Для самостоятельного решения

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЗАДАНИЕ 1
Вариант 1.
Известны данные о прибыли 24 предприятий, млн. руб.:
26,0
30,0
27,3
38,1
30,0
28,0
31,5
40,0
30,0
21,5
33,0
35,1
29,1
20,0
33,0
31,5
30,0
29,1
25,1
34,1
29,1
30,0
33,5
22,0
Определить степень влияния опыта работы предприятий на величину прибыли, если известно, что
первые 10 предприятий имели опыт работы менее 2-х лет, а остальные 14 – более 2-х лет.
Вариант 2.
Известны данные об объеме вложений в ценные бумаги 24 банков России, млрд. руб.:
2,7
4,6
4,0
3,7
4,1
3,2
4,8
1,9
4,8
4,0
4,9
4,3
2,8
4,3
3,2
2,4
4,0
3,7
4,0
3,4
5,6
3,4
4,6
2,5
Определить степень влияния прибыли на объемы вложений в ценные бумаги, если первые 15
банков имели прибыль до 50 млрд. руб., а остальные 9 – свыше 50 млрд. руб.
Вариант 3.
Имеются данные о чистых активах 24 банков России, млрд. руб.:
39,9
49,5
44,2
54,2
42,9
39,6
43,0
35,1
42,9
39,6
48,6
41,7
48,1
41,0
49,0
43,0
39,1
51,8
39,6
45,0
39,0
39,9
49,0
39,6
Определить степень влияния прибыли на величину чистых активов, если известно, что первые 10
банков имели прибыль до 111 млрд. руб., а остальные 14 – свыше 111 млрд. руб.
Вариант 4.
Имеются данные о кредитных вложениях 24 банков России, млрд. руб.:
19,8
21,4
19,9
21,1
19,9
24,0
21,1
22,0
18,0
21,5
26,0
18,9
24,2
18,2
24,6
19,9
18,5
23,5
19,5
25,0
20,0
23,0
21,5
19,8
Определить степень влияния ставки кредитов на величину кредитных вложений банков, если
известно, что кредитные вложения до 20 млрд. руб. имели банки с минимальной ставкой кредита, а свыше
20 млрд. руб. – с максимальной ставкой кредита.
Вариант 5.
Известны данные о прибыли 24 предприятий региона, млн. руб.:
15,2
23,9
17,7
16,9
13,2
19,1
26,2
17,6
22,7
20,0
19,1
15,1
14,3
23,1
11,6
17,6
22,5
26,2
19,1
16,9
23,1
24,1
17,7
14,7
Определить степень влияния формы собственности предприятия на прибыль, если известно, что
величина прибыли до 17 млн. руб. принадлежит АО, а свыше 17 млн. руб. – кооперативам.
Вариант 6.
Известны данные о заработной плате 24 работников фирмы, тыс. руб.:
3,3
2,4
2,6
3,0
1,8
4,2
2,2
2,9
4,2
2,8
3,5
2,5
2,6
2,8
1,5
2,6
2,4
3,5
2,3
2,5
3,0
2,9
3,3
2,6
Определить степень влияния формы оплаты труда на заработную плату работников, если
работники со сдельной оплатой труда имели заработную плату до 3 тыс. руб., с повременной – свыше 3 тыс.
руб.
ЗАДАНИЕ 2
1
Необходимо проанализировать производительность труда рабочих одного из цехов НПО
“Виктория”. С этой целью была образована контрольная группа рабочих, имеющих стаж работы до 1 года,
во вторую группу вошли рабочие со стажем от 1 до 3 лет и в третью группу объединили рабочих с большим
стажем. Для чистоты эксперимента были сформированы пять групп, приблизительно равноценных по
показателям. Результаты приведены в таблице 10.
Таблица 10
Производительность труда рабочих цеха НПО “Виктория”, деталей за смену
Повторность
Номер
Вариант опыта
варианта
1
2
3
4
5
411
419
426
432
430
I группа (контр.)
460
472
478
480
470
1
II группа
475
440
500
482
495
III группа
278
285
200
256
291
I группа
330
319
344
336
327
2
II группа
378
388
391
387
399
III группа
426
440
434
442
437
I группа
540
535
560
550
552
3
II группа
552
546
564
558
560
III группа
511
519
526
532
530
I группа
560
572
578
580
570
4
II группа
575
540
600
582
595
III группа
464
470
472
468
480
I группа
478
482
500
498
502
5
II группа
530
536
540
527
534
III группа
328
336
327
319
329
I группа
423
426
411
409
411
6
II группа
456
462
468
470
457
III группа
Пример 3. Дисперсионный анализ при группировке данных по двум признакам
(неслучайное распределение повторностей в группе)
Проанализировав результаты по реализации литературы (пример 2), правление фирмы пришло к
выводу о необходимости продолжения эксперимента. Цель опыта состояла в том, чтобы уловить эффект
взаимодействия между стажем работы и полом сотрудников.
Участники эксперимента предварительно были разделены на 2 части (блока). Одну часть (блок)
составляли одни мужчины, другую – женщины. Каждый блок включал в себя группы по стажу работы:
контроль – проработавшие в этой сфере менее года, 1 гр. – со стажем 1 год, 2 гр. – соответственно – 2 года и
3 гр. – 3 и более лет. Опыт проведен в трехкратной повторности. Следовательно, распределение в каждом
варианте неслучайное.
Результаты эксперимента приведены в таблице 11.
Таблица 11
Количество проданной научной литературы, шт. (в среднем за месяц)
Средние
Повторности
Сумма
Пол
Вариант опыта
xj
xj
1
2
3
Женский
Мужской

Контроль
Стаж:
133
154
134
421
140
1 год
2 года
3 года
162
200
240
735
184
211
171
214
217
756
189
186
179
210
229
752
188
190
512
624
686
2243
Х
587
171
208
229
Х
187
196
1 год
2 года
3 года
222
228
235
216
214
231
214
230
246
652
672
712
217
224
237
Суммы
Средние по группе
Контроль
Стаж:
2
Х
219
Суммы
Средние по группе
896
224
847
212
880
220
Суммы
1631
1603
1632 4866=
204
201
204
Х
203
172
170
162
Х
168
192
214
238
194
214
224
197
220
238
Х
Х
Х
194
216
233
x
i
Средние по повторностям
Средние по подгруппам:
Контроль
Стаж:
1 год
2 года
3 года
2623
Х
x
ij
Х
Требуется оценить достоверность различий между средними по вариантам опыта, используя
дисперсионный метод анализа.
Решение.
1.
Выдвигаем гипотезу о том, что факторы не оказывают влияния на реализацию литературы.
Заключение по гипотезе сделаем с вероятностью 0,05. Количество реализуемой литературы варьировало в
зависимости от пола, стажа работы, от сочетания этих факторов, от различий в составе групп, а так же не
исключается случайное варьирование. Исходя из перечисленного, общую сумму квадратов отклонений
следует представить как сумму:
W0  Wпол  Wстаж  Wвзаим  Wповт  Wост
Разложение проведем в два этапа.
На первом этапе разложим:
W0  Wфакт  Wповт  Wост ;
а на втором -
Wполстаж  Wпол  Wстаж  Wвзаим .
Определим число наблюдений. Анализируются 2 части (блока), т.е. k = 2. Второй фактор – стаж
работы имеет 4 группы, l = 4. Каждый вариант представлен 3 повторами, т.е. n = 3. Общее число
наблюдений N = k · l · n = 2 · 4 · 3 = 24.
2.
Для упрощения вычислений выразим результаты эксперимента в отклонениях от
постоянной величины А. За А принимается величина, близкая к общей средней (А = 200).
Результаты занесем в таблицу 12.
Таблица 12
Таблица отклонений
Повторности
Вариант
Сумма
yj
Пол
опыта
1
2
3
-67
-46
-66
-179
Контроль
Стаж:
-29
-21
-88
1 год -38
0
14
10
24
2 года
17
29
86
3 года 40
11
-14
-10
-13
Контроль
Стаж:
16
14
52
1 год 22
14
30
72
2 года 28
31
46
112
3 года 35
Женский
Мужской

Сумма
y
i
31
3
32
66
  y ij
3. Проверим правильность проведенных преобразований:
x  y
ij
ij
 N  A,
4866  66  24  200 .
Определим общую сумму квадратов, суммы квадратов всех вариантов опыта, повторностей:
W0  Wполстаж  Wповт  Wост .
Возводя в квадрат данные табл. 12, получим значения для определения Wполстаж и Wповт .
Результаты вычислений поместим в таблицу 13:
3
Таблица 13
Таблица квадратов отклонений
Повторности
Сумма квадратов
Вариант
опыта
Пол
1
2
3
4489
1444
0
1600
121
484
784
1225
2116
841
196
289
196
256
196
961
4356
441
100
841
100
196
900
2116
10147
5051
9050
961
9
1024
Женский
Мужской
Контроль
1 год
2 года
3 года
Контроль
1 год
2 года
3 года
Сумма квадратов
 yi2
y
( yij ) 2
10961
2726
296
2730
417
936
1880
4302
24248 
Квадрат сумм
( yi ) 2
Квадрат сумм
2
j
1994 
y
32041
7744
576
7396
169
2704
5184
12544
68358 
2
ij
 ( y )
i
2
 ( y
4356  (
y
ij
j
)2
)2
Воспользуемся данными таблицы и рассчитаем:
W0 

y ij2 
Wпол стаж 
(
y
ij )
 24248 
N
 ( y
 (
2
n
yi ) 2
j)
2
(

(
y
y
N
ij )
4356
 24066 ,0
24
ij )
2

68358 4356

 22604 ,0
3
24
2
1994 4356


 67 ,3
k l
N
24
24
Wост  W0  Wполстаж  Wповт  24066  22604  67 ,3  1394 ,7
4. Определим число степеней свободы вариации:
 0  N  1  24  1  23
Wповт 

 пол ст  k  l  1  2  4  1  7
 повт  n  1  3  1  2
 ост   0   пол ст   повт  23  7  2  14
Проведем предварительный анализ дисперсий, разделив суммы квадратов отклонений на
соответствующее число степеней свободы (табл. 14):
Таблица 14
Предварительный анализ дисперсий
Отношение
Сумма
Степень
Источник
дисперсий
квадратов
свободы Дисперсия
вариации
отклонений вариации
Fфакт
Fтабл
22604,0
7
3229,1
32,4
2,77
Пол + стаж
67,3
2
33,7
Х
Х
Повторности
1394,7
14
99,6
1
Х
Остаточная
24066,0
23
X
Общая
( Fтабл
5. По приложению А определяем Fтабл. При 5% уровне вероятности для 7 и 14 степеней свободы
S2
7
 пол2  ст  ) F0,05  2,77 .
14
S ост
2
S пол
 ст
3229 ,1

 32,4 .
2
99,6
S ост
Проведя предварительный анализ существенности средних (Fфакт > Fтабл ), делаем вывод о
достоверности различий в средних и целесообразности перехода к дальнейшим расчетам.
Fфак 
4
6.
Приступим к рассмотрению вариации реализованной литературы, которая характеризуется
различиями по полу, стажу и их взаимодействием. Для этого, используя суммы отклонений по повторностям
(табл. 12), составим вспомогательную таблицу:
Таблица 15
Отклонения по вариантам опыта
Стаж работы, лет
Пол
Контроль
Сумма
1
2
3
-179
-88
24
86
-157
Мужской
-13
52
72
112
223
Женский
-192
-36
96
198
66
Сумма  
7.
Результаты вычислений возведем в квадрат и занесем в таблицу:
5
Таблица квадратов отклонений по вариантам опыта
Квадрат суммы
Стаж работы, лет
Контроль
Сумма
 2
1
2
3
Пол
Мужской
Женский
32041
169
7744
2704
676
5184
7396
12544
47857
20601
Сумма
32210
10448
5860
19940
68458
36864
1296
9604
39204
Квадрат сумм
 
8.
2
73754=   
86968=
  
2
4624=
2
 y 
2
ij
Полученная таблица квадратов позволяет установить:
Wполстаж  Wстаж  Wпол  Wвзаим
Wполстаж  22604 ,0 (вычисление см. в п.3)
Wстаж
Wпол 
 ( ' ' )

2
k n

(
')2


(
(
y

ln
Wвзаим  Wпол ст  Wпол
9.
24025
49729
ij )
2

N
y ij ) 2
86968 4624

 14302 ,0
23
24
73754 4624

 5953 ,5
N
43
24
 Wстаж  22604 ,0  5953 ,5  14302 ,0  2348 ,5

Определим число степеней свободы:
 пол  k  1  2  1  1
 стаж  l  1  4  1  3
 взаим  k  l  1  k  1  l  1  7  1  3  3
10.
Перейдем к заключительному этапу анализа. Объединим результаты вычислений в общую
таблицу:
Таблица 17
Анализ дисперсий
Источник
вариации
Пол
Стаж
Взаимодействие
факторов
Повторности
Остаточная
Общая
Отношение
Сумма
Степень
квадратов свободы Дисперсия дисперсий
отклонений вариации
Fфакт Fтабл
5953,5
1
5953,5
59,7 4,60
14302,0
3
4767,3
47,8 3,34
2348,5
3
782,8
7,8
3,34
67,3
1394,7
24066,0
2
14
23
33,7
99,8
X
0,3
1,0
X
3,74
X
X
Путем сопоставлений вычислим фактическое отношение дисперсий. За базу сравнения
2
принимается S ост
. Например:

Fфакт

2
S пол
2
S ост

5953 ,5
 59,7 и т.д.
99,8
По таблице 5%-го уровня распределения F (см. приложение А) установим Fтабл (аналогично тому,
как это было сделано в примере 2).
Сопоставление Fфакт с Fтабл показывает, что существенны различия в среднем количестве
реализуемой литературы по первому и второму факторам. Значительно менялось количество литературы и в
результате взаимодействия факторов. Таким образом, приходим к выводу, что выдвинутая гипотеза о том,
что различия в количестве реализуемой литературы случайны, должна быть отвергнута.
Поскольку выдвинутая первоначально гипотеза на основании данных дисперсионного анализа
отвергнута, следует оценить достоверность различий между парами средних.
Для этого вычислим среднюю и предельную ошибки.
m12  S ост
2
n
2
 10  0,82  8,2 шт / в месяц,
3
 10 
6
E0.05  t  m12 .
При вероятности 0,05 и 14 степенях свободы вариации критическое значение нормированного
отклонения t (см. приложение Б) составляет 2,1448 ≈ 2,14.
Предельная ошибка:
 0,05  t  m12  2,14  8,2  17 ,5 шт. в месяц.
Следовательно, величина возможных случайных колебаний при данном уровне вероятности не
должна превышать 17,5 шт. в месяц.
Определим существенность разности в количестве реализованной литературы.
Выполним следующие сопоставления (см. табл. 11).
x1  x 2  140  171  31
x1  x2  196  217  21
x1  x 3  140  208  68
x1  x3  196  224  28
x1  x 4  140  229  89
x1  x4  196  237  41
x 2  x 3  171  208  37
x2  x3  217  224  7
x 2  x 4  171  229  58
x2  x4  217  237  20
x 3  x 4  208  229  21
x3  x4  224  237  13
В первом блоке, который составили одни мужчины, все разности между средним количеством
проданной литературы при меняющемся стаже работы существенны, так как превышают по абсолютной
величине предельную ошибку ε 0,05=17,5 шт. в месяц.
х 2  х 3 и х 3  х 4
Во втором блоке, представленном женщинами, две из шести разностей лежат в границах
случайных колебаний. Несущественны разности х 2  х3 и х3  х 4 то есть увеличение стажа работы с
одного года до двух и с двух до трех дают соответственно разности в количестве проданной литературы 7 и
13 шт. в месяц, что меньше предельной ошибки.
Четыре из шести приведенных разностей больше 17,5 шт. в месяц и, следовательно, они
существенны, а две – несущественны.
Таким образом, в рассмотренном примере, когда анализируется работа женщин, несколько
ослабляется воздействие стажа на объем проданной литературы.
В целом же, в десяти случаях из двенадцати разности превышают по абсолютной величине
предельную ошибку, что позволяет рассматривать их как существенные.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Проанализируйте производительность труда двух групп рабочих, чтобы выявить эффект перехода
от работы на старом оборудовании к новому и стажем участников эксперимента. Оцените достоверность
различий между средними по вариантам опыта, используя дисперсионный метод анализа. Данные для
решения задачи представлены в таблице 18.
7
Таблица 18
Производительность труда (шт. за смену)
Номер
Оборудование
варианта
1
Прежнее
Новое
2
Прежнее
Новое
3
Прежнее
Новое
4
Прежнее
Новое
5
Прежнее
Новое
6
Прежнее
Новое
Стаж работы
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
до 1 года (контроль)
1 год
2 года
3 года
8
Повторности
I
16,7
17,7
21,0
22,3
17,4
18,8
22,6
23,9
16,0
19,5
20,0
23,7
22,9
25,5
27,0
31,1
31,1
32,2
34,1
35,2
33,4
36,3
38,7
39,9
17,6
18,9
22,4
23,7
22,6
25,5
26,8
31,1
17,0
20,5
21,0
24,7
31,3
32,4
34,3
35,2
14,3
15,3
19,0
20,3
15,3
16,8
20,5
21,7
II
16,6
18,1
21,1
22,6
16,9
18,6
23,1
23,7
18,4
28,0
21,3
22,4
22,6
28,5
28,8
29,5
29,4
30,3
33,0
35,2
32,0
35,9
37,2
40,4
16,7
18,5
23,3
23,6
22,3
28,5
28,6
29,5
19,4
29,0
22,3
22,4
29,6
30,5
33,2
35,7
14,2
16,0
19,1
20,6
14,8
16,5
21,0
21,5
III
16,2
17,4
20,1
22,5
17,6
19,8
22,9
23,8
16,8
18,9
21,7
23,9
21,6
25,7
30,0
31,2
27,2
29,4
33,4
35,9
31,5
34,1
37,3
40,2
17,8
19,8
22,7
24,0
21,3
25,7
29,9
31,2
17,8
19,9
22,7
24,4
27,4
29,6
33,6
35,6
15,8
17,2
18,1
20,5
15,5
17,7
20,8
21,6