Основы вариационного исчисления

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Кафедра вычислительной математики и механики
Основы вариационного исчисления - II
Методические указания
и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов
III курса специальностей КМ и ДПМ
Издательство
Пермского государственного технического университета
2008
Составитель: В.В. Малыгина
УДК 517 (075.8)
О75
Рецензент:
канд. техн. наук, доцент кафедры ВММ И.Н. Бояршинова
Основы вариационного исчисления. Ч. II: метод. указания и варианты заданий для самостоятельной работы студентов III курса специальностей КМ и ДПМ / сост. В.В. Малыгина. – Пермь: Изд-во Перм.
гос. техн. ун-та, 2008. – 58 с.
Данное методическое пособие является продолжением пособия
«Основы вариационного исчисления – I», сохраняя его обозначения и
терминологию, а также продолжая нумерацию формул, примеров и
заданий. В часть II вошли разделы «Вариационные задачи на плоскости и в пространстве», «Вариационные задачи с подвижными границами» и «Задачи на условный экстремум».
УДК 517 (075.8)
© ГОУ ВПО
«Пермский государственный
технический университет», 2008
Вариационные задачи на плоскости и в пространстве
Функционалы, рассматриваемые в части I, имели областью
определения множества функций одной переменной. Соответственно,
уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка.
Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух)
независимых переменных: x  x  t,s  . Тогда, если мы продолжим
изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции
x x 

F  t,x,x  следует рассматривать функцию F  t,s,x, ,  , а вместо
t s 

однократного интеграла появится двойной, взятый по некоторой области G  2
x x 

f  x    F  t,s,x, ,  dsdt .
t s 

G
(4)
Уточним условия на функцию x . Помимо непрерывности в
области G вместе со своими частными производными, она должна
удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее.
В части I для однозначного определения экстремали задавались значения x  a  и x  b  , т.е. значения функции x на границах отрезка
 a,b .
Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естественно задать условия на границе области G . Обозначим эту границу G и потребуем, чтобы
x  t ,s G   .
На функционал (4) легко обобщается необходимое условие
экстремума.
3
Обозначим для удобства p 
x
x
,q  . В этих обозначениях
t
s
x x 

функция F  t,s,x, ,  примет вид F  t,s,x, p,q  .
t s 

Теорема. Пусть функция x0 – экстремаль функционала (4).
Тогда x0 является решением уравнения:
d
d
(5)
Fx  Fp  Fq  0 .
dt
ds
Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция x зависит только от
одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера. В самом
деле, если x  x  t  , то p  x , q  0 , Fp  Fx , Fq  0 и (5) принимает
вид
Fx 
d
Fx  0 .
dt
Пример 5. Найти экстремаль функционала
  x 2  x 2

f  x           2tx  dsdt,
 t   s 

G 

где G – единичный круг с центром в начале координат, с граничными
условиями x t ,s G  0 .
Решение. Пользуясь введенными ранее обозначениями, запишем:
F  t,s,x, p,q   p 2  q 2  2tx, Fx  2t, Fp  2 p, Fq  2q . Уравнение (5)
2 x 2 x

 t , то есть представляет собой уравнение
t 2 s 2
эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность,
вдоль которой функция x обращается в нуль. Следовательно, искомая
имеет вид: x 
4
экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулировать задачу,
перейдя к полярным координатам r, :
1
1
x  xrr  xr  2 x  r cos, r  1,
r
r
x r 1  0.
(6)
1
Заменой переменных y  r,   r 3cos сводим уравнение (6) к од8
нородному (с ненулевыми граничными условиями):
y  yrr 
1
1
yr  2 y  0, r  1,
r
r
1
y r 1   cos.
8
(7)
Как известно из курса уравнений математической физики, решение
задачи (7) имеет представление в виде ряда:

y  r,   A0   r n  An cosn  Bn sinn  .
n 1
Учитывая граничные условия, получаем:

1
y 1,   A0    An cosn  Bn sinn    cos ,
8
n 1
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
1
A0  0, A1   ,An  0, n  2,3, ; Bn  0, n  1,2, . Следовательно,
8
1
1
1
y  r,   rcos , а x  r,  r 3cos  rcos .
8
8
8
5
Если функция x зависит от n переменных, то вариационная
задача ставится для функционала, который представляет собой
n - кратный интеграл

 ... F  t ,t ,
1
G
2
,tn ,x,
x x
x 
, , ,  dt1dt2
t1 t2
tn 
dtn
(8)
по области G  n . Обобщая вышеприведенную теорему, приходим к
выводу, что функция, являющаяся экстремалью функционала (8),
необходимо удовлетворяет уравнению:
n
Fx  
i 1
d
x
Fpi  0 , где pi 
, i  1,2, ,n.
dti
ti
В частности, для случая трехмерной области получаем следующее необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть функция x0 – экстремаль функционала
x x x 

f  x    F  t,s, ,x, , ,  ds dt d  .
t s  

G
Тогда x0 является решением уравнения:
Fx 
d
d
d
x
x
x
Fp  Fq  Fr  0 , где p  , q  , r  .
dt
ds
d
t
s

(9)
Пример 6. Пусть G  {(t,s,): t 2  s 2  a2 , 0    H } – прямой
круговой цилиндр. Найти экстремаль функционала
  x 2  x 2  x 2 
f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

6
 2 
удовлетворяющую граничным условиям: x t 2  s2 a2  3sin 
,
 H 
x 0  x  H  0 .
Решение. Для данного функционала уравнение (9) принимает вид
2 x 2 x 2 x
x  2  2  2  0 . Поскольку область G – цилиндр, то задачу
t
s

удобнее переформулировать в цилиндрических координатах  r,,   .
Из вида граничных условий заключаем, что задача является осесимметричной. Ее решение x не зависит от  и является функцией двух
переменных: x  x  r,  . Следовательно, экстремаль данного функционала есть решение следующей задачи:
xr

x  xrr  r  x  0, r  a, 0    H ,

 2 
x
 3sin 
,
r

a

 H 

 x  0  x  H  0.
Полученное уравнение является уравнением в частных производных
эллиптического типа и в совокупности с условиями на границе образует задачу Дирихле. Ее решение может быть получено методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям x 0  x  H  0 в виде x  r,   R  r  T    . Разделяя переменные, имеем:
R  r   1r R  r 
Rr 

T    
T  
   const .
Учитывая граничные условия, получаем, что функция T является
собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля:
7

T      T     0,


T  0   T  H   0.
Как известно, собственные числа этой задачи n   n H  , а соответ2
 n 
ствующие собственные функции Tn     sin 
,n
 H 
ции R получаем уравнение
. Для функ-
1
 ni 
R  r   R  r   
 R 0,
r
 H 
2
решением которого являются функции Бесселя мнимого аргумента:
 nir 
Rn  r   J 0 
 . Так как рассматриваемое уравнение и граничные
 H 
условия являются линейными, то ряд, составленный из найденных
функций Tn    и Rn  r 


 nir   n 
x  r,    AnTn    Rn  r    An J 0 
 sin 
,
 H   H 
n 1
n 1
при любых коэффициентах An также является решением уравнения,
удовлетворяющим однородным краевым условиям. Для определения
An используем последнее граничное условие:

 nia   n 
 2 
x  a,    An J 0 
 sin 
  3sin 
.
 H   H 
 H 
n 1
 2ia 
Применяя теорему Стеклова, получаем: A2 J 0 
  3 , An  0 при
 H 
n  2 , то есть искомая экстремаль имеет вид:
8
 2ir 
J0 

 2 
 H .
x  r,    3sin 


 H  J  2ia 
0

 H 
Вариационные задачи с подвижными границами
В предыдущих лекциях при исследовании функционала
b

f  x   F  t , x, x  dt
a
предполагалось, что граничные точки (a, A) и (b, B) заданы. Подобное предположение не всегда выполняется для многих интересных и
практически важных вариационных задач. Рассмотрим в качеy
стве примера задачу навигации.
1. Задача навигации
В этой задаче рассматривается река ширины b с прямыми параллельными берегами.
Считая один берег реки совпаO
b x
дающим с осью y , введем скоРис.1
рость течения реки v  v( x) .
Лодка с постоянной скоростью
( u – величина скорости, u  max v( x) ), за кратчайшее время должна
x[0,b ]
пересечь реку, отчалив из точки O(0,0) (рис.1).
Обозначим через  угол, который образует вектор скорости
лодки с положительным направлением оси Ox . Тогда реальная скорость движения лодки в момент времени t определяется равенствами
9
dx
dy
 u cos  ,
 v  u sin  .
dt
dt
Отсюда
dy v  sin 
,

dx
cos 
что позволяет выразить  через y   dy dx :
2
v 
1
 
1 ,
y 
 
u cos  
cos2 

откуда
u 2 (1  y2 )  v 2  vy
1
.

u cos 
u 2  v2
Для времени пересечения реки находим
b
b
dt
dx
t
dx 

dx
u cos 
b



0
0
0
u 2 (1  y 2 )  v 2  vy 
u 2  v2
dx .
Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора
функции y ( x) при условии y(0)  0 .
Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой заранее не определен: он может оказаться на любой точке вертикальной прямой x  b . Мы приходим, таким образом, к задаче
со свободной (подвижной) границей. Найдем ее решение в общей постановке.
2. Вариационная задача с вертикальными границами
Пусть в задаче об отыскании экстремума функционала
b

f  x   F  t , x, x  dt
a
10
фиксирована одна граничная точка x(a)  A , условий же на x(b) нет.
Иными словами, второй конец допустимой кривой может перемещаться по вертикальной прямой t  b .
Нулевая вариация f ( x0 )  0 , как и ранее, является необходимым условием экстремальности. Вычисляя вариацию функционала по
известной формуле, получаем:
b

d


f ( x0 ) 
f ( x0  x)
 Fx x t b   Fx  Fx xdt  0 .

dt 

0
a

Как и ранее, x – произвольная функция, в частности, можно
взять x(b)  0 , что сведет задачу к уже решенной задаче с закрепленными границами. Для нее, как известно, необходимое условие экстремальности означает обращение в тождество уравнения Эйлера. Отd
сюда следует, что Fx  Fx  0 , то есть интеграл в формуле для вариdt
ации равен нулю.
Теперь выберем функцию x так, чтобы x(b)  1 . Тогда требование равенства нулю вариации сводится к условию
Fx t b  0 .
Если бы левый конец тоже был свободным, получили бы аналогичное условие
Fx t  a  0 .
3. Решение задачи навигации
Вернемся к задаче навигации и найдем ее решение, используя
полученный выше результат.
Итак, нам следует найти минимум функционала
b
f ( y) 

0
u 2 (1  y 2 )  v 2  vy 
u 2  v2
11
dx
при условии y(0)  0 , а y (b) может принимать любое значение.
Согласно вышеприведенной схеме, решаем уравнение Эйлера.
Так как подынтегральная функция
F ( x, y) 
u 2 (1  y2 )  v 2  vy
u 2  v2
зависит только от x и y  , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл: Fy  C . С другой стороны, поскольку вторая граница экстремали перемещается по вертикальной прямой, для нее должно выпол 0 . Отсюда сразу следует, что вышеприведенняться условие Fy
t b
ный первый интеграл имеет вид: Fy  0 . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
Fy 


u 2 y

0,

v

u 2  v 2  u 2 (1  y 2 )  v 2


1
для которого легко найти решение. Находя явное выражение для y  ,
v
получаем y   . Так как предполагается (см. рис. 1), что переправа
u
осуществляется с левого берега на правый, то перед дробью следует
выбрать знак плюс. Учитывая, что y(0)  0 , получаем окончательно:
x
1
y ( x) 
v( s)ds .
u

0
В частности, если v( x)  v  const , то искомый маршрут наибыстрейv
шей переправы реализуется на прямой y( x)  x .
u
12
4. Общий случай подвижной границы
Очевидно, что подвижная граница не обязательно должна быть
вертикальной прямой: если экстремаль имеет дополнительную степень свободы, то естественно допустить, что она может принадлежать
любой кривой (не исключается случай вертикальной и горизонтальной
прямой).
Рассмотрим задачу в общей постановке.
Пусть в вариационной задаче об отыскании экстремума функционала


f  x   F  t , x, x  dt
(10)
a
одна граничная точка фиксирована ( x(a)  A) , а вторая – (, x()) –
может перемещаться по некоторой кривой x  (t ) . Тогда класс кривых, на которых ищется экстремум, расширяется, но вариационная
задача остается содержательной. Функционал в этом случае начинает
зависеть, вообще говоря, от трех переменных: функции x и параметров , x() .
Пусть x0 – экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям x0 (a)  A , x0 (0 )  (0 ) ; здесь ( 0 , x0 ( 0 )) – вторая граничная
точка. В силу необходимого условия экстремума (f )( x0 , 0 )  0 . Вычисляя вариацию функционала (10), получаем:
0

d
F 


(f )( x0 , 0 )   Fx  Fx  xdt   Fx 
 0.
  x
dt 
 x


t 0
a

Полагая x(0 )  0 , получаем, что должно быть выполнено
основное необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция x0 (t ) является решением
d
уравнения Эйлера. Значит, на функции x0 (t ) уравнение Fx  Fx  0
dt
13
обращается в тождество. А тогда в формуле для вариации функционала (10) первое интегральное слагаемое обращается в нуль и вариация
приобретает вид

F 
 0.
 Fx 
  x
 x

t 0
Теперь положим x(0 )  1 , получим следующее условие

F 
0,
 Fx 

  x  t 

0
которому, если (0 )  x( 0 ) (то есть экстремаль пересекает кривую
 , а не касается ее!), удобнее придать вид:
 F     x  Fx  t 
 0.
0
Полученное равенство называется условием трансверсальности.
Аналогичное условие возникнет и на левом конце, если ему
разрешить меняться на какой-нибудь кривой.
Замечание. Условию трансверсальности часто удается придать
простой геометрический смысл: например, для функционалов вида

 h(t, x)
1  x 2 dt
(11)
a
(функция h(t , x)  0 ), имеем:
F     x  Fx  h(t , x) 1  x 2 
h(t , x)  x
14
1  x2
  x  
h(t , x) 1  x
1  x2
.
Отсюда следует, что условие трансверсальности эквивалентно требованию
1  x t   0 ,
0
что означает ортогональность кривых x и  в точке их пересечения.
Итак, для решения вариационной задачи с подвижной границей следует:
1. Решить уравнение Эйлера, определив тем самым семейство
экстремалей, зависящих от двух произвольных постоянных.
2. Используя условия жесткого закрепления (если они есть), получить соотношение для определения произвольных постоянных.
3. С учетом вида множества, которому принадлежит подвижная
граница, найти дополнительные соотношения для определения
произвольных постоянных.
Пример 7. Исследовать на экстремум функционал


0
1  x2
dt
x
при условии x(0)  0 , а вторая граница принадлежит прямой x  t  5 .
Решение. Во-первых, составим и решим уравнение Эйлера.
Данный функционал имеет специальный вид: функция F не зависит
от переменной t . Следовательно, уравнение Эйлера допускает первый
интеграл
1  x2
x2

C ,
x
x 1  x2
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно x , получаем уравнение в разделяющихся переменных
15
x
1
1 ,
C x
2 2
интегральными кривыми которого являются окружности
(t  C1 )2  x 2  C22 .
Во-вторых, учтем первое граничное условие x(0)  0 . Получим C1  C2 .
В-третьих, множество, которому принадлежит свободная граница, представляет собой кривую, значит, нужно использовать условие трансверсальности, но наш функционал имеет вид (11) и для него,
согласно вышеприведенному замечанию, условие трансверсальности
совпадает с условием ортогональности. Следовательно, прямая
x  t  5 должна быть ортогональна окружности, что возможно только
тогда, когда прямая лежит на диаметре окружx
ности (t  C1 )2  x 2  C12 .
x  10t  t 2
Значит,
центр
этой
окружности находится в
точке (5,0) пересечения
прямой x  t  5 с осью
t.
0
5
Итак, экстремаt лями данной задачи являются две ветви окружx   10t  t 2
ности: x  10t  t 2 и
Рис. 2
x   10t  t 2 (рис.2).
16
Вариационные задачи на условный экстремум
Вариационными задачами на условный экстремум называются
задачи, в которых экстремум функционала находится в предположении, что на функции, от которых зависит функционал, накладываются
некоторые дополнительные условия (связи).
Например, пусть ищется экстремум функционала
b

f  x1 , x2 ,..., xn   F  t , x1 , x2 ,..., xn , x1 , x2 ,..., xn  dt
(12)
a
при наличии условий
i ( x1 , x2 ,..., xn , x1 , x2 ,..., xn )  0, i  1, 2,..., m, m  n .
(13)
Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы (13),
уравнения которой считаем независимыми, относительно какихнибудь m переменных – например, относительно x1 , x2 ,..., xm – и подстановки найденных переменных в (12). При этом функционал f будет зависеть уже от n  m переменных xm1 , xm 2 ,..., xn , которые уже
независимы, и следовательно, задача свелась к исследованию функционала f  xm1 , xm 2 ,..., xn  на безусловный экстремум. К этой задаче
применимы методы, изложенные в предыдущих разделах.
Легко, однако, заметить, что этот метод срабатывает далеко не
всегда, поскольку задача явно выразить переменные x1 , x2 ,..., xm через
остальные может оказаться очень трудной (если вообще разрешимой).
Поэтому для решения вариационных задач на условный экстремум
чаще применяют метод, известный как метод множителей Лагранжа.
Этот метод состоит в построении вспомогательной функции
F  F 
m
 i (t )i ,
i 1
17
(14)
в терминах которой и формулируется решение задачи на условный
экстремум.
Теорема. Пусть функции x1 , x2 ,..., xm реализуют экстремум
функционала (12) при условиях связи (13). Тогда функции x1 , x2 ,..., xm
являются решением системы уравнений вида:
Fxj 
d 
Fx  0,
dt j
j  1,2,..., n,
i  0, i  1, 2,..., m.
(15)
Таким образом, для решения задачи на условный экстремум
следует:
1. Составить вспомогательную функцию F  по формуле (14).
2. Записать и решить для нее систему уравнений Эйлера, дополненную условиями связи (15).
3. Найти произвольные постоянные из граничных условий (они
могут быть любого вида, как жестко закрепленные, так и подвижные).
В процессе реализации этой программы, как правило, находятся еще и вспомогательные функции i (t ) , которые не обязательны
для построения решения, но могут оказаться полезными при решении
системы (15).
Пример 8. Найти экстремум функционала


f ( x, y )  ( x 2  y 2 )dt ,
0
если переменные x, y подчинены условию связи x 2  y 2  R 2 и удовлетворяют граничным условиям: x(0)  0, x()  R .
Решение. Составим вспомогательную функцию по формуле (14):
F  ( x, y)  x 2  y 2  (t )( x 2  y 2  R 2 ) .
18
Система уравнений Эйлера для функции F  имеет вид:
 x   (t ) x  0

 y   (t ) y  0.
Для этой системы нет общего метода решения, так как функция  зависит от t , а вид ее неизвестен. Поэтому попытаемся получить дополнительную информацию о функциях x и y из условия связи. Так как
y 2  0 , то из условия связи следует, что x 2  R 2 , то есть
x
 1 . СлеR
x
x(t )
можно заменить на
 sin (t ) , то есть
R
R
x(t )  R sin (t ) , а тогда y(t )  R cos (t ) . Переходя к новым переменным, приводим систему уравнений Эйлера к виду:
довательно, переменную
2

 R sin (t )    R cos (t )    (t ) R sin (t ),

2

 R cos (t )    R sin (t )    (t ) R cos (t ).
Домножая первое уравнение на cos (t ) , а второе на sin (t ) и вычитая из первого уравнения второе, получаем: R(cos2 (t )  sin 2 (t ))  0 ,
откуда следует, что   0 , то есть (t )  At  B , а функции x и y
имеют вид: x(t )  R sin( At  B) , y(t )  R cos( At  B) . Из граничных
условий получаем: x(0)  R sin B  0 , следовательно, B  0 или B   ;
1
x()   R sin( A)  R , следовательно, A   n , где n – целое число.
2
Подставляя найденные постоянные в выражение для x и y , получаем
бесконечное множество экстремалей:
x(t )   R sin((1 2  n)t ) , y (t )   R cos((1 2  n)t ) , где n  .
19
Изопериметрическая задача
Интересный класс задач на условный экстремум образуют так
называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными
интегралами.
Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых
x  xi (t ), i  1, 2,..., n
xi (a)  Ai ,
с фиксированными концами
xi (b)  Bi функционал
b

f  x1 , x2 ,..., xn   F  t , x1 , x2 ,..., xn , x1 , x2 ,..., xn  dt
a
достигает своего минимального (максимального) значения, причем
интегралы
b
 G j  t, x1, x2 ,..., xn , x1, x2 ,..., xn  dt  l j ,
j  1, 2,..., m
a
обладают заранее заданными значениями l j . Функции F , G j и xi считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче
на условный экстремум с функциональными условиями связи.
Обозначим
t
 G j  s, x1, x2 ,..., xn , x1, x2 ,..., xn  ds  z j (t ),
a
20
j  1, 2,..., m .
Тогда
z j (t )  G j  t , x1 , x2 ,..., xn , x1 , x2 ,..., xn   0,
j  1, 2,..., m
– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида,
а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:
z j (a)  0, z j (b)  l j ,
j  1,2,..., m .
Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему,
составляем вспомогательную функцию
F  F 
m
 i (t )(G j z j ) ,
i 1
для которой система уравнений Эйлера имеет вид:
Fxi 
d 
d
Fxi  0, i  1,2,..., n; Fzj  Fzj  0,
dt
dt
Но так как Fzj 
Fxi 
j  1,2,..., m .
d 
d
Fz j    j (t )  0 , то  j (t )   j  const , а тогда
dt
dt
d  
Fx   F 
dt i 


d
 jG j    F 

dt 
j 1
 xi

m


 j G j   0, i  1, 2,..., n .

j 1
 xi
m

Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции
Лагранжа можно взять функцию
F  F 
m
 jG j
j 1
21
с постоянными множителями  j . Далее для функции F  , как и ранее,
выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров  j используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители  j оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение
задачи.
Пример 9. Найти экстремум функционала
1

f ( x)  ( x 2  t 2 )dt
0
на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям x(0)  0 ,
1
x(1)  0 и дополнительному условию
 x dt  2 .
2
0
Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме,
запишем вспомогательную функцию F   x 2  t 2  x 2 , для которой
составим уравнение Эйлера: x  x  0 . Так как знак  неизвестен,
решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев:   0 ,   0 и   0 .
1. Пусть   0 , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
x(t )  C1t  C2 .
Подставляя граничные условия, находим C1  C2  0 , то есть x(t )  0 .
1
Но это решение не удовлетворяет условию
 x dt  2 , следовательно,
2
0
при   0 решений у задачи нет.
2. Пусть   2  0 , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
22
x(t )  C1 ch t  C2 sh t ,
из граничных условий снова получаем C1  C2  0 , а x(t )  0 , то есть
при   0 задача также не имеет решений.
3. Пусть   2  0 , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид
x(t )  C1 cos t  C2 sin t ,
подставляя граничные условия, находим C1  0 , C2 – любое число,
 k  k , k  . Следовательно, xk (t )  C2 sin kt , где k  . Определим C2 через изопериметрическое условие:
1

0
1
1
C2
C2
C2
x dt  2 2sin 2 ktdt  2 (1  cos 2kt )dt  2  2 .
2
2
2
2


0
0
Получаем C2  2 , то есть xk (t )  2sin kt . Так как k  , то можно
оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:
xk (t )  2sin kt , k  .
Примеры решения некоторых вариационных задач
В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о
минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала
переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как
задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными
условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.
1. Задача Дидоны
Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы
оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили
23
вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.
Рассмотрим множество функций x  x(t ) , определенных на
отрезке [0, b] , таких, что x(t )  0 при всех t  [0, b] , а x(0)  x(b)  0
(рис. 3). Вместе с отрезком [0, b] график каждой функции x(t ) ограничивает площадь, задаваемую функционалом
b
x

S ( x)  x(t )dt .
0
Потребуем дополнительно, чтобы кривые x(t )
имели фиксированную длину,
то есть постоянное значение
сохранял функционал вида:
x  x(t )
0
b
t
Рис. 3
b

1  x 2 (t )dt  l  const .
0
Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу,
для которой нам уже известны методы решения.
Выстраиваем вспомогательную функцию F   x   1  x2 и
записываем для нее уравнение Эйлера. Функция F  не зависит от переменной t , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
x 2
x   1  x2 
 C1 ,
x 1  x2
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно x , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:
24
Учитывая
( x  C1 )2  (t  C2 )2   2 .
граничные условия, находим,
что
C2  b 2 ,
а
C1    2  (b 2) 2 . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр
окружности лежит ниже оси Ot , и C1    2  (b 2) 2 . Для определения параметра  , то есть радиуса искомой окружности, используем
условие постоянства периметра.
b

0
b
1  x (t )dt 
2

0
b
2
 C1  x 
2
dt  

0
dt
 2  (t  b 2)2

b
t b 2
b
  arcsin
 2 arcsin
l.
 0
2
b l  l
Уравнение arcsin    
эквивалентно уравнению sin s  ps,
 l 2  2
b
l
где p  , s 
, s  [0,  2] . Из геометрических соображений ясно,
l
2
что задача содержательна лишь
при условии l  b , следовательy
но, p  1 , а тогда уравнение
sin s  ps всегда имеет на отрезке [0,  2] единственный корень
y  ps
s0 (рис. 4).
y  sin s
Отсюда находим радиус
искомой окружности  0  l 2s0
0
и координаты ее центра:
s
s0
2
t0  b 2, x0    l 2s0   (b 2)2 .
Рис. 4
25
2. Задача о брахистохроне
Предположим, что точки A и B лежат в плоскости xOy с
осью Oy , направленной вниз (рис.5). Положим A  A( x1 , y1 ) и
B  B ( x2 , y2 ) и пусть y  y ( x) –
уравнение дуги, соединяющей
x1
x2
x точки A и B так, что x1  x2 ,
y1  y ( x1 ) , y2  y ( x2 ) , y1  y2 .
A
y1
Скорость движения вдоль кривой
ds
пусть равна v  . Тогда время
dt
M
спуска равно
y2
x2
B
y
T
Рис. 5
ds

v

x1
x2

x1
1  y 2 dx
.
v
Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся
законом сохранения энергии:
mv 2 mv12

 mgy  mgy1 ,
2
2
где v1 — начальная скорость движения частицы. Тогда
v  2 g ( y0  y1 ),
y0  y1 
v12
,
2g
и задача свелась к выбору функции y ( x) , для которой интеграл
T ( y) 
x2
1
2g

x1
1  y 2 dx
y  y0
достигает наименьшего значения из всех возможных.
26
1
1  y 2
зависит только от y и y  ,
2 g y  y0
то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:
Так как функция F 
y 
y
( y  y0 )(1  y2 )

1  y 2
y  y0
 C1 .
Разрешая это уравнение относительно y  , находим
2a  ( y  y 0 )
dy
,

dx
y  y0
где мы положили 2a  1 C12 . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных.
Решая его, имеем:
y  y0 dy
x
C .
2a  ( y  y0 )

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой
y  y0  2a sin 2
u
u
u
u du
. Тогда x  tg  2a  2sin cos 
C 
2
2
2
2 2
u
 2a sin 2 du  C  a (1  cos u)du  C  a(u  sin u )  C .
2



Мы пришли к решению в параметрической форме
 x  C  a (u  sin u ),

 y  y0  a (1  cos u ).
Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием
циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных a и C позволяет
27
провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина y0 не является произвольной постоянной.
3. Задача о наименьшей поверхности вращения
Пусть даны две точки P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) плоскости xOy ,
пусть x1  x2 . Пусть далее y  y ( x) – уравнение кривой, соединяющей
точки P1 и P2 , т.е. y1  y ( x1 ) , y2  y ( x2 ) . Кривая вращается вокруг
оси Ox , заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается,
что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме
выбора функции y ( x) , для которой интеграл
x2

S  2π y 1  y 2 dx
x1
– площадь поверхности вращения – минимален. Такие минимальные
поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях
на точки P1 и P2 , называются катеноидами.
Функция F в этом случае имеет вид F  y 1  y 2 , то есть не
зависит от x. Первый интеграл дается равенством
y 
yy
1  y 2
 y  1  y2  C1 , и тогда y  
y 2  C12
C12
.
Решая это уравнение в разделяющихся переменных, получаем
x

C1dy
y 2  C12
C .
Удобно далее положить y  C1 ch t . Тогда
28
x

C1dy
y 2  C12
C 

C12 sh t dt
 C  C1t  C .
C1 sh t
Положим C1  b и C2  a , тогда окончательно y  b ch
мая кривая (цепная линия).
xa
– искоb
Список рекомендуемой литературы
1.
2.
3.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Эдиториал УРСС,
2000. – 319 с.
Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления / В.К. Романко. – М., СПб.: Физматлит,
2000. – 342 с.
Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев. – М.: Изд-во МАИ, 2000. – 227 с.
29
Варианты заданий
Задание 5
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе.
  x 2  x 2 
1. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

2
2
G – сектор круга:  t,s : t  s  4,t  0, s  0 .
Граничные условия: x t 2  s 2  4  4t 3 , x t  0  x s  0  0 .
  x 2  x 2

f  x           2 x  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – кольцо:  t,s :1  t  s  4 .
2.
Граничные условия: x t 2  s2 1  0 , x t 2  s 2  4  8t 2  s .
3.
  x 2  x 2

f  x           2 xt 2  dsdt ,
 t   s 

G 

G – круг:
 t,s : t
2
 s 2  1 .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  t 2  s 2  t .
  x 2  x 2 
4. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 1  x s 0  x s 1  0 , x t 0  sins  2sin3s .
30
5.
  x 2  x 2 
f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – сектор кольца:
t,s :1  t
2
 s 2  4,t  0, s  0 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  4t 3 , x t 0  x s 0  x t 2  s2  4  0 .
6.
  x 2  x 2 
f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – сектор круга:
t,s : t
2

 s 2  4, 0  t  3s .
Граничные условия: x t 2  s 2  4  t  s , x t 0  x t 
2
7.
2
3s
0.
  x 2  x 2

f  x           2 xt  dsdt ,
 t   s 

G 

G – кольцо:
 t,s : 4  t
2
 s 2  9 .
Граничные условия: x t 2  s2  4  8t , x t 2  s2 9  t 2  3s 2 .
  x 2  x 2

8. f  x           2 xs 2  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – круг:  t,s : t  s  4 .
Граничные условия: x t 2  s 2  4  4s 2  s .
  x 2  x 2 
f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
9.
Граничные условия: x t 0  1 , x t 1  x s 0  x s 1  0 .
31
  x 2  x 2 
10. f  x           t  dsdt ,
 t   s 

G 

G – сектор кольца:
t,s :1  t
Граничные условия: x t 0  x t 
2

 s 2  4, 0  t  3s .
3s
 x t 2  s 2 1  0 , x t 2  s2  4  16 s 3 .
  x 2  x 2

11. f  x           8xts(t 2  s 2 )  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – сектор круга:  t,s : t  s  1, 0  t  s .
Граничные условия: x t 2  s2 1  2t 2  s 2 , x t 0  x t  s  0 .
  x 2  x 2

12. f  x           2 xs  dsdt ,
 t   s 

G 

G – кольцо:
t,s :1  t
2
 s 2  9 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  t 2  s 2 , x t 2  s2 9  9t .
  x 2  x 2

13. f  x           2 x  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – круг:  t,s : t  s  9 .
Граничные условия: x t 2  s2 9  18t 2 .
  x 2  x 2

14. f  x           2  dsdt ,
 t   s 

G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  sins , x t 1  3sin4s , x s  0  x s 1  0 .
32
  x 2  x 2

15. f  x           s  dsdt ,
 t   s 

G 

G – сектор кольца:
t,s :1  t
2
 s 2  4, 0  t  s .
Граничные условия: x t 0  x t  s  x t 2  s2 1  0 , x t 2  s2  4  32 s 4 .
  x 2  x 2 
16. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – сектор круга:
t,s : t
2

 s 2  1, 0  3t  s .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  s , x t 0  x
3t  s
0.
  x 2  x 2

17. f  x           2 x(t  s)  dsdt ,
 t   s 

G 

G – кольцо:
t,s :1  t
2
 s 2  4 .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  2  3ts , x t 2  s2  4  0 .
  x 2  x 2

18. f  x           2 x(t 2  s 2 )  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – круг:  t,s : t  s  1 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  2ts  t 2 .
  x 2  x 2 
19. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x t 1  0 , x s  0  A , x s 1  sin2t .
33
  x 2  x 2

20. f  x           ts  dsdt ,
 t   s 

G 

G – сектор кольца:
t,s :1  t
Граничные условия: x t 0  x t 
2

 s 2  4, 0  t  3s .
3s
 x t 2  s2  4  0 , x t 2  s2 1  t 3  s 3 .
  x 2  x 2

21. f  x           2 xs  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – сектор круга:  t,s : t  s  4,t  0 .
Граничные условия: x t 2  s 2  4  8t 2  s , x t 0  x t  s  0 .
  x 2  x 2

22. f  x           2 x  t  s   dsdt ,
 t   s 

G 

G – кольцо:
t,s :1  t
2
 s 2  4 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  0 , x t 2  s2  4  1  2t 2 .
  x 2  x 2

23. f  x           2 x(t 2  s 2 )  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – круг:  t,s : t  s  4 .
Граничные условия: x t 2  s 2  4  4t 2  t .
  x 2  x 2 
24. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  sins , x s  0  2sin4t , x t 1  x s 1  0 .
34
  x 2  x 2

25. f  x           2 x  dsdt ,
 t   s 

G 

G – сектор кольца:
t,s :1  t
2
 s 2  4,t  0 .
Граничные условия: x t  0  x t 2  s 2 1  0 , x t 2  s2  4  t 2 s 2 .
  x 2  x 2 
26. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

2
2
G – сектор круга:  t,s : t  s  R 2 , 0  t  tg  s , 0     2 .
Граничные условия: x t 2  s 2  R 2  g  t s  , x t 0  x t tgs  0 , где g –
произвольная непрерывная на отрезке 0, tg  функция.
  x 2  x 2 
27. f  x           dsdt ,
 t   s  
G 

G – кольцо:  t,s :1  t 2  s 2  9 .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  s 3 , x t 2  s2 9  0 .
  x 2  x 2

28. f  x           2 x  dsdt ,
  t   s 

G 

2
2
G – круг:  t,s : t  s  1 .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  s 3 .
  x 2  x 2

29. f  x           2 x  dsdt ,
 t   s 

G 

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x t 1  x s 0  x s 1  0 .
35
  x 2  x 2
30. f  x           2 xg
 t   s 
G 

t 2  s 2  dsdt ,


2
2
2
2
G – сектор кольца:  t,s : a  t  s  b ,t  0 , g – непрерывная


на отрезке  a,b функция.
Граничные условия: x t  0  x t 2  s2  a2  x t 2  s 2 b2  0 .
Задание 6
Найти экстремали следующих функционалов в указанных областях с заданными условиями на границе, используя для построения
решения функции Бесселя и многочлены Лежандра.
  x 2  x 2  x 2 
1. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
G – прямой круговой цилиндр:  t,s, : t  s 2  4, 0    1 .
Граничные условия: x  0  x 1  0 , x t 2  s 2  4  g    , где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
  x 2  x 2  x 2 
2. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
G – прямой круговой цилиндр:  t,s, : t  s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  x  0  0 , x  2  g  t 2  s 2  , где g –
непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
  x 2  x 2  x 2 
3. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
G – прямой круговой цилиндр:  t,s, : t  s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x t 2  s2 1  x  0  0 , x  2  g  t 2  s 2  , где g –
36
непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
  x 2  x 2  x 2 
4. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
2
2
G – шар:  t,s, : t  s    1 .
Граничные условия: x t 2  s2 2 1   .
  x 2  x 2  x 2 
f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
2
2
G – шар:  t,s, : t  s    4 .
5.
Граничные условия: x t 2  s 2 2  4  2 .
6.
  x 2  x 2  x 2 
f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

G – шар:
t,s,: t
2
 s 2  2  1 .
Граничные условия: x t 2  s2 2 1  1  t 2  s 2 .
  x 2  x 2  x 2 
7. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
2
2
G – шар:  t,s, : t  s    1 .
Граничные условия: x t 2  s 2 2 1    2 .
  x 2  x 2  x 2 
8. f  x              dsdtd  ,
 t   s     
G 

2
2
2
G – шар:  t,s, : t  s    4 .
Граничные условия: x t 2  s2 2  4  1    .
2
37
  x 2  x 2

f  x           x 2  dsdt ,
 t   s 

G 

G – круг:  t,s : t 2  s 2  1 .
9.
Граничные условия: x t 2  s2 1  arctg  t s  .
  x 2  x 2

10. f  x           4 x 2  dsdt ,
 t   s 

G 

2
2
G – сектор круга:  t,s : t  s  1, 0  t  s .
Граничные условия: x t 2  s 2 1  6ts , x t 0  x t  s  0 .
2
  x 2
 x  
11. f  x        s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
  x 2
 x  
12. f  x        s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
  x 2
 x  
13. f  x        s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – прямоугольник:  t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
38
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
2
  x 2
 x  
14. f  x        s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – прямоугольник:  t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
2
  x 2
 x  
15. f  x        s s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
  x 2
 x  
16. f  x        s s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
  x 2
 x  
17. f  x        s s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – прямоугольник:  t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
39
2
  x 2
 x  
18. f  x        s s    dsdt ,
 t 
 s  
G 
G – прямоугольник:
t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
  x 2
19. f  x        s 3
 t 
G 

 dsdt ,

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
 x 
s 
 s 
2
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
  x 
20. f  x        s 3
 t 
G 

 dsdt ,

G – квадрат:  t,s : 0  t  1, 0  s  1 .
2
 x 
s 
 s 
2
Граничные условия: x t 0  x s 1  0 , x s  0  ограничена , x t 1  g  s  ,
где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
  x 2
21. f  x        s 3
 t 
G 

 dsdt ,

G – прямоугольник:  t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
 x 
s 
 s 
2
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
  x 2
22. f  x        s 3
 t 
G 
 x 
s 
 s 
40
2

 dsdt ,

G – прямоугольник:
t,s : 0  t  2, 0  s  1 .
Граничные условия: x t  0  x t  2   0 , x s  0  ограничена , x s 1  g  t  ,
где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
23. f  x        4       dsdtd  ,
 t 
 s     
G 
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : t 2  4s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x 0  x  2  0 , x t 2  4 s 2 1  g    , где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
24. f  x        4       dsdtd  ,
 t 
 s     
G 
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : t 2  4s 2  4, 0    1 .
Граничные условия: x  0  x 1  0 , x t 2  4 s2  4  g    , где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
25. f  x        4       dsdtd  ,
 t 
 s     
G 
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : t 2  4s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x t 2  4 s2 1  x 0  0 , x 1  g  t 2  4s 2  , где g –
непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
26. f  x        4       dsdtd  ,
 t 
 s     
G 
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : t 2  4s 2  4, 0    1 .
41
Граничные условия: x t 2  4 s2 1  x 0  0 , x 1  g  t 2  4s 2  , где g –
непрерывная на отрезке 0,4 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
27. f  x     4    9       dsdtd  ,
 t 
 s     
G  
G – эллиптический цилиндр:
t,s,: 4t
2
 9s 2  36, 0    1 .
Граничные условия: x  0  x 1  0 , x 4t 2  9 s 2 36  g    , где g – непрерывная на отрезке  0 ,1 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
28. f  x     4    9       dsdtd  ,
 t 
 s     
G  
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : 4t 2  9s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x 0  x  2  0 , x 4t 2  9 s 2 1  g    , где g – непрерывная на отрезке 0,2 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
29. f  x     4    9       dsdtd  ,
 t 
 s     
G  
G – эллиптический цилиндр:  t,s, : 4t 2  9s 2  36, 0    1 .
Граничные условия: x 4t 2  9 s 2 36  x  0  0 , x 1  g  4t 2  9s 2  , где
g – непрерывная на отрезке  0,36 функция.
2
2
  x 2
 x   x  
30. f  x     4    9       dsdtd  ,
 t 
 s     
G  
G – эллиптический цилиндр:
t,s,: 4t
2
 9s 2  1, 0    2 .
Граничные условия: x 4t 2  9 s 2 36  x  0  0 , x 1  g  4t 2  9s 2  , где
g – непрерывная на отрезке  0,36 функция.
42
Задание 7
Решить задачу навигации при условии, что собственная скорость лодки постоянна, а скорость реки задается указанным ниже равенством. Предполагая, что y(0)  0 , построить график движения
лодки, при котором переправа осуществится за минимальное время.
1.
 x 2 , если x  0,1 2 ,

v( x)  1  x
, если x  1 2,1.

 2
2.

(1  x) x, если x  0,1 2 ,
v( x)  
2

1  x , если x  1 2,1.
3.
v( x) 
4.
 x 2 , если x   0,1 2 ,

v( x)  1 4, если x  1 2,3 4 ,

1  x, если x  3 4,1.
5.
0, если x  0,1 4 ,

v( x)   x  1 4, если x  1 4,3 4 ,

(1  x)(1  4 x 3), если x  3 4,1.
6.
v( x)  x 2 (1  x), x   0,1.
7.
sin x, если x   0,1 2 ,

v( x)  

1  x, если x  1 2,1.
8.
v( x)  x(1  x), x  0,1.
9.
 x 2 , если x   0,1 ,
v( x)  
2
(2  x) , если x  1, 2.
x
, x  0,1 .
1  x(1  x)
43
 x, если x  0,1 ,

10. v( x)  1, если x  1, 2 ,

3  x, если x   2,3.
2 x  x 2 , если x   0,1 ,

11. v( x)   4  x 2
, если x  1, 2.

 3
 log(1  x), если x  0,1 2 ,

12. v( x)  

 log x, если x  1 2,1.
 x , если x   0,1 4 ,
13. v( x)  
1  x , если x  1 4,1.


14. v( x)  x 1  x , x 0,1.
15. v( x)  x (1  x), x  0,1.
16. v( x)  (1  cos 2 x)3 , x  0, .
17. v( x)  sin x(1  sin x), x  0,  2.
18. v( x)  6 x  x3 , x   0, 2.
19. v( x)  x3  3x 2  3x, x  0, 2.
20. v( x)  x3  4 x 2  6 x, x  0, 2.
 x(4  x)
, если x   0, 2 ,

21. v( x)  
2
3  x, если x   2,3.

44
22. v( x) 
23. v( x) 
1
4  2 x  x2
, x  0,1 .
1
, x  0,1 .
1  2 x  x2
24. v( x)  1  4 x  x 2 , x   0,1 .
25. v( x)  (4  2 x  x 2 ) x , x  0,1 .
1
 (1  2 x)sin x, если x  0,1 2 ,
26. v( x)   2
2 x, если x  1 2,1.

27. v( x)  x(1  cos x), x  0,1.
28. v( x) 
sin x
, x  0, .
1  sin x
29. v( x)  x 2 x , x   0,1.
x

1  2 , если x  0,1 ,
30. v( x)  

(2  x)( x  1 2), если x  1,2.
Задание 8
Найти экстремали следующих вариационных задач с подвижными границами.
1.
1

x2


2
f
x

t
x

2
t
xx

 sint  dt,




2 t


0 
 x 0  1, x 1  любое.

  

45
2.
2

2
3
2
 f  x    x  2 xx  xx  x  dt,

0
 x 0  0 , x  2  любое.
 
  
3.
4

x2
 x2

f
x


xx

sin
t

cost  x  tgt  dt,
  

2cost
2


0 
 x 0  0 , x  4  любое.
 
  
4.


 x2

2
2
2
 f  x      2t  1 x   t  2  x  t xx  2tx dt ,
2


0 
 x 0  любое, x     2.
 
  
5.


 x2
 3t 2  16  x 2  t 3 xx  1dt ,
 f  x     x cos t 

 2

2

0 


 x  0   любое, x     0.
6.
2

x2
 x2

 f  x     x sin t  2  xx  x cost  t dt ,
2
t


1 
 x 1  0, x 2  любое.
 
  
7.
2

2 xx
 x2

 4tx  t 2 dt ,
 f  x    2x 
2
t


1 
 x 1  1, x 2  любое.
 
  
8.
2

3x 2
 x2 2

2
 f  x     t x  2  xx   t  2t  x  t dt ,
2
t


1 
 x 1  1 6, x 2  любое.
 
  







46
9.
1

 x 2 2t t

2

x  t x  1   xx  1dt ,
 f  x    
2
3
 9t 

1 


 x 1  0, x  1  любое.

1

f
y

e x  y 2  12 (y ) 2  dx,




0
10. 
е3

y
0

1

, y 1  любое.



2

1

y
2
 f  y   e (y) dx,
11. 
0
 y(0)  2, y(1)  любое.


2

f
y

y(1  x 2 y)dx,
  
12. 
1
 y (1)  1, y(2)  любое.


1

f
y

((y)3  (y) 2 )dx,



13. 
1
 y (  1)  1, y(1)  любое.


1

2
 f  y    xy  (y ) dx,
14. 
0
 y (0)  1, y (1)  любое.


1

2
1
 f  y    x  2 y  2 (y )  dx,
15. 
0
 y (0)  0, y (1)  любое.


47
e

 tx 2
2x 2 
 e 2 t xx  e 2 t x 2  x lnt 
 t  dt ,
 f  x  
2
t
16. 

1 
 x 1  любое, x e  0.






1

 x2

2
f
x




 2t  sin2t  xx  cos2t  x  tx  t  dt ,
17. 

0 
 x 0  любое, x 1  1.

  

1

 t 2

x2
5
f
x

x

t
xx

 t x  t t x  t 3  dt ,
  

2
2
18. 
4 t
0 


 x  0   0, x 1  любое.

2

3t
 3 x2

 xx  x 2  t 5 x  5t 4 x  t 2  dt ,
 f  x   t
2
2
19. 

1 
 x 1  0, x 2  любое.
 
  

1

1  x2
dt ,
 f  x  
x
20. 
12

 x 1 2   3 2, x 1  любое.

1

f
x



 x 2  3xx  2 x  5x  t  dt ,

21. 
0
 x 0  0, x 1  любое.

  

1

f
x

xe x dt ,



22. 
0
 x 0  0, x 1  любое.

  

48
1

2 2
2
f
x




0  x x  2tx  2txx  cos t  dt ,
23. 
 x  0   0, x 1  любое.

1

 x

f
x




 2  xx  dt ,
x
24. 

0 
 x 1  любое, x 0  0.
 
  

1

 x2

2t
2t 2
f
x




 2t  e xx  e x  tx  dt ,
25. 

0 
 x 0  0, x 1  любое.

  

1

 t x2

et x 2 3
t
f
x


e
xx

 t x  2t 2 x  dt ,
  

2
2
26. 
0 


x
0

любое
,
x
1

0.






1

 t 2 x2

 (t 2  6t ) xx  tx 2  tx  x  dt ,
 f  x  
2
27. 

0 
 x 0  0, x 1  любое.

  

1

 et x 2

 e 2 t xx  e 2 t x 2  e3t x  dt ,
 f  x  
2
28. 

0 
 x 0  любое, x 1  1 2.

  

1

cos t  x 2
 x2

 x  tg 2 t  x  dt ,
 f  x     sin t  xx 
2
2
29. 

0 
 x 0  любое, x 1  ln cos1.

  

1

 et x 2 2

2
f
x




 2  t xx  tx  tx  dt ,
30. 

0 
 x 0  любое, x 1   2 e .

  

49
Задание 9
Найти решение следующих изопериметрических задач.
2

x2
 x2

f
x


x
sin
t

 xx  x cost  t dt ,




2
2
t


1 

2
х t 
 x 1  x 2  0,
dt  2.
 
  
t2
1


1.

2

2 xx
 x2

 4tx  t 2 dt ,
 f  x    2x 
2
t


1 

2
 x 1  x 2  0,
tх  t dt  1.
 
  
1


2.

3.
2

 x2 2

3x 2
f
x


t
x

 xx   t 2  2t  x dt ,




2

2
t


1

2
 x 1  x 2  0, t 2 х t dt  1.
 
1  
  

4.
8

 x 2 2t t
2 

x  t x  1   xx dt ,
 f  x    
2
3
 9t  

1 

8
х t 

x
1

x
8

0,
dt  4.





t2
1



ln2

x
2
2
1
 f  y   e  y  2 (y ')  dx,

0

ln 2
 y 0  y ln2  0,
e x y ( x)dx  1.
 
  
0


5.

50
2e

dx
f
y

,



y

1

 y (1)  y (2e)  0,



6.
2e
 y( x)dx  1.
0
2e

1
 f  y   y(1  xy)dx,
2

0

2e
 y (0)  y (2)  0,
y 2 ( x)dx  1.

0


7.

1

f
y



 xy  (y)2 dx,


1

1
 y (  1)  y (1)  0,
y ( x)dx  1.

1


8.

1

2
1
 f  y    x  2 y  2 (y )  dx,

0

1
 y (0)  y (1)  0,
y 2 ( x)dx  1.

0


9.



f
y

((y ) 2  y 2 )dx,
  

0
10. 

 y (0)  y (π)  0,
(y 2  y 2 )dx  1.

0



e

 tx 2
2x 
 e 2t xx  e 2t x 2  2 x lnt   dt ,
 f  x  
2
t 

1 
11. 
е
х t 

dt  2.
 x 1  x  e   0,
t
1



51
1

 x2

2
 f  x     sin2t  xx  cos2t  x  tx  dt ,
2t


0 
12. 
1
 x 0  x 1  0,
tх  t dt  1.

  
0



2

x2
 x2

 xxsint  cost  xtgt  dt ,
 f  x  
2cost
2


0 
13. 
2

tх  t dt  1.
 x  0   x   2   0,
0



1

 x2

2t
2t 2
f
x

  
 2t  e xx  e x  tx  dt ,


0 
14. 
1
 x 0  0, x 1  1 3,
t 2 х  t dt  1 5.

  
0



1

 t 2

x2
f
x

x

t
xx

 t 3  dt ,




2
4 t

0 

15. 
1
х t 

dt  2.
 x  0   x 1  0,
t
0



1

f
x



 x 2  xx3  5 xx  x 2  t 2 x  dt ,


1
16. 
1
 x 1  x 1  0,
t 2 х  t dt  1.





1



2

2
3
2
 f  x    x  2 xx  xx  x  dt ,

0
17. 
2

х 2  t dt  .
 x  0   x   2   0,
0



52
1

2
 f  x    x  3xx  2 x  5 x  t  dt ,

0
18. 
1
 x 0  x 1  0,
х  t dt  1.

  
0



1

x2


2
 sint  dt ,
 f  x    t x  2 t xx 
2 t


0 
19. 
1
х t 
 x 0  x 1  0,
dt  3.





t
0



1

f
x



 x 2 x 2  2tx 2  2t 2 xx  x  dt ,


0
20. 
1
 x 0  x 1  0,
х 2  t dt  2.





0





 x2 x2

 f  x      2txx  t dt ,
2 2


0 
21. 

 x 0  x   0,
х 2  t dt  8.
 
  
0



4

 x2

2
2
f
x

  
 2   t  2  x  t xx dt ,


0 
22. 
4

х 2  t dt  2.
 x  0   x   4   0,
0



8

 x 2  3t 2  16  x 2 3

 t xx  1dt ,
 f  x   
 2

2

0 

23. 
8


х  t dt  1  .
 x  0   x   8   0,
4
0



53
1

x

 f  x     xx  dt ,
x


0 
24. 
1
 x 0  1, x 1  е,
х  t dt  0.

  
0



1

 x2
2
4 
 f  x     x  2txx  3t dt ,
2


0 
25. 
1
 x 0  x 1  0,
х 2  t dt  1.

  
0





 x 2 3t 2 x 2

3
f
x




 2  2  (t  4t ) xx  2 x dt ,


0 
26. 

 x 0  x   0,
х 2  t dt  2.
 
  
0



1

 tx 2

 2t 3 x 2  t 4 xx  x dt ,
 f  x  
2


0 
27. 
1
 x 0  0, x 1  1,
х 2  t dt  1.

  
0



2

 x 2 2t  1 2 2

f
x

  
 2  2 x  t xx  x  x dt ,


0 
28. 
2

( х 2  х 2 )dt  2   2.
 x  0   x   2   0,
0



2

 x2

2
2
f
x




 2  tx  t xx  2 x dt ,


0 
29. 
2

( х 2  х 2 )dt   4.
 x  0   x   2   0,
0



54
1

 t x 2 3t 2 x 2 3

f
x


 t xx  5tx dt ,




2
2

0 

30. 
1

х  t dt  2 7.
 x  0   0, x 1  1,
0



Задание 10
Сформулировать следующие задачи как задачи на отыскание
экстремумов некоторых интегральных функционалов и решить их методами вариационного исчисления.
1. Найти замкнутую линию наименьшей длины, ограничивающую заданную площадь S.
2. Найти замкнутую линию заданной длины L, ограничивающую
наибольшую площадь.
3. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей
вершиной О. Среди кривых заданной длины L, концы которых
лежат на ОА и ОВ, найти такую, которая отсекает от угла АОВ
максимальную площадь.
4. Даны два взаимно перпендикулярных луча ОА и ОВ с общей
вершиной О. Среди кривых с концами на ОА и ОВ, отсекающих от угла АОВ заданную площадь S, найти кривую
наименьшей длины.
5. В равностороннем треугольнике провести кривую заданной
длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника
фигуру наибольшей площади.
6. В равностороннем треугольнике провести кривую наименьшей
длины, которая образовала бы вместе с углом треугольника
фигуру заданной площади.
7. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, прямо
пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени.
Найти кривую y  y ( x) , время движения вдоль которой
из точки М в точку N будет минимальным.
8. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) со скоростью, прямо пропорциональной ординате
55
9.
10.
11.
12.
13.
14.
точки в каждый момент времени. Найти кривую y  y ( x) , соединяющую начало координат с точкой на прямой x  1 , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) со скоростью, прямо пропорциональной ординате
точки в каждый момент времени. Найти кривую y  y ( x) , соединяющую начало координат с точкой на прямой y  1 , и такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) со скоростью, прямо пропорциональной ординате
точки в каждый момент времени. Найти кривую y  y ( x) , соединяющую начало координат с точкой на прямой y  2 x  1 , и
такую, что время движения вдоль нее будет минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) со скоростью, прямо пропорциональной ординате
точки в каждый момент времени. Найти кривую y  y ( x) , соединяющую начало координат с точкой на окружности
y 2  ( x  1)2  4 , и такую, что время движения вдоль нее будет
минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, обратно
пропорциональной абсциссе точки в каждый момент времени.
Найти кривую y  y ( x) , время движения вдоль которой
из точки М в точку N будет минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, прямо
пропорциональной ординате точки в каждый момент времени.
Найти кривую y  y ( x) , время движения вдоль которой
из точки М в точку N будет минимальным.
Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, обратно
пропорциональной ординате точки в каждый момент времени.
Найти кривую y  y ( x) , время движения вдоль которой
из точки М в точку N будет минимальным.
56
15. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью v  k x
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую y  y ( x) , время
движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
16. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, v  k y
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую y  y ( x) , время
движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
17. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
k
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, v 
x
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую y  y ( x) , время движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
18. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой
k
y  y ( x) , соединяющей точки M и N , со скоростью, v 
y
(k – постоянный коэффициент). Найти кривую y  y ( x) , время
движения вдоль которой из точки М в точку N будет минимальным.
19. Решить задачу о брахистохроне, если известно, что шарик
должен оказаться на некоторой вертикальной прямой.
20. Решить задачу о брахистохроне, если шарик должен финишировать в некоторой точке горизонтальной прямой.
21. Решить задачу о брахистохроне, если шарик должен финишировать в некоторой точке наклонной прямой.
22. Найти геодезические линии прямого кругового цилиндра (геодезической называется линия, соединяющая две данные точки
поверхности и лежащая на этой поверхности).
23. Найти геодезические линии шара (геодезической называется
линия, соединяющая две данные точки поверхности и лежащая
на этой поверхности).
57
 x  y  1, 
24. Найти кратчайшее расстояние от прямой L : 
 до по z0 
верхности z 2  x2  y 2 .
25. Найти кратчайшее расстояние от точки M  0,0,3 до поверхности z  x 2  y 2 .
26. Найти кратчайшее расстояние от точки M  2,0,5 до поверхности z  2( x2  y 2 ) .
27. Найти кратчайшее расстояние от точки M  0,1 до кривой
4 x2  9 y 2  1 .
28. Найти кратчайшее расстояние от точки M 1,0  до кривой
4x2  9 y 2  36 .
29. Решить задачу навигации, если второй берег реки прямая, но
не параллельная первому берегу.
30. Среди кривых заданной длины l , соединяющих точки A(t1 , x1 )
и B (t2 , x2 ) , найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее
низко.
58
Учебное издание
Основы вариационного исчисления – II
Методические указания и варианты заданий
для самостоятельной работы студентов III курса
специальностей КМ и ДПМ
Составитель Малыгина Вера Владимировна
Корректор Лыкова Л.В.
____________________________________________________________
Подписано в печать 09.06.08. Формат 60х90/16.
Усл. печ. л. 3,75. Тираж 50 экз.
Заказ 144/2008
____________________________________________________________
Издательство
Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г.Пермь, Комсомольский пр. 29, к. 113.
Тел.: (342) 219-80-33.