1. МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 1.1. Использование матричных моделей в производственном планировании

6
1. МАТРИЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.1. Использование матричных моделей в производственном
планировании
Матричная модель представляет собой прямоугольную таблицу чисел,
элементы которой отражают взаимосвязь экономических объектов, соответствующих ее строкам и столбцам.
Матрица - столбец N n - это вектор размерностью n .
Матрица A m ,n - это таблица с m строками и n столбцами.
Матричные модели используются для выражения:
- объемов выпуска изделий;
- подетального плана выпуска изделий;
- потребностей в оборудовании;
- потребностей в материальных ресурсах;
- потребностей в трудовых ресурсах.
В матрице-столбце (или в векторе) выпуска изделий N
n
строкам со-
ответствуют виды изделий, а столбцу - объем их выпуска:
N1 
N2 
  
N n  N n , 1    N    N j  ,
j
  
N 
 n
где N n - вектор размерностью n ;
N j - объем выпуска изделия j - ого вида в плановый период, j  1 , n ;
n - количество видов изделий (номенклатура), которое выпускается в
плановый период.
В матрице применяемости деталей Am ,n  строкам соответствуют типы деталей, а столбцам - виды изделий:
 a1 1 a1 2    a1 j    a1 n 


 a2 1 a2 2    a2 j    a2 n 


 

Am ,n  
 a i j  ,
 ai 1 ai 2    ai j    ai n 


                      


 am 1 am 2    am j    am n 
7


где aij - количество деталей i - ого типа i  1 , m , используемых в про-


изводстве единицы изделия j - ого вида j  1 , n ;
m - количество типов деталей, используемых в производстве плановых изделий.
Количество деталей каждого типа, необходимое для производства запланированных изделий, определяется вектором (матрицей-столбцом)
выпуска деталей K m , полученным из матричного произведения:
 k1 
 
K m  K m , 1  Am ,n   N n , 1   k 2   k i  ,

k 
 m
где k i - количество деталей i - ого типа.
Примечание. Произведение двух матриц производится по правилу
"строка на столбец" и возможно, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом такого произведения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго сомножителя.
Если матрицу-столбец K m разделить на число рабочих дней в плановом периоде, то можно получить суточную программу выпуска деталей.
Потребность в оборудовании при производстве изделий рассчитывается
с использованием матрицы Be ,n  , строкам которой соответствуют виды оборудования, а столбцам - виды изделий:
 b1 1 b1 2  b1 n 
b b b 
2n 
Be ,n    2 1 2 2
 bi j ,








 be 1 be 2  be n 
где bi j - затраты времени использования единицы оборудования i -ого




вида i  1, e на производство единицы изделия j -ого вида j  1 , n ;
e - количество видов оборудования, используемых в производстве плановых изделий.
Продолжительность времени работы единицы оборудования каждого вида для производства запланированных изделий определяется вектором
(матрицей - столбцом) L e , полученным из матричного произведения:
 l1 
 
L e  Le , 1  Be , n   N n , 1   l 2   l i ,

l 
 e
где l i - количество времени работы единицы оборудования i -ого вида.
8
Разность между фактическим фондом времени работы каждого вида
оборудования и расчетным фондам покажет дефицит времени работы по
каждому виду оборудования.
Потребность в материальных ресурсах для производства изделий рассчитывается с использованием матрицы Q g ,n  , строкам которой соответствуют виды материалов, а столбцам - виды изделий:
 q1 1 q1 2  q1 n 
q q q 
2n 
Q g ,n    2 1 2 2
 qi j  ,








 qg 1 qg 2  qg n 
где qij - затраты материала i - ого вида i  1 , g на производство едини-




цы изделия j -ого вида j  1 , n ;
g - количество видов материалов.
Количество материала каждого вида, необходимое для выполнения
плана выпуска изделий, определяется вектором (матрицей-столбцом) R g ,
получаемым из матричного произведения:
 r1 
r 
R g  R g , 1  Q g ,n   N n , 1    2   ri  ,
r 
 g
где ri - количество материала i - ого вида.
Для расчета необходимых трудовых ресурсов используется матрица
T p ,n  , строкам которой соответствуют виды специальностей рабочих, а
столбцам - виды изделий:
 t1 1 t1 2  t1 n 
t t t

2
1
2
2
2
n
  t i j  ,
T p ,n   
 
 t p1 t p 2  t p n 
где t i j - время работы рабочего i -ой специальности i  1 , p , затрачива-




емое на изготовление единицы изделия j - ого вида j  1 , n ;
p - количество специальностей рабочих.
Затраты рабочего времени рабочим каждой специальности, необходимые для выполнения плановой программы выпуска изделий, определяются
вектором (матрицей-столбцом) S p , получаемым из матричного произведения:
9
 s1 
s 
S p  S  p , 1  T p ,n   N n , 1    2   s i  ,
s 
 p
где si - количество времени работы рабочего i -ой специальности.
Разность между фактическим фондом времени по каждой специальности
и расчетным фондом выявляет дефицит времени по каждой специальности.
1.2. Математическая модель межотраслевого баланса
Балансовый метод - это принятый в практике планирования метод взаимного сопоставления ресурсов и потребностей в них.
Межотраслевой баланс представляется в виде матричной модели:
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
Конечная Валовая
продукция продукция
2
x 12
x 22

xn 2

1
2

n
1
x 11
x 21

xn 1




n
x1 n
x2 n

x nn
Оплата труда
v1
v2

vn
v кон
Чистый доход
m1
m2

mn
mкон
Валовая
продукция
X1
X2

Xn
y1
y2

yn
X1
X2

Xn
Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального
производства ( n отраслей). Каждая отрасль в балансе фигурирует дважды:
как производящая и как потребляющая.
Введены следующие обозначения:
x i j - стоимость средств производства, произведенных в i -ой отрасли и
потребляемых в качестве материальных затрат в j -ой отрасли;
y i - финансовые затраты вне сферы материального производства, т.е.
для целей конечного потребления;
v j - оплата труда работников j -ой отрасли;
m j - чистый доход j -ой отрасли;
X i - стоимость валовой продукции i -ой отрасли.
Обратим внимание на то, что все числовые значения в представленной
матричной модели имеют стоимостное выражение. Это позволяет сопоставить их.
10
Та часть произведенной валовой продукции, которая используется в
сфере материального производства как средства производства обозначается
x i j ( i - где произведена, j - где используется).
Распределение продукции описывается n уравнениями по строкам модели:
n
X i   xi j  yi ,
i  1, n .
j 1
Структура материальных затрат и чистой продукции описывается
n уравнениями по столбцам модели:
n
X j   xi j  v j  m j ,
i 1
где
v
n
 xi j
- перенесенная на продукт стоимость,
i 1
 m j  - вновь созданная стоимость.
Общие итоги равны между собой:
j
n
n
i 1
i 1
n
n
j 1
i 1
X   Xi  
n
n
j 1
i 1
n
n
n
j 1
j 1
j 1
 xi j   yi ,
X Xj 
 xi j   v j   m j ,
n
n
n
i 1
j 1
j 1
 yi   v j   m j .
Основное правило балансового метода заключается в балансе стоимости, т.е. в обязательном равенстве итогов строк и столбцов.
1.3. Использование модели межпродуктового баланса
в производственном планировании
При производственном планировании обычно известен заказ, т.е. объем
необходимой конечной продукции Y , и требуется определить, какой объем
валовой продукции X нужен для выполнения этого заказа. Т.о., стоит задача
выразить X через Y .
Рассмотрим уравнения, соответствующие строкам модели и описывающие распределение продукции (межпродуктовый баланс):
n
X i   xi j  yi ,
i  1, n .
j 1
Производственные связи между отраслями измеряются с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:
xi j
ai j 
,
Xj
11
каждый из которых показывает, сколько единиц продукции i -ой отрасли
непосредственно затрачивается в качестве средств производства на выпуск
единицы продукции j -ой отрасли.
Тогда
n
X i   ai j  X j  yi ,
i  1, n ;
j 1
или в матричной форме
X n  An ,n   X n  Y n ,
где An ,n   a i j  - матрица коэффициентов прямых затрат.
Если известна An ,n , то имеется n уравнений с 2n неизвестными и возможны три варианта расчета:
дано X n (валовые выпуски продукции всех отраслей), найти Y n (конечная продукция);
дано Y n , найти X n ;
дано X
nk
и Y k , найти X
k
и Y nk .
Выразим валовую продукцию непосредственно через конечную:
Xn, 1  An,n  Xn, 1  Yn, 1 ,
En,n  Xn, 1  An,n  Xn, 1  Yn, 1 ,
En,n  Xn, 1  An,n  Xn, 1  Yn, 1 ,
En,n  An,n  Xn,1  Yn,1 ,
E
n, n 
 An,n   En,n  An,n  Xn, 1  En,n  An,n   Yn, 1 ,
En, n  X
X
1
1
 En, n  An. n  Y n ,
1
n
 En ,n   An .n   Y n ,
1
n
 1 0 ... 0 


где E n .n    0 1 ... 0  - единичная матрица;
... ... ... ...
 0 0 ... 1 


 b1 1 b1 2  b1 n 
b b b 
21 2 2
2n 
En,n  An,n 1  Bn,n  
 bi j  - обратная матрица







 bn 1 bn 2  bn n 
Леонтьева, представляющая собой матрицу коэффициентов полных материальных затрат, т.е. коэффициент bi j показывает потребность в валовом выпуске продукции отрасли i для производства единицы конечной продукции отрасли j .
12
Выводы по первому разделу
Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел. Но если
каждой строке и каждому столбцу этой таблицы поставить в соответствие
некоторые экономические объекты, то матрица становится моделью, элементы которой численно отражают взаимосвязь этих экономических объектов.
Действия над такими матричными моделями позволяют рассчитать необходимые показатели в производственном планировании:
- количество деталей каждого типа, требуемое для производства запланированных изделий, а также суточную программу выпуска деталей;
- продолжительность времени работы единицы оборудования каждого
вила для производства запланированных изделий, а также дефицит времени
работы по каждому виду оборудования;
- количество материала каждого вида, необходимое для выполнения
плана выпуска изделий;
- затраты рабочего времени рабочим каждой специальности, необходимые для выполнения плановой программы выпуска изделий, а также дефицит
времени по каждой специальности.
Матричная модель межотраслевого баланса описывает (по строкам) распределение продукции, а также (по столбцам) структуру материальных затрат и чистой продукции в качестве суммы перенесенной на продукт стоимости и вновь созданной стоимости. Основное правило заключается в балансе
стоимости, т.е. в обязательном равенстве итогов строк и столбцов.
Межпродуктовый баланс описывает распределение продукции. Производственные связи между отраслями измеряются с помощью матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Валовая продукция непосредственно выражается через конечную продукцию с помощью матрицы коэффициентов полных материальных затрат (обратной матрицы Леонтьева).
Вопросы для самопроверки
- Что представляет собой матричная модель?
- Для выражения каких показателей в производственном планировании
используются матричные модели?
- Чему соответствуют строка и столбцы в матрице выпуска изделий, в
матрице применяемости деталей, в матрице выпуска деталей?
- Как определяется продолжительность времени работы единицы оборудования каждого вида для производства запланированных изделий?
- Каким образом определяется количество материала каждого вида, необходимое для выполнения плана выпуска изделий?
13
- Как рассчитываются затраты рабочего времени рабочим каждой специальности, необходимые для выполнения плановой программы выпуска изделий?
- Что описывается уравнениями по строкам и по столбцам матричной
модели межотраслевого баланса?
- Что показывает каждый коэффициент прямых материальных затрат?
- Какие возможны варианты расчета валовых выпусков продукции всех
отраслей и конечной продукции?
- Что показывает каждый коэффициент полных материальных затрат?
Примеры решения задач
1. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов
сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы A :
вид
сырья

1234
2 3 4 5 1 

 2  вид
A4 , 4    1 2 5 6 
 изделия
7 232
4 5 6 8 3 

 4 
Требуется найти затраты сырья каждого вида, необходимые для выполнения заданного плана выпуска изделий, соответственно: 60 , 50 , 35 , 40 .
РЕШЕНИЕ. Составим вектор-план выпуска продукции
q1, 4   60,50,35,40 .
Тогда решение задачи задается вектором затрат, координаты которого и
являются величинами затрат сырья по каждому его виду. Этот вектор затрат
вычисляется как произведение вектора q 4 на матрицу A4 , 4  :
2 3 4 5


q1, 4   A4 , 4   60 , 50 , 35 , 40   1 2 5 6  
7 232
4 5 6 8


Т
 120  50  245  160 


  180  100  70  200   575,550,835,990
240  250  105  240
 300  300  70  320 


14
2. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются той же матрицей
вид
сырья

1234
.
1
2 3 4 5

 1 2 5 6  2  вид
A4 ,4   
 изделия
7 2 3 2
4 5 6 8 3 

 4 
И задан такой же план выпуска изделий по их видам X 1, 4  соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.
Известны:
- себестоимости единицы каждого вида сырья C 4 ,1 соответственно
4, 6, 5, 8 ден. ед.;
- себестоимости доставки единицы каждого вида сырья P4 , 1 соответственно 2, 1, 3, 2 ден. ед.
Требуется найти:
а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции при заданном
плане их выпуска;
б) общие затраты на перевозку сырья для каждого вида продукции при
заданном плане их выпуска;
в) общие затраты на сырье и его транспортировку при заданном плане
выпуска.
РЕШЕНИЕ.
а)
A4 , 4   C 4 ,1  60 , A4 , 4   C 4 ,1  50 , A4 , 4   C 4 ,1  35 , A4 , 4   C 4 ,1  40 






 5160 ,4450 ,2485 ,5600 



б)
A4 , 4   P4 ,1  60 , A4 , 4   P4 ,1  50 , A4 , 4   P4 ,1  35 , A4 , 4   P4 ,1  40 
 1740 ,1550 ,1015 ,1880 

в)
X 1, 4   A4 , 4   C 4 ,1  X 1, 4   A4 , 4   P4 ,1  23880 
3. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве, характеризующемся вектор-планом X 3  10 , 7 , 4  . Для его изготовления используются 5 видов сырья. Известна матрица
15

 

виды сырья
,
 5 10 3 9 2  
вид


A3 , 5   a i k  4 8 5 6 8 
 6 12 4 3 10   продукции

 
где a i k характеризует расход k  ого вида сырья на 1 ед. i  ого вида
продукции. Наконец, вектор C 5  7 , 4 , 5 , 10 , 2  задает стоимость 1 ед.
каждого вида сырья.
Определить: 1)необходимое количество единиц сырья каждого вида для
обеспечения плана, 2)стоимость сырья для единицы каждого вида продукции
и 3)общую стоимость всего сырья для всей продукции.
РЕШЕНИЕ.
1) X 1, 3   A3,5   102,204,81,144,116
 184 
2) A3 , 5   C 5 , 1    161 
 160 


3) X 1, 3   A3,5   C5 ,1  3607
4. По данным отчетного периода получен следующий баланс трехотраслевой экономической системы:
Потребители
Конечная
Валовая
№ отраслей
продукция
продукция
1
2
3
20
40
30
110
200
1...
30
16
60
54
160
 2...
 3...
10
24
16
150
200
Y3
Определить следующие экономические показатели:
коэффициенты прямых затрат;
коэффициенты полных затрат;
валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт
 130 , 60 , 160  .
РЕШЕНИЕ.
Расчет коэффициентов прямых затрат: a i j 
xi j
Xj
,
16
a1 2
a1 3
a2 3
a3 3
x3 1

10
 0 ,05;
X 1 200
x
24
 32 
 0 ,15;
X 2 160
x
16
 33 
 0 ,08.
X 3 200
a3 1 
a3 2
x2 1

30
 0 ,15;
X 1 200
x
16
 22 
 0 ,1;
X 2 160
x
60
 23 
 0 , 3;
X 3 200
a2 1 
a2 2
x1 1
20
 0 ,1;
X 1 200
x
40
 12 
 0 , 25;
X 2 160
x
30
 13 
 0 ,15;
X 3 200
a1 1 

 0 ,1 0 , 25 0 ,15 
A3 , 3    0 ,15 0 ,1 0 , 3 


 0 ,05 0 ,15 0 ,08 
17
Расчет
коэффициентов
B3 , 3   E3 , 3   A3 , 3   
  1 0 0   0 ,1 0 , 25

   0 1 0    0 ,15 0 ,1
  0 0 1   0 ,05 0 ,15
 

1
 0 ,9  0 , 25  0 ,15 
   0 ,15 0 ,9
 0 ,3 


  0 ,05  0 ,15 0 ,92 
 1,19 0 , 38 0 , 32 
  0 , 23 1, 25 0 ,45 


 0 ,1 0 , 22 1,18 
полных
затрат:
1
1
0 ,15  

0 ,3   

0 ,08  

1
Определение валового выпуска отраслей:
X 3 , 1  E3 , 3   A3 , 3   Y3 , 1 
 1,19 0 ,38 0 ,32   130 
  0 ,23 1,25 0 ,45    60  

 

 0 ,1 0 ,22 1,18   160 
 229,37 
  176,62 


 215,18 
1
Задания для самостоятельной работы
1. Химическое предприятие состоит из двух основных цехов и одного
вспомогательного, каждый из которых выпускает один вид продукции. В
следующей таблице указаны расходные коэффициенты (“прямые” затраты)
a i k единиц продукции i  ого цеха, используемые как “сырье” (“промежуточный продукт”) для выпуска единицы продукции k  ого цеха, а также количество единиц y i продукции i  ого цеха, предназначенных для реализации (конечный продукт).
Потребление
Конечный
Производство
продукт
Цеха
I
II
III
yi
I
0
200
0
200
II
40
0
260
100
III
0
100
600
300
Определить коэффициенты полных затрат.
1
Обратная матрица рассчитана на ПК с помощью Excel
18
2. Дан следующий межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства.
Потребления
КонечВаловой
Отрасли
1
2
3
Итого
ный провыпуск
дукт
Производства
1
10
5
40
55
45
100
2
30
30
60
40
100
3
20
40
60
140
200
Определить следующие экономические показатели:
1) коэффициенты прямых затрат;
2) коэффициенты полных затрат;
3) валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт Y 3  100 , 50 , 80 .
3. Имеется трехотраслевая модель, характеризующаяся следующей
структурной матрицей коэффициентов прямых затрат:
0
0 
 0

A3 , 3   0 ,1 0 ,6 0 ,25  .


0 
 0 ,3 0 ,2
В данном случае первая нулевая строка показывает, что продукция 1-ой
отрасли идет только на образование конечного продукта.
Определить валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт Y 3  10 15 5  .
4. Дана следующая структурная матрица коэффициентов прямых затрат:
 0 ,2 0 0 ,2 
A3 , 3    0 ,6 0 ,4 0 ,1  .


0
,
1
0
,
5
0


Рассчитать коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат и
валовой выпуск для вектора конечного продукта Y 3  100 , 500 , 200  .
5. Пусть структурная матрица коэффициентов прямых затрат имеет вид:
0 ,2 0 ,5 
A2 , 2   
.
 0 ,7 0 ,1 
Найти ассортиментный вектор Y 2 при X 2   120  .
 100 
6. Определить структурную матрицу A2 , 2  коэффициентов прямых затрат по следующей матрице коэффициентов полных затрат:
19
1 ,7 0 ,9 
S 2 , 2   
.
 1 ,2 1 ,7 
7. Дана следующая трехотраслевая линейная модель:
Потребление Сельское хоПромышПрочие отзяйство
ленность
расли
Производство
1. Сельское хозяйство
10
60
15
2. Промышленность
60
120
10
3. Прочие отрасли
10
30
5
Конечный
продукт
15
110
5
Определить коэффициенты полных затрат.
8. По данным отчетного периода получен
левой экономической системы:
Потребители
№ отраслей
1
2
20
40
1...
2
...
Производители 
30
16
 3...
10
24
следующий баланс трехотрас-
3
30
60
16
Конечная
прод-ция
110
54
150
Валовая
прод-ция
200
160
200
Определить следующие экономические показатели:
4) коэффициенты прямых затрат;
5) коэффициенты полных затрат;
6) валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт Y 3  130 , 60 , 160  .
9. Имеется трехотраслевая модель, характеризующаяся следующей
структурной матрицей коэффициентов прямых затрат:
 0 ,3 0 ,1 0 
A3 , 3    0 ,2 0 ,3 0 ,2  .


 0 ,1 0 0 ,1 
Определить валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт Y 3  10 15 5  .
10. Дана следующая структурная матрица коэффициентов прямых затрат:
 0 ,4 0 ,1 0 ,2 
A3 , 3    0 ,3 0 ,2 0 ,1  .


0
,
1
0
,
4
0


Рассчитать коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат и
валовой выпуск для вектора конечного продукта Y 3  100 , 500 , 200  .
20
11. Пусть структурная матрица коэффициентов прямых затрат имеет
вид:
0 ,2 0 ,5 
A2 , 2   
.
 0 ,7 0 ,1 
Найти ассортиментный вектор Y 2 при X
2
  120  .
 100 
12. Определить структурную матрицу A2 , 2  коэффициентов прямых затрат
по
следующей
матрице
коэффициентов
полных
затрат:
1 ,7 0 ,9 
S 2 , 2   
.
 1 ,2 1 ,7 