Классическое определения вероятности

1. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница
будет иметь порядковый номер кратный пяти?
Решение
Используем классическое определение вероятности события А:
m
P A  
n
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению
события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания.
Открытая страница будет иметь порядковый номер кратный пяти, если номер будет
оканчиваться нулем или пятеркой (5, 10, 15, 20, 25, … 490, 495, 500). Таких номеров
m=100
Всего страниц в книге
n=500
Подставляем, находим искомую вероятность:
m 100 1
P A  

  0,2
n 500 5
2. Считая выпадение любой из граней игральной кости одинаково вероятным, найти
вероятность выпадения грани с четным числом очков.
Решение
Используем классическое определение вероятности события А:
m
P A  
n
Количество граней у кости равно n=6.
Количество граней с четным числом очков (2, 4, 6) равно m=3.
Подставляем, находим искомую вероятность:
m 3 1
P A  
   0,5
n 6 2
3. Из 25 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу вынимают 3 билета. Какова
вероятность того, что среди них окажется:
а) не более одного выигрышного билета;
б) хотя бы один выигрышный билет?
Решение
Всего мы имеем 4 выигрышных и 21 проигрышный билет.
Вероятность того, что ни один билет не будет выигрышным равна:
21!
С
21!
3!*22! 19 * 20 * 21
6
133
р0 
 3!*18! 
*

*

25!
3!*18!
25!
6
23 * 24 * 25 230
С
3!*22!
Вероятность того, что один билет будет выигрышным равна:
4!
21!
*
1
2
С *С
20 * 21
6
42
р1  4 3 21  1!*3! 2!*19!  4 *
*

25!
2
23 * 24 * 25 115
С 25
3!*22!
:
а) вероятность того, что окажется не более одного (т.е. ноль или один)
выигрышных билетов равна:
р=р0+р1=133/230+42/115=217/230
3
21
3
25
б) событие - хотя бы один билет - выигрышный является противоположным
событию - ни один билет не будет выигрышным. Поэтому:
p(k1)=1-p0=1-133/230=97/230
4. Чему равна вероятность того, что разделив колоду из 36 карт пополам, в каждой
пачке получим два туза?
Решение
Из колоды в 36 карт можно выбрать 18 карт n способами
36!
18
n  C 36

18!18!
При этом необходимо, чтобы среди этих карт было два туза из четырех и 16 карт не
тузов из 32
4!
32!
1 2  3  4
32!
32!
16
m  C 42  C32




6
2!2! 16!16! 1 2  1 2 16!16!
16!16!
Подставляем, находим искомую вероятность:
32!
m
32! 18!18!
1
17  18  17  18 153
P
 6 16!16!  6

6


36!
n
36! 16!16!
33  34  35  36
1
385
18!18!
5. Студент пришел на экзамен, зная лишь 30 из 40 вопросов программы. В
каждом билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит правильно : а)
на все вопросы наудачу взятого билета; б) хотя бы на два вопроса билета.
Решение.
Всего мы имеем 30 вопросов, которые студент знает и 10 вопросов, которые студент
не знает.
а) Вероятность того, что студент ответит правильно на все три (k=3) вопроса наудачу
взятого билета равна:
30!
3
С30
30!
3!*37! 30! 37! 28 * 29 * 30 203
рk  3  3  3!*27! 
*

*


40!
3!*27!
40!
27! 40! 38 * 39 * 40 494
С 40
3!*37!
:
б) найдем вероятность того, что студент ответит правильно на 2 (k=2) вопроса и на
один неправильно:
30!
10!
*
2
1
С 30
* С10
30!
10! 3!* 37!
рk  2 
 2!* 28! 1!* 9! 
*
*

3
40!
2!* 28! 1!* 9!
40!
С 40
3!* 37!
29 * 30 10
2* 3
29 * 30 * 30 435

*
*


2
1 38 * 39 * 40 38 * 39 * 40 988
Событие - студент ответит правильно хотя бы на два вопроса билета означает, что он
ответил правильно на два или на три вопроса. Используем формулу вероятности для
двух несовместных событий:
435 203 841
рk  2  рk  2  рk  3  


988 494 988