gzy
 xx 
Геометрические соотношения
 xx 
u x
;
x
 yy 
u y
y
;

 zz 
u z
;
z
82
 xy 
u x u y

;
u y u x
u x u z
;

u z u x
 xz 
Условие несжимаемости
 xx   yy   zz  0 
 zy 
u z u y

u y u z
 u x  u y u z


 0 .;
x
y
z
2) Описание внешней поверхности реального объекта:
a

y
M
x
h
Высота рассматриваемого резинового амортизатора h, а ширина a. Длина во много раз
больше обоих этих размеров. Это дает возможность принять, что перемещения во всех
сечениях, перпендикулярных длине, одинаковы, т.е. нет функции от координаты z.
Перейдем к плоской задаче, в которой две неизвестные функции перемещения ux(x, y) и
uy(x, y).
3) Определение (главных) граничных условий
Проще решить симметричные задачи. Поэтому вместо поворота верхней стальной
пластины рассмотрим случай, когда обе (нижняя и верхняя) пластины поворачиваются
одинаково на угол . Резиновый массив в обоих случаях нагружен одинаково.
Граничные условия в перемещениях тогда записываются так:
h
u x ( x,  )  0 ;
2
4) Выбор функций перемещения:
x 2
ky
;
ux  
kCk cos

2h k 1, 3,5...
h
h
u y ( x,  )    x ;
2
uy  x
 Ck sin
k 1, 3 , 5...
ky
h
Выбранные соотношения удовлетворяют не только граничным условиям, но и условию
несжимаемости.
5) Выразим все неизвестные только через функции премещения
В выражении накопленной в деформируемой среде потенциальной энергии необходимо
выражение напряжений и деформаций. Подготовим их:
 xx 
u y x
u x
x
ky
ky
;
;

kC
cos



kCk cos


k
yy
x
h k 1, 3,5...
h
y
h k 1, 3,5...
h
u x u y
 2kx2
ky
 xy 

  (1 
)
kC
cos
k
y
x
h
2h 2
2
2
xy=Gxy
 xx  E xx  p ;  yy  E yy  p ;
3
3
6) Расчет накопленной энергии U.
83
U
1
 ( xx xx   yy  yy   xy  xy )dx dy
2S
Разместим выражения напряжений в эту формулу
U
1 2
[ E( 2xx   2yy )  p( xx   yy )  G 2xy ]dx dy

2s 3
Это выражение упрощаем, учитывая, что множитель при функции p является условием
несжимаемости, т.е. xx+yy=0. Еще можно использовать также соотношение между
обоими модулями упругости и коэффициентом Пуассона
G
Тогда
E
E

2(1   ) 3
1
U  G  ( 2xx   2yy   2xy )dx dy
2
S
7) Расчет затраченной энергии H внешних сил.
H=M, но как видно из граничных условий,
h
u y ( x,  )
2 

 Ck . Это значит, что H  M  Ck
x
k 1, 3 , 5...
k 1, 3 , 5...
8) Производная потенциальной энергии П по неизвестным константам Ск.
П=U-H

Система алгебраических уравнений
 0 в этом примере благодаря ортогональности
C k
членов тригонометрических рядов дает достаточно простые выражения.
Пример 4
Расчет туннеля при помощи МКЭ
В скале горе необходимо сделать туннель для железной дороги. В ходе
проектирования придется выяснить вопрос, туннель какого поперечного сечения вызовет
наименьшие напряжения в скале, т.е. будет наиболее прочным. Чтобы получить ответ на
этот вопрос, необходимо сравнить расчеты для туннелей разных поперечных сечений. Так
как ход расчета одинаков, то в данном примере ограничимся расчетом только одной
формы туннеля. Рассмотрим туннель прямоугольного поперечного сечения.
1) Выбор модели среды.
Для определения напряжений в скале придется использовать модель непрерывной
деформируемой среды. Система модели (см. Часть 1 &6.3.) содержит 18 уравнений с 18
неизвестными.
Рассчитывая туннель, можем упростить задачу, приняв, что распределение
напряжений в разных сечения туннеля практически неизменны. Это предположение,
конечно, неверно в конце и в начале туннеля, но там скала над туннелем меньше и,
естественно, напряжения тоже будут меньше. Так как нас интересуют большие
напряжения, то зоны в начале и в конце туннеля нас не интересуют. Если в разных
поперечных сечениях распределение напряжений неизменно, то искомые величины не
являются функциями от координаты, параллельной оси туннеля (примем, что это ось x).
84
Мы пришли к возможности принять, что задача плоская (двумерная) и с помощью
приближенных вариационных методов (принципа минимума потенциальной энергии)
будем искать две функции перемещения:
uz=uz(y, z);
uy=uy(y, z);
2) Описание внешней поверхности реального
объекта.
z
h
На расстоянии, которое во много раз
превышает размеры туннеля, напряжения скалы не
зависят от того есть туннель или нет. Поэтому
также не будем рассматривать всю гору, а только ее
часть (см. на рис. четырехугольник, выделенный
y
прерывистыми линиями).
Задача симметричная, поэтому можем рассмотреть
2a
только одну половину. Рассмотрим правую.
3) Определим (главные) граничные условия.
Используя приближенные вариационные методы необходимо удовлетворять
только главным граничным условиям, т.е. граничным условиям в перемещениях:
a) Задача симметричная, поэтому на оси вертикальной симметрии не может быть
перемещений в направлении оси x uy(0, z)=0;
b) В основании скалы (z=0) нет никаких перемещений
uy(y, 0)=0; uz(y,0)=0
c) Если мы считаем, что вырубка туннеля не влияет на состояние скалы на
достаточно большом расстоянии от туннеля (см. выделенный прерывистыми линиями
контур), то можем принять, что на внешних краях выделенной части нет перемещений в
горизонтальном направлении:
uy(a, z)=0
4) Выбор функций перемещения
Задача слишком сложная, чтобы для нее искать аналитическое решение. Будем
использовать МКЭ. Для плоских задач метод описан в Части 1 &8.9. Для решения задачи
выбираем соответствующую компьютерную программу. Современный пользователь
компьтерных программ может выбрать форму конечного элемента (треугольник,
четырехугольник, шестиугольник и т.д.). Для каждого из этих элементов есть
соответствующая апроксимация перемещений. Пользователю ее не надо выбирать, так как
выбор конфигурации элемента автоматически означает выбор апроксимации.
Пользователю надо выбрать (сконструировать) сеть конечных элементов. Так как в
окрестности туннеля может быть резкое изменение функций напряжения, то в этом месте
сеть сгущаем. Выбранная сеть показана на рис. P7-4-1.
5) Выражаем все неизвестные только через функции перемещения
Эту работу выполняет программист при составлении программы.
6) Расчет накопленной энергии U
Эту работу также проделывает программист при составлении программы.
7) Расчет затраченной энергии H внешних сил.
На выделенную часть скалы действует ее вес, т.е. на поверхность z=h действует
распределенная сила q. Если масса cм3 горной породы - m и высота горы над
рассматриваемой частью B, то q=mgB.
8) Производная потенциальной энергии П по неизвестным перемещениям узловой
точки приводит к системе алгебраических уравнений, решив которую, получим
перемещения узловых точек.
9) Зная перемещения узловой точки каждого элемента, получим напряжения
каждого элемента.
85
8-ой и 9-ый пункты этого алгоритма были выполнены как в стандартной
компьютерной программе в соответствии с теорией, которую рассматривали в разделе
&8.9 Части 1.
Заканчивая этот пример, покажем, в какой форме компьютерная программа выдает
результаты. Есть возможность запросить распечатку, которая содержит перемещения всех
точек и напряжения всех точек, но тогда нам надо самим ее анализировать.
На следующих трех рисунках показаны три копии изображений экрана с
выбранной нами сеткой, формой конечных элементов и граничными условиями. Все это
получено спомощью программы "Algor".
На рис. P7-4-2 показаны области в которых действуют наибольшие напряжения
растяжения (или сжатия). Если туннель создаем в скале, то разрушение произойдет в том
месте и в той точке, в которой наибольшие напряжения растяжения, так как скала хрупкий
материал.
На рис. P7-4-3 показаны области, в которых действуют наибольшие напряжения
(результат получен с помощью IV теории прочности, т.е. маиериал одинаково работает и
на растяжение и на сжатие).
На рис. P7-4-4 показаны напряжения растяжения (или сжатия) только в
направлении оси z. Это недостаточно для определения прочности, поэтому используем
теории прочности - рис. P7-4-2 или P7-4-3.
Вопросы для проверки
1) Что такое главные граничные условия?
2) Как выполняются граничные условия при использовании приближенных вариационных
принципов?
3) Что надо рассчитывать при расчете балки вариацинными методами?
4) Как надо выбирать функцию аппроксимации при расчете балки вариационными
методами?
5) Как можно увеличить точность, расчитывая балку вариационными методами?
6) Как можно рассчитать накопленную потенциальную энергию в изогнутой балке?
7) Какие величины надо выразить при помощи функции прогиба, рассчитывая балку
вариационными методами?
8) Как выразить работу внешней силы, рассчитывая балку вариационными методами?
9) Что такое ортогональные тригонометрические ряды и как их можно использовать,
рссчитывая балку вариационными методами?
10) Почему рассчитывая балку вариационными методами, исчезает понятие статически
неопределимая задача?
11) Запишите главные гранчные условия для балки, жестко закрепленной с обоих концов.
12) Запишите главные граничные условия для балки, опертой с обоих концов.
13) Запишите главные граничные условия для балки, опертой с обоих концов и
посередине.
14) Запишите главные граничные условия для балки, жестко заделанной с обоих концов и
опертой посередине.
15) Какова форма потери устойчивости сжатого стержня?
16) Запишите главные граничные условия для опертого с двух сторон стержня при потере
устойчивости при продольном сжатии.
17) Запишите главные граничные условия для жестко заделанного с одной стороны
стержня при потере устойчивости при продольном сжатии.
19) Как записать накопленную в стержне потенциальную энергию при потере
устойчивости при продольном сжатии?
86
20) Как записать потраченную работу внешних сил при потере устойчивости стержня при
продольном сжатии?
21) Почему в случае потери устойчивости стержня при продольном сжатии не получим
прогиба стержня, если будем использлвать приближенные вариационные методы?
22) Что получим в случае расчета приближенными вариационными методами задачи
потери устойчивости стержня при продольном сжатии?
23) Как в расчетах учитывать то, что резина несжимаемый материал?
24) Как можно записать условие несжимаемости?
25) Какие и сколько неизвестных в модели несжимаемой деформируемой среды?
26) Какие и сколько уравнений в модели несжимаемой деформируемой среды?
27) Почему при рачете приближенными вариационными методами модели несжимаемой
деформируемой среды для модели не удается рассчитать все функции?
28) Какие неизвестные надо рассчитать, рассчитывая плоскую задачу приближенными
вариационными методами?
29) Дайте пример решения плоской задачи, в которой для модели деформируемой среды
применяются приближенные вариацинные методы
30) Чем отличается применение МКЭ для деформируемой среды в отличии от прямых
вариационных методов?
31) Как поступить в том случае, если на определенном расстоянии от рассчитываемого
места не влияет на массив?
32) Как получаем результаты расчета, используя МКЭ?
33) Как выглядит экран, на который выведены полученные с помощью МКЭ результаты
при расчете задачи деформируемой среды?
34) Что надо вводить как выходную информацию, используя стандартную компьютерную
программу при расчете задачи деформируемой среды?