Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Тип урок: Урок изучения нового.
Учебник: Атанасян Л.С., геометрия 10 – 11: учеб. для общеобразоват.
учреждений: базовый и профил. уровни .\ - М.: Просвещение, 2007.
Учебная задача: сформулировать и доказать совместно с учащимися
признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Диагностируемые цели. В результате урока ученик:
знает:
-определение перпендикулярных прямой и плоскости;
- признак перпендикулярности прямой и плоскости
умеет:
-доказывать признак перпендикулярности прямой и плоскости;
-строить чертеж к теореме;
- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости в
стандартной ситуации;
понимает:
-доказательство признака;
Ход урока.
1.
Мотивационно- ориентировочный этап.
Учитель
Ученики
1) Организационный
Здравствуйте!
момент.
-Здравствуйте
ребята! Садитесь.
2)
Актуализация
знаний
ь прямых и плоскостей.
- На прошлом уроке
мы
с
изучение
Перпендикулярност
Перпендикулярные
вами
начали прямые,
новой
главы. перпендикулярные прямая
замечания
Какой?
и плоскость, теоремы о
Верно! Какие новые перпендикулярности
понятия,
теоремы
мы параллельных
ввели?
плоскости и обратная.
Правильно!
мы
с
прямых
вами
Сейчас
выполним
На
задание, чтобы как следует
доске
изображен
вспомнить определения и
Параллелепипед.
параллелепипед.
формулировки
D
Итак, на доске вы
видите
чертеж.
Какая
фигура изображена?
Эти
прямые
расположение и обоснуйте
СС1 ‖DD1 и тогда по
СС1
перпендикулярна DC.
-DD1 и DC
2
прямые
в
- CC1 и DC
пространстве называются
Сформулируйте
перпендикулярными, если
определение
угол между ними 900.
перпендикулярных
Если
прямых.
одна
параллельных
третьей,
3) мотивация.
Молодец!
следующее
Выясните
и
к
другая
прямая перпендикулярна к
Теперь ней.
задание.
Возможно
они
взаимное перпендикулярны.
расположение DD1 и ABC.
Почему?
то
2
прямых
Что за лемма? Маша, перпендикулярна
сформулируй ее.
из
Не знаем
С
помощью
C
B
1
1
D
А
лемме
- DD1 и AD
1
перпендикулярны, видим
Выясните взаимное по рисунку.
свой ответ:
A
1
С
В
Как мы определяем определения.
Прямая
перпендикулярность
называется
прямой и плоскости?
перпендикулярной
Удобно
ли
нам плоскости,
пользоваться
если
этим перпендикулярна
она
любой
определением? Позволяет прямой лежащей в этой
ли
оно
определить
данной
в плоскости.
задаче
перпендикулярность
Нет,
определением
пользоваться
в
данном
прямой DD1 и плоскости случае нельзя.
АВС?
Вспомните,
при
изучении прошлой главы
нам тоже было неудобно
пользоваться
Мы
использовали
признак.
определением.
Что
мы
делали?
II.
операционно
–
познавательная часть
Верно.
В
этом
случае поступим также, но
Данная
прямая
для этого нам нужно его пересекает плоскость.
сформулировать.
Попробуйте
его
сформулировать.
Посмотрите
DD1┴AD DD1┴DC,
на а они лежат в АВС
чертеж, что нам известно о
данной
плоскости?
прямой
Каково
взаимоотношение?
и
их
Прямая
перпендикулярна
Что еще мы знаем?
Итак,
что
известно?
Что
плоскости,
сформулировать признак.
плоскости.
сформулировали
этой
Доказать
этот
признак.
Записываем
урока:
тему
Признак
перпендикулярности прям
и
в
Молодцы!
признак..
ой
2
нужно? пересекающимся прямым
лежащим
Мы
она
нам перпендикулярна
Попробуйте
Верно!
если
плоскости.
думаете
каковы
Дана
прямая,
Как плоскость,
2
цели пересекающиеся прямые в
урока.
этой плоскости.
Что нам известно из
формулировки? Что дано?
Верно.
В
виде
параллелограмма.
Делаем
чертеж. Как изображается
плоскость?
Чертим
Изображаем
ее.
в
ней
2
пересекающиеся прямые.
Перпендикулярную
прямую
изобразим
отвесно.
Записывают.
Введем обозначения.
Плоскость
Перпендикулярна
любой прямой лежащей в
обозначим α, прямые в ней этой плоскости.
p
и
q.
Их
точку
пересечения - О, прямую
перпендикулярную к ним
обозначим а.
Записываем дано.
Итак,
доказать,
нам
что
нужно
а┴α.
По
определению это значит
что а…
Молодцы.
Изобразим
еще
произвольную прямую – m
в плоскости. Теперь нам
АР=ВР и AQ=BQ.
нужно доказать, что а┴m.
Эта
прямая
не
Треугольники APQ
проходит через точку О, и BPQ равны.
проведем через О прямую
l ‖ m.
На прямой а
Равенство углов в
отметим 2 точки А и В, так этом треугольнике.
что О середина АВ.
И
проведем еще прямую в
плоскости
p,
q,
l РL общая, ∠𝐴𝑃𝐿 = ∠𝐵𝑃𝐿
соответственно в точках P,
Равенство угловых и
линейных элементов.
Q, L.
Посмотрите прямые
и
По 2 сторонам и
α углу между ними. АР=ВР,
пересекающую
p
Они равны.
q
–
Что
треугольник
серединные ABL равнобедренный.
перпендикуляры
к
АВ.
Медианой, высотой
Равенство каких отрезков и биссектрисой.
отсюда следует?
Верно!
построения
Еще
из
АО=ОВ.
Тогда…
Дана
Умницы!
равенства
плоскость,
Из прямая,
которая
треугольников перпендикулярна
следует…
2
прямым лежащим в этой
Правильно!
Сравните
плоскости, и эти прямые
треугольники пересекаются.
APL и BPL. Почему?
доказать
Нужно
что
прямая
Все верно, молодцы! перпендикулярна
Из
равенства плоскости.
треугольников следует…
Верно.
…….
Поэтому
….
AL=BL.
Что означает это?
LO является для него..
Может
Для нас важно что прямую
высотой, т.е. l┴a.
записывает
доказательство
–
план
доказательства).
Итак,
признак
мы
почти доказали. Повторим
ход доказательства. Маша,
что у нас дано в теореме?
Что нужно доказать?
Дима, с чего мы
начали
через
А так параллельную а..
как l‖m, то m┴a. (учитель
кратко
провести
доказательство?
Каково было следующее
действие?
Миша, продолжай…
О
Теперь, Игорь.
Итак,
еще
прошлись
раз
по
Построили
ходу прямую,
доказательства..
бы
проходящую
через О параллельно а,
посмотрите, а если бы она перпендикулярна р и
прямая а не проходила q, по лемме. Тогда эта
через О? как бы стали прямая
доказывать?
Мы
этот перпендикулярна
прием использовали..
Да,
верно.
будет
плоскости α, а по теореме
совершенно и
прямая
а
тогда
Какое бы было перпендикулярна
тогда доказательство?
Верно,
плоскости.
молодцы.
На
Записывайте
представлен
доказательство в тетрадь.
задач
Решаем
теперь
задачу:
ABCD
параллелограмм, О – точка
пересечения
диагоналей
параллелограмма,
принадлежит
пар
–
ма.
М
не
плоскости
АМ=МС,
ВМ=МD. Докажите, что
МО
перпендикулярна
плоскости
параллелограмма. (задача
написана на доске)
Ребята,
можете
работать вперед. На доске
доске
текст
предложена
еще
и
дополнительная
задача.
После
сдайте
решения
тетради мне. ( все грани
параллелепипеда
Читает.
ABCDA1B1C1D1
равные
ромбы.
между
Углы
ребрами
Параллелограмм,
Учитель
имеющими точка не лежащая в его делает чертеж на
общую вершину А равны. плоскости..
доске,
Выясните
тетради.
перпендикулярна
ли
ученики
в
В виде пар – мА
прямая А1С прямой BD1).
Остальные работают со
мной.
Леша,
прочитай
задачу вслух.
Маша, что дано в
задаче?
BC, AC, BD, MO
Что нужно доказать?
Делаем чертеж. Как
изображается
Учитель
параллелограмм?
записывает дано на
Чертим. Изображаем
доске
диагонали
параллелограмма. Теперь
возьмем
точку
Они
являются
не сторонами треугольника,
лежащую в плоскости пар тогда
треуг.
АМС
– мА и соединим ее с равнобедренный
вершинами
четырехугольника
и
МО – это медиана
тоской
пересечения треугольника, тогда еще и
диагоналей. Какие линии высота, биссектриса.
будут невидимыми?
Диагонали
Записывайте дано в параллелограмма
тетрадях.
пересечения
Какие
точкой
делятся
будут пополам.
предложения по решению
задачи?
Прочитайте еще раз
условия. Что нам дано?
Что
равенства
следует
АМ
и
Что
МО
перпендикулярно
из плоскости
МС? параллелограмма.
Элементами какой фигуры
они являются?
Из того что этот
треугольник
равнобедренный
что
Оформляют.
что
Свойствами
следует?
Почему АО=ОС?
Верно.
Тогда,
получаем в результате?
Артем,
равнобедренного
проведи треугольника, признаком
аналогичные рассуждения перпендикулярности
для
второго
равенства. прямой и плоскости.
Молодец! Получили, что
МО┴АС МО┴BD. Маша,
что нам это дает?
Итак, мы доказали
перпендикулярность
прямой МО и плоскости
параллелограмма.
Оформляйте
тетрадях.
задачу
Таня,
в
иди
оформи план решения на
доске.
Молодец! Садись.
Теперь
выделим
теоретический
задачи.
базис
Олег,
чем
мы
пользовались при решении
задачи?
Какими
теоретическими фактами?
III
рефлексивно
–
оценочный этап.
Ребята,
Да достигли, хотели
сформулировать
вспомните, доказать
и
признак
какую цель мы поставили перпендикулярности
в начале урока. Достигли прямой и плоскости.
ли мы ее?
Сформулируйте
Прямая
признак
перпендикулярна
перпендикулярности
плоскости,
прямой
и
(опрос
плоскости. перпендикулярна
определение.
она
2
нескольких прямым лежащим в этой
учащихся)
Хорошо.
если
плоскости.
Теперь
Прямая называется
перпендикулярной
Теперь у меня к вам плоскости,
если
такой вопрос: можно ли перпендикулярна
она
любой
утверждать, что прямая прямой лежащей в этой
проходящая через центр плоскости.
.
круга перпендикулярна
Нет,
- диаметру?
определению.
А 2 радиусам?
Нет,
А 2 диаметрам?
Молодцы!
думаете
цель
следующего урока.
Записываем
д.
з.:
п.17, № 124, № 126. Для
группы
дополнительная
задача
спишите ее с доски.
До
Спасибо за урок!
они
могут
лежать на диаметре.
Как
какова
профильной
по
свидания!
Да.
Решать задачи..