1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей.

Институт прикладной математики
имени М.В. Келдыша
Российской Академии Наук
С.Н. Березинская, О.В. Сорокина, Е.И. Кугушев
Об односторонних неголономных
связях.
Москва 2003
2
Аннотация. Рассматриваются примеры механических систем с неголономными связями удерживающими и неудерживающими. Удар диска о шероховатую
прямую, односторонний конек, удар двухстороннего конька о прямую. Показывается, что движение с односторонними однородными связями носит безударный характер.
Ключевые слова: механические системы с ударами
Abstract. The examples of mechanical systems with nonholonomic unilateral restrictions are considered. Impact of a disk about a rough straight line, unilateral
skate, impact bilaterial skate about a straight line. Is shown, that the movement with
unilateral homogeneous restrictions carries nonimpact character.
Key words: Mechanical systems with impacts
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 01-01-00508, 02-01-00352 и 02-07-90027).
Содержание
Введение ...................................................................................................................... 3
1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей. ............................ 3
2. Основные законы динамики. ............................................................................... 7
3. Уравнения Лагранжа 2-го рода............................................................................ 9
4. Циклические интегралы и теорема Рауса. ........................................................ 11
5. Система с условными связями........................................................................... 12
6. Односторонний конек. ........................................................................................ 14
7. Удар в неголономной системе. .......................................................................... 15
8. Удар о неголономную связь. .............................................................................. 15
9. Малые колебания. ............................................................................................... 16
10. Плоское тело с каналом. .................................................................................. 17
ЛИТЕРАТУРА .......................................................................................................... 20
3
Введение
При исследовании механических систем с односторонними связями и
импульсными воздействиями с успехом используется аппарат обобщённых
функций и функций с ограниченным изменением [1-5]. Следуя этому, будем
считать траектории движения абсолютно непрерывными функциями, скорости
которых представляет собой функции ограниченного изменения. Это обуславливается тем, что пространство функций с ограниченным изменением является
простейшим банаховым пространством содержащим функции скачков, которые характерны для изменения скорости в системах с ударами. Уравнения
движения при этом приобретают форму уравнений с мерами Лебега-Стилтьеса
[3, 6], или, иначе говоря, обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсными правыми частями. Их удобство состоит, в том, что они позволяют
описывать движение на всем его протяжении, включающем как безударные
участки, так и точки удара, а также участки движения по границе односторонних связей.
Для натуральных механических систем c односторонними связями методом штрафных функций в [7] выведены уравнения движения с мерами в форме
уравнений Лагранжа второго рода. В данной работе предлагается способ вывода уравнений движения механических систем общего вида основанный на общепринятом в механике аппарате возможных перемещений и принципе Даламбера-Лагранжа, сформулированных в интегральной форме подобно тому,
как это делалось в [8]. Это позволяет для систем с идеальными двухсторонними и односторонними связями получить уравнения движения с мерами в форме
уравнений Лагранжа первого рода. Такие уравнения пригодны как для голономных, так и для неголономных систем. Из них выводятся основные законы
механики таких систем, а также уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода.
1. Принцип Даламбера-Лагранжа для односторонних связей.
Помимо систем с обычными односторонними связями мы рассмотрим
системы с неголономными, и т.н. условными односторонними связями. Односторонними неголономными связями мы называем такие ограничения, накладываемые на движение системы, которые не представлены (и, может быть, не
представимы) в виде задания какой-либо области в конфигурационном пространстве. Пример таких ограничений – это линейные ограничения, задаваемые неравенствами вида c( x) x  d ( x)  0 . Они возникают, при описании движения одностороннего конька.
Другой вид подобных ограничений – это т.н. условные связи, возникающие, например, при соударении абсолютно шероховатых поверхностей, которые прокатываются друг по другу без проскальзывания. Формально подобные
4
ограничения можно описать системой: g ( x)  0 всегда, и a( x) x  b( x)  0 , при
g ( x)  0 . Первое условие запрещает взаимное проникновение тел, а второе
описывает качение без проскальзывния при их соприкосновении.
Перейдем теперь к общему описанию. Рассмотрим систему из N материальных точек, перемещающихся в пространстве под действием приложенных к ним сил. Координаты точек объединим в вектор x  ( x1, x2 ,..., xn )  Rn ,
n  3N . Введём диагональную n  n матрицу масс M . На её диагонали располагаются массы точек системы, по три одинаковых значения для каждой точки.
В отсутствии связей движение системы описывается вторым законом
Ньютона
Mdx  F ( x, x, t )dt
где F  ( F1, F2 ,..., Fn ) – сводный вектор сил, действующих на точки системы.
Наложим на систему семейство k  n линейных удерживающих связей:
A( x, t ) x  b( x, t )  0
где A  aij ( x, t ) – n  k матрица удерживающих связей, b  Rk .
Добавим к ним семейство m односторонних голономных связей
g ( x, t )  0
где g  ( g1 , g 2 ,...g m ) m -мерная вектор-функция, m  n  k . Здесь и ниже подобные неравенства надо понимать как покоординатное выполнение неравенств: gi ( x, t )  0 , i  1,2,...,m .
Наложим на систему также семейство l неголономных односторонних
связей:
W ( x, t ) x  d ( x, t )  0
где W – матрица n  l , d  Rl .
Добавим также одну группу r условных связей:
C ( x, t ) x  h( x, t )  0
при g1( x, t )  0 , где C – матрица n  r , h  R r . Мы полагаем, что C  0 при
g1 ( x, t )  0 . Рассмотрение систем, где число групп условных связей больше одной, может быть произведено аналогично.
Введем n  m матрицу односторонних связей g ( x, t ) . Строка i этой матg i ( x, t )
рицы – это вектор
, если g i ( x, t )  0 , и нулевой вектор, если
x
g i ( x, t )  0 .
Определим также n  (k  m  l  r ) матрицу T ( x, t ) касательного оператора. Она составлена (сверху – вниз) из строк матрицы удерживающих связей
A и строк матриц односторонних и условных связей g , C и W . Мы считаем,
что эта матрица имеет максимальный ранг (если отбросить заведомо нулевые
строки).
5
Пространством возможных перемещений V ( x, t ) в точке ( x, t ) назовем
множество векторов x  R n , удовлетворяющих условиям
A( x, t )x  0 , g ( x, t )x  0 , C ( x, t )x  0 , W ( x, t )x  0
Пространством касательных перемещений K ( x, t ) в точке ( x, t ) назовем
множество векторов x  Rn , удовлетворяющих условию
T ( x, t )x  0
Любое касательное перемещение является возможным.
Следуя [8] будем формулировать условия идеальности связей в интегральной форме. Вариацией кривой x(t ) , t  [t0 , t1 ] будем называть любую непрерывную вектор-функцию v(t )  (v1(t ), v2 (t ),...,vn (t )) . Вариация v(t ) называется возможной, если v(t ) V ( x(t ), t ) для всех t . Вариация v(t ) называется касательной, если v(t )  K ( x(t ), t ) для всех t . Поскольку K ( x, t )  V ( x, t ) , то любая касательная вариация является возможной. Если вариация v(t ) является касательной, то вариация ~ (t )  v(t ) также касательная.
Принцип освобождения от связей. Пусть x(t ) – траектория движения.
Тогда систему можно освободить от связей и добавить некую силу – реакцию
связей R(t ) таким образом, что x(t ) останется траекторией движения освобожденной системы. При этом компоненты реакции связей представляют собой
меры Лебега-Стилтьеса R(t )  d (t )  (d1 , d 2 ,...d n ) . Они могут иметь особенности, сосредоточенные на множестве тех моментов времени, в которые
траектория x(t ) выходит на односторонние ограничения. Траектория системы
представляет собой такую абсолютно непрерывную функцию x(t ) , производная которой, x (t ) , является функцией с ограниченной вариацией. При этом будут выполнены уравнения движения с мерами.
Mdx  F ( x, x, t )dt  d (t )
(1.1)
Идеальность связей. Связи называются идеальными, если для любой
траектории системы x(t ) , и для любой её возможной вариации v(t ) интегральная элементарная работа сил реакции связей неотрицательна, т.е.
 (v ) 
t1
t1 n
 v(t ), d (t )    vi (t )di (t )  0
t0
(1.2)
t0 i 1
Это условие, в частности, означает, что, при выходе траектории системы на
границу удерживающих связей, реакция связей направлена внутрь области, допустимой этими связями.
Из (1.2) следует, что для любой касательной вариации v(t ) интегральная
элементарная работа сил реакции связей равна нулю (v)  0 . Если допустить
противное, то найдется касательная вариация v(t ) такая, что (v)  0 . Взяв
6
касательную и, следовательно, возможную вариацию ~ (t )  v(t ) получим
(v~)  (v)  0 , что противоречит (1.2).
Найдя di (t ) из (1.1) и подставив в (1.2) получим эквивалентную форму
записи условия идеальности связей. На траекториях системы для любой возможной вариации v(t ) должно выполняться
 (v ) 
t1 n
  mi dxi  Fi ( x, x, t )dt vi (t )  0
(1.3)
t0 i 1
Отсюда следует, что для любой касательной вариации (v)  0 .
Сформулируем теперь известное утверждение из функционального анализа, необходимое для вывода уравнений движения нашей системы.
Для заданного движения x(t ) обозначим X – банахово пространство вариаций v(t ) , т.е., пространство непрерывных n -мерных вектор-функций.
Определим на X касательный оператор U как отображение в пространство
k  m  l  r мерных непрерывных функций: U (v)  u , где u(t )  T ( x(t ), t )v(t ) .
Обозначим Y  U (X ) . Это также банахово пространство. Пространство касательных вариаций X 0  {v : U (v)  0} является ядром линейного оператора
U : X  Y . В соответствии с леммой об аннуляторе ядра регулярного оператора (см., например, [9]) имеем X 0  U * (Y * ) . Здесь символом ()* обозначены
сопряженные пространства и сопряженные операторы, а X 0 – аннулятор
множества X 0 , т.е. множество линейных функционалов обращающихся на
нем в ноль.
Из теоремы Рисса о виде линейного функционала в пространстве непрерывных
функций
вытекает
следующее
утверждение:
пусть
d (t )  (d1 (t ), d 2 (t ),..., d n (t )) векторная мера Лебега Стилтьеса на [t0 , t1 ] , и
t1
 v(t )d (t )  0
t0
для любой непрерывной вектор-функции v(t )  (v1(t ), v2 (t ),...,vn (t )) такой, что
T ( x(t ), t )v(t )  0 для всех t  [t0 , t1 ] . Тогда найдется мера Лебега-Стилтьеса
d (t )  (d1 ,..., dk , d1 ,..., d m , d1 ,..., d r , d 1 ,..., d l ) на [t0 , t1 ] , такая что
d  T ( x(t ), t )d
где T  – транспонированная матрица T . При этом каждая компонента i меры
d сосредоточена на том множестве, где не обращается в ноль строка i матрицы касательного оператора T ( x(t ), t ) .
Разделяя этот оператор на составляющие удерживающих и односторонних связей, получаем
d  A( x(t ), t )d  g ( x(t ), t )d  C ( x(t ), t )d  W ( x(t ), t )d (1.4)
Более подробно с этими вопросами можно ознакомиться в [14].
7
Принцип Даламбера-Лагранжа. Пусть абсолютно непрерывная кривая
x(t ) удовлетворяет идеальным связям, наложенным на систему, а ее производная существует почти всюду и является функцией ограниченного изменения.
Кривая x(t ) является траекторией движения тогда и только тогда, когда для
любой возможной вариации v(t ) выполнены соотношения (1.3).
Применив (1.4) для касательных вариаций получаем отсюда уравнения
Лагранжа 1-го рода [10, 11]. Кривая x(t ) является траекторией движения системы с идеальными связями (1.1-2) тогда и только тогда, когда найдутся таd  (d1, d2 ,..., dk ) ,
кие
векторные
меры
Лебега-Стилтьеса
d  (d1, d 2 ,..., d m ) , d  (d1, d 2 ,..., d r ) и d  (d 1 , d 2 ,..., d l ) , что
Mdx  Fdt  Ad  g d  C d  W d
(1.5)
где знак () означает транспонирование матриц. При этом каждая мера di и
d j неотрицательна и сосредоточена на множестве моментов времени, в которые gi ( x(t ), t )  0 и
n
 w ji ( x, t ) xi  h j ( x, t )  0 соответственно. Каждая мера di
i 1
сосредоточена на множестве моментов времени, в которые g1 ( x(t ), t )  0 . Неотрицательность мер di , d j следует из условия идеальности связей (1.2).
Функции  (t ) ,  (t ) ,  (t ) , и  (t ) , как функции ограниченной вариации,
однозначно раскладываются на сумму трех функций – абсолютно непрерывной, непрерывной сингулярной и функции скачков. Последняя представляет
собой ступенчатую функцию с не более чем счетным числом ступеней. В точках скачка мер (и только в них) траекторная скорость x также может иметь
скачок. Обозначим эти скачки соответственно  ,  ,  ,  и x . В силу
(1.5) они связаны соотношением
Mx  A  g   C   W 
Отсюда, заметив, что во все время движения выполнены уравнения удерживающих связей, т.е. Ax  0 , получаем условие скачка
AM 1 A  g   C  W    0
Заметим, что, если функции, описывающие связи, имеют второй класс
гладкости, то скорость движения имеет только две составляющие – абсолютно
непрерывную функцию и функцию скачков [10].
2. Основные законы динамики.
Для систем с идеальными удерживающими и односторонними голономными связями известны теоремы об изменении количества движения системы
и о движении ее центра масс в точках мгновенного удара [13]. Эти теоремы
верны и в общем случае, когда выход на границу односторонних связей не яв-
8
ляется мгновенным [10, 11]. Вывод этих законов почти дословно совпадает с
традиционным выводом, применяющимся для случая только удерживающих
связей. Отличие здесь состоит в использовании формулы Лейбница дифференцирования по частям. В пространстве функций с ограниченным изменением
эта формула применима в следующем виде. Если f (t ) – абсолютно непрерывная функция, а g (t ) функция ограниченного изменения, то
(2.1)
d ( fg )  fdg  gdf
Для краткости мы ограничимся формулировками основных законов. В
качестве примера полное доказательство приводится только для теоремы об
изменении импульса системы.
Теорема об изменении количества движения. Если удерживающие, и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь
направления постоянного во времени, то проекция количества движения системы на это направление является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна суммарной проекции на это направление вектора активных сил.
Доказательство. Эта теорема непосредственно вытекает из аналогичного утверждения для сводных векторов системы. Введем сводный вектор импульса системы P  Mx  R n . Если удерживающие, и односторонние, наложенные на систему, идеальны и допускают поступательный сдвиг всех точек системы как твердого тела вдоль какого-нибудь направления v  Rn постоянного
во времени, то проекция вектора импульса на это направление Pv  ( P, v) является абсолютно непрерывной функцией и скорость ее изменения равна
Fv  ( F , v) , т.е. равна проекции на это направление сводного вектора активных
сил.
Докажем это. Пусть x(t ) – траектория движения системы. Для нее выполнены уравнения Лагранжа первого рода (1.5). Условие теоремы означает,
что вектор v является касательным перемещением во все время движения, т.е.,
Av  0
всегда и
gv  0 , Cv  0 , Wv  0
в точках траектории, расположенных на границе односторонних связей, т.е. в
тех точках, в которых сосредоточены соответствующие меры d , d , d . Отсюда следует, что во все время движения
( Ad , v)  0 , (g d , v)  0 , (C d , v)  0 , (W d , v)  0
Эти соотношения, понимаются как равенство мер Лебега-Стилтьеса. Домножив обе части (1.5) на v , получаем
( Mdx , v)  dPv  Fv dt
9
Поскольку Fv ( x(t ), x (t ), t ) есть функция ограниченного изменения, то Pv (t ) явdPv
ляется абсолютно непрерывной функцией и выполнено
 Fv . Доказательdt
ство закончено.
Теорема об изменении момента количества движения. Если удерживающие и односторонние связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всех точек системы как твердого тела вокруг какой-нибудь постоянной оси проходящей через начало координат, то момент количества движения системы относительно этой оси является абсолютно непрерывной функцией и скорость его изменения равна суммарной проекции на эту ось векторов
моментов активных сил.
3. Уравнения Лагранжа 2-го рода.
Пусть удерживающие связи голономны, q  (q1 , q2 ,..., q s ) являются
обобщенными координатами, и координатные функции xi  xi (q1 , q2 ,..., q s , t ) ,
i  1,2,...,n имеют второй класс гладкости. Тогда траектория движения q(t ) –
это абсолютно непрерывная вектор-функция, производная которой q (t ) , является функцией ограниченной вариации.
Односторонние связи в обобщенных координатах задаются системой неравенств
gi (q, t )  0 , i  1,2,..., m .
Группа условных связей задается системой условий
C (q, t )q  d (q, t )  0 , при g1(q, t )  0
где C – s  r матрица, d  R r .
Неголономные односторонние связи задаются системой неравенств
W (q, t )q  h(q, t )  0
где s – число связей, W – s  l матрица, h  R l .

Для краткости записи обозначим  u 
. Пользуясь формулой Лейбниu
ца (2.1), получаем
 x    2 x
 2 x 
  x
x 
x

 
d 
q 
dt 
dt
 q  dt 

tqi 
qi  q
t 
qi
 qi   qqi
или, в матричной форме
d ( q x)   q xdt
(3.1)
Подставив соотношения
x
x   q xq   t x ,
(3.2)
 q x
q
в уравнения удерживающих связей Ax  b  0 , получим систему
10
A q xq  A t x  b  0
которая должна тождественно выполняться при всех (q, q , t ) . Отсюда
A q x  0
и
( q x) A  A q x   0


Домножив обе части (1.5) слева на транспонированную матрицу ( q x) получим
( q x)Mdx  ( q x)( Fdt  Ad  g d  C ' d  W ' d )
Матрица  q x абсолютно непрерывна. Применив формулу Лейбница (2.1) получаем на действительной траектории
( q x)Mdx  d ( q x)Mx  d ( q x)Mx


Использовав (3.1-2), выводим отсюда
 T  T
( q x)Mdx  d   
dt
 q  q
где
1
T (q, q , t )  ( x, Mx )
2
– кинетическая энергия системы. Введем вектор обобщенных сил
Q  ( q x)F
Заметив, что
( q x)g   (g q x)  ( q g )
и что это верно и для остальных матриц связей, получаем уравнения Лагранжа
второго рода

 T  T
 g 
(3.3)
d   
dt  Qdt    d  C (q, t )d  W (q, t )d
 q  q
 q 
Теорема Аппеля. Пусть в момент t  ~
t траектория движения находится
на границе односторонних ограничений, и скорость претерпевает скачок. Тогда
T
вектор обобщенных импульсов p(t ) 
также имеет скачок. Обозначим
q
p   p( ~
t  0) , p  p(~
t  0)
(для функции ограниченной вариации эти величины всегда существуют). Тогда из (3.3) получим в момент t  ~
t , что

 g 


p  p    1  C  2  W  3
 q 
11
где  i – некие вектора размерностей m , r , и l соответственно. Компоненты
1 и  3 неотрицательны. Помножив это равенство на любой вектор u  R s ,
касающийся границы односторонних ограничений в точке q(t~) , получим
( p  , u)  ( p  , u)
Т.е. сохраняются проекции вектора обобщенного импульса на плоскость касательную поверхности удара.
4. Циклические интегралы и теорема Рауса.
В этом разделе мы покажем, что теория Рауса игнорирования
циклических координат справедлива и при наличии идеальных односторонних
связей. Пусть силы имеют силовую функцию U (q, t ) . Введем, как обычно,
функцию Лагранжа L(q, q, t )  T  U . Уравнения движения (3.3) приобретут
форму

 L  L
 g 
(4.1)
d    dt    d  C (q, t )d  W (q, t )d


q

q

q
 
 
Далее рассуждаем по обычной схеме. Обобщенная координата qi называется
циклической, если она не входит явно в функцию Лагранжа L и в условия односторонних связей, т.е.
g j
L
 0,
 0 , c ji  0 , w ji  0
qi
qi
. В силу уравнений движения (4.1) для циклической координаты qi выполнено
 L 
  0
d 
 qi 
L
Значит, величина
остается постоянной, т.е. является циклическим первым
qi
интегралом уравнений движения. Циклическую координату qi назовём
отделяющейся, если от нее не зависят матрицы C и W , т.е. для всех j , p и k
выполняется условие
w pk
c jk
 0,
qi
qi
Пусть координаты qr , qr 1,..., qs являются отделяющимися циклическими. Им
соответствуют циклические интегралы
L
(4.2)
  i , i  r, r  1,..., s
qi
где  i – константы интегралов. Циклические координаты в эти уравнения не
входят. Будем считать, что уравнения (4.2) функционально независимы и, сле-
12
довательно,
разрешимы
относительно
циклических
скоростей
qC  (q r , q r 1 ,..., q s ) , которые находим как функции позиционных координат
q  (q1, q2 ,..., qr 1 ) , позиционных скоростей q  (q1, q 2 ,..., q r 1 ) , констант
циклических интегралов   (  r ,  r 1,...,  s ) и времени: qi  qi (q , q ,  , t ) ,
i  r, r  1,...,s . Эти выражения подставляются в функцию Рауса
R(q , q  ,  , t )  L  qC  .
Теорема Рауса. Пусть q(t ) – траектория движения нашей системы, тогда
для позиционных координат выполнены уравнения Лагранжа второго рода, в
которых в качестве функции Лагранжа берется функция Рауса.

 R  R
 g 
 
 d  C d  W d
(4.3)
d 
dt  
 q   q
 q 
Доказательство. Рассматривая R , L и qc как гладкие функции от независимых переменных q , q ,  , t выпишем несколько соотношений между
дифференциальными формами. Дифференцируя левую часть определения
функции Рауса получаем
R
R
R
R
(4.4)
dR 
dq 
dq 
dt 
d
q
q
t

Дифференцируя правую часть получаем
L
L
L
L
dR 
dq 
dq 
dqC 
dt  qC d  dqC (4.5)
q
q
qC
t
Возьмем любую точку (q , q ,  , t ) на траектории движения, тогда выполнены
(4.2) и, следовательно,
L
dqC  dqC  0
qC
Поэтому (4.5) в этой точке выглядит следующим образом
L
L
L
(4.6)
dR 
dq 
dq  
dt  qC d
q
q
t
Формы (4.4) и (4.6) совпадают во всех точках траектории движения, поэтому в
них
R L R
R
L
R
L



,
,
,
 qC
t t
q q
q q

Подставляя эти соотношения в (4.1) получаем (4.3).
5. Система с условными связями.
Рассмотрим пример механической системы с условными связями. Пусть
по гладкой плоскости скользит однородный диск единичной массы и радиуса
13
R . Введем на плоскости декартову систему координат Oxy . Положение диска
можно описать тремя параметрами ( x, y, ) , где ( x, y) – координаты центра
диска, а  – угол его поворота. Движение диска ограничено полуплоскостью
y  R . При выходе на границу, т.е. на прямую y  R , обод диска касается прямой y  0 . Предположим, что контакт диска с этой прямой является абсолютно
шероховатым. Это означает, что, как бы ни были слабы силы, прижимающие
диск к граничной прямой, диск катается по ней без проскальзывания. Такое
свойство можно записать в виде двух условий:
R y 0
и
x  R  0 , при y  R  0
Обозначим J – центральный момент инерции диска. Для использования теоремы Рауса, перейдем к координатам (u, y,  ) , где u  x  R . Тогда связи и лагранжиан системы приобретут следующий вид:
R  y  0 , и u  0 , при условии, что y  R  0 ,
и
1
J 2
L  ((u  R ) 2  y 2 ) 
2
2
Координата  является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл
имеет вид
( J  R 2 )  uR  
Исключив методом Рауса циклическую переменную получим систему с теми
же связями и Лагранжианом
1 2
Ju 2
Ru
2
R  y 


2
2( J  R 2 ) J  R 2 2( J  R 2 )
Уравнения движения
J
du
 d , dy  d
J  R2
после нормировки меры d станут следующими:
du  d , dy  d
Меры d и d сосредоточены в точках выхода на ограничения.
Рассмотрим абсолютно упругий однократный удар, т.е. удар, при котором сохраняется энергия системы. Символами ()  и ()  будем обозначать значения величин до и после удара соответственно. Поскольку у системы две степени свободы и две неудерживающих связи, то скорости после удара y  и u 
восстанавливаются неоднозначно. Если обозначить h – энергию системы, то
Ju  2
2
y 
 2h
J  R2
14
Видно, что здесь в принципе возможно даже возникновение ситуации, описанной в [2], при которой диск будет отскакивать в сторону противоположную
первоначальному горизонтальному движению.
Для однозначности решения требуется какая-либо модель удара, из которой можно получить дополнительные условия. Одна из возможностей – это задание степени “шероховатости” прямой, о которую ударяется диск. Скорость
u характеризует величину отклонения значений x и  от таких, при которых
диск катится по горизонтальной прямой без проскальзывания (т.е. от u  0 ).
Для абсолютно гладкого случая положим u   u  , а для абсолютно шероховатого u   0 . В линейном приближении этот закон можно задать следующим
образом:
u   ku 
где (1  k ) , 0  k  1 – степень шероховатости. Тогда
y   2h(1  k 2 )  k 2 y 2
Заметим в заключение, что в данной системе ситуация принципиально не меняется если наложить какое-либо вертикальное силовое поле с потенциалом
U ( y) .
6. Односторонний конек.
Рассмотрим теперь пример системы с неголономными односторонними
связями. По гладкой плоскости опять движется диск радиуса R . Он снабжен
“односторонним коньком”, который накладывает на движение диска одностороннюю неголономную связь
x sin   y cos  0
Лагранжиан этой системы имеет вид
1 2
J 2
2


L  (x  y ) 
2
2
Координата  здесь циклическая но не отделяющаяся. Уравнения движения
имеют вид
dx   sin d , dy  cosd , d  0
В моменты, когда x sin   y cos  0 , могут происходить удары о неголономную связь. Посмотрим, как изменятся скорости после удара. Удар считаем абсолютно упругим. Из уравнений движения получаем условия скачка
x   x    sin  , y  y    cos
Величину  находим из равенства энергий до и после удара
x 2  y 2  ( x    sin  ) 2  ( y    cos ) 2
15
откуда   0 . Значит, составляющая функции скачков в d отсутствует и
d   (t )dt , где  (t )  0 – измеримая функция. Уравнения движения приобретают вид
x   sin  , y   cos ,   0 .
Таким образом, в данной системе удары отсутствуют. Движение системы
описывается следующим образом. Диск все время вращается с постоянной угловой скоростью. Центр диска движется по прямой до тех пор, пока конек не
повернется в положение, направленное по скорости движения центра. Затем
движение по касательной перейдет к обычной круговой траектории диска с
двухсторонним коньком. Сойти с этой окружности траектория не сможет, т.к.,
безударный сход должен происходить по касательной к окружности, но из-за
связи сход возможен только внутрь окружности.
7. Удар в неголономной системе.
Если на диске установлен обычный двусторонний конек,
x sin   y cos  0
и наложена односторонняя связь y  R  0 . То такими же простыми рассуждениями получаем, что при однократном ударе скорость центра диска меняется
на противоположную.
8. Удар о неголономную связь.
Заметим, что движение будет иметь безударный характер и в общем случае, когда на систему наложены только неголономные односторонние связи
W (q)q  d (q)  0
причем все компоненты вектора d неотрицательны: d  0 . Рассмотрим натуральную механическую систему
1
L  (M (q)q, q )  U (q)
2
Уравнения Лагранжа 2-го рода дают
L
d Mq  
 W ' d
q
Мера d неотрицательна и сосредоточена в тех точках траектории, где
W (q)q  d (q)  0 слева или справа. Допустим, что в момент t  ~
t  0 траектория вышла на ограничение и мера имеет скачок  . Тогда все его компоненты
неотрицательны:   0 и Mq   Mq   W  . Считаем, что при ударе полная
энергия может рассеиваться. В точках скачка координаты и, значит, потенциальная энергия остаются непрерывными. Следовательно, в них может рассеиваться только кинетическая энергия:
16
(Mq  , q  )  (Mq  , q  )
Подставив сюда условие скачка q   q   M 1W  , получим
(M (q   M 1W ), (q   M 1W ))  (Mq  , q  )
Воспользовавшись условием выхода на границу связи
W (q)q   d (q)  0
получаем
2(d , )  (W , M 1W ))  0
Поскольку все компоненты векторов  и d неотрицательны, то неотрицательно и первое слагаемое в неравенстве. Значит второе слагаемое неположительно. Однако, M 1 , как и M – положительно определенная матрица, поэтому
второе слагаемое обращается в ноль, т.е. W   0 и q   q  . Это означает, что
скачки скорости отсутствуют, скорость является абсолютно непрерывной
функцией.
9. Малые колебания.
Рассмотрим малые колебания в системе с одной степенью свободы.
Пусть лагранжиан имеет вид
1
L  a(q)q 2  b(q)q  c(q)
2
и на систему наложено одно ограничение  q  0 . Обычной калибровкой приведем лагранжиан к виду
1
L  a(q)q 2  c(q)
2
Если удары абсолютно упругие, то в системе сохраняется энергия:
1
a(q)q 2  c(q)  h .Уравнения движения с мерами выглядят следующим обра2
зом.
1
(9.1)
adq  aq q 2 dt  cq dt  d
2
Причем мера d неотрицательна и сосредоточена в тех точка, где q  0 . Условия, при которых точка q  0 является положением равновесия, получаются
подстановкой в уравнения движения значений qdt  dq  0 . Они выглядят так:
 cq (0)dt  d
Поскольку мера d неотрицательна, то условием равновесия является
cq (0)  0 . Если оно выполнено, то, взяв  (t )  cq (0)t , мы удовлетворим уравнения движения для траектории q(t )  0 . В соответствии с [4, 15], положение
равновесия устойчиво, если потенциальная энергия V (q)  c(q) имеет мини-
17
мум в точке q  0 , при ограничениях q  0 . Достаточным условием этого является выполнение неравенства cq (0)  0 . Таким образом, если cq (0)  0 , то точка q  0 является устойчивым положением равновесия системы (9.1) при ограничении q  0 .
Заметим, что другим достаточным условием устойчивости является система
cq (0)  0 , cqq (0)  0
В этом случае точка 0 является устойчивым положением равновесия системы
без односторонних ограничений. Здесь мы не будем рассматривать этот случай.
Найдем частоту малых колебаний в окрестности положения равновесия.
Удар считаем абсолютно упругим. Линеаризовав лагранжиан, получим
1
L  a(0)q 2  cq (0)q  c(0)
2
Линеаризованные уравнения движения приобретет вид
a(0)dq  cq (0)dt  d
В линеаризованной системе также сохраняется энергия:
1
a(0)q 2  cq (0)q  h , h  0
2
Движение в окрестности точки q  0 представляет собой повторяющиеся одинаковые безударные параболические участки, разделенные ударом о связь
q  0 . Будем считать, что очередной удар произошел в момент t  0 . Найдем
момент следующего удара. После удара координата q увеличивается до того
момента, когда скорость от значения
2h
v0 
a(0)
упадет до нуля. Длина этого отрезка времени составляет
a(0)
2ha(0)
t  v0

cq (0)
cq (0)
Длина полного безударного участка составляет 2t , и частота малых колебаний. Таким образом период малых колебаний системы падает вместе с энергией системы как ее квадратный корень.
a(0)
8ha(0)
(9.2)
T  v0

cq (0)
cq (0)
10.Плоское тело с каналом.
Рассмотрим плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости.
Внутри тела вырезан тонкий канал K . Пусть в плоскости задана абсолютная
18
система координат O и в точке (0,0) установлен “столбик”. В начальный
момент тело расположено так, что этот столбик попадает в канал K . На движение тела наложена односторонняя связь, состоящая в том, что “столбик”
располагается в канале K . Толщину “столбика” и ширину канала считаем нулевыми.
Дадим формальное описание этой системы. Свяжем с телом систему координат Oc xy , начало которой Oc совпадает с центром тяжести тела. Будем
считать, что канал K в теле это гладкая кривая, которая задается параметрически
x  x K (s) , y  y K (s ) , 0  s  a
(9.1)
где s – натуральный параметр, длина вдоль кривой K . Сама кривая имеет
длину a  0 . Положение тела можно было бы описывать тройкой координат
( c ,c ,  ) , где ( c ,c ) – координаты центра масс тела Oc в абсолютной системе, а  – угол наклона оси Oc x связанной системы координат по отношению к
оси O абсолютной системы. Однако, мы будем использовать тройку ( x, y,  ) ,
где ( x, y ) – координаты начала абсолютной системы координат O в связанной
системе. Переход от связанной системы координат к абсолютной производится
поворотом на угол   относительно Oc и сдвигом на вектор ( c ,c ) . Поэтому первая и вторая тройки координат связаны соотношениями
 c   x cos  y sin 
(9.2)
c   x sin   y cos
а их скорости
c   x cos  y sin   ( x sin   y cos )
c   x sin   y cos  ( x cos  y sin  )
Обозначим J – центральный момент инерции тела, а его массу m , для
краткости записи, будем считать равной единице m  1. По теореме Кенига кинетическая энергия тела T выражается соотношением
1 2
J 2
2
T  ( c  c ) 
(9.3)
2
2
или, в координатах ( x, y,  ) ,
1
J 2
T  [ x 2  y 2  ( x 2  y 2 ) 2  2( xy  yx) ] 
2
2
Подставив сюда (9.1) получим лагранжиан системы
1
J 2
L  ( s 2  r 2 ( s) 2  2 ( s) s ) 
2
2
dr
где r  ( x K , y K ) , v  ,   r  v . И использовано то, что s – это натуральds
ный параметр и, поэтому, v 2  1. На систему наложено две односторонних связи:
(9.4)
 s  0, и s  a  0
19
Координата  является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл
имеет вид
(r 2  J )  
Получаем редуцированную систему с функцией Рауса R  L   :
1 2

2
R  s   ( s) s

2
J  r 2 2( J  r 2 )
ограничениями (9.4). Это система с одной степенью свободы. Она интегрируется в квадратурах.
Рассмотрим случай абсолютно упругого удара. Для краткости введем
обозначение
1
2

,



2

( r , v)
s
J  r 2 (s)
Система допускает интеграл энергии s 2   2  2h . Положение s  0 является
положением равновесия, если  2  2h , и реакция связи направлена внутрь
допустимой области. Несложно убедиться, последнее условие эквивалентно
следующему (r (0), v(0))  0 .
Следуя [15], заключаем, что, если последнее неравенство – строгое, то
положение равновесия устойчиво. В этом нетрудно убедится прямо. В самом
деле, если (r (0), v(0))  0 , то при увеличении s от нуля величина r 2 будет
уменьшаться, а потенциальная энергия  2 будет увеличиваться. После удара
о связь скорость будет равна
v0  2h   2
В обозначениях предыдущего раздела
a(0)  1 , c  

, cq (0)   2 2 (0)( r (0), v(0))
2
поэтому период малых колебаний равен
2h   2
a(0)
T  v0
 2 2
cq (0)
  (r , v)
Все значения берутся при s  0 .
Благодарности. Авторы весьма признательны А.П. Иванову, В.В. Козлову, и Д.В. Трещеву за советы и полезные обсуждения данной работы.
20
ЛИТЕРАТУРА
1. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986.
2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику
систем с ударами. М., МГУ, 1991.
3. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited,
1996.
4. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., “Международная программа образования”, 1997.
5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997.
6. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential
equations containing measures. SIAM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp.
231 – 280.
7. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on
Riemanian manifolds. Journal of Differential equations, 1983, 47, 227-275.
8. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66.
9. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.,
Наука, 1979.
10.Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002, N 14 .
11.Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 16.
12.Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН,
2002 N 15.
13.Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000. [14] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ,
1970.
14.Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями.
ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.