теория оптимального управления - Рубцовский Институт филиал

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Специальность – 080801.65 Прикладная информатика (в экономике)
Форма обучения – очная, заочная, заочная (сокращенная) на базе среднего
профессионального образования
Кафедра – математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
2
СОДЕРЖАНИЕ УМК
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ............................................................. 4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ....................................................................... 6
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (дидактические единицы) .............. 8
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»....... 11
5. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ ............................................................................................... 13
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ» ....................................................... 19
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ................................... 20
3
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Наиболее крупными достижениями научно-технического прогресса XX
века называют: расщепление атома, освоение космоса, создание электронновычислительной техники. Управление ядерными реакторами, летательными
аппаратами, сложными технологическими процессами, исследование задач
экономики требовали создания нового направления в математике – теории
оптимального управления.
Математическая теория оптимального управления - раздел математики, в
котором изучаются способы формализации и методы решения задач о выборе
наилучшего, в заранее предписанном смысле, способа осуществления динамического процесса. Эта теория находит широкое применение в различных областях экономики, менеджмента, промышленности, транспорта, в описании
процессов окружающей среды и т.д.
Бурное развитие электронно-вычислительной техники, появление
компьютеров нового поколения открывают путь для решения сложных задач
оптимального управления.
Цели освоения дисциплины:
Целью преподавания дисциплины являются ознакомление студентов с
основами теории оптимального управления на базе функциональноаналитического подхода к системам и моделям экономической динамики, а
также развитие практических навыков в постановке и исследовании типичных
задач оптимального управления применительно к моделям экономических и
социально-экономических процессов.
Задачи дисциплины:
Обеспечить приобретение студентами умений и навыков в постановке
задач оптимального управления для реальных экономико-математических
моделей, в целесообразном выборе методов исследования задач оптимального
управления и использовании современных инструментальных средств,
используемых при решении задач оптимального управления.
Дисциплина ЕН.В.02 «Теория оптимального управления» относится к
циклу естественнонаучных дисциплин.
Перечень дисциплин, необходимых для изучения данного курса:
 «Дифференциальные уравнения»;
 «Методы оптимизации»;
 «Численные методы».
В результате изучения дисциплины студенты должны:
4
 понимать специфику задач оптимального управления как
раздела теории экстремальных задач;
 обладать теоретическими знаниями теории оптимального
управления;
 ориентироваться в различных постановках задач оптимального
управления;
 приобрести навыки решения простейших задач оптимального
управления;
 уметь ставить
экономические задачи.
и
решать
5
соответствующие
прикладные
Семинары
Лабораторн
ые работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
2
1. Введение в
вариационное исчисление.
2. Вариационные задачи с
неподвижными
границами.
3. Вариационные задачи с
подвижными границами.
4. Задачи на условный
экстремум.
5. Достаточные условия
экстремума.
Лекции
ДЕ 1
(40 баллов)
1
Наименование тем
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Дидактические
единицы (ДЕ)
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Очная форма обучения
Количество
аудиторных часов
при очной форме
обучения
3
4
5
6
7
4
2
–
–
2
18
3
–
4
11
18
3
–
4
11
14
2
–
4
8
14
2
–
4
8
ДЕ 2
(60
баллов)
Промежуточный контроль
6. Вариационные методы в
оптимальном управлении.
7. Принцип максимума.
8. Метод динамического
программирования.
Контрольная работа
20
6
–
6
8
20
6
–
6
8
20
6
–
6
8
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
Итого часов
Контрольная работа
128
6
30
Зачет
–
34
64
Лабораторн
ые работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
2
1. Введение в
вариационное исчисление.
2. Вариационные задачи с
неподвижными
границами.
3. Вариационные задачи с
подвижными границами.
4. Задачи на условный
экстремум.
5. Достаточные условия
экстремума.
Семинары
Наименование тем
3
4
5
6
7
4
–
–
–
4
18
1
–
1
16
18
1
–
1
16
14
–
–
–
14
14
–
–
–
14
Промежуточный контроль
ДЕ 2
Количество
аудиторных часов
при заочной форме
обучения
Лекции
ДЕ 1
1
Максимальная нагрузка
студентов, час.
Дидактические
единицы (ДЕ)
Заочная, заочная сокращенная (на базе СПО) формы обучения
Контрольная работа
6. Вариационные методы в
оптимальном управлении.
7. Принцип максимума.
8. Метод динамического
программирования.
20
2
–
–
18
20
2
–
2
16
20
2
–
2
16
Промежуточный контроль
Контрольная работа
Итоговый контроль
Итого часов
128
7
8
Зачет
–
6
114
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (дидактические единицы)
ДЕ I (68 час.)
Тема 1. Введение в вариационное исчисление
Аудиторное изучение: Задачи, приводящие к вариационным проблемам:
задача дидоны, задача о брахистохроне. Основные определения: понятие
функционала, вариация функционала и её свойства. Экстремумы
функционала, сильный и слабый экстремумы. Необходимое условие
экстремума функционала.
Самостоятельное изучение: Задачи, приводящие к вариационным
проблемам: задача о геодезических линиях, задача о минимальной
поверхности.
Тема 2. Вариационные задачи с неподвижными границами
Аудиторное изучение: Постановка простейшей вариационной задачи с
неподвижными границами. Основная лемма вариационного счисления.
Необходимое условие экстремума функционала (уравнение Эйлера).
Простейшие случаи интегрирования уравнения Эйлера. Функционалы,
зависящие от нескольких функций одной независимой переменной и их
первых производных. Функционалы, зависящие от производных более
высокого порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона.
Функционалы от
нескольких функций одной переменной и их производных более высокого
порядка.
Самостоятельное изучение: Функционалы, зависящие от функции двух
независимых переменных и их частных производных первого порядка.
Уравнение Остроградского. Обобщение на случай функции нескольких
независимых переменных. Функционалы, зависящие от функции двух
независимых переменных и их частных производных до второго порядка
включительно.
Тема 3. Вариационные задачи с подвижными границами
Аудиторное изучение: Задача с подвижными концами. Простейшая
вариационная задача с подвижными границами. Условия трансверсальности.
Самостоятельное изучение: Экстремали с угловыми точками. Задача об
отражении экстремалей. Преломление экстремалей.
Тема 4. Вариационные задачи на условный экстремум
8
Аудиторное изучение: Основные типы задач на условный экстремум.
Необходимые условия в задаче Лагранжа. Необходимые условия в
изопериметрической задачи.
Самостоятельное изучение:
Тема 5. Достаточные условия экстремума
Аудиторное изучение: Наклон поля в точке. Функция наклона.
Центральное поле. Построение центрального поля экстремалей. Условие
Якоби. Уравнение Якоби. Достаточные условия сильного и слабого
экстремумов функционала. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия
слабого экстремума. Достаточные условия сильного экстремума. Примеры.
Условия Лежандра. Примеры.
Самостоятельное изучение:
ДЕ II (60 час.)
Тема 6. Вариационные методы в оптимальном управлении
Аудиторное изучение: Проблема управления. Понятие управляемого
объекта. Дискретные и непрерывные процессы. Фазовые координаты и
управляющие параметры. Постановка общей задачи оптимального
управления.
Самостоятельное изучение: Задача Лагранжа в форме Понтрягина.
Тема 7. Принцип максимума
Аудиторное изучение: Формулировка принципа максимума. Задача
быстродействия. Линейная задача оптимального быстродействия. Задачи
оптимального управления в экономике
Самостоятельное изучение: Задача синтеза.
Тема 8. Метод динамического программирования
Аудиторное изучение: Динамическое программирование. Принцип
оптимальности. Динамическое программирование для непрерывных систем.
Уравнение Беллмана. Связь метода динамического программирования с
принципом максимума.
Самостоятельное изучение: Практические примеры из экономики.
9
Содержание лабораторных (или практических) занятий
Лабораторные работы №1-2. Простейшая задача вариационного
исчисления.
Лабораторные работы №3-4. Задача с подвижными концами.
Лабораторные работы №5-8. Вариационные задачи на условный
экстремум.
Лабораторные работы №9-11. Задача оптимального управления.
Лабораторные работы №12-14. Фазовые ограничения в задаче
оптимального управления.
Лабораторные
работы
№15-17.
Динамическое
программирование и уравнение Беллмана.
10
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ»
Методика изучения дисциплины строиться из следующих
элементах:
- теоретическая часть (лекция);
- семинарские занятия;
-самостоятельная работа с дополнительной литературой и
конспектами лекций;
- домашние задание;
- промежуточный контроль;
- консультации;
- зачет.
На лекционных занятиях даются основные понятия, постановки
задач, методы их решения и анализа полученных результатов,
рассматриваются примеры. Более углубленное изучение предмета
выносится на самостоятельную работу.
Большая часть материалов для самостоятельного изучения доступна
на файл-сервере Института.
Промежуточный контроль проводится в виде письменной
контрольной работы.
Балльно-рейтинговая схема предполагает, что студент для
получения экзаменационной оценки по данной дисциплине должен
набрать до 100 баллов, независимо от формы итогового контроля.
Максимум 100 баллов студент может набрать в ходе семестра на
аудиторных занятиях, промежуточном контроле и за решения
контрольных работ и типовых расчетов. Баллы присуждаются по
результатам работы на семинарских занятиях, за посещение в ходе
семестра лекций. Максимальное количество баллов за работу на
семинаре, можно получить, демонстрируя хорошее знание
теоретического материала и умение применять их при решении
практических задач. Студент, набравший более 60 баллов, получает
зачет.
Формы и виды самостоятельной работы по дисциплине:
 Чтение основной и дополнительной литературы.
Самостоятельное изучение материала по литературным
источникам.
 Работа с библиотечным каталогом, самостоятельный
подбор необходимой литературы.
11



Подготовка к различным формам промежуточной и
итоговой аттестации (к тестированию, контрольной
работе, зачету, экзамену).
Выполнение домашних контрольных работ.
Самостоятельное выполнение практических заданий
репродуктивного
типа
(ответы
на
вопросы,
тренировочные упражнения, задачи, тесты).
12
5. МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ
Задания к контрольным работам
1. Найдите все экстремали функционала J[у], удовлетворяющие заданным
краевым условиям и проверить, доставляет ли она слабый минимум:
1
а). J =
t
2
x ' 2 dt ; x(–1) = –1; x(1) = 1;
1
1

2
б). J = xx ' dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;
0
1

в). J = (1  t )x ' dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;
2
0
1

2
2
г). J = x x ' dt ; x(0) = 0; x(1) = 1;
0
3 / 2
 (x '
д). J =
2
x 2 )dt ; x(0) = x(3/2) = 0.
0
b
е). J =

1  x ' 2 dt ; x(a) = 0; x(b) = 1.
a
2. Найдите оптимальное управление в задаче:
4
J(u, x) =
 (u
2
 x )dt  min; x = u; x(0) = 0; | u |  1.
0
3. Найти траекторию x(t), доставляющую минимум функционалу: J(u, x)
2

= | x | dt , при ограничениях: x  2, x(0) = 0,
x(2) = 1,
x (2) = 2.
0
4. Имеется динамическая система, характеризуемая координатой х и
скоростью v. Параметром управления является ускорение системы,
выбираемое из отрезка [–1, 1]. Требуется за минимальное время Т перевести
13
систему из начального состояния (x0, v0) в состояние (0, 0). Фиксируем время
начала процесса. Время окончания, очевидно, свободное.
5. Найти оптимальное управление в задаче на быстродействие
T  min; x(0) = x01; x (0) = x02; x(T) = 0; x (T) = 0; | u |  1,
если изменение состояния системы происходит согласно закону:
а). x + 2 x + x = u;
б). x + 2 x =  u;
в). x = x + u;
6. С и н т е з о п т и м а л ь н ы х у п р а в л е н и й .
t1
max

(ux + u2/2) dt
0
x
x = – + u, t[0, t1], t1 = 4 ln 2,
4
u: | u |  1, x(0) = x0 , x(t1) – свободно.
3
7. Определить минимум функционала J(u, x) =
 2 x dt ,
1
0
x 1 = x2, x 2 = u, x1(0) = 2, x2(0) = 0, | u |  2,
при фазовом ограничении x1(t)  ,
  0.
3
8. Найти максимум функционала J(u, x) = –
 xdt ,
0
x = u, x(0) = 1, x(3) = 1, | u |  1,
при фазовом ограничении x(t)  0.
9. Проанализировать с помощью принципа максимума с фазовыми
ограничениями, а также построить и прокомментировать фазовые диаграммы
в координатах (s, c) для следующей задачи оптимального управления:
T
J(c, s) =
 ln( 1  c )e
 t
dt
 max, Т – фиксировано,
0
s = s – c, s(0) = s0, s(T) = sT,
Рассмотреть случаи  >  и  > .
14
с  0,
s  a > 0.
10. Дана скалярная динамическая система
t  0,
x = ax + bu,

с критерием качества J(u) =
 x
2
 u 2 dt  inf,
0
где a, b  0,  > 0,  > 0 – заданные постоянные. Показать, что оптимальное
управление u* имеет вид
u* = –
1
(a +
b
a 2  b 2 1 )x,
а функция Беллмана V(t, x) – вид
a 2  b 2 1 ).
V(t, x) = x2 b– 2 (a +
11. Найти функцию Беллмана V() и оптимальное управление для
динамической системы
0  t  1,
x = u,
x(1)  min; | u |  1.
12. Найти оптимальное решение задачи о ранце при M = 8, V = 6, N = 3:
Класс, i
1
2
3
Стоимость, ci
3
2
1
Масса, mi
3
2
1
Объем, vi
2
1
3
13. Найти оптимальное потребление с(t) в модели Рамсея в непрерывном
T
времени:
e
 t
U ( c )dt  max; s = s – c; s(0) = s0 > 0; s(T) = 0; 0  c  s;  <
0
;  > 1; T – фиксировано, если:
а). U(c) = ln c; б). U(c) = c1– ;  < 1.
Перечень вопросов к зачету
Тема 1. Введение в вариационное исчисление
1.1 Задачи, приводящие к вариационным проблемам: задача дидоны, задача
о брахистохроне, задача о геодезических линиях, задача о минимальной
поверхности.
1.2 Основные определения: понятие функционала, вариация
15
функционала и её свойства.
1.3 Экстремумы функционала, сильный
Необходимое условие экстремума функционала.
и
слабый
экстремумы.
Тема 2. Вариационные задачи с неподвижными границами
2.1. Постановка простейшей вариационной задачи с неподвижными
границами. Основная лемма вариационного исчисления. Необходимое
условие экстремума функционала (уравнение Эйлера).
2.2. Простейшие
случаи
интегрирования
уравнения
Эйлера.
Функционалы, не зависящие от у'. Функционалы, зависящие от у' линейно.
Функционалы, зависящие лишь от у'. Функционалы, независящие у.
Функционалы, зависящие явно от x. Решение задачи о минимальной
поверхности и задачи о брахистохроне.
2.3. Обобщение простейшей вариационной задачи. Функционалы,
зависящие от нескольких функций одной независимой переменной и их
первых производных. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие
от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона.
2.4.
Обобщение простейшей вариационной задачи. Функционалы от
нескольких функций одной переменной и их производных более высокого
порядка. Система уравнений Эйлера Пуассона. Функционалы, зависящие от
функции двух независимых переменных и их частных производных первого
порядка. Уравнение Остроградского. Обобщение на случай функции
нескольких независимых переменных. Функционалы, зависящие от функции
двух независимых переменных и их частных производных до второго порядка
включительно.
Тема 3. Вариационные задачи с подвижными границами
3.1 Задача с подвижными концами. Простейшая вариационная задача с
подвижными границами. Условия трансверсальности.
3.2. Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей.
Преломление экстремалей.
Тема 4. Вариационные задачи на условный экстремум
4.1. Основные типы задач на условный экстремум.
4.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа.
4.3. Необходимые условия в изопериметрической задачи.
Тема 5. Достаточные условия экстремума
5.1. Наклон поля в точке. Функция наклона. Центральное поле. Построение
центрального поля экстремалей. Условие Якоби. Уравнение Якоби.
5.2. Достаточные условия сильного и слабого экстремумов
функционала. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия слабого
16
экстремума. Достаточные условия сильного экстремума. Примеры.
Условия Лежандра. Примеры.
Тема 6. Вариационные методы в оптимальном управлении
6.1. Постановка задачи оптимального управления. Управляемый объект
(система). Понятие о задаче оптимального управления. Классификация задач
оптимального управления. Примеры задач оптимального управления.
6.2. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Постановка задачи Лагранжа в
форме Понтрягина. Метод множителей Лагранжа. Вспомогательный
функционал. Задача Лагранжа в форме Понтрягина в случае подвижных
концов. Функция Понтрягина. Гамильтоновы системы.
6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном
исчислении. Фазовые ограничения и ограничения на управление.
Необходимые условия экстремума функционала в задачах с ограничениями.
Условия сопряжения.
6.4. Линейные задачи оптимального управления. Линейные управляемые
системы. Задача оптимального быстродействия. Уравнение возмущённого
движения, уравнение первого приближения. Решение задачи оптимального
быстродействия. Управляемая система. Необходимое и достаточное условие
управляемой системы.
Тема 7. Принцип максимума
7.1. Автономная система управления. Формулировка и обсуждение
принципа максимума. Задача с фиксированными концами и свободным
временем. Оптимальное управление, оптимальная траектория, оптимальный
процесс. Основные соотношения. Сопряжённая система, сопряжённые
переменные. Функция Понтрягина. Теорема (формулировка принципа
максимума).
7.2. Задача быстродействия. Необходимое условие оптимальности по
быстродействию. Пример решения задачи оптимального быстродействия.
7.3. Линейная задача оптимального быстродействия. Постановка и
решение линейной задачи оптимального быстродействия. Функция
Понтрягина для линейной задачи оптимального быстродействия. Теорема о
единственности задачи оптимального быстродействия.
7.4. Задача синтеза управления. Синтезирующая функция. Синтез
управления. Быстрейшая остановка движущейся точки в заданном месте.
Приведение маятника в верхнее положение равновесия.
7.5. Задача с подвижными концами. Формулировка задачи с подвижными
концами. Условия трансверсальности. Пример решения задачи оптимального
управления с подвижными концами.
17
7.6. Неавтономные системы. Сведение неавтономной системы к
автономной. Задачи с фиксированным временем. Функция Понтрягина.
Сопряжённая система. Уменьшение размерности задачи. Пример
решения задачи неавтономного управления.
7.7. Понятие особого управления. Пример задачи особого
управления. Особый режим. Понятие особого управления. Особый
режим в общем случае.
7.8. Задачи оптимального управления в экономике
Тема 8. Метод динамического программирования
8.1. Принцип оптимальности. Различные формулировки принципа
максимума. Задача дискретного распределения ресурсов. Дискретные
задачи оптимального управления. Рекуррентные соотношения
Беллмана.
8.2.
Уравнение
Беллмана.
Методы
динамического
программирования в непрерывных задачах оптимального управления.
Функция Беллмана. Уравнение Беллмана.
8.3. Уравнение Беллмана в задаче быстродействия. Связь методов
динамического программирования с принципом максимума.
18
6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»
Рубцовский
институт
(филиал)
АлтГУ
располагает
материально-технической
базой,
соответствующей
санитарнотехническим нормам и обеспечивающей проведение всех видов
лабораторной, практической, дисциплинарной и междисциплинарной
подготовки
и
научно-исследовательской
работы
студентов,
предусмотренных ГОС.
Общий компьютерный парк института
насчитывает 338
компьютеров, в том числе ПК на мобильных платформах. Из них
участвуют в образовательном процессе 217.
Совместно с данным оборудованием в учебном процессе
используются 6 мультимедийных проекторов (3 стационарных),
интерактивная доска и интерактивная панель.
Аудиторный фонд института, оснащенный СВТ, включает 7
компьютерных классов(4 класса по 15 ПК в каждом, 1 – по 17 ПК, 2 –
по 18 ПК), и 4 мобильных класса на ноутбуках. 2 класса по 15 ПК
используются в режиме свободного доступа студентов. Мобильные
классы на ноутбуках используется в учебно-образовательной
деятельности, как для учебных занятий, так и для организации доступа
к ресурсам корпоративной сети и Internet на всей территории РИ
АлтГУ. Все компьютеры объединены в единую локальную
вычислительную сеть и имеет доступ в Интернет.
Необходимое программное обеспечение:
Системное программное обеспечение:
1.Windows XP Professional Service Pack 3
2.Windows 7 Enterprise Service Pack 1
3.Windows 7 Professional Service Pack 1
Пакеты прикладных программ и средства разработки приложений:
1.Excel 2007
2.Excel 2010
3.Excel 2013
Специализированное ПО и СУБД:
1.Пакет MatLab
19
7. СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1.
Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления / Н.М. Гюнтер. –
2- изд. – М.: Издательство «Лань», 2009. – 320 с. // ЭБС «Лань», 2012.
2.
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное
исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие / А.Б. Васильева,
Г.Н. Медведев, Н.А. Тихонов, Т.А. Уразгильдина. – М.: Издательство
«Физматлит», 2003. – 432 с. // ЭБС «Лань», 2012.
3.
Зубов В.И. Лекции по теории управления: Учебное пособие /
В.И. Зубов. – 2-е изд. – М.: Издательство «Лань», 2009. – 496 с. // ЭБС
«Лань», 2012.
4.
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и
вариационному исчислению / Под ред. В.К. Романко. – 3-е изд. – М.:
Издательство «Бином. Лаборатория знаний», 2012. – 219 с.
Дополнительная литература
1.
Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. – М.:
Изд-во иностр. лит., 1960. – 400 с.
2.
Болтянский В.Г. Математические методы оптимального
управления / В.Г. Болтянский. – 2-е изд. – М.: Изд-во «Наука», Главная
редакция физико-математической литературы, 1969. – 410 с.
3.
Бутковский А.Г. Методы управления системами с
распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. – М.: Изд-во
«Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1975. –
588 с.
4.
Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное
исчисление и оптимальное управление: Учеб.для вузов / Под ред. B.C.
Зарубина, А.П. Крищенко. – 3-е изд., исправл. – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2006. – 488 с.
5.
Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. –
М.: Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической
литературы, 1968. – 192 с.
6.
Математическая теория оптимальных процессов / Л.С.
Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. – М.:
Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы,
1983. – 393 с.
20
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
информационно-справочные и поисковые системы
1.
Единое окно доступа к образовательным ресурсам.
Электронная библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.:
ФГАУ ГНИИ ИТТ "Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www.
http://window.edu.ru, свободный. – Загл. с экрана (дата обращения
11.04.2012)
2.
Интернет-университет информационных технологий –
дистанционное образование – INTUIT.ru [Электронный ресурс]: офиц.
сайт. – М.: Открытые системы, 2003-2011. - Режим доступа:
http://www.intuit.ru, свободный. - Загл. с экрана (дата обращения:
17.05.2012).
3.
Поисковые системы: Google, Yandex, Rambler.
21