Графы-3.

50. Графы-3.
Напомним некоторые определения и формулировки:
 Цепь  линия на графе, не проходящая ни по какому ребру более
одного раза. Замкнутая цепь называется циклом.
 Ориентированный граф  граф, на котором указано направление
каждого его ребра.
 Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги и
проводя каждое ребро ровно один раз, называется эйлеровым; он имеет не
более двух нечетных вершин.
 Достаточное условие эйлеровости графа: Связный граф, степени
вершин которого четны является эйлеровым.
Задачи 5-7 оформляются при помощи метода математической индукции.
В данном случае индукционную базу составляет число вершин графа.
Теория и методические замечания к теме, задачи [10,с.167], [31,с.16,19,26] и др. Литература
Задача 1. В некоторой стране есть столица и еще 100 городов. Некоторые
города (в том числе и столица) соединены дорогами с односторонним
движением. Из каждого нестоличного города выходит 20 дорог, и в
каждый такой город входит 21 дорога. Докажите, что в столицу нельзя
проехать ни из одного города.
Доказательство. Пусть в столицу входит а дорог. Тогда общее число
“входящих дорог равно 21100+а, а общее количество “выходящих” дорог не
больше 20·100+(100а). Поэтому 21·100+а  20·100+(100а), т.е. 2а  0. Т.о., а
= 0.
D
k
i
h
g
C
Е
l
m n
p
A
e
Рис.1
В
a
b
d
f
o
c
Задача 2. Можно ли совершить прогулку по городу, план
которого показан на рис.1, пройдя только один
раз по каждому из мостов? Возвращаться в
начальную точку пути не обязательно.
F
Решение:
Задача 3. Докажите, что на ребрах связного графа можно так расставить
стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по
стрелкам до любой другой.
Решение:
Задача 4. На ребрах связного графа расставлены стрелки так, что для каждой
вершины числа входящих и выходящих ребер равны. Докажите, что,
двигаясь по стрелкам, можно добраться от любой вершины до любой
другой.
Доказательство:
Задача 5. Дано п точек, п>4. Докажите, что можно соединить их стрелками так,
чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо
по одной стрелке, либо по двум, либо по трем (каждые две точки
можно соединить стрелками только в одном направлении; идти по
стрелке можно только в указанном направлении).
Доказательство. По индукции. Для п=3, п=5 и п=6 требуемые системы
изображены на рис.2.
А1 А2
а)
б)
Аn
в)
Рис.2
Рис.3
На рис.3 показан один из способов, позволяющих из системы п точек А1,
А2,…, Ап, соединенных нужным образом, получить требуемую систему с п+2
точками А1, А2, А3,…, Ап, Ап+1, Ап+2. Для этого, к уже имеющимся стрелкам
добавить стрелки, идущие из Ап+1 по всем точкам А1, А2, А3,…, Ап; из каждой
точки А1, А2, А3,…, Ап проведем стрелку в Ап+2; наконец, из  Ап+2  стрелку в
точку Ап+1.
В силу принципа полной индукции, утверждение задачи справедливо при
всех нечетных п3, и всех четных п6. Для п=4 требуемой системы не
существует.
Задача 6. В некоторой стране каждый город соединен с каждым дорогой с
односторонним движением. Докажите, что найдется город, из
которого можно добраться в любой другой.
Доказательство:
Задача 7. Несколько команд сыграли между собой круговой турнир по
волейболу. Будем говорить, что команда А сильнее команды В, если
либо А выиграла у В, либо существует команда С такая, что А
выиграла у С, а С  у В.
а) Докажите, что есть команда, которая сильнее всех.
б) Докажите, что команда, выигравшая турнир, сильнее всех.
Доказательство:
Содержание: