Довыводные задачи кусок был больше булки?

Довыводные задачи
1. (6-8) Как поровну разделить 7 булок на 12 человек так, чтобы каждый
кусок был больше 1 12 булки?
Решение. Разделим 6 булок на части 5/12 и 7/12, а седьмую булку на 6 частей
по 2/12=1/6. Шесть человек получат по куску 7/12, остальные по два куска:
2/12+5/12.
2. (9-10) Каждое из трех натуральных чисел увеличили на 1. Могла ли
сумма их обратных величин уменьшиться более чем на 2?
Решение.
1
1
1
1


 , поэтому сумма обратных величин не может
n n  1 n(n  1) 2
уменьшиться более чем на 3/2.
3. (6-10) В таблицу 2×2012 (две строки, 2012 столбцов) записали в
произвольном порядке 2012 нулей и 2012 единиц. Докажите, что число
столбцов с двумя нулями равно числу столбцов с двумя единицами.
Решение. Пусть имеется n столбцов, в которых присутствуют оба числа 0 и 1.
Тогда в остальных столбцах 2012 – n нулей и 2012 – n единиц, то есть
столбцов с двумя нулями 1006 – n/2, такое же количество столбцов с двумя
единицами.
4. (6-8) На занятии 10 членов кружка съели 44 конфеты (возможно, кому-то
и не досталось конфет). Докажите, что двое съели одинаковое число
конфет.
Решение. Предположим, что все съели разное число конфет, тогда всего
конфет было не менее 0+1+…+9=45.
5. (6-10) Известно, что mn+ 1 делится на 12 (m, n – натуральные). Доказать,
что m+n делится на 12.
Решение. Из условия следует, что одно из чисел m, n при делении на 3 имеет
остаток 1, а другое 2 (в противном случае mn делится на 3 либо имеет остаток
1 при делении на 3, что невозможно). Тогда m+n делится на 3. Аналогично,
одно из чисел m, n при делении на 4 имеет остаток 1, а другое 3 и m+n
делится на 4.
6. (9-10) Докажите, что длина любой стороны треугольника не меньше
суммы длин других сторон, умноженной на синус половины
противолежащего угла.
Решение. Пусть a, b, c – стороны треугольника, ɑ - угол, противолежащий a, l
1
2

1
2
– биссектриса, проведенная к стороне a. Тогда S  bl sin  cl sin
откуда следует требуемое.
Выводные задачи
2

2

1
al ,
2
7. (6-10) Имеются 10 одинаковых по виду монет, среди которых могут быть
фальшивые (не все), вес которых одинаков и отличается от веса
настоящих. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь
проверить, есть ли хотя бы одна фальшивая монета?
Ответ: да, можно. Пронумеруем монеты номерами 1-10 и выполним
взвешивания:
1+(2+3)=4+5+6, 1+(4+5+6)=7+8+9+10, 1+(7+8+9+10)=(2+3)+(4+5+6).
Докажем, что из выполнения всех равенств следует, что веса всех монет
одинаковы.
Пусть x – вес монеты 1, y – общий вес монет 2 и 3, z – общий вес монет 4, 5,
6, t – общий вес монет 7-10. Мы знаем, что x+y=z, x+z=t, x+t=y+z. Из
уравнений получаем, что y=2x, z=3x, t=4x. Это означает, что все монеты весят
одинаково.
8. (6-7) Из клетчатого квадрата n×n вырезали по линиям сетки меньший
квадрат m×m. Могло ли остаться 250 клеток?
Ответ: нет. Предположим, что это возможно. Тогда m, n одной четности и
m 2  n 2 делится на 4, а 250 не делится на 4.
9. (8-10) В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС точка О –
центр описанной окружности, Н – точка пересечения высот, M – середина
ВС. Докажите, что прямые АО и ВМ пересекаются на описанной
окружности треугольника.
Решение. Рассмотрим точку D, диаметрально противоположную точке А и
точку N, симметричную Н относительно ВС. Известно, что N принадлежит
описанной окружности.
Заметим, что AND  90 . Если L – середина ND, то LO  BC , следовательно,
1
2
точка M принадлежит LO. Отсюда LM NH , LM  NH , далее нетрудно
показать, что точки N, M, H лежат на одной прямой.
10.(6-10) По дороге шла толпа людей. Более трети из них повернули направо,
более 30 % – налево, а все остальные, которых оказалось более 4/11,
развернулись и пошли обратно. Докажите, что в толпе было не менее 173
человек.
Решение. Пусть N – количество людей в толпе. Тогда имеем неравенство:
N  1 3N  1 4 N  1
N 
 3N 
 4N 
N    1 
1 
1 


;


3
10
11
3
 10 
 11 
330N  110N  110  99N  33  120N  30 ;
N  173 .