Задачи - WordPress.com

Классификация простых задач М.А. Бантовой
Задачи классифицируются в зависимости от теоретической основы (Т.О.)
выбора арифметического действия (А.Д.).
I группа. Т.О.выбора А.Д. – конкретный смысл арифметических действий.
1 тип. Задачи на нахождение суммы двух чисел.
Примеры:
а) В вазе стояло 5 нарциссов и 3 тюльпана. Сколько всего цветов стояло в вазе ?
Н. – 5 ц.
5ц.
?
3ц.
•••••
Т. – 3ц.
•••
?
б) На ветке сидели 5 воробьев. Прилетели еще 3. Сколько воробьев стало на ветке?
Было – 5 в
5 в.
3 в.
•••••
•••
Прилетело – 3 в.
Стало - ?
?
в) На одной тарелке было 5 апельсинов, на второй 3 апельсина, а на третьей
столько, сколько на первой и второй тарелке вместе. Сколько апельсинов на третьей тарелке?
I – 5 ап.
5ап.
3ап.
III - ?
II – 3 ап
?
2 тип. Задачи на нахождение разности (остатка)
Пример: В гараже было 5 машин. Потом 3 машины уехало. Сколько машин осталось в гараже?
Было – 5 м.
Уехало – 3 м.
Осталось - ?
5м.
3м.
•••
••
?
3 тип. Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведения)
Примеры:
а) В живом уголке жили кролики в трех клетках, по 5 кроликов в каждой. Сколько
всего кроликов жило в живом уголке ?
5к.
•••••
•••••
•••••
?
б) В живом уголке жили кролики в двадцати клетках, по 5 кроликов в каждой.
Сколько всего кроликов жило в живом уголке ?
5к.
……………….......
?
в) Купили 3 карандаша по 5 рублей каждый. Сколько денег заплатили за все карандаши ?
Цена
5 р.
Количество
3 к.
Стоимость
?
4 тип. Задачи на деление на равные части
Пример: 12 конфет раздали 3 детям поровну. Сколько конфет получил каждый
ребенок?
• • •
• • •
••••
• • •
••••
• • •
••••
?
……………………
12 к.
5 тип. Задачи на деление по содержанию
Пример: 12 конфет раздали детям по 3 конфеты каждому. Сколько детей получили конфеты ?
• • •
• • •
• • •
• • •
•••
•••
•••
•••
3к.
……………………
12к.
II группа. Т.О.выбора А.Д. – связь между компонентами и результатами
арифметических действий
1 тип. Задачи на нахождение неизвестного первого слагаемого по известным
сумме и второму слагаемому.
Пример: В коробке было несколько красных карандашей и 3 синих карандаша.
Всего в коробке было 5 карандашей. Сколько красных карандашей было в коробке?
К. – ?
3к.
?
5 к.
С. – 3 к.
5к.
2 тип. Задачи на нахождение неизвестного второго слагаемого по известным
сумме и первому слагаемому.
Пример: На пруду плавало 5 лебедей, 2 из них были черные, а остальные белые.
Сколько белых лебедей плавало в пруду?
Ч. – 2 л.
2л.
?
5 л.
Б. - ?
5л.
3 тип. Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого по известным разности и вычитаемому.
Пример: На полке стояло несколько книг. Когда 3 книги взяли, то на полке осталось 2 книги. Сколько книг было на полке сначала?
Было – ?
Взяли – 3 к.
Осталось – 2к.
?
3к.
2к.
4 тип. Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого по известным разности
и уменьшаемому.
Пример: На полке стояло 5 книг. Когда несколько книг взяли, то на полке осталось 2 книги. Сколько книг взяли?
Было – 5 к.
Взяли – ?
Осталось – 2к.
5к.
?
2к.
5 тип. Задачи на нахождение неизвестного первого множителя по известным
произведению и второму множителю.
Пример: Если задуманное число умножить на 3, то получится 15. Чему равно задуманное число?
6 тип. Задачи на нахождение неизвестного второго множителя по известным
произведению и первому множителю.
Пример: Если число 5 умножить на задуманное число, то получится 15. Чему равно задуманное число?
7 тип. Задачи на нахождение неизвестного делимого по известным частному и
делителю.
Пример: Неизвестное число разделили на 3 и получили 5. Чему равно неизвестное
число?
8 тип. Задачи на нахождение неизвестного делителя по известным частному и
делимому.
Пример: Число 15 разделили на неизвестное число и получили 5. Чему равно неизвестное число?
III группа. Т.О.выбора А.Д. – понятие разности и кратного отношения, а
также новый смысл арифметических действий
1 тип. Задачи на разностное сравнение (на сколько меньше)
Пример: В вазе 5 тюльпанов и 3 нарцисса. На сколько меньше нарциссов, чем
тюльпанов?
Т. – 5 ц.
5ц.
на?
Н. – 3 ц.
3ц.
3ц.
?
2 тип. Задачи на разностное сравнение (на сколько больше)
Пример: В вазе 5 тюльпанов и 3 нарцисса. На сколько больше тюльпанов, чем
нарциссов?
Т. – 5 ц.
5ц.
на?
Н. – 3 ц.
3ц.
3 тип. Задачи на кратное сравнение (во сколько раз меньше)
Пример: В вазе 15 тюльпанов и 3 нарцисса. Во сколько раз меньше нарциссов,
чем тюльпанов?
15 ц.
Т. – 15 ц.
во?
Н. – 3 ц.
3ц.
……………………….
4 тип. Задачи на кратное сравнение (во сколько раз больше)
Пример: В вазе 15 тюльпанов и 3 нарцисса. Во сколько раз больше тюльпанов,
чем нарциссов?
15ц.
Т. – 15 ц.
во?
Н. – 3 ц.
3ц.
5 тип. Задачи на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме
Пример: В вазе 5 тюльпанов, а нарциссов на 3 больше, чем тюльпанов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц.
5ц.
Н. – ? на 3 ц. больше
3ц.
?
6 тип. Задачи на уменьшение числа на несколько единиц в прямой форме
Пример: В вазе 5 тюльпанов, а нарциссов на 3 меньше, чем тюльпанов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц.
5ц.
5ц.
Н. – ? на 3 ц. меньше
3ц.
3ц.
?
?
7 тип. Задачи на увеличение числа в несколько раз в прямой форме
Пример: В вазе 5 тюльпанов, а нарциссов в 3 раза больше, чем тюльпанов. Сколько нарциссов в вазе?
5ц.
Т. – 5 ц.
Н. – ? в 3 раза больше
……………….
.
8 тип. Задачи на уменьшение числа в несколько раз в прямой форме
Пример: В вазе 15 тюльпанов, а нарциссов в 3 раза меньше, чем тюльпанов.
Сколько нарциссов в вазе?
15ц.
Т. – 15 ц.
Н. – ? в 3 раза меньше
3р.
9 тип. Задачи на увеличение числа на несколько единиц в косвенной форме
Пример: В вазе 5 тюльпанов, это на 3 цветка меньше, чем нарциссов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц., на 3 ц. меньше
Н. – ?
10 тип. Задачи на уменьшение числа на несколько единиц в косвенной форме
Пример: В вазе 5 тюльпанов, это на 3 цветка больше, чем нарциссов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц., на 3 ц. больше
Н. – ?
11 тип. Задачи на увеличение числа в несколько раз в косвенной форме
Пример: В вазе 15 тюльпанов, это в 3 раза меньше, чем нарциссов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 15 ц., в 3 раза меньше
Н. – ?
12 тип. Задачи на уменьшение числа в несколько раз в косвенной форме
Пример: В вазе 15 тюльпанов, это в 3 раза больше, чем нарциссов. Сколько
нарциссов в вазе?
Т. – 15 ц., в 3 раза больше
Н. – ?
Некоторые авторы предлагают выделить IY группу задач, где Т.О. выбора
А.Д. – связь между величинами (задачи на тройки пропорциональных величин,
например цена – количество – стоимость), а также Y группу, где Т.О. выбора А.Д.
– смысл понятий "доли и дроби" (задачи на нахождение доли числа и числа по его
доле).
Но М.А. Бантова относит такие задачи к I группе.
Различные классификации текстовых задач
1. По количеству действий в решении:
а) Простые задачи (в одно действие).
б) Составные задачи (в два и более действий).
2. По количеству данных в тексте задачи:
а) Задачи с достаточным количеством данных.
Например: В вазе лежало 5 апельсинов и 4 яблока. На сколько больше было
апельсинов, чем яблок?
б) Задачи с недостающими данными.
Например: В вазе лежало 5 апельсинов и яблоки. На сколько больше было апельсинов, чем яблок?
в) Задачи с лишними данными.
Например: В вазе лежало 5 апельсинов, 4 яблока и 3 груши. На сколько больше
было апельсинов, чем яблок?
3. По количеству условий (связей) в тексте задачи:
а) Определенные задачи (с достаточным количеством связей).
Например: За 2 одинаковых платка заплатили 6 рублей. Сколько стоил каждый
платок?
б) Недоопределенные задачи (с недостающими связями).
Например: За 2 платка заплатили 6 рублей. Сколько стоил каждый платок?
В этой задаче не хватает связки "одинаковых", следовательно у задачи может быть большое количество решений. Чтобы задача имела одно определенное
решение, ее нужно доопределить, т.е. добавить недостающую связку.
в) Переопределенные задачи (с лишними условиями):
Например: В одном ящике 4 кг груш. В другом ящике груш в 3 раза больше, чем в
первом, а в первом ящике на 8 кг груш меньше, чем во втором. Сколько всего килограммов груш в двух ящиках?
В этой задаче лишнее условие, но оно не противоречит остальным условиям, следовательно, эта задача имеет одно определенное решение.
Иногда лишние условия задачи противоречивы. Например: Нина купила карандаш и ластик. Ластик стоит 1 рубль. Карандаш дороже ластика в 3 раза, а ластик дешевле карандаша на 3 рубля. Сколько стоит карандаш? В данной задаче
одно условие лишнее, причем условия противоречат друг другу. Эта задача может
иметь определенное решение, если исключить лишнее условие.
Недоопределенные и переопределенные задачи часто встречаются при составлении задач школьниками.
Иногда 2-ю и 3-ю классификации объединяют. В этом случае задачами с
недостающими данными называют задачи, в которых не хватает данных или связей, а задачами с лишними данными называют задачи, в которых имеются лишние
данные или условия.
4. По расположению данных в тексте задачи:
а) Приведенные (задачи с прозрачным содержанием).
В приведенных задачах числовые данные расположены в таком порядке, в
каком они будут применяться при решении задачи.
Например: Один кусок ткани стоит 43 рубля, другой кусок такой же ткани стоит
на 10 рублей дороже. Всего в двух кусках 48 м ткани. Сколько стоит 1 м ткани?
1) 43+10=53 (р.)
2) 43+53=96 (р)
3) 96:48=2 (р.)
б) Неприведенные задачи.
В таких задачах данные расположены в ином порядке, чем они будут применяться при ее решении.
Например: Всего в двух кусках 48 м ткани. Один кусок ткани стоит 43 рубля, другой кусок такой же ткани стоит на 10 рублей дороже. Сколько стоит 1 м ткани?
1) 43+10=53 (р.)
2) 43+53=96 (р)
3) 96:48=2 (р.)
В этой задаче число 48 расположено в начале текста задачи, а решении используется только в третьем действии.
С решением приведенных задач дети справляются легче, чем с решением
неприведенных задач. "Беспорядочное" расположение данных в тексте неприведенных задач затрудняет отыскание пути их решения, а именно: выбор нужных
пар чисел из текста задачи, выявление зависимости между ними, установление
соответствующих арифметических действий и логической последовательной связи между ними, т.е. затрудняет составление плана решения задачи.
Выявляя пары числовых данных, непосредственно связанных между собой,
во второй задаче учащиеся выполняют более тщательный анализ ее содержания,
чем при отыскании пар числовых данных в первой задаче. Следовательно, решая
неприведенную задачу, учащиеся должны уметь разбираться в ее тексте, поэтому
решение составных задач следует начинать с приведенных задач.
5. По форме выражения зависимости:
а) Задачи в прямой форме.
Например: На первой полке 5 книг, а на второй полке на 2 книги меньше, чем на
первой. Сколько книг на второй полке?
б) Задачи в косвенной форме.
Например: На первой полке 5 книг, это на 2 книги больше, чем на первой. Сколько книг на второй полке?
В этой задаче имеется связка "больше", но задача решается вычитанием. Таким образом, задачи в косвенной форме приучают детей более глубоко анализировать задачу, а не ориентироваться при выборе арифметического действия только на одно слово, выхваченное из текста.
6.По форме текста:
а) Традиционные задачи.
Эти задачи состоят из условия и вопроса.
б) Нетрадиционные задачи.
В этих задачах часть данных содержится в вопросе или все условие включено в
вопрос.
Например: Сколько метров ткани идет на один костюм, если из куска ткани длиной 23 м сшили 5 одинаковых костюмов и еще осталось 3 м ткани?
К нетрадиционным относятся также задачи, в которых слово "сколько" заменяется словами "найди", "узнай", "определи" и т.п.
ТВОРЧЕСКИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
ПО РАБОТЕ С ЗАДАЧАМИ
Традиционная методика всю работу над задачами на уроке сводит к их фронтальному
разбору и решению. Но для формирования умения решать арифметические задачи этого недостаточно. Необходимо использовать разнообразные аналитические и творческие упражнения.
Многие учителя считают, что на уроке важно решить как можно больше текстовых задач. Но это заблуждение. Важно не количество задач, а разнообразие приемов работы с задачами.
Виды упражнений
1.Сравнение задач.
Выполняя это упражнение, нужно сначала сравнить тексты задач, а затем их решения,
ответив на вопросы: Чем они похожи? Чем отличаются? При этом одну из задач решает весь
класс, а другую – ученик у доски. Можно предложить для решения по вариантам две задачи, а
затем их сравнить. Либо задача, решенная в классе, сравнивается с домашней задачей.
Для сравнения можно предлагать:
а) взаимно обратные задачи.
Например:
 Задача на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме: В вазе 5 тюльпанов, а
нарциссов на 3 больше, чем тюльпанов. Сколько нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц.
Н. – ? на 3 ц. больше
 Задача на уменьшение числа на несколько единиц в прямой форме: В вазе 5 тюльпанов,
а нарциссов на 3 меньше, чем тюльпанов. Сколько нарциссов в вазе?
Т. – 5 ц.
Н. – ? на 3 ц. меньше
б) задачи, которые дети смешивают.
Например:
 Задача на разностное сравнение: В вазе 15 тюльпанов и 3 нарцисса. На сколько меньше
нарциссов, чем тюльпанов?
Т. – 5 ц.
на?
Н. – 3 ц.
 Задача на кратное сравнение: В вазе 15 тюльпанов и 3 нарцисса. Во сколько раз меньше
нарциссов, чем тюльпанов?
Т. – 15 ц.
во?
Н. – 3 ц.
Это могут быть также простая и составная задачи, у которых одинаковое условие, но разные
вопросы.
в) задачи одного вида, но с разными сюжетами.
Дети должны определить, что это аналогичные задачи, хотя их конкретное содержание различно.
2. Преобразование задач.
После решения задачи детям предлагается изменить что-либо в тексте задачи и затем
определить, как при этом должно измениться решение задачи.
Можно изменить:
- числовые данные,
- вопрос задачи,
- условие (полностью или частично), например, заменить слово "больше" на слово "меньше"
или преобразовать форму задачи из прямой в косвенную.
Возможно и обратное упражнение: учитель изменяет что-либо в решении задачи
(например, добавляется еще одно действие в решении, меняется в одном из действий знак "+"
на знак
"–") и затем предлагает детям определить, как должен измениться текст задачи.
3. Составление и решение обратных задач.
Сначала дети решают прямую задачу (простую или составную), а затем составляют к ней
обратные. Для этого нужно неизвестное сделать известным (в прямую задачу вместо искомого
подставить найденное число), а одно из данных сделать неизвестным. Затем формулируется обратная задача и решается. К простой задаче можно составить две обратных.
П.М. Эрдниев предлагает оформлять на доске и в тетради прямую и обратную задачи рядом (слева и справа), а затем выполнять их поэлементное сравнение методом перемежающегося
противопоставления (сравниваются тесты задач, а затем решения).
4. Решение задач разными способами.
Не следует смешивать разные способы решения задачи и разные способы оформления ее
решения (например, по действиям и выражением). Разные способы решения предполагают разное количество действий в решении или разную их последовательность.
Поиск различных способов решения приводит детей к открытию новых связей между
данными и искомым, а также к использованию известных связей, но в новых условиях, что ведет к обобщению способа решения.
Решение задач разными способами во многих случаях помогает ученикам усвоить свойства арифметических действий и вместе с тем приводит к мысли, что в основе разных способов
решения лежит использование того или другого свойства.
Например: Одна доярка надоила 114 л молока, а другая 152 л. Это молоко разлили в бидоны, по
38 л в каждый. Сколько потребовалось бидонов?
1 способ
(114 + 152): 38 = 7(б.)
2 способ
114: 38 + 152: 38 = 7(б.)
Здесь использовано свойство деления суммы на число.
С.Е. Царева в статье "Различные способы решения текстовых задач" (ж. "Начальная школа".1991. № 2) предлагает различные приемы для отыскания разных способов решения:
1) Использование другого способа разбора задачи на этапе поиска решения (например, поразному составляется схема в виде "дерева").
2) Представление практического разрешения ситуации, описанной в задаче (представление
жизненной ситуации)
Например: В вазе лежало 5 желтых яблок и 4 красных. Съели 3 яблока. Сколько яблок осталось?
Эту задачу можно решить тремя способами, представив, какие яблоки могли съесть.
1 способ. Из вазы брали яблоки, независимо от их цвета:
(5 + 4) – 3 = 6 (яб.)
2 способ. Из вазы взяли желтые яблоки:
(5 – 3) + 4 = 6 (яб.)
3 способ: Из вазы взяли красные яблоки:
(4 – 3) + 5 = 6 (яб.)
3) Дополнение условия задачи сведениями, не влияющими на результат решения.
Например, предыдущую задачу дополним так: "Съели 3 желтых яблока" и т.д.
4) Использование другой модели, чем та, которая была использована при решении задачи первым способом.
Например: На первой машине привезли 28 мешков с зерном, на второй машине на 6 мешков
больше, чем на первой, а на третьей на 4 мешка меньше, чем на второй. Сколько мешков с зерном привезли на третьей машине?
1 способ: составляется краткая запись, которая помогает найти 1-й способ решения.
I – 28 м.
II - ? на 6 м. больше
III - ? на 4 м. меньше
(28 + 6) – 4 =30 (м.)
2 способ: составляется графическая схема, которая помогает найти 2-й способ решения.
28м.
6м.
4м.
?
1) 6 – 4 = 2 (м.) – на столько мешков больше привезли на третьей машине, чем на первой.
2) 28 + 2 = 30 (м.)
5. Составление задач.
Можно использовать различные приемы:
а) Дополнение задачи: подбор числовых данных; постановка вопроса к данному условию; составление условия к данному вопросу.
б) Составление задач по аналогии.
Аналогичными являются задачи, имеющие одинаковую математическую структуру. Для того,
чтобы дети убедились, что задачи являются аналогичными, можно составить к ним графические
схемы. При составлении аналогичных задач можно изменять не только сюжет и числовые данные, но и величины.
в) Составление задач по иллюстрациям и моделям (по образному или схематическому рисунку,
краткой записи, графической схеме, таблице, чертежу).
г) Составление задач по выражению или по решению задачи.
При составлении задач по выражению можно подсказать ученикам сюжет задачи или величины.
Для составления задач можно организовать сбор числового материала, отражающего
окружающую действительность, например, цены на различные товары, скорость движения разных видов транспорта и т.п.
6. Решение задач, отличающихся от стандартных.
Это могут быть:
а) Задачи с недостающими и лишними данными.
б) Задачи в косвенной форме ( в 1 – 3 классе, т.к. такие задачи включены в программу 4 класса).
в) Задачи повышенной трудности.
Например: В вазе лежали 3 яблока и 7 мандаринов. За ужином съели все яблоки и столько же
мандаринов. Сколько мандаринов осталось?
г) Задачи с условными ("сказочными") числами или с буквенными данными.
д) Логические и комбинаторные задачи.
е) Задачи-шутки, задачи на смекалку.
7. Аналитические упражнения.
Целью таких упражнений является не решение задачи, а ее анализ.
а) Выбор вопросов к данному условию.
Например. Дано условие: От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, а потом еще 4 дм.
- Подумайте, на какие вопросы можно ответить, пользуясь данным условием:
-Сколько всего дм проволоки отрезали?
-На сколько дм меньше отрезали в первый раз, чем во второй?
-На сколько дм проволока стала короче?
-Сколько дм проволоки осталось?
-Сколько проволоки было сначала?
б) Выбор условия к данному вопросу.
Например. Вопрос: Сколько всего детей занимается в студии?
Условия:
-В студии занимается 30 детей, из них 16 мальчиков.
- В студии занимаются мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем девочек.
- В студии занимаются 8 мальчиков и 20 девочек.
-В студии занимаются 8 мальчиков, а девочек на 2 больше.
-В студии занимаются 8 мальчиков, а девочек на 2 меньше.
в) Выбор схемы к задаче.
Например: В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 тетрадей в клетку, а остальные в линейку. Сколько
тетрадей в линейку в портфеле?
Какая схема подходит к задаче?
9т.
?
?
14т.
14т.
9т.
г) Выбор решения (выражений).
Например: На велогонках стартовало 70 спортсменов. На первом этапе с трассы сошли 4 велосипедиста, а на втором 6. Сколько спортсменов пришло к финишу?
6 +4
6–4
70 – 6
70 – 6 – 4
70 – 4 – 6
70 – 4
д) Объяснение выражений, составленных к данному условию.
Например: Фермер отправил в магазин 45 кг укропа, петрушки на 4 кг больше, чем укропа, и 19
кг сельдерея.
- Что ты узнаешь, выполнив эти действия:
45 – 19
45 + 19
45 +4 45 – 4
е) Постановка вопроса, соответствующего данной схеме.
Например: Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см.
- Рассмотри схему и подумай, на какой вопрос можно ответить, пользуясь данным условием.
20см
К.
7см
П.
В.
ж) Изменение текста задачи в соответствии с данным решением.
Например: Подумай, что надо изменить в текстах задач, чтобы выражение 9 – 6 было решением
каждой.
-На двух скамейках сидели 6 девочек. На одной из них 9. Сколько девочек сидело на второй
скамейке?
-В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины на 6 больше. Сколько кустов
черной смородины в саду?
-В гараже 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего машин в гараже?
з) Восстановление текста задачи, в котором пропущены числа и отдельные слова, по ее решению или графической схеме.
к) Классификация задач.