Муниципальный конкурс команд знатоков математики
advertisement
Муниципальный конкурс команд знатоков математики «Умники и умницы» Топология: великое и удивительное рядом. Работу выполнили учащиеся команды "Энтузиаст" МБОУ СОШ №1 р. п. Степное. Руководители: Екушева Н.А., Сейдалиева З.А. Содержание работы. 1. Исторические факты развития топологии. 2. Топология – математическая наука. 3. Топологические преобразования. 4. Известные объекты топологии а) лист Мебиуса . б) бутылка Клейна. 5. Что доказал Перельман Г.Я. 6. Заключение. Топология — довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах. Мы заинтересовались топологией буквально недавно, увидев ленту Мебиуса на уроке математике. Для нас показалось это маленьким чудом, которое сейчас редко встретишь. Ловкость рук, обман зрения, фикция. Позже, сделав ленту собственными руками, нам казалось, что все понятно, ведь сами ее сделали! Но почему такое происходит так до конца и не поняли. С этого момента и началось наше увлечение топологией. Мы с удивлением осознали, что топология присутствует везде: в школе, дома, на улице, в метро. Нужно только увидеть ее! Топология проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Поэтому решили познакомиться с этой наукой ближе. А когда мы узнали, что за доказательство одной из гипотез топологии наш соотечественник Г.Я. Перельман получил Нобелевскую премию, поняли будущее за топологией!!! Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики в ХХ веке стал головокружительный взлет науки, называемой топологией. «Не многие ветви геометрии развивались в последнее время так быстро и плодотворно, как топология; редко случается, чтобы незаметный вначале отдел какой–нибудь науки приобрёл такое основное значение для большого ряда совершенно различных областей знания, как топология». Д. Гильберт Топология начала развиваться как самостоятельная область математики сравнительно недавно, ее становление относят к началу XX века.Она образовалась из потребности анализа, но ни в коем случае не является отделом анализа, а принадлежит геометрии (хотя содержит теоремы, связанные с алгеброй). Однако интересно то, что идеи топологии проникают почти во все области математики. Одни из первых предпосылок в изучении топологии были получены ещё в 18-19 веках. К этому периоду принадлежат: теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, теорема Журдена о том, что лежащая в плоскости простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части. Первые сведения по топологии можно отыскать в работах Карла Вейерштрасса в 60-е годы XIX века. Он даёт понятия пределу функции и реконструирует систему действительных чисел. Далее идут исследования Георга Катора (немецкого математика) по теории точечных множеств (1874-1895годы).Первое направление топологии (называемое теоретико-множественной топологией) было утверждено Ф. Хаусдорфом и другими математиками в начале ХХ века. Второе направление топологии (называемое комбинаторной или алгебраической топологией) начало развиваться в 90-х годах прошлого столетия. В этом направлении имеются работы А. Пуанкре, которые посвящены интегральному исчислению для высших размерностей. Объединил теоретико-множественное и комбинаторное направления топологии Л.Брауэр (1908). Он же изучил понятие размерности. Дальнейшее развитие объединённой теории было продолжено Д. Лефшецом (С. Левшец первый использовал термин «топология») и другими. С 1930 года топология двигалась ускоренным шагом. Огромнейший вклад внесли в эту науку М. Морс (теория критических точек), Х. Уитни ( расслоенное пространство), Ж. Де Рама (дифференциальные формы).Топология дала новый толчок дифференциальной геометрии и развила новую ветвь алгебры (называемой гомологической алгеброй) и алгебраическую геометрию. Советские математики, начиная с 20-х годов, тоже внесли большой вклад в топологию. Особенно важные результаты принадлежат П.С. Александрову, А.Н. Колмогорову, Л.С. Понтрягину, П.С. Урысону.В последние годы успешно работают в этой области математики В.А.Рохлин, М.М. Постников, С.П. Новиков, А.В.Чернавский и другие. Топология превратилась в одну из основных граней математики и стала необходимой для многих её областей. 2. Топология не входит в учебную программу школьного курса математики, но на наш взгляд представляет большой интерес. Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать. Топология — это наука, изучающая свойства предметов, которые не изменятся при его деформации. Говорят еще, что топология – это геометрия положений. Основной объект изучения топологии это топологическое пространство. Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, в котором мы отвлекаемся от свойств наподобие размера или точного положения частей фигуры в пространстве, и сосредотачиваемся только на взаимном расположении частей. Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики. Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, с точки зрения топологии – различны. 3. Топологические преобразования. Иногда говорят, что топология – это геометрия на резиновой поверхности. Это малопонятное описание позволяет тем не менее уловить суть предмета. Чтобы это хорошо понять, нужно представить, что некоторая фигура сделана из резины. Её можно растягивать, сжимать, закручивать, но не разрывать и не склеивать. Например, маленький шарик можно раздуть в большой, потом его можно превратить в эллипс, потом в гантель. Также можно поверхность шара превратить в поверхность куба, тетраэдра, призмы, пирамиды, конуса и т.д. Но никак нельзя из шара сделать непрерывной деформацией бублик. Аптечную резинку можно представить как окружность, эллипс, многоугольник, любую замкнутую кривую, но при этом резинка не должна разрываться или склеиваться. Разрывание и склеивание не являются топологическими преобразованиями. Множества, которые можно деформировать друг в друга без разрывов и склеивания называются топологически-эквивалентными. Так как эти множества имеют в точности одни и те же свойства, то тополог считает их одинаковыми, неразличимыми топологически. Тополог – это тот человек, который не видит разности между шаром и призмой, бубликом и кружкой… Фигуру можно мять, пропускать через игольное ушко, как угодно искривлять. С точки зрения топологии спелая груша равносильна сухой. Какими бы жестокими ни казались нам эти преобразования, каким бы чудовищным деформациям ни подвергали мы тела и фигуры, всё – таки есть такие геометрические свойства, которые остаются неизменными. Все топологические свойства у фигур, которые могут быть топологически преобразованы друг в друга, одинаковы. Для тополога все гомеоморфные фигуры представляют собой одну и ту же фигуру. С гомеоморфными фигурами мы встречаемся ежедневно и ежечасно. Например, топологически преобразованную призму можно изобразить вот так: Также любые два треугольника топологически эквиваленты; любая окружность эквивалентна любому эллипсу: Итак, топология изучает такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Поясним на классических примерах. Пример 1. Предположим, что перед нами лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании. Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно. Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то, что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете — она одна. Пример 2. Топологический человек. Непрерывными деформациями человек (см. рисунок) может распутать пальцы — факт. Не сразу очевидно, но можно догадаться. А если же наш топологический человек предусмотрительно надел часы на одну руку, то наша задача станет невыполнимой. Итак, надеемся, эти примеры внесли некоторую наглядность топологических преобразований. Приведем примеры самых интересных объектов, изучаемых топологией, такие как лист Мебиуса и бутылка Клейна. А) Лист Мебиуса. У листа Мёбиуса всего один край. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), — две стороны. Убедиться в однокрайности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы, вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Вторая неожиданность поджидает нас в тот момент, когда мы попробуем разрезать лист Мёбиуса по его средней линии. «Нормальное» кольцо при этом бы распалось на два куска, а лист Мёбиуса при этом превратится в одно перекрученное кольцо. Муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону. Применение листа Мебиуса в жизни. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере. Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка). При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса. Б) Бутылка Клейна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Кляйна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Клейна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.В отличие от реальных бутылок, поверхность Клейна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Клейна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность. Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»). Свойства Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Хроматическое число поверхности равно 6. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет). Применение бутылки Клейна в культуре Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В том месте, где бутылка пересекает сама себя, по технологическим причинам приходится оставлять отверстие. В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна. В рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. 5 . Что доказал Г.Я. Перельман ? Сорокачетырехлетний Григорий Яковлевич Перельман, по праву считающийся одним из самых умных людей мира, получил заслуженную награду за решение так называемой в научном сообществе гипотезы Пуанкаре - сложной математической задачи, решение которой он, кстати, запросто выложил в интернет. Задача посвящена поиску доказательства того, что трехмерное пространство, не обладающее дырами, имеет форму сферы, растянутой в пространстве. Загадка в 3D Согласно представлениям человечества о трехмерных сферах, вблизи они ничем не отличаются от трехмерных пространств, так называемых трехмерных многообразий, которых в природе встречается великое множество. Французский математик Пуанкаре озвучил теорию, связанную с тем, что при наличии определенного количества свойств можно безошибочно утверждать, что трехмерное многообразие представляет собой ни что иное, как сферу. Сама гипотеза Терстонаи, частным случаем которой и является заявленная задача, была выдвинута еще в 1904 году. В 2006 году Гениальный Перельман был удостоен премии Филдса, а в 2010-м «Премии тысячелетия», от которых благополучно отказался, говоря о том, что сам факт подобного достижения уже является величайшей наградой в его жизни. Доказательства, которые были предоставлены Григорием, были тщательно проверены ведущими специалистами в области топологии, которые единогласно пришли к выводу об их абсолютной правильности. Попробуем объяснить суть теории. Здравый смысл подсказывает нам, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка - понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так - представим, что на поверхности у нас имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой). Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой. Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна. Фундаментальная группа тора обозначается п1 (T2). Из-за того, что она нетривиальна, руки мыши образуют нестягиваемую петлю. Грусть на лице животного - результат осознания этого факта. Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема, а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Теперь, чтобы сформулировать гипотезу Пуанкаре, надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности. Вернемся к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Каждую из них можно разрезать на такие мелкие кусочки, что каждый будет почти напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства. Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, "по частям" достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушария по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора. Опять представим, что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее. Очень полезный случай — сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек — тогда это просто сфера, может быть одна — тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д. Так почему же сфера с ручками — обособляется среди других фигур? Все очень просто — любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет. Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: "Если фундаментальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере". Непонятное словосочетание "гомеоморфно сфере" в переводе на неформальный язык означает, что поверхность можно продеформировать в сферу. Эта столетняя загадка есть нахождение формы мироздания, доказательство того, что наша Земля круглая. Вот такая достаточно содержательная теорема была доказана в ноябре 2002 г., Григорием Перельманом, математиком из Санкт-Петербургского отделения математического института им. Стеклова. 6.Заключение. Топология – очень красивая наука. Она осуществляет связь геометрии с алгеброй. Ее идеи и образы играют ключевую роль практически во всей современной математике – в дифференциальных уравнениях, механике, комплексном анализе, алгебраической геометрии, функциональном анализе, математической и квантовой физике, теории представлений, и даже – в удивительно преображенном виде – в теории чисел, комбинаторике и теории сложности вычислений. В частности, современная топология находит широкое применение в механике и математической физике. Топологические методы широко используются в качественной теории движения твердого тела. Топология – одна из наиболее центрально-расположенных математических дисциплин, в смысле численности связей и степени взаимного влияния с другими разделами математики. Приведем следующие примеры. Математическое сообщество высоко отметила вклад топологии к развитию математики. За период с 1936 по 2006 г., одна из высших наград в математике, Медаль Филдса (Премия Филдса - самая высокая международная награда в области математики, она вручается одному ученому один раз в 4 года. Сопровождается знаком отличия - золотой медалью), была присуждена 48 математикам, 9 из них за исследования именно в топологии. В работах еще нескольких из лауреатов топологические методы играли важную роль. Трем из них премия была присуждена за решение гипотезы Пуанкаре: Григорию Перельману за доведение оригинальной гипотезы относительно трехмерной сферы и Майклу Фридману и Стивену Смейла – за решение аналогичного вопроса в четырех (Фридман) и пяти и более измерениях (Смейл ). Интересно, что еще две с Филдсовской премий была присуждена за результаты о сферах: Джону Милнору за открытие 28 дифференцируемых структур на сфере, и Жану-Пьеру Серра за разработку методов вычисления гомотопических групп сфер. Таким образом, пять из сорока восьми Филдсовской премий получили исследователи сфер! Используемые ресурсы: http://habrahabr.ru/ Бурбаки Н., Общая топология.Основные структуры, пер. с франц., М., 1968 https://ru.wikipedia.org http://www.bestpeopleofrussia.ru
