Определение 2. Сложением векторов и называется вектор

Основы векторной алгебры
для студентов экономических специальностей
Работу выполнила
преподаватель кафедры
Инженерной Математики
О.Г.Суровая
г. Улан – Удэ
2005г.
Содержание.
§1. Определение вектора
§2. Линейные операции над векторами.
п.1. Сложение векторов.
п.2. Вычитание векторов.
п.3. Умножение вектора на число.
§3. Угол между двумя векторами. Проекции векторов.
Скалярное произведение векторов.
п.1. Угол между двумя векторами.
п.2. проекции векторов.
§4. Линейная зависимость векторов.
п.1. Линейная зависимость векторов на плоскости.
п.2. линейная зависимость векторов в пространстве.
§5. Базис на плоскости и в пространстве.
§6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
§7. Скалярное произведение векторов.
§8. Векторное произведение векторов.
§9. Смешанное произведение векторов.
§10 Система аксиом n-мерного евклидова точечного пространства. Простейшие
следствия аксиом.
§1. Определение вектора.
Определение 1. Отрезок, у которого указано начало и конец, называется
направленным.
В
На рисунке изображен направленный отрезок, началом которого
является точка А, а концом – точка В.
А
Определение 2. Два направленных отрезка
AB и CD
называются
сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых, и принадлежат одной
полуплоскости с границей (АС), проходящей через начала данных направленных
отрезков.
Определение 3. Говорят, что отрезок
АВ
находится в отношении
эквиполентности к отрезку CD если они сонаправлены и имеют равные длины
(пишут AB  CD ).
Множество
всех направленных
отрезков пространства разбивается
на
непересекающиеся классы, в каждый из которых входят все эквиполентные между
собой отрезки. Такой класс рассматривается как элемент нового множества,
называемого фактор – множеством множества всех направленных отрезков
пространства. Элементы фактор – множества называются векторами (иногда их
называют свободными векторами).
Таким образом, вектор – множество всех эквиполентных между собой
  
направленных отрезков. Векторы обозначаются а, в , с ,...
Из определения вектора следует, что из любой точки пространства можно
отложить направленный отрезок, принадлежащий любому заданному вектору.
Поэтому любой направленный отрезок однозначно задает вектор, а в то время как
3
произвольный вектор задается в пространстве классом направленных отрезков. Это
позволяет на чертеже изображать вектор одним из направленных отрезков,
представляющих этот вектор.

Определение 4. Длина АВ направленного отрезка АВ  а называется длиной


(или модулем) вектора а и обозначается а .
Определение 5. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их
представители лежат на параллельных прямых или принадлежат одной прямой.
Определение 6. Три и более векторов называются компланарными, если они
параллельны некоторой плоскости или принадлежат одной плоскости.


Определение 7. Векторы а и b называются равными, если они коллинеарны,
одинаково направлены и их длины равны.
§2. Линейные операции над векторами.
Определение 1. Линейными операциями над векторами называются операции
сложения и вычитания векторов, а также операция умножения вектора на число.
п.1. Сложение векторов.

  

Определение 2. Сложением векторов а и в называется вектор с  а  в .
   
Построение вектора с ( с  а  в ) осуществляется по правилам треугольника,
параллелограмма и многоугольника.
Правило треугольника:
4


Из произвольной точки О пространства отложим вектора ОА  а и АВ  в.


таким образом, чтобы вектор в был приложен к концу вектора а . Направленный
отрезок ОВ принадлежит некоторому множеству эквиполентных отрезков и задает


искомый вектор с ( ОВ  с ).
A
Имеет место равенство Шаля: ОА  АВ  ОВ .

b

а
B

с
O
Так же сложение векторов можно осуществлять с помощью правила
параллелограмма:
A
С

a

с


ОА  а, ОВ  в . На представителях
Пусть


ОА  а, ОВ  в
с общим началом О построим
параллелограмм ОАСВ.
параллелограмма,
О

b
взятых
B
Диагональ ОС этого
исходящая
направленных
из
общей
точки
отрезков,
задает
сумму
векторов.
Для
сложения
нескольких
векторов
   
а, b , c , d используют правило многоугольника:


Из произвольной точки О пространства отложим вектор а , из конца вектора а




отложим вектор b , из конца вектора b отложим вектор с , а из конца вектора с



отложим вектор d . Вектор, проведенный из начала вектора а к концу вектора d , и
будет искомым вектором.

b

с

а
 следующие


Имеютместо
свойства:
а b c d
d
5
1.
2.
3.
   
а в в а
     
(а  в )  с  а  (в  с )

   
Для а  о а  о  а


Для каждого вектора а существует единственный вектор (- а ), который

 

называется вектором, противоположным вектору а , такой, что а  а (а )  о .
4.
П 2. Разность векторов.
Операция вычитания векторов вводится как операция, обратная сложению.



Определение 1. Разностью векторов а и в называется вектор с , такой,
  
что в  с  а.


Для любых двух векторов а и в разность определяется однозначно.
  

Имеет место равенство: а  в  а  (в )
Применим последнее равенство для построения разности векторов.





Пусть ОА  а, ОВ  в . Построим ОВ1  (в ) и затем ОС  а  (в )
С
А
Отрезок

а
О
B1
ВА
также представляет
 
вектор разности а  в

b
В
Отсюда следует второе правило построения вектора разности:
Из произвольной точки пространства отложить
 
аb

b

а
направленные
отрезки,
представляющие
вычитаемый
векторы;
уменьшаемый
и
направленный
отрезок
направленного
с
отрезка,
началом
в
тогда
конце
представляющего
6
вычитаемый вектор, и с концом в конце направленного отрезка, представляющего
уменьшаемый вектор, будет представлять вектор разности.
п.3. Умножение вектора на число.

Определение 1. Произведением вектора а на число  (0) называется

b
вектор , удовлетворяющий следующим условиям:


1)
векторы а  в , если   0


2)
векторы а  в , если   0


в  а
3)

Операция умножения вектора а на число обозначается следующим образом:


в а.
Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:
 


 
 (а  в )  а  в , для   0 и а, в
1)



 ( а )  (  )а, для  ,  и а
2)




(   )а   а  а, для  ,  и а
3)
 

4)
1а  а, для а


Для того, чтобы векторы а и в были коллинеарными, необходимо и


достаточно, чтобы существовало число , удовлетворяющее условию в   а
Задача 1
В
Направленные отрезки и , совпадают со сторонами
С
правильного
А
D
шестиугольника
соответственно векторам

а
и
принадлежат

в . Найти векторы,
которым принадлежат направленные отрезки
F
E
CD, DE, EF, FA, AC, AD, AE .
Решение:
7
1) АС  АВ  ВС



 
Так как АВ  а, ВС  в , то АС  а  в ; АD  ВС ;
АВСDЕF  правильный шестиугольник, поэтому

АD  2BC  AD  2b ;


ДЕ  АВ и АВ  ДЕ  ДЕ  а; EF  ВC и EF  ВС  EF  в ;
 
    
АЕ  АD  DЕ  АЕ  2в  а; AF  AE  EF  2в  а  в  в  а.
Отсюда следует, что
 
 
FA  a  в , СD  АF  CД  в  а .
В
Задача 2.
К
Дан треугольник АВС



АВС, причем АВ  с , ВС  а и СА  в.
Каким векторам принадлежат направленные
A
М
D
C
отрезки, совпадающие с медианами этого
треугольника?
Решение.


 а
 в
АМ  АВ  ВМ  АМ  с  , ВD  ВС  СD  ВD  а  ,
2
2

 с
СК  СА  АК  СК  в 
2
Замечание
Пусть

а
- данный вектор, т.е. класс эквивалентности отношения  .

Если АВ - представитель этого класса, т.е. АВ  а, то АВ представляет класс
эквивалентности, т.е. вектор а . В этом случае вектор

а
обозначается через АВ и
на рисунке изображается в виде направленного отрезка АВ . В дальнейшем будем
иметь это в виду.
Задача 3
8
Доказать, что если М – точка пересечения
С
медиан треугольника АВС, то

 

МА  МВ  МС  О
В1
О
А1
М
А
С1
и для любой точки О
справедливо равенство

 1 

ОМ  (ОА  ОВ  ОС )
3
В
Решение:
Пусть АА1 , ВВ , СС1 - медианы ∆АВС АА1 , ВВ , СС1 пересекаются в точке М

 1 

АА1   А1 А  ( АВ  АС ) 
2
 1 
 1 

 2  2 1 
АМ  АА1 
( АВ  АС )  ( АВ  АС )  ( АВ  АС )
3
3 2
3
3
Аналогично находятся

 1 
 1 

ВМ  ( ВА  ВС ) СМ  (СА  СВ)
3
3






МА  МВ  МС   АМ  ВМ  СМ 







1
1 
 ( АВ  АС  ВА  ВС  СА  СВ )   О  О
3
3
что и требовалось доказать.
Пусть О – произвольная точка. Тогда



О М  О А  АМ



О М  О В  ВМ



О М  О С  СМ
Сложим данные равенства и получим







3ОМ  ОА  ОВ  ОС  АМ  ВМ  СМ 






ОА  ОВ  ОС  ( МА  МВ  МС ) 

 




Тогда
ОА  ОВ  ОС  О  ОА  ОВ  ОС

 1 

ОМ  (ОА  ОВ  ОС ) , что и требовалось доказать.
3
Задача 4
9
А, В, С и D – произвольные точки
А
пространства,
М
M и N - cередина отрезков АD и ВС



Доказать, что 2MN  AB  ДС
В
D
N
C
Решение.
Пусть А, В, С и D – произвольные точки пространства, тогда данные точки
являются вершинами пространственного четырехугольника АВСD.
М – середина отрезка АD,
N – середина отрезка ВС




МN  МD  DС  CN



 (по правилу многоугольника)
MN  MA  AB  BN
Сложим данные векторные равенства и учтем, что




МD  МА, СN   BN .









Тогда 2MN  МD  DС  CN  МА  АВ  BN  DС  АВ ,

 1 
отсюда следует, что МN  ( AB  DС ) .
2
Задачи для самостоятельного решения:
По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные
1.
В
М
С
N
векторы i и j (рис. ). Выразить через i и j векторы
ОА, АС , СВ, ВО , ОС , ВА, ОМ , ОN , МN , если М – середи-на
стороны ВС, N – середина стороеы АС, а длина ОА = 3,
ОВ = 4.

j
О 
i
А
10
2.
Проверить аналитически и геометрически векторные тождества:
   
   
 a b a b
 b a a b
1) a 
; 2) a 
.


2
2
2
2



3.
Даны векторы ОА  а, ОВ  b . Вектор OC  c - медиана треугольника

 
∆ОАВ. Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор с по векторам а, b ; 2)
 

вектор a по векторам b , c .
4.
В равнобедренной трапеции ОАСВ
В
(рис. ) угол ВОА = 60°, ОВ = ВС = СА = 2, М, N
– середины сторон ВС и АС. Выразить векторы
 
через векторы
m, n
АС , ОМ , ON, MN

n
M
С
N
О 
m
А
единичные векторы направлений ОА и ОВ.
5.
Пусть М, N, P, Q – середины сторон АВ, СD, ВС, DЕ пятиугольника
АВСDЕ, а К, L – середины отрезков МN, PQ.
Доказать, что прямые АЕ и КL параллельны и КL 
6.
1
AE .
4
Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того,
чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом.
Даны три точки А, В и С. Построить точку Q такую, чтобы

 

QA  2QB  QC  O.


8.
При каких условиях для ненулевых векторов а и в возможны
7.
следующие равенства:
   
1) а  в  а  в
 
 
2) а  в   (а  в )
 
а в
3)   
а в
   
4) а  в  а  в
 
 
5) а  в  а  в
   
6) а  в  а  в
11
9.
Точка М i - центр тяжести грани тетраэдра A1 A2 A3 A4 , противолежащий

вершине Ai . Доказать, что отрезки Ai M i
10.

i  1, 2, 3, 4
Точки Р и Q середины отрезков [AB] и [CД] соответственно. Доказать,
что середины отрезков [AC], [BД] и [PQ] принадлежат одной прямой.

11.
Два направленных отрезков АВ и СD разделены точками М и N в
 

равных отношениях. Доказать, что векторы АС, ВD, МN компланарны.
12.
точках
Некоторая прямая пересекает прямые (ВС), (СА), (АВ) соответственно в
А1 , В1 , С1. .
Доказать,
что
векторы


ВС  В1С1 , СА  С1 А1 ,

АВ  А1В1
коллинеарны.
§3. Угол между двумя векторами. Проекции векторов.
Скалярное произведение векторов.
П 1. Угол между двумя векторами
Термин «угол» будет использоваться для обозначения фигуры, образованной
двумя лучами, исходящими из одной точки, и числа, измеряющего величину
поворота одного луча до совпадения с другим лучом. Это число называется мерой
угла. Под мерой угла будем понимать меру так называемого ориентированного угла.
Меру угла будем считать положительной, если поворот первого луча до совпадения
со вторым происходит против часовой стрелки, и отрицательной, - если по часовой
стрелке.


Углом между двумя векторами а и в называется


ориентированный угол между направленными отрезками
ОА  а и ОВ  в
Определение 1.
исходящими из одной точки и представляющими данные векторы.
 
Этот угол обозначается так: (a ,̂ в )  φ.
12
 
Определение 2. Два вектора а и в называются взаимно перпендикулярными
  
или ортогональными, если (a ,̂ в )  .
2
Частные случаи:
 


1) если а  в , то (a ,̂ в )  0
 


2) если а  в , то (a ,̂ в )  π
П 2. Проекция векторов
Определение 1. Проекцией вектора АВ на ось и называется величина
направленного отрезка АВ на оси и, где А’ – проекция точки А на ось и, В’ –
проекция точки В на эту ось. Обозначение: при АВ .
Проекция вектора АВ на ось и определяется формулой
при АВ = АВ cosφ,
где φ – угол между вектором АВ и осью и.
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с
осью острый угол, отрицательна, если этот угол тупой, равна 0, если этот угол
прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между
собой.
 
Проекции векторов а и в на данную ось обладает следующими свойствами:
 

1) При( а  b )=при a + прub,

2) Прu( а )=λпрu а
Задача 1.
Сторона правильного шестиугольника равна а. Найти проекции на ось АД
векторов, которые совпадают со сторонами шестиугольника.
13
Решение.

Пусть е - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением
оси АD. Векторы представители которых совпадают со сторонами шестиугольника,
обозначим так же, как и представляющие их направленные отрезки. Тогда:
В
С

е
А
T
D
G


 ^
 a
Пре АВ  АВ cos( AB, e )  a cos 
3 2


 ^
Пре ВС  ВС сos ( BC , e )  a cos 0  a


 ^
 a
Пре СД  СД соs (CД , e )  a cos 
3 2


 ^
2
a
Пре ДЕ  ДЕ сos ( ДЕ , e )  a cos

3
2


 ^
Пре ЕF  EF cos( EF , e )  a cos    a


 ^
2
a
Пре FA  FA cos( FA, e )  a cos

3
2
§4. Линейная зависимость векторов.
 

Определение 1. Векторы а1 , а 2 ,..., а n называются линейно зависимыми, если
существует такая линейная комбинация
 1 a1   2 a 2  ...   n a n
, которая
обращается в ноль при i ≠ 0.
Если же только при i = 0 выполняется 1 a1   2 a2  ...   n an  0 , то векторы
называются линейно независимыми.
14

Свойство 1. Если среди векторов а есть нулевой вектор, то эти векторы
i
линейно зависимы.
Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или
несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.
Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда
один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.
Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.
Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот,
любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.
Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.
п.1. Линейная зависимость векторов на плоскости.
  
Теорема I. Любые три вектора а , b и с на плоскости линейно зависимы.
Доказательство. Достаточно убедиться в том, что один из векторов является
линейной комбинацией остальных. Возможны два случая:
1. Среди данных векторов имеется пара коллинеарных векторов, например а и b
. Тогда
 
 

а =λ b или а =λ b +0 с



т.е. вектор а есть линейная комбинация векторов b и с .
2. Среди данных векторов нет ни одной пары коллинеарных. Допустим, что все
три вектора имеют общее начало О. Покажем, что вектор а можно представить в

виде суммы двух векторов, один из которых коллинеарен вектору b , а другой –

вектору с .

Для этого через конец М вектора а проведем прямые, параллельные векторам


b и с , до их пересечения в точках В и С с прямыми, на которых соответственно


расположены векторы b и с . Имеем очевидное равенство OM=OB+OC.
15


Так как векторы ОB и ОС коллинеарны соответственно векторам b и с , то





ОВ = λ1 b и ОС =λ2 с . Поэтому а = λ1 b +λ2 с .



т.е. вектор а является линейной комбинацией векторов b и с .
Следствие 1. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они
также линейно зависимы.
В самом деле, пусть даны п векторов аь а2, ..., аn (п > 3). Так как три вектора на
плоскости всегда линейно зависимы, то для векторов аь а2,a3 имеем a1=μ2a2+μ3a3. В
таком случае для всех п векторов можно написать a1= μ2a2+μ3a3+0a4+…+0an,
т.е. вектор a1 есть линейная комбинация остальных векторов.


Что касается двух векторов а и b , то, как известно (см. п.2) они коллинеарны



тогда и только тогда, когда имеет место равенство b =λ а , т.е. когда векторы а и

b линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая теорема.


Теорема 2. Для того чтобы два вектора а и b на плоскости были линейно
независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.
Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых векторов
на плоскости равно двум.
п.2. Линейная зависимость векторов в пространстве.
Определение 1. Векторы называются компланарными, если они лежат в
одной плоскости или параллельны одной плоскости.
Заметим, что если компланарные векторы имеют общее начало, то они,
очевидно, лежат в одной плоскости.
Теорема 1. Всякие четыре вектора а, b, с и d в пространстве линейно
зависимы.
Из этой теоремы аналогично следствию из п. 4 получим следствие.
16
Следствие. Если число данных векторов в пространстве больше четырех, то
они также линейно зависимы.
Аналогично предыдущему пункту устанавливаем следующее: Для того чтобы
три вектора в пространстве были компланарны, необходимо и достаточно,
чтобы они были линейно зависимы. Отсюда непосредственно вытекает следующая
теорема.
  
Теорема 2. Для того чтобы три вектора а , b , с
в пространстве были
линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.
Из теорем 1 и 2 следует, что максимальное число линейно независимых
векторов в пространстве равно трем.
§5. Базис на плоскости и в пространстве.
Определение 1. Базисом на плоскости называются два любых линейно
независимых вектора.
Из теоремы 2 следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис.
 

Пусть а - любой вектор на плоскости, а векторы b и c образуют базис. Так как на
плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается



через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение а = λ 1 b + λ2 с
(1).




Если вектор а представлен в виде а = λ 1 b + λ2 с , то говорят, что он


разложен по базису, образованному векторами b и c . Числа λ 1 и λ2 называют
 

координатами вектора а на плоскости относительно базиса b и c .



Теорема 1. Разложение вектора а по базису b и c является
единственным.
Доказательство. Допустим, что наряду с разложением
имеет место
разложение
a = ν 1 b + ν2 c
(2)
17
Покажем, что в этом случае λ 1 = ν1, λ2 =ν 2 . Действительно, вычитая равенство
(2) из равенства (1), получаем соотношение
0 = (λ1-ν1) b + (λ2-ν2 ) c
(Возможность почленного вычитания равенств и производимой группировки
членов вытекает из свойств линейных операций над векторами.) Так как векторы
 
базиса b , c линейно независимы, то (λ1-ν1)= 0 и (λ2-ν2 )= 0 . Отсюда λ1=ν1 и
 

λ2=ν2 , т.е разложение вектора а по базису b , c единственно.
Определение 2. Базисом в пространстве называются три любых линейно
независимых вектора.
Из теоремы 2
следует, что три любых некомпланарных вектора образуют
базис. Как и в случае плоскости, устанавливается, что любой вектор

 

c
а разлагается по векторам b ,
и d базиса: a = λ1 b + λ2 c + λ3 d , причем это
разложение единственное.

Числа λ1, λ2 и λ3 называют _координатами вектора а в пространстве
  
относительно базиса b , c и d ..
Основное значение базиса состоит в том , что линейные операции над
векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над
числами - координатами этих векторов.
Теорема 2. При сложении двух_векторов a 1 и
 

(относительно любого базиса b и с или любого базиса b ,
a2
их координаты
 
c и d .) складываются.
При умножении вектора a 1 на любое число μ все его координаты умножаются на
это число.
Доказательство. Пусть, например,
a 1= λ1 b + μ1 c + ν1 d , a 2= λ2 b + μ2 c + ν2 d .
Тогда в силу свойств линейных операций
a 1+ a 2=(λ1+ λ2) b +(μ1+ μ2) c +(ν1+ ν2) d ,
18
μ a 1=(μ λ1) b +(μ μ1) c +(μν1) d .

В силу единственности разложения по базису b ,
 
c и d , теорема для этого
базиса доказана.
Задачи для самостоятельного решения.
1.
Задан тетраэдр ОАBC. В базисе из ребер ОА, ОВ, ОС
найти
координаты: а) вектора DE , где D и Е – середины ребер ОА и ВС ;
б) вектора OF , где F – точка пересечения медиан основания АВС.
2.
Вне плоскости параллелограмма АВСD взята точка О. В базисе из ребер
ОА , ОВ , ОС найти координаты: а) вектора ОМ , где М – точка пересечения
диагоналей треугольника; б) вектора ОК , где К – середина стороны АD.
3.
Заданы векторы а1(-1;2;0), а2(3;1;1), а3(2;0;1) и а=а1-2а2+0,4а3. Вычислить:
а) Модуль вектора а1; б) cos(а1 ^ j); в) координаты вектора а; г) прj а.
§6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с
общим началом О и одинаковой масштабной единицей образуют декартову
прямоугольную (кратко – прямоугольную) систему координат в пространстве. Оси
упорядочены, т.е. указано, какая из осей считается первой (она называется осью
абсцисс и обозначается Ох),и какая – второй (ось ординат Оу) и какая –третьей (ось
аппликат Оz).
Орты
(взаимно-перпендикулярные
единичные
векторы)
Ох,
Оу,
0z
обозначают соответственно i , j , k . Так как векторы i , j , k некомпланарны, то они
образуют базис, который называется декартовым прямоугольным базисом.
19
Каждый вектор a может быть, и притом единственным способом, разложен
по декартовому прямоугольному базису i , j , k , т.е. для каждого вектора найдется,
и притом единственная, тройка чисел ах ,ау, аz , такая что справедливо равенство
a = ах i + аy j + аz k
Числа
аx
,
аy
,az
называются
декартовыми
прямоугольными
(или

прямоугольными) координатами вектора а .


Запись а ( ах ,ау, аz ) означает, что вектор а имеет декартовы прямоугольные
координаты ах ,ау, аz..
Выясним геометрический смысл чисел ах ,ау, аz. Используя теоремы 2 и 1 о
проекциях, имеем
прох a =ахпрох i + аyпрох j + аzпрох k =ах
Аналогично устанавливаем пр0уа = ау, пр0z:а = аz:. Следовательно, числа ах ау, аг
в формуле являются проекциями вектора a на координатные оси Ох, Оу, Оz
cоответственно.
Если М – произвольная точка в пространстве, то радиусом-вектором точки М
назовем вектор ОМ, имеющий своим началом начало О заданной системы
координат, а концом эту точку.
Определение 1. Декартовыми прямоугольными координатами точки М
называются проекции ее радиуса-вектора ОМ на соответствующие координатные
оси; проекция на первую координатную ось называется абсциссой точки М, на
вторую – ординатой, на третью – аппликатой:
х=прохОМ , y = проyOM , z = проzOM .
Символ М(х; у; z) означает, что точка М имеет координаты х,у, z.
Отметим, что каждой точке пространства соответствует одна упорядоченная
тройка действительных чисел (x,y,z) (ее координат).Верно и обратное: каждой
упорядоченной тройке действительных чисел (x,y,z) соответствует одна точка
пространства. Это означает, что в пространстве положение произвольной точки М
полностью определяется ее координатами х; у; z.
20
Пусть задана точка М(х; у. z). Поскольку координаты радиуса-вектора
ОМ совпадают с проекциями этого вектора на оси координат, т.е. с координатами
точки М. то согласно равенству (7) имеем ОМ =xi+yj+zk.
(Если точка М лежит в плоскости xOy, то ОМ =xi+yj. )
Теперь пусть заданы две точки М 1(x1; y1;z1) и М2(x2;y2;z2). Рассмотрим
вектор М!М 2 = ОМ 2 - ОМ ! . Отсюда в силу теоремы 2 (см. в п.6) получаем
М 1М 2 (x2-x1;
y2-y1; z2-z1).
Итак, чтобы найти координаты некоторого вектора, достаточно из
координат его конца вычесть одноименные координаты его начала.
Длина вектора АВ совпадает с расстоянием между точками А и В:
АВ  ( х 2  х1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
Пусть два ненулевых вектора a = axi+ayj+azk и b = bx i+by j+bzk
коллинеарны. В этом случае b =  a (  -скаляр), что равносильно равенствам
ах a y az


bx b y bz
Это есть условие коллинеарности векторов.
Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их
одноименные координаты пропорциональны.

Обозначим через α, β, γ углы между вектором а и осями координат.
 
Тогда
пр
оz а = а cosγ, т.е.
z

а
z
cosγ= 2
.
2
2
x y z
γ
α
cosβ=
β
O
y
cosα=
y
x  y2  z2
2
x
x2  y2  z2
.
.
x
21
Определение 2. Сosγ, cosβ, cosα

вектора а .
Основное
свойство
называются направляющими косинусами
направляющих
косинусов
отражает
тождество:
cos 2   cos 2   cos 2   1 .
Задача 1.
В треугольнике АВС сторона АВ точками М и Nазделена на три равные
части: АМ  MN  NB . Найти вектор СМ , если СА  а, СВ  b .
Решение.
Из
равенств
СА  а, СВ  b
следует
что
АВ  b  a .
Следовательно,
АМ  (b  a) / 3 . Так как CM  CA  AM , то СМ  a  (b  a) / 3  (2a  b) / 3 .
■.
Задача 2.
В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем
точка М лежит на стороне ВС. Найти вектор АМ , если АВ  b, AC  c.
Решение.
 
ВС  АС  АВ  с  b . Из свойств биссектрисы внутреннего угла треугольника
следует,
что
ВМ : МС  b : c, т.е. ВМ : ВС  b : (b  c) .
Отсюда
получаем






b
bc  cb
b
(c  b ) 
ВМ 
(c  b ). Так как АМ  АВ  ВМ ,то АМ  b 
bc
bc
bc
Задачи для самостоятельного решения.
1.
Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2) и С(1;2;-3) параллелограмма
АВСD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
22
2.
Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2;6), В(2;8) и точка
3.
пересечения его диагоналей М(2;2). Найти две другие вершины.


Найти проекции вектора а на координатные оси, если а  АВ  CD ,
4.
А(0;0;1), В(3;2;1), С(4;6;5), D(1;6;3).

Найти длину вектора а (20;30;-60) и его направляющие косинусы.
5.
Даны две координаты вектора: х=4, у=-12. Определить его третью
6.
координату z при условии, что длина вектора равна 13.

Даны а  2 и углы   45,   60,   120 . Вычислить проекции

вектора а на координатные оси.
7.
Определить координаты точки М, если её радиус-вектор составляет с
координатными осями одинаковые углы и его длина равна 3.
8.
Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45° и с осью Оу –
угол 60°. Длина его равна 6. Определить координаты точки М, если её
координата z отрицательна.
9.
Проверить коллинеарность векторов

b (-6;3;-9).

а (3;-2;6) и
Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или противоположные стороны.
10.
Определить,
при
каких
значениях
α,
 






а  2i  3 j   k , b   i  6 j  2k коллинеарны.
β
векторы
§7 Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.



Скалярное произведение векторовa а и b обозначается символом а b или

 
 
 
( а , b ). Если угол между векторами а и b равен  , то а b = | а || b |соs .
23


Так как b cos  пр  b и
a




a cos  пр a ,то ab  a прa b ,
b


ab  b пр a .
b
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них,
умноженному на проекцию другого на ось с направлением первого.
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
   
1) а b = b а (переместительное свойство);
  


2) а 2= а а = | а |2
( а 2 называется скалярным квадратом вектора);
     
3) ( а + b ) с = а с + b с (распределительное свойство);
 
 
4) (  а ) b =  ( а b ) (сочетательное свойство относительно числового
множителя).
Примечание. Из свойств 1, 3, 4 скалярного умножения и свойств линейных
операций над векторами следует, что векторы можно перемножать скалярно как
многочлены.
Из определения скалярного произведения следует, что косинус угла между



ab

двумя ненулевыми векторами а и b равен cos =  
ab




Два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т.е . = 2 тогда и
 
только тогда, когда их скалярное произведение ( а b ) = 0.
Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из


векторов а или b нулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и
его можно считать ортогональным любому вектору).
§7. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
24


Даны два вектора а =axi+ayj+azk и b =bxi+byj+bzk.
Умножим данные векторы скалярно, учитывая соотношения Ij=jk=ki=0,
 
ii=jj=kk=1, получим тождество: а b =axbx+ayby+azbz.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных
произведений их одноименных координат.


 
Пример. Если а (1,3,-1), b (1, 0, 4), то по формуле имеем а b = -3. С учетом
 
выше рассмотренных формул находим угол между векторами а и b :
cos =
а х bx  a y b y  a z bz
.
2
2
2
2
2
2
a x  a y  a z bx  b y  bz
Задача 1.


Найти скалярное произведение векторов а (3;4;7) и b (2;-5;2).
 
 
Решение. По формуле а b =axbx+ayby+azbz находим а b =3*2+4*(-5)+7*2=0 .

 

Поскольку а b =0 , тогда векторы а и b являются перпендикулярными.
Задача 2.


Найти угол между векторами а (1;1;0) и b (1;0;1).
а х bx  a y b y  a z bz
,
2
2
2
2
2
2
a x  a y  a z bx  b y  bz
Решение. Воспользуемся формулой cos =
получим,что cosφ=
1 *1  1 * 0  0 *1
12  12  0 2 12  0 2  12

1
2 2

1
.
2
Следовательно, φ=60°.
Задачи для самостоятельного решения.
25

 

Найти скалярное произведение векторов а и b , зная, что | а |=3, | b |=4 и
1.
векторы образуют угол φ=

.
3

   

  


а

i

j

2
k
,
b

i

j

4
k
2.
Даны векторы
определить пр b и пр  a .
a
b


3.
Даны векторы а (4;-2;-4) и b (6;-3;2). Вычислить:

 
   

а) ( а b ); б) (2 а -3 b )( а +2 b ); в) ( а + b )2.
 






4.
Даны векторы а  mi  3 j  4k , b  4i  mj  7k . При каком значении
7.
m эти векторы перпендикулярны?


 
 


Вычислить (5 а +3 b )(2 а - b ), если | а |=2, | b |=3, векторы а ┴ b .


Определить угол между векторами а (1;2;3) и b (6;4;-2).
  

   
Раскрыть скобки в выражении (2i  j ) j  ( j  2k )k  (i  2k ) 2 .
8.
Найти угол между биссектрисами углов хОу и уOz.
9.
Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные
5.
6.
стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
 
   
векторах а  2i  j , b  2i  k . .
 
 
Вычислить: а) ( а + b )2, если а и b - единичные векторы с углом между

 


ними 30°; б) ( а - b )2, если | а |=2 2 , | b |=4 и угол между векторами а и

b равен 135°.
10.
11.
§8. Векторное произведение векторов.
Определение 1. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если
после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший
поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В
противном случае троука называется левой.


Определение 2. Векторным произведением векторов a и b называется

вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
26
  
c  a  b sin 


, где  - угол между векторами a и b , sin   0; 0    

 
2) вектор с ортогонален векторам а и b
  
3) а , b и с образуют правую тройку векторов.

 
  
c

[
a
, b ].
Обозначается: c  a  b или
1)
Свойства векторного произведения векторов:
 
 
b

a


a
b ;
1)

 
 

2) a b  0 , если а  b или а = 0 или b = 0;

 

 
3) (m а ) b = а (m b ) = m( а  b );
 

 
 
4) а ( b + с ) = а  b + а  с ;


5) Если заданы векторы а (xa, ya, za) и b (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной
  
i
системе координат с единичными векторами , j , k , то

i
 
a  b  xa
x
b

j
ya
y
b

k
za .
z
b
  
6) Для базисных векторов i , j , k получаем следующие равенства
      
        
i  i  j  j  k  k  0,
i  j  k, j  k  i , k i  j
  
 
   
j  i  k , k  j  i , i  k  j
в) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является


площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Задача 1


Даны векторы а (2;5;7) и b (1;2;4). Найти координаты x, y, z векторного
 
произведения а × b .



i
j
k
 
Решение. По формуле a  b  xa y a z a вычислим координаты вектора.
x
y
z
b
b
b
27

i
 
j k
 
ab  2
5
7 = 6i  j  k .
1
2
4



 
Итак, а × b =(6;-1;-1).
Задача 2 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах


 
 
а +3 b и 3 а + b , если | а |= b |=1, и угол между векторами равен 30°.
Решение. Согласно определению и свойству векторного произведения, имеем

 
 
 


   
   
 
(а  3b )  (3a  b)  3a  a  a  b  9b  a  3b  b  3(a  a )  a  b  9(a  b )  3(b  b ) 
 
 
 
 
 
 3 * 0  8(a  b )  3 * 0  8(a  b ), т.к. a  a  0, a  b  b  a.
 
 
1
S  8 a  b  8 a b sin 30  8 *1 *1*  4.
2
Задачи для самостоятельного решения.

 
  
a

b
а
1. Определить и построить вектор
, если :1) = 3i , b  2k ;
     
2) a  i  j , b  i  j . Найти в каждом случае площадь параллелограмма,
 
построенного на векторах а и b .
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4), В(1;0;6),
С(4;5;-2).
3. Постройте
параллелограмм
на
векторах

   

a  2 j  k , b  i  2k
и
вычислить его площадь и высоту.

 

 
4. Доказать, что (2a  b )  (a  2b )  3a  b .


5. Векторы а и b составляют угол 45°. Найти площадь треугольника,


 


построенного на векторах a  2b и 3a  2b , если | а |= b |=5.
6. Построить треугольник с вершинами А(1;-2;8), В(0;0;4), С(6;2;0).
Вычислить его площадь и высоту ВМ.
28

а (2;3;5) и
 
произведения а х b .
7. Даны векторы

b (1;2;1). Найти координаты векторного
8. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на
  



 
векторах a  6i  3 j  2k , b  3i  2 j  6k .


9. Даны векторы а (34-1;-2) и b (1;2;-1). Найти координаты векторных


 
 
 

произведений: 1) а х b ; 2) (2 а + b )х b ; 3) (2 а - b )х(2 а + b ).
10. Даны точки А(2;-1;2), В(1;2;-1), С(3;2;1). Найти координаты векторных
произведений: 1) АВ  ВС;
2) ( ВС  2СА)  СВ .


11. Вычислить синус угла, образованного векторами а (2;-2;1) и b (2;3;6).
§9. Смешанное произведение векторов.
 

Определение 1. Смешанным произведением векторов а , b и с называется

число, равное скалярному произведению вектора а на вектор, равный векторному
 
произведению векторов b и с .
  
  
а
с
а
b
Обозначение:
или ( , b , с ).
  
Смешанное произведение а b с по модулю равно объему параллелепипеда,
  
построенного на векторах а , b и с .
Свойства смешанного произведения:
1) Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
     
(
a
 b )  c  a  (b  c )
2)
  
  
  
  
  
  
(
a
,
b
,
c
)

(
b
,
c
,
a
)

(
c
,
a
,
b
)


(
b
,
a
,
c
)


(
c
,
b
,
a
)


(
a
, c,b )
3)

  
  
  
(

a


a
,
b
,
c
)


(
a
,
b
,
c
)


(
a
1
2
1
2 ,b, c)
4)
29
  
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами а , b и с , равен

1   
a, b , c
6

6) Если



a  ( x1, y1, z1 ) , b  ( x2 , y2 , z 2 ), c  ( x3 , y3 , z3 ) , то
x1
  
(a , b , c )  x 2
x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
Задача 1. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0)
лежат в одной плоскости.
Решение. Найдем координаты векторов:
AB  (2;6;1)
AC  (4;3;2)
AD  (4;2;2)
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
2 6 1
2 6 1 0 6 1
AB  AC  AD  4  3  2  0  15 0  0  15 0  0
4 2 2
0
10 0 0 10 0
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки
A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Задача 2. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD,
если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Решение. Найдем координаты векторов
30
BA  (2;3;4)
BD  (1;4;3)
: BC  (4;1;2)
Объем пирамиды
2 3 4
1
1
V   1 4  3  (2(8  3)  3(2  12)  4(1  16)) 
6
6
4 1  2
1
 (22  30  68)  20(ед 3 )
6
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания
BCD.


i j k






BD  BC  1 4  3  i (8  3)  j (2  12)  k (1  16)  11i  10 j  17k .
4 1  2
BD  BC  112  10 2  17 2  121  100  289  510
Sосн = 510 / 2 (ед2)
S
h
3V
120
4 510


(ед.)
Так как V  осн. , то h 
3
S осн.
17
510
Задачи для самостоятельного решения.



1. Найти смешанное произведение векторов а (1;-1;1), b (1;1;1), с (2;3;4).
2. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5),
С(6;2;3), К(3;7;2).
 

3. Построить параллелепипед на векторах а , b и с ,вычислить его объём,

 
  

 
если a  3i  4 j , b  3 j  k , с  2 j  5k . Правой или левой будет
  
связка векторов а , b , с .
  

4. Показать, что векторы а , b , с компланарны, и разложить вектор с по
 
векторам а и b , если
31
  
 







a  i  3 j  2k , b  2i  3 j  4k , с  3i  12 j  6k .
5. Показать, что точка А(2;-1;-2), В(1;2;1), С(2;3;0), К(5;0;-6) лежат в одной
плоскости.
6. Построить пирамиду с вершинами А(2;0;0), В(0;3;0), С(0;0;6), К(2;3;8),
вычислить её объем и высоту, опущенную на грань АВС.



а , b , с , образующие правую тройку, взаимно
7. Векторы



перпендикулярны. Зная, что | а |=4, b |=2, с =3, вычислить смешанное
  
произведение а b с .





8. Вектор с перпендикулярен векторам а и b , угол между а и b равен


  

30°. Зная, что | а |=6, b |=3, с =3, вычислить а b с .
9. Даны вершины тетраэдра А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7), К(-5;-4;8).
Вычислить объем и длину его высоты, опущенной из вершины К.
10. Объем тетраэдра V=5, трп его вершины находятся в точках А(2;1;-1),
В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины К, если
известно, что она лежит на оси Оу.
  
11. Установить компланарны ли векторы а , b , с , если :



1) а (2;3;1), b (1;-1;3), с (1;9;-11);



2) а (3;-2;1), b (2;1;2), с (3;-1;-2);



3) а (2;-1;2), b (1;2;-3), с (3;-4;7).
§10 Система аксиом n-мерного евклидова точечного пространства. Простейшие
следствия аксиом.
п.1 Аксиомы евклидова точечного пространства.
Пусть задано непустое множество Еn , элементы которого будем называть
точками и обозначать большими латинскими буквами А, В,… .
Определение 1. Множество Еn называется n-мерным евклидовым точечным
пространством, если определено отображение  : Е n  E n  W n
в
n-мерное
32
евклидово векторное пространство Wn , причем это отображение удовлетворяет
следующим условиям ( аксиомам точечного пространства):
Для любой точки А пространства En и любого вектора х пространства
1.
Wn существует такая точка В, что γ (А,В) = х.
Для любых точек А, В, С выполняется равенство
2.
γ(А, В)+γ(В, С)+γ(С, А)=0.
Если γ (А,В) = 0, то А=В.
3.
Определение 2. Векторное пространство Wn называется пространством
ассоциированным с пространством En.
Таким образом, отображение γ ставит в соответствие каждой упорядоченной
паре точек А, в вектор γ(А, В) из векторного пространства Wn. Точка А назевается
началом вектора γ(А, В), точка В – концом вектора. Для вектора γ(А, В) обычно
применяется обозначение АВ .
Аксиома №1: От любой точки А можно отложить вектор, равный данному
вектору х.
Аксиома №2: Векторная сумма трех сторон треугольника равна нулевому
вектору.
В определении евклидова точечного пространства указаны три аксиомы. Кроме
того, используется понятие евклидова векторного пространства, которое в свою
очередь, определяется аксиомами линейного пространства и аксиомами скалярного
произведения.
Таким образом,
понятие евклидова точечного
пространства
определяется тремя группами аксиом : I – аксиомы линейного пространства, II –
аксиомы скалярного произведения, III – аксиомы точечного пространства.
В
качестве
примера
евклидова
точечного
пространства
рассмотрим
пространство, определяемое аксиомами школьного курса геометрии. Множество
всех
векторов
этого
пространства
есть
трехмерное
евклидово
векторное
пространство ( в этом множестве выполняются аксиомы линейного пространства и
скалярного произведения). Если каждой упорядоченной паре точек А, В поставить в
соответствие вектор
АВ , то это отображение удовлетворяет аксиомам 1-3
точечного пространства.
33
П.2 Аффинное пространство.
Если в определении евклидова точечного пространства заменим евклидово
векторное пространство на линейное пространство, сохранив аксиомы 1 – 3, то
получим точечное пространство, которое называется n-мерным аффинным
пространством и обозначается Аn. Аксиомы 1 – 3 часто называют аксиомами
аффинного пространства.
Отметим, что n-мерное евклидово точечное пространство является частным
случаем n-мерного аффинного пространства, а именно n-мерное евклидово точечное
пространство – это n-мерное аффинное пространство, у которого векторное
пространство, ассоциированное с ним, является евклидовым.
П.3 Простейшие следствия из аксиом.
Докажем несколько утверждений, непосредственно вытекающих из аксиом.

Теорема №1. Для любой точки А справедливо равенство АА = 0 .
Доказательство. Справедливость теоремы следует из аксиомы №2, если
положить А = В = С. ■
Теорема №2. Для любых точек А и В справедливо равенство АВ = - ВА .
Доказательство. В аксиоме №2 положим А = С и воспользуемся теоремой №1.■
Теорема №3. Для любых точек А, В, С имеет место равенство АВ  ВС  АС .
Доказательство. Теорема следует из аксиомы №2 и теоремы №2.■
Теореме №4. Если вектор АВ  АС, то В = С ( т.е. от данной точки
отложить вектор, равный данному, можно единственным образом).
Доказательство. В равенстве АВ  ВС  АС вместо вектора АВ подставим

вектор АС . Получим ВС  0 . Из аксиомы №3 следует, что В = С.■
34
П.4. Аффинные и декартовые координаты.
Координаты
в евклидовом точечном пространстве En вводятся следующим
образом. В ассоциированном векторном пространстве Wn выберем произвольный
базис е = {е1, е2, …, еn}. Тогда, как известно, координаты (х1, х2, …, хn) вектора х в
данном базисе есть коэффициенты его разложения по векторам данного базиса:
х = х1е1+ х2е2+…+ хnеn.
В пространстве En выберем некоторую точку О, которую будем называть
началом координат. Пара (О, е) называется аффинным координатным репером.
Пусть Х – произвольная точка. Вектор ОХ называется радиус-вектором точки Х.
Его координаты называются координатами точки Х относительно репера (О, е).
Такая система координат называется аффинной. Если базис е ортонормированный,
то система координат называется декартовой. Легко видеть, что в данном репере
координаты каждой точки определены однозначно и, обратно, задание координат
однозначно определяет точку. Таким образом система координат в евклидовом
точечном пространстве определяется выбором начала координат О и базиса
е = {е1, е2, …, еn}.
Между координатами вектора, координатами его конца и начала существует
простая зависимость. Пусть точка А(а1, а2, …, аn) – начало, а В(b1, b2, …, bn) – конец
вектора АВ . Так как ОА  АВ  ОВ, то АВ  ОВ  ОА и вектор АВ имеет
координаты (b1- а1, b2 –а2, …, bn- аn).
П.5 Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
В этом пункте мы будем рассматривать евклидово векторное пространство Wn.
Напомним, что длиной вектора называется число х  ( х, х) .
Определение 3. Углом между ненулевыми векторами х и у называется число
  arccos
( х, у)
. (1)
ху
35
Для того чтобы равенство (1) определяло угол между любыми двумя
ненулевыми векторами х
условие
( х, у )
1
ху
и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялость
или равносильное ему ( х, у)  х у .
Последнее неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.
Теорема №5. Равенство
( х, у)  х у выполняется тогда и только тогда.
когда векторы коллинеарны.
Теорема №6. (Неравенство треугольника).
Для любух векторов х и у выполняется неравенство х  у  х  у
причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы х и у сонаправлены,
т.е. х = λу, λ>0, или один из векторов нулевой.
П.6 Расстояние между точками.
Рассмотрим евклидово точечное пространство En .
Определение 4. Расстоянием АВ между точками А и В называется длина
вектора АВ , т.е.
АВ  АВ .
Теорема №7. Евклидово точечное пространство En является метрическим
пространством относительно расстояния, определенное равенством АВ  АВ ,
т.е. расстояние обладает следующими свойствами:
1. Для любых точек Х и У выполняется равенство ХУ  УХ .
2. Для любых точек Х и У выполняется неравенство ХУ  0 .
3. ХУ  0 тогда и только тогда, когда Х=У.
4. Для любых точек Х, У, Z выполняется неравенство треугольника
ХУ  УZ  ХZ .
Доказательство. 1. ХУ  ХУ   ХУ  УХ  УХ .
36
2. . ХУ  ХУ  0 .
3. Если ХУ  0 , то ХУ  0 , что возможно тогда и только тогда,

когда ХУ  0 . В этом случае по аксиоме №3 Х=У.
4. Так
как
ХУ  УZ  ХZ ,
то
ХУ  УZ  ХУ  УZ  ХZ  ХZ .
по
теореме
№6
■
П.7 Вычисление расстояний и углов.
Пусть в евклидовом точечном пространстве En введены декартовые координаты
х1, х2,…, хn. Напомним, что при этом в ассоциированном пространстве Wn
выбирается некоторый ортонормированный базис.
Длина вектора х (х1, х2,…, хn.) в такой системе координат вычисляется по
формуле х  х 2  х 2  ...  х 2 , а скалярное произведение х (х1, х2,…, хn.) и
n
1
2
у (у1, у2,…, уn.) по формуле (х,у)= х1 у1 + х2 у2+…+хn уn. Тогда угол между векторами
х и у определяется равенством
cos 
x y  x y  ...  x y
n n
1 1
2 2
.
2
2
2
2
2
2
x  x  ...  x
y  y  ...y
n 1
n
1
2
2
Расстояние между точками А(а1, а2,…, аn.) и В(b1, b2,…, bn.) можно вычислить по
формуле АВ  (b  a ) 2  (b  a ) 2  ...  (b  a ) 2 .
n
n
1 1
2
2
Задача 1..
Пусть R(О;е1, е2, е3, е4, е5) аффинный репер в пятимерном
пространстве А5. Найти координаты точек Е1, Е1, Е1, Е1, Е1, M, N, L, K, если





 



ОЕ  е , ОЕ  е , ОЕ  е , ОЕ  е , ОЕ  е , ОЕ  е  е  е  е  е ,
1 2 3 4 5
5 5
1 1
2 2
3 3
4 4









 

ОМ  е  е  2е  3е , ON  е  е  2е  е , OL  3е  3е  е  4е ,
5
5
2 3
4
2 3
4 5
1
3 4


ОК  е  6е .
5
3
Решение. Координаты произвольной точки М аффинного пространства Аn
совпадают с координатами ее радиус-вектора ОМ относительно базиса е1, е2, …, еn
37
n-мерного векторного пространства Wn, связанного с пространством Аn. Поэтому
 


точка М, для которой ОМ  е  е  2е  3е5 , имеет координаты (0;1;-1;2;-3).
2 3
4
Аналогично находятся координаты остальных точек.
Задача 2. Найти координаты точек М1, М2, М3, М4, М5, М6 относительно



аффинного рапера R(О;е1, е2, е3, е4), если NM  ai , а =(1;3;0;-1), а =(2;4;-1;5),
1
i
2




а =(1;1;-5;2), а =(4;3;0;0), а =(4;-3;7;2), а =(1;1;3;4), N(1;-2;4;3).
5
4
6
3
Решение. Сначала найдем координаты радиус-векторов ОМ . В соответствии с
i
аксиомами аффинного пространства Аn ОМ  ON  NM . Координаты вектора ОN
i
i
совпадают с координатами точки N, координаты векторов NM
i
известны,
следовательно, точка М1, например имеет координаты (2;1;4;2). Аналогично
находятся координаты остальных точек.
Задача
3.
Даны
точки
М(2;-2;-5;2;3)
и
К(6;6;0;-30;-12)
аффинного
пространства А5. Найти координаты точек Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, которые делят
отрезок МК в отношении: λ1=1, λ2=2, λ3=1/3, λ4=-3, λ5= -1/2.
Решение. Известно, что координаты точки Р, делящей отрезок МК в отношении
λ≠-1 в n-мерном пространстве, находятся по формуле:
x  y
i,
zi  i
1 
где хi – координаты точки М, уi – координаты точки К, zi – координаты точки Р,
i=1, 2,3, …, n. Поэтому точка Р1 имеет следующие координаты:
26
26
50
2  30
3  12
1
z 
 4, z 
 2, z 
 2 1 , z 
 14, z 
 4 .
5
1
2
3
4
2
2
2
2
2
2
2
Отметим, что точка Р1 является серединой отрезка МК. Точка Р2 имеет
следующие координаты:
38
2  26
2
 2  26
1
5 20
2
4 , z 
3 , z 
 1 ,
2
3
3
3
3
3
3
3 .
2  2  (30)
1
3  2  (12)
z 
 19 , z 
 7
5
4
3
3
3
z 
1
Аналогично находятся координаты точек Р3, Р4, Р5.
Задачи для самостоятельного решения.
1.
Исходя из условий примера №1 найти координаты середин отрезков Е1Е2,
Е4Е5, ЕМ, МN, LK.
2.
Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС в
пространстве А5, зная координаты его вершин А(1;3;4;-2;1), В(3;1;-6;-2;5),
С(5;-3;4;6;3).
3.
Найти вершину К параллелограмма АВСК в пространстве А4, зная
координаты его вершин А(1;3;-2;1), В(4;-1;6;5), С(8;-5;2;3).
4.
Даны точки А(0;3;-4;5;-1), В(1;1;-2;-1;5), С(1;-7;2;-9;8), К(-1;-3;-2;3;-4) в А5.
Доказать, что четырехугольник АВСК является трапецией.
Самостоятельные и контрольные работы.
Самостоятельная работа №1.


1. В правильном шестиугольнике АВСDEF даны АВ  m, AF  n . Разложить по
этим двум векторам векторы AC, AD, AF , EF .


2. В ромбе АВСК даны диагонали АВ  а, ВК  b . Разложить по этим двум
векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: АВ, ВС, СК , КА.
3. Сторона ВС треугольника АВС разделена на пять равных частей и все точки
деления D1, D2, D3, D4 соединены с противолежащей вершиной А . Обозначив


стороны АВ  с , ВС  а , найти выражения для векторов D1 A, D2 A, D3 A, D4 A .
39
Самостоятельная работа №2.
 
 
1. Какому условию должны удовлетворять векторы а, b , чтобы вектор а  b был
 
перпендикулярен вектору а  b .



2. Даны три вектора а (3;-1), b (1;-2), с (-1;7). Определить разложение вектора
   
 
р  а  b  c по базису а , b .
3. Дан
четырехугольник
АВСК.
Найти
такую
точку
М,
чтобы
МА  МВ  МС  МК  0 .
Самостоятельная работа №3.


1. Даны два вектора а (5;2), b (7;-3). Найти вектор Х , удовлетворяющий


одновременно двум уравнениям а х  38, b х  30 .


2. Дано, что a  3, b  5 . Определить при каком значении λ векторы
 


a  b , a  b будут взаимно перпендикулярны.
     

3. Доказать тождество a  b b  c c  a   2a b c .



Самостоятельная работа №4.
1. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из
сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.
2. Вычислить
объем
параллелепипеда,
           
p  a  b  c, q  a  b  c, r  a  b  c .
построенного
на
векторах
3. Дать алгебраическое доказательство того, что смешанное произведение трех
компланарных векторов равно 0.
4. При
каком
коэффициенте λ векторы
 
коллинеарными, если а и b - не коллинеарны.
 


 
p  a  5b , q  3a  b
окажутся
40
Итоговая контрольная работа
Вариант № 1
Практический блок:
1. Даны точки А1(1;1;2), А2(-1;3;0), А3(2;-1;-1) вычислить:
а) координаты векторов А2 А1 , А2 А3 ;
б) длину вектора А1 А3 ;
в) координаты вектора 2 А2 А1 +3 А1 А3 - А2 А3 ;
2. Разложить вектор d (6; 10; 17) по векторам a (1; 2; 3), b (-1; 3; 2 ),
с (7; -3; 5).
3. Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3) параллелограмма АВСК. Найти
его четвертую вершину К, противоположную вершине В.
4. Отрезок с концами в точках А(3;-2) и В(6;4) разделен на три равные части
точками С и М. Вычислите координаты точек С и М.
5. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(-3;5;6), В(1;-5;7), С(8;-3;-1),
М(4;7;-2) является квадратом.
6. Найти вектор АВ  АС, ВС , АВ (т.е. ((АВ +АС) х (ВС х АВ)) если А(2;2;3), В(1;0;4),
С(2;3;5).
7. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ОА = 3i+4j, ОВ = -3j+k, ОС = 2j+5k.
  
8. При каком λ векторы а, b , c будут компланарны? Если а(λ;3;1), b(5;-1,2), с(1,5,4).
Теоретический блок:
1. Что называется векторным произведением?
2. Как вычислить площадь треугольника АВС, если известны координаты
вершин?
3. Какие векторы называются коллинеарными?
4. Какие векторы называются ортами?
  
5. При каком условии векторы а, b , c компланарны?
41
Вариант № 2
Практический блок:
1. Даны точки А1(3;0;-2), А2(-1;4;0), А3(1;-3;5) вычислить:
а) координаты векторов А2 А1 , А2 А3 ;
б) длину вектора А1 А3 ;
в) координаты вектора 2 А2 А1 +3 А1 А3 - А2 А3 ;
2. Разложить вектор d( 1; -13; -13) по векторам a ( 4; 7; 8), b ( 9; 1; 3 ),
с ( 2; -4; 1).
3. Даны три вершины А(3;-4;7), В(-5;3;-2), С(1;2;-3) параллелограмма АВСК. Найти
его четвертую вершину К, противоположную вершине В.
4.Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и В(5;-2;0)
разделен на три равные части.
5. На оси Оz найти точку, равноудаленную от точек М(2;4;1) и К(-3;2;5).
6. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах
      
а  k  j, b  i  j  k .
7. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ОА = 2j+5k, ОВ = -3j+k, ОС = 3i+4j.
  
8. При каком λ векторы а, b , c будут компланарны? Если а(1;2λ;1),
b(1, λ,0), с(0; λ;1)).
Теоретический блок:
1. Что называется скалярным произведением?
2. Как вычислить объем треугольной пирамиды АВСМ, если известны
координаты её вершин?
3. Какие векторы называются компланарными?
4. Когда упорядоченная тройка векторов называется правой?


5. При каком условии векторы а (а, b, c), b ( x, y, z ) будут коллинеарны?
42
Теоретический тест.
1. Что называется вектором?
а) множество эквивалентных между собой направленных отрезков.
б) множество сонаправленных отрезков.
в) множество эквиполентных между собой направленных отрезков.
2. .Если представители двух ненулевых векторов лежат на параллельных
прямых или принадлежат одной прямой, то такие векторы называются:
а) компланарными;
б) коллинеарными;
в) параллельными.
3. Произведением вектора

а

на число  (0) называется вектор b ,
удовлетворяющий следующим условиям:
а)
б)
в)


векторы а  в , если   0


векторы а  в , если   0


в  а


векторы а  в , если   0


векторы а  в , если   0


в  а


векторы а  в , если   0


векторы а  в , если   0


в  а
43
г)


векторы а  в , если   0


векторы а  в , если   0


в  а
4. Если линейная комбинация векторов 1 a1   2 a2  ...   n an  0 при i ≠ 0 , то
 

векторы а , а ,..., аn называются:
1 2
а) линейно независимыми;
б) линейно зависимыми;
в) линейно нейтральными.
5. Любые два коллинеарных вектора являются:
а) линейно независимыми;
б) линейно зависимыми;
в) равными.
6. Скалярным произведением двух векторов называется
а) число, равное произведению модулей этих векторов на синус угла между
ними.
б) число, равное произведению модулей этих векторов на синус угла между
ними.
в) число, равное половине произведения модулей этих векторов


7. Векторным произведением векторов a и b называется:

а) вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
44
1)
  
c  a  b sin 
,
где

-
угол
между
векторами

aи

b,
sin   0; 0     ;

 
2) вектор с ортогонален векторам а и b ;
  
3) а , b и с образуют левую тройку векторов.

б) модуль вектора c , удовлетворяющего следующим условиям:
  
c  a  b sin 


, где  - угол между векторами a и b , sin   0; 0    

 
2) вектор с ортогонален векторам а и b
  
3) а , b и с образуют правую тройку векторов.
1)

в) вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
  
c  a  b sin 


, где  - угол между векторами a и b , sin   0; 0    

 
2) вектор с ортогонален векторам а и b
  
3) а , b и с образуют правую тройку векторов.
1)
  
8. Смешанным произведением векторов а , b и с называется

а) число, равное скалярному произведению вектора а на векторное произ 
ведение векторов b и с .

б) вектор, модуль которого равен скалярному произведению вектора а на
 
векторное произведение векторов b и с .

в) число, равное векторному произведению вектора а на скалярное произ 
ведение векторов b и с .
  
9. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами а , b и с , равен:
а) модулю смешанного произведения этих векторов, умноженному на шесть.
б) одной пятой части модуля смешанного произведения этих векторов.
в) одной шестой части модуля смешанного произведения этих векторов.
45
10. Если вектор АВ  АС, то
а) точки В и С лежат на одной прямой;
б) точки В и С совпадают;
в) точки В и С находятся друг от друга на расстоянии, равном АВ  АС .
46
Литература.
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.; Наука, 1977.
2. Сборник задач по математике для втузов / Под редакцией А.В. Ефимрва,
В.П. Демидовича, - М.: Наука, 1986. – Ч.I. Линейная алгебра.
3. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А., Геометрия. Ч.II. – С.-П.;
Специальная литература, 1997.
4. Аргунов Б.И., Парнасский И.В., Парнасская О.Е., Цаленко М.М.
Задачник-практикум по геометрии. Ч.III. – М.; Просвещение, 1979.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
примерах и задачах. – М.; Высшая школа, 1980. – Ч.I.
6. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.; Высшая школа,
2002.
47