Document 304024

Вопросы к зачету
1. Натуральные числа и их свойства. Принцип математической индукции. Пример.
2. Целые и рациональные числа. Рациональные числа; как расширение целых; геометрическая
интерпретация: рациональная прямая. Изоморфизмы.
3. Десятичные и двоичные дроби. Рациональные числа как десятичные дроби.
4. Полиномы: сложение, умножение и деление с остатком. Разделить с остатком x4+1 на x2+1.
5. Генезис иррациональных чисел. Иррациональное число как бесконечная непериодическая
дробь (двоичная или десятичная), которая может быть реально вычислена в соответствии с
определением этого конкретного числа с любым количеством знаков.
6. Действительные числа; бесконечные десятичные дроби как имманентный объект; геометрическая интерпретация: числовая прямая. Алгебраические операции. Порядок. Существование
корней.
7. Задача о процентах с капитала.
8. Генезис комплексных чисел. Алгебраические уравнения и комплексные числа. Определение
комплексных чисел и операций над ними.
9. Свойства комплексных чисел. Геометрическая интерпретация: комплексная плоскость; тригонометрическая форма комплексного числа.
10. Умножение; деление; возведение в степень. Формула Муавра. Для произвольного комплексного числа z найти z2.
11. Извлечение корня из комплексного числа. Нули полиномов.
12. Деление с остатком и теорема Безу. Целые и рациональные решения. Пользуясь теоремой о
целых корнях, найти корни уравнения x3  6x + 4 = 0.
13. Основная теорема алгебры и следствия из нее. Единственность поля комплексных чисел в
геометрической форме: теорема Фробениуса.
14. Геометрические векторы и векторы в координатах; сложение векторов, умножение на число.
15. Длина вектора, норма, расстояние между точками на плоскости. Скалярное произведение,
скалярное произведение в координатах.
16. Уравнения прямой: параметрическое; каноническое; общее.
17. Уравнения прямой: с угловым коэффициентом; в отрезках; через две точки.
18. Отрезки. Нормальный вектор и нормаль.
19. Параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные прямые.
20. Границы (кривые) производственных возможностей (КПВ) в модели замещения.
21. Динамика рыночных цен: функции предложения и спроса, точка равновесия. Функции линейного спроса и предложения в равновесной форме.
22. Коррекция цены и спроса в линейной паутинной модели (Вальраса) с запаздыванием спроса
(модели A).
23. Коррекция цены и спроса в линейной паутинной модели (Вальраса) с запаздыванием предложения (модели B).
24. Вектор-строка и вектор-столбец, их произведение. Матрицы и операции над ними: сложение,
умножение, умножение на число, транспонирование. Примеры. Алгебра матриц. Делители
нуля.
25. Алгебраические дополнения. Присоединенная матрица. Обратная матрица.
26. Нахождение обратной для матрицы второго порядка.
27. Системы линейных уравнений и определители матриц малой размерности. Определители и
их свойства.
28. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и элементарные преобразования матриц.
29. Системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Правило Крамера.
30. Однородные системы линейных уравнений и их решение.
31. Модель международной торговли.
32. Модель межотраслевого баланса.
33. Бюджетные задачи и системы линейных уравнений.
34. Интерполяция как обработка экономической статистики.
Список задач к зачету
При вычислениях считать, что a  число букв в имени студента, b  число букв в фамилии студента, c  число букв в
названии места (города, села...) рождения студента.
2
n ( n 1) 
1. Формулу 13+23+ +33+...+n3= 
доказать методом математической индукции.
 2 
2. Посчитав несколько последовательных сумм, выдвинуть гипотезу о формуле суммы
Sn 
1
1
1
 ...
12

23
n(n1)
и доказать ее методом математической индукции а также не используя его.
3. Записать в виде правильной дроби числа 0.(12), 0.1(23).
4. Рост курса некоторой иностранной валюты предполагается в размере (a+b)/2 (% в год).
Надежный банк предлагает ставки по вкладам в размере 19% годовых по национальной валюте и
12.5%  по иностранной. Решить, в какой валюте выгоднее поместить сбережения в банк (считая
предполагаемый рост курса истинным). При каком росте курса иностранной валюты ставка 19% в
национальной валюте будет равновесной?
5. Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет. Какова была годовая процентная ставка?
1 i 
6. Найти комплексное число, равное 

33
.
 1+i 
1 i 1 i

7. Найти комплексное число, равное
.
1+i 1 i
8. Представить в тригонометрической форме число 3  i 3 .
9. Методом математической индукции доказать формулу (1  i ) n  2 n / 2  cos
n
4
 i sin
 n

4 
.
10. Найти комплексное число 4 1 .
11. Пользуясь теоремой о целых корнях, найти корни уравнения x3  6x + 4 = 0.
12. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы квадрат комплексного числа был: а) действительным числом; б) чисто мнимым числом.
13. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки ( x * , y * ) и ( x 0 , 0) (все
x* , y* , x 0  0, x 0  x* ). Нарисовать эту прямую. Найти ее направляющий вектор, угловой коэффициент и точку (0, y0) пересечения с осью Oy.
14. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0) = (a,0) и (0,b). Прямая предложения  через
b
ac
точку (0,P0), P0 
и имеет угловой коэффициент s 
относительно оси OP. Найти точку
a b
b c
равновесия и написать функции спроса и предложения в равновесной форме. (Ответ. Pe 
Qe 
b  P0
,
s  d 1
1
bd  sP0
,
s d
d  угловой коэффициент функции спроса относительно оси Oy).
15. Спрос и предложение описываются линейными функциями (от цены). При цене P2 избыточное по сравнению со спросом предложение равно r2; при цене P1 избыточный по сравнению с
предложением спрос равен r1. Найти равновесную цену Pe а также разности P2 – Pe и Pe – P1.
Вычислить при r1 = P1 = ab, r2 = P2 = ab.
P P
P
rP r P
r  P

1
. P2  Pe  2 1 
, где P  ( P2  P1 )  1   .
Ответ. Pe  1 2 2 1 
r2  r1
r1  r2
1  r1 / r2
r1
 r1 r2 
16. Пусть кривые спроса и предложения заданы уравнениями x + 2y = 5 и x = 3y,
а) найти точку равновесия;
б) записать уравнения линий спроса и предложения в равновесной форме.
17. Как известно, семьи Монтекки и Капулетти из Вероны враждовали. Предположим, что клан
Монтекки владел однородной землей и мог произвести в год максимально 500 т пшеницы или
2000 т винограда. При этом были возможны любые комбинации этих продуктов в пределах производительности земли. Собственное потребление составляло 350 т пшеницы и 600 т винограда.
Капулетти владели двумя однородными полями, первое из которых давало максимально 100 т
пшеницы или 500 т винограда, а второе  максимально 300 т пшеницы или 900 т винограда. Собственное потребление семьи составляло 200 т пшеницы и 800 т винограда.
Построить КПВ для каждой из семей и выписать их уравнения в координатах. Сколько свободного продукта было у каждой семьи?
18. Как известно, семьи Монтекки и Капулетти из Вероны враждовали. Предположим, что клан
Монтекки владел однородной землей и мог произвести в год максимально 500 т пшеницы или
2000 т винограда. При этом были возможны любые комбинации этих продуктов в пределах производительности земли. Собственное потребление составляло 350 т пшеницы и 600 т винограда.
Капулетти владели двумя однородными полями, первое из которых давало максимально 100 т
пшеницы или 500 т винограда, а второе  максимально 300 т пшеницы или 900 т винограда. Собственное потребление семьи составляло 200 т пшеницы и 800 т винограда.
Сколько винограда и пшеницы обе семьи могли бы получить дополнительно при том же потреблении, если бы вместо неразумной вражды семьи эффективно объединили свои производственные
мощности? За счет чего?
19. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0) = (a,0) и (0,b). Прямая предложения  через точку
b
ac
(0,P0), P0 
и имеет угловой коэффициент s 
относительно оси OP. Будет ли сходиться
a b
b c
процесс коррекции цены и спроса в паутинной модели A. Нарисовать «паутину» на координатной
плоскости.
20. Прямая спроса проходит через точки (Q0,0) = (a,0) и (0,b). Прямая предложения  через точку
b
ac
(0,P0), P0 
и имеет угловой коэффициент s 
относительно оси OP. Будет ли сходиться
a b
b c
процесс коррекции цены и спроса в паутинной модели В. Нарисовать «паутину» на координатной
плоскости.
1 2 
 2 1
21. Найдя AB и BA, выяснить, коммутируют ли матрицы A  
и A

 (т.е. верно
3 4 
 4 3
ли равенство AB = BA)?.
1 2 3 
22. Найти матрицы AA и AA, где A  
.
a 2 1
23. Доказать, что для любых матриц A и B матрица C = AB  BA будет кососимметрической
1 a 
  a 2
иB
(т.е. C = C), и найти ее для A  

.
b 3
 4 b
2 3 
24. Найти обратную для матрицы A  
.
1 2
0 1
25. Пусть A  
. Найти A22, A41 и A1.
1 1
1 a c 
26. Найти обратную для матрицы B  0 1 b .


0 0 1
0 0 1 
27. Пусть A  0 1 0 . Доказав, что A2 = I, найти A1 и A21.
1 0 0 


n
a n na n 1c
a c 
28. Методом математической индукции вывести формулу 
.
 
an 
0 a 
0
29. Найти вектор потребления для сбалансированной торговли трех стран со структурной матри1
 a
0
a b 4

b
1 1

цей P  
.
a b 2 2 
1 1

 0
4 2 
30. Консервативная система производства двух отраслей имеет следующие характеристики:
x'
W
y'
500
400
100 200
220 40
200
140
Найти объем производства каждой отрасли, необходимый для увеличения продукта потребления
отраслей соответственно в 2 раза и на 25 %.
~
31. Доказать, если X 2 + I = 0, то и всякая подобная матрица X  TXT 1 также будет решением
~
 0 1
этого уравнения. Далее выписать общий вид матрицы J  T J T 1 где J  
(решение
 1 0 
a b 
уравнения X 2 = I), а T  
 , detT  0  произвольная матрица подобного преобразования; заc d 
~
тем вычислить J при: a = c =1, b = 0, d = 1.
~
32. Доказать, если X 2 + I = 0, то и всякая подобная матрица X  TXT 1 также будет решением
a b 
~
этого уравнения. Далее найти общий вид матрицы J = T J T 1 с матрицей T  
 и вычислить
b a 
при a = 0, b = 1.
~
33. Доказать, если X 2 + I = 0, то и всякая подобная матрица X  TXT 1 также будет решением
a b 
~
этого уравнения. Далее найти общий вид матрицы J = T J T 1 с матрицей T  
 и вычислить
b a 
при a = 2, b = 1.
34. Сформулировать и решить задачу элементарного валютного арбитража. Привести численный пример, взяв численные значения по своему усмотрению.