kos_2x

Тема. 3.2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной (У3, З2)
Устный опрос
Сформулировать правила дифференцирования и записать производные основных
элементарных функций:
(tgx) 
1о.
8о.
c 
о

о
2.
(ctgx) 
9.
( x ) 
(arcsin x) 
В частности, x 
10о.
2
( x ) 
(arccos x) 
11о.
3
о
(arctgx) 
( x ) 
12 .
(arcctgx) 
( x ) 
13о.

1
  
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
 x
3о.
4о.
5о.
6о.
7о.
14о.
(u  v) 
(kx  b) 
(a x ) 
15о.
16о.
(u  v) 
(uv) 
В частности, (e x ) 
17о.
(cu ) 
(log a x) 
В частности, (ln x) 
(lg x) 
18о.

u
  
v
(sin x) 
(cos x) 

1
В частности,   
v
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
19о.
f ( ( x)) 
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
1. Найти производную функции y  sin 6 4 x 3  2 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  3x 4  cos 5x .


3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x) 
3
в точке с
x
абсциссой x0  1 , x0  1 .
1
4. Материальная точка движется по закону x(t )   t 3  2t 2  5t . Найти скорость
3
и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 2
1. Найти производную функции y  cos 4 6 x 2  9 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  2 x 5  sin 3x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  2 x  x 2 в точке с
абсциссой x0  0 , x0  2 .


4. Материальная точка движется по закону x(t )  t 3  4t 2 . Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
68
Вариант 3
1. Найти производную функции y  tg 5 3x 4  13 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  4 x 3  e 5 x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  x 2  1 в точке с
абсциссой x0  0 , x0  1 .
1
4. Материальная точка движется по закону x(t )  t 4  t 2 . Найти скорость и
4
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 4
1. Найти производную функции y  ctg 4 5 x 3  6 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  5x 4  cos 4 x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  x 3  1 в точке с
абсциссой x0  1 , x0  2 .




4. Материальная точка движется по закону x(t )  t 4  2t . Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 5
1. Найти производную функции y  arcsin 3 7 x 2 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  4 x 4  sin 2 x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  tgx в точке с


абсциссой x 0  , x 0  .
4
3
4. Материальная точка движется по закону x(t )  2t 3  8 . Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 6
1. Найти производную функции y  arctg 6 5x 4 .
2. Найти производную третьего порядка функции y  6 x 5  e 4 x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f ( x)  1  cos x в точке с

абсциссой x0  0 , x 0  .
2
4. Материальная точка движется по закону x(t )  t 4  2t . Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Самостоятельная работа № 2
Исследовать функцию и построить ее график.
Вариант 1
f ( x)  x 2  2 x  8 .
Вариант 2
f ( x)  
2x 2
2
x .
3
3
Вариант 3
f ( x)   x 2  5 x  4 .
69
Вариант 4
f ( x) 
x2 x 1
  .
4 16 4
Вариант 5
f ( x)   x 3  3 x  2 .
Вариант 6
f ( x)  x 4  2 x 2  3 .
Вариант 7
f ( x)  x 3  3 x  2 .
Вариант 8
f ( x)  3 x 2  x 3 .
Практическая работа № 13
Вычисление производных
Цель: Проверить навыки и умения студентов по вычислению производных простейших
функций.
Задания
1. Продифференцировать данные функции.
4 1
 3 x
x3 x
2 4
1.3. y  3x 4  3 x 5   2
x x
5 7 4 6
1.5. y  7 x  2  x 
x
x
3
10
1.7. y  3x 2  3  x 3  5
x
x
4
2
1.9. y  8 x 2  3 x 4   3
x x
7
2
1.11. y  2 x 3   3x 2  5
x
x
8
1
1.13. y  5 x 2  2  4 x 
x
x
4 9
1.15. y  5   5 x 2  7 x 3
x
x
4
1.17. y  4 x 2   3 x 7  2 x 6
x
3 4
1.19. y  x 5   3  3 x 3
x x
4
7
1.21. y  3 x  5  3 x 2 
x
x
1.1. y  2 x 5 
3
2
 5 x 2  4x3  4
x
x
2
4
1.4. y  7 x  5  3 x 2 
x
x
4
5
1.6. y  5 x 2  3 x 4  3 
x
x
3
4
1.8. y  3 x 7   4 x 6  5
x
x
5
7
1.10. y  4 x 6   3 x 7  4
x
x
3
6
1.12. y  4 x 3   5 x 2  2
x
x
9
2
1.14. y  3  3 x 4   5 x 4
x
x
8 3
1.16. y  3   4 x 3  2 x 7
x
x
4 5
1.18. y  10 x 2  3 x 5   4
x x
5 7
1.20. y  9 x 3   4  3 x 7
x x
2 4
1.22. y  x 3   5  5 x 3
x x
1.2. y 
70
3 5 4
8
 x  3
x
x
5 1 5 4
1.25. y  x  4   x
x
x
3
2
1.27. y  4 x 3   3 x 5  4
x
x
7 4
1.29. y   3  5 x 3  2 x 6
x x
2. Найти производные функций.
а – порядковый номер в журнале
1.23. y  7 x 2 
а) y  2а  x 5 
4 7 7 2

 x
x x4
5 4
1.26. y  4 x 3   5  3x
x x
5
2
1.28. y  4 x 5   x 3  3
x
x
6 3
1.30. y  4   3 x 2  x 7
x
x
1.24. y  8 x 3 
ax 2  2a
а
в
)
y

x2
x 2  2a


б) y  (а  x  1)  x 3 г ) у  ax 5  3  x 4  2a

3. Решить уравнение y ' ( x )  0 ,
y
если :
x 2  3а
x  2а
4.Решить неравенство:
y ' ( x)  0 , если y  ах 2  3а  х  5а .
Контрольные вопросы
2. Дайте определение производной функции.
3. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной
функции?
4. Как вычислить частное значение производной?
5. Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением
производной?
6. Производная произведения и частного.
Практическая работа № 14
Нахождение производных сложных функций
Цель: Проверить навыки и умения студентов по вычислению производных сложной
функции
Задания
Найти производные функции.
а – порядковый номер в журнале
1. y  а x а 
а а а6
 x
 аx  а
xа
71
2. y  2 а (аx 2  3аx  5) 3 
а
 x  а а  4
3. y  tg а ( x  а)  arccos аx 2
4. y  arcsin а аx  log а ( x  а)
4
5. y  а  x  ctg аx 3
6. y  ctg 2 аx  arctg x а
аx 2  3аx  5а
7. y 
8. y 
e x
6
lg( аx 2  2аx  3а)
arcctg 2 аx
Контрольные вопросы
1. Правила дифференцирования.
2. Производные элементарных функций.
3. Правило нахождения производной сложной функции.
Практическая работа № 15
Нахождение производных неявной функции, заданной параметрически.
Логарифмическое дифференцирование
Цель: Проверить навыки нахождения производной функций заданных неявно,
дифференцирование
функций
заданных
параметрически.
Логарифмическое
дифференцирование.
Задания
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5
1. Продифференцировать функцию, заданную неявно
y
1.11. ln y   7
1.21. sin y  xy2  5
y 2  x 2  sin y
x
2
1.12. sin y  7 x  3 y
y  x  cos y
1.22. x3  y 3  5x
x  y 
y  x  arctgy
1.13. tgy  4 y  5 x
1.23. y 2 
x y
2
arctgy  4 x  5 y
1.14. y  7 x  ctgy
1.24. sin 3x  y 2  5
3x  sin y  5 y
1.15. xy  6  cos y
1.25. ctg 2 x  y   5 x

1.6. yx  ctgy
1.16. 3 y  7  xy
1.7. tgy  3x  5 y
1.17. y 2  x  ln
1.8. y  e y  4 x
3
y
x
2 2
3
1.18. x y  y  4 x  5

e3
1.26.
 xy  1
x
cos y
1.27.
 x2  1  0
x
1.28. y sin x  cosx  y 
72
y
 cos 3x
x
x
1.10. 4 sin 2 x  y   x
1.20. x 2 y 2  x 4  y  4
1.30. ln y  arctg
y
2. Логарифмическое дифференцирование
sin x
ctg 2 x
x2
4
2.21. y  arctg 2 x 
2.11. y  ln x  7 
2.1. y  3  tg 2 x
1.9. e y  4 x  7 y

1.19. x 2 y 2  x  5 y

1.29. e xy 
2.12. y  cos3  x 
2.22. y  ctg7 x  4
2.3. y  sin 3x 
2.13. y  sin 4 x 
arctg1
x
2.23. y  tg 3x 4
2.4. y  tg3x 
2.14. y  ctg 2 x 3

2.24. y 
2.5. e x y  x 4  y 4  5
2.15. y 
2.2. y  lg 4 x5  sin 5 2 x
cos 5 x

x4
2 2

2.6. y  1  x 4
arcsin 3 x


sin x
3x  2

arcctg 2 x
2.16. y  arccos x 
tg 7 x
cos x




x5
2.25. y  tg 7 x 5
x3
x 3


arccos 3 x
x2
2.26. y  arccos  x  2
tg 3 x
2.7. y  ctg5 x 
2.17. y  cos2  x 
2.27. y  arctg x  7 
2.8. 2 x  2 y  2 x y
2.18. y  cos 5 x 
2.28. y  ctg 3x  2
2.9. y  sin 3 x 
2.19. y  ln x  3
x3 1
ln x
arctg x
arccos x
sin x
cos 2 x
arcsin 3 x
2.29. y  cos2 x  5
arctg5 x
2.10. y  arccos 5 x 
2.30. y  lg 4 x  3
2.20. y  arcsin 5x 
3. Дифференцирование функций заданных параметрически
ln t

 x  e t  cos t
 x  2t  3  cos t
x 
3.1. 
3.11. 
3.21. 
t
3
 y  e t  sin t
 y  3t
 y  t 2  ln t

tg x
ln x
arccos 4 x
 x  arccos t
3.22. 
 y  1  t 2
1

x


t 1

3.23. 
2
 y   t 

 t 1
 x  2 cos 2 t
3 .2 . 
 y  3 sin 2 t
x  t 4
3.12. 
 y  ln t
 x  6 cos 3 t
3 .3 . 
 y  2 sin 3 t
 x  5 cos t
3.13. 
 y  4 sin t
1

x


t2

3.4. 
2
 y   t 

t  2
 x  5 cos 2 t
3.14. 
 y  3 sin 2 t
 x  5 sin 3 t
3.24. 
 y  3 cos 3 t
 x  e 2t
3.5. 
 y  e 4t
 x  arctgt
3.15. 
2
 y  ln 1  t
 x  3 t  12
3.25. 
 y  t  1
 x  t
3.6. 
 y  5 t
 x  arcsin t
3.16. 
 y  1  t 2
 x  e 3t
3.26. 
 y  e 8t
2t

x

3

t 1
3.7. 
2
y  t

t2 1
 x  3sin t  t cos t 
3.18. 
 y  3cos t  t sin t 
 x  ln 2 t
3.27. 
 y  t  ln t


73
x  t 2  1

3 .8 . 
t 1
y  2
t 1

 x  4t  2t 2
3 .9 . 
 y  5t 3  3t 2
ln t

x 
3.10. 
t
 y  t  ln t
 x  3t  sin t 
3.17. 
 y  31  cos t 
 x  tet

3.28. 
t
y  t
e

 x  sin 2t
3.19. 
2
 y  cos t
 x  6t 2  4
3.29. 
 y  5t 5
 x  e 3t
3.20. 
 y  e 3t
 x  arcsin t
3.30. 
 y  ln t
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется, заданной неявно?
2. Алгоритм дифференцирования функции, заданной неявно.
3. Как находится производная функции заданной параметрически?
4. В чем смысл логарифмического дифференцирования?
Практическая работа № 16
Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя
Цель: Проверить навыки нахождения производных высших порядков, правило Лопиталя.
Задания
1. Для данной функции у и аргумента х0 вычислить y( x0 ) .


1.1. y  sin 2 x, x0  ;
1.16. y  x cos 2 x, x0 
2
12
4
1.17. y  x ln x, x0  1
1.2. y  arctgx, x0  1 ;


1.3. y  ln 2  x 2 , x0  0 ;
1.4. y  e x  cos x, x0  0 ;
1.5. y  e x  sin 2 x, x0  0 ;
1.6. y  e  x  cos x, x0  0 ;
1.18. y  x  arctgx, x0  1

1.19. y  cos 2 x, x0 
4
2
1.20. y  ln x  4, x0  3

1.21. y  x 2  cos x, x0 
4
3
2
1.7. y  e x  sin 2 x, x0   ;
1.22. y  x  arccos x, x0 
1.8. y  2x  1 , x0  1 ;
1.23. y   x  1  ln  x  1, x0  
1.9. y  ln 1  x , x0  2 ;
1
1.10. y   x 2 e x , x0  0 ;
2
1.11. y  arcsin x, x0  0 ;
1.24. y  ln 3 x, x0  1
5
1.12. y  5x  4 , x0  2 ;

1.13. y  x sin x, x0  ;
2
5
1
2
1.25. y  2 x , x0  1
2
1.26. y  4 x  3 , x0  1
5
1.27. y  x  arcctg , x0  2
1.28. y  7 x  4 , x0  1
6
74
1.14. y  x 2 ln x, x0 
1
;
3
1.15. y  x sin 2 x, x0  
1.29. y  x sin 2 x, x0 

4
;



4
1.30. y  sin x3   , x0  3 
2. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя
2.1. lim
ln x  5
x3
a x
2.2. lim
х 
x 1
х 
4
;
2.16. lim x
ln x
2.3. lim x0
;
tgx  x
;
x  sin x
 x 
1  4 sin 2  
 6 ;
2.4. lim x1
2
1 x
xa
2.5. lim xa arcsin
 ctg  x  a  ;
a
2.6. lim x   2arctgx ln x ;
 1x 
2.7. lim x  a  1 x ;


x 
 1
2.8. lim x1 

;
 ln x ln x 
1  cos x2
2.9. lim x0 2
;
x  sin x 2
2.17. lim x0
ln x
3
x
3x
e 1
sin 5 x

x
 x 
ctg 
 2
1
 2tgx
2
cos
x
2.19. lim 
x
1  cos 4 x
4
ln sin mx
2.20. lim x0
ln sin x 
tgx
2.21. lim 
x tg 5 x
2
2.18. lim x0
2.22. lim x0 1  cos x ctgx
 x 
2.23. lim x1 1  x tg  
 2
3
2.24. lim x x  sin  
 x
2.25. lim x1
1  2x  1
2 x  x
e 1
;
2arctgx 2  
2.26. lim x0
x cos x  sin x
x3
x3  2 x 2  x  2
;
x3  7 x  6
2.27. lim x1
2.10. lim x0
tgx  x
;
2 sin x  x
2.11. lim x
2.12. lim x1
3
1
x2
1 x
 x 
1  sin  
 2
tgx  sin x
2.28. lim x0
4 x  sin x
tg3 x
2.29. lim 
x tg 5 x
2
x  sin x
2.30. lim x
x  cos x
x cos x  sin x
;
x3
ex
2.14. lim x 5 ;
x
1 x
;
2.15. lim x1
 x 
1  sin  
 2
3. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя
2.13. lim x0
75
1  cos 8 x
;
tg 2 2 x
a
3.2. lim x x 4 sin   ;
 x
1  cos ax
1  cos bx
xa
3.17. lim xa n
x  an
3.3. lim x1 ln x  ln x  1 ;
3.18. lim x0
3.1. lim x0
5
 1

3.4. lim x3 
 2
;
 x 3 x  x 6

1
1
3.5. lim x1 

3
 2 1 x 31 x
 e ax  ebx 
 ;
3.6. lim x0 
 sin x 

3.7. lim
 
 x
 
;



x
ctgx 2 cos x 
2
 x
3.8. lim x   x tg   ;
2
 x  arctgx 
3.9. lim x0 
;
x3


 1  sin ax 
;
3.10. lim  
2 
x


2
ax



2a 
 1  2 sin x 
3.11. lim  
;
x  cos 3 x 
6
3.16. lim x0
ex 1
sin 2 x
3.19. lim x0 x ln x


 ;

1 
 1
3.20. lim x0 
 2
 x sin x x 


3.21. lim x0 1  e 2 x  ctgx
 ax  bx 

3.22. lim x0 
2 
 x 1 x 
2
 e x  1  x3 


3.23. lim x0
 sin 2 2 x 


 ea x  1 

3.24. lim x0 
 sin bx 


3.25. lim x0


ln 1  x 2
cos 3x  e  x
 ex 
3.26. lim x  5 
x 
 e2 x  1 
 ;
3.12. lim x0 
 ln 1  2 x  
3.27. lim x
 a x 1
 ;
3.13. lim x0  x
 c 1 
3.28. lim x0
ln x  7 
7
x3

x
 5x 
ctg 
 2
3.14. lim x1
ln x
;
1  x3
3.29. lim x0 1  cos 2 x   ctg 4 x
3.15. lim x1
ln x
;
ctgx
b

3.30. lim x  x 2  sin 
x

Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Дайте определение дифференцируемости функции в точке х0.
Дайте определение второй производной функции y = f (x).
Дайте определение n - й производной функции y = f (x).
Сформулируйте правило Лопиталя.
76
Практическое занятие № 17
Нахождение асимптот и интервалов монотонности
Цель: Проверить навыки исследования функции на промежутки монотонности, и
нахождение асимптот.
Задания
1. Найдите промежутки монотонности функции
a) y  1  3x  x 3
a) y  2 x 3  3x 2  2
1.1.
1.16.
1
2
б) y 
б) y 
x2
x 3
2 3
a) y  x  x 2  4 x  5
a) y  x 2 ( x 2  2)  3
3
1.2.
1.17.
3
б) y   x  3
б) y  1
x
4
2
a) y  0,25 x  2 x  1,75
a) y  x 3  3x 2  4
1.3.
1.18.
2
1
б) y  1 
б ) y  3x 
x
3x
1
a) y   x 3  4 x 2  4 x
a ) y  ( x  2) 2 ( 2 x  3)
2
1.4.
1.19.
4
1
б) y   x
б) y  5 
x
x
a ) y   x 4  8 x 2  16
a) y  2 x 3  3x 2  4
1.5.
1.20.
1
x2
б) y  x 
б) y  2
x
x 3
3
2
3
a) y  x  6 x  9 x
a) y   x  3x  2
1.6.
1.21.
x  28  x 
2
б) y 
б) y  2
2
x
x 4
3
a
)
y

x
 6x2  9x
a) y  x 2 ( x  3)  1
1.7.
1.22.
2
б) y  2
б ) y  x  1e3 x
x 4
a) y  x 4  2 x 2  2
a) y  x 3  4 x 2  4 x
1.8.
1.23.
16
б) y  
б ) y  xe3 x
x2  5
a) y  6 x 4  4 x 6
a) y  x 3  3x 2  9 x  27
1.9.
1.24.
б ) y  xe x
б) y  6  4  3 x2
1
1 6
a) y  2( x  2)( x  1) 2
a) y  x 4 
x
1.10.
1.25.
4
24
x
б ) y  xe
б ) y  x  ln x
1
1
a) y  x 2  x 5
a) y  2 x 3  3x 2  36 x  40
2
5
1.11.
1.26.
x2
x
б) y  e
б) y 
x 1
77
1.12.
1 5 1 3
x 1 x
5
3
1.27.
2x
б) y  2
x 1
x5 x3
a) y    6 x  1
1.28.
5 3
б) y  x 2  x
a) y 
a) y  x 3  3x
б ) y  ex
2
a) y  x 4  2 x 2
1.13.
б) y 
x2
x2
x2 x
1
  6x 
4 16
4
1.14.
1.29.
 x 2  3x  1
3x
б) y 
б) y 
x
1  x2
x4
a) y  x 3  3x 2  4
a) y 
 8x 2
2
1.15.
1.30.
 2x2  4  x
б) y 
x2  2x  2
2
б) y 
x  2
x 1
2. Найти асимптоты и промежутки монотонности
x2  2x  2
2x2  x  3
2x 1
2.1. y 
2.11. y 
2.21. y 
x 1
x 1
x  12
a) y  x 3  6 x 2  9
2 .2 . y 
x 1
x  12
a) y 
2.12. y 
x2  1
x2 1
2.22. y 
x5
x4 1
x
9 x
4x  x2  4
2.5. y 
x
2
x
2.6. y  2
4x 1
x2  x 1
2.13. y  2
x  2x
x  22
2.14. y 
x 1
2x2 1
2.15. y 
x
x2
2.16. y 
4  2x
x3  4
x2
x 2  3x  2
2.24. y 
x 1
3
x
2.25. y  4
x 1
x3
2.26. y 
2
2x  5
17  x 2
4x  5
ln x
2.8. y  x 
x
x
2.9. y 
x2
x3
2.10. y  2
x  x 1
x2  6
x2  1
x3
2.18. y  2
x 1
x 2  3x
2.19. y 
x 1
2
x  3x  2
2.20. y 
x 1
1
x2
5x 4  3
2.28. y 
x
4  2x
2.29. y 
1  x2
5x
2.30. y 
4  x2
2.3. y  e
1
5 x
2.4. y 
2.7. y 
2.17. y 
2.23. y 
2.27. y  x 2 
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Что такое асимптота?
Виды асимптот
Правила нахождения вертикальных и наклонных асимптот.
Правило нахождения промежутков монотонности.
78
Практическое занятие № 18
Нахождение экстремумов. Построение графиков
Цель: Проверить навыки нахождения точек экстремума и алгоритм построения графиков
функций.
Задания
1. Исследовать на экстремум следующие функции
x4
a) y  x 3  6 x 2  9
a) y 
 8x 2
2
1.1.
1.16.
 x 2  3x  1
x2  2x  2
б) y 
б) y 
x
x 1
x2 x
1
a) y  x 4  2 x 2
a) y 
  6x 
4 16
4
1.2.
1.17.
x2
3x
б) y 
б) y 
x2
1  x2
x5 x3
a) y  x 3  3x
a) y    6 x  1
1.3.
1.18.
5 3
2
б ) y  ex
б) y  x 2  x
1
1
a) y  x 2  x 5
a) y  2 x 3  3x 2  36 x  40
2
5
1.4.
1.19.
2
x
б) y  ex
б) y 
x 1
1
1 6
a) y  2( x  2)( x  1) 2
a) y  x 4 
x
1.5.
1.20.
4
24
б ) y  xex
б ) y  x  ln x
a) y   x 3  3x  2
a) y  6 x 4  4 x 6
1.6.
1.21.
2
б) y  2
б) y  5  4  3 x 2
x 4
4
2
a) y  x  2 x  2
a) y  x 3  4 x 2  4 x
1.7.
1.22.
б ) y  xe3 x
б) y  3 x 2  4x
a) y  x 3  6 x 2  9 x
1.8.
2
б) y  2
x 4
1.9.
a) y  x 3  3x 2  9 x  27
б ) y  xe x
1.10.
a ) y   x 4  8 x 2  16
1
б) y  x 
x
1.23.
a) y  x 2 ( x  3)  1
б ) y  x  1e3 x
a) y  x 3  6 x 2  9 x
1.24.
x  28  x 
б) y 
x2
a) y  2 x 3  3x 2  4
1.25.
x2
б) y  2
x 3
79
a) y   x 3  4 x 2  4 x
1.11.
4
б) y   x
x
a) y  x 3  3x 2  4
1.12.
1
б ) y  3x 
3x
2 3
x  x2  4x  5
3
1.13.
3
б) y  1
x
a) y  2 x 3  3x 2  2
1.14.
2
б) y 
x 3
1
( x  2) 2 ( 2 x  3)
2
1.26.
1
б) y  5 
x
1
1
a) y  x 5  1 x 3
5
3
1.27.
2x
б) y  2
x 1
a) y 
a) y 
1.28.
1.29.
a) y  0,25 x 4  2 x 2  1,75
б ) y  cos 3x  3x
a) y  x 2 ( x 2  2)  3
б) y   x  3
a) y  1  3x  x 3
1.30.
1
б) y 
x2
2. Исследовать на экстремум и построить график функции
a) y  x 4  8 x 2  3
1.15.
б ) y  x  sin 2 x
2.1. y  x 3  3x 2  2
2.2. y  2 x 3  x 2  8 x  7
2.3. y   x 4  5 x 2  4
2.4. y  x 3 2  x 
2.5. y  9 x  x 3
1
2
3
2.6. y  x 4  x 3  x 2  2
4
3
2
4
2
2.7. y  4 x  2 x  3
2.8. y  x 4  4 x 3  8x 2  1
2.9. y  x 3  4x 2
2.10. y  3x 4  4 x 3
1
2.11. y  x 3  3 x 2
3
1
2.12. y   x 4  x 2
4
2.13. y  2 x 3  3x 2  2
2.14. y 
2 3
x  x 2  4x  5
3
2.15. y  x 4  8 x 2  1  4 x 3
2.16. y  x 3  x 2  x  1
1
5
2.17. y  x 3  x 2  3x 
3
3
4
2
2.18. y  2 x  9 x  7
2.19. y  x 5  5x
2.20. y  5 x 3  3x 5
2.21. y  8  2 х  x 2
2.22. y  x 3  3x 2  4
1
2.23. y  x 3  2 x 2
3
2.24. y  4 x 2  x 4  3
2.25. y  x 4  2 x 2  3
1
2.26. y  x 4  3 x 2  2
2
5
2.27. y  1  x 5  x 2
2
1 3
2.28. y  x  2 x
6
1
1
2.29. y   4 x  2,5 x 2  х 3
3
3
1
1
2.30. y   x 3  3,5 x 2  10 х 
3
3
Контрольные вопросы
1. Признаки возрастания и убывания функции.
80
2.
3.
4.
5.
6.
Алгоритм исследования функции на промежутки монотонности.
Определения точек максимума и минимума функции.
Необходимое и достаточное условие существования экстремума.
Алгоритм исследования функции на экстремум.
Наибольшее и наименьшее значение функции, алгоритм нахождения.
Практическое занятие № 19
Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости
Цель: проверить умения и знания по нахождению интервалов выпуклости и вогнутости,
точек перегиба.
Задания
1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба кривых
1.1. у  х 4 
1.2. у 
3 2
х  4х
2
1 3
х х
3
1.3. у  х 3  6 х 2  9 х  3
1.4. у  2 х 3  3х 2  4 х  9
1.5. у   х 3  6 х 2  15 х  10
1.6. у  х 4  12 х 3  48 х 2  50
1.7. у  х  36 х 2  2 х 3  х 4
1
1
1.8. у  х 4  х 2
12
2
1.9. у  12 х 4  12 х 2
1.10.
у  3х 5  5 х 2  1
1.11.
у  х 3  4х 2  2х  1
1.12.
у  х 4  4 х 3  8х  2
1.13.
1.14.
у  х 3  5 х 2  3х  1
1.15.
y  x 3  12 x 2  3x
1 4 1 3
y
x  x  x2
12
6
1
5
1.16 y   x 4  x 3  4 x 2
4
3
1.17. y  3x 2  x 3
5 4 2 3 9 2
x  x  x
12
3
2
1
1.19. y  x 3  2 x 2
3
1 3
1.20. y  x  x
3
1.21. y  x 3  3x 2  5 x  6
1.18. y 
1.22. y  x 4  12 x 3  54 x 2  50
1
.23. y  x 4  x 2
6
1
1
1.24. y  x 3  2 x 2 
3
3
2
1.25. y  x 3  4 x 2  10
3
1 3
1.26. y  x  2 x 2
3
1
1
1.27. y  x 3  x 2 
3
3
3
2
.28. y  x  3x  24 x  8
1.29. y  x 3  9 x 2  24 x  12
1
1.30. y  x 3  x 2  6
3
2. Исследовать на экстремум и точки перегиба кривую и построить схематический
график функции
81
1 3
x  x2
3
1 3
1
2.2. y  х  х 2  x 4
6
12
2.3. y  12  24 х  x 3  9 x 2
2.1. y  6 
2.4. y  3х  12 х 2  x 3
2.5. y  24 x  8  3х 2  х 3
2.6. у  3х  х 3  5 х 2  1
1
1
2.7. y  x 2  x 3 
3
3
4
2.8. у  8 x  2  х  4 х 3
1
2.9. y  2 x 2  x 3
3
3
2.10. у  1  х  4 х 2  2 х
2
2.11. y  4 x 2  10  x 3
3
5
2.12. у  1  3х  5 х 2
1 1
2.13. y  2 х 2   x 3
3 3
2.14. у  12 х 4  12 х 2
2.15. y 
1 4
x  x2
6
2.16. y  54 х 2  50  5 x 4  12 x 3
2.17. у  х  2 х 3  х 4  36 х 2
2.18. y  3х 2  5х  6  x 3
2.19. у  48х 2  50  х 4  12 х 3
1
2.20. y  2 х 2  x 3
3
2
2.21. у  6 х  х 3  15х  10
1
2.22. y  x 3  x
3
2.23. у  9  2 х 3  3х 2  4 х
2
9
5
2.24. y  x 3  x 2  х 4
3
2
12
3
2.25. у  9 х  3  х  6 х 2
2.26. у  9 х  3  х 3  6 х 2
2.27. y   x 3  3х 2
1
2.28. у   х  х 3
3
3 2
х
2
5
1
2.30. y  x 3  4 x 2  х 4
3
4
2.29. у  х 4  4 х 
3. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба кривой
5x 4  3
х
4  2x
y
1 x2
5x
y
4  x2
x 2  2x  2
y
x 1
3
x
y 4
x 1
x2  x 1
x 2  2x
3.1 y 
3.16 y 
3.2
3.17 y  ( x  1)e 3 x 1
3.3
3.4
3.5
3.6 y 
3.7 y 
е2х  1
ех
ln x
x
2
x 1
3.8 y 
x2
x 2  3x  2
x 1
5
x
3.19 y  4
x 1
2x  1
3.20 y 
( x  1) 2
3.18 y 
3.21 y 
x2  6
x2 1
3.22 y  x ln x
3.23 y  x 
ln x
x
82
4x  x 2  4
x
3.10 y  x /(9  x)
3.9 y 
3.24 y  x  ln( 1  x 2 )
3.25 y  x 2  2 ln x
x2
3.11 •
y  2
4x  1
1 x
3.12 y   ln
1 x
x3
3.13 y  2
x  x 1
3.14 y  x 3 e  x
3.15 y 
2
3.26 y  ( x 3  4) / x 2
3.27 y  ln( x 2  1)
( x  2) 2
3.28 y 
x 1
ln x
3.29 y 
x
x 1
3.30 y 
( x  1) 2
/2
13 2
x ( x  5)
3
Контрольные вопросы
1.
Что такое точка перегиба?
2.
Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.
3.
Как определяется геометрически и по знаку второй производной выпуклость
и вогнутость кривой?
4.
Алгоритм нахождения интервалов выпуклости.
Практическое занятие № 20
Полное исследование функций. Построение графиков
Цель. Выявить уровень овладения учащимися комплексом знаний и умений по
исследованию функции и построению графика функции.
1. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики
x 2  2x  2
x2  6
1.21 y  x /(9  x)
1.11 y  2
1.1 y 
x 1
x 1
4x  x2  4
ln x
1.12 y  x ln x
1 .2 y  x 
1.22 y 
x
x
2
x
1.23 y  2
1.3 y  x  ln( 1  x 2 )
1.13 y  ( x  1)e3 x1
4x 1
3
2
x
x  3x  2
5х 4  3
1.4 y  2
1.14 y 
1.24 y 
х
x  x 1
x 1
2
x

1
4
х
1.25 y 
1.5 y  x 2  2 ln x
1.15 y 
2
4  х2
( x  1)
1.6 y  x3e x
2
/2
1.16 y 
x5
x4 1
1.26 y 
4  2x
1 x2
83
x2  x 1
x2  2x
( x  2) 2
1.8 y 
x 1
1 x
1.9 y   ln
1 x
х3  4
х2
1
1.18 y  3 x 2 ( x  5)
3
x 1
1.19 y 
( x  1) 2
5x
4  x2
х3
1.28 y  4
х 1
е2 х  1
1.29 y 
ех
1
1.30 y  x 2  2
1.10 y  ln( x 2  1)
1.20 y  e1/(5 x )
х
2. Провести полное исследование указанных функций и построить их графики.
2.1. y  x 3  3x 2  2
2.16. y  x 3  x 2  x  1
1
5
2.2. y  2 x 3  x 2  8 x  7
2.17. y  x 3  x 2  3x 
3
3
4
2
4
2
2.3. y   x  5 x  4
2.18. y  2 x  9 x  7
1.17 y 
1.7 y 
2.4. y  x 3 2  x 
2.5. y  9 x  x 3
1
2
3
2.6. y  x 4  x 3  x 2  2
4
3
2
4
2
2.7. y  4 x  2 x  3
1.27 y 
2.19. y  x 5  5x
2.20. y  5 x 3  3x 5
2.21. y  8  2 х  x 2
2.22. y  x 3  3x 2  4
1
2.8. y  x 4  4 x 3  8x 2  1
2.23. y  x 3  2 x 2
3
3
2
2.9. y  x  4x
2.24. y  4 x 2  x 4  3
2.10. y  3x 4  4 x 3
2.25. y  x 4  2 x 2  3
1
1
2.11. y  x 3  3 x 2
2.26. y  x 4  3 x 2  2
3
2
1 4
5
2.12. y   x  x 2
2.27. y  1  x 5  x 2
4
2
1
2.13. y  2 x 3  3x 2  2
2.28. y  x 3  2 x
6
2
1
1
2.14. y  x 3  x 2  4 x  5
2.29. y   4 x  2,5 x 2  х 3
3
3
3
1
1
2.15. y  x 4  8 x 2  1  4 x 3
2.30. y   x 3  3,5 x 2  10 х 
3
3
3.Найти наименьшее и наибольшее значения функции y =f(х) на отрезке [а; b].


3.1. y  ln x 2  2 x  2 , 0; 3
3.16. y  e 4 x x , 1; 3
3x
, 0; 5
2
x 1
2x  1  1 
,  ;0
3.3. y 
x  12  2 
3.17. y 
3.2. y 
3.4 y  x  2  e1x ,  2; 2
3

3.5. y  ln x 2  2 x  4,  1; 
2

3
x
,  1;1
3.6. y  2
x  2x  4
2
x5  8
,  3;  1
x4
e2x  1
,  1; 2
3.18. y 
ex
1 
3.19. y  x  ln x,  2 ;1
e 
3.20. y  x 3  e x 1 ,  4; 0
3.21. y 
x 2  2x  2
,  1; 3
x 1
84
 x 1
3.7. y  
 , 1; 2
 x 
 4 
3.22. y   x  1  3 x 2 ,  ; 3
 5 
3.8. y  x  x 3 ,  2; 2
3.23. y  e 6 xx ,  3; 3
ln x
3.24. y
, 1; 4
x
3
2
3.9. y  4  e  x , 0;1
2
x3  4
, 1; 2
x2
3.11. y  x  e x ,  2; 0
3.12. y  x  2  e x ,  2;1
3.25. y  3x 4  16 x 3  2,  3;1
3.10. y 

3.26. y  x 5  5x 4  5x 3  1,  1; 2
3.27. y  3  x   e  x , 0; 5

3.13. y  ln x 2  2 x  2 , 0; 3
x
,
9  x2
1  ln x
3.15. y 
,
x
3.14. y 
3.28. y 
3
 
 cos x, 0; 
2
 2
3.29. y  108 x  x 4 ,  1; 4
 2; 2
1 
 e ; e
3.30. y 
x4
 6 x 3  7, 16; 20
4
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Сформулируйте алгоритм нахождения экстремумов функции.
Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?
Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости.
Как отыскиваются экстремумы функций с помощью второй производной?
В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и
нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?
Тест по теме «Производные функций»
1. Прямолинейное движение точки задано уравнением S  3t 2  2t  5 (м ). Найти
скорость движения точки в момент времени t  3 c .
a) 26 (м /с)
b ) 16 (м /с)
c ) 30 (м /с).
2
2. Найти y   1 , если y  x  x
a ) y  ( 1 )  1 b) y  ( 1 )  0 c ) y  ( 1 )  9
1
y  x2  2 x  4

2
3. Найти y  1 , если
a) y  ( 1)  1
b) y  (  1 )   3
c) y  ( 1)  5
y
4. Найти y   1 , если
a ) y  (1 )  4
b) y  ( 1 )  3
1
x4
c) y  (1)  4
 
y   ,
 6  если y  sin 2 x
5. Найти
 
 
a) y     1
b) y     1
6
6
1
 
c) y     
2
6
6. Производная произведения функций вычисляется по формуле:
85
a) (u  v)  u   v
b) (u  v)  u   v  v  u
(u  v) 
u  v  v  u
c)
v2
3
7. Найти производную функции f ( x)  x  5 х
a) 4х5-1
b) 3х2+5
c) 0
8. Найти угловой коэффициент касательной к оси ОХ функции
y  3 x 2  x; в точке х0  2
a) -5
b) 13
c) 2
6
у  9  9х8  х5
5 .
9. Найдите производную функции
1
a) у   9 х  х 9  х 6 ; b) у   9 х  72 х 7  5х 4 ; c) у   72 х 7  6 х 4 ;
5
10. Точка х0 называется точкой минимума функции f x  , если для всех х из
некоторой окрестности х0 выполняется условие
a) f x0   f x  b) f x0   f x 
c) f  x0   f  x 
11. Найти производную функции y  sin 3x  1
a) y  cos3x  1 b) y   3 cos x
c) y  3 cos3x  1
2
12. Тело движется прямолинейно по закону st   t  2t  5 . Найти уравнение
скорости движения
a) vt   2t  2t  5
b) st   t 2 c) vt   2t  2
13. Найти вертикальные асимптоты функции
a) -5
b) 4
c) 2
y
9x
4 x
3
2
14. Точка движется прямолинейно по закону S  2 t  3 t  2 t  9 . Найти ускорение
точки в конце второй секунды.
a) 25 м / c 2 b) 30 м / c 2 c) 15 м / c 2
15. Уравнение касательной к графику функции имеет вид:
a) y  y0  y x0 x  x0 
b) y  y0  y x0 x  x0 
c) y  y0   y x0 x  x0 
16. Найти производную функции
b) 5 x 4
c) 4 x 3
a) 3 x 2
y  x 2  x  x1,5
17. Производная функции y  sin u вычисляется по формуле:
a) y   cos u  u 
b) y    cos u  u 
c) y   cos u 
18. Производная функции y  cos u вычисляется по формуле:
a) y   sin u  u 
b) y    sin u  u 
c) y    sin u
19. Если в некотором промежутке f ( x)  0 , то функция:
а) Убывает
b) Возрастает
c) Пересекает ось ОХ
20. Если в некотором промежутке f ( x)  0 , то функция:
а) Убывает
b) Возрастает
c) Пересекает ось ОХ
21. Найти производную функции
y  1 х 2
86
a) y  
2x
1 x 2
b) y   
2x
1 x 2
c) y   
x
1 x 2
22. Критические ( стационарные ) точки – это точки, в которых
а) производная обращается в нуль или терпит разрыв;
b) производная не существует;
с) производная отрицательна.
23. Найти производную функции y  x  ln x в точке х0  1
a) 1
b) 0
c) 2
Контрольная работа за 1 семестр
Вариант 1
1. Решить систему уравнений (Ответ: (3,5; -1; -1,5))
 x y  z 1

2 x  3 y  2 z  7
3x  2 y  5 z  0

 2 1 3
 3 0 1




2. Найти определитель матрицы C  2 A  B , если A   3 1 2  , B    2 0 5 
 1 2 3
 1 1 2




 1 2 5


Ответ: C   8 2  1
 5 3 4 


3. Найти площадь треугольника с вершинами
A(3;  2;  4) , B(1;  4;  7) , C (1;  2; 2)
4. Найти пределы:
Ответ:
x3  x 2  2x
7 x 3  2x 2  4x
a) lim
б ) lim
x 0
x 
x2  x
2x 3  5
7
а)2; б) 2
Вариант 2
1. Решить систему уравнений: (Ответ: (1; -1; 1))
 x  y  z  1

3x  2 y  4 z  9
2x  3y  2z  1

 3 1 2
 1 0 2 




2. Найти определитель матрицы C  3A  2B , если A    2 1 3  , B   3 5 0 
 0 1 1
 2 1  3




 7 3 10 


Ответ: C   0 13 9 
 4 5  3


87
3. Найти площадь треугольника с вершинами A(1; 2; 0) , B(3; 0;  3) , C (5; 2; 6)
2x 2  x  1
5x 4  7 x 2  6
б
)
lim
x 1 3 x 2  x  2
x  12 x 4  5 х 3
4. Найти пределы:
a) lim
5
3
а) 5 ;б) 12
Ответ:
Вариант 3
1. Решить систему уравнений: (Ответ: (-1; 1; 1))
 x  y  z  1

 2x  3 y  4z  5
3x  2 y  2 z  7

 1 3 4


2.Найти C  A  3 A , если A   2 1 6 
 0 1 2


 10 11 42 


Ответ: C   10 4 44 
 2  6 4 


2
3 Найти площадь треугольника с вершинами A(1;  1; 2) , B(5;  6; 2) , C (1; 3;  1)
4 Найти пределы:
x 2  4x  5
3x 2  10 x  3
б
)
lim
x 1 x 2  2 x  3
x  2 x 2  5 х  3
a) lim
3
3
а) 2 ;б) 2
Ответ:
Вариант 4
1. Решить систему уравнений: (Ответ: (1; 1; 1))
 x  y  z  1

4 x  5 y  3z  6
2 x  3 y  2 z  3

2 
 1 3 5
 4 1




2. Найти A  3B , если A   1  1 5  , B   0 4  1
 2 1 3 
 3
0  2 



 20  14  22 


Ответ: C   10  10  10 
  12 0
1 

2
88
3. Найти площадь треугольника с вершинами A(1; 2; 3) , B(2; 1; 4) , C (0;  3; 4)
4. Найти пределы:
Ответ: а)

2x 2  7x  4
x 3  3x 2  10
б
)
lim
x 1 x 2  5 x  6
x  7 x 3  2 х  1
a) lim
1
1
2 ; б) 7
Вариант 5
1. Решить систему уравнений: (Ответ: (1;- 1;- 1))
  x  y  z  3

 2 x  2 y  3z  3
3x  4 y  5 z  6

 3 1 2
 2 3 1




5 1
2. Найти C  A  AB , если A    4 0 5  , B   2
  2 3 0
 3 1 2




 12 19 8 


Ответ: C    26 19  3 
 10
9 9 

3. Найти площадь треугольника с вершинами A(7; 3; 4) , B (1; 0; 6) , C (4; 5;  2)
4. Найти пределы:
3x 2  11x  6
8x 4  5x 2  6
б
)
lim
x 1 2 x 2  5 x  3
x 
2x5  х3
a) lim
1
Ответ: а) 3 ; б) 0
Вариант 6
1. Решить систему уравнений: (Ответ: (-1; -1; 1))
 x yz 3

5 x  2 y  3z  4
3x  4 y  2 z  9

`
 4 3 1


2. Найти C  A  A , если A   1 3 2 
  2 4 0


2
89
  13  22  9 


Ответ: C    2  17  5 
 2
 2  6 

3. Найти площадь треугольника с вершинами
A(1;  2;  3) , B(1;  1;  2) , C (3; 0;  2)
4.Найти пределы:
a) lim
x4
5  7x 2  6х
x 2  3x  4
б
)
lim
x  12 x 2  5 х  3
x 2  x  12
5
7
Ответ: а) 7 ; б) 12
Тема 3.3. Интегральное исчисление (У3, З3)
Устный опрос 1
Записать табличные интегралы:
1.
 dx 

2.
 x dx 
3.

4.
 a dx 
dx

x
x
В частности,
5.
6.
 cos xdx 
 sin xdx 
dx
7.
 cos
8.
 sin
9.

2
x
dx
2
x
dx


a2  x2

В частности,
10.
x
 e dx 
a
2

dx
1 x2

dx

 x2
В частности,
dx
1 x
2

11. Свойства неопределенного интеграла
12. Интегрирование заменой переменной (алгоритм)
13. Какие интегралы находятся интегрированием по частям?
14. Алгоритм интегрированием по частям.
15. Как выделить полный квадрат из квадратного трехчлена?
90
Устный опрос 2
1. Какая дробь называется рациональной??
2. Какая дробь называется правильной? Как разложить правильную дробь на сумму
элементарных дробей?
3. Какая дробь называется неправильной? Как разложить неправильную дробь на
сумму элементарных дробей?
4. Запишите четыре основных типа простейших дробей и расскажите об их
интегрировании.
5. Метод неопределенных коэффициентов.
Устный опрос 3
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется определенным интегралом?
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
Свойства определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Основные методы интегрирования определенного интеграла
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования
(для № 1-5).
1

1.   5 cos x  3x 2  dx .
x

8
5
4
3x  x  x
2. 
dx .
x5
3.  6 x  3 2 x  4dx .

1
4.
  cos
5.
 1  16 x

2
x
dx
2


dx .

1 x2 
1
.
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
3
6.  8 x  4  dx .
12 x 3  5
 3x 4  5x  3dx .
6
8.  x 5  e x dx .
7.
9. Найти неопределенный
 x  5cos xdx .
интеграл
методом
интегрирования
по
частям:
Вариант 2
Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования
(для № 1-5).
1

1.   6 sin x  4 x 3  dx .
x

9
7
6
x  3x  2 x
dx .
2. 
x7
91
3.
 7
4.
  1  x
5.


x

 2 2 x  5 dx .
1
2

1
sin 2

dx .
x
dx
.
4  9x 2
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).
4
6.  7 x  5 dx .
18 x 2  3
7.  3
dx .
6 x  3x  8
8
8.  x 7  e x dx .
9. Найти неопределенный
 x  2sin xdx .
интеграл
методом
интегрирования
по
частям:
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1
 4 x
2
1. Вычислить определенный интеграл:
2

 x  3 dx .
0
3
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:
 2 x  1 dx .
3
2
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной
линиями: y   x 2  4, y  0, x  2, x  2 .
4. Скорость движения точки изменяется по закону v  3t 2  2t  1 (м/с). Найти
путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.
Вариант 2
 2 x
3
1. Вычислить определенный интеграл:
2

 x  4 dx .
0
1
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:
 3x  1 dx .
4
0
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной
линиями: y   x 2  1, y  0, x  1, x  1 .
4. Скорость движения точки изменяется по закону v  9t 2  8t (м/с). Найти путь S,
пройденный точкой за четвертую секунду.
Тест по теме «Интегрирование»
dx
1.
Найти интеграл 
x5
a) ln( x  5)  C
b) sin( x  5)  C
c) cos( x  5)  C
2.
Найти интеграл
 cos 6 xdx
92
a)  6 sin 6x  C
b)
1
sin 6 x  C
6
1
c)  sin 6 x  C
6
Формула интегрирования по частям имеет вид:
a)  udv  uv   vdu b)  udv   vdu  uv c)  udv  uv
3.
Площадь криволинейной трапеции определяется по формуле:
4.
b
b
a) S   f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
b)
a
S   f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
c)
a
b
S   f ( x)dx  F (a)  F (b)
a
5
5.
Найти интеграл
 dx
3
a)4
6.
b) -2
c) 2
Найти интеграл  2 x  1dx
1
0
a) 2
b) 4
c) 1
7.
Скорость прямолинейного движения точки задана уравнением v  t 2  8t  3 .
Найти уравнение движения.
1 3
1
a) S  t  4 t  3 t  C
b) S  t 3  4 t  3 t  C
c) S  t 3  4 t  3 t  C
3
3
y
8.
Вычислить площадь заштрихованной фигуры
b) 8
c) 5
9.
Вычислить площадь заштрихованной фигуры
b) 8
c) 9
a) 4
a) 4
yx
0
y
10.
a) 4
11.
a)
Вычислить площадь заштрихованной фигуры
b) 9
c) 5
Найти интеграл
x4
C
2
b)
x4
C
4
 2х
3
c)
x
4
y  x2
0
3
y
y  x2
x
dx
x2
C
2
3
0
x
93
12.
Найти интеграл  3 sin 3x dx
a) cos x  C
b)  cos 3x  C
c) cos 3 x  C
13.
Найти интеграл   3 sin 3 x dx
a) cos x  C
b)  cos 3x  C
c) cos 3 x  C
Найти интеграл  6 cos 6 xdx
14.
a)  6 sin 6x  C
1
c)  sin 6 x  C
6
b) sin 6x  C
Практическая работа №21
Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием,
методом подстановки
Цель: проверить знание
определения неопределённого интеграла, его свойства,
табличные интегралы; формулы интегрирования при помощи замены переменной,
умения вычислять неопределённые интегралы методом замены переменной.
Задание:
1. Найти неопределённые интегралы
1.
1.1.  x 3 3x  1 dx
1.11.  4 x 2 4 x  2  dx
1.2.   2 x 4  3 x  dx
2
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1 .7 . 
4 x  x  8 x
dx
x3
3
4
3
7
1
4
5
1
3
x x x
dx
x
5
x2  3 x2  2 x
dx
x
1
3 x
2
dx
3
dx
1  x2
1.21.  3 x 2  3x  dx
2
2
2
1.12. 
x 2  3x 3  2 x 7
dx
x
1.13. 
7 x  4x  6x
dx
x2
4
4
3
5
3
4
4
2
3
1.22. 
1.23. 
x x x
dx
x
1.24. 
33 x 2  2 x  3 x
1.15. 
dx
x
1.25. 
1.14. 
1.16. 
1.17. 
3
4  4x
2
dx
5
dx
25  x 2
2
1
 
2
 x

x
x
x
2 


1.8.   e  2 x  4  3x dx; 1.18.    8e  5  x 3 dx;


x

1.26. 
1.27. 
2 x 3  3x 4  5 x 6
dx
x2
1
3
4
7
1
2
x x x
dx
x
3
x 2  4 x5  x
dx
x
2
1  x2
dx
3
x 4
2
dx
2
dx
2  3x 2
2 sin 3 x  3
1.28. 
dx
sin 2 x
94
2 cos3 x  5
dx
cos 2 x
5
1.10.  3 x 2  6 cos xdx
3
1.19. 
3
dx
9x  3
1
2.2. 
dx
9x2  3
2.11. 
1.9. 
2 .1 . 
2
1
dx
9x  3
9
2.4. 
dx
9x2  3
1
2.5. 
dx
3  9x2
1
2.6.  2
dx
7x  4
3
2.7. 
dx
7x2  4
2.3. 
2
2 cos 2 x  4
dx
cos 2 x
1
1.20.  sin x  4 x 7 dx
2
2.
2.12. 
2.13. 
1
dx
5x  3
1
2.19. 
dx
dx
2.24. 
2 .9 . 
3  5x 2
5
3  4x
1
2
2
7  2x2

1
dx
3x  2
1
2.22.  2
dx
4x  3
2.21. 
dx
dx
2x2  9
1
2.15.  2
dx
2x  7
1
2.16. 
dx
3x 2  1
1
2.17.  2
dx
3x  2
2.14. 
2.18. 
2.10. 
4  7 x2

2.23. 
1
dx
5x  3
2
5x  3
1
2
1  3 cos 2 x
dx
cos 2 x
1.30.  1  x  2  x dx
dx
2 .8 . 
2
1
1.29. 
2
1
4x2  3
1
dx
dx
3  4x2
1
2.25.  2
dx
4x  3
2
2.26. 
dx
4  3x 2
2
2.27. 
dx
4x2  3
2.28. 
dx
14
dx
2x  7
1
2.20.  2
dx
8x  9
1
dx
4x  7
2
1
dx
8x  9
1
2.30. 
dx
9  8x 2
2.29. 
2
2
3.
3.1. 
3.2. 
dx
2 x  13 ln 2 2 x  1
dx
x  13 ln 2 x  1
dx
3.3. 
1  x 3 ln 2 1  x 
3
ln 2 1  x 
3.4. 
dx
1  x 
3.5. 
5
3.6. 
7
ln 2 1  x 
dx
1  x 
ln 2 1  x 
dx
1  x 
3.11. 
dx
1  x  ln 3 1  x 
ln 3 1  x 
3.12. 
dx
1  x 
3.13. 
3.14. 
ln 2 x  1
dx
2 x  1
dx
x  13 ln x  1
ln 3 6  x 
3.15. 
dx
6  x 
3
ln x  4
3.16. 
dx
x  4
3.21. 
ln 7 x  7 
dx
x  7
ln 5 x  8
3.22. 
dx
x  8
3.23. 
ln 6 x  9
dx
x  9
3.24. 
ln 3x  5
dx
3x  5
3.25. 
ln 4 3x  1
dx
3x  1
3.26. 
dx
x  1ln 2 x  1
95
ln 5 1  x 
dx
1  x 
3.7. 
3.8. 
3
ln 1  3x 
dx
1  3x 
ln 3 3  x 
dx
3  x 
3.9. 
3.10. 
3
ln 4 x  5
dx
 x  5
dx
3.17. 
3.27. 
dx
x  3ln 4 x  3
x  2 ln x  2
ln 7 1  x 
dx
3.28. 
3.18. 
dx
x  3ln 4 x  3
1  x 
ln 3 1  x 
dx
3.29. 
3.19. 
dx
x  4ln 5 x  4
1  x 
ln 3 x  5
dx
3.30. 
3.20. 
dx
x  5ln 3 x  5
x  5
4
cos x
4.21.
sin 3 x
dx
cos 2 3 x
4.22.
cos 4 x
dx
sin 3 4 x
4.1.  sin 4 2 x  cos 2 xdx
4.11. 
4.2.  cos 7 2 x  sin 2 xdx
4.12. 
4.3.  sin 3 4 x  cos 4 xdx
4.13.  3 cos 2 x  sin 2 xdx
4.23.  cos 3 2 x  sin 2 xdx
cos 2 x
dx
sin 3 2 x
sin 3 x
4 .5 . 
dx
cos 4 3 x
sin x
4.6.  3
dx
cos x
sin x
4 .7 . 
dx
cos 5 x
cos x
4.8. 
dx
3  sin x
sin x
4.9. 
dx
cos x  3
sin x
4.10.  3
dx
cos x  1
4.14.  sin 3 5 x  cos 5 xdx
sin 5 x
dx
cos 4 5 x
sin 4 x
4.25. 3
dx
cos 2 4 x
4.4.
sin x  4
3
dx
sin 5 x
dx
cos 5 x
cos 5 x
4.15.
dx
sin 3 5 x
4.24. 
4.16.  cos 7 x  sin 7 xdx
4.26.  sin 6 3x  cos 3xdx
4.17.  cos 3 2 x  sin 2 xdx
4.27.  sin 4 8 x  cos 8 xdx
cos 6 x
dx
sin 7 6 x
sin 4 x
4.19.  3
dx
cos 4 x
cos 6 x
4.20.
dx
sin 4 6 x
4.28.  sin 5 4 x  cos 4 xdx
4.18.
4.29.  3
4.30.
sin 2 x
dx
cos 4 2 x
cos 6 x
dx
sin 3 6 x
5.
5.1. 
arctg 6 3x
dx
1  9x2
5.11. 
arctg 7 3x
dx 5.20.
1  9x2
5.21. 

5.2. 
arctg 2 x
dx
1  x2
5.12. 
arccos 6 3x
dx
1  9x2
5.22. 
dx
1  x arctg 5 x
5.3. 
arctg 3 x
dx
1  x2
5.13. 
arcsin 3 2 x
5.23. 
arcsin x
5.14. 
5.4. 
3
1 x
2
dx
1  4x
2
arcsin 4 x
1 x
2
dx .
dx
5.24. 
dx
1  x arctgx

2
2


dx
1  x  arcsin
2
3
4
x
arctg 2 x
dx
1  4x2
96
5.5. 
5.6. 
5.7. 
3
arccos 2 x
1 x
arccos 2 3x
dx
5.15. 
dx
5.16. 
2
1  9x2
arccos 3 x
1  9x2
dx
arctg 3 2 x
5.8. 
dx
1  4x2
5.9. 
arcsin 5 2 x
5.10. 
dx
1  4x2
arccos 3 2 x
1  4x2
dx
arccos 4 x
1  16 x
arccos 7 x
dx 23.
5.25. 
dx
5.26. 
2
1  x2
1  25 x  arcsin 5 x
2
arcctg 4 5 x
dx
1  25 x 2
5.18. 
arcsin 2 5 x
5.19. 
1
dx
2
1  x arctg 3 x

5.29. 
5.20. 
1
dx
2
1  x arctg 7 x
5.30. 
1  25 x 2

dx


5.27. 
arctg 8 3x
dx
1  9x2
5.12. 
arccos 2 7 x
6.
x 1
6.11. 
dx
5  2x2
1  2x
dx
5x 2  1
2x  1
6.3.  2
dx
5x  1
x3
6.4. 
dx
x2  4
3x  2
6.5.  2
dx
2x  7
5 x
6.6.  2
dx
3x  1
x5
6.7.  2
dx
3x  1
2x  5
6.8. 
dx
7x2  3
2x  3
6.9. 
dx
x2  9
3x  2
6.10.  2
dx
3x  1
2x  3
dx
5x 2  2
x3
6.13. 
dx
1  4x2
5x  2
6.14.  2
dx
x 9
1  2x
6.15. 
dx
3x 2  2
2x  3
6.16. 
dx
4  x2
3x  4
6.17. 
dx
5  2x2
5x  2
6.18. 
dx
x2  9
x5
6.19. 
dx
8  4x2
3x  2
6.20. 
dx
2x2 1
6.21. 
6.12. 
arccos 2 x
dx
1  4x2
dx
5.17. 
x 1
6.1.  2
dx
7x  4
6.2. 
3
1  49 x 2
5
dx
arctg 3 x
dx
1  x2
arctg 4 8 x
dx
1  64 x 2
2x  3
dx
1  3x 2
x3
dx
4x2  1
3x  1
6.23. 
dx
4  x2
2x  5
6.24. 
dx
5x 2  1
2x  4
6.25.  2
dx
x  16
2x 1
6.26. 
dx
5  3x 2
3x  3
6.27. 
dx
1  x2
3  2x
6.28.  2
dx
x 8
x4
6.29.  2
dx
7x  3
x5
6.30. 
dx
4  9x2
6.22. 
7.
7 .1 . 
sin xdx
1  cos 2 x
7.11.  sin 2 x  cos xdx
7.21.  x 2 sin x 3 dx
97
7.2.  3 1  2 x  dx
2
7 .3 . 
1
dx
1  4 x 
10
7.4.  8 x  5 dx
4
x
7.5. 
7.6. 
3
1  x2
dx
sin 2 x
dx
1  cos 2 x
7.9.  2 x 3  1 x 2 dx
4
7.10. 
2
7.13. 
1
dx
2  5 x 
5
7.14.  23 x  5 dx
4
x2
7.15. 
2  x3
cos x
dx
x
7.22.  4 1  4 x  dx
3
7.23. 
1

dx
1  6 x 2
4
7.24.  35 x  8 dx
3
x3
7.25. 
dx

sin x
dx
x
7.7.  x 3 sin 3 x 4 dx
7.8. 
7.12.  5 7  3 x  dx
dx
2  x4


7.16.  x 2 cos 4  x 3 dx
7.26.  x 2 cos x 3  5 dx
7.17.  x 2 sin 2 x 3 dx
7.27. 
7.18.  2 x 3  1 x 2 dx
7.28.  3x 3  1 x 2 dx
7.19.  e3 x 1  xdx
7.29.  e x 1  x 2 dx
4
2
7.20. 
ex
dx
e x 1


sin 3x
dx
2  cos 3x
5
3
7.30. 
e3 x
dx
e3 x 1


Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Таблица неопределенных интегралов.
Свойства неопределенного интеграла.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование заменой переменной.
Практическая работа № 22
Интегрирование по частям
Цель: Проверить уровень усвоения материала по методу интегрирования по частям
Задания
1. Найти интегралы методом интегрирования по частям
1. x cos 6 x dx
11.  x cos x  7  dx
2. x sin x  5 dx
12. ln  x 12  dx
3. arcsin 3 x dx
13.   x  4  e x dx
4. arctg 8 x dx
14. x e  6 x dx
x
1.21. arctg dx
5
x
22. arcsin dx
5
23. arccos 2 x dx
1.24. ln 2 x 1 dx
5. x sin  x  2  dx
15. arctg 7 x dx
1.25. ln 2 x  3 dx
6. arcsin 8 x dx
1.16. arcsin 5 x dx
7. x sin x  3 dx
1.17. ln x  7  dx
x
1.26. arccos dx
5
x
1.27. arctg dx
4
98
8. x cos  x  4  dx
1.18. x cos x  6 dx
1.28. arcsin
9. arccos 7 x dx
x
1.19. arctg dx
2
1.29. arctg 6 x dx
10. ln 2 x  4 dx
1.20. ln  x  8 dx
x
1.30. arccos dx
3
кx
кx  к  e dx , где к – порядковый номер в журнале

3. Найти интеграл  кx  4sin kx dx ,
2. Найти интеграл
x
dx
7
где к – порядковый номер в журнале
Контрольные вопросы
1. Какие интегралы находятся методом по частям?
2. Алгоритм решения методом по частям
Практическая работа № 23
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Цель: Проверить уровень усвоения материала и правила нахождения интегралов,
содержащих квадратный трехчлен.
Задания
1.
dx
1. 2
4x  5x  4
dx
2. 2
x  4 x  10
dx
3. 2
5x  2 x  7
dx
4. 2
2x  x  6
3
dx
5. 2
2x  2x  7
dx
6. 2
2 x  11x  2
dx
7. 2
2x  x  2
dx
8. 2
3 x  12 x  3
9.
dx
9. 2
2x  2x  5
dx
10. 2
2 x  3x  2
dx
11. 2
2 x  3x
dx
12.
8  2x  x2
dx
13.
5x  x 2  6
dx
14. 2
x  4 x  25
21.
dx
2 x  8 x  30
dx
16. 2
3x  9 x  6
dx
17. 2
2x  6x  1
dx
18. 2
2 x  3x  2
dx
2 x  3x  1
dx
26. 2
5 x  10 x  25
dx
27. 2
2x  6x  3
dx
28. 2
x  6x  8
dx
1  2 x  3x 2
dx
20. 2
2 x  3x  6
dx
3x  5 x  1
dx
30.
5  2x  x2
15.
19.
2
dx
x  5x  6
dx
22.
2x  3  4x2
dx
23. 2
3x  8 x  3
dx
24. 2
x  7 x  11
25.
29.
2
2
2
99
2.
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

dx
4  8x  x
dx
11. 
2
12. 
3x 2  4 x  1
dx
13. 
2  3x  2 x 2
dx
14. 
x2  6x  8
dx
15. 
2  8x  2 x 2
dx
16. 
3  2x  2x2
dx
17. 
2  2 x  3x 2
dx
18. 
1 x  x2
dx
19. 
5 x 2  10 x  4
dx
20. 
2x  3  x2
dx
4 x  8x  3
dx
2
1 2x  x2
dx
4x2  x  4
dx
2  4 x  3x 2
dx
4x2  2x  4
dx
3x  2  2 x 2
dx
2 x 2  8x  1
dx
x 2  5x  6
dx
3x  2 x 2
dx
2x2  x  3
21. 
22. 
23.

24.

25.

26. 
27. 
28.

29. 
30. 
dx
2  x  2x2
dx
3x 2  x  5
dx
1 x  x2
dx
1 2x  x2
dx
4  3x  x 2
dx
x 2  5x  1
dx
3  x  x2
dx
x2  4x 1
dx
x 2  3x  1
dx
5  7 х  3x 2
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
x 1
dx
 3x  4
x6
 3x 2  x  1dx
2x 1
 3x 2  2 x  6dx
xdx
 2 x 2  x  5dx
x5
 x 2  x  2dx
3x  2
 5 x 2  3x  2dx
x4
 2 x 2  6 x  8dx
x4
 2 x 2  7 x  1dx
 2x
2
x 1
dx
 x 1
x 1
dx
2

12. 3x  2 x  3
4x  8
dx
2

13. 4 x  6 x  13
5x  1
dx
2

14. x  4 x  1
xdx
dx
2

15. 2 x  2 x  5
x3
dx
2

16. x  5 x  4
2x 1
dx
2

17. 2 x  8 x  6
2 x
dx
2

18. 4 x  16 x  12
11.
 2x
2
x4
dx
 x 1
3x  1
dx
2

22. x  4 x  2
x5
dx
2

23. 2 x  x  4
2x  3
dx
2

24. 3 x  2 x  7
x3
dx
2

25. 4 x  2 x  3
x2
dx
2

26. 3x  x  5
3x  2
dx
2

27. x  5 x  1
x7
dx
2

28. x  5 x  1

21. 3 x
2
100
5x  2
dx
 5x  2
4x 1
 4 x 2  4 x  5dx
 2x
9.
10.
2
2x 1
dx
 6x  9
2x 1
dx
2

20. 3  x  2 x

19. 3x
2
2x  1
dx
 2 x  10
x4
dx
2

30. 5 x  x  7

29. 5 x
2
4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.










2 x  13
dx
3x 2  3x  16
x 3
dx
2
2x  4x 1
x 1
dx
3x 2  x  5
2x  1
dx
1  x  3x 2
2x  5
dx
4 x 2  8x  9
2 x  10
dx
1 x  x2
2x  8
dx
1 x  x2
3x  4
dx
x 2  6 x  13
3x  1
dx
2 x 2  5x  1
5x  2
dx
x 2  3x  4
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.










x4
2x 2  x  7
2x 1
dx
dx
x 2  3x  4
4x  1
dx
2  x  x2
5x  3
dx
2x 2  4x  5
3x  2
dx
4  2x  x 2
x7
dx
3x 2  2 x  1
x5
dx
3  6x  x 2
2x  4
dx
3x 2  x  5
7x  2
dx
x 2  5x  1
x 8
dx
4x 2  x  5
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.










3x  4
2  3x  x 2
x6
3  2x  x 2
2x  3
2x 2  x  6
x 9
4  2x  x 2
2x  7
x 2  5x  4
3x  4
dx
dx
dx
dx
dx
2x 2  6x  1
2x  5
dx
dx
3x 2  9 x  4
4x  3
dx
2x 2  x  5
3x  7
dx
x2  5 1
7x 1
dx
2  3x  x 2
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Как выделить полный квадрат из квадратного трехчлена?
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
Запишите таблицу основных неопределенных интегралов.
Расскажите об интегрировании с использованием подведения под знак
дифференциала.
Практическое занятие № 24
Интегрирование рациональных функций
Цель: Проверить уровень усвоения материала по интегрированию рациональных
функций.
101
1. Найти неопределенные интегралы
1.
3x 2  20 x  9
dx ;
x 2  4 x  3  x  5

1.11
2.
12
 x 2  2 x  3x  2 dx ;
1.12
43 x  67
 x 2  x  12x  1 dx ;
1.13
4.
2 x 4  8x 3  9 x 2  7
 x 2  x  2 x  3 dx ;
1.14
5.
8x
 x 2  6 x  5x  3 dx ;
1.15
3.
6.
7.
8.
9.



6x
dx ;
x 3 1


1.16
2 x  22
dx ;
2
x  2 x  10  x  2 
1.17
5 x 2  17 x  36
dx ;
x 2  6 x  13 x  1
1.18
6x 2  6x  6
dx ;
x 2  x  2 x  1
1.19






3x 2  3x  24
dx ;
x 2  x  2 x  3
1.21 

3x 2  15
dx ;
x 2  5 x  6 x  1

1.22
2x 2  2x  1
 1  x  x 2 dx
x 2  19 x  6
dx ;
x 2  5 x  6 x  1

1.23
2 x 2  5x  1
 x x 2  2 x  1 dx
6x 2
dx ;
x 2  3x  2 x  1

1.24

2 x 2  26
dx ;
x 2  4 x  3  x  5
1.25
x 2  3x  2
 x x 2  2 x  1 dx
2 x 2  12 x  6
dx ;
x 2  8 x  15 x  1
1.26
 xx
2
7 x 2  17 x
dx ;
x 2  2 x  3 x  2

1.27
 x
4x
dx
 1  x  1
3x 2  17 x  2
dx ;
x 2  5 x  6 x  1
1.28












3x 2  1
dx ;
x 2  1 x  1





2 x 2  2 x  20
dx ; 1.12
x 2  2 x  5 x  1
36
3.  2
x  2 x  10x  2 dx ; 1.13
2. 
4. 


4 x 2  3x  17
dx ;
x 2  2 x  5 x  1


4 x  x  12
dx ;
x3  8
6  9x
6.  3
x  8 dx ;
2
5. 
7. 


2x  3
dx ;
x2  9


1.14
1.17
x x  1
2
x2
dx
 2x  1
1.24

2
2 x 2  3x  3
dx ;
x 2  2 x  5 x  1



 xx  1
2
2
dx
dx
12  6 x
x  4 x  13x  1 dx
2
x 2  3x  2
 x 3  1 dx
7 x  10
1.23  3
dx
x 8
4x  2
dx ;
2
x x2  4

dx

3x 2  2
x  x  1

2
2




 x 2  3x  2
3x 2  7 x  2
1.22
 x

1.21 
x 2  3x  6
 x 2  6 x  13 x  11 dx ;
9x  9
 x 2  4 x  13x  1 dx ;
 


x  13x  40
dx ;
 4 x  13 x  1
4 x  10
1.16  2
x  2 x  10x  2 dx ;
1.15


x2  x  2
dx
1.30  2
x x  1
37 x  85
x2
dx ;
dx ;
10.  2
1.20  3
x  2 x  3x  4
x  x2
2.
Найти неопределенные интегралы
x 2  6x  8
3x  13
dx ;
dx ;
1 2
1.11 
x  2 x  5  x  1
x3  8

1.29
4x 2
dx
x 2  2 x  1 x  1
x 2  5 x  40
 x  2 x 2  2 x  10 dx


3  9x
dx
3
1
x2
dx
1.26 
2
x x  2 x  1
1.25
1.27
 x

x 2  23
dx
x 2  6 x  13 x  1


102
2x 2  7x  7
dx ;
x 2  2 x  5 x  1
8. 

9. 
8
2
x  6 x  13x  1 dx ; 1.19
10. 

4 x 2  x  10
dx ;
x3  8


1.18
1.20
19 x  x 2  34
dx ;
x 2  4 x  13 x  1
1.28
4 x 2  38
 x  2 x 2  2 x  10 dx
2 x 2  4 x  20
dx ;
x  1 x 2  4 x  13
1.29
 x  1x
1.30
3x 2  2 x  1
 x 3  1 dx





4x 2  7x  5
 x  1 x 2  2 x  5 dx ;




5 x  13
dx
2
 6 x  13


Контрольные вопросы
1. Какая дробь называется рациональной?
2. Какая дробь называется правильной? Как разложить правильную дробь на сумму
элементарных дробей?
3. Какая дробь называется неправильной? Как разложить неправильную дробь на
сумму элементарных дробей?
4. Запишите четыре основных типа простейших дробей и расскажите об их
интегрировании.
5. Расскажите о методе неопределенных коэффициентов.
Практическое занятие № 25
Вычисление определенного интеграла
Цель: Повторение, обобщение и систематизация материала по данной теме.
Задания
1.
Вычислить определенный интеграл методом непосредственного
интегрирования

2


2
a )  3 x 2  2 x dx
a) 
1
1.
0
2
b) 

cos x
dx
6
11.
2
3
1
cos х
2


a)  4 x 3  3 x 2 dx
dх
2
21.
1
4
b) 
3
b)  (1  x) dx
4
0
dx
x3
2
1


a )  x  x dx
2.
2
2
/6
6dx
b) 
2
  / 6 сos 2 x
1
a )  cos xdx
3
0
12.
4
x
b)  (1  ) 8 dx
2
1

2
3
a )  3 cos xdx
3.


2
2
x
b)  (1  ) 4 dx
2
0

3

2

9
22.
x
b)  (1  ) 4 dx
2
0


2
13.
/2
b)
 3 sin xdx
 / 2
0
2
a )  3 x  2 x dx
2
a)  2 cos 3x dx
12
23.
a )  108 sin 6 x dx
0
1
b)  (7  5 x)dx
1
103

3
a) 
dx
2
cos
x
4. 0
14.
4

2

1
b)  (4 x 3  6 x)dx
2
4
15.

3dx
x 
0 cos 2 (
 )
2 3
b) 
25.
0
3
1
b) 
2
a) 

26.
0
6
b)  ( x 5  3 x 2 )
2
2



a )  6 sin 2 x dx
8

17.
2
2
3
36
dx
2
0 cos 2 x
a) 
27.
3
b)  (3  2 x) 4 dx
1
a )  2 sin х dx
0
2
b)  (3  x 2 )dx
b)  (
2

1

3
18.
dx
b) 
5  3x
3

b)  ( x  1)dx
/8
b)
0
cos 4 x
dx
2
/4



2
1
28.
0
2
a )  x  x  3 dx
3
3
19.
2
a )  sin xdx
b)  (7  2 x) dx
/6

b)
4
1

2
29.
0
3
b)  e 2 x 3 dx

a )  2 x 3  2 x dx
3
0

a )  3 x 2  4 x 3 dx
a )  2 sin x dx
4
1
x2
2
 3 )dx
2 x

3
2
5
dx
2
0 cos x
a) 
5
dx
sin 2 x
0
b)  (1  2 x) 4 dx
9 x  1dx
1
2
a )  cos xdx
3
5
8 x  5dx

6
16.
9
1

0

a )  5 x 4  6 x 2 dx
b) 
2dx
dx
2
(
3

x
)
2
a )  4 cos 2 x dx

2
a )  36 cos 2 x dx
b) 
4
9.
4
dx
2
cos
2
x
0
a) 


8.
24.
0
1
1
7.
8
4
a )  4 x 3  2 x dx
6.
1 

a )   3 sin x dx
2 
0
b)  (1  2 x) dx
x
b)  (1  ) 8 dx
2
1
5.


4
0
2
4dx
cos 2 2 x

2


2
10.
1
20.
1
b)  5 4 3 x dx
0


6
a )  2 sin 3 x dx
a )  x 3  x dx
a )  x 4  x 3  2 dx
0
30.
/3
b)  3 sin 3 xdx
1
dx
0 x 4
Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
b) 
0
2.
 x 1  x dx
2
3
11.
0
1/ 2
2.

0
2
1
3
1.

18
x
3
4  5 x dx
4
2
21.
0
1 x
1  ln x
1 x dx
2
e
xdx
2
12.
e1 / x
1 x 2 dx
22.

1
xdx
4  x2
104
1
e
3.
ln 2 x
1 x dx
0
4.


0
(16  x 2 ) 5
1
6.
7.
3/ 4
3  4x
1
4

0
5
8.

0
2
9.
(16  x )
2 3
x 3 dx
 x
0
1
2
10.
4
4



7
/2


18.
cos 2 x
dx
9
1/ 4
1  2x
dx
3
0
1  4x
1  ln x
dx
19. 
x
1
e
x
20.
1 x2
0
sin xdx
e
xdx

16.
1/ 2
10 xdx
4
0
17.
1  x5
4
ln( 2  3x)
dx
2  3x

15.
1
x dx
3
ln( 3x  1)
14. 
dx
3x  1
1/ 3

dx

2  4x
3
2/3 3
xdx
4

1
23.
1
dx
1  ln 2 x
24.
27.
2
4.
dx
2 x 2 (x  1)
1
0

30.
5.
y dy
 y2
15.
3x 2  2 x  3
2 x 3  x dx
16.
1
8
1/ 2
7.
xdx
1 / 3 (x  1) 3
5
8.
dx
4 ( x  1)( x  2)
4
9.
dx
3 ( x  1)( x  2)
x 7 dx
2 1  x 4
2
 4)
x2  x  2
7 x 4  5x 2  4 dx
6
24.
x
3
4
2
25.
x
1
xdx
 6x 2  16  6
dx
1
3
26.
x5  1
1 x 6  x 4 dx
27.
x3  x2  2
2 x( x 2  1) 2 dx
28.
x 3  2x 2  4
3 x 3 ( x  2) 2 dx
3
3
5
1/ 3
0
xdx
19.  3
1 x  1
dx
 ( x  1)( x
9
3
dx
18.  4
2 x 1
dx
(x  1)
0
3
17.
2
cos 2 x
2
2
dx
1 x 4  x 2
x
4
3
3
6.
( x  3)dx
3
 x 2  6x
x
7
5
21.
1
10
sin xdx


/2
1
5
2
29.  x 3 4  5 x 4 dx
2
xdx
14.  2
0 x  3x  2
dx
 (2 x  1)
1
23.
3
31( x 3  1)
0
x 4  3x 3 1
0 ( x  1) 2 dx

4x  3
1/ 2
22.
13.

28.
dx
x 2 dx
1
2.
x2
dx
2
x ( x  1)
(1  sin 3 x) 5
dx

5
( x  2)dx
12.  2
3 ( x  1)( x  1)
3
6
3 / 4
2 x  5x  3
2 x 2  1 dx
3.
cos 3 x
0
26.
3
5

0
11. 
2
(x 3  8) 4
3
 /6
3x 4  3x 2  1
0 x 2  1 dx
4
x 2 dx

25.
1.
3
16x 4  1
0
Вычислить определенный интеграл
dx
2
2 ( x  1) ( x  1)

1
3.
1
x 3 dx
0
1
(x 2  4) 3
1
dx
0
xdx

5.
13.
29.

0
x 2 dx
x4 1
105
(2 x  3)dx
0 ( x  3) 3
1
10.
3/3
20.

0
2x 2  4
dx
x3  x2  x  1
x5  2x 2  3
1 ( x  2) 2 dx
0
30.
Контрольные вопросы
1. Что называют определенным интегралом функции f(x)?
2. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
3. Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции f(x) на отрезке
[a,b].
4. Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции
f(x) на отрезке [a, b].
5. Запишите свойства определенного интеграла.
6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
7. Расскажите об основных методах интегрирования определенного интеграла.
Практическая работа № 26
Вычисление определенного интеграла заменой переменной и по частям
Цель: Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного
интеграла». Закрепить и систематизировать знания по теме. Определить уровень усвоения
знаний, оценить результат деятельности учащихся.
Задания
1.
2
a) 
3
a )  x 3 1  x 2 dx
0
1.1
1
1.11
2
b)  2  x  dx
dx
a) 
3
1
(3  x)
1.12
0
2
b) 
2 x
2
1
1

3/ 4
b) 
5

 1 dx
x
dx
3  4x
xdx
2 x
2
4

4
3
1.13
2
cos xdx
2
0 8  7 sin x 
b) 
1.23
x  1dx
1
3
a) 
4  5 x dx
4
0
2
x

0
1
b)  3
0
x 2 dx
8  7 x3
1
ee
1
0

xdx
4  x2
3
b) 
3
a )  6 x 3 3 x 4  1 dx
1.14

2
a) x
dx
1 2x
b) 
1
3
9
1/ 2
1.22
0
0
dx
a)  3
1 / 3 1  3 x
1
a) 
b)  x 25  3 x 2 dx
cos xdx
2
0 3  sin x 
b) 
1
2
16 x 4  1
0

b)  2 sin xdx
x 3dx
a) 
3

2
2 2
1.21
1
2
1.4


0
3
a)
5
a)  3x x 2  7 dx
2
b)  2 cos xdx
0
1.3
x
3
4
2
1.2
4
6 x 2 dx
dx
x 1  ln x
dx
4x2  9
1
a) 
2
1.24
3
b) 
2 x  13 dx
1
106
1
a)  3
0
1.5
x 4 dx
1 x
5
Cosxdx
2
0 5  sin x 
2
4/3
3
2
9
1.7
0
 /6
b)

0
2
a) 
0
1.8
1.26

1.17
(1  sin 3 x)
5
0
b) 
dx
1.27
3
0
x 3dx
dx
1 4x
0
x4  4
3 / 4
1.18

4
4
0
0
dx
4  3x
0

1

0
8
a )  x  1dx
1.28
10 xdx
b) 
2
b)  3 cos 2 xdx
5 ln 2 x
b) 
dx
x
1
b)  x 3  4 dx
dx
4x  3

a)
e
a)
4
1/ 4
0
dx
(2 x  1) 2
1
a )  e x  1 e x dx
cos 3 x
6

1
dx
25  3 x
1/ 2
a) 
x
dx
x 1
4
0
4
1  x2
b) 
b)  x 1  x dx
5
3
xdx
0
1.16
0
5
3
9  2x
a) 
dx
1 4x
3
b)  4  x  dx
x dx
1/ 2
dx
2
x 1
3/ 4
1.25
2
0
a) 
a) 
1/ 4
a) 
4
b)  3
2
b) 
3

0
1.15

1.6

1
a )  2 x 3  1 x 2 dx
3
2
b) 
(16  x )
2 3
x
0
xdx
2
4
e
1.9
3 ln x
a)
dx
x
1
1
b)  5
0

1
2

x dx
1.29
1
(16  x 2 )3



b)  sin  3 x  
2

2
3
b)  x 2 e x 1dx
3
8  7 x3
4
0
0
1.19
2
2
3
10 xdx
a)
a )  4 x  1 x dx
5
3

1
0
9
1
a)  3
0
1.10
 /6
dx
2  4x
a)
1.20

2

(1  sin 3x)5
6
0
3
5
x
1
2
x 2 dx
a)
dx
32 xdx
b) 
cos xdx
b) 
2
0 8  sin x 
cos 3x
1.30
31( x 3  1)
1
1
b)  e x xdx
2
 1
5
0
2.
3
2.1
 x ln( x  1)dx
2
x
2
e
x / 2
dx
2
 /2
2.3
 x cos xdx
0
 /2
2.4
x
0

3
x ln xdx
2
sin xdx
 (3  x)e dx
x
2
1
1
0
2.2
e2
 arctg
1
x dx
 arcsin( 1  x)dx
0
1/ 2

3
x
(
x

2
)
cos
dx
0
2
 arctg x dx
 /8
0
x
0
2
sin 4 xdx
1
1
 x ln( 1  x)dx
1
107

1/ 2
 arccos 2 xdx
2.5
1 / 2
2
2.6
e
1
0
e
0
 ( x  1) ln xdx
1
1
 xe
2.7
2 x
dx
 arctg (2 x  3)dx
 ( x  1)e
3/ 2
1
2
 /2
1/ 2
0
1 2
1
 ( x  3) sin xdx
x
dx
3x

e
1 / 3
ln 2
e
0
2
ln x
2.10  2 dx
1 x
cos xdx
x
dx
1
1 / 2
x
 xe dx
sin x
 2 x  3e
0
2
2 / 3
2.9
6
2
 x ln xdx
 ( x  1) ln xdx
0
2.8
2
2 x
dx
 arccos 2 xdx
1
x
 xe dx
 xarctgxdx
0
0
 ( x  2)e
3
x / 3
2
dx
 ln( 3x  2)dx
1
Контрольные вопросы
1. Что называют определенным интегралом функции f(x)?
2. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
3. Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции f(x) на отрезке
[a,b].
4. Сформулируйте необходимое и достаточное условия интегрируемости функции
f(x) на отрезке [a, b].
5. Запишите свойства определенного интеграла.
6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
7. Расскажите об основных методах интегрирования определенного интеграла.
Практическое занятие № 27
Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла
Цель: реализация дифференцированного подхода к обучению; обеспечить повторение
основных понятий
Задания
1.1 у  8 х  х 2  7 и осью ох
1.2 y  x 3  1 , у = 0, х = 0
1.3 y  x 2  3x  4 и осью ОХ
1.4 y 2  4 x и x 2  4 y
1.5 y  5x  x 2  6 и осью ОХ
1.6 y  x 3 , y  x 2 , х = −1, х = 0
1.7 y  x 2  6 x  8 и осью ОХ
1.8 y  x 2 и y  x  2
1.9 y  x 2  4 x  5 и осью ОХ
1.10 y = 6x −3x2 и осью ОХ
108
2.1 y  x 2  2 и y  2 x  2
2.2 y = x 2 и y  2  x 2
3.1 y = x − y + 3, x + y −1= 0, y = 0
3.2 2x − 3y + 6 = 0, y =0 и x = 3
2.3 xy  6 и y  x  7  0
2.4 y  2 x , y  2 x  x 2 , x = 0, x =2
2.5 y  ln x , x =e , y =0
4
2.6 y  2 , x =1, y = x − 1
x
2.7 y  x 2  x , y  1  x 2 , x = 0 , x = 1
2.8 y  x 3 , x = 2
2.9 y  cos x , x = 0, x = 2π, y = 0
3.3 y  x 2  2 x  3 и y = 3x −1
3.4 x − y +2 = 0, y =0, x = −1, x = 2
3.5 y 2 = 4x, x = 1 и осью ОХ
2.10 y =
х , y = 2, x = 0
3.6 y  x 2 и y = −3x
3.7 x − y +3 =0 , x + y −1= 0, y = 0
3.8 x 2 = 3y и y = x
3.9 x 2 + y 2 = 9
3.10
x2 y2

1
16 9
Контрольные вопросы
1. Что такое криволинейная трапеция?
2. Формула Ньютона-Лейбница
3. Графики элементарных функций.
Тема. 3.4. Теория рядов (У3, З3)
Устный опрос
1. Дать определение числового ряда.
2. Что называется суммой ряда?
3. Виды рядов.
4. Необходимый признак сходимости рядов.
5. Признак сравнения положительных рядов.
6. Признак Даламбера.
7. Радикальный признак Коши.
Устный опрос
1. Понятие знакочередующегося ряда.
2. Признак Лейбница.
3. Абсолютная и условная сходимость
4. Понятие степенного ряда.
5. Ряд Тейлора и Маклорена.
Практическое занятие № 28
Исследование сходимости положительных рядов
Цель: Проверить знание признаков сходимости рядов
Задания
1.Найти первые пять членов данного ряда и исследовать на сходимость:

1
3n
1. a) 
;
b) 
;
n1 5n  1
n 1 (2n)!

109
n 1
;
2
n 1 n  2

1
3. a)  n
;
n 1 2  3

1
4. a) 
;
2
n 1 (5n  2)
(2n  1)!
;
n!
n 1

1
b) 
;
n
n 1 n  5

1
b) 
;
4 4
5
n 1 n
n 1


1
1
5. a)  3
; b)  2 ;
n 1 n  3n  2
n 1 n

2. a) 

1
6. a) 
n
1 n5 n  2

n2
;
n
n 1 2  1
7. a) 

2n
8. a)  ;
n 1 n!

1
9. a)  n ;
n 1 2

1
;
n 1 n!
10. a) 

b) 
2n  1
;
3
n 1 n

;
b) 
n3  4
;
2
n
n 1 ( n 2) 2

b) 
n

 n 
b)  
 ;
n 1 2n  1 

1
b)  n
;
n 1 ln  (n  1)

b) 
n
(n  1) n
1 n n  3n
3
;
2.Написать формулу n-го члена ряда по данным первых его членов
1 1
1
3 5 9 17
1. 1,  , ,  ......
6 , , , ....
2 3
4
2 4 8 16
1
2 3
4
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4
2. ,  , ,  ....
7. ,
,
,
....
4
9 16
25
9 25
49
81
2
3
4
2
3 4
5
3. 1,
,
,
8. ,  , ,  ....
1 2 1 2  3 1 2  3  4
5
8 11 14
1 1 1
1
1
1
1
4. 1, , , ......
9.
,
,
,
......
4 9 16
3  6 5  8 7  10 9  12
2
4 6
8
2 4 8 16
5. ,  , ,  ....
10. , , , ....
4
9 16
25
1 4 9 16
3.Вычислить сумму членов ряда

1
1
1
1
1
1. 



 ... 
 ...
1 2 2  3 3  4
n(n  1)
n 1 n( n  1)

1
1
1
1
1
2. 



 ... 
 ...
1  4 4  7 7  10
(3n  2)  3n  1
n 1 (3n  2)  3n  1

1
1 1
1
1
3.  n 1  1   2  3  ...  n 1  ...;
3 3
3
3
n 1 3

2n  1
3
5
7
2n  1
4.  2..



 ...  2..
 ...;
2
2
1  4 4  9 9  16
n n  1
n1 n n  1

1
1
1
1
1
5. 



 ... 
 ...
2 3 3 4 45
(n  1)  n  2
n 1 ( n  1)  n  2 
110

1 1
1
1
 
 ...  2
 ...
 1 3 15 35
4n  1
n 1

1
1 1 1
1
7.  n  1     ...  n  ...;
2 4 8
2
n 1 2

n
1 2 3
n
8.  n     ...  n  ...;
2 4 8
2
n 1 2

1
1
1
n 1 1
n 1 1
9.   1
 1  2  2  2  ...   1
 ...;
2
n
2
3
4
n2
n 1

1
1 1 1
1
n
n
10.   1
 1     ...   1
 ...;
2n  1
3 5 7
2n  1
n 1
6.

 4n
1
2

4.Исследовать на сходимость, применяя необходимый признак сходимости

n
n2
6. a) 
1. a) 
n
n 1 2n  1  2
n1 4n  5


n
n
2. a ) 
7. a ) 
n 1 10n  1
n 1 n  1

3n  1
n 1 5n  2

n 3  4n 2  1
4. a) 
n 2  5n
n 1

5n 2  1
5. a)  3
n 1 n  2n


3. a) 
8. a ) 
n
1
1 n n

n
n 1 7 n  1
9. a ) 

2n 2
n1 3n  1
10. a) 
5.Исследовать на сходимость, используя признак Даламбера


3n
n  1!
6. a ) 
1. a) 
3n
n 1
n1 n!


2n  1
1
2. a) 
7
.
a
)

4
n
n 1 n
n1
3
 
2n  n2
n
n1 5

10 n
4. a)  n
n 1 n

n
5. a ) 
n
n 1 3  2

3. a) 

3n
n1 nn  1

1
9. a ) 
n 1 2n  1!

5n
10. a)  5
n 1 n
8. a) 
Контрольные вопросы
1. Определение числового ряда.
2. Свойства и виды рядов.
3. Определение суммы ряда.
4. Необходимый признак сходимости.
5. Признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши.
111
Практическое занятие № 29
Исследование сходимости знакочередующихся рядов
Цель: Проверить знания, умения и навыки решения зданий по данной теме.
Задания
1.Написать в развёрнутом виде и исследовать на сходимость ряд:


1
3n
1. a) 
;
b) 
;
n1 5n  1
n 1 (2n)!


n 1
(2n  1)!
2. a)  2
;
b) 
;
n!
n1 n  2
n 1


1
1
3. a )  n
;
b) 
;
n
n1 2  3
n 1 n  5


1
1
4. a) 
;
b)
;

2
4
5
4
n1 (5n  2)
n
n

1
n 1


1
1
5. a )  3
;
b)  2 ;
n1 n  3n  2
n 1 n
2n  1
;
3
n 1 n

n3  4
b)  2
;
n
n 1 (n 2)2


1
;
5
n1 n n  2

n2
7. a)  n
;
n1 2  1
6. a) 
b) 

n

 n 
b)  
 ;
n 1 2n  1 

1
b)  n
;
n 1 ln  ( n  1)
2n
8. a)  ;
n1 n!

1
9. a)  n ;
n1 2


1
;
n1 n!
10. a) 
b) 
n
(n  1) n
1 n n  3n
3
;
2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость



(1) n1
 1n1 2n
1
n 1
с)  1
1. a) 
;
b) 
;
n  1 3n
n 1
n1 (3n  2)!
n 1 50n  5

n

2n 

2. a)   
 ;
3n  5 
n1 
(1) (n  3)
;
n2  1
n4

3. a) 
n
(3)
4. a) 
;
n
n1 (2n  1)

(1) n1  n
5. a) 
;
n1 100n  1

n
(n) n
;
n1 2n!

6. a) 

(1) n1
;
n
n 1 n  5


c)  1
b) 
n 0
(2n  1)( 1)
;
n(n  2)
n 1

n
b) 
(1)
b) 
;
n 2 n  ln n

(n  5)( 1) n
b) 
;
n 2  3n
n 1

n
(1) n1
;
n
n 1 n  3

b) 
1
2n  1
n

c)  1
n 1
n 1

c)  1
n1
n1

c)  1
n
n 1

c)  1
n1
4
n1
1
ln n
n
6n  5
1
n5
1
2n  1  n
112


b) 
n

1 n 5 n3  1
c)  1
;
n
b) 

2
c)  1
1
n3 n
n1

n 1 2n  1
c)  1
n  n  1
n 1
(1) n
;
n
n 1 ( 2n  1)


1
;
n 1 n!
10. a) 
1
n 1
n 1
n1
(1)  (n!)
;
(2n)!
n 1

(1) n
b) 
;
2
n 1 n  ( n  1)

n
2
;
n1 n!

n3
9. a)  n ;
n 1 2
8. a) 
(1) n

n2
;
n
n1 2  1
7. a) 
n1

c)  1
b) 
n 1
n
n5
3n
Контрольные вопросы
1. Дать определение знакочередующегося ряда
2. Признак Лейбница
3. Абсолютная и условная сходимость
Практическое занятие № 30
Разложение функции в степенной ряд
Цель: Проверить навыки разложения функций в степенной ряд. Вычисление интервала
сходимости степенного ряда.
Задания

1. Дан степенной ряд

n 1
n
a x
b
n
n
n 1
При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости
ряда.
1. a =5, b=8
2. a=2, b=4
3. a=3, b=4
4. a=7, b=5
5. a=5, b=7
6. a=2, b=6
7. a=8, b=3
8. a=7, b=4
9. a=3, b=7
2. a=4, b=5 Разложить функцию в ряд Маклорена
1. f ( x)  e 6 x
6. f ( x)  sin 3x
x
2
3. f ( x)  ln( 1  4 x)
7. f ( x)  e  x
4. f ( x)  1  x
9. f ( x)  cos 5x 2
5. f ( x)  1  x 2
10. f ( x)  1  x
2. f ( x)  cos
3
8. f ( x)  sin
2
x
3. Исследовать на сходимость ряд
113

1.
1  n 


n
3
 n 1
n 1


 2n 2  1 


 n2  1 


n

1
2.


3.
 2n  1 


3n  2 
n 1 


4.
 4n  3 


5n  1 
n 1 


5.
 n2


6.
n2

 n 


10 n  5 
n 1 

7.
n2

 n2 


3n  1 
n 1 

8.
n3



n
10.
n2
 n 1 


2n  3 
n 1 

n2
n2
 2n  3 


n 1 
n 1 
9.
 n 1 n

 
n  5n
n 1 

n
 2n  2 
3

  (n  1)
3
n

1


n 1
n2
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Определение степенного ряда.
Определение радиуса и области сходимости
Определение ряда Тейлора и Маклорена
Формулы разложения элементарных функций
Самостоятельная работа 1
Вариант 1
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
2n
a) a n  2
b) a n 
n!
4n  1
2. Найти формулу общего члена ряда:
1
a) 2  4  8  16  .......
b)

3. Установить расходимость ряда
1 1 1 1
    .....
7 8 9 16
n 1
 2 n  4 с помощью достаточного признака
n 1
расходимости ряда.
4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

2n
a) 
n 1 n !

3n
b) 
n 1 2 n
Вариант 2
1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:
114
2n  1
n
b) a n 
2
n  1  2 n
n
2. Найти формулу общего члена ряда:
a) a n 
a)
1 1 1 1
    ........
3 6 12 24
b) 1 
3. Установить расходимость ряда

1 1 1
 
 .....
3 9 27
3n 1
 2 n 1 с помощью достаточного признака
n 1
расходимости ряда.
4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:


n
n
n 1 5
a) 
b)

n 1
3n
n 2n
Самостоятельная работа 2
Вариант 1
1. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:
1 1 1
1 1
1
a)1   
 .....
b) 1  

 .....
3 9 27
5 25 125
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

a) 
n 1
 1 n 1
a)
n!
1 1 1
1
 
  .....
3 9 27 81
Вариант 2
1. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:
1 1 1
1 1 1
a )1     .....
b)1     .....
2 3 4
2 4 8
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
 1 n 1
n 1 2 n  1 !

a) 
a)
1 1 1 1
    .....
2 4 8 16
Тема. 3.5 Дифференциальные уравнения (У4, З2)
Устный опрос
1. Дайте определение дифференциального уравнения.
2. Что называют порядком дифференциального уравнения?
3. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
4. Что называют условиями Коши?
5. Что называют задачей Коши?
6. Дайте определение частного решения дифференциального уравнения.
7. Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями II порядка?
8. Понятие характеристического уравнения.
9. Общее решение уравнения характеристического уравнения.
115
Самостоятельная работа 1
Вариант 1
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений.
1. y  c1e 5 x  c2 e x , y   4 y   5 y  0 .
2. y  c1e x  c2 xex , y   2 y   y  0 .
8
1
3. y  , y    y 2 .
x
8
4x
4. y  e  2, y   4 y .
5. Решить задачу Коши: y   4 x 3  2 x  5, y(1)  8 .
Вариант 2
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений.
1. y  c1e 2 x  c2 xe2 x , y   4 y   4 y  0 .
2. y  c1e 3 x  c2 e x , y   y   6 y  0 .
3. y  e 3 x  5, y   3 y  15 .
5
4. y  , y    y 2 .
x
5. Решить задачу Коши: y   3x 2  2 x  6, y(2)  19 .
Самостоятельная работа 2
Вариант 1
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений:
a) x  3 dy   y  2 dx  0,
если у  3 при x  2
b) y   2 y  4  0,
если у  5 при x  0
2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M 1; 2 и имеющей
1
в любой точке касания.
2x
Вариант 2
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений:
угловой коэффициент k 
a) 1 x  dy   y 1 dx  0,
b) y   y  4  0,
если у  3 при x  2
если у  5 при x  0
2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M  2;1 и имеющей
угловой коэффициент k 
1
в любой точке касания.
2у
Самостоятельная работа 3
Вариант 1
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений:
a) y   y   6 y  0,
если у  3 , y  1 при x  0
b) y   6 y   9  0,
если у 1, y   1 при x  0
2.
d 2s
 12 t  2
d t2
если S  4, S   2 при t 1
Вариант 2
116
1. Найти частные решения дифференциальных уравнений:
a) y   2 y   8 y  0,
если у  4 , y  10 при x  0
b) y   8 y   16  0,
если у  2, y   9 при x  0
2.
d 2s
 12 t  2
d t2
если S 1, S   4 при t 1
Самостоятельная работа 4
Вариант 1
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка
1
1. y  
 x4 .
2
cos x
2. y   6 y .
x 1
3. y   2 .
y
y
4. y  
.
1 x2
5. y   3 y  5  0 .
6. y   7 y   10 y  0 .
7. y   4 y   4 y  0 .
Вариант 2
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
1
 x7 .
1. y  
2
1 x
2. y   8 y .
2x
3. y   2 .
y
y
4. y  
.
1 x2
5. y   8 y  3  0 .
6. y   8 y   16 y  0 .
7. y   y   12 y  0 .
Практическое занятие № 31
Решение дифференциальных уравнений I порядка
Цель: Реализация дифференцированного подхода к обучению; обеспечить повторение
основных понятий
Задания
117
1.Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные
функции (С – постоянная)
1
1. x 2 y '2 xy  3; y  3 x 2  ;
6. xy'  y  1; y  Cx  1;
x
2. dy  ytgxdx  0; y  2 cos x;
7. y ' ctg  y  2; y  cos x  2;
1
3. y ' yctgx  ctgx; y  C sin x  1;
8. y ' x 2  3  2 xy; y    3x 2  C ;
x
2
e
 x3
 x3
4. xy  2 y  e ; y  3  e ;
9. y  xy  ( y' ) ; y  2 x  4;
3
y
C
5. dy  3x2 ydx; y  Ce x ;
10.  3 x  y ' ; y   x 2 ;
x
x
2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными переменными.
dy dx
ds
1.
6. tgtdt 
 0;

 0;
s
x
y
dy
dx

;
2
1 y
x
dy
dx
3.

;
y x 1
2.
4. e x dx  ydy;
5. 2 ydy  (1  3x 2 )dx;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7.
y dy  3 xdx;
8. dy  ( x 2  1)dx;
dy
dx

;
y 1 x 1
dy
dx
10.

;
3 y
1 x2
9.
3. Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с
разделяющимися переменными.

ydx  ctgxdy  0; y ( )  1;
3
tgx


y '
 0; y  , x  ;
ctgy
6
3
2
(1  x )dy  2 xydx  0; y  4; x  1;
(1  x 3 )dy  3x 2 ydx; y  2; x  0;
(1  y 2 )dx  xydy; y  1; x  2;
2 ydx  (1  x)dy; y (1)  4;
dy
dx
 dx 
; y  1; x  0;
y
x
(2 x  1)dy  ( y  1)dx; y (5)  0;
8.
9. (1  x 2 )dy  xydx  0; y  4; x  0;
10. (1  x 2 )dy  2 x( y  3)dx  0; y(0)  1;
4. Решить линейное дифференциальное уравнение 1 порядка
3
2
2x
1. y   3 y  e
6. y   x y  x 2
3y

y

x
2. y   y  xex
7.
x
118
3. y   2 y  x
4. xy   y  2x 3
5. x 2 y   xy  2  0
y

y

 x
8.
x
y
9. y   x  1
ex

y

y

10.
x
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением.
2. Что называется решением дифференциального уравнения.
3. Общее решение дифференциального уравнения.
4. Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
5. Задача Коши.
6. Каков общий вид однородного дифференциального уравнения 1-го порядка?
7. Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Практическое занятие № 32
Решение дифференциальных уравнений II порядка
Цель: Проверить навыки решения дифференциальных уравнений II порядка
Задания
Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. a) y ' '4 y  0; b) y ' '10 y '25 y  0; c) y ' '3 y '2 y  0.
2. a) y ' ' y '2 y  0; b) y ' '9 y  0; c) y ' '4 y '4 y  0;
3. a) y ' '4 y  0; b) y ' '4 y '13 y  0; c) y ' '3 y '2 y  0;
4. a) y ' '5 y '6 y  0; b) y ' '  3 y '  0; c) y ' '2 y '5 y  0;
5. a) y ' '2 y '10 y  0; b) y ' ' y '2 y  0; c) y ' '2 y '  0;
6. a) y ' '4 y  0; b) y ' '2 y '17 y  0; c) y ' ' y '12 y  0;
7. a) y ' ' y '6 y  0; b) y ' '9 y '  0; c) y ' '4 y '20 y  0;
8. a) y ' '49 y  0; b) y ' '4 y '5 y  0; c) y ' '2 y '3 y  0;
9. a) y ' '7 y '  0; b) y ' '5 y '4 y  0; c) y ' '16 y  0;
10. a) y ' '6 y '8 y  0; b) y ' '4 y '5 y  0; c) y ' '5 y '  0;
11. a)4 y ' '8 y '3 y  0; b) y ' '3 y '  0; c) y ' '2 y '10 y  0;
12. a) y ' '4 y '20 y  0; b) y ' '3 y '10 y  0; c) y ' '16 y  0;
13. a)9 y ' '6 y ' y  0; b) y ' '4 y '21y  0; c) y ' ' y  0;
14. a)2 y ' '3 y ' y  0; b) y ' '4 y '8 y  0; c) y ' '6 y '9 y  0;
15. a) y ' '10 y '21y  0; b) y ' '2 y '2 y  0; c) y ' '4 y  0;
16. a) y ' '6 y '  0; b) y ' '10 y '29 y  0; c) y ' '8 y '7 y  0;
17. a) y ' '25 y  0; b) y ' '6 y '9 y  0; c) y ' '2 y '2 y  0;
18. a) y ' '3 y '  0; b) y ' '7 y '8 y  0; c) y ' '4 y '13 y  0;
19. a) y ' '3 y '4 y  0; b) y ' '6 y '13 y  0; c) y ' '2 y '  0;
20. a) y ' '25 y '  0; b) y ' '10 y '16 y  0; c) y ' '8 y ' z  16 y  0;
21. a) y ' '3 y '18 y  0; b) y ' '6 y '  0; c) y ' '2 y '5 y  0;
22. a) y ' '6 y '13 y  0; b) y ' '2 y '15 y  0; c) y ' '8 y '  0;
23. a) y ' '2 y ' y  0; b) y ' '6 y '25 y  0; c) y ' '4 y '  0;
119
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
a) y ' '10 y '  0; b) y ' '6 y '8 y  0; c)4 y ' '4 y ' y  0;
a) y ' '5 y  0; b)9 y ' '6 y ' y  0; c) y ' '6 y '8 y  0;
a) y ' '6 y '10 y  0; b) y ' '4 y '4 y  0; c) y ' '5 y '4 y  0;
a) y ' ' y  0; b)4 y ' '8 y '5 y  0; c) y ' '6 y '10 y  0;
a) y ' '8 y '25 y  0; b) y ' '9 y '  0; c)9 y ' '3 y '2 y  0;
a)6 y ' '7 y '3 y  0; b) y ' '16 y  0; c)4 y ' '4 y ' y  0;
a)9 y ' '6 y ' y  0; b) y ' '12 y '37 y  0; c) y ' '2 y '  0;
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Дайте определение дифференциального уравнения.
Что называют порядком дифференциального уравнения?
Дайте определение общего решения дифференциального уравнения.
Что называют условиями Коши?
Что называют задачей Коши?
Дайте определение частного решения дифференциального уравнения.
Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями II порядка?
Понятие характеристического уравнения.
Общее решение уравнения характеристического уравнения.
Тема. 4 Комплексные числа (У5, З3)
Устный опрос 1
1. Что такое комплексное число: действительная часть числа, мнимая часть числа?
2. Что такое мнимая единица?
3. Какие числа называются сопряженными?
4. Как представить комплексное число графически?
5. Что такое модуль числа?
6. Что такое аргумент числа?
7. Сколько может быть модулей и аргументов у комплексного числа?
8. Как найти аргумент числа?
9. Как найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел?
Устный опрос 2
1. Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?
2. Как перевести число в тригонометрическую форму?
3. Как найти произведение, частное чисел в тригонометрической форме?
4. Как найти возвести число в тригонометрической форме в целую степень?
5. Как найти корень n-ной степени из числа в тригонометрической форме?
6. Формула Эйлера
7. Как представить комплексное число в показательной форме?
8. Как связаны тригонометрическая и показательная формы записи комплексных
чисел?
9. Как найти произведение, частное чисел в показательной форме?
10. Как найти возвести число в показательной форме в целую степень?
11. Как найти корень n-ной степени из числа в показательной форме?
Самостоятельная работа №1
Вариант 1
120
1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
а)
3  i17
;
i12
б)
1  i 8 .
1  i 6
2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:



а) 3  cos  i sin  ;
3
3

2
б)
1  i
.
2 ei  3
Вариант 2
1.
Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
а)
2.
2 i5
;
1  i 11
б)
1  i 2
1  i 4
.
Выполнить действия и записать результат в показательной форме:



а) 7  cos  i sin  ;
6
6

1 i
2 ei 
3
б)
2
.
Вариант 3
1.
Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
а)
2.
1 i 3
1 i 3
б)
;
i  13
i 12  i 31
.
Выполнить действия и записать результат в показательной форме:
24 cos 75  i sin 75
а)
;
3 cos 30  i sin 30
б)
e i 

3
3 i

5
.
Вариант 4
1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
а)
5i
;
2i 3
б)
3 i15  ( i 3 ) 2
.
i9
2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:
11
11 

 i sin
а) 2  cos
 ;
12
12 

2
б)


6
2 i 2
.
12 e  i  / 2
Вариант 5
121
1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
11
11 

а) 2  cos
 i sin
 ;
12
12 


2
б)

6
2 i 2
.
12 e  i  / 2
2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

 

а) 4 cos  i sin  ;
6
6 

 1  i 15
10
б)
27  ei  / 2
.
Вариант 6
1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
1  2i
а)
;
1  3i
б)
i
9


 1 i9  1
.
1_ i
2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:
3.
4
ei  / 3  i
3
3 

 i sin
а) 3 cos
;
б)
.

4
4
4 

3 i


Самостоятельная работа №2
Вариант 1
1. Составить квадратное уравнение по его корням x1  5  3 i,
2. Выполнить действия:
5  3i
b)
a) 2  i    3  i   4  3i 
5  3i
3. Построить слагаемые z1  2  i,
4. Выполнить действия:

a) cos12  i sin 12

z 2  2  3i и их сумму.
  15
b)  2 e 8


 45
x2  5  3 i




8
5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме: z 
1 i
e

3
i
4
Вариант 2
1. Решить квадратное уравнение x  6 x  34  0
2. Выполнить действия:
3  5 i   3  5 i    2  i 
2
3. Построить комплексные числа z1  2  3 i,
сопряженные и противоположные.
4. Выполнить действия:
z 2 1  2 i , а также им
122
a)
1  i 3
e
i

3
 

 
b)  2  cos  i sin  
3
3 
 
6
5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:
1 i
2e


4
i
Практическая работа № 33
Действия над комплексными числами
Цель:
Проверить умения выполнять действия над комплексными числами в
алгебраической форме
Задания
1. Даны комплексные числа вычислить сумму z  z1  z 2 аналитически и графически,
z
найти модуль и аргумент z, а так же z1  z 2 ; z1  z 2 ; 1
z2
1. z1  5  i; z 2  1  3i
16. z1  5  i; z 2  1  2i
2. z1  3  4i; z 2  1  i
17. z1  3  i; z 2  5  2i
3. z1  1  5i; z 2  1  4i
18. z1  1  5i; z 2  1  3i
4. z1  1  3i; z 2  7  i
19. z1  5  i; z 2  1  3i
5. z1  1  i; z 2  7  3i
20. z1  1  3i; z 2  2  5i
6. z1  1  i; z 2  5  4i
21. z1  3  4i; z 2  2  i
7. z1  3  4i; z 2  2  i
22. z1  5  2i; z 2  2  i
8. z1  i; z 2  7  4i
23. z1  7  2i; z 2  5  3i
9. z1  6  5i; z 2  1  i
24. z1  7  3i; z 2  1  4i
10. z1  1  5i; z 2  2  5i
25. z1  2  3i; z 2  5  4i
11. z1  5  7i; z 2  1  3i
26. z1  3  2i; z 2  6  5i
12. z1  3  2i; z 2  1  7i
27. z1  1  7i; z 2  4  5i
13. z1  5  2i; z 2  2  i
28. z1  4  5i; z 2  1  2i
14. z1  1  5i; z 2  2  3i
29. z1  1  3i; z 2  6  5i
15. z1  1  4i; z 2  1  2i
30. z1  3  2i; z 2  4  3i
2. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме
1 i  4 2 
   i ;
1)
1  2i  5 5 
2(1  i 3 )
2)
;
1 i 3
1 i 
17
3) 
 i ;
1

i


(1  2i )(1  2i ) 12
i ;
4)
2i
2(1  i 3 )
 (1  i 3 );
5)
1 i
20
123
(2  i ) 2
 (0,1  0,3i );
1  3i
2(1  i 3 )
7)
;
i( 3  i)
(1  3i )(1  3i )
8)
 2i 19 ;
3i
(1  i 3 ) 2
9)
;
2i 5
(4  i ) 2
10)
 8(2  i 13 );
i8
6)
3. Выполнить действия над комплексными числами:
z
1) z1  z 2 ; 2) z1  z2 ; 3) z1 * z2 ; 4) 1 ;
z2
1. z1  1  i, z 2   3  i;
2. z1  1  i, z 2   3  i;
1

2
1
4. z1  1  i, z 2  
2
3. z1  1  i, z 2 
5. z1  1 
3
i;
2
3
i;
2
3i, z 2  2  2i;
6. z1  1  3i, z 2  2  2i;
7. z1  1 
3i, z 2  2  2i;
8 . z1  1  3i, z 2  2  2i;
1
3  i, z 2   
2
1
10. z1  3  i, z 2  
2
9. z1 
3
i;
2
3
i;
2
Контрольные вопросы
1. Что такое комплексное число: действительная часть числа, мнимая часть числа?
2. Что такое мнимая единица?
3. Какие числа называются сопряженными?
4. Как представить комплексное число графически?
5. Что такое модуль числа?
6. Что такое аргумент числа?
7. Сколько может быть модулей и аргументов у комплексного числа?
8. Как найти аргумент числа?
9. Как найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел?
Практическая работа № 34
Перевод из одной формы комплексного числа в другую
Цель. Обобщить и проверить знания и навыки по теме «Комплексные числа»
Задания
1. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме,
результат записать в тригонометрической, алгебраической и показательной форме
1.
i 1
1 i
6. 3  1  i
124
 1 i 
2. 

  2  2i 
 1  3i 

3. 

 1 i 
6
6
 0,5  0,5 3i 

4. 

0
,
5
3

0
,
5
i



5. 2  12i
7.
 3  i  1  i 
4
 3 i

8. 

 2 
4

5
12
 2 3  2i 

9. 

3

i



10.  3  3i
3

3
2. Записать комплексное число в тригонометрической и алгебраической форме
1. 1 4e 2i / 3 ;
6. 4e  i / 4 ;
2.
3.
4.
5.
2ei / 6 ;
(2 / 3)e  5i / 3 ;
7. 5e  7i / 6 ;
8. (2 / 5)e 5i / 4 ;
3ei / 3 ;
e  5i / 6 ;
9. 8e 7i / 6 ;
10. 2,2e  3i / 4 ;
3. Выполнить действия. Результат записать во всех формах.
(5  3i )(5  3i 15 )
;
1.
6. ((  3  i ) / 2) 60 ;


2 (cos 225  i sin 225 )
(3  2i ) 2 (2  3i 0 )
;
1  2i 31
(2  i ) 3
3.
;
2i(cos(3 / 4)  i sin( 3 / 4))
2.
4. ((1  i 3 ) / 2) 6 ;
5.
1 i 3;
7. (2 /(1  i 3 ));
8. (( 3  i ) / 2) 24 ;
9.
 8  8 3i;
10.
7  4i 2 ;
4. Выполнить действия, используя тригонометрическую форму:
2 i 6

 
 1 1 

;

1.   i  
6.
3
cos(

)

i
sin(

)  (3  3i );

8
8 
6 

 4 4  6
2. (1  i 3 )( 2  2i 3 );
7.
3. (1  i )(3  3i 3 );
8.
4. (6  2i 3 )( 3  3i );
9.
1 i 3
;
1
3
i
2
2
6
5
i i
;
2ei / 3
3 3 3

i
2
2 ;
4  4 3i
125
 2
2  3i / 4
e
10. 
i

2
2


5. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
5
1) 3 z1 ;
2) z 2 ;
5. (5  5i)(cos 15  i sin 15 );
1. z1  1  i, z 2   3  i;
2. z1  1  i, z 2   3  i;
1

2
1
4. z1  1  i, z 2  
2
3. z1  1  i, z 2 
5. z1  1 
6. z1  1  3i, z 2  2  2i;
7. z1  1 
3
i;
2
3
i;
2
3i, z 2  2  2i;
3i, z 2  2  2i;
8 . z1  1  3i, z 2  2  2i;
1
3  i, z 2   
2
1
10. z1  3  i, z 2  
2
9. z1 
3
i;
2
3
i;
2
Контрольные вопросы
Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?
Как перевести число в тригонометрическую форму?
Как найти произведение, частное чисел в тригонометрической форме?
Как найти возвести число в тригонометрической форме в целую степень?
Как найти корень n-ной степени из числа в тригонометрической форме?
Формула Эйлера
Как представить комплексное число в показательной форме?
Как связаны тригонометрическая и показательная формы записи комплексных
чисел?
9. Как найти произведение, частное чисел в показательной форме?
10. Как найти возвести число в показательной форме в целую степень?
11. Как найти корень n-ной степени из числа в показательной форме?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Контрольная работа № 2 за 2 семестр
Вариант 1
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: exy − x 3 − y 3 = 3
б) логарифмическим дифференцированием: y = (sinx)3x
3x+8
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫ (x−2)(x+5) dx
3. Решить дифференциальное уравнение:
dy
1
cos x
y

2
3
x 1 x 1
а) ( у  1) dx  (1  x) dy  0; б) dx
4. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
3 32
33
34
1 


 ...
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4
Вариант 2
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: y = cos( x + y)
б) логарифмическим дифференцированием: y = (cos2x)sin x
126
7x+12
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫ (x−1)(3x+1) dx
3. Решить дифференциальное уравнение:
2
2
а) x 9  y dx  y (4  x )dy  0;
б)
dy
1
 y  tgx 
dx
cos x
4. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
2 4
6
8
 

 ...
5 25 125 625
Вариант 3
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: x 3 − y 3 = x 2 y 2
y = (sin 2x)cosx
б) логарифмическим дифференцированием:
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫
3. Решить дифференциальное уравнение:
а) 3x3 y dx  (1  x )dy  0;
2
б)
x2 +x+2
x3 +x2
dx
dy
2
 2 xy  2 xex
dx
4.Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
3 32 33 34
    ...
12 2 2 32 4 2
Вариант 4
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: xy = ctgy
б) логарифмическим дифференцированием: y = x sin3x
dx
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫ x3 −x2
3. Решить дифференциальное уравнение:
а) ( x  1)dy  xydx  0;
2
б)
dy
 2 y  ex
dx
4.Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
1
1
1


 ...
1 2  3 1 2  3  4 1 2  3  4  5
Вариант 5
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: x = arctg(x + y)
б) логарифмическим дифференцированием: y = (cosx)5x
5−4x
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫ (x+1)(x−2) dx
3.Решить дифференциальное уравнение:
а) ydx  (4  x ) ln y  dy  0;
2
б)
dy
2 1
y  2
dx
x x
4.Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
1 1 2 1 2  3 1 2  3  4



 ...
3 9
27
81
127
Вариант 6
1. Найти производные функций
а) заданной неявно следующим уравнением: x 3 + y 3 = 3y
б) логарифмическим дифференцированием: y = x x+1
2. Найти интеграл от рациональной дроби: ∫
3.Решить дифференциальное уравнение:
а)
y dx  x 2 dy  0;
б)
2x2 −2x−1
x2 −x3
dx
dy y
  cos x
dx x
4.Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера:
5 25 125 625


 5  ...
15 25 35
4
128
Литература
1.
А.П. Рябушко. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике:
Учеб. пособие в 3 частях / Мн.: Выш. шк.
2.
В. А. Подольский, А.М. Суходский, Сборник задач по высшей математике,
Москва, изд. Высшая школа.
3.
И. Л. Соловейчик, В. Т. Лисичкин, Сборник задач по математике для
техникумов./ ОНИКС 2003 г.
4.
Н.В. Богомолова и Л.Ю. Сергиенко. «Сборник дидактических заданий по
математике»/ М.: Дрофа, 2002. — 400 с
5.
Н.В. Богомолова и Л.Ю. Сергиенко. «Математика»/ М.: Дрофа, 2002. 400 с
6.
Сообщество взаимопомощи учителей - http://pedsovet.su/load/135-1-0-24993
129