Задачи и ответы - Школьные олимпиады по математике

Задачи и ответы он-лайн тура городской олимпиады
2-6 классов по математике.
После названия задачи в скобках указаны правильные ответы.
1. (Для 2 класса) Вася и карточки. (абг)
У Вася есть следующие карточки: «1», «2», «12», «32» и «211». Он из них складывает девятизначное
число. Какие из следующих утверждений верны?
а. Вася может составить число, которое читается справа-налево и слева-направо одинаково.
б. Вася может составить число, которое оканчивается на три одинаковые цифры.
в. Наименьшее число, которое он сможет получить, это 112221132.
г. Вася может составить число, в записи которого нет двух двоек и двух единиц подряд, кроме
единиц из карточки «211».
2. (для 2-3 классов) Тимофей. (аг)
Тимофей хочет разрезать по сторонам клеток квадрат 4×4 на 4 равные фигуры. (Фигуры называются
равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали). Какие из следующих
утверждений Тимофея верные?
а. Тимофей считает, что есть больше одного способа это сделать.
б. Тимофей считает, что сможет разрезать так, что в каждой части будет 5 клеток
в. Тимофей считает, что могут быть только способы, в которых угловые клетки принадлежат
разным фигурам.
г. Тимофей считает, что есть хотя бы четыре способа это сделать.
3. (Для 2-3 классов) Андрей. (аг)
Андрей рисует в ряд квадратики: сначала синий, потом зеленый, затем красный, за ним черный, снова
синий, зеленый, красный, черный и так далее. Какие из приведенных ниже утверждений будут
верными?
а. Двадцать шестой квадратик будет зеленым.
б. Красных квадратиков всегда будет нарисовано не меньше, чем квадратиков каждого другого
цвета.
в. Между любым синим и зеленым квадратиком есть красный.
г. Синих и красных квадратиков вместе всегда будет не меньше, чем зеленых и черных.
4. (Для 2-3 классов) Семья. (абв)
В семье есть три человека: дед, отец и сын. Двоих из них зовут Николай Петрович и Петр Васильевич.
Могут ли в этой семье быть следующие люди:
а. Петр Петрович;
б. Николай Николаевич;
в. Петр Николаевич;
г. Николай Васильевич?
5. (Для 2-4 классов) Вася. (абв)
Вася ставит шашки на доску 4×4. (В каждой клетке не может быть больше одной шашки). Какие из
приведенных ниже утверждений верные?
а. Можно их поставить так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по две шашки.
б. Можно их поставить так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по три шашки.
в. Можно их поставить так, чтобы во всех столбцах было одинаковое количество шашек, а во
всех строках – разное.
г. Можно их поставить так, чтобы во всех столбцах было по три шашки, а во всех строках – по
две.
6. (Для 3-4 классов) Часы. (аб)
Электронные часы показывают цифры часов и минут (например, 13:10 или 09:01). Какие из
приведённых ниже утверждений будут обязательно верными?
а. Сумма этих двух чисел может быть больше 80.
б. В какой-то момент времени надпись будет читаться справа налево и слева направо одинаково.
в. Наибольшая сумма всех цифр равна 20.
г. В какой-то момент времени цифры будут идти в порядке убывания.
7. (Для 4 класса) Выражение и скобки. (авг)
В выражении 2×2+2×2+2×2 требуется поставить скобки. Какое число можно при этом получить?
а. 20.
б. 30.
в. 32.
г. 40.
8. (Для 4 класса) Ручки. (а)
В коробке лежали ручки: 3 красных и 5 синих. Коля положил на стол еще 4 ручки, про цвета которых
ничего неизвестно. Какие из приведенных ниже утверждений обязательно будут верными?
а. В коробке не менее 5 одноцветных ручек.
б. В коробке красных и синих ручек поровну.
в. Красных ручек не больше, чем синих.
г. Среди любых 10 ручек есть 4 ручки одного цвета.
9. (Для 4-5 классов) Тимофей. (б)
Тимофей хочет разрезать по сторонам клеток квадрат 6×6 на равные фигуры. (Фигуры называются
равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали). Какие из следующих
утверждений верные?
а. Тимофей не сможет получить фигуры, в каждой из которых больше 10 клеток.
б. Тимофей сможет разрезать на фигуры, которые не будут прямоугольниками.
в. Тимофей сможет разрезать только на четное количество частей.
г. Тимофей не сможет получить больше 20 фигур.
10. (Для 5-6 классов) Слоны. (абвг)
На шахматной доске 4×4 стоит 4 слона. Какое количество «небитых» клеток может оказаться на доске?
(Слон бьет по диагонали на любое количество клеток).
а. 1.
б. 3.
в. 7.
г. 9.
11. (Для 5-6 классов) Андрей и кубик. (авг)
У Андрея есть куб 3×3×3, состоящий из 27 единичных белых кубиков 1×1×1 (кубики крепятся друг к
другу в середине грани). Какие из приведенных утверждений верные?
а. Можно достать 9 кубиков так, чтобы большой куб распался на две части.
б. Можно покрасить у 8 кубиков 1×1×1 по 5 сторон в черный цвет так, чтобы можно было бы попрежнему собрать куб 3×3×3, который с наружи полностью белый.
в. Можно достать 4 кубика так, чтобы большой куб распался на две части.
г. Можно покрасить у 20 кубиков 1×1×1 по 3 стороны в черный цвет так, чтобы можно было бы
по-прежнему собрать куб 3×3×3, который снаружи полностью белый.
12. (Для 5-6 классов) Числа. (аб)
Из числа 2345678 требуется вычеркнуть 3 цифры. Какие из приведенных ниже чисел можно получить?
а. Число, делящиеся на 3 без остатка.
б. Число, делящиеся на 5 без остатка.
в. Число, делящиеся на 10 без остатка.
г. Число, делящиеся на 15 без остатка.
13. (Для 5-6 классов) Паша и таблица. (аб)
Паша расставил в клетках таблицы 3×3 числа -1, 0, 1 и посчитал суммы по строкам и столбцам. Всего
получилось 6 сумм. Какие из приведенных ниже утверждений могут быть верными?
а. Ровно три суммы равны нулю, а остальные больше нуля.
б. Сумма в первой строке, а также сумма в первом столбце равны 1, сумма во второй строке, а
также во втором столбце равны 2, сумма в третьей строке, а также сумма в третьем столбце
равны 3.
в. Среди этих сумм встретятся все числа от -2 до 3.
г. Вместе с суммами по двум главным диагоналям получится 8 различных значений.
14. (Для 6 класса) Петя. (абг)
У Пети есть тетрадный лист в клеточку. Он вырезает из него фигуры по сторонам клеточек с
периметром 12. Какие из следующих утверждений могут быть верными?
а. У него получились фигуры с разными площадями.
б. У него получилось 20 различных фигур. (Фигуры называются различными, если их нельзя
наложить друг на друга так, чтобы они совпали)
в. У него получилось 4 различных прямоугольника. (Фигуры называются различными, если их
нельзя наложить друг на друга так, чтобы они совпали)
г. У него получилось две фигуры, у одной из которых площадь в полтора раза больше, чем у
другой.