1–1. 0–0.

0–0. Укажите все квадратные
трехчлены,
минимальным
значением которых будет 4.
0–1. Во сколько раз сумма
углов
восьмиугольника
больше суммы углов четырёхугольника?
0–2.
Найдите какие-нибудь два
двузначных числа, у каждого из которых все натуральные делители
можно разбить на 2 группы с одинаковыми суммами. Покажите выполнение требуемого условия.
0–3. Самолет вылетел из Москвы в час ночи 4 ноября
по московскому времени и прибыл в город N в семь утра
того же дня по местному времени. В полдень этого же дня
по N-скому времени он вылетел в город P и прибыл туда в
13.00 того же дня по P-скому времени. Через два часа он
вылетел в Москву и вернулся туда 4 ноября в 18.00 по
московскому времени. Сколько времени самолет находился
в воздухе?
0–4. Тангенсы углов некоторого треугольника – целые
числа. Найдите эти тангенсы.
1–1. Найдите наименьшее
натуральное число, квадрат
которого оканчивается на
2011.
1–2. Найдите наибольший
простой делитель числа
3999879.
1–3.
В равнобедренной трапеции
со взаимно перпендикулярными
диагоналями основания равны a и b.
Чему равна высота трапеции?
1–4. Какое наибольшее количество
несоприкасающихся между собой
кораблей 12 можно разместить на
поле 88? Приведите ответ и пример.
1–5.
В начале года в классе были организованы два кружка – математический и биологический. Оказалось, что в математическом кружке юноши составляют 65%, а в биологическом –
10%. Какое наименьшее количество учащихся
может быть в этом классе?
0–5.
В равнобедренном треугольнике
ABC угол A равен 90. D – точка пересечения биссектрисы угла A и окружности
радиуса BC с центром в точке B. Найдите
угол ОАВ, где О – центр описанной
окружности треугольника ACD.
1–6.
0–6. На квадратном поле 1010 девять
2–2. Какой остаток даёт
клеток поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у
которой не менее двух соседних клеток
уже поросли бурьяном. Какое наибольшее
количество клеток мог заполнить бурьян?
Приведите пример оклеивания
(без наложений) тремя различными правильными треугольниками какой-нибудь
правильной треугольной призмы. (Разрешается перегибать треугольники через
рёбра призмы.)
многочлен
x+x3+x9+x27+x81+x243
при делении на (x1)?
2–3. Чему равно выражение
3-6.
после
В выпуклом четырёхугольнике ABCD А=90, а ВС=СD=1. Какую наибольшую площадь может
иметь этот четырёхугольник?
2–4. Центр круга расположен в узле клетча-
4–4. Десяти детям надо было заплатить по 3
той сетки (сторона клетки равна 1). Какой
наименьший радиус должен быть у круга, чтобы
в накрытой им области можно было отметить 10
единичных отрезков (сторон клеток), не имеющих общих концов?
рубля. К сожалению, у них могли быть только
монеты в 2, 5 и 10 рублей. Тем не менее, каждый отдал ровно по 3 рубля, обмениваясь монетами с другими ребятами. Какая наименьшая
сумма денег могла быть у всех десяти вместе?
1
1 x
1
:
1  x  x x x 1
упрощения?
2–5. Сколько существует четы-
4–5. В прямоугольном треугольнике АВС ка-
рёхзначных чисел, которые при
зачеркивании первой цифры
уменьшаются в 9 раз?
теты АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. На
катетах и гипотенузе треугольника отмечают
точки М, N и Р соответственно, такие, чтобы
сумма длин отрезков PM, PN и РВ была
наименьшей из возможных. Какое значение будет принимать эта сумма?
2–6.
4–6.
Найдите наименьшее значение
x  y  ( x  4)  ( y  3) ,
выражения
если x+y–3=0. Укажите также все пары
чисел (x, y), при которых достигается это
значение.
2
2
2
2
3–3. Расставьте в клетках квадрата 3×3
действительные числа (не обязательно
различные) так, чтобы сумма любых двух
соседних по горизонтали чисел была
равна 6, а произведение любых двух соседних по вертикали чисел была равна 4.
3–4. Квадрат разделили на прямоугольники
(необязательно равные), проведя несколько разрезов, параллельно его сторонам (от края до
края). Оказалось, что сумма периметров этих
прямоугольников в семь раз больше периметра
исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться?
3–5.
В числе 188188…188 (набор 188
встречается 11 раз) вычеркивают несколько цифр так, чтобы оставшееся число делилось на 7. Какое наибольшее число могло остаться?
Найдите какое-нибудь трёхзначное число, у которого все натуральные
делители можно разбить на 2 группы с
одинаковыми суммами. Покажите выполнение требуемого условия.
5–5.
Разрежьте квадрат на 5 частей, из которых можно без пропусков и наложений сложить три попарно неравных квадрата.
5–6. Найдите наибольшее значение выражения (ab)2+(bc)2+(ca)2 при условии a2+b2+c2=1. Приведите также пример
тройки чисел a, b и с, когда достигается
это наибольшее значение.
6–6.
Действительные числа x, y и a
x y a2
таковы,
что
и
x 2  y 2  a 2  6a . При каких a
произведение x y принимает наибольшее
значение?