3. Параметрическая оптимизация управления спуском с орбиты

ФЕДОРОВ А.В.
Сборник заданий
на курсовую работу
по дисциплине «Оптимальное управление ЛА»
(8 семестр).
Утверждено
На заседании кафедры
«_____»___________2007 г.
Протокол №
2007-02-28
1
1. Вертикальная посадка КА на планету.
КА должен совершить мягкую посадку на планету с использованием только силы
тяги двигателя.
Рассматривается движение в вертикальной плоскости при действии только сил
тяжести и тяги двигателя.
Сила тяжести направлена по нормали к плоской поверхности планеты.
Силу тяги двигателя, направленную вертикально вверх, можно регулировать по
величине изменением секундного расхода топлива.
Математическая модель движения ЛА
P
h   g h  ,
m
m    ,
P  J ,
0    m ,
 RP 

g h   g 0 
 RP  h 
где
2
h – высота;
m – масса КА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
g – ускорение силы тяжести;
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;
RP – радиус планеты.
В начальный момент времени известны:
– высота
– вертикальная скорость
– масса КА
– запас топлива
Найти программу управления секундным расходом топлива, которая обеспечивает
мягкую посадку на Луну при минимальном расходе топлива.
2
2. Программирование управления спуском с орбиты.
Летательный аппарат совершает посадку на планету (Луна, астероид) с облетной орбиты
по траектории в плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым
маршевым двигателем.
В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты. известны
высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту.
В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная составляющие
скорости должны быть в допустимых пределах.
Модель движения
x  Vx
y  V y
P
Vx  cos 
m
P
Vy  sin  g h 
m
m   
P  J
 RP 

g h   g 0 
R

h
 P

где
2
h – высота;
m – масса ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
g – ускорение силы тяжести;
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;
RP – радиус планеты.
Критерий оптимальности – расход топлива (максимум конечной массы).
С помощью необходимых условий оптимальности найти программу управления  t  ,
доставляющую минимум критерию оптимальности при заданных граничных условиях.
3
3. Параметрическая оптимизация управления спуском с
орбиты
Летательный аппарат совершает посадку на планету с эллиптической орбиты в
плоскопараллельном гравитационном поле. ЛА оснащен нерегулируемым маршевым
двигателем.
В начальный момент времени ЛА находится в перицентре облетной орбиты.
известны высота, скорость, масса конструкции и масса топлива на борту.
В момент касания поверхности планеты вертикальная и горизонтальная
составляющие скорости должны быть в допустимых пределах.
Модель движения
x  Vx
y  V y
P
Vx  cos 
m
P
Vy  sin  g h 
m
m   
P  J
 RP 

g h   g 0 
 RP  h 
где
2
h – высота;
m – масса ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
g – ускорение силы тяжести;
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;
RP – радиус планеты.
Программа управления задана в параметрической форме  t   0  1t  2t 2 , где
0 , 1 , 2 – неизвестные параметры.
Критерий оптимальности – расход топлива (максимум конечной массы).
Найти решение - параметры 0 , 1 , 2 , при которых затраты топлива минимальны с
учетом краевых условий.
Для решения использовать методы нулевого порядка.
Выбрать наиболее эффективный метод
4
4. Синтез системы стабилизации
Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью
точности можно представить уравнением моментов
d 
2
JZ
dt
2



 M Z   M Z   M Z z Z ,
    ,
где
 – угол тангажа;
α – угол атаки;
θ – угол наклона траектории;
δ – угол отклонения руля:    m ;
 Z – угловая скорость вращения вокруг оси Z;
J Z – момент инерции;



M Z , M Z , M Z z – частные производные момента относительно оси Z по
соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : M Z z  0 .
Угол наклона траектории изменяется очень медленно.
Найти закон управления углом δ,    m который обеспечит минимальное время
регулирования при условиях  T   T   0 .
5
5. Синтез системы стабилизации
Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью
точности можно представить уравнением моментов
d 
2
JZ
dt
2



 M Z   M Z   M Z z Z ,
    ,
где
 – угол тангажа;
α – угол атаки;
θ – угол наклона траектории;
δ – угол отклонения руля:    m ;
 Z – угловая скорость вращения вокруг оси Z;
J Z – момент инерции;



M Z , M Z , M Z z – частные производные момента относительно оси Z по
соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : M Z z  0 . Угол наклона траектории
изменяется очень медленно.
Найти закон управления углом δ,    m который обеспечит минимальное время
регулирования при условиях  T    ,  T   0 .
T
6
6. Синтез системы стабилизации
Угловое движение ЛА относительно связанной оси Z (тангаж) с достаточной степенью
точности можно представить уравнением моментов
d 
2
JZ
dt
2



 M Z   M Z   M Z z Z ,
    ,
 – угол тангажа;
α – угол атаки;
θ – угол наклона траектории;
δ – угол отклонения руля:    m ;
где
 Z – угловая скорость вращения вокруг оси Z;
J Z – момент инерции;



M Z , M Z , M Z z – частные производные момента относительно оси Z по
соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : M Z z  0 . Угол наклона траектории
изменяется очень медленно.
Найти закон управления углом δ,    m который обеспечит минимум критерия



J    2   2   2 dt .
0
7
7. Программирование оптимального управления КА.
Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в
другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги,
способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.
Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:
r  V R
 
VT
r
V

Vr  T  2
r
r
VV
VT   R T  f T
r
где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и
трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT –
управляющее ускорение.
r  r  r0 ,     0 t ,
Полагая, что в процессе перевода отклонения
VT  VT  VT 0 , VR  VR  VR 0 фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений
2
r0,  0   / ro , VR=0, VT 0   / r0 на круговой орбите радиуса достаточно малы,
линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду
3
x  Ax  Bu ,
где x  r  VR VT  , u = fT. Начальное состояние по условию задачи – нулевой
вектор.
T
*
*
Терминальное состояние определяется вектором x T   0    0 0 ,  заданное угловое расстояние;
Т – длительность процесса перевода подлежит определению.
Оптимальное управление u(t) должно обеспечить выполнение терминальных
условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты
T


T
J   u dt .
2
0
Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом.
Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным
с использованием соотношений:
r
r ,V 
r0
V
 / r0
2
, f 
fr0

, t
r
t
, где T0  2r0 0 .

T0
8
8. Программирование оптимального управления КА.
Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в
другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги,
способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.
Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:
r  VR
VT
r
VT2 

VR 
  fR
r r2
VV
VT   R T  fT
r
где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и
трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT –
управляющее ускорение по касательной к орбите; fR – управляющее ускорение по
касательной к орбите;
Полагая, что в процессе перевода отклонения
r  r  r0 ,     0 t ,
VT  VT  VT 0 , VR  VR  VR 0 фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений
 
r0,  0   / ro , VR=0, VT 0   / r0 на круговой орбите радиуса достаточно малы,
линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду
3
x  Ax  Bu ,
где x  r  VR VT  , u =( fК, fT).
Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.
T
*
*
Терминальное состояние определяется вектором x T   0    0 0 ,  заданное угловое расстояние;
Т – длительность процесса перевода подлежит определению.
Оптимальное управление - вектор
u(t) должно обеспечить выполнение
терминальных условий и минимизировать критерий
T


T
J   uTWudt .
0
Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным
с использованием соотношений:
r
r ,V 
r0
V
 / r0
2
, f 
fr0

, t
r
t
, где T0  2r0 0 .

T0
9
9. Синтез оптимального управления КА.
Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в
другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги,
способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.
Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:
r  V R
 
VT
r
V

Vr  T  2
r
r
VV
VT   R T  f T
r
где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и
трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT –
управляющее ускорение.
r  r  r0 ,     0 t ,
Полагая, что в процессе перевода отклонения
VT  VT  VT 0 , VR  VR  VR 0 фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений
2
r0,  0   / ro , VR=0, VT 0   / r0 на круговой орбите радиуса достаточно малы,
линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду
3
x  Ax  Bu ,
где x  r  VR VT  , u = fT. Начальное состояние по условию задачи – нулевой
вектор.
T
*
*
Терминальное состояние определяется вектором x T   0    0 0 ,  заданное угловое расстояние;
Т – длительность процесса перевода подлежит определению.
Оптимальное управление u(x) должно обеспечить выполнение терминальных
условий и минимизировать критерий, характеризующий энергетические затраты
T


T
J   u dt .
2
0
Терминальные требования аппроксимировать квадратичным штрафом.
Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным
с использованием соотношений:
r
r ,V 
r0
V
 / r0
2
, f 
fr0

, t
r
t
, где T0  2r0 0 .

T0
10
10. Синтез оптимального управления орбитой КА.
Необходимо перевести КА из одной точки круговой орбиты с радиусом r0 в
другую, считая при этом, что на КА имеется двигательная установка малой тяги,
способная создавать управляющее ускорение по нормали к радиус-вектору.
Исходные уравнения движения заданы в полярной системе координат:
r  VR
VT
r
VT2 

VR 
  fR
r r2
VV
VT   R T  fT
r
где r – радиус-вектор; φ – угловая полярная координата; VR, VT – радиальная и
трансверсальная составляющие скорости; μ – гравитационная постоянная Земли: fT –
управляющее ускорение по касательной к орбите; fR – управляющее ускорение по
касательной к орбите;
Полагая, что в процессе перевода отклонения
r  r  r0 ,     0 t ,
VT  VT  VT 0 , VR  VR  VR 0 фазовых координат r, VR, VT от соответствующих значений
 
r0,  0   / ro , VR=0, VT 0   / r0 на круговой орбите радиуса достаточно малы,
линеаризуйте уравнения и приведите модель движения в отклонениях к виду
3
x  Ax  Bu ,
где x  r  VR VT  , u =( fК, fT).
Начальное состояние по условию задачи – нулевой вектор.
T
*
*
Терминальное состояние определяется вектором x T   0    0 0 ,  заданное угловое расстояние;
Т – длительность процесса перевода подлежит определению.
Оптимальное управление - вектор
u(x) должно обеспечить выполнение
терминальных условий и минимизировать критерий
T


T
J   uTWudt  xT ( T )x( T ) .
0
Примечание. В уравнениях движения целесообразно перейти к безразмерным переменным
с использованием соотношений:
r
r ,V 
r0
V
 / r0
2
, f 
fr0

, t
r
t
, где T0  2r0 0 .

T0
11
11. Перелет между некомпланарными орбитами
Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги,
должен совершить некомпланарный перелет с низкой круговой на высокую круговую
орбиту, имеющие разные наклонения плоскости к экватору. Двигатель в процессе
перелета работает постоянно.
В течение одного оборота вокруг Земли вектор тяги в пространстве постоянно
ориентирован так, что создается управляющее ускорение вдоль переходной орбиты и по
нормали к ее плоскости. При этом переходная траектория представляет собой
раскручивающуюся
спираль.
Переходную
траекторию
аппроксимируем
последовательностью круговых орбит радиуса rk
Уравнения движения в безразмерных переменных для рассматриваемого случая
имеют следующий вид1
rk 1  rk  4a k rk sin  k
3
ik 1  ik  4a k rk cos  k
2
Vk 1  Vk  2a k
rk
sin  k
Vk
k  1, N
t k 1  t k  2rk
3/ 2
где rk – безразмерный радиус в начале k-го витка; ik – наклонение к плоскости экватора;
Vk – безразмерная круговая скорость; tk – безразмерное время.
Заметим, что Tk  2rk rk есть безразмерный период обращения на k –м витке.
Требуется определить последовательность  k , k  1, N и число N, которые
доставляют минимум времени перелета (при постоянно работающем двигателе это
эквивалентно минимизации затрат топлива) при следующих терминальных условиях:
rN 1  r * ,
i N 1  i * ,
VN 1  1 / r * ,
где r* и i* – заданные значения безразмерного радиуса конечной орбиты и наклонения.
Для учета терминальных требований рекомендуется ввести в рассмотрение
квадратичный штраф
2
2
2
r

i

V

F x N 1    r  N 1  1   i  N 1  1   V  N 1  1 ,
 r*

 i*

 V*

где  r ,  i ,  V – весовые множители.
Начальные условия: r1  V1  1; i1 = 60о;
Конечная орбита: r* = 2…6; i* = 0..50о;
Безразмерное ускорение a = 0.0001…0.001.
1
Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. – М.:Машиностроение, 1987.
12
12. Разгон до параболической скорости при минимальном
времени работы ДУ
Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги,
стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.
Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид2:
dr
u
dt
d v

dt r
2
du v
1

 2  a cos 
dt
r r
dv
uv
   a sin 
dt
r
dt M

dt
где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол,
a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги
двигателя в плоскости орбиты; tM – моторное время;
1 на активных участках
.
0 на пассивных участках
 
Требуется найти функции  t  и  t  , которые обеспечивают минимум времени
работы двигателя при заданном времени разгона tk и при условии достижения
2
2
параболической скорости в момент времени t = tk: r u  v  2 .

2

Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968.
13
13. Оптимизация траектории движения носителя
Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;
– гравитационное поле – плоско-параллельное;
– Земля не вращается.
Модель движения в начальной стартовой системе координат:
x  Vx
y  V y
P
Vx  cos 
m
P
Vy  sin  g h 
m
m    ,  0     m
P  J
 RP 

g h   g 0 
 RP  h 
где
2
h – высота;
m – масса ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
g – ускорение силы тяжести;
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;
RP – радиус планеты.
Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления
вектором тяги  t  и расходом топлива,  t  , которые обеспечат максимум
горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.
14
14. Оптимизация траектории движения носителя
Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;
– гравитационное поле – плоско-параллельное;
– Земля не вращается.
Модель движения в начальной стартовой системе координат:
x  Vx
y  V y
P
Vx  cos 
m
P
Vy  sin  g h 
m

m   ,
P  J
 RP 

g h   g 0 
 RP  h 
где
2
h – высота;
m – масса ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
g – ускорение силы тяжести;
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;
RP – радиус планеты.
Программа управления задана в параметрической форме  t   0  1t  2 t .
Требуется найти параметры 0 , 1 ,
2 при которых достигается максимум
горизонтальной скорости на заданной высоте y* при минимальных затратах топлива.
2
15
15. Выведение на орбиту
Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;
– гравитационное поле – центральное;
– Земля не вращается.
X
P
Модель движения
x  Vx
y  V y
P
cos   g x
m0  m
P
Vy 
sin  g y
m0  m
m    ,
0    m
P  J ,
Vx 
G

Y
gx  g
 2y 
x
 ,
; g y  g 1 
R0
R
0 

2
Ro
 R0 
 .,
g  g0 
 R0  h 
где R0 – радиус сферической Земли;
μ – гравитационная постоянная;
m – масса топлива;
m0 – масса сухого ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
h – высота над поверхностью сферической Земли.
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности Земли
В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту
заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.
Найти программу управления углом тангажа, используя необходимые условия
оптимального управления.
16
16. Выведение на орбиту
Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;
– гравитационное поле – центральное;
– Земля не вращается.
X
P
Модель движения
x  Vx
y  V y
P
cos   g x
m0  m
P
Vy 
sin  g y
m0  m
m    ,
0    m
P  J ,
Vx 
G

Y
gx  g
 2y 
x
 ,
; g y  g 1 
R0
R
0 

2
Ro
 R0 
 .,
g  g0 
 R0  h 
где R0 – радиус сферической Земли;
μ – гравитационная постоянная;
m – масса топлива;
m0 – масса сухого ЛА;
P – сила тяги двигателя;
J – удельный импульс;
β – секундный расход топлива;
βm – максимально возможный расход топлива;
h – высота над поверхностью сферической Земли.
g0 – ускорение силы тяжести на поверхности
В конечный момент времени КА должен быть выведен на круговую орбиту
заданного радиуса R* при минимальном расходе топлива.
Программа управления углом тангажа задана в параметрической форме
2
 t   0  1t  2 t .
Следует найти неизвестные параметры 0 , 1 , 2 сведением исходной задачи
программирования управления к задаче нелинейного программирования.
17
17. Перевод КА в заданное положение на орбите
Космический аппарат орбитальной группировки необходимо перевести в новое
место орбитальной структуры. Перевод осуществляется в плоскости опорной круговой
орбиты импульсами тяги, прикладываемыми по касательной к орбите. Можно считать, что
переходная орбита остается близкой к круговой, а состояние КА можно характеризовать
двумя координатами:
x1 = Δφ – отклонение аргумента широты КА от требуемого при прохождении
характерной точки орбиты, например – восходящего узла;
x2 – скорость дрейфа, численно равная изменению аргумента широты за один
драконический период (т.е. между двумя проходами восходящего узла) опорной орбиты.
При импульсной коррекции орбиты математическую модель можно представить в
виде
x1k 1  x1k   k x2 k
x2 k 1  x2 k  u k 1   k  , k  1, N ,
где N – количество коррекций;  k – интервал времени (измеряется в оборотах) между
коррекциями; uk – величина k-го импульса скорости дрейфа; μk – гауссовская
2
центрированная случайная величина с дисперсией   . Статистические характеристики
переменных начального состояния заданы.
Цель управления – выполнить терминальные требования
x1N 1   m , x1N 1  t m x2 N 1   m
при минимальных затратах топлива.
Критерий оптимальности и ограничения аппроксимируем квадратичными
функционалами3.
Найти управление u k xk , k  1, N , которое обеспечивает минимум
энергетических затрат
 N 2

0
1
*
J  M  u k 
при условии J  J 1  ,

 k 1 
2
 1 / t m2 1 / 2t m 
  m 
1
T
 ,   0.75
где J  M x N 1x N 1 ;   
 t  ,  – константа,
1 / 2t

1
 m 
m


выбираемая так, чтобы терминальные требования выполнялись бы с достаточной
вероятностью.


Для решения задачи ввести критерий Лагранжа J  J  J .
1
0
Исследовать зависимости J   и J   при различных N.
0
Длительности пассивных
положительными (заданы).
участков
 k , k  1, N
1
могут
быть
произвольными
Лебедев А.А, Красильщиков М.Н., Малышев В.В. Оптимальное управление движением космических
летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1974.
3
18
18. Разгон КА до параболической скорости за
минимальное время.
Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги,
стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости
за минимально возможное время.
Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид4:
dr
u
dt
d v

dt r
2
a0
du v
1

 2 
cos 
a0
dt
r r
1 t
V
a0
dv
uv
 
sin 
a0
dt
r
1 t
V
где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол,
λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; a 0 –
начальное ускорение; V – скорость истечения реактивной струи.
Требуется найти программу управления  t  , которая обеспечивает минимум
времени достижения параболической скорости при заданных начальных условиях,
ускорении и скорости истечения. Условие достижения параболической скорости имеет
вид (при t = tk)
2
2
r u v  2.

4

Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. ВЦ АН СССР, вып,5, 1968.
19
19. Синтез управления при самонаведении
Основные допущения
1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение
материальной точки под действием управляющего ускорения.
2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют
3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.
4). Начальное состояние ЛА задано.
5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса
наведения и некоторыми дополнительными условиями.
Уравнения движения: rp  V , V  u p , где V – вектор скорости, up – искомый вектор
управления.
Начальные условия известны.
T
1
Критерий оптимальности J   u T t W t u t dt , где W t  – заданная положительно20
определенная матрица.
Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условии
rp T   rЦ .
где rц – заданный вектор.
Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии
«Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных
летательных аппаратов» под ред. акад. Е.А.Федосова. ( разд.7.3).
20
20. Синтез управления при самонаведении с учетом
терминальной скорости
Основные допущения
1). Движение ЛА в трехмерном инерциальном пространстве задается как движение
материальной точки под действием управляющего ускорения.
2). Ограничения на направление и величину вектора ускорения отсутствуют
3). Интервал времени, на котором реализуется управление, фиксирован и известен.
4). Начальное состояние ЛА задано.
5). Конечное состояние ЛА определяется положением цели в момент окончания процесса
наведения и некоторыми дополнительными условиями.
Уравнения движения: rp  V , V  u p , где V – вектор скорости, up – искомый вектор
управления.
Начальные условия известны.
T
1
Критерий оптимальности J   u T t W t u t dt , где W t  – заданная положительно20
определенная матрица.
Требуется найти управление u(t), которое минимизирует критерий при условиях
rp T   rЦ , V p T   V * ,
где rц и V* – заданные векторы.
Указание. Для решения задачи использовать методику, приведенную в учебном пособии
«Динамическое проектирование систем управления автоматических маневренных
летательных аппаратов» под ред. акад. Е.А.Федосова. ( разд.7.3).
21
21. Оптимальная система стабилизации ЛА
Уравнения движения вокруг центра масс имеют вид
d 
2
JZ
dt
2



 M Z   M Z   M Z z Z ,
    ,
 – угол тангажа;
α – угол атаки;
θ – угол наклона траектории;
δ – угол отклонения руля:;
 Z – угловая скорость вращения вокруг оси Z;
J Z – момент инерции;
где



M Z , M Z , M Z z – частные производные момента относительно оси Z по
соответствующим переменным.

Упрощения: собственное демпфирование мало : M Z z  0 . Угол наклона траектории
изменяется очень медленно.
Найти закон управления углом δ, обеспечивающего минимум функционалу

J     2 dt   2 T  .
0
22
22. Оптимальная по быстродействию система
управления угловым движением КА
Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси
при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов
J  mLf ,
где
 – угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси;
J – момент инерции;
f – реактивное ускорение двигателя ориентации, f  f m ;
m – масса КА;
L – плечо точки приложения ускорения f.
Пусть  – угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси
относительно опорной.
Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение
которого угловое отклонение и угловая скорость обнуляются.
23
23. Оптимальная по быстродействию система
управления угловым движением КА
Вращательное движение осесимметричного КА относительно некоторой связанной оси
при отсутствии демпфирования можно представить уравнением моментов
J  mLf ,
где
 – угловая скорость вращения КА вокруг связанной оси;
J – момент инерции;
f – реактивное ускорение двигателя ориентации, f  f m ;
m – масса КА;
L – плечо точки приложения ускорения f.
Пусть  – угол, характеризующий отклонение ориентации КА по связанной оси
относительно опорной.
Найти закон управления ускорением f, который минимизирует время, в течение
которого осуществляется переориентация КА на заданный угол. Начальная и
терминальная угловая скорость равна нулю.
24