ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ЯРОСЛАВСКОЙ ОБЛАСТИ Методическая разработка на тему: Деятельностный подход в обучении математике (на материале 5-6 классов). Учителя математики лицея № 86 г. Ярославля Кукушкиной Анны Владимировны. Научный руководитель: к.п.н., доцент кафедры ТМОМ ЯГПУ им. К. Д. Ушинского Корикова Т. М. Ярославль, 2010. Деятельностный подход в обучении математике (на материале 5-6 классов). Содержание: Введение………………………………………………………………………………………… 4 Ι глава. Деятельностный подход в обучении математике и его основные особенности…...6 §1. Сущность деятельностного подхода в обучении……………………………………….6 1.1. Принципы деятельностной теории учения………………………………………….6 1.2. Основные положения теории учебной деятельности………………………………6 1.3. Приемы учебной деятельности………………………………………………………8 1.4. Методические требования к обучению приемам учебной деятельности………...9 1.5. Деятельностный подход к обучению и уровни усвоения………………………….9 1.6. Основные особенности деятельностного подхода в обучении…………………..10 §2. Обучение математике на основе формирования приемов учебной деятельности….11 2.1. Содержание учебной математической деятельности, определяемое общими целями математического образования……………………………………………..12 2.2. Классификация приемов учебной деятельности в школьном курсе математики…………………………………………………………………………..13 2.3. Выбор форм, методов и средств управления учебным процессом по математике…………………………………………………………………………...14 2.4. Деятельность учителя в учебном процессе по математике на основе деятельностного подхода…………………………………………………………...15 2.4.1. Этапы педагогической деятельности на основе деятельностного подхода………………………………………………………………………...15 2.4.2. Комплексная диагностика готовности учащихся к учебной деятельности…………………………………………………………………..16 2.4.3. Контроль, коррекция и оценка учебной деятельности учащихся…………16 2.4.4. Обоснование выбора деятельностного подхода при обучении математике…………………………………………………………………….17 §3. Особенности обучения математике с учетом возраста и психического развития учащихся 5-6 классов…………………………………………………………………..18 3.1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов………………………………….18 3.2. Особенности психического развития детей 10-12 лет в связи с обучением геометрии……………………………………………………………………………19 3.3. Приемы учебной деятельности, формируемые при обучении математике в 5-6 классах..………………………………………………………………………….20 ΙΙ глава. Методика формирования приемов учебной деятельности при обучении математике в 5-6 классах...…………………………………………………………..22 §1. Методика изучения темы делимость…………………………………………………..22 1.1. Основные цели изучения темы «Делимость чисел» и формируемые при этом приемы учебной деятельности……………………………………………………..22 1.2. Использование приемов учебной деятельности при формировании понятий делителя и кратного числа………………………………………………………….24 ~2~ 1.3. Формирование приема доказательства синтетическим методом при доказательстве признаков делимости на 2, 5, 10………………………………….30 1.4. Планирование урока по теме: «Признаки делимости на 3 и на 9»………………32 §2. Формирование приемов учебной деятельности в курсе наглядной геометрии 5-6 классов……………………………………………………………………………....35 2.1. Проблема пропедевтики изучения геометрии……………………………………35 2.2. Рабочая программа учебного курса наглядной геометрии………………………36 2.3. Формирование геометрической деятельности учащихся………………………..40 2.3.1. Формирование действий наблюдения и развитие воображения………...40 2.3.2. Формирование графических действий и навыков конструирования …..47 2.3.3. Формирование действий измерения ………………………………………51 2.3.4. Примеры организации занятий по формированию приемов исследовательской деятельности учащихся ………………………………54 Заключение……………………………………………………………………………………..62 Литература……………………………………………………………………………………...63 Приложения…………………………………………………………………………………….64 ~3~ Китайская мудрость гласит: «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю». Введение. Перемены, происходящие в мире и обществе за последние десятилетия, коснулись образовательной сферы в полной мере. Если раньше основной целью процесса обучения являлось усвоение всей суммы знаний, которое выработало человечество, то сегодня на первый план выходит личность ученика, способность его к самоопределению и самореализации, умению самостоятельно принимать решения и доводить их до исполнения, а также к рефлексивному анализу своей деятельности. [21]. Это связано с тем, что объем научной информации стремительно возрастает – за каждые 10 лет он удваивается. Поэтому сколь бы прочны и обширны ни были знания ученика, он может испытывать затруднения перед лавиной обрушившихся на него задач и проблем, если не научится учиться, изменять себя, если у него не будет сформирована потребность и способность к самоизменению, самовоспитанию и саморазвитию. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования ориентирован не только на знаниевый, но в первую очередь на деятельностный компонент образования, что позволяет повысить мотивацию обучения, в наибольшей степени реализовать способности, возможности, потребности и интересы ребенка. Федеральный компонент направлен на реализацию следующих основных целей: формирование целостного представления о мире, основанного на приобретенных знаниях, умениях, навыках и способах деятельности; приобретение опыта разнообразной деятельности (индивидуальной и коллективной), опыта познания и самопознания; подготовка к осуществлению осознанного выбора индивидуальной образовательной или профессиональной траектории. Одной из важнейших задач основной школы является подготовка обучающихся к осознанному и ответственному выбору жизненного и профессионального пути. Условием достижения этой задачи является последовательная индивидуализация обучения, предпрофильная подготовка на завершающем этапе обучения в основной школе. В основной школе обучающиеся должны научиться самостоятельно ставить цели и определять пути их достижения, использовать приобретенный в школе опыт деятельности в реальной жизни, за рамками учебного процесса.[22]. Реализация в полной мере поставленных целей и задач при традиционном подходе к процессу обучения невозможна. Для организации педагогического процесса, отвечающего новой парадигме образования, недостаточно переосмысления и преобразования отдельных его звеньев; необходимо совершенствование всей методической системы обучения в целом. ~4~ Достижение вышеуказанных целей обучения возможно на базе реализации деятельностного подхода, который направлен на развитие каждого ученика и на формирование его индивидуальных способностей. Исследования психологов и педагогов, опыт учителей-новаторов показывают: чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включить их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Для этого нужно выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности («зачем учиться математике»), обучить способам ее осуществления и регулирования («как учиться»). Наиболее рациональные способы (приемы) учебной деятельности тесно связаны с содержанием предмета, помогают понять его логическую структуру, на их основе формируются необходимые умения и навыки. [5]. Поэтому цель данной работы: раскрыть суть деятельностного подхода при обучении математике (основанного на формировании приемов учебной деятельности) и показать его использование при обучении математике на материале курса математики 5-6 классов. Для реализации вышеуказанной цели мною были поставлены следующие задачи: 1. Изучить научную и психолого-педагогическую литературу по проблеме деятельностного подхода в обучении математике. 2. Обобщить опыт работы коллег по использованию деятельностного подхода в обучении. 3. Выделить основные приемы учебной деятельности, формируемые на уроках математики в 5-6 классах, и разработать методику их формирования. 4. Разработать дидактический материал по применению деятельностного подхода на уроках математики в 5-6 классах. Средний школьный возраст был выбран не случайно. Я работаю в среднем и старшем звене и считаю, что обучение приемам учебной деятельности необходимо начинать как можно раньше, т.к. это позволяет получить более высокий уровень сформированности приемов учебной деятельности в дальнейшем, а следовательно и более высокий уровень умения учиться. ~5~ Ι глава. Деятельностный подход в обучении математике и его основные сти. особенно- §1. Сущность деятельностного подхода в обучении. 1.1. Принципы деятельностной теории учения. Опираясь на работу Н. Ф. Талызиной «Педагогическая психология» [12] выделим три фундаментальных принципа деятельностной теории учения. 1) Деятельностный подход к учению предполагает систему деятельности субъекта. Деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом, потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями. 2) За единицу анализа учения принимают действие, т.к. оно имеет ту же структуру, что и деятельность: цель, мотив, объект, на который оно направлено, определенный набор операций, реализующих действие; образец по которому оно совершается субъектом; кроме того, действие как и деятельность принадлежит субъекту. Действия тесно связаны с образами и операциями: Образ всегда есть результат, продукт определенных действий. Операции составляют психологический механизм образов. Использование образа в процессе решения задач происходит путем включения его в то или иное действие. Ведущая роль в этой связи принадлежит действию. Образ без действия субъекта не может быть ни сформирован, ни восстановлен, ни использован. 3) Учение и воспитание – специально организованные виды деятельности людей, в процессе которой они усваивают опыт предыдущих поколений. При подходе к процессу учения как к деятельности, знания не противопоставляются умениям, а рассматриваются как их составная часть. Критерий знания также неотделим от действий. Знать – это всегда выполнять какую-то деятельность или действия, связанные с данными знаниями. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов деятельности, в которых знания могут функционировать. И если при традиционном подходе основная задача обучения – передача знаний и формирование умений по их применению, то при деятельностном подходе задача обучения – сформировать такие виды деятельности, которые включают в себя систему знаний и обеспечивают их применение в заранее предусмотренных пределах. Согласно принципу социальной природы психического развития человека, познавательные возможности учащихся не являются врожденными, а формируются в процессе обучения. Поэтому задача учителя, на мой взгляд, заключается в поиске путей формирования тех видов деятельности, которых недостает ученику. 1.2. Основные положения теории учебной деятельности. При изложении теоретической части мы будем опираться на работы О. Б. Епишевой и Н.Ф. Талызиной.[4, 5, 12]. Рассмотрим основные понятия, входящие в определение деятельности. Предмет деятельности – то, на что направлен процесс деятельности. Потребность в деятельности – это основной источник активности человека, его нужда в предмете деятельности. ~6~ Форма проявления потребности – мотив – это то, что побуждает человека к деятельности, связано с удовлетворением определенной потребности. Центральную роль в учебной деятельности играет учебно-познавательный интерес. Цель деятельности – ее направленность на определенный результат. В учебной деятельности можно выделить две группы целей: цели учителя (для чего и чему учить) и цели учащихся (для чего и чему учиться). В учебном процессе часто ведущим способом целеполагания является задание целей извне, но внешнее требование учителя далеко не всегда превращается в ту цель, которую ставит себе ученик, что в свою очередь может приводить к переопределению цели. Поэтому надо стремиться к тому, чтобы учащиеся самостоятельно определяли цели. Без умения ставить цели и достигать их потребности и мотивы остаются нереализованными. Цели деятельности определяют выбор действий, условия достижения цели – выбор операций. Под учебной деятельностью психологи понимают деятельность учащихся, направленную на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемов решения, связанных с ним задач. познавательная деятельность учебная деятельность учебнопознавательная деятельность Для школьников познавательная деятельность протекает, как правило, в учебнопознавательной форме. При правильной организации учебной деятельности у учащихся возникает потребность в овладении новыми знаниями. Возникновение потребности во многом зависит от постановки учебной задачи. Учебная задача является основным структурным компонентом учебной деятельности и представляет собой обобщенную цель деятельности, поставленную перед учащимися в виде обобщенного учебного задания. Обобщенное учебное задание создает учебную проблему (проблемную ситуацию), решая которую ученики овладевают соответствующими знаниями и умениями, развивают свои личностные качества, направленные на «умение учиться», т.е. достигают поставленной цели. Учебная задача разрешается через систему учебных заданий, которые помогают учащимся осознать цели учебной деятельности, что в свою очередь влияет на формирование ее положительных мотивов. Учебные задания выполняются при решении конкретных предметных задач (математических, биологических и др.). В учебной деятельности выделяют три звена: 1) мотивационно-ориентировочное; 2) исполнительское; 3) контрольно-оценочное. ~7~ мотивационноориентировочное звено • постановка учебной задачи исполнительское звено • учебные действия для решения учебной задачи контрольнооценочное звено • контроль за выполнением действий второго звена и оценка усвоения способа действий Из сказанного выше следует, что обучение и развитие ученика происходит только в процессе целенаправленной учебной деятельности. Это положение составляет основу деятельностного подхода к обучению. Он предполагает такую организацию деятельности учащихся в процессе обучения, при которой создаются условия для эффективного усвоения учащимися знаний и способов деятельности, для их развития.[4]. 1.3. Приемы учебной деятельности. Прием деятельности определяется как система действий, выполняемых в определенном порядке и служащих для решения учебных задач. О. Б. Епишева выделяет следующие существенные признаки приема деятельности: 1) Прием – наиболее рациональный способ работы, состоящий из отдельных действий. 2) Состав приема может быть выражен в виде правила, инструкции и т.п.; 3) Правильный прием допускает обобщение, специализацию и конкретизацию; 4) Прием обладает свойством переносимости на другую задачу; 5) Прием можно перестроить и создать на его основе новый прием. Приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач. Степень овладения учащимся приемом учебной деятельности характеризуется терминами «умение» и «навык». Владение совокупностью общеучебных приемов учебной деятельности называют умением учиться. Существует два пути усвоения приемов деятельности – стихийный и управляемый. В первом случае приемы специально не изучаются, их формирование идет (или не идет) лишь по ходу усвоения знаний, в процессе решения задач и т.п. При этом они остаются недостаточно осознанными, недостаточно обобщенными и ограниченными в своем применении. Во втором случае приемы учебной деятельности являются предметом специального изучения и усвоения. При этом сокращается время формирования приемов деятельности, повышается уровень самостоятельной учебной деятельности учащихся. ~8~ Современные педагогические исследования свидетельствуют, что при обучении приемам учебной деятельности учащиеся показывают более высокий уровень усвоения предмета, более высокий уровень мышления и умения учиться. 1.4. Методические требования к обучению приемам учебной деятельности. Рассмотренные выше положения теории учебной деятельности позволяют сформулировать основные требования к методике формирования приемов учебной деятельности в процессе обучения математике: 1) Основой обучения учащихся является формирование приемов учебной деятельности. 2) Приемы учебной деятельности учащихся должны быть включены в программу обучения на год, что позволяет увидеть, какими приемами должны овладеть учащиеся на данной ступени обучения, какими приемами они могут овладеть в силу своих возрастных и индивидуальных особенностей и содержания обучения. 3) Выбор методов обучения должен быть связан с этапами формирования приемов учебной деятельности. На основе анализа психолого-дидактических исследований выделяют следующие этапы этого процесса: 1. Диагностика сформированности приемов учебной деятельности; 2. Постановка целей учебной деятельности и принятие их учащимися; 3. Инструктаж о способах учебной деятельности – введение приема; 4. Отработка приема; 5. Оперативный контроль и коррекция процесса формирования приема; 6. Применение приема; 7. Обобщение и перенос усвоенного приема; 8. Закрепление обобщенного приема; 9. Обучение нахождению новых приемов. 4) Контроль за процессом формирования приемов учебной деятельности учащихся должен включать в себя специальные задания на проверку их усвоения. 1.5. Деятельностный подход к обучению и уровни усвоения. Как отмечалось выше, психологическую основу концепции деятельностного подхода к обучению составляет положение: усвоение содержания обучения и развитие ученика происходят не путем передачи ему некоторой информации, а в процессе его собственной активной деятельности. Знания приобретаются и проявляются только в деятельности. За умениями, навыками и развитием ученика всегда стоит действие с определенными характеристиками (восприятие, осознание, запоминание, воспроизведение и т.д.). Эти действия образуют полный цикл учебнопознавательной деятельности по усвоению содержания обучения. восприятие осмысление запоминание контроль и оценка усвоения обобщение и систематизация информации применение ~9~ Из этого положения следует понятие уровень усвоения – способность учащегося выполнять целенаправленные действия по решению определенного класса задач, связанных с использованием объекта изучения. Изучив работу В. П. Беспалько [2] и психолого-педагогические исследования по разработке и применению педагогических технологий, можно установить связь уровней усвоения, уровней учебно-познавательной деятельности с процессами полного цикла УПД. (См. таблицу ниже) . Уровень усвоения знаний и способов деятельности Ι – уровень знакомства Уровень учебнопознавательной деятельности учащихся уровень воспроизведения ΙΙ –уровень «репродукции» уровень репродуктивной деятельности ΙΙΙ –уровень умений уровень поисковой деятельности ΙV –уровень трансформации уровень творческой деятельности Процессы полного цикла УПД восприятие, первичное обобщение, осмысление осмысление, вторичное обобщение, запоминание и применение в стандартных ситуациях итоговое обобщение и систематизация изученного, его применение в нестандартных ситуациях 1.6. Основные особенности деятельностного подхода к обучению. Изучив психолого-педагогическую литературу по вопросу деятельностного подхода в обучении, я выделила следующие его отличительные особенности. 1) Цели обучения формулируются на языке деятельностей, задач и приемов их решения. Для этого они представляются в виде системы задач, что позволяет однозначно выделить те знания и умения, которые необходимы для решения данных задач. От задачи можно перейти к методу ее решения, к умениям, которые должен усвоить ученик; анализ этих умений позволяет выделить те знания, которым необходимо научить. Анализ всех задач, составляющих содержание целей обучения, позволяет точно выделить систему необходимых логических знаний и умений, которым в традиционном обучении не уделяется должного внимания. задача задача цели Метод решения Необходимое умение Необходимые знания = задача задача __________________________________________________________________________ Система необходимых знаний и умений ~ 10 ~ 2) Деятельностный подход в обучении направлен на формирование приемов учебной деятельности учащихся. 3) Процесс учения рассматривается как деятельность учащихся по самообразованию и саморазвитию. Суть его в том, что ученик должен учиться сам, а учитель – включать ученика в деятельность, соответствующую его зоне ближайшего развития. 4) Деятельностный подход в обучении охватывает все стороны учебного процесса: деятельности учителя и деятельности ученика. При этом происходит совмещение: содержания образования с индивидуальными особенностями ученика, целей усвоения содержания с целями развития ученика, целей учителя с целями ученика, самостоятельной деятельности учащихся с формированием этой деятельности учителем, «поля» учебной деятельности ученика с «полем» управляющей деятельности учителя. §2. Обучение математике на основе формирования приемов учебной деятельности. 2.1. Содержание учебной математической деятельности, обусловленное общими целями математического образования. Согласно технологии деятельностного подхода, разработанного О. Б. Епишевой, общие цели математического образования являются компонентами готовности ученика к самостоятельной учебной математической деятельности. Связь целей обучения с процессами полного цикла УПД показана в таблице. Процессы полного цикла УПД Учебные цели Развивающие цели Восприятие Первичные знания Внимание, представление, воображение Осмысление Понимание Мышление Запоминание Вторичные знания Память, мышление, речь Применение Умения и навыки Мировоззрение Обобщенные знания и умения Умение учиться, элементы творческой деятельности Обобщение Систематизация Воспитательные цели Познавательный интерес, восприятие прекрасного Культура общения Нравственные качества Общая культура, социализация личности Интерес, культура учебной деятельности Уровень УД Ι ΙΙ ΙΙΙ Так как обучение должно быть дифференцированным, то общие цели математического образования дифференцируются по уровням обученности и обучаемости учащихся, затем конкретизируются в зависимости от содержания изучаемого материала, детализируются в зависимости от возраста учащихся, ступени обучения, возможностей изучаемого материала для развития и воспитания учащихся и его места в учебном процессе. ~ 11 ~ При дифференциации, конкретизации и детализации целей изучения определенной темы курса математики необходимо проанализировать: 1) Математическое содержание темы, которое показывает, какими знаниями и умениями математического характера необходимо овладеть для ее усвоения; 2) Приложения математического аппарата темы, которые показывают, где и как его нужно уметь применять; 3) Данные возрастной педагогической психологии об особенностях учебнопознавательной деятельности учащихся данной возрастной группы и их различий в зависимости от уровня обученности и обучаемости, которые показывают, как необходимо дифференцировать цели обучения; 4) Развивающие возможности данного содержания, которые показывают, как его можно использовать для формирования учащегося как интеллектуальной личности; 5) Гуманитарный потенциал данной темы, который показывает, как его можно использовать для развития общей культуры и воспитательного воздействия средствами математики. При традиционном подходе к построению содержания обучения математике выделяют два крупных блока – теоретический материал и математические задачи. Особенности деятельностного подхода обязывают внести в оба блока дополнения, связанные с решением задачи формирования всех необходимых видов учебной деятельности и развитием учащихся. Математическое содержание дополняется содержанием деятельности по его усвоению, развитию и воспитанию учащихся средствами этого содержания, а система математических задач – системой учебных задач, полученных в результате перевода цели в задание тестового типа. Система учебных задач представляется в виде целей деятельности, направленных на овладение приемами учебной деятельности. Учебные задачи должны иметь место в содержании обучения тогда и только тогда, когда цели спроектированы в виде действий ученика и приемы учебной деятельности являются прямым объектом усвоения. Теоретический материал Математические задачи Система учебных задач, представленная в виде целей деятельности Содержание деятельности по усвоению материала 2.2. Классификация приемов учебной деятельности в школьном курсе математики. Как было сказано выше (§1. п.1.3.), при деятельностном подходе цели представленные в виде системы задач позволяют определить систему необходимых знаний и умений ученика, а это в свою очередь позволяет определить систему со~ 12 ~ ответствующих приемов деятельности, которые необходимо сформировать у учащегося. Классификация может быть проведена по различным основаниям. О. Б. Епишева дает классификацию по двум основаниям: 1) тип учебной деятельности учащихся; 2) этапы процесса усвоения знаний и приемов деятельности. Классификация по типу учебной деятельности учащихся Общеучебные приемы Общие приемы УД по математике Специальные приемы УД по отдельным математическим дисциплинам Частные приемы УД Классификация по этапам процесса усвоения Приемы восприятия новых знаний и способов деятельности Приемы самоконтроля и самооценки результатов Приемы переработки и осмысления новых знаний и способов деятельности Приемы запоминания и закрепления изученного Приемы обобщения и систематизации изученного Приемы применения знаний и способов деятельности в различных ситуациях Приемы, входящие в состав первой классификации, используются учащимися на различных этапах полного цикла учебно-познавательной деятельности. Претер~ 13 ~ певая перестройку, они образуют приемы, входящие в состав второй классификации. Например, на этапе восприятия нового понятия учащимся нужен общий прием определения понятия через указание рода и видовых отличий. В дальнейшем этот прием видоизменяется и на его основе строятся приемы подведения под понятие и запоминание определения понятия. 2.3. Выбор методов, форм и средств управления учебным процессом по математике. В психологии показано, что межличностные отношения в процессе общения способствуют формированию личности. В педагогических технологиях для разных этапов учебного процесса характерно использование различных форм учебной деятельности учащихся. В школьной практике традиционно приняты три такие формы: фронтальная, индивидуальная и групповая. Первая предполагает совместное действие всех учащихся класса под руководством учителя, вторая – самостоятельная работа каждого ученика в отдельности, третья – учащиеся работают в группах или парах. При реализации деятельностного подхода в обучении математике большую помощь оказывает именно групповая форма работы. Если группы динамичны, нацелены на субъективную деятельность учащихся, а управление ими осуществляется на основе психологических закономерностей, то это способно эффективно обеспечить индивидуальное развитие учащихся. Для этого учащихся необходимо специально обучать умению действовать в предлагаемых условиях, что в свою очередь реализуется с помощью формирования общих приемов работы в группе. Средства обучения – инструменты деятельности учителя и учеников, представляющие из себя материальные и идеальные объекты, которые вовлекаются в образовательный процесс в качестве носителей информации и инструмента деятельности. С точки зрения деятельностного подхода в обучении важным условием усвоения приемов учебной деятельности учащихся является возможность обращаться к составу приема в любое нужное время. Это значит, что приемы должны быть зафиксированы и представлены в виде так называемых памяток, инструкций, методических указаний и т.п. в средствах обучения, т.к. тоже ими являются. Я работаю по учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика 5 класс», «Математика 6 класс». В данных пособиях перечень приемов учебной деятельности, которые необходимо сформировать при изучении конкретной темы, не предусмотрен. Чтобы восполнить этот недостаток в начале изучения каждой главы учащиеся получают перечень с содержанием обобщенных специальных приемов усвоения всего изучаемого по данной теме материала, а частные приемы фиксируются непосредственно при изучении соответствующих параграфов учебника. Кроме того в начале учебного года учащиеся получают карточки с общеучебными приемами работы с книгой, приемы учебно-познавательной деятельности, организационные приемы учебной деятельности, которые соответствуют их возрасту. Одним из центральных моментов оптимизации учебного процесса, по мнению Ю. К. Бабанского [1], является выбор наиболее эффективных для данного урока методов обучения. Вместе с тем это вызывает существенные затруднения. По мнению О. Б. Епишевой при выборе методов, средств и форм учебного процесса следует руководствоваться следующими принципами: ~ 14 ~ 1) Усвоение приема и овладение основанным на нем способом учебной деятельности являются для ученика основой понимания, приобретения специальных знаний, умений и навыков, а также его развитие средствами учебного предмета и напрямую зависит от уровня сформированности у учащихся приемов учебной деятельности. 2) Между этапами полного цикла УПД, учебного процесса и процесса формирования приемов учебной деятельности существует глубокая связь. 3) Формирование приемов учебной деятельности следует начинать с общеучебных и частных одновременно. 4) Учащиеся разного уровня продвигаются по уровням обучения (по этапам формирования приема) в разном темпе, с различным содержанием формируемых приемов, с разной формой и мерой помощи извне. 5) Важным условием усвоения приемов учебной деятельности учащимися является наличие памяток с составом приемов учебной деятельности. Таким образом, весь методический инструментарий учителя должен соответствовать этапам формирования приема и уровням сформированности приемов учебной деятельности у различных групп учащихся. 2.4. Деятельность учителя в учебном процессе на основе деятельностного подхода. 2.4.1. Этапы педагогической деятельности на основе деятельностного подхода. Участниками педагогического процесса являются учитель и ученики и их взаимодействие можно рассматривать как совместное творчество. Результаты деятельности учителя содержатся в результатах деятельности ученика. С точки зрения деятельностного подхода к обучению основной целью педагогической деятельности учителя является формирование готовности учащихся к самостоятельной учебной деятельности. Этот факт вносит изменения в традиционную схему работы учителя. Изучая работы В. И. Загвязинского [6], Е.И. Лященко [9], Л. Я. Зориной [8] и др. я составила и придерживаюсь в своей работе следующих этапов деятельности: 1) Этап целеполагания. Постановка целей и их дифференциация (по уровням обученности и обучаемости учащихся), конкретизация (в зависимости от изучаемого материала), детализация (в зависимости от возраста учащихся, ступени обучения). 2) Этап диагностики. Проверка исходного состояния познавательной деятельности и соотнесения реальных результатов с планируемыми целями. 3) Этап планирования. Структурирование содержания изучаемого материала. Выбор методов, форм и средств обучения, контроля, коррекции и оценки. 4) Этап дозирования. Определение количества заданий и порядка их предъявления в соответствии с целями и результатами диагностики. 5) Этап обратной связи. Контроль, коррекция и оценка учебной деятельности учащихся. 6) Этап педагогической рефлексии. 2.4.2. Комплексная диагностика готовности учащихся к учебной деятельности. Как провести процедуру целеполагания и сопоставить содержание изучаемого материала в соответствие с целями описывалось выше. Но для того чтобы практически спланировать дифференцированные учебные образовательные цели и опре~ 15 ~ делить дозирование изучаемого материала, необходимо знать, на каком уровне готовности к планируемой деятельности находятся различные учащиеся. Одной из особенностей нашего лицея является отсутствие в нем начальной школы. Набор в пятые классы производится на конкурсной основе. В результате чего, в одном классе оказываются учащиеся из разных школ, обучающиеся по разным программам в начальной школе, имеющие разный уровень подготовки. Поэтому проведение предварительной диагностики готовности учащихся к обучению является одним из условий, позволяющих учителю грамотно организовать работу по достижению поставленных педагогических целей. Входной контроль рекомендуется проводить по следующим направлениям: 1) Диагностика психологической готовности; 2) Диагностика учебной готовности (обученности и обучаемости); 3) Диагностика физиологической и социальной готовности; Основными методами диагностики служат тестирование, анкетирование, наблюдение, беседы. Если в школе работает психолог, то он может своевременно провести входной контроль учащихся пятых классов, еще до начала учебного года, но, чаще всего, учителю приходится самому определять степень готовности своих учеников к обучению. Я, как правило, в своей работе провожу диагностику «новых» учеников по второму и третьему направлениям, используя для этого наблюдение и беседы с учащимися. 2.4.3. Контроль, коррекция и оценка учебной деятельности учащихся. В современных педагогических технологиях предполагается три вида контроля: входной, текущий и итоговый. Входной контроль осуществляется перед началом изучения темы. Его цель определить готовность учащихся к изучению новой темы. Текущий контроль позволяет вовремя выявить и скорректировать основные типы ошибок учащихся при изучении темы. Итоговый контроль позволяет определить уровень усвоения изученной темы. По принципу лица, выполняющего контроль, различают три типа контроля: внешний контроль учителя, взаимоконтроль, самоконтроль. Согласно принципам деятельностного подхода к обучению, необходимо создавать условия для постепенного перехода от внешнего контроля к самоконтролю. Самоконтроль – сложное умение, которое надо у учеников сформировать. Ученик должен научиться организовывать действия контроля, знать, что и как ему необходимо выполнить, чтобы проверить правильность выполненного задания Одним из условий качественного обучения, на мой взгляд, является своевременная диагностика правильности усвоения изучаемого материала и его соответствующая коррекция. В своей работе я использую следующую типологию ошибок: вычислительные ошибки, ошибки в математических записях, речевые ошибки, ошибки в преобразованиях, ошибки в геометрических построениях, ошибки в измерениях, логические ошибки, ошибки связанные с неверным пониманием понятий и т.п. Работая с ошибками учащихся, основными задачами считаю: 1) определить сущность математической ошибки – правило, требование и т.п., которые нарушены или не соблюдены; 2) причина появления ошибки. Для реализации работы над ошибками использую следующие виды совместной учебной деятельности: обмен рабочими тетрадями для взаимопроверки, взаимное ~ 16 ~ обсуждение решения упражнений и задач, групповое выполнение работы над ошибками и др. Для оценки учебной деятельности учащихся я использую рейтинговую систему оценки. Основными причинами такого выбора стали: 1) Оценка не зависит от характера межличностных отношений учителя и ученика; 2) Допускает большой диапазон варьирования заданий; 3) Ученик может сам выбирать стратегию своей учебной деятельности, т.к. оценки предлагаемых видов деятельности определены заранее; 4) Стимулирует стремление к учению; 5) Учитывает всю активную деятельность учащихся; 2.4.4. Обоснование выбора деятельностного подхода при обучении математике. Чтобы обучение стало интересным, на мой взгляд, нужно применять новые технологии, проводить больше нестандартных уроков. Для обеспечения качественной подготовки учащихся, необходимо, чтобы каждый урок достигал своей цели. Это в свою очередь возможно, если содержательная часть урока будет вооружать учащихся знаниями и умениями, а благоприятная атмосфера – вызывать у детей искренний интерес и подлинную увлеченность. Для многих математика является наиболее трудной школьной дисциплиной, поэтому учитель должен сделать так, чтобы дети шли на урок без боязни перед сложностью предмета. Но математика не самое главное в жизни. Главное уметь жить здесь и сейчас, не зависимо от того в какой стране или обществе ты находишься. Моя главная цель на уроке подготовить детей к жизни. Почему я использую на уроке деятельностный подход? 1) Важно научиться получать удовольствие от любой деятельности, чтобы возникало желание заниматься ей еще и еще. 2) Большая часть конфликтов на земле происходит из-за неумения людей договариваться. Я учу на уроке детей деловому общению при решении общей проблемы. 3) Одна из целей обучения – научить детей рефлексии, позволяющей ученику определить, что он уже умеет и чему еще надо научиться. 4) Неуспешен тот, кто не верит в себя. Моя задача помочь детям избавиться от неуверенности в собственных силах. 5) Нужное в жизни качество – умение обосновывать свою точку зрения. Я учу этому через работу в парах и группах. 6) Немаловажен в жизни опыт публичных выступлений. 7) Если человек не ставит перед собой цели, то он останавливается в своем развитии, поэтому на каждом уроке учу детей ставить цели и достигать их. Исходя из выше сказанного, я считаю, что использование деятельностного подхода при обучении математики является наиболее оптимальным, т.к. усиливает акцент на развивающие цели обучения, усиливает мотивацию учения, ускоряет темпы учебных действий, развивает навыки учебной деятельности. В своей работе я ориентируюсь на деятельностный подход в обучении математике разработанный О. Б. Епишевой. [5]. §3. Особенности обучения математике с учетом возраста и психического развития учащихся 5-6 классов. ~ 17 ~ 3.1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов. Средний школьный возраст – период от 10 до 12 лет, когда дети проходят обучение в 5-6 классе современной школы. Дети в возрасте 10-12 лет в основном уравновешены, им свойственно открытое и доверчивое отношение к взрослым. Они ждут от учителей, родителей, других взрослых помощи и поддержки. Однако постепенно особую роль в их жизни начинает играть коллектив сверстников и складывающиеся в нем отношения. В этот период детям свойственна повышенная активность, стремление к деятельности, происходит уточнение границ и сфер интересов, увлечений. Дети данного возраста активно начинают интересоваться своим собственным миром и оценкой самого себя. Центральным и специфическим новообразованием в личности подростка является возникающее у него «чувство взрослости», выражающее новую жизненную позицию по отношению к себе, людям, миру. В этот период подростку становится интересно многое, выходящее за рамки его повседневной жизни. Его начинают интересовать вопросы прошлого и будущего, проблемы войны и мира, жизни и смерти, экологические и социальные темы, возможности познания мира, инопланетяне, ведьмы и гороскопы. Многие исследователи рассматривают этот возраст как период «зенита любознательности», по сравнению с младшими и старшими детьми. Однако эта любознательность весьма поверхностна, а также практически полностью не связана со школьной программой. Недаром среди психологов распространена шутка, что подросток знает все и интересуется всем, что не входит в школьную программу. В мышлении младшего подростка преобладают наглядно-образный и практически действенный компоненты, оно в основном конкретно, с невысоким уровнем аналитико-синтетической деятельности, недостаточной способностью к абстрагированию и владению методами рассуждений; запоминание часто носит непроизвольный и механический характер, учащиеся не умеют ставить цели и установки на запоминание. [11]. Из вышесказанного можно сделать вывод, что при организации процесса обучения необходимо учитывать становление личности младшего подростка. Переход от детства к взрослости сопровождается перестройкой самосознания, интересов, познавательной и учебной деятельности, отношений со взрослыми и сверстниками. Учебная деятельность подростка, оставаясь основной деятельностью, перестает быть определяющей его психическое развитие. Ведущей деятельностью подросткового периода является деятельность общения. [15]. Это является для меня важным моментом при выборе методов и форм организации обучения. Урок для младших подростков – это не только учебная работа, но и ситуация общения с одноклассниками, учителем, насыщенная множеством поступков, оценок и переживаний. Поэтому целесообразно использование групповых и коллективных форм учебной работы, которые дают возможность школьникам совместно обсуждать способы решения учебных задач. Очень важна при этом позиция учителя – признание права школьника быть взрослым. Самостоятельность в учении не должна рассматриваться учителем как точное и полное выполнение данных инструкций, отступление от которых карается словесно и отметкой, т.к. это может привести к появлению противоречия между формирующимся у подростка чувством взрослости и отсутствием условий для его укрепления и развития. Практика показывает, что абстрактное понимание необходимости учения при отсутствии интереса к изучаемым в школе предметам является недостаточным стимулом к учению. В этой связи хотелось бы подчеркнуть важность именно сту~ 18 ~ пени 5-6 классов для всего последующего обучения в школе. Задача этого этапа не только не дать угаснуть интересу ребенка к учению, но и развить его, вывести на новую ступень. Достичь этого можно через включение в процесс обучения таких видов деятельности, которые представляют интерес для младших подростков (игра, рисование, моделирование и пр.). 3.2. Особенности психического развития детей 10-12 лет в связи с обучением геометрии. Возрастные особенности развития детей 10-12 лет рассматривались выше. В данном разделе выделим только те особенности возраста, которые важны для изучения геометрии. Психологические исследования показывают, что развитие мышления ребенка происходит в направлении от наглядно-действенного к наглядно-образному и от образного к логическому. По мнению российских психологов, формирование каждого вида мышления и его преобладание в определенный возрастной период зависит от условий жизни ребенка, характерных для него видов деятельности, форм общения с окружающими и, что особенно важно, от форм обучения. Особенностью же детей 10-12 лет, уникальностью данного возрастного периода, является сосуществование всех трех типов мышления при ведущей роли образного мышления.[11]. Мышление ребенка сначала имеет образную направленность. Оно возникает в форме наглядно-действенного мышления, основной специфической особенностью которого является неразрывная связь с практическими действиями. Данная форма мышления формирует такие звенья мыслительного процесса, как анализ условий задачи, сопоставление полученного результата с заданным и т.д. Необходимо также отметить, что большое значение для развития наглядно-действенного мышления имеют графическая деятельность и конструирование. С течением времени перед ребенком встают более сложные задачи, требующие для своего решения более совершенных форм мыслительной деятельности, которые давали бы возможность преобразовывать ситуацию не в практическом плане, а в мысленном. Возникает новая форма мышления – наглядно-образное мышление, которое позволяет оперировать образами без практических действий. Важно знать, что способность к оперированию образами не является непосредственным результатом усвоения ребенком знаний и умений. Успешный переход от наглядно-действенного к наглядно-образному мышлению зависит от уровня специально организованной деятельности, в процессе же стихийного обучения осуществляется медленно и недостаточно полно. На основе практического и чувственного опыта у учащихся начинает развиваться логическое мышление. Оно выступает, прежде всего, в форме абстрактных понятий и суждений и дает ребенку возможность оперировать гипотетическими утверждениями, мысленно представлять возможные случаи и делать выводы, проверяемые в дальнейшем путем эксперимента или наблюдения. В интересующем нас возрасте, учащиеся уже умеют различать элементы геометрических фигур, устанавливать отношения между этими элементами и отношения между отдельными фигурами, т.е. они способны проводить анализ воспринимаемых фигур. Это происходит в процессе наблюдения, измерения, вычерчивания, моделирования. Свойства фигур устанавливаются экспериментально, при этом они только описываются, но не определяются. Установленные свойства служат для распознавания фигур, но сами свойства еще не связываются друг с другом. Зоной «ближайшего развития» является способность учащихся устанавливать связи между свойствами фигур и самими фигурами; логически упорядочивать их; ~ 19 ~ уяснять возможность следования одного свойства из другого. На этом уровне развития наглядно-образного мышления возможно использование дедуктивных методов познания, которые позволяют из некоторых свойств, «добытых» экспериментально, получать другие свойства рассуждениями. Переход от одного уровня развития мышления к другому не является биологическим процессом, а протекает под влиянием обучения, а значит, зависит от его содержания и методов. Из всего сказанного сделаем вывод: изучение геометрических объектов в 5-6 классе целесообразно путем наглядно-эмпирического познания, которое осуществляется в процессе самостоятельной интеллектуально-практической деятельности учащихся через наблюдение и предметно-практическое преобразование геометрического объекта, через его описание с использованием геометрической терминологии, через осмысление произведенных действий. С точки зрения путей реализации указанного метода важными являются следующие моменты: Графическая деятельность и конструирование остаются основными видами деятельности для учащихся 5-6 классов; В содержание обучения целесообразно включить пространственные тела, способы их моделирования и графического изображения; В процессе изучения геометрии необходимо формировать геометрические образы, представляющие для ребенка наибольшую значимость; Принципом организации учебного процесса полезно сделать разумное сочетание репродуктивных и творческих заданий, инструкций и исследований, коллективного и самостоятельного поиска решения задач. 3.3. Приемы учебной деятельности, формируемые при обучении математике в 5-6 классе. В силу возрастных и психологических особенностей подростков 10-12 лет можно выделить следующие приемы учебной деятельности, которые необходимо сформировать в процессе обучения в 5-6 классе: Общеучебные приемы: Приемы организации учебной деятельности: 1) Организация внимания; 2) Планирование; 3) Самоконтроль; 4) Приемы работы с учебником; 5) Организация учебного общения; 6) Организация домашней работы; 7) Ведение математического справочника. Приемы мыслительной деятельности: 1) Сравнение; 2) Обобщение; 3) Анализ; 4) Синтез; 5) Классификация; 6) Конкретизация; 7) Систематизация; 8) Определение понятий на примерах; 9) Умозаключение по индукции; ~ 20 ~ 10) Формулировка математических предложений на математическом языке; 11) Примеры определений понятий через род и видовое отличие; 12) Примеры дедуктивных умозаключений. Общие приемы УД по математике: 1) Общий прием работы над математической задачей; 2) Приемы поиска решения задачи; 3) Приемы контроля решения задачи. Частные приемы УД по математике: 1) Приемы решения линейных уравнений и неравенств; 2) Приемы вычисления числовых значений алгебраических выражений; 3) Простейшие приемы тождественных преобразований выражений. Специальные приемы деятельности по математике: 1) Использование буквенной символики; 2) Проверка выполнения тождественных преобразований и решения уравнений; 3) Приемы решения текстовых задач алгебраическим методом. Подведем итоги. Психологическую основу концепции деятельностного подхода к обучению составляет положение: усвоение содержания обучения и развития ученика происходят не путем передачи ему некоторой информации, а в процессе его собственной активной деятельности. Основой обучения при деятельностном подходе к обучению является формирование приемов учебной деятельности учащихся. Владение совокупностью общеучебных, общих, частных и специальных приемов учебной деятельности называют умением учиться. Методический инструментарий учителя должен соответствовать этапам формирования приемов учебной деятельности и уровням сформированности приемов учебной деятельности у различных групп учащихся. При использовании деятельностного подхода к обучению цели обучения формулируются на языке действий, задач и приемов их решения. Для этого они представляются в виде системы задач, что позволяет однозначно выделить те знания и умения, которые необходимы для решения данных задач. Современные педагогические исследования свидетельствуют, что при обучении приемам учебной деятельности учащиеся показывают более высокий уровень усвоения предмета, более высокий уровень мышления и умения учиться. Следующая глава будет посвящена использованию деятельностного подхода (основанного на формировании приемов учебной деятельности) на уроках математики в 5-6 классах. ~ 21 ~ Глава II. Методика формирования приемов учебной деятельности при обучении математике в 5-6 классах. Используя теоретические сведения о деятельностном подходе к обучению рассмотренные в главе I данной работы, а также учитывая возрастные и психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов, я разработала методику формирования приемов учебной деятельности в курсе математики вышеуказанных классов. §1. Методика изучения темы: «Делимость чисел». 1.1. Основные цели изучения темы и формируемые при этом приемы учебной деятельности. Понятие деления не является для учащихся новым, знакомство с ним происходит в курсе математики начальной школы, где изучаются основные компоненты деления и деления с остатком, а также правила их нахождения. Возвращение к данному понятию по учебному пособию «Математика 5,6 класс» под ред. Н. Я. Виленкина происходит сначала в 5 классе в теме «Умножение и деление натуральных чисел», а затем в начале 6 класса при изучении темы «Делимость чисел». По программе на ее усвоение отводится 20 часов. Основная цель темы – завершить изучение натуральных чисел, подготовить основу для освоения действий с обыкновенными дробями. Учебный материал распределен следующим образом: № урока 1-3 4-6 7-8 9-10 11-12 13-15 16-19 20 Название темы Колво часов 3 3 2 2 2 3 Делители и кратные Признаки делимости на 10, на 5, на 2. Признаки делимости на 9 и на 3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Контрольная работа № 1. 4 1 Цели изучения темы, представленные в виде системы задач. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Цель Сформировать понятие о делителе и кратном числа. Научить находить делители и кратные числа. Изучить признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Сформировать понятие простого и составного числа. Сформировать понятие взаимно- простых чисел. Научить выполнять разложение числа на простые множители. Сформировать понятие НОД и НОК нескольких чисел. ~ 22 ~ Учебная задача Нахождение делителей кратного числа. и Использование признаков делимости. Разложение числа на множители. Разложение числа на простые множители. Нахождение НОД и НОК нескольких чисел. 8. Научить находить НОД и НОК нескольких чисел. Перечень приемов учебной деятельности, формируемых при изучении темы «Делимость чисел»: Обобщенные специальные приемы: 1) Общий прием решения задачи на делимость. 2) Прием проверки правильности решения задачи на делимость. 3) Прием оформления записи решения задачи на делимость. Специальный прием по математике: Прием доказательства признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Частные приемы: 1) Прием решения задачи с использованием: а) понятия делителя и кратного числа; б) признаков делимости; в) разложения чисел на множители (в том числе на простые множители); г) понятия НОД и НОК нескольких чисел. 2) Прием проверки правильности: а) нахождения делителей и кратных числа; б) разложения числа на множители (в том числе на простые множители); в) нахождения НОД и НОК нескольких чисел; г) нахождения взаимно-простых чисел 3) Прием оформления записи решения задачи на нахождение: а) нахождение делителей и кратных числа; б) разложение числа на множители; в) нахождения НОД, НОК нескольких чисел; г) нахождение взаимно-простых чисел. Содержание общего приема решения задачи на делимость: 1. Изучить содержание задачи на делимость. 2. Определить, исходя из задачной ситуации, тип задачи на делимость (нахождение делителей или кратного числа, использование признаков делимости и пр.) и вспомнить известный прием ее решения (алгоритм, правило). 3. Решить задачу с использованием известного приема (алгоритма, правила). 4. Если определить тип задачи на делимость не получилось, то попробовать разделить задачу на подзадачи (более мелкие задачи), тип которых можно определить. 5. Решить задачу, используя известный алгоритм для каждой подзадачи. 6. Проверить или исследовать решение. 7. Рассмотреть другие возможные способы решения и выбрать наиболее рациональный способ. 8. Записать решение и ответ, используя приемы записи. Содержание приема проверки правильности решения задачи на делимость: ~ 23 ~ Необходимо проверить: 1. Правильность определения типа задачи на делимость. 2. Правильность использования соответствующего алгоритма. 3. Правильность вычислений. 4. Возможность решения другим способом. 1.2. Использование приемов учебной деятельности при формировании понятий делителя и кратного числа. Как отмечалось выше формирование любого понятия проходит следующие этапы: изучение понятия, закрепление понятия, применение понятия, обобщение и систематизация понятия, контроль и оценка уровня усвоения понятия. Покажем, как используя приемы учебной деятельности на каждом из указанных этапов, можно сформировать понятия делителя и кратного. Изучение понятий делителя и кратного натурального числа. При изучении понятий делителя и кратного числа происходит их восприятие, осознание, осмысление, первичное запоминание и применение. На этапе восприятия используем следующий методический прием создания проблемной ситуации: наблюдение с использованием наглядности, в результате которого выделяются общие и существенные свойства наблюдаемых объектов. Работу можно организовать в разноуровневых парах или группах по 4 человека. Перед началом работы напомнить основные приемы работы в группе и определить цель создания групп в данной ситуации: групповое решение общей задачи. Задание для пар (групп): Задача. «Для украшения праздничного зала приобрели 35 гвоздик, из которых были сделаны одинаковые по числу цветов букеты. Ответьте на вопросы и выполните задания: а) Могли ли сделать 5 одинаковых букетов; 12 одинаковых букетов? (Ответ обоснуйте). б) Найдите возможные варианты числа букетов, заполнив следующую таблицу: Число цветов в буке- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 те Число букетов Число оставшихся цветов в) В каких случаях все цветы оказались распределенными в букеты? Ответ: в тех случаях, когда общее число гвоздик делилось без остатка на число цветов в букете. г) Как бы вы назвали число, которое делит другое число без остатка? д) Как бы вы назвали число, которое делится на другое число без остатка? Время работы групп 4-6 минут. При затруднениях возможна помощь учителя. По окончании работы происходит коллективное обсуждение результатов. ~ 24 ~ На последние два вопроса учащиеся могут, как дать ответ, так и не дать, тогда учитель может сказать о том, что в математике первые числа называются делителями, а вторые – кратными. Далее используем еще один методический прием: исторический обзор, показывающий корни нового в старом. А почему делитель назвали делителем, а кратное кратным? Слово «крата» - старинное русское слово, означающее «раз». Слово «кратный» означает «известное число раз». Пример: «Сколь кратно говорено тебе!». Однократный, многократный проступок. (Такое толкование этих слов дает толковый словарь Даля). На этапе осознания и осмысления понятий делителя и кратного используем следующие приемы учебной деятельности: 1) Прием определения понятия через указание ближайшего рода и видовых отличий. С его помощью формулируем определения понятий делителя и кратного. Название понятия Кратное Делитель Родовое понятие Натуральное число Натуральное число Видовые отличия делится без остатка на делит без остатка данное данное число число Символическая запись а⋮b → a кратное числа b а⋮b → b делитель числа a При введении знака « ⋮ » (делится), объяснить учащимся его принципиальное отличие от знака « : » (деление). Хочется отметить, что в учебном пособии «Математика 5, 6 класс» под ред. Н.Я. Виленкина символическая запись понятий «делитель», «кратное» отсутствует, но я считаю, что использование математической символики при записи определений необходимо, т.к. позволяет учащимся усвоить математический язык, сделать запись соответствующего определения более короткой, развивает математическую культуру. 2) Прием построения равносильного определения. С его помощью проводим упражнения на применение приема определения понятия. Делителем натурального числа а называется такое натуральное число b, на которое число а делится без остатка. Кратным натурального числа b называется такое натуральное число а, которое делится без остатка на b. Если натуральное число а делится без остатка на натуральное число b, то число а называют кратным числа b, а число b – делителем числа а. При формулировке равносильных определений учащиеся должны осознавать, что при построении таких определений важно сохранять родовое понятие и видовые отличия терминов. 3) Прием подведения под понятие. С его помощью проводим решение учебных задач на «узнавание» понятия, на подведение под понятие. №1. На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов? №2. В нескольких коробках лежит по 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая коробок, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек? №3. Верно ли, что: а) 5 – делитель 45; б) 16 – делитель 8; в) 27 – кратное 3; г) 6 – кратное 12; д) 24 кратно 6; е) для числа 7 число 21 является кратным; ж) 9 кратно 18. ~ 25 ~ Закрепление понятий делителя и кратного. При закреплении понятий делителя и кратного происходит их вторичное осмысление и первичное обобщение, первичное применение знаний и приемов учебной деятельности (выработка умений), первичная проверка усвоения нового материала. На перечисленных этапах используем следующие приемы учебной деятельности: 1) Прием выведения следствий из определения понятия. С его помощью проводим упражнения на применение вариантов приема определения понятия. №1. а) Укажите все делители числа 45. б) Запишите числа, которым кратно число 45. Что вы заметили? Число кратно своим делителям. №2. Запишите в порядке возрастания все делители чисел 6, 9, 24, 32, 17. Посмотрите на числа и их делители. Какую закономерность можно выделить у всех этих чисел? Число 1 является делителем любого числа. Все числа делятся на самих себя. Наибольший делитель числа равен самому числу. №3. Запишите три числа, кратных числу: а) 15; б) 23; в) 45. а) Сколько кратных можно найти для каждого из данных чисел? Сколько кратных можно найти для любого числа? Для любого числа можно найти бесконечно много кратных. б) Как вы находили кратные для данных чисел? Как найти кратные для любого числа? Кратные числа можно получать, последовательно умножая его на 1, 2, 3, 4,… и т.д. г) Какое из кратных является наименьшим? Наименьшее кратное числа равно самому числу. 2) Приемы взаимоконтроля, самоконтроля. С их помощью проводим текущий контроль и коррекцию усвоения понятий делителя и кратного. Диагностическая работа (по вариантам): Вариант I. Вариант II. № 1. Напишите все делители числа: № 1. Напишите все делители числа: а) 18; б) 35. а) 15; б) 28. № 2. Напишите все двузначные чис- № 2. Напишите все двузначные числа, кратные числу: а) 11; б) 21. ла, кратные числу: а) 8; б) 25. При проверке диагностической работы используем или коллективную проверку решения задач, или взаимопроверку (обмен тетрадями в парах), или самопроверку по приведенному эталону. Применение понятий делителя и кратного. На данном этапе происходит первичная систематизация понятий делителя и кратного, их вторичное понимание и обобщение, происходит введение частного приема решения задач с использованием понятий делителя и кратного. ~ 26 ~ Введение частного приема решения задач с использованием понятий делителя и кратного натурального числа. № 1. Из чисел 2, 3, 10, 24, 30, 45 выберите те, которые: а) кратны 3; б) имеют больше четырех делителей; в) не кратны 6; г) имеют делитель 5. 1 шаг. Решение учебной задачи «по соображению» - на основании изученной теории. 2 шаг. Осознание учащимися составляющих действий по решению учебной задачи. Просим учащихся выделить действия, которые они выполняли для решения каждой из приведенных задач, и перечислить их по порядку. Затем формулируем и оформляем состав приема в виде перечня действий (в математическом справочнике). Содержание частного приема решения задач с использованием понятий делителя и кратного: 1) Прочитать условие задачи и определить, что требуется найти: делитель или кратное. 2) Если шаг один не дал результата, то попробовать перевести требование задачи на математический язык и определить, делители или кратные надо искать. 3) Найти делители или кратные числа. 4) Сопоставить найденные решения с требованиями задачи. 5) Выполнить проверку найденного решения. 6) Записать ответ. 3 шаг. Показ образцов использования нового приема – решение учебных задач, сопровождаемое устными указаниями и советами по его использованию. № 1. В коробке лежат карандаши. Число их больше 200, но меньше 300. Сколько карандашей в коробке, если известно, что там содержится целое число десятков и целое число дюжин? № 2.Три теплохода совершают рейсы из одного и того же порта. Первый теплоход возвращается из рейса через 6 дней после выхода, второй – через 5 дней и третий – через 10. Через какое ближайшее время встретятся в порту первый теплоход со вторым, второй с третьим и три теплохода вместе, если все они вышли из порта одновременно? № 3. Вдоль дороги через каждые 45 м стоят столбы. Их решили заменить другими, увеличив расстояние между столбами до 60 м. На каком расстоянии от первого столба новый столб установят на то же место, где стоял старый? № 4. В одной группе 36 спортсменов, а в другой – 40 спортсменов. Сколько имеется возможностей для построения спортсменов так, чтобы группы шли одна за другой одинаковыми рядами? Обобщение и систематизация понятий делителя и кратного. На данном этапе происходит итоговое обобщение и систематизация понятий делителя и кратного, закрепление и применение обобщенных знаний и приемов учебной деятельности. Данный этап проводится , если позволяет уровень готовности класса или на факультативном занятии. № 1. Используя равенства 204=6 · 34 и 209=6 · 34+5, найдите значения выражений 204:6 и 209:6. Ответьте на вопросы: ~ 27 ~ а) б) в) г) Является ли число 6 делителем числа 204; числа 209? Существует ли натуральное число k такое, что 6 · k =204? Существует ли натуральное число n , такое что 6 · п = 209? Пусть m и n – натуральные числа. Справедливо ли утверждение: если m – делитель n, то существует такое натуральное число k, что n = m · k? Здесь можно сформулировать следующее определение делителя: пусть m и n – натуральные числа, тогда m делитель n, если существует такое натуральное число k, что n=m · k. № 2. Докажите, что: а) каждое натуральное число является для себя и делителем и кратным; б) если a делится на b, а b делится на c, то a делится на c. № 3. Докажите, что: а) если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число; б) если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число; в) если одно из слагаемых не делится на некоторое число, а остальные делятся, то сумма на это число не делится; г) если сумма двух чисел делится на некоторое число и одно из слагаемых делится на это же число, то и другое слагаемое делится на это число; В последних двух задачах формулируются основные свойства делимости, а первая – позволяет провести доказательство указанных свойств синтетическим методом. Контроль и оценка уровня усвоения понятий делителя и кратного. Текущий контроль. Текущий контроль можно проводить с помощью дифференцированных заданий в начале урока (для нескольких учеников), во время диагностической работы на уроке, с помощью итоговой самостоятельной работы по изученному материалу, с помощью индивидуальных домашних заданий разного уровня сложности. Примеры дифференцированных заданий: Карточка №1 (базовый уровень слож- Карточка №2 (повышенный уровень ности). сложности). №1. Из чисел 4, 5, 8, 10, 14, 15, 45 вы- №1. Из чисел 4. 6, 8, 10, 12, 14, 16, 24 берите: выберите: а) числа, которые являются делиа) числа, которые являются делитетелями числа 20; лями числа16; б) числа, кратные числу 4; б) числа, кратные числу 4; в) числа, которым кратно число 15. в) числа, которым кратно число 12. №2. Напишите все делители числа 24. №2. Выпишите: №3. Напишите три числа кратных чиса) все делители чисел 48 и 60; лу 18. б) общие делители этих чисел. №3. Напишите три числа кратных числу 21. ~ 28 ~ Для того, чтобы учащиеся могли самостоятельно определить какое понятие или прием ими не до конца понят, можно создать таблицу контроля и коррекции, в которой отмечается номер задания и контролируемое им понятие или прием учебной деятельности. № 1(а) + Определение понятия делителя Определение понятия кратного Подведение под понятие кратного № 1(б) №1 (в) №2 №3 + + + + Кроме дифференцированных заданий, на уроках изучения и закрепления нового материала использую диагностические работы: Диагностическая работа №1. Вариант 1. № 6(а), № 7(б), № 20(в). Вариант 2. № 6(б), № 7(а), № 20(г). Диагностическая работа №2. Вариант 1. № 6(в), № 19(б), № 20(а). Вариант 2. № 6(г), № 19(а), № 20(б). При проверке диагностических работ используем коллективную проверку, взаимопроверку в парах, самопроверку по эталону. Кроме того при проверке перед учащимися должна находиться таблица контроля и коррекции. При завершении изучения понятий делителя и кратного проводим итоговую самостоятельную работу. Пример итоговой самостоятельной работы №1 по теме: «Делители и кратные». Вариант 1. (уровень 1) № 1. Среди данных чисел 4, 6, 24, 30, 40, 120 выберите: а) те, которые делятся на 4; б) те, на которые делится число 72; в) делители 90; г) кратные 24; д) те, которым кратно 120. № 2. Запишите три числа кратных числу п. № 3. Найдите все значения х, которые кратны 15 и удовлетворяют неравенству х < 75. Вариант 3. (уровень 2) № 1. Среди данных чисел 5, 7, 35, 105, 150, 175 выберите: а) делители 300; б) кратные 7; в) числа, не являющиеся делителями 175; г) числа, не кратные 5; д) те, которым кратно 105. № 2. Запишите три делителя выражения 15 · х. № 3. Найдите все числа, кратные 20 и составляющие менее 345% этого числа. ~ 29 ~ Вариант 2. (уровень 1) № 1. Среди данных чисел 5, 6, 12, 30, 50, 90, 100 выберите: а) делители 100; б) кратные 6; в) те, которые делятся на 5; г) те, на которые делится 50; д) те, которым кратно 90. № 2. Запишите три числа кратных числу а. № 3. Найдите все значения у, которые являются делителями 100 и удовлетворяют неравенству у > 10. Вариант 4. (уровень 2) №1. Среди данных чисел 5, 7, 35, 105, 150, 175 выберите: а) те, которым кратно 175; б) числа, не кратные 7; в) делители 210; г) кратные 5; д) числа, не являющиеся делителями 105. № 2. Запишите три делителя выражения 27 · у. № 3. Найдите все делители числа 90, не превосходящие 30% этого числа. Таблица контроля и коррекции к с/р. № 1. (Уровень 1, вариант 1). (Идея использования вышеупомянутой таблицы заимствована в работе Н. Ф. Талызиной [12]). А Определение понятия делителя Определение понятия кратного Прием подведения под понятие делителя Прием подведения под понятие кратного Правило нахождения кратных числа Прием решения задачи на делимость б №1 в г + №2 №3 д + + + + + + Аналогичная таблица создается и для других вариантов. Используя прием определения понятия через указание ближайшего рода и видовых отличий можно также ввести понятие простых и составных чисел, взаимнопростых чисел, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. 1.3. Формирование приема доказательства синтетическим методом при доказательстве признаков делимости. В вышеуказанном учебном пособии, по которому мы работаем с учащимися, после темы «Делители и кратные» идет тема «Признаки делимости» и, к сожалению, нет темы «Делимость произведения и суммы», на которую опираются при доказательстве признаков делимости. Поэтому считаю, что знакомство учащихся с основными свойствами делимости необходимо для более осознанного и обоснованного проведения доказательства признаков делимости. Знакомство со свойствами делимости проведем в несколько шагов. 1 шаг. Создание визуального образа в ходе коллективного решения задач. При этом используем следующие общие приемы учебной деятельности: прием наблюдения, прием анализа, прием обобщения, прием индуктивного умозаключения. Ответьте на вопрос задачи, не выполняя вычислений: № 1. В книжный магазин привезли 53 упаковки книг по 18 штук в каждой. Можно ли эти книги распределить поровну между тремя продавцами? Сколько книг получит каждый продавец? Для большей наглядности можно добавить к тексту задачи запись условия в виде графического рисунка. 18книг 18книг 18книг 18книг 18книг 53 упаковки ~ 30 ~ № 2. К празднику организация приобрела 3 упаковки роз по 125 штук в каждой упаковке. Можно ли сделать 25 одинаковых букетов, используя все эти цветы? № 3. Родители купили для школьного праздника 21 коробку конфет по 55 конфет в каждой. Можно ли их распределить поровну между учащимися шестых классов, если в них учатся 77 человек? Фиксируем результат решения задач в виде таблицы: Результат обсуждения решения задачи Результат решения задачи на математическом языке № 1. Разделить 53 упаковки книг по 18 книг в каждой между тремя продавцами возможно, если разделить упаковку из 18 книг между тремя продавцами, и такую процедуру проделать 53 раза. Каждый получит по (6 · 53) книги. № 1. Всего книг 18 · 53; т.к. 18 ⋮ 3 , то и (18 · 53) ⋮ 3. № 2. Сделать 25 одинаковых букетов можно, если делить каждую упаковку из 125 роз на 25 букетов и повторить это 3 раза. В букете окажется по (5 · 3) розы. № 3. Можно, т.к. 77 учащихся можно разделить на 7 одинаковых групп по 11 человек в каждой. Тогда каждая группа получает по 3 одинаковые коробки по 55 конфет в каждой. Затем каждую коробку делим между 11 человек и делаем так 3 раза. Каждый получит по 3 · 5 конфет. № 2. Всего цветов 125 · 3; т.к. 125 ⋮ 25, то и (125 · 5) ⋮ 25. (18 · 53) : 3 = (18 : 3) · 53=6 · 53 (125 · 5) : 25 = 3 · 5 № 3. Всего конфет 21 · 55, т.к. 21 ⋮ 7, а 55 ⋮ 11, то и (21 · 55) ⋮ 77. (21 · 55) : 77=(7 · 3 · 5 ·11) : 77 = (15 · 77) : 77 = 15. 2 шаг. Формулировка свойства делимости произведения. На основании рассмотренных примеров учащиеся формулируют свойство делимости произведения, записывают его с использованием соответствующей символики. 3 шаг. Доказательство полученного утверждения с использованием синтетического метода ( при условии, что уровень подготовленности класса позволяет это сделать). Используя аналогичные подводящие задачи можно получить и остальные свойства делимости. Так как эти свойства будут использоваться учащимися при доказательстве признаков делимости, то их необходимо зафиксировать в математическом справочнике. Основные свойства делимости: 1. если a ⋮ c или b ⋮ c, то (a · b) ⋮ c. 2. если a ⋮ c и b ⋮ c, то (a + b) ⋮ c. 3. если a ⋮ c и b не делится на c, то (a + b) не делится на c. 4. если a ⋮ b и b ⋮ c, то a ⋮ c. 5. если a ⋮ c и (a + b) ⋮ c, то b ⋮ c ~ 31 ~ Доказательство признаков делимости на 2, 5, 10. Формулировка признаков делимости проводится с использованием приема наблюдения. № 1. Используя таблицу умножения, скажите, какой может быть последняя цифра произведения натурального числа на 2, на 5, на 10. № 2. Как проверить, не выполняя вычислений, делится ли число на 2, 5, 10? Скорее всего, учащиеся дадут верные ответы на поставленные вопросы. Но как это обосновать? Любое натуральное число a можно представить в виде суммы некоторого числа десятков и однозначного числа: a = 10m + n. Пример: 45 = 40 + 5 = 4 · 10 + 5; 127 = 120 + 7 = 12 · 10 + 7; 1223 = 122 · 10 + 3. Далее предлагаем учащимся разбиться на группы по 4 человека (по желанию). Задание для групп: 1. Посмотрите внимательно на примеры записанные в тетради. Сравните последнюю цифру числа и второе слагаемое в получившейся сумме. Что вы заметили? 2. Проверьте делимость суммы 10m + n на 2, 5, 10, ответив на вопросы: Делится ли первое слагаемое суммы на 2, на 5, на 10? Почему? Каким должно быть число n, чтобы сумма 10m + n делилась на 2, на 5, на 10? (Результаты оформите в виде таблицы). 10m делимость на 2 делимость на 5 делимость на 10 10m + n делится, если n= делится, если n= делится, если n= 3. Сопоставьте результаты заданий 1 и 2 и ответьте на вопрос: от чего зависит делимость числа на 2, на 5, на 10? 4. Попытайтесь сформулировать признак делимости на 2, на 5, на 10. Коллективное обсуждение результатов работы. Оценка работы групп. Окончательная формулировка признаков делимости и запись их в математический справочник с использованием соответствующего приема записи. 1.4. Планирование урока по теме: «Признаки делимости на 3 и на 9». Цели: Обучающие: вывести признаки делимости на 3 и на 9; Развивающие: 1) развитие внимания, восприятия, памяти; 2) развитие мыслительных операций: анализа, обобщения; 3) развитие речи. Воспитательные: 1) познавательный интерес; 2) нравственные качества личности; 3) культура общения. Повторение: делимость суммы и произведения; понятие числа и цифры, распределительные свойства умножения. Знания и навыки: знать признаки деления на 3 и 9 и уметь их применять. ~ 32 ~ Приемы учебной деятельности: анализ и обобщение (при формулировании признаков делимости), прием использования синтетического метода доказательства (при доказательстве признаков делимости на 3, на 9), приемы работы с учебником (этапы отработки и применения). Содержание урока: 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний учащихся в виде устного счета. 1) Перечислите все цифры, которые мы используем для записи чисел. Чему равно их произведение? 2) На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? 3) Не вычисляя суммы и произведения, определите, делится ли: а) (100+50+75) на 25; б) 60·14 на 2; в) (18+36+55+90) на 9; г) (12+ 36+24+48) на 4; д) 5·44·67·8 на 11. Какие свойства делимости вы использовали? 4) Найдите значение выражения наиболее простым способом: а) 57,4·0,396 + 42,52·0,396; б) 8,39·4,32 – 4,,32·6,39; в) 0,89·5,06 + 1,11·5,06; г) 53,76·78,91 – 43,76·78.91. Каким свойством вы пользовались? 5) Закончите равенство, применив распределительный закон: а) (а + 8) · 4= б) (x – 7) · 6= в) 5 · (а + b)= г) 5 · (13 – y)= 3. Определение целей и темы урока. Задача: не выполняя деления числа 738, выясните, делится ли оно на 3, на 9? Учащиеся не могут справиться с заданием, у них нет правила по которому можно определить делимость числа на 3 и на 9, возникает информационный дефицит. Предлагаем учащимся самим сформулировать тему урока и определить его цель. Цель урока (со слов учащихся): вывести признаки делимости на 3 и на 9. Тема урока: «Признаки делимости на 3 и на 9». 4. Изучение нового материала. Разделение на группы по территориальному признаку. Задание для групп. 1) Разделите данное вам число на 3 (кол-во чисел определяется по количеству участников группы). 2) Найдите сумму цифр числа и разделите ее на 3. 3) Обсудите результаты, полученные каждым участником группы. Какое утверждение можно сформулировать? 4) Повторите действия 1) – 3), выполняя деление данного вам числа на 9. 5) Сформулируйте общее утверждение группы. ~ 33 ~ Далее идет обсуждение утверждений групп и выдвижение общей гипотезы, которую надо будет доказать. Доказательство проходит в тех же группах с использованием исходного числа 738. Три группы выполняют доказательство признака делимости на 3, а остальные три – на 9. 1) Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. 2) Представьте числа кратные 10 в виде суммы так, чтобы одно из слагаемых делилось на 3 (9). 3) Воспользуйтесь распределительным и переместительным свойствами и выполните преобразования выражения. 4) Внимательно посмотрите на полученный результат и постарайтесь закончить доказательство. 5) Подготовьтесь к защите вашего доказательства. После завершения доказательства результаты работы групп вывешиваются на доску и происходит защита работы групп. По окончании защиты доказательства признаков делимости на 3 и 9, сами признаки еще раз формулируются и заносятся в «математический справочник» учащихся в виде памятки. Число делится на 3 (9) ↔ сумма цифр числа делится на 3 (9). Если уровень подготовки класса позволяет, то доказательство признаков делимости можно проводить не для конкретного числа, а для произвольного (например трехзначного 𝑎𝑏𝑐) в общем виде, используя синтетический метод доказательства. 5. Физкультминутка. 6. Закрепление изученного материала. Выполнение упражнений на определение делимости чисел на 3, на 9 с использованием полученного признака (с проговариванием признака). 1) Найти сумму цифр числа; 2) Проверить делится ли она на 3 (на 9); 3) Сделать вывод о делимости числа на 3 (на 9). 7. Работа с задачей на делимость. Подумайте, каким числом (четным или нечетным) является: а) квадрат четного числа; б) квадрат нечетного числа; в) куб четного числа. Ответы обоснуйте. 8. Диагностическая работа. Взаимопроверка. № 1. Напишите три трехзначных числа, которые делятся на 9. № 2. Какие цифры следует поставить вместо звездочек в записи 2*5, 46*, чтобы получившиеся числа делились на 3. 9. Повторение ранее изученного материала. Предложить учащимся задачу на ранее изученный материал (например, комбинаторную задачу). Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр? 10. Подведение итогов урока. Домашнее задание. Что нового мы узнали сегодня на уроке? Достигнута ли цель, поставленная нами в начале урока? Кто сегодня справился со всеми предложенными заданиями? Кто сегодня работал отлично? А хорошо? Есть ли среди нас такие, кто недоволен своей работой? Почему? Что нужно сделать, чтобы закрепить полученные нами знания? ~ 34 ~ Записываем домашнее задание: п. 3 прочитать, признаки делимости выучить и знать как их применять; № 86, №90 (k = 0,83), № 91(а). §2. Формирование приемов учебной деятельности в курсе наглядной геометрии 5-6 класса. Геометрия – это не только раздел математики, это, прежде всего, феномен общечеловеческой культуры, являющийся носителем собственного познания мира. [14] Занятия геометрией способствуют развитию интуиции, воображения и других важных качеств, лежащих в основе любого творческого процесса. Геометрия обладает целым рядом качеств, присущих предметам гуманитарного цикла, и в определенном смысле является самым гуманитарным из негуманитарных предметов. Геометрия располагает огромными возможностями для эмоционального, эстетического и духовного развития человека. Одной из задач математики в 5-6 классе является задача заинтересовать, привлечь внимание всех школьников, а для этого необходимо показать им математику во всей ее многогранности, акцентируя внимание на интересных, занимательных темах. 2.1. Проблема пропедевтики изучения геометрии. Интеллектуальный образовательный потенциал геометрии определяется тем, что она располагает не только логическими, но и образными и практическими методами исследования. Поэтому, изучая геометрию, учащиеся могут последовательно пройти в развитии мышления от конкретных, практических его форм до абстрактных, логических. Однако в современной российской школе изучение геометрии осуществляется преимущественно в 7-11 классах на основе дедуктивных методов познания, а геометрический материал в большинстве действующих курсов математики 5-6 классов в значительной степени подчинен «интересам» арифметикоалгебраического материала и не учитывает логики формирования геометрических представлений. Убедимся в этом, проведя анализ содержания геометрического материала в учебнике математики 5-6 класса под ред. Н. Я. Виленкина по которому работает наша школа. Основные понятия геометрической линии курса: прямая, луч, отрезок, плоскость, треугольник, окружность, круг, угол, параллельные и перпендикулярные прямые, прямоугольный параллелепипед, шар. Нетрудно заметить, что учащиеся фактически не знакомятся с новыми для них геометрическими фигурами, а продолжают говорить о фигурах, изученных в начальной школе. Основные виды деятельности: построение прямой, отрезка, луча, угла, окружности, измерение длины отрезка и градусной меры угла. Несложно заметить, что представленная в учебнике геометрическая линия полностью подчинена арифметико-алгебраической линии курса. Появление того или иного геометрического содержания предшествует тому арифметическому или алгебраическому материалу, для которого он служит опорой. Например, «Окружность и круг» - «Доли. Обыкновенные дроби», «Плоскость. Прямая. Луч» - «Шкалы и координаты» и др. Понятно, что говорить о едином курсе геометрии, который развивает геометрическое мышление, воображение, пространственные представления, не приходится. Листая учебник, может показаться, что геометрические задачи составляют среди них значительную часть. Но это впечатление обманчиво, т.к. задачи эти геометрические только по сюжету, а суть решения либо арифметическая, либо алгебраическая. Это, прежде всего, задачи на вычисление периметра и площади прямоуголь~ 35 ~ ника, объема параллелепипеда, длины окружности и площади круга. Хотелось бы отметить и тот факт, что в учебнике практически отсутствуют задачи на построение геометрических фигур. В статье Л. О. Рословой [11], указана еще одна важная проблема. Одним из самых существенных недостатков считается такое построение курса, в котором обучение, минуя качественную фазу преобразования пространственных операций в логические операции, начинается сразу с измерений. Тем не менее, в действующих учебниках сразу вслед за введением новой для учащихся геометрической фигуры «угол» вводится измерение угла с помощью транспортира. Недостаточное владение свойствами новой фигуры приводит к многочисленным ошибкам при его измерении. Аналогичная ситуация происходит и при знакомстве учащихся с прямоугольным параллелепипедом и правилом вычисления его объема. Из всего вышесказанного можно сделать вывод: 1) Основной целью пропедевтического курса геометрии является создание широкого круга представлений о геометрических объектах, их свойствах, развитие пространственного воображения, геометрической зоркости и навыков моделирования геометрических объектов. Запас геометрических знаний должен быть систематизирован в 7-9 классах, на основании аксиоматического метода и дедукции. 2) Отбор содержания и методика его изучения должны соотноситься с возрастными психологическими особенностями учащихся 5-6 классов. 3) Содержание должно быть распределено по двум направлениям: а) геометрические фигуры и их свойства; б) измерение геометрических величин. 4) В основе изучения содержания лежит наглядно-эмпирический метод познания. Он включает в себя визуальное и практическое изучение геометрических объектов, представленных в предметном и графическом виде, а также в виде мысленных образов. Главным критерием усвоения содержания является умение (умение построить фигуру, описать ее свойства и т.д.). В нашем лицее введен курс наглядной геометрии, рассчитанный на 1 час в неделю. Каждый учитель сам составляет рабочую программу по данному предмету. В работе используем учебное пособие И. Ф. Шарыгина, Л. Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия 5-6 класс». 2.2. Рабочая программа (авторская) учебного курса «Наглядная геометрия». Изучение учащимися 5-6 классов наглядной геометрии входит в учебный процесс не только через отдельные учебники или самостоятельные пособия, но и через нормативные документы. В проекте нового образовательного стандарта в содержании математического образования появился соответствующий раздел. Поскольку проект стандарта реализует деятельностную парадигму образования, предлагаемая в нем программа задает не только номенклатуру содержания, но и виды деятельности, которые должны присутствовать в процессе обучения и которыми учащиеся должны овладеть. На основе этой примерной программы мною разработана рабочая программа учебного курса «Наглядная геометрия» по учебному пособию И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой, рассчитанная на 35 часов в год. Пояснительная записка. Программа составлена на основе федерального компонента государственного стандарта общего образования [21], а также на основе примерных программ основного общего образования [19], [20]. ~ 36 ~ Используемый УМК: Шарыгин И. Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл. : пособие для общеобразовательных учреждений / И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. М.: Дрофа, 2008. Программа рассчитана на 35 часов. Основное содержание обучения. Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч, угол, ломаная, многоугольник, окружность, круг. Изображения на нелинованной бумаге с использованием циркуля, линейки, угольника, транспортира. Построения на клетчатой бумаге. Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей. Длина отрезка, ломаной. Единицы измерения длины. Измерения и построения, выполняемые с помощью линейки. Виды углов. Градусная мера угла. Измерение и построение углов с помощью транспортира. Многоугольник, правильный многоугольник. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат. Треугольник, виды треугольников. Периметр многоугольника. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади. Площадь прямоугольника, квадрата. Приближенное измерение площади фигур на клетчатой бумаге. Равновеликие фигуры. Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники. Примеры разверток многогранников, цилиндра и конуса. Создание моделей пространственных фигур. Понятие объема; единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба. Симметрия. Понятие о равенстве фигур. Центральная, осевая и зеркальная симметрия. Изображение симметричных фигур. Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире геометрические фигуры, конфигурации фигур; приводить примеры аналогов геометрических фигур в окружающем мире. Изображать геометрические фигуры и их конфигурации от руки и с использованием чертежных инструментов; изображать геометрические фигуры на клетчатой бумаге с использованием ее свойств. Измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков и величин углов, строить отрезки заданной длины, и углы, заданной величины; вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объемы параллелепипедов. Выражать одни единицы измерения длин, площадей, объемов через другие. Исследовать и описывать свойства геометрических фигур, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Использовать компьютерное моделирование и эксперимент для изучения свойств геометрических объектов. Моделировать геометрические объекты. Рассматривать простейшие сечения пространственных фигур, получаемые путем предметного или компьютерного моделирования, определять их вид. Соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость. Изготавливать пространственные фигуры из разверток; распознавать развертки куба, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра и конуса. Находить в окружающем мире плоские и пространственные симметричные фигуры. ~ 37 ~ Изображать равные фигуры; симметричные фигуры. Конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов, а также используя компьютер. Решать задачи на нахождение длин отрезков, градусной меры углов, площадей. Календарно-тематический план. 5 класс. № урока Название урока 1. Первые шаги в геометрии. 2. Пространство и размерность. 3. Простейшие геометрические фигуры. 4. Измерение углов. Транспортир. Примечания Практическая работа по измерению углов. Исследование. 8. 9. Понятие смежных и вертикальных углов. Понятие биссектрисы угла. Конструирование фигур (конструирование из Т). Куб. Его основные элементы и свойства. Развертка куба. 10. 11. Геодезические линии. Задачи на разрезание и складывание фигур. 12. Игра пентамино. 13. Треугольник и его основные элементы. Виды треугольников. Понятие пирамиды, ее основных элементов Исследование. и свойств. Изготовление флексагона. Практическая работа по изготовлению гнущегося многоугольника. Построение треугольника по двум сторонам Практическая работа по и углу между ними, по стороне и двум при- построению треугольника лежащим к ней углам. по трем элементам. Построение треугольника по трем сторонам. Правильные многогранники. Изготовление Практическая работа по моделей многогранников. изготовлению моделей правильных многогранников. Геометрические головоломки: танграмм и Практическая работа по стомахион. конструировнию. Измерение длины. Измерение площади и объема. Свойства фигур, помогающие при вычислениях площадей и объемов. Вычисление длины, площади и объема. Понятие окружности и ее основных элементов. Понятие круга. Интересные задачи, связанные с окружно- 5. 6. 7. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. ~ 38 ~ Практическая работа по конструированию. Исследование. Практическая работа по нахождению разверток куба. Практическая работа по конструированию. Практическая работа по конструированию. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. стью и кругом. Деление окружности на части. Понятие Практическая работа. правильного многоугольника. Построение орнаментов. Практическая работа. Геометрический тренинг. Геометрический тренинг. Топологические опыты: лента Мебиуса. Исследование. Топологические опыты: задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. Занимательные задачи со спичками. Зашифрованная переписка. Игра-викторина «Я лучше всех знаю геометрию». Итоговое занятие. 6 класс. № урока Название урока 1. Повторение теоретического материала 5-го класса. 2. Задачи, головоломки, игры. 3. Задачи, головоломки, игры. 4. Метод трех проекций. 5. Фигурки из кубиков и их частей. 6. Фигурки из кубиков и их частей. 7. Понятие перпендикулярных и параллельных прямых. 8. Проведение параллельных прямых. Проведение перпендикуляра к прямой. 9. Понятие параллелограмма. 10. Прямоугольник, ромб, квадрат – «родственники» параллелограмма. 11. Изучение свойств квадрата. 12. Золотое сечение. 13. Параллели и меридианы. 14. Понятие координатной плоскости. 15. Полярные координаты. 16. Оригами. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. Кривые Дракона. Лабиринты и методы их решения. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика для вычисления площади многоугольника. Зеркальное отражение. Понятие осевой симметрии. Построение фигур, симметричных относительно прямой. Понятие центральной симметрии. Создание бордюров с помощью параллельного переноса и зеркальной симметрии с ~ 39 ~ примечание Практическая работа. Практическая работа. Практическая работа. Практическая работа. Исследование. Исследование. Практическая работа. Практическая работа. Практическая работа по конструированию. Практическая работа. Практическая работа. Исследование. Практическая работа. Исследование. Практическая работа. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. вертикальной осью. Создание бордюров с помощью зеркальной симметрии с горизонтальной осью и поворотной (центральной) симметрии. Построение паркетов. Свойства симметрии, помогающие при решении задач. Решение задач с использованием свойств симметрии. Важное свойство окружности: свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр. Важное свойство окружности: свойство вписанного угла. Задачи, головоломки, игры. Задачи, головоломки, игры. Игра-викторина «Великий геометр». Итоговое занятие. Практическая работа. Практическая работа. Исследование и практическая работа. Практическая работа. 2.3. Формирование геометрической деятельности учащихся. Основные виды деятельности, характерные для наглядной геометрии. Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире геометрические фигуры, их конфигурации, симметричные фигуры и т.д. Моделировать геометрические объекты, используя бумагу, пластилин, проволоку и др. Изготавливать пространственные фигуры из разверток; конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов. Рассматривать простейшие сечения пространственных фигур, определять их вид, соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость. Изображать геометрические фигуры и их конфигурации, равные и симметричные фигуры. Измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков, величины углов, строить отрезки заданной длины и углы, заданной величины; вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объемы параллелепипедов. Выражать одни единицы измерения через другие. Исследовать и описывать свойства геометрических фигур, используя эксперимент, наблюдение, моделирование. Изучение геометрических фигур и пространственных отношений основывается на определенных действиях, которыми учащиеся должны овладеть. Это действия наблюдения, воображения, измерения, конструирования и графические действия. Рассмотрим процесс формирования каждого из перечисленных действий. 2.3.1. Формирование действий наблюдения и развитие воображения. Многие считают, что учить наблюдать не надо, достаточно сказать: «Смотри!» и все остальное сделают глаза. Но это мнение ошибочно. Развитие умения наблюдать происходит в процессе осмысленной деятельности по восприятию, рассматриванию геометрических объектов, через формирование зрительных эталонов, отражающих основные геометрические конфигурации, через знакомство с некоторыми специальными приемами, облегчающими восприятие. Действия наблюдения используется для решения задач, целью которых является: создание мысленного образа геометрического объекта; ~ 40 ~ распознавание заданных конфигураций или фигур; сравнение непосредственно воспринимаемых объектов или групп объектов. Создание мысленного образа геометрического объекта, способствует формированию геометрических представлений, служит для изучения свойств геометрических фигур. Происходить создание образа должно в процессе правильно организованной, разнообразной деятельности по всестороннему обследованию объекта. Покажем это на примере формирования образа куба. Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы знаем о кубе все. Но так ли это? Много ли может рассказать о нем и его свойствах пятиклассник? Предлагаем учащимся, взяв в руки модель куба (лучше твердую), выполнить следующие задания и ответить на вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Выполняемое задание Проведите ладонью по поверхности куба, что вы ощущаете? Рассмотрите отдельные плоские части – грани куба, определите их форму. Зафиксируйте пальцами каждую грань куба (лучше использовать по три пальца каждой руки) и определите количество его граней. Поставьте пальцы на грани куба и сравните их. Проведите ладонью по поверхности куба и выделите линию излома – ребро куба. С помощью пальцев определите количество ребер верхнего основания, нижнего основания, боковых ребер и их общее количество. Зафиксируйте ребро пальцем и определите, скольким граням принадлежит это ребро. Проделайте это для других ребер. Сравните длины ребер между собой. Выделите вершины куба и, зафиксировав каждую вершину пальцем, подсчитайте их число. Выберите одну из вершин, Выполняемые действия Результат Тактильные действия и Поверхность куба содвижения. стоит из плоских частей. Зрительное сопоставление. Каждая грань куба – квадрат. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Количество граней – 6. Сравнение и анализ отдельных элементов. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Все грани куба равны между собой. Количество ребер верхнего основания – 4, нижнего – 4, боковых ребер – 4. Всего ребер – 12. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Синтез элементов в единое целое. Сравнение и анализ отдельных элементов. Определение количественных характеристик.. Каждое ребро принадлежит двум граням. Все ребра равны между собой. У куба 8 вершин. Определение количествен- В каждой вершине ~ 41 ~ определите число ребер, сходящихся в этой вершине; проделайте это для других вершин. 10. Зафиксируйте одну из вершин и определите количество граней, сходящихся в ней. Проделайте это для других вершин. ных характеристик. Синтез сходится три ребра. элементов в единое целое. Определение количествен- В каждой вершине ных характеристик. Синтез сходится три грани. элементов в единое целое. Фиксируя результаты данного исследования в тетрадях, учащиеся получают практически полный образ куба. На одном из последующих занятий перечень свойств дополняется свойствами диагоналей куба, которые ученики получают, исследуя модель куба из спиц. Таким образом, при формировании образа куба, наблюдение выступает как метод исследования. Кроме того, приведенный план наблюдения может быть использован и при формировании образов других многогранников. Сравнение непосредственно воспринимаемых объектов требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные, и служит, тем самым, формированию понятий. Задача 1. а) Чем отличаются многоугольники на рисунке 1? б) Чем отличаются многоугольники на рисунках 1а и 2а, от многоугольников на рисунках 1б и 2б? Задача сравнения в этом задании сформулирована прямо. Сравнивая многоугольники на рисунке 1, учащиеся должны увидеть, что у первого многоугольника все углы меньше 180°, а у второго – есть углы, градусная мера которых больше 180°. Сравнивая многоугольники на рисунке 1а и 2а, учащиеся должны увидеть разницу в количестве сторон многоугольника. Рис. 1 Рис. 2 Задача 2. Покажите, что треугольник и прямоугольник на рисунке имеют одинаковые площади. Здесь задача сравнения в явном виде не сформулирована, но является сутью задачи, т.к. для ее решения учащимся необходимо заметить, что треугольник можно перекроить в прямоугольник. Это и будет означать, что треугольник и прямоугольник имеют равные площади. ~ 42 ~ Задача распознавания геометрических объектов позволяет сформировать законченный образ объекта изучения, его узнавание и различение в различных пространственных конфигурациях, а также развитие у учащихся геометрической зоркости и наблюдательности. Задача 3. Найдите на рисунке три прямоугольника. Особенность рисунка заключается в том, что он содержит две фигуры, не являющиеся прямоугольниками, а также два квадрата. Чтобы справиться с заданием, учащиеся должны помнить, что квадрат является прямоугольником, кроме того они должны увидеть квадрат, расположенный в непривычном для них положении. Если учащиеся не выделяют фигуру 4 как квадрат, необходимо предложить им мысленно, а в случае затруднения и практически, повернуть ее так, чтобы квадрат принял более привычное для распознавания положение. Задача 4. Сколько треугольников на рисунке? Это упражнение направлено на отработку умения распознавать треугольник в более сложной конфигурации, а в данном случае и как составную часть другой фигуры, и как объединение других фигур. Приемы, помогающие восприятию. Рассмотрим приемы, которые могут помочь при решении рассмотренных задач. Один из приемов заключается в предметном моделировании конфигурации. Его можно применить при выполнении упражнения, описанного в примере 4. Для этого предлагаем учащимся модель, изготовленную из цветной бумаги. Тренировка восприятия заключается в том, что складывая три треугольника вместе, учащиеся видят один треугольник, разъединяя их, снова видят три исходных треугольника. Прием выделения элементов конфигурации цветом. Это может быть или раскрашивание фигуры, входящей в конфигурацию, или обведение ее контура. Задача 5. Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника? Пусть из некоторой вершины пятиугольника учащиеся проведут карандашом одного цвета все выходящие из нее диагонали. И так для всех вершин, каждый раз, переходя к новой вершине, меняя цвет карандаша. Т.о., они используют карандаши пяти разных цветов и проведут 10 отрезков. Далее они обратят внимание на то, что каждая диагональ была проведена ими дважды (отрезки двух разных цветов). Следовательно, у пятиугольника 5 диагоналей. Описанный способ решения позволяет учителю поставить перед учащимися вопрос о количестве диагоналей у шестиугольника, семиугольника, стоугольника. Найденный способ легко может быть перенесен ими на любой многоугольник. ~ 43 ~ Прием определения логики перебора. Задача 6. Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 разделен на части прямыми 𝐾𝑀 и 𝑂𝑃. Найдите на этом рисунке девять прямоугольников. На этом несложном примере можно показать учащимся как может быть организован перебор прямоугольников, входящих в данную конфигурацию. Предварительный этап решения задачи состоит в выделении разными цветами всех маленьких прямоугольников, образующих большой прямоугольник. Один из вариантов решения. Считаем количество разноцветных прямоугольников, их четыре. Считаем количество двухцветных прямоугольников, обходя прямоугольник по часовой стрелке, их тоже четыре. Трехцветных прямоугольников нет. Четырехцветный треугольник один. Итого 4 + 4 + 1 = 9, что и требовалось показать. Под воображением будем понимать операции по мысленному оперированию геометрическими образами и по созданию новых образов. Формируется воображение на основе восприятия. Овладение действиями воображения происходит в процессе перехода практических действий во внутренний план. Действия воображения используются при решении задач, целью которых является: создание мысленного образа геометрического объекта по его описанию; создание мысленного объемного образа объекта на основе рисунка пространственного тела или проекционного чертежа; мысленное оперирование образом. Создание мысленного образа геометрического объекта по его описанию требует от учащихся умения мысленно конструировать новый образ из знакомых образов. Задача 7. а) Сколькими способами можно выложить параллелепипед, если использовать для этого четыре кубика? б) Сравните площади поверхностей получившихся параллелепипедов. Сложить из четырех кубиков параллелепипед учащиеся должны мысленно, а проверить, что таких возможностей только две, они могут, используя кубики реальные. Используя мысленный образ, учащиеся должны также определить и площади поверхностей параллелепипедов. Для проверки можно использовать реальную конфигурацию. Задача 8. Хозяйка, приведя козу на пастбище, вбила два колышка на расстоянии 10 м один от другого, натянула между колышками веревку с кольцом так, что кольцо может скользить от колышка к колышку, а к кольцу веревкой длиной 5 м привязала козу. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек, до которых может добраться коза. Задачу можно разбить на две подзадачи. Сначала определяем фигуру, которые образуют все точки, до которых может дотянуться коза, если она ходит вокруг каждого из колышков на максимальном расстоянии. Учащиеся при этом должны ~ 44 ~ «увидеть», что эти точки образуют окружность. Затем строим фигуру, состоящую из всех точек, до которых дотягивается коза, если ходит между колышками. Создание мысленного образа пространственного тела на основе графического изображения требует от учащихся умения заменять проекционный чертеж пространственного тела его реальным образом. Изучение пространственных фигур целесообразно начать с рисунков стеклянных, каркасных моделей, а также сплошных тел, сложенных из кубиков или параллелепипедов, постепенно заменяя изображения материальных тел их проекционным чертежом. Задача 9. Заштрихуйте видимые грани куба, используя для каждой грани свой цвет. Т.к. в задаче предлагается проекционный чертеж, который нужно суметь прочитать, то учитель должен зафиксировать внимание учащихся на том, что у видимой грани все ребра являются также видимыми. Учащиеся последовательно выделяют контуры, ограниченные «видимыми» линиями, и перед ними появляется куб с разноцветными видимыми гранями. Задача 10. Проведите на рисунке сплошные линии (видимые ребра) так, чтобы куб был «виден»: а) слева снизу; б) справа сверху; в). справа снизу. Эта задача является непростой для учащихся 5-6 класса. Поэтому сначала учащимся надо определить те грани, которые будут являться видимыми в каждом случае, затем, используя цветные карандаши последовательно обвести видимые ребра. Чтобы учащиеся овладели действиями по мысленному оперированию образом и его преобразованию, они должны научиться переводить практические действия с предметными моделями во внутренний план. Наиболее простым среди таких действий является изменение пространственного положения объекта. Задача 11. Дан тетраэдр, грани которого окрашены в серый, оранжевый, розовый и белый цвета (рис. 8). Тетраэдр начинают перекатывать, как показано на рисунке, причем он оставляет след такого же цвета, что и грань, касающаяся бумаги. Если тетраэдр сначала стоял на оранжевой грани, то какого цвета будет последний след? Постарайтесь догадаться без модели. Если трудно догадаться, то модель вам поможет. ~ 45 ~ Не многие ученики справятся с решением без модели тетраэдра. Поэтому организовать работу можно следующим образом. Учащиеся располагают пирамиду на листе бумаги согласно условию, затем начинают перекатывать ее по «следу» и выделять цветом соответствующий путь. По ходу выполнения задания (например после второго перекатывания) учитель может предложить учащимся следующее перекатывание сделать сначала мысленно, а затем проверить себя. Далее каждый продолжает свою змейку самостоятельно, сначала стараясь выполнить действие мысленно, а затем практически. Наиболее сложными Наиболее сложными для для учащихся учащихся являются являются действия действия по по преобразованию преобразованию исисходного образа, в котором он претерпевает изменения не только в плане проходного образа, в котором он претерпевает изменения не только в плане пространстранственного расположения, но и изменения структурного характера. ственного расположения, но и изменения структурного характера. 12. Задача Задача 12. Условимся боковые грани куба обозначать буквой Б, верхнюю – В, нижнюю – Н. расставьте на развертках куба буквы в соответствии с уже намеченными. Выполнению этого задания должно предшествовать изготовление учащимися данной развертки из листа бумаги. Надо предложить учащимся зафиксировать одну из известных граней (лучше верхнюю или нижнюю) и не спеша сворачивать развертку, обращая внимание на расположение граней. Сворачивая куб из разных разверток, учащиеся приходят к некоторому приему мысленного сворачивания куба. Задача 13. По поверхности стеклянного куба проходит ломанная линия, сделана из проволоки (рис. 10). Нанесите эту ломаную на изображение куба спереди, сверху и слева. Важной особенностью этого задания является то, что выполнить его можно не только мысленно разворачивая куб в нужном ракурсе, но и изменяя мысленно свое положение относительно куба – взглянуть на куб сверху, «зайти» справа и т.д. Приемы, помогающие воображению. При овладении действиями воображения, как и при овладении действиями наблюдения, существенную помощь оказывают описанные выше приемы, облегчающие восприятие: использование предметной модели, раскрашивание. Это видно из задач 9, 10, 11. Приведем пример, показывающий целесообразность использования при анализе рисунка в некоторых случаях и логики перебора. Задача 14. Сколько кубиков вы видите на рисунке? ~ 46 ~ Здесь можно предложить учащимся сначала подсчитать количество кубиков, которые они видят «сверху», а затем – «снизу». 2.3.2. Формирование графических действий и навыков конструирования. Графические действия представляют собой операции по созданию графических изображений геометрических объектов. Эти действия составляют основное содержание задач, целью которых является: выполнение схематического рисунка, изображение фигуры от руки; построение с помощью инструментов фигуры или конфигурации по заданному алгоритму; воспроизведение заданного изображения; построение с помощью инструментов изображения по описанию. Построение схематического рисунка требует от учащихся умения отображать основные особенности конфигурации, фиксируя в графической форме мысленно созданный образ. Задача 15. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а радиус окружности равен 3 см? Сделайте схематический рисунок. Выполнение схематического рисунка помогает учащимся «увидеть» описанную конфигурацию, если создание образа на основе описания вызвало затруднения. Учащиеся изображают окружность, проводят ее радиус, отмечают, что радиус равен 3 см. Далее они должны провести прямую, при этом понятно, что прямая, удаленная от центра окружности на 4 см, окружность не пересекает. Важно, чтобы прямая была проведена перпендикулярно радиусу с соблюдением масштаба. Построение с помощью инструментов по заданному алгоритму. Здесь возможны построения с использованием любых чертежных инструментов или классические построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки без делений. Выполнение классических геометрических построений более характерно для курса планиметрии, т.к. они основаны на логически обоснованных геометрических фактах, которыми учащиеся 5-6 классов не владеют. В этом возрасте целесообразнее проводить построения, используя разные инструменты. Это позволяет придумывать разные алгоритмы и способы построения, активно используя при этом полученные знания о свойствах фигур и развивая фантазию. Одним из приемов, помогающим овладеть действиями построения по заданному алгоритму, является создание последовательности рисунков стоп-кадров: изображений, последовательно фиксирующих отдельные, наиболее характерные моменты построения конфигурации. Кроме того, эти рисунки позволяют учащимся в ходе работы контролировать правильность выполняемых ими действий. Задача 16. Построить треугольник со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. ~ 47 ~ После выполнения соответствующего построения предлагаем учащимся прочесть описание построения, рассматривая по очереди каждый «кадр». Задача 17. Вписать в данную окружность равносторонний треугольник. Воспроизведение заданного изображения требует от учащихся умения самостоятельно создать алгоритм построения заданной конфигурации на основе ее анализа. Задачи такого рода надо проводить как на клетчатой бумаге, так и на нелинованной. Клетчатая бумага, обладая мерной сеткой, позволяет задать числовые характеристики составляющих элементов. Нелинованная бумага не содержит таких явных подсказок и требует более внимательного изучения заданного рисунка. Задача 18. Скопируйте отрезок в тетрадь. Выполняя это упражнение, учащиеся должны научиться «ходить» от узла к узлу по линиям сетки. При этом «путь» от точки A до точки B должен быть определен следующим образом: отсчитываем от точки A пять клеток вправо и три клетки вверх. Освоенный прием может использоваться в дальнейшем при воспроизведении различных фигур. Может использоваться и учителем, например, чтобы «продиктовать» классу необходимый для дальнейшей работы треугольник. Задача 19. Скопируйте в тетрадь фигуру, составленную из окружности и частей окружности. В этом задании клетчатая бумага используется в качестве измерительного инструмента. Учащиеся последовательно определяют, что конфигурация состоит из окружности и двух полуокружностей; радиус боль~ 48 ~ шой окружности равен четырем клеткам, радиусы меньших – двум клеткам; центры окружностей расположены на одной прямой; центры меньших находятся по разные стороны от центра большой окружности на расстоянии, равном двум клеткам. Задача 20. Постройте такой же «цветок», как на рисунке. Рисунок задан на нелинованной бумаге, поэтому учащиеся могут выбирать числовые данные по своему усмотрению. Сначала они должны увидеть «серединку цветка» и шесть окружностей, образующих его «лепестки». Затем, сравнивая центральную окружность с одним из лепестков, устанавливают их равенство и особенности взаимного расположения. На этом этапе можно начинать выполнять построения. Построение изображения по описанию предполагает создание сначала зрительного образа на основе вербального описания, а затем способа его построения. Здесь может помочь такой прием, как достраивание изображения на готовом чертеже. Задача 21. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 – стороны четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝑂. Известно, что ∠𝐶 = 90°, а сторона 𝐵𝑂 параллельна стороне 𝐴𝐶. Достройте этот четырехугольник. Результатом построения является прямоугольная трапеция, самостоятельное построение которой по описанию может вызвать у учащихся определенные затруднения. Задача 22. Даны три точки 𝐴(−1,1), 𝐵(3,1) и 𝐶(2,4). Достройте фигуру до параллелограмма и определите координаты четвертой вершины. Сколько решений имеет задача? Сначала учащиеся должны будут отметить данные точки в координатной плоскости, а затем, используя определение параллелограмма, достроить получившуюся фигуру до параллелограмма и определить возможные координаты четвертой вершины. Под детским конструированием принято подразумевать создание разных конструкций и моделей из строительного материала и деталей конструкторов, изготовление поделок. Мы будем говорить о конструировании, имея в виду создание предметных моделей геометрических объектов. Эти действия реализуются через задачи: на пространственное моделирование; на построение фигуры с помощью перегибания листа бумаги; на разрезание и складывание. Пространственное моделирование помогает при изучении свойств пространственных объектов. Кроме этого, учащимся при создании модели приходится опираться на мысленный образ моделируемого тела, выделять особенности конструкции, определять его размеры и т.п. ~ 49 ~ Задача 23. Изготовьте из картона куб объемом 1 дм3 . Чтобы решить эту задачу учащимся придется сначала определить длину ребра куба, затем сделать развертку куба с полученной длиной ребра и, наконец, собрав развертку, получить куб. Задача 24. Сплетите тетраэдр из двух полосок, состоящих из четырех треугольников. Согните и разогните каждую из полосок по пунктирным линиям. Наложите цветную полоску на белую. Сложите из белой полоски тетраэдр так, чтобы цветной треугольник оказался внутри него, затем оберните цветной полоской две грани тетраэдра и оставшийся треугольник вставьте в щель между двумя белыми треугольниками. Построение фигуры с помощью перегибания листа бумаги является для учащихся операцией, знакомой по выполнению поделок из бумаги. Однако теперь им придется выполнять перегибания, привлекая имеющиеся геометрические знания. Задача 25. С помощью перегибаний листа бумаги постройте ромб. Построение основано на свойстве диагоналей ромба и равенстве его сторон. Учащиеся дважды перегибают лист так, чтобы образовался прямой угол, а затем загибают его. Развернув лист, они обводят карандашом линии сгиба, образующие ромб. Задача 26. Из листа бумаги произвольной формы сложите прямоугольник. В данной задаче для выполнения построения будем использовать определение прямоугольника, как четырехугольника, у которого все углы прямые. Тогда по действиям задачи 25 получаем последовательно четыре прямых угла. Разрезание и складывание фигур служит для развития и углубления представлений о геометрических фигурах, обнаруживанию существующих между ними связей. Так, квадрат можно разрезать на два равных прямоугольника, на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, на четыре равных квадрата и т.п. Ценность полученных навыков заключается в том, что в дальнейшем разрезание и перекраивание используется в качестве приема: на основе действий по перекраиванию можно находить площади параллелограмма, треугольника, трапеции и т.д.; составление паркетов из равных треугольников позволяет «увидеть», что сумма углов треугольника равна 180° и пр. Задача 27. Вырежьте из листа бумаги параллелограмм и перекроите его в прямоугольник. Чему равна площадь параллелограмма? Можно использовать в учебных целях и такую хорошо известную игруголоволомку, как «Танграмм». ~ 50 ~ Задача 28. Используя все семь частей танграма, сложите фигуры, приведенные на рисунке. 2.3.3. Формирование действий измерения. Действия измерения состоят из операций по измерению геометрических величин и усвоению эталонов длины, площади, объема и градусной меры угла. Используются они при решении задач, требующих: выполнение измерений с помощью инструментов; выбора и преобразования единиц измерения; измерение величины на глаз; сопоставление величин непосредственно воспринимаемых объектов; выполнения вычислений геометрических величин. Выполнение измерений с помощью инструментов требует от учащихся знания устройства измерительного инструмента, его шкалы, умение им пользоваться. Измерять длину отрезка учащиеся умеют из начальной школы, поэтому в курсе наглядной геометрии имеет смысл расширить круг его применения, например, для измерения длины ломаной, произвольной кривой и т.п. В отличие от измерения длины отрезка, измерение величины угла – новый вид измерений. Помочь учащимся им овладеть могут задания, которые выполняются на изображениях транспортира. В этих заданиях не надо прикладывать транспортир к углу, необходимо выполнить только действия по определению величины угла по шкале. При этом они привыкают к правильному расположению транспортира, могут выбрать шкалу, которой удобно пользоваться. Первые построения угла заданной градусной меры также полезно осуществлять на рисунках, где дано изображение транспортира и проведена одна из сторон угла. . Выбор единиц измерения или преобразование заданных требует от учащихся знаний о соотношениях между метрическими величинами и на их основе осуществляли преобразование единиц площади и объема. Но научиться осознанно, не формально, преобразовывать единицы измерений можно только тогда, когда эти преобразования сначала выполнены практически. ~ 51 ~ Задача 29. Постройте квадрат со стороной 1 дм и найдите его площадь. Выразите сторону квадрата в сантиметрах и найдите его площадь. Какой вывод можно сделать? Решая с учащимися подобные задачи, можно получить таблицу перевода одних единиц измерения в другие. Мы с учениками составили следующую таблицу: ∙ 10 1 мм ∙ 10 1 см 1 см2 ∙ 1000 1 мм3 1 дм ∙ 100 ∙ 100 1 мм2 ∙ 10 1м ∙ 100 1 дм2 ∙ 1000 1 см3 ∙ 10 10 м ∙ 100 1м2 ∙ 1000 1л ∙ 10 100 м ∙ 100 1а ∙ 1000 1м3 ∙ 10 ∙ 100 1 га ∙ 1000 1а 1 км 1 км2 ∙ 1000 1 га 1 км3 Использование такой таблицы сводит к минимуму ошибки, связанные с переводом одних единиц измерения в другие. Задача 30. Расположите следующие национальные меры длины в порядке возрастания: вавилонский стадий, аттический стадий, сухопутное лье, морское лье, миля морская международная, морская миля в Великобритании, уставная сухопутная миля, фут, кабельтов, дюйм, мил, ярд. Задача 31. Известно старинное пожелание морякам: «Семь футов под килем». А сколько это будет аршин, метров? Вспомните еще пословицы и поговорки, в которых фигурируют меры длины. Приведите примеры из литературы. Решение такого типа задач учит не только переводить одни единицы измерения в другие, но и развивает кругозор и познавательный интерес школьников. Измерение величины на глаз является важным практическим умением, которое часто оказывается востребованным в жизни. А умение определить, что выполненное изображение не соответствует условию задачи, полезно при изучении геометрии. Основная цель овладения умением оценивать геометрические величины на глаз заключается в использовании этого умения для самоконтроля над выполненными действиями, для анализа достоверности зрительной информации. Задача 32. Постарайтесь при помощи одной линейки (на глазок) построить углы, равные 30°, 45°, 80°, 90°, 120°. А теперь измерьте транспортиром построенные углы. На сколько вы ошиблись? Чтобы справиться с этой задачей учащиеся должны мысленно сравнить угол, который они будут строить, с некоторым известным им эталоном (например, с углом в 90°), вспомнить, что угол в 30°, составляет треть прямого угла, угол в 45° равен ~ 52 ~ его половине, угол в 80° чуть меньше угла в 90° и т.д. Неоднократное выполнение описанных действий постепенно приведет к формированию новых зрительных эталонов. Чтобы научиться оценивать геометрические величины на глаз, нужно иметь опыт сопоставления величин непосредственно воспринимаемых объектов. Так, например, в задаче 32 необходимо сравнить угол с прямым углом. B Задача 33. Назовите отрезки в порядке возрастания их длин. Результат проверьте измерением. C A D F E Задача 34. Какие отрезки можно закрыть кругом? проверьте результат, наложив круг на каждый из отрезков. 1 3 2 Решение задач на вычисление геометрических величин требует от учащихся умения владеть понятиями, правилами вычисления, свойством аддитивности. Считается целесообразным находить геометрические величины сначала в абстрактных единицах, когда фигуры разбиваются на единичные части, а уже затем осуществлять переход к метрическим единицам. Задача 35. Увеличьте ломаную на рисунке а) в 2 раза так, чтобы ее форма не изменилась. Сможете ли вы удвоить линию на рисунке б)? Задача 36. Нарисуйте фигуру той же площади, что и фигура, изображенная на рисунке. Переход к нахождению площади или объема с помощью правила должен быть постепенным. На переходном этапе можно предлагать следующие задачи. Задача 37. Начертите в тетради прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Разбейте прямоугольник на квадраты со стороной 1 см и определите его площадь. ~ 53 ~ Важно, чтобы учащиеся считали сначала квадраты одного ряда, а затем считали число рядов. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что число квадратов в ряду равно длине одной из сторон прямоугольника, а число рядов – длине другой стороны. Задача 38. Определите площадь прямоугольника, часть которого залита краской. При выполнении этого упражнения учащиеся уже не могут пересчитать квадратики, они вынуждены определять число квадратов с помощью умножения. Что нам и надо. Когда правило усвоено, полезно решать не только прямые задачи, но и обратные. А также одновременно находить периметр и площадь, т.к. учащиеся бывает путают эти понятия. Задача 39. № 1. 2. 3. Длина 5 см 8 мм 10 м Ширина 3 см ….. мм ……. Площадь ….. см2 40 мм2 ……. Периметр ….. см …… мм 40 м Свойство аддитивности часто используется для нахождения площадей и объемов. Рассмотрим его на двух примерах. Задача 40. Определите площадь фигуры. Решение данной задачи лучше провести двумя способами: 1) разрезая исходную фигуру на два прямоугольника, 2) достраивая ее до прямоугольника. Задача 41. Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед. Чему равен его объем? Здесь следует тоже обсудить два решения: 1) определить измерения параллелепипеда и вычислить его объем с помощью правила; 2) вычислить объем одного куба, определить количество кубов и применить свойство аддитивности. Завершая разговор о действиях, составляющих геометрическую деятельность, следует сказать о том, что отнесение той или иной задачи к определенной группе является условным. Решение геометрической задачи, чаще всего требует совместной работы восприятия, воображения и мышления и, соответственно, выполнения различных действий. 2.3.4. Примеры организации занятий по формированию приемов исследовательской деятельности учащихся. В данном пункте рассмотрим одну из форм организации учебной работы по геометрии: организация исследовательской деятельности учащихся. ~ 54 ~ Вспомним основные виды деятельности, характерные именно для наглядной геометрии. Эти виды деятельности таковы. Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире геометрические фигуры, их конфигурации, симметричные фигуры и т.д. Моделировать геометрические объекты, используя бумагу, пластилин, проволоку и др. Изготавливать пространственные фигуры из разверток; конструировать орнаменты и паркеты, изображая их от руки, с помощью инструментов. Рассматривать простейшие сечения пространственных фигур, определять их вид, соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость. Изображать геометрические фигуры и их конфигурации, равные и симметричные фигуры. Измерять с помощью инструментов и сравнивать длины отрезков, величины углов, строить отрезки заданной длины и углы, заданной величины; вычислять периметры многоугольников, площади прямоугольников, объемы параллелепипедов. Выражать одни единицы измерения через другие. Исследовать и описывать свойства геометрических фигур, используя эксперимент, наблюдение, моделирование. Остановимся более подробно на последнем виде деятельности и покажем, как можно организовать исследовательскую деятельность детей в курсе изучения наглядной геометрии по учебному пособию авторов И. Ф. Шарыгина и Л. Н. Ерганжиевой. Предлагаем следующие темы для изучения с помощью исследования или эксперимента: Куб и его свойства. Свойства смежных и вертикальных углов. Сумма углов треугольника. Важное свойство многогранников. Топологические опыты. Параллелограммы. Зеркальное отражение и симметрия. Одно важное свойство окружности (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Куб и его свойства. (см. главу II, § 2, п. 2.3.3.) Свойства смежных и вертикальных углов. Понятия смежных и вертикальных углов в систематическом курсе геометрии вводится в начале 7 класса, в курсе же наглядной геометрии знакомство с вертикальными и смежными углами приходится на начало 5 класса и рассматривается в теме «Простейшие геометрические фигуры». Цель занятия: сформировать понятие смежных и вертикальных углов и их свойств. Форма работы на уроке – работа в парах. Основной структурный элемент угла – луч. Предлагаем детям построить в тетради произвольный угол и продлить одну из его сторон. Сколько углов получилось? Возможные варианты ответов 2, 3, 4. Рассматриваем углы, отличные от развернутого (работа в парах) по следующему плану: 1) Вспомните, как вы строили данные углы и попробуйте описать взаимное расположение сторон этих углов. ~ 55 ~ 2) Как бы вы назвали эти углы? Учащиеся предлагают возможные варианты названий. После чего учитель (если название учащиеся не придумали) может сказать, что в геометрии такие углы получили название смежных углов. 3) Попробуйте сформулировать определение смежных углов. Далее идет формулировка определения понятия смежных углов. 4) Не выполняя измерений, попробуйте дать ответ на вопрос: «Чему равна сумма этих углов?». Ответ обоснуйте. 5) Формулировка свойства смежных углов. Продлим второй луч. Сколько углов получилось? И снова рассматриваем углы отличные от развернутого по плану: 1) 2) 3) 4) 5) Определите виды получившихся углов по их градусной мере. Выделите цветом любую из пар несмежных углов. Опишите взаимное расположение сторон выделенных углов. Измерьте транспортиром и сравните градусные меры выделенных углов. Разрежьте фигуру на части и сравните углы. После выполнения третьего шага формулируем определение вертикальных углов, а после выполнения пятого – свойство. Используя наблюдение в данном исследовании, ученики выполняют сравнение непосредственно воспринимаемых объектов, которое требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные, что в свою очередь, помогает формированию понятий. Сумма углов треугольника. Цель занятия: экспериментальным путем найти сумму углов треугольника. Форма работы – групповая. Группы формируются по интересам по 4-5 человек. Задание дается одинаковое для всех групп. По окончании работы в группах происходит коллективное обсуждение результатов. Необходимый материал: на каждого учащегося заготовлено по три цветных треугольника. Задание группам: 1) Измерьте с помощью транспортира градусные меры углов треугольника и найдите их сумму. (Работа с первым треугольником). Обсудите результаты в группе. 2) Перекроите треугольник так, чтобы можно было последовательно совместить его углы (т.е. первый угол совместить со вторым, а второй – с третьим). Определите градусную меру получившегося угла. (Работа со вторым треугольником). Обсудите результаты в группе. 3) Найдите середину любой стороны треугольника. Перегибая бумагу, совместите все вершины треугольника с отмеченной серединой. Что вы заметили? Обсудите результаты в группе. 4) Проанализируйте все результаты, полученные в группе, и сформулируйте утверждение о сумме углов треугольника. Далее идет коллективное обсуждение групповых утверждений и выдвижение общего утверждения о сумме углов треугольника. ~ 56 ~ При такой организации проведения эксперимента ученики не только сами получают результат, но и учатся корректному общению со сверстниками, получают опыт публичных выступлений. Можно рекомендовать учащимся дома самостоятельно, используя приведенные способы исследования, найти сумму углов четырехугольника. Важное свойство многогранников. Цель урока: экспериментальным путем получить формулу Эйлера. Форма работы – работа в парах. Необходимый материал: на каждой парте лежат модели правильного тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. Задание для пар: 1) Исследуйте модели октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (по плану исследования куба). 2) Вовремя исследования заполняйте таблицу. Многогранник Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Вершины Грани Ребра В+Г–Р 3) Внимательно посмотрите на последний столбец таблицы. Что вы заметили? Попробуйте сформулировать ваше наблюдение в виде утверждения. В качестве домашнего задания можно предложить учащимся изготовить модели правильных многогранников, используя их развертки, а можно изготовить развертки вместе на следующем уроке. Топологические опыты. Топология – раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, которые остаются неизменными при любой деформации: сдавливании, растяжении, сжатии. Цель урока: формирование приема описания. Форма урока – групповая. Необходимые материалы: 5 полосок односторонней цветной бумаги длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы создать интригу на уроке учитель показывает детям два кольца: одно простое, а другое перекрученное на один полуоборот. Вопрос: сколько получится колец, если разрезать первое кольцо вдоль? Ответ очевиден – два. Разрезав кольцо, учитель получает прогнозируемый результат. Следующий вопрос: сколько получится колец, если разрезать второе кольцо вдоль? Почти все скажут, что два (остальные задумаются). К удивлению детей после разрезания получается всего одно кольцо. В чем же причина? Задание для групп: ~ 57 ~ 1) Склейте из заготовленных полос простое кольцо и кольца, перекрученные на 1, 2, 3, 4 полуоборотов. 2) С помощью цветного фломастера проведите линию посередине каждого кольца и ответьте на вопрос: «По скольким цветам полоски проходит проведенная полоса?» 3) Разрезая поочередно кольца вдоль, заполнить таблицу: Число полуКоличество заРезультат разреСвойства оборотов действованных зания (количецветов ство колец) 0 1 2 3 4 Для того, чтобы учащиеся смогли более точно и полно перечислить свойства, целесообразно предложить им следующий план: Опишите взаимное расположение колец (если их несколько). Сравните длину получившегося кольца (или колец) с длиной исходного кольца. Сравните ширину получившегося кольца (или колец) с шириной исходного кольца. Определите количество полуоборотов кольца (или колец). 4) Проанализируйте результаты и установите зависимость между числом полуоборотов исходного кольца, количеством получаемых колец, их длиной и шириной, взаимным расположением и количеством полуоборотов. 5) Подготовьтесь к обсуждению результатов групп. В ходе общего обсуждения результатов сформулировать общий итог. Параллелограммы. Параллелограмм – красивое и звучное слово, напоминающее нам о единицах веса, но на самом деле никакого отношения к ним не имеющее. В систематическом курсе геометрии изучение параллелограмма приходится на 8 класс. Очень часто ученики при формулировке определения понятия параллелограмма перечисляют и некоторые его свойства. На мой взгляд, это связано с тем, что образ параллелограмма, формируется при зазубривании его определения, а вслед за несформированным образом параллелограмма идет изучение его свойств. В курсе наглядной геометрии знакомство с параллелограммом приходится на 6 класс, после изучения темы «Параллельность и перпендикулярность», при этом образ параллелограмма возникает перед учащимися в результате построения двух пар параллельных прямых Опираясь на визуальное изучение и выполнение построения, учащиеся фиксируют внимание на том, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Таким образом, уже на этом этапе они имеют возможность самостоятельно изобразить его, при этом термин «параллелограмм» ассоциируется у них с параллельностью и через способ построения. Урок, посвященный классификации параллелограммов также можно провести в виде исследования. ~ 58 ~ Цель урока: формирование приема работы с понятием (определение понятия через род и видовое отличие). Форма работы – работа в одноуровневых парах. Необходимый материал: конструктор. После построения параллелограмма в тетради, учащимся предлагается измерить с помощью линейки противоположные стороны параллелограмма и сравнить их длины. Используя полученный результат, предлагаем ученикам изготовить параллелограмм из конструктора. И здесь дети обнаруживают новую его особенность: параллелограмм «подвижная» фигура (в отличие от треугольника). Предлагаем «двигая» параллелограмм, получить какую-нибудь известную фигуру. Дети без труда получают прямоугольник, при этом четко осознавая, что прямоугольник – это параллелограмм. Ответив на вопрос: «Какая особенность выделяет прямоугольник из всех параллелограммов?», ученики формулируют его определение через род и видовое отличие. Если же взять все равные стороны при сборке параллелограмма, то получим параллелограмм, у которого все стороны равны. Такие параллелограммы получили особое название – ромбы. «Двигая» ромб, получаем квадрат. Аналогично получаем связь между прямоугольником и квадратом. Затем можно предложить учащимся составить родословную параллелограммов. На следующем уроке можно провести исследование, позволяющие сформулировать свойства квадрата. Работу можно провести в парах. Задание для пар: 1) Отметьте на листе две точки А и В, а затем сложите лист так, чтобы А и В совпали. Как расположены друг относительно друга линии сгиба и прямая АВ? 2) Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных прямых. 3) Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте прямоугольник. Покажите в нем параллельные и перпендикулярные стороны. 4) Сверните прямоугольник так, чтобы получился квадрат. Вырежьте этот квадрат. 5) Перегибанием получите две диагонали квадрата. 6) Сравните диагонали по длине. 7) Определите взаимное расположение диагоналей. 8) Определите, в каком отношении диагонали делятся точкой пересечения. 9) На какие фигуры делит квадрат каждая диагональ? Определите вид этих фигур. 10) Сравните эти фигуры между собой. 11) Перегните квадрат пополам, так чтобы совпали противоположные стороны. 12) Через какую точку проходит линия сгиба? Как линия сгиба расположена относительно сторон квадрата? На какие фигуры она делит квадрат? В зависимости от уровня подготовки учащихся план исследования может быть детализирован более подробно. ~ 59 ~ Зеркальное отражение и симметрия. С понятием «симметрия» учащиеся знакомятся из повседневной жизни, занятий рисованием, моделированием и т.п., поэтому, прежде чем переходить к математическому его толкованию, необходимо вычленить в сознании учащихся общекультурное понимание этого феномена. Демонстрируя учащимся различные фотографии и слайды, рисунки и репродукции картин с изображениями проявлений симметрии в природе (бабочка, снежинка и пр.), в продуктах человеческой деятельности (народные орнаменты, древнегреческие амфоры, исторические и современные здания), учитель формирует представление о симметрии как гармонии, соразмерности, порядке. Перед введением понятия симметрии имеет смысл дать ученикам домашнюю работу исследовательского характера, предварительно разделив учащихся на три группы экспериментаторов. Основная цель работы – стимулирование познавательного интереса к изучению симметрии. Задание для первой группы: 1) Напишите свое имя печатными буквами в столбик и посмотрите на его отражение в зеркале. Поворачивает ли зеркало ваше имя? А имя Юра? Чем отличаются записи Маша и Рома, если полоски с именами расположить параллельно поверхности зеркала? 2) Встаньте лицом к зеркалу. Проверьте, меняет ли зеркало местами левую и правую стороны, верх и низ, предметы спереди и сзади вас? 3) Выполните аналогичную проверку , встав к зеркалу боком. Задание для второй группы. 1) На полоске бумаги горизонтально печатными буквами написаны слова ЧАЙ и КОФЕ. Положите эту полоску перед зеркалом на стол. Что происходит с этими словами. Как вы думаете, почему? 2) Положите на стол несколько предметов и расположите перпендикулярно плоскости стола зеркало. Изменилась ли последовательность предметов? 3) Представьте себя стоящим на зеркальном полу. Что меняется местами? Задание для третьей группы. 1) Поставьте два зеркала под прямым углом друг к другу. Поменялись ли на изображении местами левая и правая стороны? 2) В зеркалах, стоящих перпендикулярно друг другу, мы видим себя такими, какими видят нас другие люди. Почему? 3) Какое изображение получится, если линия соединения зеркал будет горизонтальной? Задание для четвертой группы. 1) Поставьте на лист белой бумаги два зеркала под углом друг к другу. Сколько раз зеркала отражаются друг в друге. Меняйте угол между зеркалами и определяйте количество отражений. Какой вывод можно сделать? 2) Нарисуйте между зеркалами какую-нибудь фигуру или просто линию. Сравните рисунки, если угол между зеркалами равен 30˚, 45˚, 90˚, 120˚ (эти углы начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами). попробуйте зарисовать их в тетради. Какой рисунок вам понравился больше всего? ~ 60 ~ Задание для энтузиастов. 1) Попытайтесь прочитать книгу, глядя не в нее, а в ее отражение в зеркале. 2) Удастся ли вам написать хоть строку, глядя не на лист бумаги, а на его зеркальное отражение? Формирование представлений об осевой симметрии. В начале урока происходит обсуждение результатов домашнего исследования и формулируются соответствующие выводы. Делим класс на разноуровневые группы. Задание для групп. 1) Возьмите лист бумаги и проведите на нем прямую, перегните лист по этой прямой и проткните его иглой. Разверните лист и внимательно рассмотрите полученную модель. Прокомментируйте полученный результат. После обсуждения можно сообщить учащимся, что такие точки называются симметричными относительно проведенной прямой. 2) Проведите прямую через данные точки. Каково взаимное расположение полученных прямых? Сравните расстояние от точек до прямой. Проверьте свои предположения соответствующими измерениями. 3) Попробуйте ответить на вопрос: «Как можно построить точку, симметричную данной относительно проведенной прямой, не выполняя перегибания бумаги?» 4) Рассмотрите изображения двух четырехугольников, симметричных относительно прямой. Мысленно перегните лист вдоль оси симметрии. Как вы думаете, совместятся ли треугольники? Какой вывод из этого можно сделать? 5) Как вы думаете, совмещение каких вершин, сторон, углов произойдет? 6) Сложите лист пополам и проведите на нем какую-нибудь линию. Разрежьте лист по проведенной линии и разверните его. Теперь можно сказать учащимся, что линия перегиба – это ось симметрии фигуры. 7) Сравните длины полученных линий и их взаимное расположение. Сформулируйте условия, которым должна отвечать прямая, являющаяся осью симметрии. Формирование представлений о центральной симметрии можно осуществить по той же схеме, что и формирование представления об осевой симметрии. В заключении хотелось бы сказать, что в курсе наглядной геометрии, как отмечалось выше, основным методом исследования геометрических объектов должен стать эксперимент как реальное физическое действие. Опираясь на его результаты, рассмотрев и проанализировав различные частные случаи, учащиеся на основе индуктивных рассуждений выдвигают гипотезу, отражающую найденную закономерность. ~ 61 ~ Заключение. Современная школа видит свою основную цель в формировании ученика как неповторимой индивидуальности, в создании оптимальных условий для его становления, личностного развития, в поддержке на пути самоопределения и самореализации через образование. Сегодня актуальны такие технологии обучения, которые ориентированы на активную самостоятельную деятельность учащихся, формируют личную позицию, мотивацию учения, предполагают использование и активное освоение различных источников информации. Одной из таких технологий является технология деятельностного подхода в обучении. В данной работе раскрывается суть деятельностного подхода при обучении математике и показывается его использование при обучении математике в 5-6 классе. Занимаясь вопросом деятельностного подхода в обучении, мною была изучена научная и психолого-педагогическая литература по вышеуказанной проблеме, обобщен опыт работы коллег по использованию деятельностного подхода, разработан методический и дидактический материал по использованию деятельностного подхода на уроках математики в 5-6 классе. Работа над темой показала, что формирование приемов учебной деятельности, начиная с 5-6 класса, должно дать свои результаты при обучении математике в дальнейшем. Использование деятельностного подхода на уроках математики позволяет выработать у школьников мотивы и цели учебной деятельности, обучить способам ее осуществления и регулирования, позволяет научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, включить их в специально организованную деятельность и сделать хозяевами этой деятельности. Деятельностный подход в обучении математике я использую сравнительно недавно, но даже за этот короткий срок я заметила насколько повысился интерес учеников к предмету. Мои ученики получают огромное удовольствие от знаний, полученных ими самими. Деятельностный подход действительно мотивирует исследовательскую деятельность учащихся, побуждает их изучать неизвестное, учит ставить цели и достигать их. А какое удовлетворение испытывает от таких уроков учитель, понимая , что его труд не напрасен, что дети с нетерпением ждут его новых уроков и готовы к получению новых знаний. Но как, же в бочке с медом без ложки дегтя? Деятельностный подход в обучении требует от учителя колоссальных затрат времени (подготовка к традиционному уроку занимает гораздо меньше времени), умственной деятельности (чтобы дети смогли «сами открыть» что- то новое, учитель должен продумать и каждый свой шаг, и каждый шаг детей), кроме того и вся техническая сторона ложится на плечи учителя. Кроме того, используя деятельностный подход в обучении, учитель должен быть готов к тому, что процесс «открытия новых знаний» может затянуться. Самое главное при этом не считать минуты до конца урока, боясь что-то не успеть, а постараться дойти до заветного открытия, и не давать детям готовый результат в чистом виде. ~ 62 ~ Использованная литература: 1) Бабанский Ю. К. Избранные педагогические труды / Сост. Ю. К. Бабанский. – М.: Педагогика, 1989. 2) Беспалько В. П. Слагаемые педагогической технологии. – М.: Педагогика, 1989. 3) Гусев В. А. Геометрия. 5-6 классы: Учебное пособие. – М.: ООО «ТИД «Русское слово – РС», 2002. 4) Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода: кн. для учителя / О.Б. Епишева. – М.: Просвещение, 2003. 5) Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов уч. деятельности: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. 6) Загвязинский В. И. Педагогическое предвидение. – М.: Знание, 1987. 7) Зубарева И. И. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2008. 8) Зорина Л. Я. Программа – учебник – учитель. – М.: Знание, 1989. Серия педагогика и психология № 1. 9) Лабораторные и практические работы по методике преподавания математике. Учеб. пособие для студентов физико-математических специальностей пед. институтов / Под ред. Е. И. Лященко. – М.: Просвещение, 1997. 10) Пышкало А. М. Геометрия в 1-4 классах. – М.: Просвещение, 1968. 11) Рослова Л. О. Методика преподавания наглядной геометрии учащимся 5-6 классов. // Математика, № 17 - № 24, 2009. 12) Талызина Н. Ф. Педагогическая психология. – М.: Академа, 2003. 13) Ходот Т. Г. Математика. Наглядная геометрия: кн. для учителя: 5-6 кл. / Т. Г. Ходот, А. Ю. Ходот, О. А. Дмитриева. – М.: Просвещение, 2008. 14) Шарыгин И. Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений / И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. – М.: Дрофа, 2008. 15) Эльконин Д. Б. Избранные педагогические труды. – М.: Педагогика, 1989. 16) Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. – М.: Педагогика, 1980. 17) Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2008. 18) Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина.М.: Просвещение, 2007. 19) Примерные программы основного общего образования. Математика. – М.: Просвещение, 2009. – (Стандарты второго поколения). 20) Примерные программы основного общего образования. Математика // Математика, № 16, 2009. 21) Федеральный закон РФ «Об образовании». – М.: Ось 89, 1999. 22) Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть II. Среднее (полное) общее образование. / Министерство образования Российской Федерации. – М. 2004. ~ 63 ~ Приложения. Приложение 1. Планирование урока по теме: «Признаки делимости на 3 и на 9». Приложение 2. Примеры организации занятий по формированию приемов исследовательской деятельности учащихся. Приложение 3. Творческая работа учениц 5 «в» класса Ежовой Алины и Трапезиной Яны по теме: «Магические квадраты». (презентация) Приложение 4. Творческая работа ученика 5 «г» класса Кононца Дмитрия по теме: «Треугольные числа». (презентация) ~ 64 ~ Приложение 1. Планирование урока по теме: «Признаки делимости на 3 и на 9». Цели: Обучающие: вывести признаки делимости на 3 и на 9; Развивающие: 1) развитие внимания, восприятия, памяти; 2) развитие мыслительных операций: анализа, обобщения; 3) развитие речи. Воспитательные: 1) познавательный интерес; 2) нравственные качества личности; 3) культура общения. Повторение: делимость суммы и произведения; понятие числа и цифры, распределительные свойства умножения. Знания и навыки: знать признаки деления на 3 и 9 и уметь их применять. Приемы учебной деятельности: анализ и обобщение (при формулировании признаков делимости), прием использования синтетического метода доказательства (при доказательстве признаков делимости на 3, на 9), приемы работы с учебником (этапы отработки и применения). Содержание урока: 11. Организационный момент. 12. Актуализация знаний учащихся в виде устного счета. 5) Перечислите все цифры, которые мы используем для записи чисел. Чему равно их произведение? 6) На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? 7) Не вычисляя суммы и произведения, определите, делится ли: а) (100+50+75) на 25; б) 60·14 на 2; в) (18+36+55+90) на 9; г) (12+ 36+24+48) на 4; д) 5·44·67·8 на 11. Какие свойства делимости вы использовали? 8) Найдите значение выражения наиболее простым способом: а) 57,4·0,396 + 42,52·0,396; б) 8,39·4,32 – 4,,32·6,39; в) 0,89·5,06 + 1,11·5,06; г) 53,76·78,91 – 43,76·78.91. Каким свойством вы пользовались? 5) Закончите равенство, применив распределительный закон: а) (а + 8) · 4= б) (x – 7) · 6= в) 5 · (а + b)= г) 5 · (13 – y)= 13. Определение целей и темы урока. Задача: не выполняя деления числа 738, выясните, делится ли оно на 3, на 9? Учащиеся не могут справиться с заданием, у них нет правила по которому можно определить делимость числа на 3 и на 9, возникает информационный ~ 65 ~ дефицит. Предлагаем учащимся самим сформулировать тему урока и определить его цель. Цель урока (со слов учащихся): вывести признаки делимости на 3 и на 9. Тема урока: «Признаки делимости на 3 и на 9». 14. Изучение нового материала. Разделение на группы по территориальному признаку. Задание для групп. 6) Разделите данное вам число на 3 (кол-во чисел определяется по количеству участников группы). 7) Найдите сумму цифр числа и разделите ее на 3. 8) Обсудите результаты, полученные каждым участником группы. Какое утверждение можно сформулировать? 9) Повторите действия 1) – 3), выполняя деление данного вам числа на 9. 10) Сформулируйте общее утверждение группы. Далее идет обсуждение утверждений групп и выдвижение общей гипотезы, которую надо будет доказать. Доказательство проходит в тех же группах с использованием исходного числа 738. Три группы выполняют доказательство признака делимости на 3, а остальные три – на 9. 6) Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. 7) Представьте числа кратные 10 в виде суммы так, чтобы одно из слагаемых делилось на 3 (9). 8) Воспользуйтесь распределительным и переместительным свойствами и выполните преобразования выражения. 9) Внимательно посмотрите на полученный результат и постарайтесь закончить доказательство. 10) Подготовьтесь к защите вашего доказательства. После завершения доказательства результаты работы групп вывешиваются на доску и происходит защита работы групп. По окончании защиты доказательства признаков делимости на 3 и 9, сами признаки еще раз формулируются и заносятся в «математический справочник» учащихся в виде памятки. Число делится на 3 (9) ↔ сумма цифр числа делится на 3 (9). Если уровень подготовки класса позволяет, то доказательство признаков делимости можно проводить не для конкретного числа, а для произвольного (например трехзначного 𝑎𝑏𝑐) в общем виде, используя синтетический метод доказательства. 15. Физкультминутка. 16. Закрепление изученного материала. Выполнение упражнений на определение делимости чисел на 3, на 9 с использованием полученного признака (с проговариванием признака). 4) Найти сумму цифр числа; 5) Проверить делится ли она на 3 (на 9); 6) Сделать вывод о делимости числа на 3 (на 9). 17. Работа с задачей на делимость. Подумайте, каким числом (четным или нечетным) является: а) квадрат четного числа; б) квадрат нечетного числа; в) куб четного числа. Ответы обоснуйте. ~ 66 ~ 18. Диагностическая работа. Взаимопроверка. № 1. Напишите три трехзначных числа, которые делятся на 9. № 2. Какие цифры следует поставить вместо звездочек в записи 2*5, 46*, чтобы получившиеся числа делились на 3. 19. Повторение ранее изученного материала. Предложить учащимся задачу на ранее изученный материал (например, комбинаторную задачу). Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр? 20. Подведение итогов урока. Домашнее задание. Что нового мы узнали сегодня на уроке? Достигнута ли цель, поставленная нами в начале урока? Кто сегодня справился со всеми предложенными заданиями? Кто сегодня работал отлично? А хорошо? Есть ли среди нас такие, кто недоволен своей работой? Почему? Что нужно сделать, чтобы закрепить полученные нами знания? Записываем домашнее задание: п. 3 прочитать, признаки делимости выучить и знать как их применять; № 86, №90 (k = 0,83), № 91(а). ~ 67 ~ Приложение 2. Примеры организации занятий по формированию приемов исследовательской деятельности учащихся. Куб и его свойства. Цель занятия: сформировать образ куба. Форма работы на уроке: индивидуальная, парная. Необходимый материал: твердая модель куба. Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы знаем о кубе все. Но так ли это? Много ли может рассказать о нем и его свойствах пятиклассник? Предлагаем учащимся, взяв в руки модель куба (лучше твердую), выполнить следующие задания и ответить на вопросы: Выполняемое задание 1. Проведите ладонью по поверхности куба, что вы ощущаете? 2. Рассмотрите отдельные плоские части – грани куба, определите их форму. 3. Зафиксируйте пальцами каждую грань куба (лучше использовать по три пальца каждой руки) и определите количество его граней. 4. Поставьте пальцы на грани куба и сравните их. 5. Проведите ладонью по поверхности куба и выделите линию излома – ребро куба. С помощью пальцев определите количество ребер верхнего основания, нижнего основания, боковых ребер и их общее количество. 6. Зафиксируйте ребро пальцем и определите, скольким граням принадлежит это ребро. Проделайте это для других ребер. 7. Сравните длины ребер между собой. 8. Выделите вершины куба и, зафиксировав каждую вершину пальцем, подсчитайте их число. 9. Выберите одну из вершин, определите число ребер, Выполняемые действия Результат Тактильные действия и Поверхность куба содвижения. стоит из плоских частей. Зрительное сопоставление. Каждая грань куба – квадрат. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Количество граней – 6. Сравнение и анализ отдельных элементов. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Все грани куба равны между собой. Количество ребер верхнего основания – 4, нижнего – 4, боковых ребер – 4. Всего ребер – 12. Тактильные действия, помогающие в определении количественных характеристик. Синтез элементов в единое целое. Сравнение и анализ отдельных элементов. Определение количественных характеристик.. Каждое ребро принадлежит двум граням. Все ребра равны между собой. У куба 8 вершин. Определение количествен- В каждой вершине ных характеристик. Синтез сходится три ребра. ~ 68 ~ сходящихся в этой вершине; проделайте это для других вершин. 10. Зафиксируйте одну из вершин и определите количество граней, сходящихся в ней. Проделайте это для других вершин. элементов в единое целое. Определение количествен- В каждой вершине ных характеристик. Синтез сходится три грани. элементов в единое целое. Фиксируя результаты данного исследования в тетрадях, учащиеся получают практически полный образ куба. На одном из последующих занятий перечень свойств дополняется свойствами диагоналей куба, которые ученики получают, исследуя модель куба из спиц. Свойства смежных и вертикальных углов. Понятия смежных и вертикальных углов в систематическом курсе геометрии вводится в начале 7 класса, в курсе же наглядной геометрии знакомство с вертикальными и смежными углами приходится на начало 5 класса и рассматривается в теме «Простейшие геометрические фигуры». Цель занятия: сформировать понятие смежных и вертикальных углов и их свойств. Форма работы на уроке – работа в парах. Основной структурный элемент угла – луч. Предлагаем детям построить в тетради произвольный угол и продлить одну из его сторон. Сколько углов получилось? Возможные варианты ответов 2, 3, 4. Рассматриваем углы, отличные от развернутого (работа в парах) по следующему плану: 1) Вспомните, как вы строили данные углы и попробуйте описать взаимное расположение сторон этих углов. 2) Как бы вы назвали эти углы? Учащиеся предлагают возможные варианты названий. После чего учитель (если название учащиеся не придумали) может сказать, что в геометрии такие углы получили название смежных углов. 3) Попробуйте сформулировать определение смежных углов. Далее идет формулировка определения понятия смежных углов. 4) Не выполняя измерений, попробуйте дать ответ на вопрос: «Чему равна сумма этих углов?». Ответ обоснуйте. 5) Формулировка свойства смежных углов. Продлим второй луч. Сколько углов получилось? И снова рассматриваем углы отличные от развернутого по плану: 1) 2) 3) 4) 5) Определите виды получившихся углов по их градусной мере. Выделите цветом любую из пар несмежных углов. Опишите взаимное расположение сторон выделенных углов. Измерьте транспортиром и сравните градусные меры выделенных углов. Разрежьте фигуру на части и сравните углы. После выполнения третьего шага формулируем определение вертикальных углов, а после выполнения пятого – свойство. ~ 69 ~ Используя наблюдение в данном исследовании, ученики выполняют сравнение непосредственно воспринимаемых объектов, которое требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные, что в свою очередь, помогает формированию понятий. Сумма углов треугольника. Цель занятия: экспериментальным путем найти сумму углов треугольника. Форма работы – групповая. Группы формируются по интересам по 4-5 человек. Задание дается одинаковое для всех групп. По окончании работы в группах происходит коллективное обсуждение результатов. Необходимый материал: на каждого учащегося заготовлено по три цветных треугольника. Задание группам: 1) Измерьте с помощью транспортира градусные меры углов треугольника и найдите их сумму. (Работа с первым треугольником). Обсудите результаты в группе. 2) Перекроите треугольник так, чтобы можно было последовательно совместить его углы (т.е. первый угол совместить со вторым, а второй – с третьим). Определите градусную меру получившегося угла. (Работа со вторым треугольником). Обсудите результаты в группе. 3) Найдите середину любой стороны треугольника. Перегибая бумагу, совместите все вершины треугольника с отмеченной серединой. Что вы заметили? Обсудите результаты в группе. 4) Проанализируйте все результаты, полученные в группе, и сформулируйте утверждение о сумме углов треугольника. Далее идет коллективное обсуждение групповых утверждений и выдвижение общего утверждения о сумме углов треугольника. При такой организации проведения эксперимента ученики не только сами получают результат, но и учатся корректному общению со сверстниками, получают опыт публичных выступлений. Можно рекомендовать учащимся дома самостоятельно, используя приведенные способы исследования, найти сумму углов четырехугольника. Важное свойство многогранников. Цель урока: экспериментальным путем получить формулу Эйлера. Форма работы – работа в парах. Необходимый материал: на каждой парте лежат модели правильного тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. Задание для пар: 1) Исследуйте модели октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (по плану исследования куба). 2) Вовремя исследования заполняйте таблицу. Многогранник Тетраэдр Куб Октаэдр Вершины ~ 70 ~ Грани Ребра В+Г–Р Додекаэдр Икосаэдр 3) Внимательно посмотрите на последний столбец таблицы. Что вы заметили? Попробуйте сформулировать ваше наблюдение в виде утверждения. В качестве домашнего задания можно предложить учащимся изготовить модели правильных многогранников, используя их развертки, а можно изготовить развертки вместе на следующем уроке. Топологические опыты. Топология – раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, которые остаются неизменными при любой деформации: сдавливании, растяжении, сжатии. Цель урока: формирование приема описания. Форма урока – групповая. Необходимые материалы: 5 полосок односторонней цветной бумаги длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы создать интригу на уроке учитель показывает детям два кольца: одно простое, а другое перекрученное на один полуоборот. Вопрос: сколько получится колец, если разрезать первое кольцо вдоль? Ответ очевиден – два. Разрезав кольцо, учитель получает прогнозируемый результат. Следующий вопрос: сколько получится колец, если разрезать второе кольцо вдоль? Почти все скажут, что два (остальные задумаются). К удивлению детей после разрезания получается всего одно кольцо. В чем же причина? Задание для групп: 1) Склейте из заготовленных полос простое кольцо и кольца, перекрученные на 1, 2, 3, 4 полуоборотов. 2) С помощью цветного фломастера проведите линию посередине каждого кольца и ответьте на вопрос: «По скольким цветам полоски проходит проведенная полоса?» 3) Разрезая поочередно кольца вдоль, заполнить таблицу: Число полуКоличество заРезультат разреСвойства оборотов действованных зания (количецветов ство колец) 0 1 2 3 4 Для того, чтобы учащиеся смогли более точно и полно перечислить свойства, целесообразно предложить им следующий план: Опишите взаимное расположение колец (если их несколько). Сравните длину получившегося кольца (или колец) с длиной исходного кольца. Сравните ширину получившегося кольца (или колец) с шириной исходного кольца. ~ 71 ~ Определите количество полуоборотов кольца (или колец). 4) Проанализируйте результаты и установите зависимость между числом полуоборотов исходного кольца, количеством получаемых колец, их длиной и шириной, взаимным расположением и количеством полуоборотов. 5) Подготовьтесь к обсуждению результатов групп. В ходе общего обсуждения результатов сформулировать общий итог. Параллелограммы. Параллелограмм – красивое и звучное слово, напоминающее нам о единицах веса, но на самом деле никакого отношения к ним не имеющее. В систематическом курсе геометрии изучение параллелограмма приходится на 8 класс. Очень часто ученики при формулировке определения понятия параллелограмма перечисляют и некоторые его свойства. На мой взгляд, это связано с тем, что образ параллелограмма, формируется при зазубривании его определения, а вслед за несформированным образом параллелограмма идет изучение его свойств. В курсе наглядной геометрии знакомство с параллелограммом приходится на 6 класс, после изучения темы «Параллельность и перпендикулярность», при этом образ параллелограмма возникает перед учащимися в результате построения двух пар параллельных прямых Опираясь на визуальное изучение и выполнение построения, учащиеся фиксируют внимание на том, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Таким образом, уже на этом этапе они имеют возможность самостоятельно изобразить его, при этом термин «параллелограмм» ассоциируется у них с параллельностью и через способ построения. Урок, посвященный классификации параллелограммов также можно провести в виде исследования. Цель урока: формирование приема работы с понятием (определение понятия через род и видовое отличие). Форма работы – работа в одноуровневых парах. Необходимый материал: конструктор. После построения параллелограмма в тетради, учащимся предлагается измерить с помощью линейки противоположные стороны параллелограмма и сравнить их длины. Используя полученный результат, предлагаем ученикам изготовить параллелограмм из конструктора. И здесь дети обнаруживают новую его особенность: параллелограмм «подвижная» фигура (в отличие от треугольника). Предлагаем «двигая» параллелограмм, получить какую-нибудь известную фигуру. Дети без труда получают прямоугольник, при этом четко осознавая, что прямоугольник – это параллелограмм. Ответив на вопрос: «Какая особенность выделяет прямоугольник из всех параллелограммов?», ученики формулируют его определение через род и видовое отличие. Если же взять все равные стороны при сборке параллелограмма, то получим параллелограмм, у которого все стороны равны. Такие параллелограммы получили особое название – ромбы. «Двигая» ромб, получаем квадрат. ~ 72 ~ Аналогично получаем связь между прямоугольником и квадратом. Затем можно предложить учащимся составить родословную параллелограммов. На следующем уроке можно провести исследование, позволяющие сформулировать свойства квадрата. Работу можно провести в парах. Задание для пар: 1) Отметьте на листе две точки А и В, а затем сложите лист так, чтобы А и В совпали. Как расположены друг относительно друга линии сгиба и прямая АВ? 2) Перегибанием листа бумаги получите пару параллельных и пару перпендикулярных прямых. 3) Из листа бумаги произвольной формы сложите и затем вырежьте прямоугольник. Покажите в нем параллельные и перпендикулярные стороны. 4) Сверните прямоугольник так, чтобы получился квадрат. Вырежьте этот квадрат. 5) Перегибанием получите две диагонали квадрата. 6) Сравните диагонали по длине. 7) Определите взаимное расположение диагоналей. 8) Определите, в каком отношении диагонали делятся точкой пересечения. 9) На какие фигуры делит квадрат каждая диагональ? Определите вид этих фигур. 10) Сравните эти фигуры между собой. 11) Перегните квадрат пополам, так чтобы совпали противоположные стороны. 12) Через какую точку проходит линия сгиба? Как линия сгиба расположена относительно сторон квадрата? На какие фигуры она делит квадрат? В зависимости от уровня подготовки учащихся план исследования может быть детализирован более подробно. Зеркальное отражение и симметрия. С понятием «симметрия» учащиеся знакомятся из повседневной жизни, занятий рисованием, моделированием и т.п., поэтому, прежде чем переходить к математическому его толкованию, необходимо вычленить в сознании учащихся общекультурное понимание этого феномена. Демонстрируя учащимся различные фотографии и слайды, рисунки и репродукции картин с изображениями проявлений симметрии в природе (бабочка, снежинка и пр.), в продуктах человеческой деятельности (народные орнаменты, древнегреческие амфоры, исторические и современные здания), учитель формирует представление о симметрии как гармонии, соразмерности, порядке. Перед введением понятия симметрии имеет смысл дать ученикам домашнюю работу исследовательского характера, предварительно разделив учащихся на три группы экспериментаторов. Основная цель работы – стимулирование познавательного интереса к изучению симметрии. Задание для первой группы: 1) Напишите свое имя печатными буквами в столбик и посмотрите на его отражение в зеркале. Поворачивает ли зеркало ваше имя? А имя Юра? Чем отличаются записи Маша и Рома, если полоски с именами расположить параллельно поверхности зеркала? ~ 73 ~ 2) Встаньте лицом к зеркалу. Проверьте, меняет ли зеркало местами левую и правую стороны, верх и низ, предметы спереди и сзади вас? 3) Выполните аналогичную проверку , встав к зеркалу боком. Задание для второй группы. 1) На полоске бумаги горизонтально печатными буквами написаны слова ЧАЙ и КОФЕ. Положите эту полоску перед зеркалом на стол. Что происходит с этими словами. Как вы думаете, почему? 2) Положите на стол несколько предметов и расположите перпендикулярно плоскости стола зеркало. Изменилась ли последовательность предметов? 3) Представьте себя стоящим на зеркальном полу. Что меняется местами? Задание для третьей группы. 1) Поставьте два зеркала под прямым углом друг к другу. Поменялись ли на изображении местами левая и правая стороны? 2) В зеркалах, стоящих перпендикулярно друг другу, мы видим себя такими, какими видят нас другие люди. Почему? 3) Какое изображение получится, если линия соединения зеркал будет горизонтальной? Задание для четвертой группы. 1) Поставьте на лист белой бумаги два зеркала под углом друг к другу. Сколько раз зеркала отражаются друг в друге. Меняйте угол между зеркалами и определяйте количество отражений. Какой вывод можно сделать? 2) Нарисуйте между зеркалами какую-нибудь фигуру или просто линию. Сравните рисунки, если угол между зеркалами равен 30˚, 45˚, 90˚, 120˚ (эти углы начертите с помощью транспортира на листе бумаги под зеркалами). попробуйте зарисовать их в тетради. Какой рисунок вам понравился больше всего? Задание для энтузиастов. 1) Попытайтесь прочитать книгу, глядя не в нее, а в ее отражение в зеркале. 2) Удастся ли вам написать хоть строку, глядя не на лист бумаги, а на его зеркальное отражение? Формирование представлений об осевой симметрии. В начале урока происходит обсуждение результатов домашнего исследования и формулируются соответствующие выводы. Делим класс на разноуровневые группы. Задание для групп. 1) Возьмите лист бумаги и проведите на нем прямую, перегните лист по этой прямой и проткните его иглой. Разверните лист и внимательно рассмотрите полученную модель. Прокомментируйте полученный результат. a. После обсуждения можно сообщить учащимся, что такие точки называются симметричными относительно проведенной прямой. 2) Проведите прямую через данные точки. Каково взаимное расположение полученных прямых? Сравните расстояние от точек до прямой. Проверьте свои предположения соответствующими измерениями. 3) Попробуйте ответить на вопрос: «Как можно построить точку, симметричную данной относительно проведенной прямой, не выполняя перегибания бумаги?» ~ 74 ~ 4) Рассмотрите изображения двух четырехугольников, симметричных относительно прямой. Мысленно перегните лист вдоль оси симметрии. Как вы думаете, совместятся ли треугольники? Какой вывод из этого можно сделать? 5) Как вы думаете, совмещение каких вершин, сторон, углов произойдет? 6) Сложите лист пополам и проведите на нем какую-нибудь линию. Разрежьте лист по проведенной линии и разверните его. a. Теперь можно сказать учащимся, что линия перегиба – это ось симметрии фигуры. 7) Сравните длины полученных линий и их взаимное расположение. Сформулируйте условия, которым должна отвечать прямая, являющаяся осью симметрии. Формирование представлений о центральной симметрии можно осуществить по той же схеме, что и формирование представления об осевой симметрии. ~ 75 ~